V tomto článku vám to ukážem algoritmy na riešenie siedmich typov racionálnych rovníc, ktoré sa pomocou zmeny premenných redukujú na štvorcové. Vo väčšine prípadov sú transformácie, ktoré vedú k nahradeniu, veľmi netriviálne a je dosť ťažké ich uhádnuť sami.

Pre každý typ rovnice vysvetlím, ako v nej urobiť premennú zmenu, a potom ukážem podrobné riešenie v príslušnom videonávode.

Máte možnosť pokračovať v riešení rovníc sami a potom svoje riešenie skontrolovať pomocou videonávodu.

Takže, začnime.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Všimnite si, že súčin štyroch zátvoriek je na ľavej strane rovnice a číslo je na pravej strane.

1. Zoskupme zátvorky po dvoch, aby bol súčet voľných členov rovnaký.

2. Vynásobte ich.

3. Zavedme zmenu premennej.

V našej rovnici zoskupujeme prvú zátvorku s treťou a druhú so štvrtou, pretože (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

V tomto bode je zmena premennej zrejmá:

Dostaneme rovnicu

odpoveď:

2 .

Rovnica tohto typu je podobná predchádzajúcej s jedným rozdielom: na pravej strane rovnice je súčin čísla o. A rieši sa to úplne inak:

1. Zátvorky zoskupíme po dvoch tak, aby súčin voľných výrazov bol rovnaký.

2. Každý pár zátvoriek vynásobíme.

3. Z každého faktora vyberieme x zo zátvorky.

4. Vydeľte obe strany rovnice číslom .

5. Zavádzame zmenu premennej.

V tejto rovnici zoskupujeme prvú zátvorku so štvrtou a druhú s treťou, pretože:

Všimnite si, že v každej zátvorke sú koeficient at a voľný výraz rovnaké. Vyberme multiplikátor z každej zátvorky:

Keďže x=0 nie je koreň pôvodnej rovnice, obe strany rovnice vydelíme . Dostaneme:

Dostaneme rovnicu:

odpoveď:

3 .

Všimnite si, že menovatele oboch zlomkov obsahujú štvorcové trojčlenky, ktorých vodiaci koeficient a voľný termín sú rovnaké. Vyberieme, ako v rovnici druhého typu, x zo zátvorky. Dostaneme:

Vydeľte čitateľa a menovateľa každého zlomku x:

Teraz môžeme zaviesť zmenu premennej:

Dostaneme rovnicu pre premennú t:

4 .

Všimnite si, že koeficienty rovnice sú symetrické vzhľadom na centrálny koeficient. Takáto rovnica sa nazýva vratné .

Aby som to vyriešil

1. Vydeľte obe strany rovnice (Môžeme to urobiť, pretože x=0 nie je koreňom rovnice.) Získame:

2. Zoskupte výrazy týmto spôsobom:

3. V každej skupine vyberieme spoločný faktor:

4. Predstavme si náhradu:

5. Vyjadrime výraz pomocou t:

Odtiaľ

Dostaneme rovnicu pre t:

odpoveď:

5. Homogénne rovnice.

Rovnice, ktoré majú štruktúru homogénnej, sa môžu stretnúť pri riešení exponenciálnych, logaritmických a goniometrické rovnice, tak to treba uznať.

Homogénne rovnice majú nasledujúcu štruktúru:

V tejto rovnosti sú A, B a C čísla a tie isté výrazy sú označené štvorcom a krúžkom. To znamená, že na ľavej strane homogénnej rovnice je súčet monočlenov, ktoré majú rovnaký stupeň (v tomto prípade je stupeň monočlenov 2) a neexistuje žiadny voľný člen.

Na vyriešenie homogénnej rovnice delíme obe strany o

Pozor! Pri delení pravej a ľavej strany rovnice výrazom obsahujúcim neznámu môžete prísť o korene. Preto je potrebné skontrolovať, či korene výrazu, ktorým delíme obe časti rovnice, sú koreňmi pôvodnej rovnice.

Poďme prvým spôsobom. Dostaneme rovnicu:

Teraz zavedieme premennú substitúciu:

Zjednodušte výraz a získajte bi kvadratická rovnica vzhľadom na t:

odpoveď: alebo

7 .

Táto rovnica má nasledujúcu štruktúru:

Aby ste to vyriešili, musíte vybrať celý štvorec na ľavej strane rovnice.

Ak chcete vybrať celý štvorec, musíte pridať alebo odčítať dvojitý súčin. Potom dostaneme druhú mocninu súčtu alebo rozdielu. Toto je rozhodujúce pre úspešnú substitúciu premennej.

Začnime nájdením dvojitého produktu. Bude kľúčom k nahradeniu premennej. V našej rovnici je dvojitý súčin

Teraz poďme zistiť, čo je pre nás výhodnejšie mať - druhú mocninu súčtu alebo rozdielu. Pre začiatok zvážte súčet výrazov:

Skvelé! tento výraz sa presne rovná dvojnásobku súčinu. Potom, aby ste dostali druhú mocninu súčtu v zátvorkách, musíte pridať a odčítať dvojitý súčin:

Zlomkové rovnice. ODZ.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Pokračujeme v zvládnutí rovníc. S lineárnymi a kvadratickými rovnicami už vieme pracovať. Zostáva posledný pohľad zlomkové rovnice . Alebo sa tiež nazývajú oveľa pevnejšie - zlomkové racionálne rovnice. To je to isté.

Zlomkové rovnice.

Ako už názov napovedá, tieto rovnice nevyhnutne obsahujú zlomky. Ale nielen zlomky, ale zlomky, ktoré majú neznámy v menovateli. Aspoň v jednom. Napríklad:

Dovoľte mi pripomenúť, ak len v menovateľoch čísla, to sú lineárne rovnice.

Ako sa rozhodnúť zlomkové rovnice? V prvom rade sa zbavte zlomkov! Potom sa rovnica najčastejšie zmení na lineárnu alebo kvadratickú. A potom vieme, čo máme robiť... V niektorých prípadoch sa to môže zmeniť na identitu, napríklad 5=5, alebo nesprávny výraz, napríklad 7=2. Ale to sa stáva zriedka. Nižšie to spomeniem.

Ale ako sa zbaviť zlomkov!? Veľmi jednoduché. Použitie všetkých rovnakých identických transformácií.

Musíme vynásobiť celú rovnicu rovnakým výrazom. Aby sa znížili všetci menovatelia! Všetko bude hneď jednoduchšie. Vysvetľujem na príklade. Povedzme, že potrebujeme vyriešiť rovnicu:

Ako ich učili na základnej škole? Všetko prenášame jedným smerom, redukujeme na spoločného menovateľa atď. Zabudni ako strašný sen! Takto to robíte, keď pridávate alebo uberáte zlomkové výrazy. Alebo pracovať s nerovnosťami. A v rovniciach hneď vynásobíme obe časti výrazom, ktorý nám dá možnosť zredukovať všetky menovatele (teda v podstate o spoločného menovateľa). A čo je toto za výraz?

Na ľavej strane, aby ste znížili menovateľa, musíte vynásobiť x+2. A vpravo je potrebné násobenie číslom 2. Takže rovnica sa musí vynásobiť číslom 2(x+2). Vynásobíme:

Toto obyčajné násobenie zlomky, ale napíšem podrobne:

Upozorňujeme, že ešte neotváram zátvorku. (x + 2)! Takže to píšem celé:

Na ľavej strane je úplne zmenšená (x+2), a v pravom 2. Podľa potreby! Po redukcii dostaneme lineárne rovnica:

Túto rovnicu môže vyriešiť každý! x = 2.

Vyriešime ďalší príklad, trochu komplikovanejší:

Ak si pamätáme, že 3 = 3/1, a 2x = 2x/ 1 možno napísať:

A opäť sa zbavíme toho, čo sa nám v skutočnosti nepáči - zo zlomkov.

Vidíme, že na zmenšenie menovateľa s x je potrebné zlomok vynásobiť (x - 2). A jednotky nám nie sú prekážkou. Nuž, množme sa. Všetky ľavá strana A všetky pravá strana:

Opäť zátvorky (x - 2) neprezrádzam. Pracujem so zátvorkou ako celkom, ako keby to bolo jedno číslo! Toto sa musí robiť vždy, inak sa nič nezníži.

S pocitom hlbokej spokojnosti striháme (x - 2) a dostaneme rovnicu bez zlomkov, v pravítku!

A teraz otvoríme zátvorky:

Dávame podobné, prenesieme všetko na ľavú stranu a získame:

Predtým sa však naučíme riešiť iné problémy. Pre zaujímavosť. Tie hrable, mimochodom!

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Ciele lekcie:

Návod:

• tvorba konceptu zlomkových racionálnych rovníc;
• zvážiť rôzne spôsoby riešenia zlomkových racionálnych rovníc;
• zvážiť algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc vrátane podmienky, že zlomok sa rovná nule;
• naučiť riešenie zlomkových racionálnych rovníc podľa algoritmu;
• kontrola úrovne asimilácie témy vykonaním testovacej práce.

vyvíja sa:

• rozvoj schopnosti správne pracovať so získanými vedomosťami, logicky myslieť;
• rozvoj intelektuálnych schopností a mentálnych operácií - analýza, syntéza, porovnávanie a zovšeobecňovanie;
• rozvoj iniciatívy, schopnosť robiť rozhodnutia, nezastaviť sa tam;
• rozvoj kritického myslenia;
• rozvoj výskumných zručností.

Pestovanie:

• vzdelávanie kognitívneho záujmu o predmet;
• výchova k samostatnosti pri riešení výchovných problémov;
• výchova vôle a vytrvalosti k dosiahnutiu konečných výsledkov.

Typ lekcie: lekcia - vysvetlenie novej látky.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Ahojte chalani! Rovnice sú napísané na tabuli, pozorne si ich prezrite. Dokážete vyriešiť všetky tieto rovnice? Ktoré nie sú a prečo?

Rovnice, v ktorých ľavá a pravá strana sú zlomkové racionálne vyjadrenia, sa nazývajú zlomkové racionálne rovnice. Čo si myslíte, že sa dnes na lekcii naučíme? Formulujte tému lekcie. Takže otvárame notebooky a zapisujeme si tému lekcie „Riešenie zlomkových racionálnych rovníc“.

2. Aktualizácia poznatkov. Frontálny prieskum, ústna práca s triedou.

A teraz si zopakujeme hlavný teoretický materiál, ktorý potrebujeme na preštudovanie novej témy. Odpovedzte prosím na nasledujúce otázky:

1. čo je rovnica? ( Rovnosť s premennou alebo premennými.)
2. Ako sa volá rovnica #1? ( Lineárne.) Metóda riešenia lineárnych rovníc. ( Presuňte všetko s neznámou na ľavú stranu rovnice, všetky čísla doprava. Prineste podobné podmienky. Nájdite neznámy multiplikátor).
3. Ako sa volá rovnica 3? ( Námestie.) Metódy riešenia kvadratických rovníc. ( Výber úplného štvorca pomocou vzorcov pomocou Vietovej vety a jej dôsledkov.)
4. Čo je to pomer? ( Rovnosť dvoch vzťahov.) Hlavná vlastnosť proporcie. ( Ak je pomer pravdivý, potom sa súčin jeho extrémnych členov rovná súčinu stredných členov.)
5. Aké vlastnosti sa používajú na riešenie rovníc? ( 1. Ak v rovnici prenesieme člen z jednej časti do druhej, pričom zmeníme jeho znamienko, dostaneme rovnicu ekvivalentnú danej. 2. Ak sa obe časti rovnice vynásobia alebo vydelia rovnakým nenulovým číslom, získa sa rovnica, ktorá je ekvivalentná danej.)
6. Kedy sa zlomok rovná nule? ( Zlomok je nula, keď je čitateľ nula a menovateľ je nenulový.)

3. Vysvetlenie nového materiálu.

Riešte rovnicu č.2 v zošitoch a na tabuli.

Odpoveď: 10.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu môžete skúsiť vyriešiť pomocou základnej vlastnosti proporcie? (č. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Riešte rovnicu č.4 v zošitoch a na tabuli.

Odpoveď: 1,5.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu sa môžete pokúsiť vyriešiť vynásobením oboch strán rovnice menovateľom? (č. 6).

x 2 - 7 x + 12 = 0

D = 1 > 0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Odpoveď: 3;4.

Teraz skúste vyriešiť rovnicu #7 jedným zo spôsobov.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2-3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Odpoveď: 0;5;-2.			Odpoveď: 5;-2.

Vysvetlite, prečo sa to stalo? Prečo sú v jednom prípade tri korene a v druhom dva? Aké čísla sú koreňmi tejto zlomkovej racionálnej rovnice?

Žiaci sa doteraz s pojmom cudzieho koreňa nestretli, je pre nich naozaj veľmi ťažké pochopiť, prečo sa tak stalo. Ak nikto v triede nevie dať jasné vysvetlenie tejto situácie, potom učiteľ položí navádzacie otázky.

• Čím sa líšia rovnice č. 2 a 4 od rovníc č. 5,6,7? ( V rovniciach č.2 a 4 v menovateli čísla, č.5-7 - výrazy s premennou.)
• Čo je koreňom rovnice? ( Hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica stáva skutočnou rovnosťou.)
• Ako zistiť, či je číslo koreňom rovnice? ( Vykonajte kontrolu.)

Pri testovaní si niektorí študenti všimnú, že musia deliť nulou. Dospeli k záveru, že čísla 0 a 5 nie sú koreňmi tejto rovnice. Vynára sa otázka: existuje spôsob riešenia zlomkových racionálnych rovníc, ktorý túto chybu eliminuje? Áno, táto metóda je založená na podmienke, že zlomok sa rovná nule.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ak x=5, potom x(x-5)=0, takže 5 je cudzí koreň.

Ak x=-2, potom x(x-5)≠0.

Odpoveď: -2.

Skúsme týmto spôsobom sformulovať algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc. Deti samy formulujú algoritmus.

Algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetko doľava.
2. Priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi.
3. Vytvorte systém: zlomok je nula, keď čitateľ je nula a menovateľ nie je nula.
4. Vyriešte rovnicu.
5. Skontrolujte nerovnosť, aby ste vylúčili cudzie korene.
6. Zapíšte si odpoveď.

Diskusia: ako formalizovať riešenie, ak sa použije základná vlastnosť proporcie a násobenie oboch strán rovnice spoločným menovateľom. (Doplňte riešenie: vylúčte z jeho koreňov tie, ktoré otáčajú spoločného menovateľa na nulu).

4. Primárne pochopenie nového materiálu.

Pracovať v pároch. Študenti si sami vyberú spôsob riešenia rovnice v závislosti od typu rovnice. Úlohy z učebnice "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: č. 600 (b, c, i); č. 601 (a, e, g). Učiteľ kontroluje plnenie úlohy, odpovedá na vzniknuté otázky a poskytuje pomoc slabo prospievajúcim žiakom. Autotest: Odpovede sú napísané na tabuli.

b) 2 je cudzí koreň. Odpoveď: 3.

c) 2 je cudzí koreň. Odpoveď: 1.5.

a) Odpoveď: -12.5.

g) Odpoveď: 1; 1.5.

5. Vyhlásenie domácej úlohy.

1. Prečítajte si bod 25 z učebnice, analyzujte príklady 1-3.
2. Naučte sa algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc.
3. Riešte v zošitoch č. 600 (a, d, e); Č. 601 (g, h).
4. Skúste vyriešiť #696(a) (voliteľné).

6. Splnenie kontrolnej úlohy na preberanú tému.

Práca sa vykonáva na listoch.

Príklad práce:

A) Ktoré z rovníc sú zlomkové racionálne?

B) Zlomok je nula, keď je čitateľ _______________________ a menovateľ je _______________________.

Q) Je číslo -3 koreňom rovnice #6?

D) Riešte rovnicu č.7.

Kritériá hodnotenia úloh:

• „5“ sa udeľuje, ak žiak správne splnil viac ako 90 % úlohy.
• "4" – 75 % – 89 %
• "3" – 50 % – 74 %
• „2“ dostane žiak, ktorý splnil menej ako 50 % úlohy.
• Známka 2 sa do denníka neuvádza, 3 je voliteľná.

7. Reflexia.

Na letáky s nezávislou prácou uveďte:

• 1 - ak bola lekcia pre vás zaujímavá a zrozumiteľná;
• 2 - zaujímavé, ale nejasné;
• 3 - nie zaujímavé, ale zrozumiteľné;
• 4 - nie je zaujímavé, nie je jasné.

8. Zhrnutie lekcie.

Dnes sme sa teda v lekcii zoznámili so zlomkovými racionálnymi rovnicami, naučili sme sa tieto rovnice riešiť rôznymi spôsobmi, otestovali sme svoje vedomosti pomocou vzdelávacej samostatnej práce. Výsledky samostatnej práce sa dozviete na ďalšej lekcii, doma budete mať možnosť upevniť si získané vedomosti.

Aká metóda riešenia zlomkových racionálnych rovníc je podľa vás jednoduchšia, dostupnejšia, racionálnejšia? Bez ohľadu na spôsob riešenia zlomkových racionálnych rovníc, na čo netreba zabúdať? V čom spočíva „prefíkanosť“ zlomkových racionálnych rovníc?

Ďakujem vám všetkým, lekcia sa skončila.

T. Kosyakova,
škola č. 80, Krasnodar

Riešenie kvadratických a zlomkovo-racionálnych rovníc obsahujúcich parametre

Lekcia 4

Téma lekcie:

Účel lekcie: formovať schopnosť riešiť zlomkovo-racionálne rovnice obsahujúce parametre.

Typ lekcie: zavedenie nového materiálu.

1. (Ústne.) Riešte rovnice:

Príklad 1. Vyriešte rovnicu

Riešenie.

Nájdite neplatné hodnoty a:

Odpoveď. Ak Ak a = – 19 , potom nie sú žiadne korene.

Príklad 2. Vyriešte rovnicu

Riešenie.

Nájdite neplatné hodnoty parametrov a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Odpoveď. Ak a = 5 a № 5 , To x=10– a .

Príklad 3. Pri akých hodnotách parametra b rovnica Má:

a) dva korene b) jediný koreň?

Riešenie.

1) Nájdite neplatné hodnoty parametrov b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 alebo b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 alebo b = – 2.

2) Vyriešte rovnicu x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D = 4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

A)

Vylúčenie neplatných hodnôt parametrov b , dostaneme, že rovnica má dva korene, ak b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ale toto je neplatná hodnota parametra b ; Ak b 2 –1=0 , t.j. b=1 alebo.

Odpoveď: a) ak b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , potom dva korene; b) ak b=1 alebo b = -1 , potom jediný koreň.

Samostatná práca

možnosť 1

Riešte rovnice:

Možnosť 2

Riešte rovnice:

Odpovede

V 1. A keď a=3 , potom nie sú žiadne korene; Ak b) ak ak a № 2 , potom nie sú žiadne korene.

AT 2. Ak a=2 , potom nie sú žiadne korene; Ak a=0 , potom nie sú žiadne korene; Ak
b) ak a=– 1 , potom rovnica stráca zmysel; ak potom nie sú žiadne korene;
Ak

Domáca úloha.

Riešte rovnice:

Odpovede: a) Ak a № –2 , To x= a ; Ak a=–2 , potom neexistujú žiadne riešenia; b) ak a № –2 , To x=2; Ak a=–2 , potom neexistujú žiadne riešenia; c) ak a=–2 , To X- akékoľvek iné číslo ako 3 ; Ak a № –2 , To x=2; d) ak a=–8 , potom nie sú žiadne korene; Ak a=2 , potom nie sú žiadne korene; Ak

Lekcia 5

Téma lekcie:"Riešenie zlomkovo-racionálnych rovníc obsahujúcich parametre".

Ciele lekcie:

naučiť sa riešiť rovnice s neštandardnou podmienkou;
vedomá asimilácia študentov algebraických pojmov a vzťahov medzi nimi.

Typ lekcie: systematizácia a zovšeobecňovanie.

Kontrola domácich úloh.

Príklad 1. Vyriešte rovnicu

a) vzhľadom na x; b) vzhľadom na y.

Riešenie.

a) Nájdite neplatné hodnoty r: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– neplatná hodnota parametra r.

Ak r№ 0 , To x=y-2; Ak y=0, potom rovnica stráca zmysel.

b) Nájdite neplatné hodnoty parametrov X: y=x, 2x–x 2 +x 2 = 0, x=0– neplatná hodnota parametra X; y(2+x-y)=0, y=0 alebo y=2+x;

y=0 nespĺňa podmienku y(y–x)№ 0 .

Odpoveď: a) ak y=0, potom rovnica stráca zmysel; Ak r№ 0 , To x=y-2; b) ak x=0 X№ 0 , To y=2+x .

Príklad 2. Pre aké celočíselné hodnoty parametra a sú korene rovnice patria do intervalu

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Ak a № 0 alebo a № – 1 , To

odpoveď: 5 .

Príklad 3. Nájsť relatívne X celé riešenia rovnice

Odpoveď. Ak y=0, potom rovnica nedáva zmysel; Ak y=-1, To X- akékoľvek celé číslo iné ako nula; Ak y# 0, y# – 1, potom neexistujú žiadne riešenia.

Príklad 4 Vyriešte rovnicu s parametrami a A b .

Ak a№ – b , To

Odpoveď. Ak a= 0 alebo b= 0 , potom rovnica stráca zmysel; Ak a№ 0,b№ 0, a = -b , To X- akékoľvek číslo iné ako nula; Ak a№ 0,b№ 0,a№ -b To x=-a, x=-b .

Príklad 5. Dokážte, že pre akúkoľvek nenulovú hodnotu parametra n platí rovnica má jeden koreň rovný – n .

Riešenie.

t.j. x=-n, čo malo byť preukázané.

Domáca úloha.

1. Nájdite celé riešenia rovnice

2. Pri akých hodnotách parametra c rovnica Má:
a) dva korene b) jediný koreň?

3. Nájdite všetky celé korene rovnice Ak a O N .

4. Vyriešte rovnicu 3xy - 5x + 5y = 7: a) relatívne r; b) relatívne X .

1. Rovnica je splnená ľubovoľným celým číslom rovným hodnotám x a y iným ako nula.
2. a) Kedy
b) pri alebo
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Ak potom nie sú korene; Ak
b) ak potom nie sú žiadne korene; Ak

Test

možnosť 1

1. Určte typ rovnice 7c(c + 3)x2 +(c–2)x–8=0 pri: a) c = -3; b) c = 2; V) c=4 .

2. Riešte rovnice: a) x2-bx=0; b) cx 2 – 6x+1=0; V)

3. Vyriešte rovnicu 3x-xy-2y=1:

a) relatívne X ;
b) relatívne r .

nx 2 – 26x + n \u003d 0, vediac, že ​​parameter n nadobúda iba celočíselné hodnoty.

5. Pre aké hodnoty b platí rovnica Má:

a) dva korene
b) jediný koreň?

Možnosť 2

1. Určte typ rovnice 5c(c + 4)x2 +(c–7)x+7=0 pri: a) c = -4; b) c = 7; V) c=1 .

2. Riešte rovnice: a) y2+cy=0; b) ny2 – 8y+2=0; V)

3. Vyriešte rovnicu 6x-xy+2y=5:

a) relatívne X ;
b) relatívne r .

4. Nájdite celočíselné korene rovnice nx 2 -22x+2n=0, vediac, že ​​parameter n nadobúda iba celočíselné hodnoty.

5. Pre aké hodnoty parametra je rovnica Má:

a) dva korene
b) jediný koreň?

Odpovede

V 1. 1. a) Lineárna rovnica;
b) neúplná kvadratická rovnica; c) kvadratickú rovnicu.
2. a) Ak b = 0, To x=0; Ak b#0, To x = 0, x = b;
b) Ak cО (9;+Ґ ), potom nie sú žiadne korene;
c) ak a=–4 , potom rovnica stráca zmysel; Ak a№ –4 , To x=- a .
3. a) Ak y=3, potom nie sú žiadne korene; Ak);
b) a=–3, a=1.

Ďalšie úlohy

Riešte rovnice:

Literatúra

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametroch od úplného začiatku. - Tútor, č. 2/1991, s. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Nevyhnutné podmienky v úlohách s parametrami. – Kvant, č. 11/1991, s. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Riešenie problémov, ktorý obsahuje parametre. Časť 2. - M., Perspektíva, 1990, s. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Päťstoštrnásť úloh s parametrami. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Úlohy s parametrami. - M., Vzdelávanie, 1986.

„Racionálne rovnice s polynómami“ sú jednou z najčastejšie sa vyskytujúcich tém v testovacie úlohy POUŽITIE v matematike. Z tohto dôvodu by sa ich opakovaniu mala venovať osobitná pozornosť. Mnohí študenti sa stretávajú s problémom nájsť diskriminant, preniesť ukazovatele z pravej strany na ľavú a priviesť rovnicu k spoločnému menovateľovi, čo sťažuje splnenie takýchto úloh. Riešenie racionálnych rovníc pri príprave na skúšku na našej webovej stránke vám pomôže rýchlo zvládnuť úlohy akejkoľvek zložitosti a dokonale prejsť testom.

Vyberte si vzdelávací portál "Shkolkovo" pre úspešnú prípravu na jednotnú skúšku z matematiky!

Poznať pravidlá pre výpočet neznámych a ľahko získať správne výsledky využite našu online službu. Portál "Shkolkovo" je jedinečná platforma tam, kde je to potrebné POUŽÍVAJTE materiály. Naši učitelia všetko systematizovali a prezentovali zrozumiteľnou formou matematické pravidlá. Okrem toho pozývame školákov, aby si vyskúšali riešenie typických racionálnych rovníc, ktorých základňa sa neustále aktualizuje a dopĺňa.

Pre efektívnejšiu prípravu na testovanie odporúčame postupovať podľa našej špeciálnej metódy a začať zopakovaním pravidiel a riešením jednoduché úlohy, postupne prechádza na zložitejšie. Absolvent tak bude môcť vyzdvihnúť pre seba najťažšie témy a sústrediť sa na ich štúdium.

Začnite sa pripravovať na záverečné testovanie so Shkolkovo už dnes a výsledok vás nenechá čakať! Vyberte najjednoduchší príklad z uvedených. Ak ste si rýchlo osvojili výraz, prejdite na ťažšiu úlohu. Môžete si tak zlepšiť svoje znalosti až po riešenie USE úloh v matematike na úrovni profilu.

Vzdelávanie je dostupné nielen absolventom z Moskvy, ale aj školákom z iných miest. Strávte pár hodín denne napríklad štúdiom na našom portáli a už čoskoro si budete vedieť poradiť s rovnicami akejkoľvek zložitosti!