akýkoľvek zlomkový výraz(položka 48) možno zapísať ako , kde P a Q sú racionálne výrazy a Q nevyhnutne obsahuje premenné. Takýto zlomok sa nazýva racionálny zlomok.
Príklady racionálnych zlomkov:
Hlavná vlastnosť zlomku je vyjadrená identitou, ktorá platí za tu uvedených podmienok – celým racionálnym vyjadrením. To znamená, že čitateľa a menovateľa racionálneho zlomku možno vynásobiť alebo deliť rovnakým nenulovým číslom, jednočlenom alebo mnohočlenom.
Napríklad vlastnosť zlomku sa dá použiť na zmenu znamienka členov zlomku. Ak čitateľa a menovateľa zlomku vynásobíme -1, dostaneme Hodnota zlomku sa teda nezmení, ak sa súčasne zmenia znamienka čitateľa a menovateľa. Ak zmeníte znamienko iba čitateľa alebo len menovateľa, zlomok zmení svoje znamienko:
Napríklad,
60. Redukcia racionálnych zlomkov.
Zmenšiť zlomok znamená vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku spoločným činiteľom. Možnosť takéhoto zníženia je spôsobená hlavnou vlastnosťou frakcie.
Ak chcete znížiť racionálny zlomok, musíte rozdeliť čitateľa a menovateľa na faktor. Ak sa ukáže, že čitateľ a menovateľ majú spoločné faktory, zlomok sa môže znížiť. Ak neexistujú žiadne spoločné faktory, potom je transformácia zlomku redukciou nemožná.
Príklad. Znížte zlomok
Riešenie. Máme
Redukcia frakcie sa vykonáva za podmienky .
61. Privedenie racionálnych zlomkov k spoločnému menovateľovi.
Spoločným menovateľom viacerých racionálnych zlomkov je celý racionálny výraz, ktorý sa delí menovateľom každého zlomku (pozri položku 54).
Napríklad polynóm slúži ako spoločný menovateľ zlomkov, pretože je deliteľný a deliteľný a polynómom a polynómom a polynómom atď. Zvyčajne sa berie taký spoločný menovateľ, že akýkoľvek iný spoločný menovateľ je deliteľný Echosen. Tento najjednoduchší menovateľ sa niekedy nazýva najmenší spoločný menovateľ.
Vo vyššie uvedenom príklade je spoločným menovateľom Máme
Zmenšenie týchto zlomkov na spoločného menovateľa sa dosiahne vynásobením čitateľa a menovateľa prvého zlomku číslom 2. Čitateľ a menovateľ druhého zlomku polynómami sa nazývajú dodatočné faktory pre prvý a druhý zlomok. Dodatočný faktor pre daný zlomok sa rovná podielu delenia spoločného menovateľa menovateľom daného zlomku.
Ak chcete znížiť niekoľko racionálnych zlomkov na spoločného menovateľa, potrebujete:
1) rozložte menovateľa každého zlomku na faktory;
2) vytvoriť spoločného menovateľa vrátane všetkých faktorov získaných v odseku 1 rozšírenia; ak určitý faktor existuje v niekoľkých expanziách, potom sa berie s exponentom rovným najväčšiemu z dostupných;
3) nájdenie ďalších faktorov pre každý zo zlomkov (na tento účel sa spoločný menovateľ vydelí menovateľom zlomku);
4) vynásobením čitateľa a menovateľa každého zlomku dodatočným faktorom priveďte zlomok k spoločnému menovateľovi.
Príklad. Zmenšiť na spoločného menovateľa zlomku
Riešenie. Rozložme menovateľov na faktor:
Do spoločného menovateľa musia byť zahrnuté tieto faktory: a najmenší spoločný násobok čísel 12, 18, 24, t.j. Takže spoločný menovateľ je
Ďalšie násobiče: pre prvý zlomok pre druhý pre tretí Takže dostaneme:
62. Sčítanie a odčítanie racionálnych zlomkov.
Súčet dvoch (a vo všeobecnosti akéhokoľvek konečného počtu) racionálnych zlomkov s rovnakými menovateľmi sa zhodne rovná zlomku s rovnakým menovateľom a s čitateľom rovným súčtu čitateľov sčítaných zlomkov:
Situácia je podobná pri odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi:
Príklad 1: Zjednodušte výraz
Riešenie.
Na sčítanie alebo odčítanie racionálnych zlomkov pomocou rôznych menovateľov najprv musíte zlomky zmenšiť na spoločného menovateľa a potom vykonať operácie s výslednými zlomkami s rovnakými menovateľmi.
Príklad 2: Zjednodušte výraz
Riešenie. Máme
63. Násobenie a delenie racionálnych zlomkov.
Súčin dvoch (a vo všeobecnosti akéhokoľvek konečného počtu) racionálnych zlomkov sa zhodne rovná zlomku, ktorého čitateľ sa rovná súčinu čitateľov, a menovateľ je súčinom menovateľov vynásobených zlomkov:
Podiel delenia dvoch racionálnych zlomkov sa rovná zlomku, ktorého čitateľ sa rovná súčinu čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku a menovateľ je súčinom menovateľa prvého zlomku čitateľ druhého zlomku:
Sformulované pravidlá pre násobenie a delenie platia aj pre prípad násobenia alebo delenia mnohočlenom: tento mnohočlen stačí zapísať ako zlomok s menovateľom 1.
Vzhľadom na možnosť zníženia racionálneho zlomku získaného násobením alebo delením racionálnych zlomkov sa zvyčajne pred vykonaním týchto operácií usiluje o faktorizáciu čitateľov a menovateľov pôvodných zlomkov.
Príklad 1. Vynásobte
Riešenie. Máme
Pomocou pravidla násobenia zlomkov dostaneme:
Príklad 2: Vykonajte rozdelenie
Riešenie. Máme
Pomocou deliaceho pravidla dostaneme:
64. Zväčšenie racionálneho zlomku na mocninu celého čísla.
Ak chcete zvýšiť racionálny zlomok - na prirodzenú moc, musíte zvýšiť čitateľa a menovateľa zlomku oddelene na túto moc; prvý výraz je čitateľ a druhý výraz je menovateľ výsledku:
Príklad 1. Preveďte na zlomok mocninu 3.
Riešenie Riešenie.
Pri zvýšení zlomku na zápornú mocninu celého čísla sa použije identita, ktorá je platná pre všetky hodnoty premenných, pre ktoré .
Príklad 2. Preveďte výraz na zlomok
65. Transformácia racionálnych výrazov.
Transformácia akéhokoľvek racionálneho vyjadrenia spočíva v sčítaní, odčítaní, násobení a delení racionálnych zlomkov, ako aj pri povýšení zlomku na prirodzenú mocnosť. Každý racionálny výraz možno previesť na zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ sú celočíselné racionálne výrazy; toto je spravidla cieľom identických premien racionálnych výrazov.
Príklad. Zjednodušte výraz
66. Najjednoduchšie transformácie aritmetických koreňov (radikálov).
Pri prevode aritmetických korií sa použijú ich vlastnosti (pozri položku 35).
Zvážte niekoľko príkladov použitia vlastností aritmetické korene pre najjednoduchšie premeny radikálov. V tomto prípade sa všetky premenné budú považovať za hodnoty, ktoré majú iba nezáporné hodnoty.
Príklad 1. Extrahujte koreň produktu
Riešenie. Použitím vlastnosti 1° dostaneme:
Príklad 2. Vyberte faktor pod znamienkom koreňa
Riešenie.
Takáto transformácia sa nazýva faktoring pod koreňovým znakom. Účelom transformácie je zjednodušiť radikálne vyjadrenie.
Príklad 3: Zjednodušte.
Riešenie. Podľa vlastnosti 3° sa zvyčajne snažíme zjednodušiť radikálne vyjadrenie, pre ktoré vyťahujú násobilky za znak kória. Máme
Príklad 4: Zjednodušte
Riešenie. Výraz transformujeme zavedením činiteľa pod znamienko odmocniny: Vlastnosťou 4° máme
Príklad 5: Zjednodušte
Riešenie. Vlastnosťou 5° máme právo deliť exponent odmocniny a exponent radikálového výrazu rovnakým prirodzeným číslom. Ak v uvažovanom príklade vydelíme uvedené ukazovatele 3, dostaneme .
Príklad 6. Zjednodušte výrazy:
Riešenie, a) Vlastnosťou 1° dostaneme, že na vynásobenie koreňov rovnakého stupňa stačí vynásobiť koreňové výrazy a zo získaného výsledku extrahovať odmocninu rovnakého stupňa. znamená,
b) V prvom rade musíme zredukovať radikály na jeden index. Podľa vlastnosti 5° môžeme exponent odmocniny vynásobiť rovnakým prirodzeným číslom. Preto, Ďalej, teraz máme vo výsledku získanom vydelením ukazovateľov koreňa a stupňa radikálneho výrazu číslom 3, dostaneme .
Tento článok je o transformácia racionálnych prejavov, väčšinou zlomkovo racionálne, je jednou z kľúčových otázok kurzu algebry pre 8. ročníky. Najprv si pripomenieme, aké výrazy sa nazývajú racionálne. Ďalej sa zameriame na vykonávanie štandardných transformácií s racionálnymi výrazmi, ako je zoskupovanie výrazov, vyňatie spoločných faktorov zo zátvoriek, redukcia podobných výrazov atď. Nakoniec sa naučíme, ako reprezentovať zlomkové racionálne výrazy ako racionálne zlomky.
Navigácia na stránke.
Definícia a príklady racionálnych výrazov
Racionálne výrazy sú jedným z typov výrazov študovaných na hodinách algebry v škole. Dajme si definíciu.
Definícia.
Výrazy zložené z čísel, premenných, zátvoriek, stupňov s celočíselnými exponentmi, spojené pomocou znamienok aritmetické operácie Volajú sa +, − a:, kde delenie môže byť označené čiarou zlomku racionálne prejavy.
Tu je niekoľko príkladov racionálnych vyjadrení: .
Racionálne výrazy sa začínajú cieľavedome študovať v 7. ročníku. Navyše v 7. ročníku sa základy práce s tzv celé racionálne vyjadrenia, teda s racionálnymi výrazmi, ktoré neobsahujú delenie na výrazy s premennými. Na tento účel sa dôsledne študujú monomály a polynómy, ako aj zásady vykonávania akcií s nimi. Všetky tieto znalosti nakoniec umožňujú vykonávať transformáciu celočíselných výrazov.
V 8. ročníku prechádzajú na náuku o racionálnych výrazoch obsahujúcich delenie výrazom s premennými, ktoré sú tzv zlomkové racionálne výrazy. Zároveň sa osobitná pozornosť venuje tzv racionálne zlomky(tiež nazývaný algebraické zlomky), teda zlomky, ktorých čitateľ a menovateľ obsahujú polynómy. To v konečnom dôsledku umožňuje vykonávať transformáciu racionálnych zlomkov.
Získané zručnosti nám umožňujú pristúpiť k transformácii racionálnych prejavov ľubovoľnej formy. Vysvetľuje sa to tým, že každý racionálny výraz možno považovať za výraz zložený z racionálnych zlomkov a celočíselných výrazov spojených znamienkami aritmetických operácií. A už vieme, ako pracovať s celočíselnými výrazmi a algebraickými zlomkami.
Hlavné typy transformácií racionálnych výrazov
Pomocou racionálnych výrazov môžete vykonávať ktorúkoľvek zo základných transformácií identity, či už ide o zoskupovanie pojmov alebo faktorov, redukciu podobných pojmov, vykonávanie operácií s číslami atď. Účelom týchto transformácií je zvyčajne racionálne vyjadrenie zjednodušenie.
Príklad.
.
Riešenie.
Je jasné, že tento racionálny výraz je rozdielom dvoch výrazov a , a tieto výrazy sú podobné, pretože majú rovnakú doslovnú časť. Môžeme teda vykonať redukciu podobných výrazov:
odpoveď:
.
Je jasné, že pri vykonávaní transformácií s racionálnymi výrazmi, ako aj pri iných výrazoch, musíme zostať v rámci akceptovaného poriadku akcií.
Príklad.
Transformujte racionálne vyjadrenie.
Riešenie.
Vieme, že akcie v zátvorkách sa vykonajú ako prvé. Preto najskôr transformujeme výraz v zátvorkách: 3 x − x=2 x .
Teraz môžete výsledok nahradiť pôvodným racionálnym výrazom: . Dospeli sme teda k výrazu, ktorý obsahuje akcie jednej fázy – sčítanie a násobenie.
Zbavme sa zátvoriek na konci výrazu použitím vlastnosti delenia podľa súčinu: .
Nakoniec môžeme zoskupiť číselné faktory a x faktory a potom vykonať zodpovedajúce operácie s číslami a použiť : .
Tým je transformácia racionálneho výrazu dokončená a výsledkom je monomiál.
odpoveď:
Príklad.
Transformujte racionálny výraz 
.
Riešenie.
Najprv prevedieme čitateľa a menovateľa. Toto poradie prevodu zlomkov sa vysvetľuje skutočnosťou, že ťah zlomku je v podstate iné označenie delenia a pôvodný racionálny výraz je v podstate konkrétna forma 
a akcie v zátvorkách sa vykonajú ako prvé.
Takže v čitateli vykonávame operácie s polynómami, najprv násobenie, potom odčítanie a v menovateli zoskupujeme číselné faktory a vypočítame ich súčin: 
.
Predstavme si aj čitateľa a menovateľa výsledného zlomku ako súčin: zrazu je možné zmenšiť algebraický zlomok. Na tento účel použite v čitateli rozdiel štvorcov vzorca, a v menovateli vyberieme dvojku zo zátvoriek, máme 
.
odpoveď:
.
Takže počiatočné zoznámenie sa s transformáciou racionálnych výrazov možno považovať za ukončené. Prechádzame takpovediac k tým najmilším.
Reprezentácia ako racionálny zlomok
Najčastejším konečným cieľom transformácie výrazov je zjednodušenie ich formy. V tomto svetle najviac jednoduchý pohľad, na ktorý je možné previesť zlomkovo racionálny výraz, je racionálny (algebraický) zlomok a v konkrétnom prípade polynóm, monočlen alebo číslo.
Je možné reprezentovať akýkoľvek racionálny výraz ako racionálny zlomok? Odpoveď je áno. Poďme si vysvetliť, prečo je to tak.
Ako sme už povedali, každý racionálny výraz možno považovať za polynómy a racionálne zlomky, spojené znamienkami plus, mínus, násobiť a deliť. Všetky relevantné operácie s polynómami poskytujú polynóm alebo racionálny zlomok. Na druhej strane, každý polynóm môže byť prevedený na algebraický zlomok jeho zápisom s menovateľom 1. A sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie racionálnych zlomkov má za následok nový racionálny zlomok. Preto po vykonaní všetkých operácií s polynómami a racionálnymi zlomkami v racionálnom vyjadrení dostaneme racionálny zlomok.
Príklad.
Vyjadrite výraz ako racionálny zlomok 
.
Riešenie.
Pôvodné racionálne vyjadrenie je rozdiel medzi zlomkom a súčinom zlomkov tvaru 
. Podľa poradia operácií musíme najskôr vykonať násobenie a až potom sčítanie.
Začneme násobením algebraických zlomkov:
Získaný výsledok dosadíme do pôvodného racionálneho výrazu: .
Dospeli sme k odčítaniu algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi: 
Takže po vykonaní akcií s racionálnymi zlomkami, ktoré tvoria pôvodný racionálny výraz, sme ho prezentovali ako racionálny zlomok.
odpoveď:
.
Na konsolidáciu materiálu rozoberieme riešenie iného príkladu.
Príklad.
Vyjadrite racionálny výraz ako racionálny zlomok.
Dôležité poznámky!
1. Ak namiesto vzorcov vidíte abrakadabra, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátorovi užitočný zdroj Pre
Často počujeme túto nepríjemnú frázu: "zjednodušiť výraz." Zvyčajne v tomto prípade máme nejaké monštrum, ako je toto:
"Áno, oveľa jednoduchšie," hovoríme, ale takáto odpoveď zvyčajne nefunguje.
Teraz vás naučím nebáť sa žiadnych takýchto úloh.
Navyše, na konci hodiny si tento príklad sám zjednodušíte na (len!) obyčajné číslo (áno, do čerta s týmito písmenami).
Ale predtým, ako začnete túto lekciu, musíte byť schopní narábať so zlomkami A faktorizujte polynómy.
Preto, ak ste to ešte neurobili, nezabudnite zvládnuť témy "" a "".
Čítať? Ak áno, ste pripravení.
Poďme! (Poďme!)
Základné operácie na zjednodušenie výrazov
Teraz budeme analyzovať hlavné techniky, ktoré sa používajú na zjednodušenie výrazov.
Najjednoduchší z nich je
1. Prinášanie podobného
Čo sú podobné? Prešli ste si tým v 7. ročníku, keď sa v matematike namiesto číslic prvýkrát objavili písmená.
Podobný sú pojmy (monomiály) s rovnakou písmenovou časťou.
Napríklad v súčte sú podobné výrazy a.
Spomenul si?
Prineste podobné- znamená pridať niekoľko podobných výrazov medzi sebou a získať jeden výraz.
Ale ako môžeme poskladať písmená? - pýtaš sa.
To je veľmi ľahké pochopiť, ak si predstavíte, že písmená sú nejaké predmety.
Napríklad list je stolička. Aký je potom výraz?
Dve stoličky plus tri stoličky, koľko to bude? Presne tak, stoličky: .
Teraz skúste tento výraz:
Aby nedošlo k zámene, nech rôzne písmená predstavujú rôzne veci.
Napríklad - toto je (ako obvykle) stolička a - toto je stôl.
stoličky stoly stoličky stoly stoličky stoličky stoly
Čísla, ktorými sa písmená v takýchto pojmoch násobia, sa nazývajú koeficienty.
Napríklad v monomiáli je koeficient rovnaký. A je rovnocenný.
Takže pravidlo pre prinesenie podobného:
Príklady:
Prineste podobné:
Odpovede:
2. (a sú podobné, pretože tieto výrazy majú preto rovnakú časť písmena).
2. Faktorizácia
To je zvyčajne najviac dôležitou súčasťou v zjednodušujúcich výrazoch.
Potom, čo ste dali podobné, je najčastejšie potrebný výsledný výraz faktorizovať, teda predstavovať ako produkt.
Hlavne toto dôležité v zlomkoch: pretože s cieľom znížiť zlomok, čitateľ a menovateľ musia byť vyjadrené ako súčin.
Prešli ste si podrobnými metódami faktoringu výrazov v téme "", takže si tu stačí zapamätať, čo ste sa naučili.
Ak to chcete urobiť, vyriešte niekoľko príkladov (treba faktorizovať)
Príklady:
Riešenia:
3. Zníženie frakcií.
Nuž, čo môže byť krajšie, ako vyškrtnúť časť čitateľa a menovateľa a vyhodiť ich zo svojho života?
V tom je krása skratky.
Je to jednoduché:
Ak čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké faktory, môžu sa znížiť, to znamená odstrániť zo zlomku.
Toto pravidlo vyplýva zo základnej vlastnosti zlomku:
To znamená, že podstatou operácie redukcie je to Čitateľ a menovateľ zlomku delíme rovnakým číslom (alebo rovnakým výrazom).
Ak chcete znížiť zlomok, potrebujete:
1) čitateľ a menovateľ faktorizovať
2) ak čitateľ a menovateľ obsahuje spoločné faktory, môžu byť vymazané.
Príklady:
Myslím, že princíp je jasný?
Chcem upozorniť na jeden typická chyba pri redukcii. Aj keď je táto téma jednoduchá, veľa ľudí robí všetko zle, pričom si to neuvedomujú rezať- to znamená rozdeliťčitateľa a menovateľa rovnakým číslom.
Žiadne skratky, ak je čitateľ alebo menovateľ súčet.
Napríklad: musíte zjednodušiť.
Niektorí to robia: čo je absolútne nesprávne.
Ďalší príklad: znížiť.
„Najmúdrejší“ urobí toto:
Povedz mi, čo sa tu deje? Zdalo by sa: - toto je multiplikátor, takže môžete znížiť.
Ale nie: - toto je faktor len jedného člena v čitateli, ale samotný čitateľ ako celok nie je rozložený na faktory.
Tu je ďalší príklad: .
Tento výraz je rozložený na faktory, čo znamená, že môžete znížiť, to znamená rozdeliť čitateľa a menovateľa a potom:
Môžete okamžite rozdeliť podľa:
Aby ste sa vyhli takýmto chybám, pamätajte ľahká cesta ako zistiť, či je výraz zohľadnený:
Aritmetická operácia, ktorá sa vykoná ako posledná pri výpočte hodnoty výrazu, je „hlavná“.
To znamená, že ak namiesto písmen dosadíte nejaké (akékoľvek) čísla a pokúsite sa vypočítať hodnotu výrazu, potom ak je poslednou akciou násobenie, máme súčin (výraz sa rozloží na faktory).
Ak je poslednou akciou sčítanie alebo odčítanie, znamená to, že výraz nie je faktorizovaný (a preto ho nemožno zmenšiť).
Aby ste to vyriešili sami, niekoľko príkladov:
Príklady:
Riešenia:
4. Sčítanie a odčítanie zlomkov. Privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.
Sčítanie a odčítanie obyčajné zlomky- operácia je dobre známa: hľadáme spoločného menovateľa, každý zlomok vynásobíme chýbajúcim faktorom a sčítame/odčítame čitateľov.
Pripomeňme si:
Odpovede:
1. Menovatelia a sú coprime, to znamená, že nemajú spoločné faktory. Preto sa LCM týchto čísel rovná ich súčinu. Toto bude spoločný menovateľ:
2. Tu je spoločný menovateľ:
3. Prvá vec tu zmiešané frakcie premeňte ich na nesprávne a potom - podľa obvyklej schémy:
Iná vec je, ak zlomky obsahujú písmená, napríklad:
Začnime jednoducho:
a) Menovatele neobsahujú písmená
Tu je všetko rovnaké ako pri bežných číselných zlomkoch: nájdeme spoločného menovateľa, vynásobíme každý zlomok chýbajúcim faktorom a pripočítame / odčítame čitateľa:
teraz v čitateli môžete priniesť podobné, ak nejaké existujú, a rozpočítať ich:
Vyskúšajte sami:
Odpovede:
b) Menovateľ obsahuje písmená
Pripomeňme si princíp hľadania spoločného menovateľa bez písmen:
Najprv určíme spoločné faktory;
Potom raz vypíšeme všetky spoločné faktory;
a vynásobte ich všetkými ostatnými faktormi, nie bežnými.
Aby sme určili spoločné faktory menovateľov, najprv ich rozložíme na jednoduché faktory:
Zdôrazňujeme spoločné faktory:
Teraz raz vypíšeme spoločné faktory a pridáme k nim všetky nie spoločné (nepodčiarknuté) faktory:
Toto je spoločný menovateľ.
Vráťme sa k písmenám. Menovatelia sa uvádzajú presne rovnakým spôsobom:
Menovateľov rozložíme na faktory;
určiť spoločné (identické) multiplikátory;
raz zapíšte všetky spoločné faktory;
Násobíme ich všetkými ostatnými faktormi, nie bežnými.
Takže v poradí:
1) rozložte menovateľov na faktory:
2) určiť spoločné (identické) faktory:
3) napíšte všetky spoločné faktory raz a vynásobte ich všetkými ostatnými (nepodčiarknutými) faktormi:
Takže spoločný menovateľ je tu. Prvý zlomok sa musí vynásobiť, druhý -:
Mimochodom, existuje jeden trik:
Napríklad: .
V menovateľoch vidíme rovnaké faktory, len všetky s inými ukazovateľmi. Spoločným menovateľom bude:
do tej miery
do tej miery
do tej miery
v stupni.
Skomplikujme si úlohu:
Ako dosiahnuť, aby zlomky mali rovnakého menovateľa?
Pripomeňme si základnú vlastnosť zlomku:
Nikde nie je povedané, že od čitateľa a menovateľa zlomku možno odčítať (alebo sčítať) rovnaké číslo. Pretože to nie je pravda!
Presvedčte sa sami: vezmite si napríklad ľubovoľný zlomok a do čitateľa a menovateľa pridajte nejaké číslo, napríklad . Čo sa naučilo?
Takže ďalšie neotrasiteľné pravidlo:
Keď privediete zlomky k spoločnému menovateľovi, použite iba operáciu násobenia!
Čo však potrebujete množiť, aby ste získali?
Tu a množte sa. A vynásobte:
Výrazy, ktoré nemožno faktorizovať, budeme nazývať „elementárne faktory“.
Ide napríklad o elementárny faktor. - To isté. Ale - nie: rozkladá sa na faktory.
A čo vyjadrovanie? Je to elementárne?
Nie, pretože to môže byť faktorizované:
(o faktorizácii ste už čítali v téme "").
Takže základné faktory, na ktoré rozkladáte výraz pomocou písmen, sú analógové hlavné faktory do ktorých rozložíte čísla. A to isté urobíme s nimi.
Vidíme, že oba menovatele majú faktor. Pôjde to do spoločného menovateľa v moci (pamätáte prečo?).
Násobiteľ je elementárny a nemajú ho spoločný, čo znamená, že prvý zlomok sa ním bude musieť jednoducho vynásobiť:
Ďalší príklad:
Riešenie:
Pred vynásobením týchto menovateľov v panike musíte premýšľať o tom, ako ich faktorizovať? Obaja predstavujú:
Skvelé! potom:
Ďalší príklad:
Riešenie:
Ako obvykle, menovatele rozkladáme na faktor. V prvom menovateli ho jednoducho vysunieme zo zátvoriek; v druhom - rozdiel štvorcov:
Zdá sa, že neexistujú žiadne spoločné faktory. Ale keď sa pozriete pozorne, už sú si také podobné ... A pravdou je:
Tak si napíšme:
To znamená, že to dopadlo takto: vo vnútri zátvorky sme prehodili pojmy a zároveň sa znamienko pred zlomkom zmenilo na opak. Berte na vedomie, že to budete musieť robiť často.
Teraz sa dostávame k spoločnému menovateľovi:
Mám to? Teraz to skontrolujeme.
Úlohy na samostatné riešenie:
Odpovede:
5. Násobenie a delenie zlomkov.
No, to najťažšie je už za nami. A pred nami je to najjednoduchšie, ale zároveň najdôležitejšie:
Postup
Aký je postup pri výpočte číselného výrazu? Pamätajte, že vzhľadom na hodnotu takéhoto výrazu:
Počítal si?
Malo by to fungovať.
Takže pripomínam.
Prvým krokom je výpočet stupňa.
Druhým je násobenie a delenie. Ak existuje niekoľko násobení a delení súčasne, môžete ich vykonať v ľubovoľnom poradí.
A nakoniec vykonáme sčítanie a odčítanie. Opäť v akomkoľvek poradí.
Ale: výraz v zátvorkách je vyhodnotený mimo poradia!
Ak sa niekoľko zátvoriek násobí alebo delí navzájom, najprv vyhodnotíme výraz v každej zo zátvoriek a potom ich vynásobíme alebo rozdelíme.
Čo ak sú v zátvorkách ďalšie zátvorky? No, zamyslime sa: nejaký výraz je napísaný v zátvorkách. Čo treba urobiť ako prvé pri hodnotení výrazu? Správne, vypočítajte zátvorky. No, prišli sme na to: najprv vypočítame vnútorné zátvorky, potom všetko ostatné.
Poradie akcií pre vyššie uvedený výraz je teda nasledovné (aktuálna akcia je zvýraznená červenou farbou, teda akcia, ktorú práve vykonávam):
Dobre, všetko je jednoduché.
Ale to nie je to isté ako výraz s písmenami, však?
Nie, je to to isté! Iba namiesto aritmetických operácií je potrebné robiť algebraické operácie, to znamená operácie opísané v predchádzajúcej časti: prinášajúce podobné, pridávanie zlomkov, zmenšovanie zlomkov atď. Jediným rozdielom bude pôsobenie faktoringových polynómov (často ho používame pri práci so zlomkami). Najčastejšie pri faktorizácii musíte použiť i alebo jednoducho vyňať spoločný faktor zo zátvoriek.
Zvyčajne je naším cieľom reprezentovať výraz ako produkt alebo kvocient.
Napríklad:
Zjednodušme výraz.
1) Najprv zjednodušíme výraz v zátvorkách. Tam máme rozdiel zlomkov a naším cieľom je reprezentovať ho ako súčin alebo kvocient. Zlomky teda privedieme k spoločnému menovateľovi a pridáme:
Nie je možné tento výraz ďalej zjednodušiť, všetky faktory sú tu elementárne (pamätáte si ešte, čo to znamená?).
2) Dostávame:
Násobenie zlomkov: čo môže byť jednoduchšie.
3) Teraz môžete skrátiť:
Dobre, teraz je po všetkom. Nič zložité, však?
Ďalší príklad:
Zjednodušte výraz.
Najprv to skúste vyriešiť sami a až potom sa pozrite na riešenie.
Riešenie:
V prvom rade si definujme postup.
Najprv pridajme zlomky v zátvorkách, namiesto dvoch zlomkov nám vyjde jeden.
Potom urobíme delenie zlomkov. No a výsledok sčítame s posledným zlomkom.
Schematicky očíslujem kroky:
Na záver vám dám dva užitočné tipy:
1. Ak sú tam podobné, treba ich ihneď priniesť. V každom okamihu, keď máme podobné, je vhodné ich hneď priniesť.
2. To isté platí pre redukciu zlomkov: akonáhle sa naskytne príležitosť na redukciu, treba ju využiť. Výnimkou sú zlomky, ktoré pridávate alebo odčítate: ak majú rovnakých menovateľov, potom treba redukciu nechať na neskôr.
Tu je niekoľko úloh, ktoré musíte vyriešiť sami:
A hneď na začiatku sľúbil:
Odpovede:
Riešenia (stručne):
Ak ste sa vyrovnali aspoň s prvými tromi príkladmi, potom považujte tému za zvládnutú.
Teraz k učeniu!
KONVERZIA VÝRAZOV. SÚHRN A ZÁKLADNÝ VZOREC
Základné zjednodušujúce operácie:
- Prinášať podobné: ak chcete pridať (zmenšiť) podobné výrazy, musíte pridať ich koeficienty a priradiť časť písmena.
- Faktorizácia: vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek, uplatnenie atď.
- Zníženie frakcií: čitateľa a menovateľa zlomku možno násobiť alebo deliť rovnakým nenulovým číslom, od ktorého sa hodnota zlomku nemení.
1) čitateľ a menovateľ faktorizovať
2) ak sú v čitateli a menovateli spoločné faktory, možno ich prečiarknuť.DÔLEŽITÉ: Znížiť možno iba násobiteľov!
- Sčítanie a odčítanie zlomkov:
; - Násobenie a delenie zlomkov:
;
No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.
Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!
Teraz to najdôležitejšie.
Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.
Problém je, že to nemusí stačiť...
Prečo?
Pre úspešné absolvovanie skúšky, za prijatie do ústavu na rozpočet a HLAVNE na doživotie.
Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...
Ľudia, ktorí dostali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Toto je štatistika.
Ale to nie je to hlavné.
Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...
Ale zamysli sa nad sebou...
Čo je potrebné na to, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a v konečnom dôsledku ... šťastnejší?
VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.
Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.
Budete potrebovať riešiť problémy včas.
A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.
Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.
Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nevyhnutne s riešeniami podrobná analýza a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!
Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.
Ak chcete získať pomoc s našimi úlohami, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.
Ako? Sú dve možnosti:
- Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku -
- Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch tutoriálu - Kúpte si učebnicu - 499 rubľov
Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.
Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.
Na záver...
Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestávajte s teóriou.
„Rozumiem“ a „Viem, ako to vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.
Nájdite problémy a riešte ich!
Táto lekcia bude obsahovať základné informácie o racionálnych výrazoch a ich transformáciách, ako aj príklady transformácie racionálnych výrazov. Táto téma ako keby sme zhrnuli témy, ktoré sme doteraz študovali. Transformácie racionálnych výrazov zahŕňajú sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocňovanie algebraických zlomkov, redukciu, faktorizáciu atď. V rámci lekcie sa pozrieme na to, čo je racionálny výraz, a tiež analyzujeme príklady ich transformácie .
Predmet:Algebraické zlomky. Aritmetické operácie na algebraických zlomkoch
lekcia:Základné informácie o racionálnych prejavoch a ich premenách
Definícia
racionálne vyjadrenie je výraz pozostávajúci z čísel, premenných, aritmetických operácií a umocňovania.
Zvážte príklad racionálneho vyjadrenia:
Špeciálne prípady racionálnych výrazov:
1. stupeň: 
;
2. jednočlenný: ;
3. zlomok: .
Transformácia racionálnych výrazov je zjednodušenie racionálneho vyjadrenia. Poradie operácií pri prevode racionálnych výrazov: najprv sú akcie v zátvorkách, potom operácie násobenia (delenie) a potom operácie sčítania (odčítania).
Uvažujme o niekoľkých príkladoch transformácie racionálnych výrazov.
Príklad 1
Riešenie:
Vyriešme tento príklad krok za krokom. Najprv sa vykoná akcia v zátvorkách.
odpoveď:
Príklad 2
Riešenie:
odpoveď:
Príklad 3
Riešenie:
odpoveď: .
Poznámka: možno vás pri pohľade na tento príklad napadla myšlienka: zmenšiť zlomok pred zmenšením na spoločného menovateľa. V skutočnosti je to úplne správne: po prvé, je žiaduce čo najviac zjednodušiť výraz a potom ho transformovať. Skúsme vyriešiť ten istý príklad druhým spôsobom.
Ako vidíte, odpoveď sa ukázala byť úplne podobná, ale riešenie sa ukázalo byť o niečo jednoduchšie.
V tejto lekcii sme sa pozreli na racionálne prejavy a ich premeny, ako aj viaceré konkrétne príklady transformačné údaje.
Bibliografia
1. Bashmakov M.I. Algebra 8. ročník. - M.: Osveta, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovič E.A. a kol., Algebra 8. - 5. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2010.