Zaujímavým pojmom zo školských osnov sú opačné čísla, ktoré možno uvažovať matematicky aj geometricky. Pochopenie tejto témy zjednodušuje štúdium matematiky a umožňuje vám rýchlo sa vyrovnať s niektorými problémami - takže sa pozrieme na to, aké čísla sa nazývajú protiklady a aké pravidlá pre ne fungujú.
Čo je podstatou termínu?
Aby sme pochopili význam opačných čísel, vráťme sa na chvíľu ku geometrii. Nakreslíme súradnicovú čiaru a označíme na nej nulový bod a potom na čiaru umiestnime ďalšie dve značky - napríklad „2“ s pravá strana a "-2" naľavo od nuly. Samozrejme, z oboch bodov bude vzdialenosť k začiatku úplne rovnaká - a to sa dá ľahko overiť meraniami. „2“ a „-2“ sú v rovnakej vzdialenosti od nuly, ale v rôznych smeroch - podľa toho sú úplne opačné.
To je podstata. Čísla môžu byť podľa potreby veľké alebo malé, celé alebo zlomkové. Každý z nich má však určitý počet, ktorý je jeho presným opakom. Definícia môže byť daná nasledovne - ak na súradnicovej čiare z dvoch bodov umiestnených na oboch stranách nuly je možné vyčleniť rovnakú vzdialenosť od začiatku - tieto body, alebo presnejšie čísla, ktoré im zodpovedajú, budú opačné .
Aké pravidlá možno odvodiť z definície?
Stojí za to pripomenúť si niekoľko absolútnych vyhlásení týkajúcich sa uvažovanej témy:
- Princíp protikladov pre dve čísla funguje oboma spôsobmi. Napríklad číslo 3 je opačné k číslu -3 - a preto iba číslo 3 je opačné k číslu -3 a nie žiadne iné.
- Číslo nemôže mať dva protiklady – vždy je len jeden.
- Čísla s rôznymi znamienkami môžu byť oproti sebe. Ak je číslo kladné, jeho opačné číslo bude mať znamienko mínus - napríklad 5 a -5. To isté funguje v opačná strana- pre číslo so znamienkom mínus to bude vždy opačne ako so znamienkom plus - napríklad -6 a 6.
- Dve opačné čísla majú rovnaké absolútna hodnota alebo modul. Inými slovami, ak pre číslo 4
V tomto článku budeme skúmať opačné čísla. Tu odpovieme na otázku, aké čísla sa nazývajú protiklady, ukážeme, ako sa označuje opak daného čísla a uvedieme príklady. Uvedieme aj hlavné výsledky charakteristické pre opačné čísla.
Navigácia na stránke.
Určenie opačných čísel
Pomôže nám to získať predstavu o opačných číslach.
Označme nejaký bod M na súradnicovej čiare, odlišný od počiatku. Do bodu M sa môžeme dostať tak, že postupne odložíme jednotkový segment, ako aj jeho desatinu, stotinu atď., od začiatku v smere k bodu M. Ak nakreslíme rovnaký počet segmentov jednotky a jej podiely v opačnom smere, dostaneme sa do ďalšieho bodu, označeného písmenom N. Uveďme príklad na ilustráciu nášho konania (pozri obrázok nižšie). Aby sme sa dostali do bodu M na súradnicovej čiare, odložili sme dva segmenty jednotky a 4 segmenty, ktoré tvoria desatinu jednotky, v zápornom smere. Teraz položme dva segmenty jednotky a 4 segmenty, ktoré tvoria desatinu jednotky, v kladnom smere. To nám dá bod N.
Sme takmer pripravení pochopiť definíciu opačných čísel; zostáva len diskutovať o niekoľkých nuansách.
Vieme, že každý bod na súradnicovej čiare zodpovedá jednému reálnemu číslu, preto bod M aj bod N zodpovedajú niektorým reálnym číslam. Takže čísla zodpovedajúce bodom M a N sa nazývajú opačné.
Samostatne je potrebné povedať o bode O - pôvode. Bod O zodpovedá číslu 0. Číslo nula sa považuje za jeho opak.
Teraz môžeme hlasovať určenie opačných čísel.
Definícia.
Dve čísla sa nazývajú opačné, ak body na súradnicovej línii zodpovedajúce týmto číslam možno dosiahnuť odložením rovnakého počtu jednotkových segmentov z počiatku v opačných smeroch, ako aj zlomkov jednotkového segmentu, číslo 0 je opačné ako sám.
Zápis opačných čísel a príklady
Je čas vstúpiť symboly opačných čísel.
Na označenie opaku daného čísla použite znamienko mínus, ktoré sa píše pred daným číslom. To znamená, že číslo opačné k číslu a sa zapíše ako -a. Napríklad opačné číslo 0,24 je −0,24 a opačné číslo −25 je −(−25).
Dajme si príklady opačných čísel. Dvojica čísel 17 a -17 (alebo -17 a 17) je príkladom opačných celých čísel. Čísla a sú opačné racionálne čísla. Ďalšími príkladmi opačných racionálnych čísel sú dvojice čísel 5,126 a -5,126. ako aj 0,(1201) a -0,(1201) . Zostáva uviesť niekoľko príkladov opaku
Predmet
Typ lekcie
- štúdium a primárna asimilácia nového materiálu
Ciele lekcie
Naučte sa definície kladných, záporných a opačných čísel.
Nájdite opačné čísla pri riešení cvičení, pri riešení rovníc
Rozvojové – rozvíjať u žiakov pozornosť, vytrvalosť, vytrvalosť, logické myslenie, matematickú reč.
Vzdelávacie - prostredníctvom lekcie kultivujte pozorný postoj k sebe navzájom, vštepujte schopnosť počúvať kamarátov, vzájomnú pomoc a nezávislosť.
Ciele lekcie
Zistite, aké sú opačné čísla
Naučte sa používať tento koncept pri riešení problémov
Otestujte si zručnosti študentov pri riešení problémov.
Plán lekcie
1. Úvod.
2. Teoretická časť
3. Praktická časť.
4. Domáce úlohy.
5. Zaujímavosti
Úvod
Pozrite sa na obrázky a opíšte jedným slovom, čo je na nich iné.
Obrázky ukazujú protiklady.
- sú to dve čísla rovnaké v absolútnej hodnote, ale majúce rôzne znamenia, napr. 5 a -5.
Teoretická časť
Najprv si pripomeňme, čo to je záporné čísla. Pozri video:
Body so súradnicami 5 a -5 sú rovnako vzdialené od bodu O a nachádzajú sa na jeho opačných stranách. Aby ste sa dostali z bodu O do týchto bodov, musíte prejsť rovnaké vzdialenosti, ale v opačných smeroch. Volajú sa čísla 5 a -5 opačné čísla: 5 je opakom -5 a -5 je opakom 5.
Volajú sa dve čísla, ktoré sa od seba líšia iba znamienkami opačné čísla.
Napríklad opačné čísla by boli 35 a -35, pretože číslo 35 = +35, čo znamená, že čísla 35 a -35 sa líšia iba znamienkami. Opačné čísla budú tiež 0,8 a -0,8, ¾ a -¾.
Vlastnosti opačných čísel
1). Ku každému číslu pripadá len jedno opačné číslo.
2). Číslo 0 je opakom samého seba.
3). Opačné číslo a označujeme -a. Ak a = -7,8, potom -a = 7,8; ak a = 8,3, potom -a = -8,3; ak a = 0, potom -a = 0.
4). Označenie "-(-15)" znamená opačné číslo -15. Keďže opak -15 je 15, potom -(-15) = 15. Vo všeobecnosti -(-a) = a.
Volajú sa prirodzené čísla, ich protiklady a nula celé čísla.
Opačné číslo n" vo vzťahu k číslu n je číslo, ktoré po pridaní k n dáva nulu.
n + n" = 0
Túto rovnosť možno prepísať takto:
n + n" − n = 0 − n alebo n" = - n
teda opačné čísla majú rovnaké moduly, ale opačné znamienka.
Podľa toho sa opačné číslo n označuje − n. Keď je číslo kladné, jeho opačné číslo bude záporné a naopak.
1. Uveďte príklady opačných čísel.
2. Nakreslite ich na súradnicovú čiaru.
3. Pomenujte číslo oproti -3,6; 7; 0; 9. 8.; -1/2
Praktická časť
Príklad
1) Označte na súradnicovej čiare body A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5,2), F(5,2), G(-6) , H( 7). 2) Medzi týmito bodmi nájdite a označte tie, ktoré sú symetrické vzhľadom na bod O(0). Čo možno povedať o súradniciach symetrických bodov?
Body symetrické vzhľadom na bod O(0): A(2) a B(-2), E(- 5,2) a F(5,2)
Súradnice symetrických bodov sú čísla, ktoré sa líšia iba znamienkom. Takéto čísla sa nazývajú opak.
Na súradnicovej čiare označte body A(-3), B(+6), C(+4,2), D(+3), E(-4,2), F(-6) Čo poviete na tieto čísla ??
Z čísel 15; 2,5; – 2,5; - 18; 0; 45; – 45 vyber: a) prirodzené čísla; b) celé čísla; c) záporné čísla; d) kladné čísla; d) opačné čísla.
1) Napíšte opačné číslo a.
2) Uveďte číslo oproti číslu a, ak:
a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;
A = 6, -a = -2, -a = 3,4.
1) Zapamätajte si, čo záznam znamená: - (- a).
2) Umiestnite číslo namiesto *, aby ste získali správnu rovnosť: a) - (- 5) = *; b) 3 = – *.
Domáca úloha
1). Vyplňte tabuľku:
2). Nájdite: a) -m,
ak m = -8,
ak m = -16
ak -k = 27
ak -k = -35
ak c = 41
ak c = -3,6
3). Koľko párov opačných čísel sa nachádza medzi číslami -7,2 a 3,6. Označte na súradnicovej čiare.
4). Zistite meno vynikajúceho francúzskeho vedca:
Viete kde v Každodenný život stretávame sa s kladnými a zápornými číslami?
Zoznam použitých zdrojov
1. Matematická encyklopédia (v 5 zväzkoch). - M.: Sovietska encyklopédia, 2002. - T. 1.
2." Najnovší adresárškolák" "DOM XXI storočia" 2008
3. Zhrnutie lekcie na tému „Opačné čísla“ Autor: Petrova V.P., učiteľka matematiky (5. – 9. ročník), Kyjev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Česnokov, S.I. Shvartburd, V.I. Zhokhov, Matematika pre 6. ročník, Učebnica pre strednú školu
§ 1 Pojem kladného čísla
V tejto lekcii sa dozviete, aké čísla sa nazývajú protiklady, ako nájsť opačné číslo a tiež aké celé čísla a racionálne čísla.
Začnime s praktická práca. Na súradnicovej čiare označte body A(2) a B(-2). Sú symetrické a stred symetrie týchto bodov je počiatkom súradníc O(0), keďže vzdialenosť OA=OB.
Vidíme, že súradnice bodov symetrických podľa počiatku sú čísla, ktoré sa líšia iba znamienkom. Takéto čísla sa nazývajú protiklady.
Existuje ďalšia definícia opačných čísel. Aké sú absolútne hodnoty čísel 2 a -2? Rovné 2. Opačné čísla sú teda čísla, ktoré majú rovnaké moduly, ale líšia sa znamienkom.
Na označenie opaku daného čísla použite znamienko mínus, ktoré sa píše pred daným číslom. To znamená, že opačné číslo a je napísané ako -a. Napríklad číslo 0,24 je oproti číslu −0,24, číslo -25 je opačné číslo −(−25), ale číslo -25 na súradnici je oproti 25, čo znamená -(-25) = 25. Z toho vyplýva, že -( -a) = a a a = -(-a).
§ 2 Vlastnosti protiľahlých čísel
Zdôraznime niektoré vlastnosti opačných čísel.
Opak kladného čísla je záporný a opak záporného čísla je kladný. Je to pochopiteľné, pretože body súradnicovej čiary zodpovedajúce opačným číslam sú umiestnené na opačných stranách počiatku.
Ak je číslo a opačné k číslu b, potom b je opačné k a - vyplýva to z vlastnosti symetrie bodov na súradnicovej čiare.
Obráťme sa na súradnicovú čiaru. Koľko bodov je možné označiť na súradnicovej čiare, ktoré sú symetrické s daným vzhľadom na počiatok? Len jeden. To znamená, že pre každé číslo existuje iba jedno opačné číslo.
Iba jedno číslo je proti sebe - toto je číslo 0, pretože 0 = -0 (preto nie je zvykom písať -0).
Čísla s spoločný znak tvoria množinu (alebo skupinu), každá množina má svoj názov.
Pamätajme, že čísla, ktoré používame pri počítaní, sa nazývajú prirodzené čísla, tvoria množinu prirodzených čísel.
Pre každé prirodzené číslo môžete nájsť jeho opačné číslo. Prirodzené čísla, ich protiklady a číslo 0 sa nazývajú celé čísla.
Zlomkové čísla môžu byť tiež kladné alebo záporné. Všetky celé čísla a všetky zlomky sa nazývajú racionálne čísla. Tiež hovoria, že spolu tvoria množinu racionálnych čísel.
Zvýraznime ešte dve skupiny čísel. Zoberme si súradnicovú čiaru. Ak odstránite časť čiary, na ktorej sa nachádzajú záporné čísla, zostane vám lúč s kladné čísla a referenčné číslo 0. Zvyšné čísla sa nazývajú nezáporné, to znamená čísla, ktoré sú väčšie alebo rovné 0. Preto sú nezáporné čísla všetky záporné čísla a číslo 0, teda čísla, ktoré sú menšie ako alebo rovné 0.
Dnes sme sa naučili, čo sú opačné, celé, racionálne, nezáporné a nekladné čísla, a naučili sme sa nájsť opačné číslo daného čísla.
Zoznam použitej literatúry:
- Matematika 6. ročník: učebné plány k učebnici I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich //autor-zostavovateľ L.A. Topilina. Mnemosyne 2009
- Matematika. 6. ročník: učebnica pre žiakov vzdelávacie inštitúcie. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematika. 6. ročník: učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwartzburg. – M.: Mnemosyne, 2013.
- Príručka matematiky - http://lyudmilanik.com.ua
- Príručka pre študentov stredná škola http://shkolo.ru
V tomto článku sa pokúsime zistiť, čo sú opačné čísla. Vysvetlíme si, čo to je vo všeobecnosti, ukážeme si, aké konkrétne označenia sa pre ne používajú a pozrieme sa na pár príkladov. V poslednej časti materiálu uvedieme hlavné vlastnosti opačných čísel.
Aby sme vysvetlili samotný pojem protikladov, musíme najprv znázorniť súradnicovú čiaru. Zoberme si na ňom bod M (ale nie na samom začiatku odpočítavania). Jeho vzdialenosť k nule sa bude rovnať určitému počtu jednotkových segmentov, ktoré je možné rozdeliť na desatiny a stotiny. Ak nameriame rovnakú vzdialenosť od počiatku v opačnom smere, ako sa nachádza M, môžeme sa dostať do ďalšieho podobného bodu. Nazvime to N. Napríklad od M po nulu je vzdialenosť 2,4 segmentu jednotky a od N po nulu je rovnaká. Pozrite sa na obrázok:
Pripomeňme si, že každý bod na súradnicovej čiare môže byť spojený iba s jedným skutočným číslom. V tomto prípade našim bodom M a N zodpovedajú určité čísla, ktoré sa nazývajú opačné. Každé číslo má opačné číslo, okrem nuly. Keďže toto je začiatok odpočítavania, považuje sa za pravý opak.
Napíšme definíciu toho, čo sú opačné čísla:
Definícia 1
Naproti volajú sa čísla, ktoré zodpovedajú takým bodom na súradnicovej línii, do ktorých sa dostaneme, ak označíme rovnakú vzdialenosť od počiatku v rôznych smeroch (kladnom a zápornom). Nula je na začiatku a je protikladná k sebe.
Ako sa označujú opačné čísla?
V tejto časti si predstavíme základný zápis takýchto čísel. Ak máme určité číslo a potrebujeme si zapísať jeho opak, použijeme na to mínus.
Príklad 1
Povedzme, že naše číslo je a, teda jeho opak je a (mínus a). Presne rovnakým spôsobom pre 0,26 je opak - 0,26 a pre 145 to bude - 145. Ak je samotné pôvodné číslo záporné, napríklad - 9, potom zapíšeme opak ako - (- 9).
Aké ďalšie príklady opačných čísel môžete uviesť? Zoberme si celé čísla: 12 a - 12. Opačné racionálne čísla sú 3 2 11 a - 3 2 11, ako aj 8, 128 a − 8, 128, 0, (18901) a − 0, (18901) atď. Iracionálne čísla môžu byť aj opačné, napr. hodnoty číselné výrazy 2 + 1 a - 2 + 1.
Opačné iracionálne čísla budú tiež e a - e.
Základné vlastnosti opačných čísel
Takéto čísla majú určité vlastnosti. Nižšie uvádzame ich zoznam s vysvetleniami.
Definícia 2
1. Ak je pôvodné číslo kladné, jeho opak bude záporný.
Toto tvrdenie je zrejmé a vyplýva z vyššie uvedeného grafu: takéto čísla sú umiestnené na opačných stranách referenčnej čiary. Ak ste zabudli na pojmy pozitívne a záporné čísla, pozrite si materiál, ktorý sme zverejnili skôr.
Z tohto pravidla možno vyvodiť ďalšie veľmi dôležité tvrdenie. V doslovnej forme vyzerá jeho zápis takto: pre každé kladné a bude platiť − (− a) = a. Ukážme si na príklade, prečo je to dôležité.
Zoberme si číslo 5. Pomocou súradnicovej čiary môžete vidieť, že opačné číslo je 5 a naopak. Pomocou zápisu, ktorý sme uviedli vyššie, napíšeme číslo oproti - 5 ako - (- 5) . Ukazuje sa, že – (- 5) = 5. Z toho vyplýva záver: opačné čísla sa od seba líšia iba prítomnosťou znamienka mínus.
2. Nasledujúca vlastnosť sa zvyčajne nazýva vlastnosť symetrie. Dá sa odvodiť aj zo samotnej definície opačných čísel. Znie to takto:
Definícia 3
Ak je nejaké číslo a opakom b, potom b je opakom a.
Je zrejmé, že toto vyhlásenie nepotrebuje ďalšie dôkazy.
3. Tretia vlastnosť opačných čísel hovorí:
Definícia 4
Každé reálne číslo má iba jedno opačné číslo.
Toto tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že body na súradnicovej čiare nemôžu zodpovedať viacerým číslam naraz.
Definícia 5
4. Moduly opačných čísel sú rovnaké.
Vyplýva to z definície modulu. Je logické, že body na priamke zodpovedajúce akýmkoľvek opačným číslam sú v rovnakej vzdialenosti od referenčného bodu.
Definícia 6
5. Ak sčítame opačné čísla, dostaneme 0.
Doslova toto tvrdenie vyzerá ako a + (− a) = 0.
Príklad 2
Tu sú príklady takýchto výpočtov:
890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0
Ako vidíte, toto pravidlo funguje pre všetky čísla – celé čísla, racionálne, iracionálne atď.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter