Delenie bežného čísla desatinnou čiarkou. Desatinné delenie

§ 107. Dodatok desatinné zlomky.

Pridávanie desatinných miest sa vykonáva rovnakým spôsobom ako pridávanie celých čísel. Pozrime sa na to na príkladoch.

1) 0,132 + 2,354. Podpíšme pojmy jeden pod druhým.

Tu sa zo súčtu 2 tisícin so 4 tisícinami získalo 6 tisícin;
z pripočítania 3 stotín s 5 stotinami vyšlo 8 stotín;
od pridania 1 desatiny s 3 desatinami -4 desatiny a
zo sčítania 0 celých čísel s 2 celými číslami - 2 celé čísla.

2) 5,065 + 7,83.

V druhom termíne nie sú tisíciny, preto je dôležité nepomýliť sa pri podpisovaní podmienok pod sebou.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Tu, keď pripočítame tisíciny, dostaneme 21 tisícin; napísali sme 1 pod tisíciny a 2 pridali k stotinám, takže na stom mieste sme dostali tieto výrazy: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; v súčte dávajú 19 stotín, my sme podpísali 9 pod stotiny a 1 sa počítala ako desatiny atď.

Pri sčítavaní desatinných zlomkov je teda potrebné dodržať nasledovné poradie: zlomky sa podpisujú pod sebou tak, že vo všetkých členoch sú pod sebou rovnaké číslice a všetky čiarky sú v rovnakom zvislom stĺpci; napravo od desatinných miest niektorých výrazov pripisujú, aspoň mentálne, taký počet núl, že všetky výrazy za desatinnou čiarkou majú rovnaký počet číslic. Potom vykonajte sčítanie po číslach, počnúc od pravá strana, a vo výslednej sume dajte čiarku do rovnakého zvislého stĺpca, v ktorom je v týchto výrazoch.

§ 108. Odčítanie desatinných zlomkov.

Odčítanie desatinných miest sa vykonáva rovnakým spôsobom ako odčítanie celých čísel. Ukážme si to na príkladoch.

1) 9,87 - 7,32. Podpisujme subtrahend pod minuend tak, aby jednotky tej istej číslice boli pod sebou:

2) 16,29 - 4,75. Podpíšme subtrahend pod minuend, ako v prvom príklade:

Na odčítanie desiatok bolo potrebné vziať jednu celú jednotku zo 6 a rozdeliť ju na desatiny.

3) 14,0213-5,350712. Podpíšme subtrahend pod minuend:

Odčítanie sa uskutočnilo takto: keďže od 0 nemôžeme odpočítať 2 milióntiny, mali by sme sa odvolávať na najbližšiu číslicu vľavo, t. j. na stotisíciny, ale namiesto stotisíciny je aj nula, takže vezmeme 1 desaťtisícina z 3 desaťtisíciny a rozdelíme ju na stotisíciny, dostaneme 10 stotisíc, z ktorých 9 stotisíc zostane v kategórii stotisíc a 1 stotisícina sa rozdrví na miliontiny, dostaneme 10 miliónov. V posledných troch čísliciach sme teda dostali: milióntiny 10, stotisíciny 9, desaťtisíciny 2. Pre väčšiu prehľadnosť a pohodlie (nezabudnúť) sú tieto čísla napísané na vrchu zodpovedajúcich zlomkových číslic redukovaného. Teraz môžeme začať odčítavať. Odčítame 2 milióntiny od 10 milióntin, dostaneme 8 milióntin; odpočítajte 1 stotisícinu od 9 stotisíc, dostaneme 8 stotisíc atď.

Pri odčítaní desatinných zlomkov sa teda dodržiava nasledovné poradie: odčítané sa podpíše pod zmenšené tak, že rovnaké číslice sú jedna pod druhou a všetky čiarky sú v rovnakom zvislom stĺpci; napravo pripisujú, aspoň mentálne, v zmenšenom alebo odčítanom toľko núl, aby mali rovnaký počet číslic, potom odčítajú po číslicach, začínajúc od pravej strany a vo výslednom rozdiele dajú čiarku do rovnaký vertikálny stĺpec, v ktorom je redukovaný a odčítaný.

§ 109. Násobenie desatinných zlomkov.

Zvážte niekoľko príkladov násobenia desatinných zlomkov.

Aby sme našli súčin týchto čísel, môžeme uvažovať takto: ak sa faktor zvýši 10-krát, potom oba faktory budú celé čísla a potom ich môžeme vynásobiť podľa pravidiel pre násobenie celých čísel. Ale vieme, že keď sa jeden z faktorov zvýši niekoľkokrát, produkt sa zvýši o rovnakú hodnotu. To znamená, že číslo, ktoré sa získa vynásobením celočíselných faktorov, t. j. 28 x 23, je 10-krát väčšie ako skutočný súčin, a na získanie skutočná práca, musíte znížiť nájdený produkt 10-krát. Preto tu musíte raz vykonať násobenie 10 a raz delenie 10, ale násobenie a delenie 10 sa vykonáva posunutím čiarky doprava a doľava o jedno znamienko. Preto musíte urobiť toto: v multiplikátore posuňte čiarku doprava o jedno znamienko, z toho sa bude rovnať 23, potom musíte vynásobiť výsledné celé čísla:

Tento produkt je 10-krát väčší ako skutočný. Preto ho treba zmenšiť 10-krát, za čo posunieme čiarku o jeden znak doľava. Tak dostaneme

28 2,3 = 64,4.

Pre účely overenia môžete napísať desatinný zlomok s menovateľom a vykonať akciu podľa pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov, t.j.

2) 12,27 0,021.

Rozdiel medzi týmto príkladom a predchádzajúcim je v tom, že tu sú oba faktory reprezentované desatinnými zlomkami. Tu však v procese násobenia nebudeme venovať pozornosť čiarkam, to znamená, že násobiteľ dočasne zvýšime 100-krát a násobiteľ 1 000-krát, čím sa súčin zväčší 100 000-krát. Vynásobením 1227 číslom 21 teda dostaneme:

1 227 21 = 25 767.

Ak vezmeme do úvahy, že výsledný produkt je 100 000-krát väčší ako skutočný, musíme ho teraz zmenšiť 100 000-krát správnym umiestnením čiarky, potom dostaneme:

32,27 0,021 = 0,25767.

Skontrolujme to:

Na vynásobenie dvoch desatinných zlomkov teda stačí, bez toho, aby sme dávali pozor na čiarky, vynásobiť ich ako celé čísla a v súčine oddeliť čiarkou na pravej strane toľko desatinných miest, koľko bolo v násobilke a v faktor spolu.

V poslednom príklade je výsledkom súčin s piatimi desatinnými miestami. Ak sa takáto väčšia presnosť nevyžaduje, vykoná sa zaokrúhlenie desatinného zlomku. Pri zaokrúhľovaní by ste mali použiť rovnaké pravidlo, aké bolo uvedené pre celé čísla.

§ 110. Násobenie pomocou tabuliek.

Násobenie desatinných miest možno niekedy vykonať pomocou tabuliek. Na tento účel môžete použiť napríklad tabuľky násobenia dvojciferných čísel, ktorých popis bol uvedený vyššie.

1) Vynásobte číslo 53 číslom 1,5.

53 vynásobíme 15. V tabuľke sa tento súčin rovná 795. Našli sme súčin 53 krát 15, ale náš druhý faktor bol 10x menší, to znamená, že súčin treba zmenšiť 10x, t.j.

53 1,5 = 79,5.

2) Vynásobte 5,3 číslom 4,7.

Najprv nájdime v tabuľke súčin 53 x 47, bude to 2491. Ale keďže sme násobiteľ a násobiteľ zvýšili celkovo 100-krát, tak výsledný súčin je 100-krát väčší, ako by mal byť; takže musíme znížiť tento produkt o faktor 100:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Vynásobte 0,53 číslom 7,4.

Najprv nájdeme v tabuľke súčin 53 x 74; to bude 3 922. Ale keďže sme zvýšili násobiteľ 100-krát a multiplikátor 10-krát, súčin sa zvýšil 1 000-krát; takže ho teraz musíme znížiť 1 000:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Delenie desatinných miest.

Na desatinné delenie sa pozrieme v tomto poradí:

1. Desatinné delenie podľa celé číslo,

1. Delenie desatinného zlomku celým číslom.

1) Vydeľte 2,46 číslom 2.

Najprv sme vydelili 2 celé čísla, potom desatiny a nakoniec stotiny.

2) Vydeľte 32,46 číslom 3.

32,46: 3 = 10,82.

Vydelili sme 3 desiatky 3, potom sme začali deliť 2 jednotky 3; keďže počet jednotiek dividendy (2) je menší ako deliteľ (3), museli sme do kvocientu vložiť 0; ďalej, na zvyšok sme zbúrali 4 desatiny a 24 desatín rozdelili 3; dostal v súkromí 8 desatín a napokon rozdelil 6 stotín.

3) Vydeľte 1,2345 číslom 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Tu sa v prvom rade ukázalo ako nula celých čísel, pretože jedno celé číslo nie je deliteľné 5.

4) Vydeľte 13,58 číslom 4.

Zvláštnosťou tohto príkladu je, že keď sme v súkromí dostali 9 stotín, potom sa našiel zvyšok rovnajúci sa 2 stotinám, tento zvyšok sme rozdelili na tisíciny, dostali 20 tisícin a doviedli delenie do konca.

Pravidlo. Delenie desatinného zlomku celým číslom sa vykonáva rovnakým spôsobom ako delenie celých čísel a výsledné zvyšky sa premieňajú na desatinné zlomky, stále menšie; delenie pokračuje, kým sa zvyšok nerovná nule.

2. Delenie desatinného zlomku desatinným zlomkom.

1) Vydeľte 2,46 číslom 0,2.

Už vieme, ako deliť desatinný zlomok celým číslom. Zamyslime sa nad tým, či sa dá tento nový prípad rozdelenia zredukovať aj na ten predchádzajúci? Kedysi sme považovali za pozoruhodnú vlastnosť kvocientu, ktorá spočíva v tom, že zostáva nezmenený pri rovnakom násobnom zvýšení alebo znížení dividendy a deliteľa. Kľudne by sme vykonali delenie ponúkaných čísel, ak by deliteľom bolo celé číslo. Na to ho stačí zvýšiť 10-krát a na získanie správneho kvocientu je potrebné zvýšiť dividendu o rovnaký počet, teda 10-krát. Potom bude delenie týchto čísel nahradené delením takýchto čísel:

a nie je potrebné robiť žiadne zmeny v súkromí.

Urobme toto rozdelenie:

Takže 2,46: 0,2 = 12,3.

2) Vydeľte 1,25 číslom 1,6.

Deliteľa (1,6) zväčšíme 10-krát; aby sa podiel nezmenil, zvýšime dividendu 10-krát; 12 celých čísel nie je deliteľných 16, preto píšeme v kvociente 0 a 125 desatín delíme 16, dostaneme 7 desatín v kvociente a zvyšok je 13. 13 desatín rozdelíme na stotiny priradením nuly a 130 stotín delíme 16 atď. Venujte pozornosť nasledujúcemu:

a) keď sa v kvociente nezískajú celé čísla, na ich miesto sa zapíšu nulové celé čísla;

b) keď sa po prepočítaní číslice dividendy na zvyšok získa číslo, ktoré nie je deliteľné deliteľom, potom sa do podielu zapíše nula;

c) po zbúraní posledná číslica deliteľné delenie nekončí, potom priraďte nuly zvyšku a pokračujte v delení;

d) ak je dividenda celé číslo, potom pri jej delení desatinným zlomkom sa jej zvýšenie vykoná priradením núl.

Ak teda chcete deliť číslo desatinným zlomkom, musíte v deliteľovi zahodiť čiarku a potom zvýšiť deliteľ toľkokrát, koľkokrát sa deliteľ zvýšil, keď v ňom padla čiarka, a potom vykonať delenie podľa pravidlo delenia desatinného zlomku celým číslom.

§ 112. Približný kvocient.

V predchádzajúcom odseku sme uvažovali o delení desatinných zlomkov a vo všetkých príkladoch, ktoré sme riešili, bolo delenie ukončené, t.j. získal sa presný kvocient. Vo väčšine prípadov však nie je možné získať presný kvocient, bez ohľadu na to, ako ďaleko predĺžime delenie. Tu je jeden takýto prípad: Vydeľte 53 číslom 101.

Už sme dostali päť číslic v kvociente, ale delenie sa ešte neskončilo a nie je nádej, že sa niekedy skončí, pretože čísla, s ktorými sme sa predtým stretli, sa začínajú objavovať vo zvyšku. Čísla sa budú tiež opakovať v kvociente: samozrejme, po čísle 7 sa objaví číslo 5, potom 2 a tak ďalej bez konca. V takýchto prípadoch je delenie prerušené a obmedzené na niekoľko prvých číslic kvocientu. Tento súkromný je tzv približné. Ako vykonať rozdelenie v tomto prípade, ukážeme na príkladoch.

Nech je potrebné deliť 25 3. Je zrejmé, že z takéhoto delenia nie je možné získať presný kvocient vyjadrený ako celé číslo alebo desatinný zlomok. Preto budeme hľadať približný kvocient:

25: 3 = 8 a zvyšok 1

Približný podiel je 8; je to samozrejme menej ako presný kvocient, pretože je tam zvyšok 1. Ak chcete získať presný kvocient, musíte k nájdenému približnému kvocientu, teda k 8, pridať zlomok, ktorý vznikne delením zvyšku. , rovné 1, 3; bude to zlomok 1/3. Takže je vyjadrený presný kvocient zmiešané číslo 8 1/3. Keďže 1/3 je vlastný zlomok, t.j. zlomok, menej ako jeden, potom predpokladáme, že ho zahodíme chyba, ktorý menej ako jeden. Súkromný 8 bude približný kvocient až po jeden s nevýhodou. Ak vezmeme 9 namiesto 8, povolíme aj chybu, ktorá je menšia ako jedna, pretože nepridáme celú jednotku, ale 2/3. Taký súkromný závet približný kvocient do jednej s prebytkom.

Uveďme si teraz ďalší príklad. Nech je potrebné deliť 27 8. Keďže tu nedostaneme presný podiel vyjadrený ako celé číslo, budeme hľadať približný kvocient:

27: 8 = 3 a zvyšok 3.

Chyba je tu 3/8, je menšia ako jedna, čo znamená, že približný kvocient (3) sa nachádza až do jednej s nevýhodou. Pokračujeme v delení: zvyšok 3 rozdelíme na desatiny, dostaneme 30 desatín; Vydelme ich 8.

Dostali sme v súkromí na mieste desatiny 3 a vo zvyšku b desatiny. Ak sa obmedzíme najmä na číslo 3,3 a zvyšok 6 zahodíme, pripustíme chybu menšiu ako jednu desatinu. prečo? Pretože presný kvocient by sme získali, keby sme k 3,3 pridali výsledok delenia 6 desatín 8; z tohto delenia by bolo 6/80, čo je menej ako jedna desatina. (Skontrolujte!) Ak sa teda obmedzíme na desatiny v kvociente, potom môžeme povedať, že sme našli kvocient s presnosťou na jednu desatinu(s nevýhodou).

Pokračujme v delení, aby sme našli ešte jedno desatinné miesto. Aby sme to urobili, rozdelíme 6 desatín na stotiny a získame 60 stotín; Vydelme ich 8.

V súkromí na treťom mieste to dopadlo 7 a vo zvyšku 4 stotiny; ak ich zahodíme, tak pripustíme chybu menšiu ako stotinu, pretože 4 stotiny delené 8 sú menej ako jedna stotina. V takýchto prípadoch sa hovorí, že kvocient sa nájde. s presnosťou na stotinu(s nevýhodou).

V príklade, ktorý teraz zvažujeme, môžete získať presný kvocient vyjadrený ako desatinný zlomok. Na to stačí rozdeliť posledný zvyšok, 4 stotiny, na tisíciny a rozdeliť 8.

V drvivej väčšine prípadov je však nemožné získať presný kvocient a treba sa obmedziť na jeho približné hodnoty. Teraz zvážime takýto príklad:

40: 7 = 5,71428571...

Bodky na konci čísla označujú, že delenie nie je dokončené, to znamená, že rovnosť je približná. Približná rovnosť sa zvyčajne píše takto:

40: 7 = 5,71428571.

Vzali sme kvocient s ôsmimi desatinnými miestami. Ale ak nie je potrebná taká veľká presnosť, možno sa obmedziť na celú časť kvocientu, t. j. číslo 5 (presnejšie 6); pre väčšiu presnosť by sa mohli brať do úvahy desatiny a podiel sa rovnal 5,7; ak je táto presnosť z nejakého dôvodu nedostatočná, tak sa môžeme zastaviť na stotinách a zobrať 5,71 atď.. Vypíšme si jednotlivé kvocienty a pomenujme ich.

Prvý približný kvocient do jednej 6.

Druhá » » » až jedna desatina 5.7.

Tretia » » » do stotiny 5,71.

Štvrtá » » » až jedna tisícina z 5,714.

Aby sa teda našiel približný podiel až do nejakého, napríklad 3. desatinného miesta (t.j. až do jednej tisíciny), delenie sa zastaví hneď, ako sa nájde tento znak. V tomto prípade treba pamätať na pravidlo uvedené v § 40.

§ 113. Najjednoduchšie problémy pre úrok.

Po preštudovaní desatinných zlomkov vyriešime ešte niekoľko percentuálnych úloh.

Tieto úlohy sú podobné tým, ktoré sme riešili v oddelení obyčajných zlomkov; ale teraz budeme písať stotiny vo forme desatinných zlomkov, teda bez výslovne určeného menovateľa.

V prvom rade musíte byť schopní ľahko prepínať spoločný zlomok na desatinné miesto s menovateľom 100. Ak to chcete urobiť, vydeľte čitateľa menovateľom:

Nasledujúca tabuľka ukazuje, ako sa číslo so symbolom % (v percentách) nahradí desatinnou čiarkou s menovateľom 100:

Uvažujme teraz o niekoľkých problémoch.

1. Nájdenie percent daného čísla.

Úloha 1. V jednej obci žije len 1600 ľudí. Počet detí školského veku je 25 % z celkový počet obyvateľov. Koľko školopovinných detí je v tejto obci?

V tomto probléme musíte nájsť 25 % alebo 0,25 z 1 600. Problém je vyriešený vynásobením:

1 600 0,25 = 400 (deti).

Preto 25 % z 1 600 je 400.

Pre jasné pochopenie tejto úlohy je užitočné pripomenúť, že na sto obyvateľov pripadá 25 školopovinných detí. Preto, aby ste zistili počet všetkých školopovinných detí, môžete najprv zistiť, koľko stoviek je v čísle 1600 (16), a potom vynásobiť 25 počtom stoviek (25 x 16 = 400). Týmto spôsobom môžete skontrolovať platnosť riešenia.

Úloha 2. Sporiteľne dávajú vkladateľom 2 % z príjmu ročne. Koľko príjmu za rok dostane vkladateľ, ktorý vložil: a) 200 rubľov? b) 500 rubľov? c) 750 rubľov? d) 1000 rubľov?

Vo všetkých štyroch prípadoch bude na vyriešenie problému potrebné vypočítať 0,02 z uvedených súm, t.j. každé z týchto čísel bude potrebné vynásobiť 0,02. Poďme na to:

a) 200 0,02 = 4 (ruble),

b) 500 0,02 = 10 (rubľov),

c) 750 0,02 = 15 (rubľov),

d) 1 000 0,02 = 20 (rubľov).

Každý z týchto prípadov možno overiť nasledujúcimi úvahami. Sporiteľne dávajú vkladateľom 2 % z príjmu, teda 0,02 zo sumy vloženej do sporenia. Ak by suma bola 100 rubľov, potom 0,02 z toho by boli 2 ruble. To znamená, že každých sto prináša vkladateľovi 2 ruble. príjem. Preto v každom z uvažovaných prípadov stačí zistiť, koľko stoviek je v danom čísle, a vynásobiť 2 ruble týmto počtom stoviek. V príklade a) stovky 2, tak

2 2 \u003d 4 (ruble).

V príklade d) sú stovky 10, čo znamená

2 10 \u003d 20 (rubľov).

2. Nájdenie čísla podľa jeho percent.

Úloha 1. Na jar školu maturovalo 54 žiakov, čo je 6 % z celkového počtu žiakov. Koľko žiakov bolo v škole v minulom školskom roku?

Najprv si objasnime význam tohto problému. Školu ukončilo 54 žiakov, čo je 6 % z celkového počtu žiakov, resp. 6 stotín (0,06) všetkých žiakov školy. To znamená, že poznáme časť žiakov vyjadrenú číslom (54) a zlomkom (0,06) a z tohto zlomku musíme nájsť celé číslo. Pred nami je teda obyčajný problém nájsť číslo podľa jeho zlomku (§ 90 ods. 6). Problémy tohto typu sa riešia delením:

To znamená, že v škole bolo 900 žiakov.

Takéto úlohy je užitočné skontrolovať vyriešením inverznej úlohy, t. j. po vyriešení úlohy by ste mali, aspoň vo svojej mysli, vyriešiť úlohu prvého typu (zistenie percenta daného čísla): vezmite nájdené číslo ( 900) ako je uvedené a nájdite z neho percento uvedené v riešenom probléme, a to:

900 0,06 = 54.

Úloha 2. Na jedlo rodina počas mesiaca minie 780 rubľov, čo je 65 % mesačného príjmu otca. Určite jeho mesačný príjem.

Táto úloha má rovnaký význam ako predchádzajúca. Uvádza časť mesačného zárobku vyjadrenú v rubľoch (780 rubľov) a uvádza, že táto časť predstavuje 65 % alebo 0,65 z celkových zárobkov. A požadovaný je celý zárobok:

780: 0,65 = 1 200.

Preto je požadovaný zárobok 1200 rubľov.

3. Nájdenie percenta čísel.

Úloha 1.Školská knižnica má spolu 6000 kníh. Medzi nimi je 1200 kníh o matematike. Koľko percent matematických kníh tvorí celkový počet kníh v knižnici?

Tento druh problému sme už zvažovali (§97) a dospeli sme k záveru, že na výpočet percenta dvoch čísel musíte nájsť pomer týchto čísel a vynásobiť ho 100.

V našej úlohe musíme nájsť percentuálny podiel čísel 1 200 a 6 000.

Najprv zistíme ich pomer a potom ho vynásobíme 100:

Percento čísel 1 200 a 6 000 je teda 20. Inými slovami, matematické knihy tvoria 20 % z celkového počtu všetkých kníh.

Na kontrolu riešime inverzný problém: nájdite 20 % zo 6 000:

6 000 0,2 = 1 200.

Úloha 2. Závod by mal dostať 200 ton uhlia. Dodaných už bolo 80 ton Koľko percent uhlia bolo dodaných do závodu?

Tento problém sa pýta, koľko percent je jedno číslo (80) od druhého (200). Pomer týchto čísel bude 80/200. Vynásobme to 100:

To znamená, že bolo dodaných 40 % uhlia.

V minulej lekcii sme sa naučili sčítať a odčítať desatinné zlomky (pozri lekciu " Sčítanie a odčítanie desatinných zlomkov"). Zároveň odhadli, o koľko sú výpočty zjednodušené v porovnaní s bežnými „dvojposchodovými“ zlomkami.

Bohužiaľ, pri násobení a delení desatinných zlomkov tento efekt nenastáva. V niektorých prípadoch desiatkový zápis dokonca tieto operácie komplikuje.

Najprv si predstavme novú definíciu. Stretneme sa s ním pomerne často a nielen v tejto lekcii.

Významnou časťou čísla je všetko medzi prvou a poslednou nenulovou číslicou vrátane upútavok. Hovoríme len o číslach, desatinná čiarka sa neberie do úvahy.

Čísla zahrnuté v významná časťčísla sa nazývajú platné číslice. Môžu sa opakovať a dokonca sa rovnať nule.

Zvážte napríklad niekoľko desatinných zlomkov a napíšte ich zodpovedajúce významné časti:

91,25 → 9125 (významné čísla: 9; 1; 2; 5);
0,008241 → 8241 (významné čísla: 8; 2; 4; 1);
15,0075 → 150075 (významné čísla: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
0,0304 → 304 (významné čísla: 3; 0; 4);
3000 → 3 (existuje len jedno platné číslo: 3).

Upozornenie: nuly vo vnútri významnej časti čísla nikam nevedú. S niečím podobným sme sa už stretli, keď sme sa učili prevádzať desatinné zlomky na obyčajné (pozri lekciu “ Desatinné zlomky”).

Tento bod je taký dôležitý a chyby sa tu robia tak často, že v blízkej budúcnosti zverejním test na túto tému. Určite cvičte! A my, vyzbrojení konceptom významnej časti, v skutočnosti pristúpime k téme hodiny.

Desatinné násobenie

Operácia násobenia pozostáva z troch po sebe nasledujúcich krokov:

Pre každý zlomok zapíšte významnú časť. Získate dve obyčajné celé čísla – bez menovateľov a desatinných čiarok;
Vynásobte tieto čísla akýmkoľvek vhodným spôsobom. Priamo, ak sú čísla malé, alebo v stĺpci. Získame významnú časť požadovaného zlomku;
Zistite, kde a o koľko číslic je posunutá desatinná čiarka v pôvodných zlomkoch, aby ste získali zodpovedajúcu významnú časť. Vykonajte spätné posuny na významnej časti získanej v predchádzajúcom kroku.

Ešte raz pripomeniem, že nuly po stranách významnej časti sa nikdy neberú do úvahy. Ignorovanie tohto pravidla vedie k chybám.

0,28 ± 12,5;

6,3 1,08;

132,5 0,0034;

0,0108 1600,5;

5,25 10 000.

Pracujeme s prvým výrazom: 0,28 12,5.

Vypíšme významné časti pre čísla z tohto výrazu: 28 a 125;
Ich súčin: 28 125 = 3500;
V prvom multiplikátore sa desatinná čiarka posunie o 2 číslice doprava (0,28 → 28) a v druhom o ďalšiu 1 číslicu. Celkovo je potrebný posun doľava o tri číslice: 3 500 → 3 500 = 3,5.

Teraz sa poďme zaoberať výrazom 6.3 1.08.

Vypíšme podstatné časti: 63 a 108;
Ich súčin: 63 108 = 6804;
Opäť dva posuny doprava: o 2 a 1 číslicu. Celkovo - opäť 3 číslice doprava, takže spätný posun bude 3 číslice doľava: 6804 → 6.804. Tentoraz nie sú na konci žiadne nuly.

Dostali sme sa k tretiemu výrazu: 132,5 0,0034.

Významné časti: 1325 a 34;
Ich súčin: 1325 34 = 45 050;
V prvom zlomku sa desatinná čiarka posúva doprava o 1 číslicu a v druhom až o 4. Celkom: 5 doprava. Vykonávame posun o 5 doľava: 45050 → ,45050 = 0,4505. Nula bola na konci odstránená a pridaná dopredu, aby nezostala „holá“ desatinná čiarka.

Nasledujúci výraz: 0,0108 1600,5.

Píšeme významné časti: 108 a 16 005;
Vynásobíme ich: 108 16 005 = 1 728 540;
Počítame čísla za desatinnou čiarkou: v prvom čísle sú 4, v druhom - 1. Celkovo - opäť 5. Máme: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Na konci bola „extra“ nula odstránená.

Nakoniec posledný výraz: 5,25 10 000.

Významné časti: 525 a 1;
Vynásobíme ich: 525 1 = 525;
Prvý zlomok je posunutý o 2 číslice doprava a druhý zlomok je posunutý o 4 číslice doľava (10 000 → 1 0000 = 1). Celkom 4 − 2 = 2 číslice vľavo. Prevedieme spätný posun o 2 číslice doprava: 525, → 52 500 (museli sme pridať nuly).

Venujte pozornosť poslednému príkladu: keďže sa desatinná čiarka pohybuje rôznymi smermi, celkový posun je cez rozdiel. Toto je veľmi dôležitý bod! Tu je ďalší príklad:

Zoberme si čísla 1,5 a 12 500. Máme: 1,5 → 15 (posun o 1 doprava); 12 500 → 125 (posun 2 doľava). „Vykročíme“ o 1 číslicu doprava a potom o 2 číslice doľava. V dôsledku toho sme ustúpili 2 − 1 = 1 číslica doľava.

Desatinné delenie

Divízia je snáď najviac komplikovaná operácia. Samozrejme, tu môžete konať analogicky s násobením: rozdeliť významné časti a potom „presunúť“ desatinnú čiarku. Ale v tomto prípade existuje veľa jemností, ktoré negujú potenciálne úspory.

Pozrime sa teda na generický algoritmus, ktorý je o niečo dlhší, ale oveľa spoľahlivejší:

Preveďte všetky desatinné miesta na bežné zlomky. S trochou cviku vám tento krok zaberie pár sekúnd;
Rozdeľte výsledné frakcie klasickým spôsobom. Inými slovami, vynásobte prvý zlomok "prevrátenou" sekundou (pozri lekciu "Násobenie a delenie číselných zlomkov");
Ak je to možné, vráťte výsledok ako desatinné číslo. Aj tento krok je rýchly, pretože často má menovateľ už mocninu desať.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

3,51: 3,9;

1,47: 2,1;

6,4: 25,6:

0,0425: 2,5;

0,25: 0,002.

Berieme do úvahy prvý výraz. Najprv preveďme zlomky obi na desatinné miesta:

To isté urobíme s druhým výrazom. Čitateľ prvého zlomku sa opäť rozloží na faktory:

V treťom a štvrtom príklade je dôležitý bod: po zbavení sa desatinného zápisu sa objavia zrušiteľné zlomky. Toto zníženie však nevykonáme.

Posledný príklad je zaujímavý, pretože čitateľ druhého zlomku je prvočíslo. Jednoducho tu nie je čo faktorizovať, takže to považujeme za „prázdne“:

Niekedy výsledkom delenia je celé číslo (hovorím o poslednom príklade). V tomto prípade sa tretí krok vôbec nevykoná.

Okrem toho sa pri delení často objavujú „škaredé“ zlomky, ktoré sa nedajú previesť na desatinné miesta. Tu sa delenie líši od násobenia, kde sú výsledky vždy vyjadrené v desatinnej forme. Samozrejme, v tomto prípade sa posledný krok opäť nevykoná.

Venujte pozornosť aj 3. a 4. príkladu. V nich zámerne neznižujeme bežné zlomky odvodené od desatinných miest. V opačnom prípade to skomplikuje inverzný problém - predstavuje konečnú odpoveď opäť v desiatkovej forme.

Pamätajte: základná vlastnosť zlomku (ako každé iné pravidlo v matematike) sama o sebe neznamená, že sa musí aplikovať všade a vždy, pri každej príležitosti.

ja Ak chcete deliť desatinný zlomok prirodzeným číslom, musíte zlomok vydeliť týmto číslom, pretože prirodzené čísla sa delia a vkladajú do súkromnej čiarky, keď je delenie celej časti ukončené.

Príklady.

Vykonajte rozdelenie: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.

Riešenie.

Príklad 1) 96,25: 5.

Delíme „rohom“ rovnakým spôsobom, ako sa delia prirodzené čísla. Potom, čo si stiahneme číslo 2 (počet desatín je prvá číslica za desatinnou čiarkou v zázname o dividende 96, 2 5), do kvocientu vložte čiarku a pokračujte v delení.

Odpoveď: 19,25.

Príklad 2) 4,78: 4.

Delíme tak, ako delíme prirodzené čísla. V súkromí dajte čiarku, len čo búrame 7 - prvá číslica za desatinnou čiarkou v dividende 4, 7 8. Pokračujeme v delení ďalej. Pri odčítaní 38-36 dostaneme 2, ale delenie nie je ukončené. Ako sa máme? Vieme, že na koniec desatinného zlomku je možné pridať nuly – tým sa hodnota zlomku nezmení. Priradíme nulu a 20 vydelíme 4. Dostaneme 5 - delenie je ukončené.

Odpoveď: 1,195.

Príklad 3) 183,06: 45.

Vydeľte ako 18306 číslom 45. V kvociente dajte čiarku hneď, ako číslo zmenšíme 0 - prvá číslica za desatinnou čiarkou v dividende 183, 0 6. Rovnako ako v príklade 2) sme museli k číslu 36 priradiť nulu - rozdiel medzi číslami 306 a 270.

Odpoveď: 4,068.

Záver: pri delení desatinného zlomku prirodzeným číslom v súkromné dať čiarku hneď po zbúraní číslice na mieste desatiny dividendy. Poznámka: všetky sú zvýraznené čísla v červenej farbe v týchto troch príkladoch patria do kategórie desatiny dividendy.

II. Ak chcete deliť desatinné číslo 10, 100, 1000 atď., musíte posunúť čiarku doľava o 1, 2, 3 atď. číslice.

Príklady.

Vykonajte rozdelenie: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.

Riešenie.

Posunutie čiarky doľava závisí od toho, koľko núl za jednotkou je v deliteľovi. Takže pri delení desatinného zlomku o 10 budeme niesť v deliteľnom čiarka doľava o jednu číslicu; pri delení podľa 100 - posuňte čiarku vľavo o dve číslice; pri delení podľa 1000 prevod v danom desatinnom zlomku čiarka tri číslice vľavo.

V tomto návode sa pozrieme na každú z týchto operácií jednu po druhej.

Obsah lekcie

Pridávanie desatinných miest

Ako vieme, desatinné číslo má celú a zlomkovú časť. Pri pridávaní desatinných miest sa celé číslo a zlomkové časti pridávajú oddelene.

Pridajme napríklad desatinné miesta 3,2 a 5,3. Je vhodnejšie pridať desatinné zlomky do stĺpca.

Najprv zapíšeme tieto dva zlomky do stĺpca, pričom celé čísla musia byť pod celými časťami a zlomkové pod zlomkové časti. V škole je táto požiadavka tzv "čiarka pod čiarkou".

Zlomky napíšeme do stĺpca tak, aby bola čiarka pod čiarkou:

Začneme pridávať zlomkové časti: 2 + 3 \u003d 5. Päť zapíšeme do zlomkovej časti našej odpovede:

Teraz spočítame celé časti: 3 + 5 = 8. Osem zapíšeme do celočíselnej časti našej odpovede:

Teraz oddelíme celočíselnú časť od zlomkovej časti čiarkou. Aby sme to dosiahli, opäť sa riadime pravidlom "čiarka pod čiarkou":

Odpoveď som dostal 8.5. Takže výraz 3,2 + 5,3 sa rovná 8,5

V skutočnosti nie je všetko také jednoduché, ako sa na prvý pohľad zdá. Aj tu sú úskalia, o ktorých si teraz povieme.

Miesta v desatinných číslach

Desatinné čísla, rovnako ako bežné čísla, majú svoje vlastné číslice. Toto sú desiate miesta, sté miesta, tisíciny. V tomto prípade číslice začínajú za desatinnou čiarkou.

Prvá číslica za desatinnou čiarkou zodpovedá za desatinné miesto, druhá číslica za desatinnou čiarkou za desatinné miesto, tretia číslica za desatinnou čiarkou za tisícinu.

Číslice v desatinných zlomkoch ukladajú niektoré užitočná informácia. Predovšetkým uvádzajú, koľko desatín, stotín a tisícin je v desatinnej čiarke.

Uvažujme napríklad desatinné číslo 0,345

Pozícia, kde sa nachádza trojka, je tzv desiate miesto

Pozícia, kde sa štvorka nachádza, sa nazýva stotinové miesto

Pozícia, kde sa nachádza päťka, sa nazýva tisíciny

Pozrime sa na toto číslo. Vidíme, že v kategórii desatiniek je trojka. To naznačuje, že v desatinnom zlomku 0,345 sú tri desatiny.

Ak sčítame zlomky, dostaneme pôvodný desatinný zlomok 0,345

Je vidieť, že najprv sme dostali odpoveď, ale previedli sme ju na desatinný zlomok a dostali sme 0,345.

Pri sčítavaní desatinných zlomkov sa postupuje podľa rovnakých zásad a pravidiel ako pri sčítavaní obyčajných čísel. Sčítanie desatinných zlomkov prebieha po čísliciach: desatiny sa pripočítavajú k desatinám, stotiny k stotinám, tisíciny k tisícinám.

Preto pri pridávaní desatinných zlomkov je potrebné dodržiavať pravidlo "čiarka pod čiarkou". Čiarka pod čiarkou poskytuje rovnaké poradie, v ktorom sa pridávajú desatiny k desatinám, stotiny až stotiny, tisíciny až tisíciny.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu 1,5 + 3,4

Najprv sčítame zlomkové časti 5 + 4 = 9. Deväť zapíšeme do zlomkovej časti našej odpovede:

Teraz spočítame celé časti 1 + 3 = 4. Zapíšeme štyri v celočíselnej časti našej odpovede:

Teraz oddelíme celočíselnú časť od zlomkovej časti čiarkou. Aby sme to dosiahli, opäť dodržiavame pravidlo „čiarka pod čiarkou“:

Odpoveď som dostal 4.9. Takže hodnota výrazu 1,5 + 3,4 je 4,9

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu: 3,51 + 1,22

Tento výraz zapíšeme do stĺpca, pričom dodržíme pravidlo „čiarka pod čiarkou“

Najprv pridajte zlomkovú časť, konkrétne stotiny 1+2=3. Trojku píšeme v stotej časti našej odpovede:

Teraz pridajte desatiny 5+2=7. Sedem si zapíšeme do desiatej časti našej odpovede:

Teraz pridajte celé časti 3+1=4. Zapíšeme štyri v celej časti našej odpovede:

Celú časť oddeľujeme od zlomkovej časti čiarkou, pričom dodržiavame pravidlo „čiarka pod čiarkou“:

Dostal som odpoveď 4,73. Takže hodnota výrazu 3,51 + 1,22 je 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Rovnako ako pri obyčajných číslach, pri sčítaní desatinných zlomkov platí . V tomto prípade sa do odpovede zapíše jedna číslica a zvyšok sa prenesie na ďalšiu číslicu.

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu 2,65 + 3,27

Tento výraz zapíšeme do stĺpca:

Pridajte stotiny 5+7=12. Číslo 12 sa nezmestí do stotiny našej odpovede. Preto v stotej časti napíšeme číslo 2 a prenesieme jednotku na ďalší bit:

Teraz sčítame desatiny 6+2=8 plus jednotku, ktorú sme dostali z predchádzajúcej operácie, dostaneme 9. Do desatiny našej odpovede napíšeme číslo 9:

Teraz pridajte celé časti 2+3=5. Do celočíselnej časti našej odpovede napíšeme číslo 5:

Dostal som odpoveď 5,92. Takže hodnota výrazu 2,65 + 3,27 je 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Príklad 4 Nájdite hodnotu výrazu 9,5 + 2,8

Napíšte tento výraz do stĺpca

Sčítame zlomkové časti 5 + 8 = 13. Číslo 13 sa nezmestí do zlomkovej časti našej odpovede, preto si najskôr zapíšeme číslo 3, a jednotku prenesieme na ďalšiu číslicu, alebo radšej prenesieme na celé číslo. časť:

Teraz sčítame celé časti 9+2=11 plus jednotku, ktorú sme dostali z predchádzajúcej operácie, dostaneme 12. Do celočíselnej časti našej odpovede napíšeme číslo 12:

Celú časť oddeľte od zlomkovej časti čiarkou:

Odpoveď som dostal 12.3. Takže hodnota výrazu 9,5 + 2,8 je 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Pri sčítavaní desatinných zlomkov musí byť počet číslic za desatinnou čiarkou v oboch zlomkoch rovnaký. Ak nie je dostatok číslic, potom sú tieto miesta v zlomkovej časti vyplnené nulami.

Príklad 5. Nájdite hodnotu výrazu: 12,725 + 1,7

Pred napísaním tohto výrazu do stĺpca urobme rovnaký počet číslic za desatinnou čiarkou v oboch zlomkoch. Desatinný zlomok 12,725 má za desatinnou čiarkou tri číslice, zatiaľ čo zlomok 1,7 iba jednu. Takže v zlomku 1,7 na konci musíte pridať dve nuly. Potom dostaneme zlomok 1 700. Teraz môžete tento výraz zapísať do stĺpca a začať počítať:

Pridajte tisíciny z 5+0=5. Číslo 5 napíšeme do tisíciny našej odpovede:

Pridajte stotiny 2+0=2. Číslo 2 napíšeme do stej časti našej odpovede:

Pridajte desatiny 7+7=14. Číslo 14 sa nezmestí do desatiny našej odpovede. Preto si najprv zapíšeme číslo 4 a prenesieme jednotku na ďalší bit:

Teraz sčítame celé časti 12+1=13 plus jednotku, ktorú sme dostali z predchádzajúcej operácie, dostaneme 14. Do celočíselnej časti našej odpovede napíšeme číslo 14:

Celú časť oddeľte od zlomkovej časti čiarkou:

Dostal som odpoveď 14 425. Takže hodnota výrazu 12,725+1,700 je 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Odčítanie desatinných miest

Pri odčítaní desatinných zlomkov musíte dodržiavať rovnaké pravidlá ako pri pridávaní: „čiarka pod čiarkou“ a „rovnaký počet číslic za desatinnou čiarkou“.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu 2,5 − 2,2

Tento výraz zapíšeme do stĺpca, pričom dodržíme pravidlo „čiarka pod čiarkou“:

Vypočítame zlomkovú časť 5−2=3. V desiatej časti našej odpovede píšeme číslo 3:

Vypočítajte časť celého čísla 2−2=0. Do celočíselnej časti našej odpovede napíšeme nulu:

Celú časť oddeľte od zlomkovej časti čiarkou:

Dostali sme odpoveď 0,3. Takže hodnota výrazu 2,5 − 2,2 sa rovná 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 7,353 - 3,1

V tomto výraze iná sumačíslice za desatinnou čiarkou. V zlomku 7,353 sú za desatinnou čiarkou tri číslice a v zlomku 3,1 len jedna. To znamená, že v zlomku 3.1 treba na koniec pridať dve nuly, aby bol počet číslic v oboch zlomkoch rovnaký. Potom dostaneme 3100.

Teraz môžete tento výraz napísať do stĺpca a vypočítať ho:

Dostal som odpoveď 4,253. Takže hodnota výrazu 7,353 − 3,1 je 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Rovnako ako pri bežných číslach, niekedy si budete musieť požičať jedno zo susedného bitu, ak je odčítanie nemožné.

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu 3,46 − 2,39

Odčítajte stotiny 6-9. Od čísla 6 neodčítajte číslo 9. Preto musíte zobrať jednotku zo susednej číslice. Po požičaní jedničky zo susednej číslice sa číslo 6 zmení na číslo 16. Teraz môžeme vypočítať stotiny z 16−9=7. Sedem zapíšeme do stej časti našej odpovede:

Teraz odčítajte desatiny. Keďže sme brali jednu jednotku v kategórii desatiny, číslo, ktoré sa tam nachádzalo, sa znížilo o jednotku. Inými slovami, desiate miesto teraz nie je číslo 4, ale číslo 3. Vypočítajme desatiny z 3−3=0. V desiatej časti našej odpovede píšeme nulu:

Teraz odčítajte časti celého čísla 3−2=1. Jednotku zapíšeme do celočíselnej časti našej odpovede:

Celú časť oddeľte od zlomkovej časti čiarkou:

Dostal som odpoveď 1.07. Takže hodnota výrazu 3,46−2,39 sa rovná 1,07

3,46−2,39=1,07

Príklad 4. Nájdite hodnotu výrazu 3−1.2

Tento príklad odpočítava desatinné číslo od celého čísla. Napíšme tento výraz do stĺpca tak, aby celá časť desatinného zlomku 1,23 bola pod číslom 3

Teraz urobme rovnaký počet číslic za desatinnou čiarkou. Ak to chcete urobiť, za číslom 3 vložte čiarku a pridajte jednu nulu:

Teraz odčítajte desatiny: 0-2. Od nuly neodčítajte číslo 2. Preto je potrebné vziať jednotku zo susednej číslice. Požičaním jedničky zo susednej číslice sa 0 zmení na číslo 10. Teraz môžete vypočítať desatiny z 10−2=8. Osem si zapíšeme do desiatej časti našej odpovede:

Teraz odčítajte celé časti. Predtým sa číslo 3 nachádzalo v celom čísle, ale jednu jednotku sme si z neho požičali. V dôsledku toho sa zmenil na číslo 2. Preto odpočítame 1 od 2. 2−1=1. Jednotku zapíšeme do celočíselnej časti našej odpovede:

Celú časť oddeľte od zlomkovej časti čiarkou:

Odpoveď som dostal 1.8. Takže hodnota výrazu 3−1,2 je 1,8

Desatinné násobenie

Násobenie desatinných miest je jednoduché a dokonca zábavné. Ak chcete násobiť desatinné miesta, musíte ich vynásobiť ako bežné čísla, pričom čiarky ignorujte.

Po prijatí odpovede je potrebné oddeliť celú časť od zlomkovej časti čiarkou. Ak to chcete urobiť, musíte spočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v oboch zlomkoch, potom spočítať rovnaký počet číslic vpravo v odpovedi a dať čiarku.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu 2,5 × 1,5

Tieto desatinné zlomky vynásobíme ako obyčajné čísla, čiarky ignorujeme. Ak chcete čiarky ignorovať, môžete si dočasne predstaviť, že úplne chýbajú:

Dostali sme 375. V tomto čísle je potrebné oddeliť celú časť od zlomkovej časti čiarkou. Aby ste to dosiahli, musíte spočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v zlomkoch 2,5 a 1,5. V prvom zlomku je za desatinnou čiarkou jedna číslica, v druhom zlomku je tiež jedna. Celkovo dve čísla.

Vraciame sa k číslu 375 a začíname sa pohybovať sprava doľava. Musíme spočítať dve číslice sprava a dať čiarku:

Dostal som odpoveď 3,75. Takže hodnota výrazu 2,5 × 1,5 je 3,75

2,5 x 1,5 = 3,75

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 12,85 × 2,7

Vynásobme tieto desatinné miesta, pričom čiarky ignorujeme:

Dostali sme 34695. V tomto čísle musíte oddeliť celú časť od zlomkovej časti čiarkou. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v zlomkoch 12,85 a 2,7. V zlomku 12,85 sú za desatinnou čiarkou dve číslice, v zlomku 2,7 jedna číslica - spolu tri číslice.

Vraciame sa k číslu 34695 a začíname sa pohybovať sprava doľava. Musíme spočítať tri číslice sprava a dať čiarku:

Dostal som odpoveď 34 695. Takže hodnota výrazu 12,85 × 2,7 je 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Násobenie desatinného čísla obyčajným číslom

Niekedy nastanú situácie, keď potrebujete vynásobiť desatinný zlomok bežným číslom.

Ak chcete vynásobiť desatinné a obyčajné číslo, musíte ich vynásobiť bez ohľadu na čiarku v desatinnej čiarke. Po prijatí odpovede je potrebné oddeliť celú časť od zlomkovej časti čiarkou. Ak to chcete urobiť, musíte spočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v desatinnom zlomku, potom v odpovedi spočítať rovnaký počet číslic vpravo a dať čiarku.

Napríklad vynásobte 2,54 číslom 2

Desatinný zlomok 2,54 vynásobíme obvyklým číslom 2, pričom čiarku ignorujeme:

Dostali sme číslo 508. V tomto čísle je potrebné oddeliť časť celého čísla od zlomkovej časti čiarkou. Aby ste to dosiahli, musíte spočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v zlomku 2,54. Zlomok 2,54 má za desatinnou čiarkou dve číslice.

Vraciame sa k číslu 508 a začíname sa pohybovať sprava doľava. Musíme spočítať dve číslice sprava a dať čiarku:

Odpoveď som dostal 5.8. Takže hodnota výrazu 2,54 × 2 je 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Násobenie desatinných miest 10, 100, 1000

Násobenie desatinných miest 10, 100 alebo 1000 sa vykonáva rovnakým spôsobom ako násobenie desatinných miest bežnými číslami. Je potrebné vykonať násobenie, ignorovať čiarku v desatinnom zlomku, potom v odpovedi oddeliť časť celého čísla od zlomkovej časti a počítať rovnaký počet číslic napravo, koľko bolo číslic za desatinnou čiarkou v desatinnej čiarke zlomok.

Napríklad vynásobte 2,88 číslom 10

Vynásobme desatinný zlomok 2,88 10, pričom čiarku v desatinnom zlomku ignorujeme:

Dostali sme 2880. V tomto čísle je potrebné oddeliť celú časť od zlomkovej časti čiarkou. Ak to chcete urobiť, musíte spočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v zlomku 2,88. Vidíme, že v zlomku 2,88 sú za desatinnou čiarkou dve číslice.

Vraciame sa k číslu 2880 a začíname sa pohybovať sprava doľava. Musíme spočítať dve číslice sprava a dať čiarku:

Dostal som odpoveď 28.80. Poslednú nulu vyhodíme - dostaneme 28.8. Takže hodnota výrazu 2,88 × 10 je 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Existuje druhý spôsob, ako vynásobiť desatinné zlomky 10, 100, 1000. Táto metóda je oveľa jednoduchšia a pohodlnejšia. Spočíva v tom, že čiarka v desatinnom zlomku sa posunie doprava o toľko číslic, koľko núl je v násobidle.

Napríklad predchádzajúci príklad 2,88×10 vyriešime týmto spôsobom. Bez uvedenia akýchkoľvek výpočtov sa okamžite pozrieme na faktor 10. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že má jednu nulu. Teraz v zlomku 2,88 posunieme desatinnú čiarku doprava o jednu číslicu, dostaneme 28,8.

2,88 x 10 = 28,8

Skúsme vynásobiť 2,88 číslom 100. Hneď sa pozrieme na faktor 100. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že má dve nuly. Teraz v zlomku 2,88 posunieme desatinnú čiarku doprava o dve číslice, dostaneme 288

2,88 x 100 = 288

Skúsme vynásobiť 2,88 číslom 1000. Hneď sa pozrieme na faktor 1000. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že má tri nuly. Teraz v zlomku 2,88 posunieme desatinnú čiarku doprava o tri číslice. Tretia číslica tam nie je, preto pridáme ďalšiu nulu. Výsledkom je 2880.

2,88 x 1 000 = 2 880

Násobenie desatinných miest 0,1 0,01 a 0,001

Násobenie desatinných miest 0,1, 0,01 a 0,001 funguje rovnakým spôsobom ako násobenie desatinného miesta desatinným číslom. Je potrebné násobiť zlomky ako obyčajné čísla a do odpovede dať čiarku, pričom treba počítať toľko číslic vpravo, koľko je číslic za desatinnou čiarkou v oboch zlomkoch.

Napríklad vynásobte 3,25 číslom 0,1

Tieto zlomky násobíme ako obyčajné čísla, čiarky ignorujeme:

Dostali sme 325. V tomto čísle je potrebné oddeliť celú časť od zlomkovej časti čiarkou. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v zlomkoch 3,25 a 0,1. V zlomku 3,25 sú za desatinnou čiarkou dve číslice, v zlomku 0,1 jedna číslica. Spolu tri čísla.

Vraciame sa k číslu 325 a začíname sa pohybovať sprava doľava. Musíme spočítať tri číslice vpravo a dať čiarku. Po spočítaní troch číslic zistíme, že číslam je koniec. V tomto prípade musíte pridať jednu nulu a dať čiarku:

Dostali sme odpoveď 0,325. Takže hodnota výrazu 3,25 × 0,1 je 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Existuje druhý spôsob, ako násobiť desatinné miesta 0,1, 0,01 a 0,001. Táto metóda je oveľa jednoduchšia a pohodlnejšia. Spočíva v tom, že čiarka v desatinnom zlomku sa posunie doľava o toľko číslic, koľko núl je v násobidle.

Napríklad predchádzajúci príklad 3,25 × 0,1 vyriešime týmto spôsobom. Bez akýchkoľvek výpočtov sa okamžite pozrieme na faktor 0,1. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že má jednu nulu. Teraz v zlomku 3,25 posunieme desatinnú čiarku doľava o jednu číslicu. Posunutím čiarky o jednu číslicu doľava vidíme, že pred tromi už nie sú žiadne ďalšie číslice. V tomto prípade pridajte jednu nulu a vložte čiarku. V dôsledku toho dostaneme 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Skúsme vynásobiť 3,25 číslom 0,01. Okamžite sa pozrite na multiplikátor 0,01. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že má dve nuly. Teraz v zlomku 3,25 posunieme čiarku doľava o dve číslice, dostaneme 0,0325

3,25 x 0,01 = 0,0325

Skúsme vynásobiť 3,25 číslom 0,001. Okamžite sa pozrite na multiplikátor 0,001. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že má tri nuly. Teraz v zlomku 3,25 posunieme desatinnú čiarku doľava o tri číslice, dostaneme 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Nezamieňajte násobenie desatinných miest 0,1, 0,001 a 0,001 s násobením 10, 100, 1000. Bežná chyba väčšina ľudí.

Pri násobení 10, 100, 1000 sa čiarka posunie doprava o toľko číslic, koľko núl je v násobidle.

A pri násobení 0,1, 0,01 a 0,001 sa čiarka posunie doľava o toľko číslic, koľko je núl v násobidle.

Ak je to spočiatku ťažké zapamätať, môžete použiť prvú metódu, v ktorej sa násobenie vykonáva ako pri bežných číslach. V odpovedi budete musieť oddeliť časť celého čísla od zlomkovej časti tak, že spočítate toľko číslic napravo, koľko je číslic za desatinnou čiarkou v oboch zlomkoch.

Delenie menšieho čísla väčším. Pokročilá úroveň.

V jednej z predchádzajúcich lekcií sme si povedali, že pri delení menšieho čísla väčším dostaneme zlomok, v čitateli ktorého je dividenda a v menovateli deliteľ.

Ak chcete napríklad rozdeliť jedno jablko na dve, musíte do čitateľa napísať 1 (jedno jablko) a do menovateľa napísať 2 (dvaja priatelia). Výsledkom je zlomok. Takže každý priateľ dostane jablko. Inými slovami, polovica jablka. Zlomok je odpoveďou na problém ako rozdeliť jedno jablko medzi dve

Ukázalo sa, že tento problém môžete ďalej vyriešiť, ak vydelíte 1 číslom 2. Koniec koncov, zlomková čiara v ľubovoľnom zlomku znamená delenie, čo znamená, že toto delenie je povolené aj v zlomku. Ale ako? Sme zvyknutí, že dividenda je vždy väčšia ako deliteľ. A tu je naopak dividenda menšia ako deliteľ.

Všetko sa vyjasní, ak si zapamätáme, že zlomok znamená drvenie, delenie, delenie. To znamená, že jednotku možno rozdeliť na toľko častí, koľko chcete, a nie iba na dve časti.

Pri delení menšieho čísla väčším sa získa desatinný zlomok, v ktorom bude celá časť 0 (nula). Zlomková časť môže byť čokoľvek.

Vydeľme teda 1 2. Vyriešme tento príklad s rohom:

Človek sa nedá len tak rozdeliť na dve časti. Ak položíte otázku "koľko dvoch je v jednom" , potom bude odpoveď 0. Preto v súkromí napíšeme 0 a dáme čiarku:

Teraz, ako obvykle, vynásobíme podiel deliteľom, aby sme vytiahli zvyšok:

Nastal moment, kedy je možné jednotku rozdeliť na dve časti. Ak to chcete urobiť, pridajte ďalšiu nulu napravo od prijatej:

Dostali sme 10. 10 vydelíme 2, dostaneme 5. Päť zapíšeme do zlomkovej časti našej odpovede:

Teraz vyberieme posledný zvyšok na dokončenie výpočtu. Vynásobte 5 x 2, dostaneme 10

Dostali sme odpoveď 0,5. Takže zlomok je 0,5

Polovicu jablka je možné zapísať aj pomocou desatinného zlomku 0,5. Ak spočítame tieto dve polovice (0,5 a 0,5), dostaneme opäť pôvodné jedno celé jablko:

Tento bod možno pochopiť aj vtedy, ak si predstavíme, ako sa 1 cm delí na dve časti. Ak rozdelíte 1 centimeter na 2 časti, dostanete 0,5 cm

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 4:5

Koľko pätiek je v štyroch? Vôbec nie. Píšeme súkromne 0 a dáme čiarku:

Vynásobíme 0 5, dostaneme 0. Pod štvorku napíšeme nulu. Okamžite odpočítajte túto nulu od dividendy:

Teraz začneme štvoricu deliť (rozdeľovať) na 5 častí. Aby sme to urobili, napravo od 4 pripočítame nulu a vydelíme 40 5, dostaneme 8. Osmičku píšeme súkromne.

Príklad dokončíme vynásobením 8 x 5 a dostaneme 40:

Dostali sme odpoveď 0,8. Takže hodnota výrazu 4: 5 je 0,8

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu 5: 125

Koľko čísel 125 je v piatich? Vôbec nie. Súkromne napíšeme 0 a dáme čiarku:

Vynásobíme 0 5, dostaneme 0. Pod päťku napíšeme 0. Okamžite odpočítajte od piatich 0

Teraz začneme deliť (rozdeľovať) päťku na 125 častí. Aby sme to dosiahli, napravo od tejto päťky napíšeme nulu:

Vydeľte 50 číslom 125. Koľko čísel 125 je v 50? Vôbec nie. Takže v kvociente opäť napíšeme 0

Vynásobíme 0 125, dostaneme 0. Túto nulu napíšeme pod 50. Hneď od 50 odčítame 0

Teraz rozdelíme číslo 50 na 125 častí. Aby sme to urobili, napravo od 50 napíšeme ďalšiu nulu:

Vydeľte 500 číslom 125. Koľko čísel je 125 v čísle 500. V čísle 500 sú štyri čísla 125. Štyri píšeme súkromne:

Príklad dokončíme vynásobením 4 číslom 125 a dostaneme 500

Dostali sme odpoveď 0,04. Takže hodnota výrazu 5:125 je 0,04

Delenie čísel bez zvyšku

Dajme teda do podielu za jednotkou čiarku, čím označíme, že delenie celých častí je ukončené a prejdeme k zlomkovej časti:

Pridajte nulu k zvyšku 4

Teraz vydelíme 40 5, dostaneme 8. Osem píšeme súkromne:

40-40=0. Prijaté 0 vo zvyšku. Rozdelenie je teda úplne dokončené. Delením 9 5 získame desatinné číslo 1,8:

9: 5 = 1,8

Príklad 2. Vydeľte 84 číslom 5 bezo zvyšku

Najprv vydelíme 84 5 ako obvykle so zvyškom:

Prijaté v súkromí 16 a 4 ďalšie v zostatku. Teraz tento zvyšok vydelíme 5. Do súkromného čísla vložíme čiarku a k zvyšku 4 pridáme 0

Teraz vydelíme 40 5, dostaneme 8. Osem zapíšeme do podielu za desatinnou čiarkou:

a dokončite príklad kontrolou, či je tam ešte zvyšok:

Delenie desatinnej čiarky bežným číslom

Desatinný zlomok, ako vieme, pozostáva z celého čísla a zlomkovej časti. Pri delení desatinného zlomku bežným číslom v prvom rade potrebujete:

vydeľte celú časť desatinného zlomku týmto číslom;
po rozdelení celočíselnej časti musíte do súkromnej časti okamžite vložiť čiarku a pokračovať vo výpočte ako pri bežnom delení.

Napríklad vydeľme 4,8 2

Napíšme tento príklad ako roh:

Teraz vydelme celú časť 2. Štyri delené dvoma sú dve. Dvojku napíšeme súkromne a okamžite dáme čiarku:

Teraz vynásobíme podiel deliteľom a uvidíme, či existuje zvyšok z delenia:

4-4 = 0. Zvyšok je nula. Zatiaľ nepíšeme nulu, keďže riešenie nie je dokončené. Potom pokračujeme vo výpočte, ako pri bežnom delení. Zoberte 8 a vydeľte ho 2

8: 2 = 4. Štvorky zapíšeme do podielu a hneď ho vynásobíme deliteľom:

Odpoveď som dostal 2.4. Hodnota výrazu 4,8: 2 sa rovná 2,4

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 8,43:3

Vydelíme 8 číslom 3, dostaneme 2. Hneď za dvojku dajte čiarku:

Teraz vynásobíme podiel deliteľom 2 × 3 = 6. Šestku napíšeme pod osmičku a zvyšok nájdeme:

Vydelíme 24 3, dostaneme 8. Osmičku píšeme súkromne. Okamžite to vynásobíme deliteľom, aby sme našli zvyšok delenia:

24-24 = 0. Zvyšok je nula. Nula ešte nie je zaznamenaná. Vezmite posledné tri z dividend a vydeľte ich 3, dostaneme 1. Okamžite vynásobte 1 x 3, aby ste dokončili tento príklad:

Dostal som odpoveď 2,81. Takže hodnota výrazu 8,43: 3 sa rovná 2,81

Delenie desatinnej čiarky desatinnou čiarkou

Ak chcete rozdeliť desatinný zlomok na desatinný zlomok v deleni a v deliteľovi, posuňte čiarku doprava o rovnaký počet číslic, aký je za desatinnou čiarkou v deliteľovi, a potom vydeľte bežným číslom.

Napríklad vydeľte 5,95 číslom 1,7

Napíšme tento výraz ako roh

Teraz v deleni a v deliteľovi posunieme čiarku doprava o rovnaký počet číslic, koľko je za desatinnou čiarkou v deliteľovi. Deliteľ má jednu číslicu za desatinnou čiarkou. Čiarku teda musíme posunúť v dividende a v deliteľovi o jednu číslicu doprava. Prenáša sa:

Po posunutí desatinnej čiarky doprava o jednu číslicu sa desatinný zlomok 5,95 zmenil na zlomok 59,5. A desatinný zlomok 1,7 sa po posunutí desatinnej čiarky doprava o jednu číslicu zmenil na obvyklé číslo 17. A už vieme, ako sa desatinný zlomok delí obvyklým číslom. Ďalší výpočet nie je ťažký:

Čiarka je presunutá doprava, aby sa uľahčilo delenie. To je povolené vzhľadom na skutočnosť, že pri vynásobení alebo delení dividendy a deliteľa rovnakým číslom sa podiel nemení. Čo to znamená?

Toto je jeden z zaujímavé funkcie divízie. Nazýva sa to súkromný majetok. Uvažujme výraz 9: 3 = 3. Ak sa v tomto výraze delenec a deliteľ vynásobia alebo vydelia rovnakým číslom, potom sa podiel 3 nezmení.

Vynásobme dividendu a deliteľa 2 a uvidíme, čo sa stane:

(9 × 2): (3 × 2) = 18: 6 = 3

Ako vidno z príkladu, kvocient sa nezmenil.

To isté sa stane, keď nesieme čiarku v dividende a v deliteľovi. V predchádzajúcom príklade, kde sme vydelili 5,91 číslom 1,7, sme v dividende a deliteľovi posunuli čiarku o jedno číslo doprava. Po posunutí čiarky sa zlomok 5,91 previedol na zlomok 59,1 a zlomok 1,7 sa previedol na obvyklé číslo 17.

V skutočnosti sa v tomto procese uskutočnilo násobenie číslom 10. Takto to vyzeralo:

5,91 × 10 = 59,1

Preto počet číslic za desatinnou čiarkou v deliteľovi závisí od toho, čím sa bude delenec a deliteľ násobiť. Inými slovami, počet číslic za desatinnou čiarkou v deliteľovi určí, o koľko číslic v deliteľovi a v deliteľovi sa čiarka posunie doprava.

Desatinné delenie 10, 100, 1000

Delenie desatinného čísla 10, 100 alebo 1000 sa vykonáva rovnakým spôsobom ako . Napríklad vydeľme 2,1 10. Vyriešme tento príklad s rohom:

Existuje však aj druhý spôsob. Je ľahšia. Podstatou tejto metódy je, že čiarka v delenci sa posunie doľava o toľko číslic, koľko núl je v deliteľovi.

Vyriešme predchádzajúci príklad týmto spôsobom. 2,1: 10. Pozeráme sa na rozdeľovač. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že je tam jedna nula. Takže v deliteľnom 2.1 musíte posunúť čiarku doľava o jednu číslicu. Čiarku posunieme o jednu číslicu doľava a vidíme, že už nezostali žiadne číslice. V tomto prípade pred číslo pridáme ešte jednu nulu. V dôsledku toho dostaneme 0,21

Skúsme vydeliť 2,1 číslom 100. V čísle 100 sú dve nuly. Takže v deliteľnom 2.1 musíte posunúť čiarku doľava o dve číslice:

2,1: 100 = 0,021

Skúsme vydeliť 2,1 číslom 1000. V čísle 1000 sú tri nuly. Takže v deliteľnom 2.1 musíte posunúť čiarku doľava o tri číslice:

2,1: 1000 = 0,0021

Desatinné delenie 0,1, 0,01 a 0,001

Delenie desatinného čísla 0,1, 0,01 a 0,001 sa vykonáva rovnakým spôsobom ako . V dividende a v deliteľovi musíte posunúť čiarku doprava o toľko číslic, koľko je za desatinnou čiarkou v deliteľovi.

Napríklad vydeľme 6,3 číslom 0,1. V prvom rade posunieme čiarky v delenci a v deliteľovi doprava o rovnaký počet číslic, koľko je za desatinnou čiarkou v deliteľovi. Deliteľ má jednu číslicu za desatinnou čiarkou. Čiarky v dividende a v deliteľovi teda posunieme o jednu číslicu doprava.

Po posunutí desatinnej čiarky doprava o jednu číslicu sa desatinný zlomok 6,3 zmení na obvyklé číslo 63 a desatinný zlomok 0,1 po posunutí desatinnej čiarky doprava o jednu číslicu na jednotku. A delenie 63 číslom 1 je veľmi jednoduché:

Takže hodnota výrazu 6,3: 0,1 sa rovná 63

Existuje však aj druhý spôsob. Je ľahšia. Podstatou tejto metódy je, že čiarka v dividende sa prenesie doprava o toľko číslic, koľko núl je v deliteľovi.

Vyriešme predchádzajúci príklad týmto spôsobom. 6,3:0,1. Pozrime sa na rozdeľovač. Zaujíma nás, koľko núl je v ňom. Vidíme, že je tam jedna nula. Takže v deliteľnom 6.3 musíte posunúť čiarku doprava o jednu číslicu. Čiarku posunieme doprava o jednu číslicu a dostaneme 63

Skúsme vydeliť 6,3 číslom 0,01. Deliteľ 0,01 má dve nuly. Takže v deliteľnom 6.3 musíte posunúť čiarku doprava o dve číslice. Ale v dividende je len jedna číslica za desatinnou čiarkou. V tomto prípade treba na koniec pridať ešte jednu nulu. Výsledkom je 630

Skúsme vydeliť 6,3 číslom 0,001. Deliteľ 0,001 má tri nuly. Takže v deliteľnom 6.3 musíte posunúť čiarku doprava o tri číslice:

6,3: 0,001 = 6300

Úlohy na samostatné riešenie

Páčila sa vám lekcia?
Pridajte sa k nám nová skupina Vkontakte a začnite dostávať upozornenia o nových lekciách