Poďme sa zoznámiť s racionálnymi a zlomkovými racionálnymi rovnicami, uviesť ich definíciu, uviesť príklady a tiež analyzovať najbežnejšie typy problémov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Racionálna rovnica: definícia a príklady
Oboznamovanie sa s racionálnymi výrazmi začína v 8. ročníku školy. V tejto dobe sa žiaci na hodinách algebry čoraz častejšie začínajú stretávať s úlohami s rovnicami, ktoré v poznámkach obsahujú racionálne vyjadrenia. Osviežme si pamäť, čo to je.
Definícia 1
racionálna rovnica je rovnica, v ktorej obe strany obsahujú racionálne výrazy.
V rôznych príručkách môžete nájsť iné znenie.
Definícia 2
racionálna rovnica je taká rovnica, ktorej záznam ľavej strany obsahuje racionálne vyjadrenie, pričom ten pravý je nula.
Definície, ktoré sme uviedli pre racionálne rovnice, sú ekvivalentné, pretože znamenajú to isté. Správnosť našich slov potvrdzuje fakt, že za akékoľvek racionálne vyjadrenia P A Q rovnice P=Q A P − Q = 0 budú ekvivalentné výrazy.
Teraz poďme na príklady.
Príklad 1
Racionálne rovnice:
x = 1, 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.
Racionálne rovnice, rovnako ako rovnice iných typov, môžu obsahovať ľubovoľný počet premenných od 1 do niekoľkých. Na začiatok sa pozrieme na jednoduché príklady, v ktorých budú rovnice obsahovať iba jednu premennú. A potom začneme úlohu postupne komplikovať.
Racionálne rovnice sú rozdelené do dvoch veľkých skupín: celočíselné a zlomkové. Pozrime sa, ktoré rovnice budú platiť pre každú zo skupín.
Definícia 3
Racionálna rovnica bude celé číslo, ak záznam jej ľavej a pravej časti obsahuje celé racionálne výrazy.
Definícia 4
Racionálna rovnica bude zlomková, ak jedna alebo obe jej časti obsahujú zlomok.
Zlomkovo racionálne rovnice nevyhnutne obsahujú delenie premennou, alebo je premenná prítomná v menovateli. Pri písaní celočíselných rovníc takéto delenie neexistuje.
Príklad 2
3 x + 2 = 0 A (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0, 5 sú celé racionálne rovnice. Tu sú obe časti rovnice reprezentované celočíselnými výrazmi.
1 x - 1 = x 3 a x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 sú zlomkové racionálne rovnice.
Celé racionálne rovnice zahŕňajú lineárne a kvadratické rovnice.
Riešenie celých rovníc
Riešenie takýchto rovníc sa zvyčajne redukuje na ich transformáciu na ekvivalentné algebraické rovnice. To sa dá dosiahnuť vykonaním ekvivalentných transformácií rovníc v súlade s nasledujúcim algoritmom:
- najprv dostaneme nulu na pravej strane rovnice, na to musíme preniesť výraz, ktorý je na pravej strane rovnice, do jej ľavá strana a zmeniť znamenie;
- potom transformujeme výraz na ľavej strane rovnice do štandardného polynómu.
Musíme dostať algebraickú rovnicu. Táto rovnica bude ekvivalentná vzhľadom na pôvodnú rovnicu. Jednoduché prípady nám umožňujú vyriešiť problém redukciou celej rovnice na lineárnu alebo kvadratickú. Vo všeobecnom prípade riešime algebraickú rovnicu stupňa n.
Príklad 3
Je potrebné nájsť korene celej rovnice 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
Riešenie
Transformujme pôvodný výraz, aby sme získali ekvivalentnú algebraickú rovnicu. Za týmto účelom prenesieme výraz obsiahnutý v pravej strane rovnice na ľavú stranu a zmeníme znamienko na opačné. V dôsledku toho dostaneme: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
Teraz transformujeme výraz na ľavej strane na polynóm štandardného tvaru a vykonáme potrebné akcie s týmto polynómom:
3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6
Riešenie pôvodnej rovnice sa nám podarilo zredukovať na riešenie kvadratickej rovnice tvaru x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminant tejto rovnice je kladný: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . To znamená, že budú existovať dva skutočné korene. Nájdite ich pomocou vzorca koreňov kvadratickej rovnice:
x \u003d - - 5 ± 49 2 1,
x 1 \u003d 5 + 7 2 alebo x 2 \u003d 5 - 7 2,
x 1 = 6 alebo x 2 = - 1
Skontrolujme si správnosť koreňov rovnice, ktoré sme našli v priebehu riešenia. Za toto číslo, ktoré sme dostali, dosadíme do pôvodnej rovnice: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 A 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. V prvom prípade 63 = 63 , v druhom 0 = 0 . Korene x=6 A x = - 1 sú skutočne koreňmi rovnice uvedenej v príklade podmienky.
odpoveď: 6 , − 1 .
Pozrime sa, čo znamená „mocnosť celej rovnice“. S týmto pojmom sa často stretneme v prípadoch, keď potrebujeme reprezentovať celú rovnicu vo forme algebraickej. Definujme pojem.
Definícia 5
Stupeň celočíselnej rovnice je stupeň algebraickej rovnice ekvivalentný pôvodnej celej rovnici.
Ak sa pozriete na rovnice z vyššie uvedeného príkladu, môžete zistiť: stupeň celej tejto rovnice je druhý.
Ak by sa náš kurz obmedzil na riešenie rovníc druhého stupňa, tu by sa úvaha o téme mohla dokončiť. Ale všetko nie je také jednoduché. Riešenie rovníc tretieho stupňa je plné ťažkostí. A pre rovnice nad štvrtým stupňom vôbec neexistuje všeobecné vzorce korene. V tomto smere si riešenie celých rovníc tretieho, štvrtého a ďalších stupňov vyžaduje použitie množstva ďalších techník a metód.
Najčastejšie používaný prístup k riešeniu celých racionálnych rovníc je založený na metóde faktorizácie. Algoritmus akcií v tomto prípade je nasledujúci:
- výraz prenesieme z pravej strany na ľavú tak, aby na pravej strane záznamu zostala nula;
- reprezentujeme výraz na ľavej strane ako súčin faktorov a potom prejdeme k množine niekoľkých jednoduchších rovníc.
Nájdite riešenie rovnice (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .
Riešenie
Výraz prenesieme z pravej strany záznamu na ľavú stranu s opačným znamienkom: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Prevod ľavej strany na polynóm štandardného tvaru je nepraktický, pretože dostaneme algebraickú rovnicu štvrtého stupňa: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Jednoduchosť transformácie neospravedlňuje všetky ťažkosti s riešením takejto rovnice.
Je oveľa jednoduchšie ísť opačným smerom: odstránime spoločný faktor x 2 - 10 x + 13 . Tak sa dostávame k rovnici tvaru (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Teraz nahradíme výslednú rovnicu sadou dvoch kvadratických rovníc x 2 − 10 x + 13 = 0 A x 2 − 2 x − 1 = 0 a nájsť ich korene cez diskriminant: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
odpoveď: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
Podobne môžeme použiť metódu zavedenia novej premennej. Táto metóda nám umožňuje prejsť na ekvivalentné rovnice s mocninami nižšími, ako sú v pôvodnej celej rovnici.
Príklad 5
Má rovnica korene? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Riešenie
Ak sa teraz pokúsime zredukovať celú racionálnu rovnicu na algebraickú, dostaneme rovnicu 4. stupňa, ktorá nemá racionálne korene. Preto bude pre nás jednoduchšie ísť inou cestou: zaviesť novú premennú y, ktorá nahradí výraz v rovnici x 2 + 3 x.
Teraz budeme pracovať s celou rovnicou (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Pravú stranu rovnice prenesieme na ľavú stranu s opačným znamienkom a vykonáme potrebné transformácie. Dostaneme: y2 + 4 y + 3 = 0. Poďme nájsť korene kvadratickej rovnice: y = - 1 A y = - 3.
Teraz urobme opačnú substitúciu. Dostaneme dve rovnice x 2 + 3 x = − 1 A x 2 + 3 x = -3. Prepíšme ich ako x 2 + 3 x + 1 = 0 a x 2 + 3 x + 3 = 0. Na nájdenie koreňov prvej získanej rovnice použijeme vzorec koreňov kvadratickej rovnice: - 3 ± 5 2 . Diskriminant druhej rovnice je záporný. To znamená, že druhá rovnica nemá žiadne skutočné korene.
odpoveď:- 3 ± 5 2
Celé rovnice vysoké stupne naraziť v úlohách pomerne často. Netreba sa ich báť. Musíte byť pripravení aplikovať neštandardnú metódu ich riešenia, vrátane množstva umelých transformácií.
Riešenie zlomkovo racionálnych rovníc
Našu úvahu o tejto podtéme začneme algoritmom na riešenie zlomkovo racionálnych rovníc v tvare p (x) q (x) = 0 , kde p(x) A q(x) sú celočíselné racionálne výrazy. Riešenie iných zlomkovo racionálnych rovníc možno vždy zredukovať na riešenie rovníc uvedeného tvaru.
Najčastejšie používaná metóda riešenia rovníc p (x) q (x) = 0 je založená na tomto tvrdení: číselný zlomok u v, Kde v je číslo, ktoré sa líši od nuly, rovná sa nule iba v prípadoch, keď sa čitateľ zlomku rovná nule. Podľa logiky vyššie uvedeného tvrdenia môžeme tvrdiť, že riešenie rovnice p (x) q (x) = 0 možno redukovať na splnenie dvoch podmienok: p(x)=0 A q(x) ≠ 0. Na tomto je postavený algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc v tvare p (x) q (x) = 0:
- nájdeme riešenie celej racionálnej rovnice p(x)=0;
- skontrolujeme, či je podmienka splnená pre korene nájdené pri riešení q(x) ≠ 0.
Ak je táto podmienka splnená, potom nájdený koreň. Ak nie, potom koreň nie je riešením problému.
Príklad 6
Nájdite korene rovnice 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .
Riešenie
Ide o zlomkovú racionálnu rovnicu tvaru p (x) q (x) = 0 , v ktorej p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Začnime riešiť lineárnu rovnicu 3 x - 2 = 0. Koreň tejto rovnice bude x = 2 3.
Skontrolujme nájdený koreň, či spĺňa podmienku 5 x 2 - 2 ≠ 0. Ak to chcete urobiť, nahraďte do výrazu číselnú hodnotu. Získame: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.
Podmienka je splnená. Znamená to, že x = 2 3 je koreň pôvodnej rovnice.
odpoveď: 2 3 .
Existuje ešte jedna možnosť riešenia zlomkových racionálnych rovníc p (x) q (x) = 0 . Pripomeňme, že táto rovnica je ekvivalentná celej rovnici p(x)=0 o rozsahu prípustných hodnôt premennej x pôvodnej rovnice. To nám umožňuje použiť nasledujúci algoritmus pri riešení rovníc p(x) q(x) = 0:
- vyriešiť rovnicu p(x)=0;
- nájdite rozsah prijateľných hodnôt pre premennú x;
- berieme korene, ktoré ležia v oblasti prípustných hodnôt premennej x, ako požadované korene pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice.
Vyriešte rovnicu x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .
Riešenie
Ak chcete začať, poďme sa rozhodnúť kvadratická rovnica x 2 − 2 x − 11 = 0. Na výpočet jeho koreňov používame koreňový vzorec pre párny druhý koeficient. Dostaneme D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 a x = 1 ± 23.
Teraz môžeme nájsť ODV x pre pôvodnú rovnicu. To všetko sú čísla, pre ktoré x 2 + 3 x ≠ 0. Je to rovnaké ako x (x + 3) ≠ 0, odkiaľ x ≠ 0 , x ≠ − 3 .
Teraz skontrolujeme, či korene x = 1 ± 2 3 získané v prvej fáze riešenia sú v rozsahu prijateľných hodnôt premennej x . Vidíme, čo prichádza. To znamená, že pôvodná zlomková racionálna rovnica má dva korene x = 1 ± 2 3 .
odpoveď: x = 1 ± 2 3
Druhá opísaná metóda riešenia jednoduchšie ako prvé v prípadoch, keď je ľahké nájsť oblasť prípustných hodnôt premennej x a korene rovnice p(x)=0 iracionálny. Napríklad 7 ± 4 26 9 . Korene môžu byť racionálne, ale s veľkým čitateľom alebo menovateľom. Napríklad, 127 1101 A − 31 59 . To šetrí čas na kontrolu stavu. q(x) ≠ 0: oveľa jednoduchšie je podľa ODZ vylúčiť korene, ktoré nesedia.
Keď korene rovnice p(x)=0 sú celé čísla, na riešenie rovníc v tvare p (x) q (x) = 0 je účelnejšie použiť prvý z opísaných algoritmov. Rýchlejšie nájdenie koreňov celej rovnice p(x)=0 a potom skontrolujte, či je pre ne splnená podmienka q(x) ≠ 0, a nie nájsť ODZ, a potom vyriešiť rovnicu p(x)=0 na tejto ODZ. Je to spôsobené tým, že v takýchto prípadoch je väčšinou jednoduchšie vykonať kontrolu ako nájsť ODZ.
Príklad 8
Nájdite korene rovnice (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.
Riešenie
Začneme tým, že zvážime celú rovnicu (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 a hľadanie jeho koreňov. Na tento účel aplikujeme metódu riešenia rovníc pomocou faktorizácie. Ukazuje sa, že pôvodná rovnica je ekvivalentná množine štyroch rovníc 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, z ktorých tri sú lineárne a jeden je štvorcový. Nájdeme korene: z prvej rovnice x = 12, z druhej x=6, od tretieho - x \u003d 7, x \u003d - 2, od štvrtého - x = - 1.
Skontrolujeme získané korene. V tomto prípade je pre nás ťažké určiť ODZ, pretože na to budeme musieť vyriešiť algebraickú rovnicu piateho stupňa. Jednoduchšie bude skontrolovať podmienku, podľa ktorej by nemal zaniknúť menovateľ zlomku, ktorý je na ľavej strane rovnice.
Na druhej strane nahraďte korene namiesto premennej x vo výraze x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 a vypočítajte jeho hodnotu:
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠
6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .
Vykonané overenie nám umožňuje stanoviť, že korene pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice sú 1 2, 6 a − 2 .
odpoveď: 1 2 , 6 , - 2
Príklad 9
Nájdite korene zlomkovej racionálnej rovnice 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .
Riešenie
Začnime rovnicou (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Poďme nájsť jeho korene. Je pre nás jednoduchšie reprezentovať túto rovnicu ako kombináciu kvadratických a lineárnych rovníc 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 A x - 2 = 0.
Na nájdenie koreňov používame vzorec koreňov kvadratickej rovnice. Z prvej rovnice dostaneme dva korene x = 7 ± 69 10 az druhej x=2.
Dosadenie hodnoty koreňov do pôvodnej rovnice na kontrolu podmienok bude pre nás dosť náročné. Jednoduchšie bude určiť LPV premennej x . V tomto prípade sú DPV premennej x všetky čísla okrem tých, pre ktoré je podmienka splnená x 2 + 5 x − 14 = 0. Dostaneme: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .
Teraz skontrolujme, či korene, ktoré sme našli, patria do rozsahu prijateľných hodnôt pre premennú x.
Korene x = 7 ± 69 10 - patria, teda sú koreňmi pôvodnej rovnice a x=2- nepatrí, teda je to cudzí koreň.
odpoveď: x = 7 ± 6910.
Preskúmajme oddelene prípady, keď čitateľ zlomkovej racionálnej rovnice v tvare p (x) q (x) = 0 obsahuje číslo. V takýchto prípadoch, ak čitateľ obsahuje číslo iné ako nula, potom rovnica nebude mať korene. Ak sa toto číslo rovná nule, potom koreňom rovnice bude ľubovoľné číslo z ODZ.
Príklad 10
Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .
Riešenie
Táto rovnica nebude mať korene, pretože čitateľ zlomku z ľavej strany rovnice obsahuje nenulové číslo. To znamená, že pre žiadne hodnoty x sa hodnota zlomku uvedená v podmienke problému nebude rovnať nule.
odpoveď:žiadne korene.
Príklad 11
Vyriešte rovnicu 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
Riešenie
Keďže čitateľ zlomku je nula, riešením rovnice bude ľubovoľná hodnota x z premennej ODZ x.
Teraz definujme ODZ. Bude obsahovať všetkých x hodnôt, pre ktoré x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Riešenia rovníc x 4 + 5 x 3 = 0 sú 0 A − 5 , pretože táto rovnica je ekvivalentná rovnici x 3 (x + 5) = 0, a to je zase ekvivalentné množine dvoch rovníc x 3 = 0 a x + 5 = 0 kde sú tieto korene viditeľné. Dospeli sme k záveru, že požadovaný rozsah prijateľných hodnôt je ľubovoľný x, okrem x=0 A x = -5.
Ukazuje sa, že zlomková racionálna rovnica 0 x 4 + 5 x 3 = 0 má nekonečný počet riešení, ktoré sú ľubovoľné čísla okrem nuly a - 5.
odpoveď: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Teraz hovorme o zlomkových racionálnych rovniciach ľubovoľného tvaru a metódach ich riešenia. Môžu byť napísané ako r(x) = s(x), Kde r(x) A s(x) sú racionálne výrazy a aspoň jeden z nich je zlomkový. Riešenie takýchto rovníc sa redukuje na riešenie rovníc v tvare p (x) q (x) = 0 .
Už vieme, že ekvivalentnú rovnicu získame prenesením výrazu z pravej strany rovnice na ľavú stranu s opačným znamienkom. To znamená, že rovnica r(x) = s(x) je ekvivalentná rovnici r (x) − s (x) = 0. Už sme tiež diskutovali o tom, ako previesť racionálny výraz na racionálny zlomok. Vďaka tomu môžeme rovnicu jednoducho transformovať r (x) − s (x) = 0 na jeho identický racionálny zlomok tvaru p (x) q (x) .
Prejdeme teda od pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice r(x) = s(x) na rovnicu v tvare p (x) q (x) = 0 , ktorú sme sa už naučili riešiť.
Treba poznamenať, že pri vykonávaní prechodov z r (x) − s (x) = 0 do p (x) q (x) = 0 a potom do p(x)=0 nesmieme brať do úvahy rozšírenie rozsahu platných hodnôt premennej x .
Je celkom reálne, že pôvodná rovnica r(x) = s(x) a rovnica p(x)=0 v dôsledku premien prestanú byť rovnocenné. Potom riešenie rovnice p(x)=0 nám môže dať korene, ktoré budú cudzie r(x) = s(x). V tomto ohľade je v každom prípade potrebné vykonať kontrolu ktoroukoľvek z vyššie opísaných metód.
Aby sme vám uľahčili štúdium témy, zovšeobecnili sme všetky informácie do algoritmu na riešenie zlomkovej racionálnej rovnice tvaru r(x) = s(x):
- prenesieme výraz z pravej strany s opačným znamienkom a napravo dostaneme nulu;
- pôvodný výraz transformujeme na racionálny zlomok p (x) q (x) postupným vykonávaním akcií so zlomkami a polynómami;
- vyriešiť rovnicu p(x)=0;
- cudzie korene odhalíme kontrolou ich príslušnosti k ODZ alebo dosadením do pôvodnej rovnice.
Vizuálne bude reťazec akcií vyzerať takto:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → vypadnutie r o n d e r o o n s
Príklad 12
Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu x x + 1 = 1 x + 1 .
Riešenie
Prejdime k rovnici x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Transformujme zlomkový racionálny výraz na ľavej strane rovnice na tvar p (x) q (x) .
Aby sme to dosiahli, musíme zredukovať racionálne zlomky na spoločného menovateľa a zjednodušiť výraz:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)
Aby sme našli korene rovnice - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, musíme vyriešiť rovnicu − 2 x − 1 = 0. Získame jeden koreň x = -12.
Zostáva nám vykonať kontrolu ktoroukoľvek z metód. Zoberme si ich oboch.
Výslednú hodnotu dosaďte do pôvodnej rovnice. Dostaneme - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Dospeli sme k správnej číselnej rovnosti − 1 = − 1 . Znamená to, že x = − 1 2 je koreň pôvodnej rovnice.
Teraz skontrolujeme cez ODZ. Definujme rozsah prijateľných hodnôt pre premennú x. Bude to celá množina čísel okrem − 1 a 0 (keď x = − 1 a x = 0, menovatele zlomkov zmiznú). Koreň, ktorý sme dostali x = − 1 2 patrí do ODZ. To znamená, že je to koreň pôvodnej rovnice.
odpoveď: − 1 2 .
Príklad 13
Nájdite korene rovnice x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .
Riešenie
Máme čo do činenia s zlomkovou racionálnou rovnicou. Preto budeme konať podľa algoritmu.
Presuňme výraz z pravej strany na ľavú s opačným znamienkom: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Vykonajte potrebné transformácie: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.
Dostávame sa k rovnici x=0. Koreň tejto rovnice je nula.
Skontrolujeme, či je tento koreň cudzí pre pôvodnú rovnicu. Do pôvodnej rovnice dosaďte hodnotu: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Ako vidíte, výsledná rovnica nedáva zmysel. To znamená, že 0 je cudzí koreň a pôvodná zlomková racionálna rovnica nemá žiadne korene.
odpoveď:žiadne korene.
Ak sme do algoritmu nezahrnuli iné ekvivalentné transformácie, vôbec to neznamená, že ich nemožno použiť. Algoritmus je univerzálny, ale je navrhnutý tak, aby pomáhal, nie obmedzoval.
Príklad 14
Vyriešte rovnicu 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
Riešenie
Najjednoduchšie je vyriešiť danú zlomkovú racionálnu rovnicu podľa algoritmu. Existuje však aj iný spôsob. Zvážme to.
Odčítaním od pravej a ľavej časti 7 dostaneme: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.
Z toho môžeme usúdiť, že výraz v menovateli ľavej strany sa musí rovnať číslu recipročné číslo z pravej strany, teda 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .
Odčítajte od oboch častí 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Analogicky 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, odkiaľ 1 5 - x 2 \u003d 1 3 a ďalej 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2
Skontrolujme, či nájdené korene sú koreňmi pôvodnej rovnice.
odpoveď: x = ± 2
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Prezentácia a lekcia na tému: "Racionálne rovnice. Algoritmus a príklady riešenia racionálnych rovníc"
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.
Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 8
Manuál k učebnici Makarychev Yu.N. Manuál k učebnici Mordkovich A.G.
Úvod do iracionálnych rovníc
Chlapci, naučili sme sa riešiť kvadratické rovnice. Ale matematika sa neobmedzuje len na nich. Dnes sa naučíme riešiť racionálne rovnice. Pojem racionálnych rovníc je v mnohom podobný pojmu racionálne čísla. Len okrem čísel sme teraz zaviedli aj nejakú premennú $x$. A tak dostaneme výraz, v ktorom sú operácie sčítania, odčítania, násobenia, delenia a umocňovania na celé číslo.Nech je $r(x)$ racionálne vyjadrenie. Takýmto výrazom môže byť jednoduchý polynóm v premennej $x$ alebo pomer polynómov (zavádza sa operácia delenia, ako pri racionálnych číslach).
Zavolá sa rovnica $r(x)=0$ racionálna rovnica.
Akákoľvek rovnica v tvare $p(x)=q(x)$, kde $p(x)$ a $q(x)$ sú racionálne výrazy, bude tiež racionálna rovnica.
Zvážte príklady riešenia racionálnych rovníc.
Príklad 1Vyriešte rovnicu: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Riešenie.
Presuňme všetky výrazy na ľavú stranu: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ak by bola reprezentovaná ľavá strana rovnice pravidelné čísla, potom by sme priviedli dva zlomky k spoločnému menovateľovi.
Urobme toto: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dostali sme rovnicu: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Zlomok je nula práve vtedy, ak je čitateľ zlomku nulový a menovateľ nenulový. Potom samostatne prirovnajte čitateľa k nule a nájdite korene čitateľa.
$3(x^2+2x-3)=0$ alebo $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Teraz skontrolujme menovateľ zlomku: $(x-3)*x≠0$.
Súčin dvoch čísel sa rovná nule, keď sa aspoň jedno z týchto čísel rovná nule. Potom: $x≠0$ alebo $x-3≠0$.
$x≠0$ alebo $x≠3$.
Korene získané v čitateli a menovateli sa nezhodujú. Takže ako odpoveď zapíšeme oba korene čitateľa.
Odpoveď: $x=1$ alebo $x=-3$.
Ak sa náhle jeden z koreňov čitateľa zhoduje s koreňom menovateľa, mal by sa vylúčiť. Takéto korene sa nazývajú cudzie!
Algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:
1. Všetky výrazy obsiahnuté v rovnici by sa mali preniesť do ľavá strana od znamienka rovnosti.2. Preveďte túto časť rovnice na algebraický zlomok: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Výsledný čitateľ prirovnajte k nule, čiže vyriešte rovnicu $p(x)=0$.
4. Priraďte menovateľa k nule a vyriešte výslednú rovnicu. Ak sa korene menovateľa zhodujú s koreňmi čitateľa, mali by byť z odpovede vylúčené.
Príklad 2
Vyriešte rovnicu: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Riešenie.
Budeme riešiť podľa bodov algoritmu.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Prirovnajte čitateľa k nule: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Prirovnajte menovateľa k nule:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ a $x=-1$.
Jeden z koreňov $x=1$ sa zhodoval s koreňom čitateľa, potom ho v odpovedi nezapisujeme.
Odpoveď: $x=-1$.
Racionálne rovnice je vhodné riešiť metódou zmeny premenných. Poďme si to ukázať.
Príklad 3
Vyriešte rovnicu: $x^4+12x^2-64=0$.
Riešenie.
Zavádzame náhradu: $t=x^2$.
Potom bude mať naša rovnica tvar:
$t^2+12t-64=0$ je obyčajná kvadratická rovnica.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 doláre.
Zavedme inverznú náhradu: $x^2=4$ alebo $x^2=-16$.
Korene prvej rovnice sú dvojice čísel $x=±2$. Druhý nemá korene.
Odpoveď: $x=±2$.
Príklad 4
Vyriešte rovnicu: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Riešenie.
Predstavme si novú premennú: $t=x^2+x+1$.
Potom bude mať rovnica tvar: $t=\frac(15)(t+2)$.
Ďalej budeme konať podľa algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 doláre.
4. $t≠-2$ - korene sa nezhodujú.
Zavádzame spätnú substitúciu.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Poďme riešiť každú rovnicu samostatne:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nie korene.
A druhá rovnica: $x^2+x-2=0$.
Korene tejto rovnice budú čísla $x=-2$ a $x=1$.
Odpoveď: $x=-2$ a $x=1$.
Príklad 5
Vyriešte rovnicu: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Riešenie.
Zavádzame náhradu: $t=x+\frac(1)(x)$.
potom:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ alebo $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dostali sme rovnicu: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Korene tejto rovnice sú dvojice:
$t=-3$ a $t=2$.
Predstavme si spätnú substitúciu:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Rozhodneme sa samostatne.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Poďme vyriešiť druhú rovnicu:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Koreňom tejto rovnice je číslo $x=1$.
Odpoveď: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Úlohy na samostatné riešenie
Riešiť rovnice:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
Samotné rovnice so zlomkami nie sú ťažké a veľmi zaujímavé. Zvážte typy zlomkových rovníc a spôsoby ich riešenia.
Ako riešiť rovnice so zlomkami - x v čitateli
Ak je daná zlomková rovnica, kde je neznáma v čitateli, riešenie nevyžaduje ďalšie podmienky a je vyriešené bez zbytočných problémov. Všeobecná forma taká rovnica je x/a + b = c, kde x je neznáma, a, b a c sú obyčajné čísla.
Nájdite x: x/5 + 10 = 70.
Ak chcete vyriešiť rovnicu, musíte sa zbaviť zlomkov. Vynásobte každý člen rovnice 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x a 5 sa zmenší, 10 a 70 vynásobíme 5 a dostaneme: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.
Nájdite x: x/5 + x/10 = 90.
Tento príklad je o niečo komplikovanejšou verziou prvého. Tu sú dve riešenia.
- Možnosť 1: Zbavte sa zlomkov vynásobením všetkých členov rovnice väčším menovateľom, teda číslom 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
- Možnosť 2: Pridajte ľavú stranu rovnice. x/5 + x/10 = 90. Spoločný menovateľ je 10. Vydeľte 10 5, vynásobte x, dostaneme 2x. 10 delené 10, vynásobené x, dostaneme x: 2x+x/10 = 90. Preto 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Často existujú zlomkové rovnice, v ktorých sú x na opačných stranách znamienka rovnosti. V takejto situácii je potrebné preniesť všetky zlomky s x jedným smerom a čísla iným smerom.
- Nájsť x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
- Presuňte sa 2x/5 doprava s opačným znamienkom: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- Zmenšíme 5x/5 a dostaneme: x = 130.
Ako vyriešiť rovnicu so zlomkami - x v menovateli
Tento typ zlomkových rovníc vyžaduje písanie ďalších podmienok. Uvedenie týchto podmienok je povinnou a neoddeliteľnou súčasťou správneho rozhodnutia. Ak ich nepriradíte, riskujete, pretože odpoveď (aj keď je správna) sa jednoducho nemusí započítať.
Všeobecný tvar zlomkových rovníc, kde x je v menovateli, je: a/x + b = c, kde x je neznáma, a, b, c sú obyčajné čísla. Upozorňujeme, že x nemusí byť žiadne číslo. Napríklad x nemôže byť nula, pretože nemôžete deliť 0. Toto je to, čo je dodatočná podmienka, ktorú musíme špecifikovať. Toto sa nazýva rozsah prijateľných hodnôt, skrátene - ODZ.
Nájdite x: 15/x + 18 = 21.
Okamžite zapíšeme ODZ pre x: x ≠ 0. Teraz, keď je naznačená ODZ, riešime rovnicu podľa štandardnej schémy, pričom sa zbavíme zlomkov. Všetky členy rovnice vynásobíme x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Často existujú rovnice, kde menovateľ obsahuje nielen x, ale aj nejakú inú operáciu s ním, napríklad sčítanie alebo odčítanie.
Nájdite x: 15/(x-3) + 18 = 21.
Už vieme, že menovateľ sa nemôže rovnať nule, čo znamená x-3 ≠ 0. -3 prenesieme na pravú stranu, pričom znamienko „-“ zmeníme na „+“ a dostaneme, že x ≠ 3. ODZ je uvedené.
Vyriešte rovnicu, všetko vynásobte x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.
Posuňte x doprava, čísla doľava: 24 = 3x => x = 8.
Doteraz sme riešili len celočíselné rovnice vzhľadom na neznámu, teda také rovnice, v ktorých menovatele (ak nejaké sú) neznámu neobsahovali.
Často musíte riešiť rovnice, ktoré obsahujú neznámu v menovateľoch: takéto rovnice sa nazývajú zlomkové.
Aby sme túto rovnicu vyriešili, vynásobíme jej obe strany, to znamená polynómom obsahujúcim neznámu. Bude nová rovnica ekvivalentná danej rovnici? Aby sme odpovedali na otázku, vyriešme túto rovnicu.
Vynásobením oboch jeho strán číslom dostaneme:
Vyriešením tejto rovnice prvého stupňa zistíme:
Takže rovnica (2) má jeden koreň
Ak to dosadíme do rovnice (1), dostaneme:
Je teda aj koreňom rovnice (1).
Rovnica (1) nemá žiadne iné korene. V našom príklade je to vidieť napríklad z toho, že v rovnici (1)
Ako sa neznámy deliteľ musí rovnať dividende 1 vydelenej podielom 2, t.j.
Takže rovnice (1) a (2) majú jeden koreň, a preto sú ekvivalentné.
2. Teraz vyriešime nasledujúcu rovnicu:
Najjednoduchší spoločný menovateľ: ; vynásobte ním všetky členy rovnice:
Po redukcii dostaneme:
Rozšírime zátvorky:
Prinášame podobné výrazy a máme:
Vyriešením tejto rovnice zistíme:
Dosadením do rovnice (1) dostaneme:
Na ľavej strane sme dostali výrazy, ktoré nedávajú zmysel.
Koreň rovnice (1) teda nie je. To znamená, že rovnice (1) a nie sú ekvivalentné.
V tomto prípade hovoríme, že rovnica (1) získala cudzí koreň.
Porovnajme riešenie rovnice (1) s riešením rovníc, ktoré sme uvažovali skôr (pozri § 51). Pri riešení tejto rovnice sme museli vykonať dve také operácie, s ktorými sme sa doteraz nestretli: po prvé sme obe strany rovnice vynásobili výrazom obsahujúcim neznámu (spoločný menovateľ) a po druhé sme algebraické zlomky redukovali o faktory obsahujúce neznámy.
Pri porovnaní rovnice (1) s rovnicou (2) vidíme, že nie všetky hodnoty x platné pre rovnicu (2) sú platné pre rovnicu (1).
Práve čísla 1 a 3 nie sú prípustnými hodnotami neznámej pre rovnicu (1) a v dôsledku transformácie sa stali prípustnými pre rovnicu (2). Jedno z týchto čísel sa ukázalo ako riešenie rovnice (2), ale, samozrejme, nemôže byť riešením rovnice (1). Rovnica (1) nemá žiadne riešenia.
Tento príklad ukazuje, že pri vynásobení oboch častí rovnice faktorom obsahujúcim neznámu a pri redukcii algebraických zlomkov možno získať rovnicu, ktorá nie je ekvivalentná danej rovnici, a to: môžu sa objaviť cudzie korene.
Preto vyvodíme nasledujúci záver. Pri riešení rovnice obsahujúcej v menovateli neznámu treba výsledné korene skontrolovať dosadením do pôvodnej rovnice. Cudzie korene sa musia zlikvidovať.
§ 1 Celé a zlomkové racionálne rovnice
V tejto lekcii budeme analyzovať také pojmy ako racionálna rovnica, racionálny výraz, celočíselný výraz, zlomkový výraz. Zvážte riešenie racionálnych rovníc.
Racionálna rovnica je rovnica, v ktorej ľavá a pravá strana sú racionálne vyjadrenia.
Racionálne výrazy sú:
Zlomkový.
Celočíselný výraz sa skladá z čísel, premenných, celočíselných mocnín pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia a delenia číslom iným ako nula.
Napríklad:
IN zlomkové výrazy existuje delenie premennou alebo výraz s premennou. Napríklad:
Zlomkový výraz nedáva zmysel pre všetky hodnoty premenných, ktoré obsahuje. Napríklad výraz
pri x = -9 to nedáva zmysel, pretože pri x = -9 ide menovateľ na nulu.
To znamená, že racionálna rovnica môže byť celočíselná a zlomková.
Celočíselná racionálna rovnica je racionálna rovnica, v ktorej sú ľavá a pravá strana celočíselnými výrazmi.
Napríklad:
Zlomková racionálna rovnica je racionálna rovnica, v ktorej ľavá alebo pravá strana sú zlomkové výrazy.
Napríklad:
§ 2 Riešenie celej racionálnej rovnice
Zvážte riešenie celej racionálnej rovnice.
Napríklad:
Vynásobte obe strany rovnice najmenším spoločným menovateľom z menovateľov zlomkov, ktoré sú v nej zahrnuté.
Pre to:
1. nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov 2, 3, 6. Rovná sa 6;
2. nájdite pre každý zlomok ďalší faktor. Za týmto účelom vydeľte spoločného menovateľa 6 každým menovateľom
dodatočný multiplikátor pre zlomok
dodatočný multiplikátor pre zlomok
3. vynásobte čitateľov zlomkov príslušnými dodatočnými faktormi. Tak dostaneme rovnicu
čo je ekvivalentné tejto rovnici
Otvoríme zátvorky vľavo, pravú časť posunieme doľava, pričom pri prevode zmeníme znamienko termínu na opačný.
Dáme podobné členy polynómu a získame
Vidíme, že rovnica je lineárna.
Keď to vyriešime, zistíme, že x = 0,5.
§ 3 Riešenie zlomkovej racionálnej rovnice
Zvážte riešenie zlomkovej racionálnej rovnice.
Napríklad:
1. Vynásobte obe strany rovnice najmenším spoločným menovateľom menovateľov racionálnych zlomkov, ktoré sú v nej zahrnuté.
Nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov x + 7 a x - 1.
Rovná sa ich súčinu (x + 7) (x - 1).
2. Nájdime ďalší faktor pre každý racionálny zlomok.
Aby sme to dosiahli, vydelíme spoločný menovateľ (x + 7) (x - 1) každým menovateľom. Dodatočný násobiteľ zlomkov
rovná sa x - 1,
dodatočný multiplikátor pre zlomok
rovná sa x+7.
3. Vynásobte čitateľov zlomkov ich zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.
Dostaneme rovnicu (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), ktorá je ekvivalentná tejto rovnici
4.Doľava a doprava vynásobte dvojčlen binomom a získajte nasledujúcu rovnicu
5. Pravú časť prenesieme doľava, pričom pri prevode zmeníme znamienko každého termínu na opačný:
6. Uvádzame podobné členy polynómu:
7. Obe časti môžete vydeliť -1. Dostaneme kvadratickú rovnicu:
8. Po vyriešení nájdeme korene
Keďže v rovnici
ľavá a pravá časť sú zlomkové výrazy a v zlomkových výrazoch pre niektoré hodnoty premenných môže menovateľ zmiznúť, potom je potrebné skontrolovať, či pri nájdení x1 a x2 nezmizne spoločný menovateľ.
Pri x = -27 spoločný menovateľ (x + 7)(x - 1) nezaniká, pri x = -1 je spoločný menovateľ tiež nenulový.
Preto oba korene -27 a -1 sú koreňmi rovnice.
Pri riešení zlomkovej racionálnej rovnice je lepšie okamžite uviesť oblasť prípustných hodnôt. Odstráňte tie hodnoty, pri ktorých je spoločný menovateľ nulový.
Zvážte ďalší príklad riešenia zlomkovej racionálnej rovnice.
Napríklad vyriešme rovnicu
Menovateľ zlomku na pravej strane rovnice rozložíme na faktory
Dostaneme rovnicu
Nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov (x - 5), x, x (x - 5).
Bude to výraz x (x - 5).
teraz nájdime rozsah prípustných hodnôt rovnice
Aby sme to dosiahli, prirovnáme spoločného menovateľa k nule x (x - 5) \u003d 0.
Dostaneme rovnicu, ktorej riešením zistíme, že pri x \u003d 0 alebo pri x \u003d 5 spoločný menovateľ zmizne.
Takže x = 0 alebo x = 5 nemôžu byť koreňmi našej rovnice.
Teraz môžete nájsť ďalšie multiplikátory.
Dodatočný multiplikátor pre racionálne zlomky
dodatočný multiplikátor pre zlomky
bude (x - 5),
a dodatočný faktor zlomku
Čitateľov vynásobíme zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.
Dostaneme rovnicu x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).
Otvorme zátvorky vľavo a vpravo, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Presuňme výrazy sprava doľava zmenou znamienka výrazov, ktoré sa majú presunúť:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
A po uvedení podobných výrazov dostaneme kvadratickú rovnicu x2 - 3x - 10 \u003d 0. Po jej vyriešení nájdeme korene x1 \u003d -2; x2 = 5.
Ale už sme zistili, že pri x = 5 spoločný menovateľ x(x - 5) zaniká. Preto koreň našej rovnice
bude x = -2.
§ 4 Krátke zhrnutie lekciu
Dôležité mať na pamäti:
Pri riešení zlomkových racionálnych rovníc musíte urobiť nasledovné:
1. Nájdite spoločného menovateľa zlomkov zahrnutých v rovnici. Navyše, ak je možné menovateľov zlomkov rozložiť na faktory, potom ich rozložte na faktory a potom nájdite spoločného menovateľa.
2. Vynásobte obe strany rovnice spoločným menovateľom: nájdite ďalšie faktory, vynásobte čitateľov ďalšími faktormi.
3. Vyriešte výslednú celú rovnicu.
4. Vylúčte z koreňov tie, ktoré otáčajú spoločného menovateľa na nulu.
Zoznam použitej literatúry:
- Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Pod redakciou Telyakovsky S.A. Algebra: učebnica. pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Vzdelávanie, 2013.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8. ročník: V dvoch častiach. Časť 1: Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Mnemosyne.
- Rurukin A.N. Vývoj lekcií z algebry: 8. ročník - M .: VAKO, 2010.
- Algebra 8. ročník: učebné plány podľa učebnice Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorová / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Učiteľ, 2005.