Ako riešiť zlomkové rovnice. Pravidlá riešenia rovníc so zlomkami

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Na zjednodušenie tejto rovnice sa používa najmenší spoločný menovateľ. Táto metóda sa používa, keď nemôžete napísať danú rovnicu s jedným racionálnym výrazom na každej strane rovnice (a použite metódu krížového násobenia). Táto metóda sa používa, keď dostanete racionálnu rovnicu s 3 alebo viacerými zlomkami (v prípade dvoch zlomkov je lepšie krížové násobenie).

Nájdite najmenší spoločný menovateľ zlomkov (alebo najmenší spoločný násobok). NOZ je najmenšie číslo, ktorý je rovnomerne deliteľný každým menovateľom.

• Niekedy je NOZ zjavným číslom. Napríklad, ak je daná rovnica: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, potom je zrejmé, že najmenší spoločný násobok čísel 3, 2 a 6 bude 6.
• Ak NOD nie je zrejmé, zapíšte si násobky najväčšieho menovateľa a nájdite medzi nimi taký, ktorý je násobkom aj ostatných menovateľov. NOD často nájdete jednoduchým vynásobením dvoch menovateľov dohromady. Napríklad, ak je daná rovnica x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, potom NOZ = 8*9 = 72.
• Ak jeden alebo viac menovateľov obsahuje premennú, potom je proces o niečo komplikovanejší (ale nie nemožný). NOZ je v tomto prípade výraz (obsahujúci premennú), ktorý je deliteľný každým menovateľom. Napríklad v rovnici 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), pretože tento výraz je deliteľný každým menovateľom: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Vynásobte čitateľa aj menovateľa každého zlomku číslom, ktoré sa rovná výsledku delenia NOZ príslušným menovateľom každého zlomku. Keďže násobíte čitateľa aj menovateľa rovnakým číslom, v skutočnosti násobíte zlomok číslom 1 (napríklad 2/2 = 1 alebo 3/3 = 1).

• V našom príklade teda vynásobte x/3 2/2, aby ste dostali 2x/6, a vynásobte 1/2 3/3, aby ste dostali 3/6 (3x + 1/6 nie je potrebné násobiť, pretože menovateľ je 6).
• Podobne postupujte, keď je premenná v menovateli. V našom druhom príklade NOZ = 3x(x-1), takže 5/(x-1) krát (3x)/(3x) je 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x krát 3(x-1)/3(x-1), čím získate 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) vynásobte (x-1)/(x-1) a dostanete 2(x-1)/3x(x-1).

Nájdite x. Teraz, keď ste zlomky zredukovali na spoločného menovateľa, môžete sa menovateľa zbaviť. Ak to chcete urobiť, vynásobte každú stranu rovnice spoločným menovateľom. Potom vyriešte výslednú rovnicu, to znamená nájdite "x". Ak to chcete urobiť, izolujte premennú na jednej strane rovnice.

• V našom príklade: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Môžete pridať 2 frakcie s rovnaký menovateľ, tak rovnicu napíšte ako: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Vynásobte obe strany rovnice 6 a zbavte sa menovateľov: 2x+3 = 3x +1. Vyriešte a získajte x = 2.
• V našom druhom príklade (s premennou v menovateli) rovnica vyzerá (po redukcii na spoločného menovateľa): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x (x-1). Vynásobením oboch strán rovnice NOZ sa zbavíte menovateľa a dostanete: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), alebo 15x = 3x - 3 + 2x -2, príp. 15x = x - 5 Vyriešte a dostanete: x = -5/14.

"Riešenie zlomkových racionálnych rovníc"

Ciele lekcie:

Návod:

tvorba konceptu zlomkových racionálnych rovníc; zvážiť rôzne spôsoby riešenia zlomkových racionálnych rovníc; zvážiť algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc vrátane podmienky, že zlomok sa rovná nule; naučiť riešenie zlomkových racionálnych rovníc podľa algoritmu; kontrola úrovne asimilácie témy vykonaním testovacej práce.

vyvíja sa:

rozvoj schopnosti správne pracovať so získanými vedomosťami, logicky myslieť; rozvoj intelektuálnych schopností a mentálnych operácií - analýza, syntéza, porovnávanie a zovšeobecňovanie; rozvoj iniciatívy, schopnosť robiť rozhodnutia, nezastaviť sa tam; rozvoj kritického myslenia; rozvoj výskumných zručností.

Výchova:

vzdelávanie kognitívneho záujmu o predmet; výchova k samostatnosti pri riešení výchovných problémov; výchova vôle a vytrvalosti k dosiahnutiu konečných výsledkov.

Typ lekcie: lekcia - vysvetlenie novej látky.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Ahojte chalani! Rovnice sú napísané na tabuli, pozorne si ich prezrite. Dokážete vyriešiť všetky tieto rovnice? Ktoré nie sú a prečo?

Rovnice, v ktorých ľavá a pravá strana sú zlomkové racionálne vyjadrenia, sa nazývajú zlomkové racionálne rovnice. Čo si myslíte, že sa dnes na lekcii naučíme? Formulujte tému lekcie. Takže otvárame notebooky a zapisujeme si tému lekcie „Riešenie zlomkových racionálnych rovníc“.

2. Aktualizácia poznatkov. Frontálny prieskum, ústna práca s triedou.

A teraz si zopakujeme hlavný teoretický materiál, ktorý potrebujeme na preštudovanie novej témy. Odpovedzte prosím na nasledujúce otázky:

1. Čo je to rovnica? ( Rovnosť s premennou alebo premennými.)

2. Ako sa nazýva rovnica č. 1? ( Lineárne.) Metóda riešenia lineárnych rovníc. ( Presuňte všetko s neznámou na ľavú stranu rovnice, všetky čísla doprava. Prineste podobné podmienky. Nájdite neznámy multiplikátor).

3. Ako sa nazýva rovnica č. 3? ( Námestie.) Metódy riešenia kvadratických rovníc. ( Výber úplného štvorca pomocou vzorcov pomocou Vietovej vety a jej dôsledkov.)

4. Čo je to pomer? ( Rovnosť dvoch vzťahov.) Hlavná vlastnosť proporcie. ( Ak je pomer pravdivý, potom sa súčin jeho extrémnych členov rovná súčinu stredných členov.)

5. Aké vlastnosti sa využívajú pri riešení rovníc? ( 1. Ak v rovnici prenesieme člen z jednej časti do druhej, pričom zmeníme jeho znamienko, dostaneme rovnicu ekvivalentnú danej. 2. Ak sa obe časti rovnice vynásobia alebo vydelia rovnakým nenulovým číslom, získa sa rovnica, ktorá je ekvivalentná danému.)

6. Kedy sa zlomok rovná nule? ( Zlomok je nula, keď je čitateľ nula a menovateľ je nenulový.)

3. Vysvetlenie nového materiálu.

Riešte rovnicu č.2 v zošitoch a na tabuli.

Odpoveď: 10.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu môžete skúsiť vyriešiť pomocou základnej vlastnosti proporcie? (č. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Riešte rovnicu č.4 v zošitoch a na tabuli.

Odpoveď: 1,5.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu sa môžete pokúsiť vyriešiť vynásobením oboch strán rovnice menovateľom? (č. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Odpoveď: 3;4.

Teraz skúste vyriešiť rovnicu #7 jedným zo spôsobov.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49
Odpoveď: 0;5;-2.			Odpoveď: 5;-2.

Vysvetlite, prečo sa to stalo? Prečo sú v jednom prípade tri korene a v druhom dva? Aké čísla sú koreňmi tejto zlomkovej racionálnej rovnice?

Žiaci sa doteraz s pojmom cudzieho koreňa nestretli, je pre nich naozaj veľmi ťažké pochopiť, prečo sa tak stalo. Ak nikto v triede nevie dať jasné vysvetlenie tejto situácie, potom učiteľ položí navádzacie otázky.

Čím sa líšia rovnice č. 2 a 4 od rovníc č. 5,6,7? ( V rovniciach č.2 a 4 v menovateli čísla, č.5-7 - výrazy s premennou.) Aký je koreň rovnice? ( Hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica stáva skutočnou rovnosťou.) Ako zistiť, či je číslo koreňom rovnice? ( Vykonajte kontrolu.)

Pri testovaní si niektorí študenti všimnú, že musia deliť nulou. Dospeli k záveru, že čísla 0 a 5 nie sú koreňmi tejto rovnice. Vynára sa otázka: existuje spôsob riešenia zlomkových racionálnych rovníc, ktorý túto chybu eliminuje? Áno, táto metóda je založená na podmienke, že zlomok sa rovná nule.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ak x=5, potom x(x-5)=0, takže 5 je cudzí koreň.

Ak x=-2, potom x(x-5)≠0.

Odpoveď: -2.

Skúsme týmto spôsobom sformulovať algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc. Deti samy formulujú algoritmus.

Algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetko na ľavú stranu.

2. Priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi.

3. Vytvorte systém: zlomok sa rovná nule, keď sa čitateľ rovná nule, a menovateľ sa nerovná nule.

4. Vyriešte rovnicu.

5. Skontrolujte nerovnosť, aby ste vylúčili cudzie korene.

6. Zapíšte si odpoveď.

Diskusia: ako formalizovať riešenie, ak sa použije základná vlastnosť proporcie a násobenie oboch strán rovnice spoločným menovateľom. (Doplňte riešenie: vylúčte z jeho koreňov tie, ktoré otáčajú spoločného menovateľa na nulu).

4. Primárne pochopenie nového materiálu.

Pracovať v pároch. Študenti si sami vyberú spôsob riešenia rovnice v závislosti od typu rovnice. Úlohy z učebnice "Algebra 8", 2007: č. 000 (b, c, i); č. 000 (a, e, g). Učiteľ kontroluje plnenie úlohy, odpovedá na vzniknuté otázky a poskytuje pomoc slabo prospievajúcim žiakom. Autotest: Odpovede sú napísané na tabuli.

b) 2 je cudzí koreň. Odpoveď: 3.

c) 2 je cudzí koreň. Odpoveď: 1.5.

a) Odpoveď: -12.5.

g) Odpoveď: 1; 1.5.

5. Vyhlásenie domácej úlohy.

2. Naučte sa algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc.

3. Riešte v zošitoch č.000 (a, d, e); Č. 000 (g, h).

4. Skúste vyriešiť č. 000(a) (voliteľné).

6. Splnenie kontrolnej úlohy na preberanú tému.

Práca sa vykonáva na listoch.

Príklad práce:

A) Ktoré z rovníc sú zlomkové racionálne?

B) Zlomok je nula, keď je čitateľ _______________________ a menovateľ je _______________________.

Q) Je číslo -3 koreňom rovnice #6?

D) Riešte rovnicu č.7.

Kritériá hodnotenia úloh:

„5“ sa udeľuje, ak žiak správne splnil viac ako 90 % úlohy. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" dostane študent, ktorý splnil menej ako 50% úlohy. Známka 2 sa do denníka neuvádza, 3 je voliteľná.

7. Reflexia.

Na letáky s nezávislou prácou uveďte:

1 - ak bola lekcia pre vás zaujímavá a zrozumiteľná; 2 - zaujímavé, ale nejasné; 3 - nie zaujímavé, ale zrozumiteľné; 4 - nie je zaujímavé, nie je jasné.

8. Zhrnutie lekcie.

Dnes sme sa teda v lekcii zoznámili so zlomkovými racionálnymi rovnicami, naučili sme sa, ako tieto rovnice riešiť rôznymi spôsobmi, otestovali sme svoje vedomosti pomocou vzdelávacej samostatnej práce. Výsledky samostatnej práce sa dozviete na ďalšej lekcii, doma budete mať možnosť upevniť si získané vedomosti.

Aká metóda riešenia zlomkových racionálnych rovníc je podľa vás jednoduchšia, dostupnejšia, racionálnejšia? Bez ohľadu na spôsob riešenia zlomkových racionálnych rovníc, na čo netreba zabúdať? V čom spočíva „prefíkanosť“ zlomkových racionálnych rovníc?

Ďakujem vám všetkým, lekcia sa skončila.

Pokračujeme v rozprávaní o riešenie rovníc. V tomto článku sa zameriame na racionálne rovnice a princípy riešenia racionálnych rovníc s jednou premennou. Po prvé, poďme zistiť, aké druhy rovníc sa nazývajú racionálne, uveďte definíciu celočíselných racionálnych a zlomkových racionálnych rovníc a uveďte príklady. Ďalej získame algoritmy na riešenie racionálnych rovníc a samozrejme zvážime riešenia typických príkladov so všetkými potrebnými vysvetleniami.

Navigácia na stránke.

Na základe odznených definícií uvádzame niekoľko príkladov racionálnych rovníc. Napríklad x=1, 2 x−12 x 2 y z 3 =0, , sú všetky racionálne rovnice.

Z uvedených príkladov je vidieť, že racionálne rovnice, ako aj rovnice iných typov, môžu byť buď s jednou premennou, alebo s dvoma, tromi atď. premenných. V nasledujúcich odsekoch si povieme niečo o riešení racionálnych rovníc v jednej premennej. Riešenie rovníc s dvoma premennými a oni Vysoké číslo si zaslúžia osobitnú pozornosť.

Okrem delenia racionálnych rovníc počtom neznámych premenných sa delia aj na celočíselné a zlomkové. Uveďme zodpovedajúce definície.

Definícia.

Racionálna rovnica sa nazýva celý, ak jeho ľavá aj pravá časť sú celočíselnými racionálnymi výrazmi.

Definícia.

Ak aspoň jedna z častí racionálnej rovnice je zlomkový výraz, potom sa táto rovnica nazýva čiastočne racionálne(alebo zlomkové racionálne).

Je jasné, že celočíselné rovnice neobsahujú delenie premennou, naopak zlomkové racionálne rovnice nevyhnutne obsahujú delenie premennou (alebo premennou v menovateli). Takže 3 x + 2 = 0 a (x+y) (3x2-1)+x=-y+0,5 sú celé racionálne rovnice, obe ich časti sú celočíselné výrazy. A a x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sú príklady zlomkových racionálnych rovníc.

Na záver tohto odseku venujme pozornosť skutočnosti, že lineárne rovnice a kvadratické rovnice známe v tomto okamihu sú celé racionálne rovnice.

Riešenie celých rovníc

Jedným z hlavných prístupov k riešeniu celých rovníc je ich redukcia na ekvivalent algebraické rovnice. To sa dá vždy urobiť vykonaním nasledujúcich ekvivalentných transformácií rovnice:

• najprv sa výraz z pravej strany pôvodnej celočíselnej rovnice prenesie na ľavú stranu s opačným znamienkom, aby sa na pravej strane dostala nula;
• potom na ľavej strane rovnice výsledný štandardný tvar.

Výsledkom je algebraická rovnica, ktorá je ekvivalentná pôvodnej celej rovnici. Takže v najjednoduchších prípadoch sa riešenie celých rovníc redukuje na riešenie lineárnych alebo kvadratických rovníc a vo všeobecnom prípade - na riešenie algebraickej rovnice stupňa n. Pre názornosť rozoberme riešenie príkladu.

Príklad.

Nájdite korene celej rovnice 3 (x+1) (x-3)=x (2 x-1)-3.

Riešenie.

Zredukujme riešenie celej tejto rovnice na riešenie ekvivalentnej algebraickej rovnice. Aby sme to dosiahli, najprv prenesieme výraz z pravej strany na ľavú, čím sa dostaneme k rovnici 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. A po druhé, transformujeme výraz vytvorený na ľavej strane na polynóm štandardného tvaru vykonaním potrebných krokov: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Riešenie pôvodnej celočíselnej rovnice sa teda redukuje na riešenie kvadratická rovnica x 2 -5 x -6 = 0 .

Vypočítajte jeho diskriminant D = (-5)2-41 (-6) = 25 + 24 = 49, je kladná, čo znamená, že rovnica má dva reálne korene, ktoré zistíme podľa vzorca koreňov kvadratickej rovnice:

Aby sme si boli úplne istí, poďme na to kontrola nájdených koreňov rovnice. Najprv skontrolujeme koreň 6, dosadíme ho namiesto premennej x v pôvodnej celočíselnej rovnici: 3 (6+1) (6-3)=6 (26-1)-3, čo je rovnaké, 63=63 . Toto je platná numerická rovnica, takže x=6 je skutočne koreňom rovnice. Teraz skontrolujeme koreň −1 , máme 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, odkiaľ, 0=0 . Pre x=−1 sa pôvodná rovnica tiež zmenila na skutočnú číselnú rovnosť, preto je x=−1 tiež koreňom rovnice.

odpoveď:

6 , −1 .

Tu je tiež potrebné poznamenať, že pojem „mocnosť celej rovnice“ je spojený so zobrazením celej rovnice vo forme algebraickej rovnice. Uvádzame zodpovedajúcu definíciu:

Definícia.

Stupeň celej rovnice nazývame stupeň algebraickej rovnice jej ekvivalentný.

Podľa tejto definície má celá rovnica z predchádzajúceho príkladu druhý stupeň.

Na tomto by sa dalo skončiť riešením celých racionálnych rovníc, ak nie jednej, ale .... Ako je známe, riešenie algebraických rovníc vyššieho stupňa ako druhého je spojené so značnými ťažkosťami a pre rovnice vyššieho stupňa ako štvrté takéto rovnice vôbec neexistujú. všeobecné vzorce korene. Preto riešiť celé rovnice tretieho, štvrtého a ďalších vysoké stupnečasto sa musia uchýliť k iným metódam riešenia.

V takýchto prípadoch je niekedy prístup k riešeniu celých racionálnych rovníc založený na faktorizačná metóda. Súčasne sa postupuje podľa nasledujúceho algoritmu:

• najprv sa snažia mať nulu na pravej strane rovnice, preto prenesú výraz z pravej strany celej rovnice na ľavú;
• potom je výsledný výraz na ľavej strane prezentovaný ako súčin niekoľkých faktorov, čo umožňuje prejsť na množinu niekoľkých jednoduchších rovníc.

Vyššie uvedený algoritmus na riešenie celej rovnice pomocou faktorizácie vyžaduje podrobné vysvetlenie na príklade.

Príklad.

Vyriešte celú rovnicu (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13)= 2 x (x 2 -10 x + 13) .

Riešenie.

Najprv, ako obvykle, prenesieme výraz z pravej strany na ľavú stranu rovnice, pričom nezabudneme zmeniť znamienko, dostaneme (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) − 2 x (x 2 -10 x + 13) = 0 . Tu je celkom zrejmé, že nie je vhodné transformovať ľavú stranu výslednej rovnice na polynóm štandardného tvaru, pretože tak vznikne algebraická rovnica štvrtého stupňa tvaru. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, ktorého riešenie je náročné.

Na druhej strane je zrejmé, že x 2 −10·x+13 možno nájsť na ľavej strane výslednej rovnice, čím ju predstavujeme ako súčin. Máme (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1) = 0. Výsledná rovnica je ekvivalentná pôvodnej celej rovnici a môže byť nahradená sústavou dvoch kvadratických rovníc x 2 −10·x+13=0 a x 2 −2·x−1=0 . Nájsť ich korene pomocou známych koreňových vzorcov cez diskriminant nie je ťažké, korene sú rovnaké. Sú to požadované korene pôvodnej rovnice.

odpoveď:

Je tiež užitočný pri riešení celých racionálnych rovníc. metóda na zavedenie novej premennej. V niektorých prípadoch umožňuje prejsť na rovnice, ktorých stupeň je nižší ako stupeň pôvodnej celočíselnej rovnice.

Príklad.

Nájdite skutočné korene racionálnej rovnice (x 2 +3 x+1) 2 +10=-2 (x 2 +3 x-4).

Riešenie.

Redukovať celú túto racionálnu rovnicu na algebraickú rovnicu nie je, mierne povedané, veľmi dobrý nápad, keďže v tomto prípade prídeme k potrebe vyriešiť rovnicu štvrtého stupňa, ktorá nemá racionálne korene. Preto budete musieť hľadať iné riešenie.

Tu je ľahké vidieť, že môžete zaviesť novú premennú y a nahradiť ňou výraz x 2 +3 x. Takéto nahradenie nás vedie k celej rovnici (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , ktorá po prenesení výrazu −2 (y−4) na ľavú stranu a následnej transformácii tam vytvoreného výrazu , redukuje na rovnicu y 2 +4 y+3=0 . Korene tejto rovnice y=−1 a y=−3 sa dajú ľahko nájsť, možno ich napríklad nájsť na základe inverznej vety Vietovej vety.

Teraz prejdime k druhej časti metódy zavedenia novej premennej, teda k vykonaniu spätnej substitúcie. Po vykonaní obrátenej substitúcie dostaneme dve rovnice x 2 +3 x=−1 a x 2 +3 x=−3 , ktoré možno prepísať ako x 2 +3 x+1=0 a x 2 +3 x+3 =0. Podľa vzorca koreňov kvadratickej rovnice nájdeme korene prvej rovnice. A druhá kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene, pretože jej diskriminant je záporný (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

odpoveď:

Vo všeobecnosti, keď sa zaoberáme celými rovnicami vysokých stupňov, musíme byť vždy pripravení hľadať neštandardnú metódu alebo umelú techniku ​​na ich riešenie.

Riešenie zlomkovo racionálnych rovníc

Po prvé, bude užitočné pochopiť, ako riešiť zlomkovo racionálne rovnice tvaru , kde p(x) a q(x) sú racionálne celočíselné výrazy. A potom si ukážeme, ako zredukovať riešenie zvyšných zlomkovo racionálnych rovníc na riešenie rovníc uvedeného tvaru.

Jeden z prístupov k riešeniu rovnice je založený na nasledovnom tvrdení: číselný zlomok u/v, kde v je nenulové číslo (inak sa stretneme s , ktoré nie je definované), sa rovná nule práve vtedy, ak jeho čitateľ sa rovná nule, potom je vtedy a len vtedy, ak u=0 . Na základe tohto tvrdenia sa riešenie rovnice redukuje na splnenie dvoch podmienok p(x)=0 a q(x)≠0 .

Tento záver je v súlade s nasledujúcim algoritmus na riešenie zlomkovo racionálnej rovnice. Vyriešiť zlomkovú racionálnu rovnicu tvaru

• vyriešiť celú racionálnu rovnicu p(x)=0 ;
• a skontrolujte, či je splnená podmienka q(x)≠0 pre každý nájdený koreň, zatiaľ čo
• ak je pravda, potom tento koreň je koreňom pôvodnej rovnice;
• ak nie, potom je tento koreň cudzí, to znamená, že nie je koreňom pôvodnej rovnice.

Poďme analyzovať príklad použitia hlasového algoritmu pri riešení zlomkovej racionálnej rovnice.

Príklad.

Nájdite korene rovnice.

Riešenie.

Toto je zlomkovo racionálna rovnica tvaru , kde p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Podľa algoritmu na riešenie zlomkovo racionálnych rovníc tohto druhu musíme najskôr vyriešiť rovnicu 3·x−2=0 . Toto je lineárna rovnica, ktorej koreň je x=2/3.

Zostáva skontrolovať tento koreň, teda skontrolovať, či spĺňa podmienku 5·x 2 −2≠0 . Do výrazu 5 x 2 −2 dosadíme namiesto x číslo 2/3, dostaneme . Podmienka je splnená, takže x=2/3 je koreň pôvodnej rovnice.

odpoveď:

2/3 .

K riešeniu zlomkovej racionálnej rovnice možno pristupovať z trochu inej pozície. Táto rovnica je ekvivalentná celej rovnici p(x)=0 na premennej x pôvodnej rovnice. To znamená, že toto môžete sledovať algoritmus na riešenie zlomkovo racionálnej rovnice :

• vyriešiť rovnicu p(x)=0 ;
• nájsť premennú ODZ x ;
• vziať korene patriace do oblasti povolené hodnoty, - sú želanými koreňmi pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice.

Napríklad pomocou tohto algoritmu vyriešme zlomkovú racionálnu rovnicu.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

Riešenie.

Najprv vyriešime kvadratickú rovnicu x 2 −2·x−11=0 . Jeho korene sa dajú vypočítať pomocou koreňového vzorca pre párny druhý koeficient, máme D1 = (-1)2-1 (-11)=12, A .

Po druhé, nájdeme ODZ premennej x pre pôvodnú rovnicu. Pozostáva zo všetkých čísel, pre ktoré x 2 +3 x≠0 , čo je rovnaké x (x+3)≠0 , odkiaľ x≠0 , x≠−3 .

Zostáva skontrolovať, či korene nájdené v prvom kroku sú zahrnuté v ODZ. Očividne áno. Preto má pôvodná zlomkovo racionálna rovnica dva korene.

odpoveď:

Všimnite si, že tento prístup je výnosnejší ako prvý, ak sa ODZ dá ľahko nájsť, a je obzvlášť výhodný, ak sú korene rovnice p(x)=0 napríklad iracionálne alebo racionálne, ale s dosť veľkým čitateľom a /alebo menovateľ, napríklad 127/1101 a -31/59 . Je to spôsobené tým, že v takýchto prípadoch bude kontrola podmienky q(x)≠0 vyžadovať značné výpočtové úsilie a je jednoduchšie vylúčiť cudzie korene z ODZ.

V iných prípadoch pri riešení rovnice, najmä keď korene rovnice p(x)=0 sú celé čísla, je výhodnejšie použiť prvý z vyššie uvedených algoritmov. To znamená, že je vhodné okamžite nájsť korene celej rovnice p(x)=0 a potom skontrolovať, či je pre nich splnená podmienka q(x)≠0, a nie nájsť ODZ a potom rovnicu vyriešiť p(x)=0 na tomto ODZ . Je to spôsobené tým, že v takýchto prípadoch je väčšinou jednoduchšie vykonať kontrolu ako nájsť ODZ.

Zvážte riešenie dvoch príkladov na ilustráciu stanovených nuancií.

Príklad.

Nájdite korene rovnice.

Riešenie.

Najprv nájdeme korene celej rovnice (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, zostavený pomocou čitateľa zlomku. Ľavá strana tejto rovnice je súčin a tá pravá je nula, preto podľa spôsobu riešenia rovníc rozkladom na rozklad je táto rovnica ekvivalentná množine štyroch rovníc 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 -5 x+14= 0, x+1=0. Tri z týchto rovníc sú lineárne a jedna kvadratická, môžeme ich vyriešiť. Z prvej rovnice nájdeme x=1/2, z druhej - x=6, z tretej - x=7, x=−2, zo štvrtej - x=−1.

S nájdenými koreňmi je celkom jednoduché ich skontrolovať, či s nimi nezaniká aj menovateľ zlomku nachádzajúceho sa na ľavej strane pôvodnej rovnice a naopak určenie ODZ nie je také jednoduché, keďže to bude musieť vyriešiť algebraickú rovnicu piateho stupňa. Preto odmietneme nájsť ODZ v prospech kontroly koreňov. Aby sme to dosiahli, dosadíme ich postupne namiesto premennej x vo výraze x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x + 112, získané po substitúcii a porovnajte ich s nulou: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2) + 112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (-2)+112=-720≠0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(-1)+112=0.

Teda 1/2, 6 a -2 sú požadované korene pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice a 7 a -1 sú cudzie korene.

odpoveď:

1/2 , 6 , −2 .

Príklad.

Nájdite korene zlomkovej racionálnej rovnice.

Riešenie.

Najprv nájdeme korene rovnice (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Táto rovnica je ekvivalentná množine dvoch rovníc: štvorcová 5·x 2 −7·x−1=0 a lineárna x−2=0 . Podľa vzorca koreňov kvadratickej rovnice nájdeme dva korene a z druhej rovnice máme x=2.

Kontrola, či menovateľ nezmizne pri zistených hodnotách x, je dosť nepríjemná. A určiť rozsah prijateľných hodnôt premennej x v pôvodnej rovnici je pomerne jednoduché. Preto budeme konať cez ODZ.

V našom prípade ODZ premennej x pôvodnej zlomkovo racionálnej rovnice pozostáva zo všetkých čísel, okrem tých, pre ktoré je splnená podmienka x 2 +5·x−14=0. Korene tejto kvadratickej rovnice sú x=−7 a x=2, z čoho vyvodíme záver o ODZ: skladá sa zo všetkých x takých, že .

Zostáva skontrolovať, či nájdené korene a x=2 patria do oblasti prípustných hodnôt. Korene - patria, teda sú koreňmi pôvodnej rovnice, a x=2 nepatrí, teda je to cudzí koreň.

odpoveď:

Bude tiež užitočné venovať sa osobitne prípadom, keď zlomková racionálna rovnica tvaru obsahuje číslo v čitateli, to znamená, keď p (x) je reprezentované nejakým číslom. V čom

• ak je toto číslo iné ako nula, potom rovnica nemá korene, pretože zlomok je nula práve vtedy, ak je jej čitateľ nula;
• ak je toto číslo nula, potom koreňom rovnice je ľubovoľné číslo z ODZ.

Príklad.

Riešenie.

Keďže v čitateli zlomku na ľavej strane rovnice je nenulové číslo, pre žiadne x sa hodnota tohto zlomku nemôže rovnať nule. Preto táto rovnica nemá korene.

odpoveď:

žiadne korene.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

Riešenie.

Čitateľ zlomku na ľavej strane tejto zlomkovej racionálnej rovnice je nula, takže hodnota tohto zlomku je nula pre ľubovoľné x, pre ktoré to dáva zmysel. Inými slovami, riešením tejto rovnice je ľubovoľná hodnota x z DPV tejto premennej.

Zostáva určiť tento rozsah prijateľných hodnôt. Zahŕňa všetky hodnoty x, pre ktoré x 4 +5 x 3 ≠0. Riešenia rovnice x 4 + 5 x 3 \u003d 0 sú 0 a -5, pretože táto rovnica je ekvivalentná rovnici x 3 (x + 5) \u003d 0 a je zase ekvivalentná kombinácii dvoch rovníc x 3 \u003d 0 a x +5=0, odkiaľ sú tieto korene viditeľné. Preto je požadovaný rozsah prijateľných hodnôt ľubovoľné x okrem x=0 a x=−5.

Zlomkovo racionálna rovnica má teda nekonečne veľa riešení, ktorými sú ľubovoľné čísla okrem nuly a mínus päť.

odpoveď:

Nakoniec je čas hovoriť o riešení ľubovoľných zlomkových racionálnych rovníc. Možno ich zapísať ako r(x)=s(x) , kde r(x) a s(x) sú racionálne výrazy a aspoň jeden z nich je zlomkový. Pri pohľade do budúcnosti hovoríme, že ich riešenie je redukované na riešenie rovníc v nám už známej forme.

Je známe, že prevod člena z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom vedie k ekvivalentnej rovnici, takže rovnica r(x)=s(x) je ekvivalentná rovnici r(x)−s (x) = 0 .

Vieme tiež, že ktorýkoľvek sa môže identicky rovnať tomuto výrazu. teda racionálne vyjadrenie na ľavej strane rovnice r(x)−s(x)=0 môžeme vždy transformovať na rovnako rovnaký racionálny zlomok tvaru .

Prejdeme teda od pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice r(x)=s(x) k rovnici a jej riešenie, ako sme zistili vyššie, sa zredukuje na vyriešenie rovnice p(x)=0 .

Tu je však potrebné vziať do úvahy skutočnosť, že pri nahradení r(x)−s(x)=0 za a potom za p(x)=0 sa rozsah prípustných hodnôt premennej x môže rozšíriť. .

Preto pôvodná rovnica r(x)=s(x) a rovnica p(x)=0 , ku ktorej sme dospeli, nemusia byť ekvivalentné a riešením rovnice p(x)=0 môžeme získať korene to budú cudzie korene pôvodnej rovnice r(x)=s(x) . Je možné identifikovať a nezahrnúť cudzie korene do odpovede buď kontrolou, alebo kontrolou ich príslušnosti k ODZ pôvodnej rovnice.

Tieto informácie zhrnieme v algoritmus na riešenie zlomkovej racionálnej rovnice r(x)=s(x). Na vyriešenie zlomkovej racionálnej rovnice r(x)=s(x) je potrebné

• Získajte nulu vpravo posunutím výrazu z pravej strany s opačným znamienkom.
• Vykonajte akcie so zlomkami a polynómami na ľavej strane rovnice, čím ju prevediete na racionálny zlomok tvaru.
• Riešte rovnicu p(x)=0 .
• Identifikujte a vylúčte cudzie korene, čo sa robí ich dosadením do pôvodnej rovnice alebo kontrolou ich príslušnosti k ODZ pôvodnej rovnice.

Pre väčšiu prehľadnosť ukážeme celý reťazec riešenia zlomkových racionálnych rovníc:
.

Poďme si prejsť riešenia niekoľkých príkladov s podrobným vysvetlením riešenia, aby sme daný blok informácií objasnili.

Príklad.

Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu.

Riešenie.

Budeme konať v súlade s práve získaným algoritmom riešenia. A najprv prenesieme pojmy z pravej strany rovnice na ľavú stranu, čím prejdeme na rovnicu .

V druhom kroku musíme zlomkový racionálny výraz na ľavej strane výslednej rovnice previesť do tvaru zlomku. Za týmto účelom vykonáme redukciu racionálnych zlomkov na spoločného menovateľa a zjednodušíme výsledný výraz: . Takže sa dostávame k rovnici.

V ďalšom kroku musíme vyriešiť rovnicu −2·x−1=0 . Nájdite x=−1/2 .

Zostáva skontrolovať, či nájdené číslo −1/2 je cudzí koreň pôvodnej rovnice. Ak to chcete urobiť, môžete skontrolovať alebo nájsť premennú ODZ x pôvodnej rovnice. Ukážme si oba prístupy.

Začnime šekom. Do pôvodnej rovnice dosadíme namiesto premennej x číslo −1/2, dostaneme , ktoré je rovnaké, −1=−1. Substitúcia dáva správnu číselnú rovnosť, preto x=−1/2 je koreň pôvodnej rovnice.

Teraz si ukážeme, ako sa cez ODZ vykonáva posledný krok algoritmu. Rozsah prípustných hodnôt pôvodnej rovnice je množina všetkých čísel okrem −1 a 0 (keď x=−1 a x=0, menovatele zlomkov zmiznú). Koreň x=−1/2 nájdený v predchádzajúcom kroku patrí do ODZ, preto x=−1/2 je koreň pôvodnej rovnice.

odpoveď:

−1/2 .

Uvažujme o ďalšom príklade.

Príklad.

Nájdite korene rovnice.

Riešenie.

Potrebujeme vyriešiť zlomkovo racionálnu rovnicu, prejdeme si všetky kroky algoritmu.

Najprv prenesieme výraz z pravej strany na ľavú, dostaneme .

Po druhé, transformujeme výraz vytvorený na ľavej strane: . Výsledkom je, že sa dostaneme k rovnici x=0.

Jeho koreň je zrejmý – je nulový.

V štvrtom kroku zostáva zistiť, či nájdený koreň nie je vonkajším koreňom pre pôvodnú zlomkovo racionálnu rovnicu. Keď sa dosadí do pôvodnej rovnice, získa sa výraz. Očividne to nedáva zmysel, keďže obsahuje delenie nulou. Z toho sme dospeli k záveru, že 0 je cudzí koreň. Preto pôvodná rovnica nemá korene.

7, čo vedie k rovnici. Z toho môžeme usúdiť, že výraz v menovateli ľavej strany sa musí rovnať z pravej strany, teda . Teraz z oboch častí trojky odčítame: . Analogicky, odkiaľ a ďalej.

Kontrola ukazuje, že oba nájdené korene sú koreňmi pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice.

odpoveď:

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14. hodine 1. časť vzdelávacie inštitúcie/ A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.