Aritmetický priemer zo série meraní
Keď sa n zvyšuje, priemerná hodnota
Gaussov vzorec možno odvodiť z nasledujúcich predpokladov:
- chyby merania môžu mať súvislý rad hodnôt;
- pri veľké čísla chyby pozorovania rovnakej veľkosti, ale iné znamenie stretávať sa rovnako často;
- pravdepodobnosť, teda relatívna frekvencia výskytu chýb, klesá so zvyšujúcou sa veľkosťou chyby. Inými slovami, veľké chyby sú menej časté ako menšie.
Zákon normálneho rozdelenia je opísaný nasledujúcou funkciou:
kde σ je stredná kvadratická chyba; σ2 je rozptyl merania; X ist - skutočná hodnota nameranej hodnoty.
Analýza vzorca (1.13) ukazuje, že funkcia normálneho rozdelenia je symetrická vzhľadom na priamku X = X true a má maximum pri X = X true. Hodnotu ordináty tohto maxima nájdeme tak, že na pravú stranu rovnice (1.13) vložíme X ist namiesto X. Získame
,
z čoho vyplýva, že keď σ klesá, y(X) rastie. Oblasť pod krivkou
musí zostať konštantná a rovná 1, pretože pravdepodobnosť, že nameraná hodnota X bude v rozsahu od -∞ do +∞, sa rovná 1 (táto vlastnosť sa nazýva podmienka normalizácie pravdepodobnosti).
Na obr. 1.1 sú znázornené grafy troch funkcií normálneho rozdelenia pre tri hodnoty σ (σ 3 > σ 2 > σ 1) a jednu X ist. Normálne rozdelenie je charakterizované dvoma parametrami: strednou hodnotou náhodná premenná, ktorý v nekonečne vo veľkom počte merania (n → ∞) sa zhodujú s jeho skutočnou hodnotou a rozptylom σ. Hodnota σ charakterizuje rozptyl chýb vzhľadom na priemernú hodnotu, ktorá sa považuje za pravdivú. Pri malých hodnotách σ idú krivky strmšie a veľké hodnoty ΔХ sú menej pravdepodobné, teda odchýlka výsledkov merania od skutočnú hodnotu v tomto prípade menšie.
Existuje niekoľko spôsobov, ako odhadnúť veľkosť náhodnej chyby merania. Najbežnejší odhad je pomocou štandardnej alebo odmocniny chyby. Niekedy sa používa stredná aritmetická chyba.
Štandardná chyba (mocná štvorec) priemeru v sérii n meraní je daná:
Ak je počet pozorovaní veľmi veľký, potom množstvo Sn podliehajúce náhodným náhodným fluktuáciám má tendenciu k nejakej konštantnej hodnote σ, ktorá sa nazýva štatistická hranica Sn:
Práve tento limit sa nazýva stredná kvadratická chyba. Ako je uvedené vyššie, druhá mocnina tejto veličiny sa nazýva rozptyl merania, ktorý je zahrnutý v Gaussovom vzorci (1.13).
Hodnota σ má veľkú praktickú hodnotu. Nech ako výsledok meraní určitej fyzikálnej veličiny nájdeme aritmetický priemer<Х>a nejaká chyba ΔX. Ak meraná veličina podlieha náhodnej chybe, potom nemožno bezpodmienečne predpokladať, že skutočná hodnota meranej veličiny leží v intervale (<Х>– ΔX,<Х>+ ΔХ) alebo (<Х>– ΔX)< Х < (<Х>+ ΔХ)). Vždy existuje určitá pravdepodobnosť, že skutočná hodnota leží mimo tohto intervalu.
Interval spoľahlivosti je rozsah hodnôt (<Х>– ΔX,<Х>+ ΔХ) hodnoty X, do ktorej podľa definície s danou pravdepodobnosťou spadá jej skutočná hodnota X sr.
Spoľahlivosť výsledku série meraní je pravdepodobnosť, že skutočná hodnota meranej veličiny spadá do daného intervalu spoľahlivosti. Spoľahlivosť výsledku merania alebo úroveň spoľahlivosti je vyjadrená ako zlomok jednotky alebo percento.
Nech α označuje pravdepodobnosť, že sa výsledok merania líši od skutočnej hodnoty o hodnotu nie väčšiu ako ΔX. Zvyčajne sa to píše takto:
R((<Х>– ΔX)< Х < (<Х>+ ΔХ)) = α
Výraz (1.16) znamená, že s pravdepodobnosťou rovnou α výsledok merania nepresahuje interval spoľahlivosti od r.<Х>– ΔХ až<Х>+ ΔX. Čím väčší je interval spoľahlivosti, teda čím väčšia je špecifikovaná chyba výsledku merania ΔX, tým spoľahlivejšie spadá hľadaná hodnota X do tohto intervalu. Prirodzene, hodnota α závisí od počtu n meraní. ako aj na špecifikovanej chybe ΔХ.
Na charakterizáciu veľkosti náhodnej chyby je teda potrebné nastaviť dve čísla, a to:
- veľkosť samotnej chyby (alebo interval spoľahlivosti);
- hodnotu úroveň sebavedomia(spoľahlivosť).
Špecifikovať iba veľkosť chyby bez špecifikovania zodpovedajúcej pravdepodobnosti spoľahlivosti je do značnej miery nezmyselné, pretože v tomto prípade nevieme, nakoľko spoľahlivé sú naše údaje. Znalosť úrovne spoľahlivosti vám umožňuje posúdiť stupeň spoľahlivosti výsledku.
Požadovaný stupeň spoľahlivosti je daný charakterom vykonávaných zmien. Stredná štvorcová chyba Sn zodpovedá pravdepodobnosti spoľahlivosti 0,68, zdvojnásobená stredná štvorcová chyba (2σ) zodpovedá pravdepodobnosti spoľahlivosti 0,95 a trojnásobok (3σ) zodpovedá 0,997.
Ak je interval (X - σ, X + σ) zvolený ako interval spoľahlivosti, potom môžeme povedať, že zo sto výsledkov meraní bude 68 nevyhnutne v tomto intervale (obr. 1.2). Ak pri meraní absolútna chyba∆Х > 3σ, potom by sa toto meranie malo pripísať hrubým chybám alebo chybe. Hodnota 3σ sa zvyčajne berie ako limitná absolútna chyba jedného merania (niekedy sa namiesto 3σ berie absolútna chyba meracieho zariadenia).
Pre akúkoľvek hodnotu intervalu spoľahlivosti možno vypočítať zodpovedajúcu pravdepodobnosť spoľahlivosti pomocou Gaussovho vzorca. Tieto výpočty boli uskutočnené a ich výsledky sú zhrnuté v tabuľke. 1.1.
Pravdepodobnosti spoľahlivosti α pre interval spoľahlivosti vyjadrený ako zlomok strednej kvadratickej chyby ε = ΔX/σ.
Strana 1
Aritmetický priemer chyby ft sa vypočíta na kontrolu - prítomnosť systematických chýb. Ak sa pri výpočte ft pomocou oboch vzorcov (7) a (7a) získajú výrazne odlišné výsledky, existuje dôvod predpokladať prítomnosť systematických chýb.
Chyba aritmetického priemeru sa vypočíta pre kritické merania, keď sa predpokladajú systematické chyby.
Aritmetická stredná chyba Skutočná hodnota A meranej veličiny je takmer vždy neznáma, a preto nie je možné určiť chybu každého jednotlivého merania rozdielom (2.1).
Chyba aritmetického priemeru však plne neodráža vplyv veľkých chýb na presnosť výsledku merania. Moderná teória ukazuje, že presnejší odhad je takzvaná koreňová chyba.
Výhodou chyby aritmetického priemeru r je jednoduchosť jej výpočtu. Vo väčšine prípadov sa S používa častejšie ako r, pretože S je efektívnym odhadom rozptylu.
Charakteristiky rozptylu sú aritmetická stredná chyba, priemer štvorcová chyba, rozsah výsledkov merania. Keďže rozptyl má pravdepodobnostný charakter, pri uvádzaní hodnôt náhodnej chyby sa špecifikuje pravdepodobnosť.
Vzorec (6) ukazuje, že aritmetickú strednú chybu možno vypočítať z výsledkov merania bez kvadratúry zvyškových chýb.
Úzke vertikálne ovály v blízkosti kruhov zobrazujú hodnoty aritmetických priemerných chýb pri určovaní súradníc bodov.
Chyba aritmetického priemeru (podľa absolútna hodnota) a rozsah odčítaní.
Hodnoty p/z podliehajú zamietnutiu, pre ktoré je chybová hodnota väčšia alebo rovná trojnásobku hodnoty aritmetického priemeru chyby. Výpočty vykonané podľa vyššie uvedenej metódy neodhalili potrebu zamietnuť počiatočné údaje pre posudzované polia.
Vzorce druhej skupiny sú jednoparametrické a umožňujú odhad RC, keď neexistujú žiadne výsledky termodynamickej štúdie systému plynového kondenzátu. Chyby aritmetického priemeru výpočtov podľa vzorcov tretej skupiny sa navzájom málo líšia. Presnosť vzorcov (III.116) - (III.118) je nízka, dávajú zníženie chyby vo výpočte len o 3 - 16% aproximácie aritmetického priemeru pk. Vzorce (III.119) a (III.120) prakticky neznižujú počiatočnú smerodajnú odchýlku.
Na vyhodnotenie presnosti merania teória náhodné chyby zahŕňa aj takzvanú pravdepodobnú chybu g a aritmetický priemer chyby § série meraní.
Predpokladajme teraz, že v uvažovanom rade nie je žiadna 2. dimenzia (271 3), ktorá poskytla najväčšiu odchýlku (u - 6 3) od aritmetického priemeru. Porovnanie týchto dvoch posledné čísla s hodnotami podobných chýb pre prvý príklad si všimneme, že aritmetická stredná chyba série je oveľa menej citlivá na prítomnosť jednotlivých veľké chyby, Chamova stredná kvadratická chyba a. Toto je významná nevýhoda hodnotenia spoľahlivosti meraní metódou aritmetickej strednej chyby série. Preto aj napriek výhode jednoduchosti sa metóda aritmetického priemeru chyby používa pomerne zriedka.
Nechajte namerané mať známa hodnota rozsah X. Prirodzene, jednotlivé hodnoty tejto veličiny sa nachádzajú v procese merania X1 , X2 ,… xn zjavne nie celkom presne, t.j. nezhodujú sa s X. Potom bude hodnota absolútna chyba i tej dimenzie. Ale keďže skutočná hodnota výsledku X, spravidla nie je známy, potom skutočný odhad absolútnej chyby namiesto X priemer , ktorý sa vypočíta podľa vzorca:
 |
Pri malých veľkostiach vzoriek však namiesto
je lepšie použiť medián. Medián (ja) nazývaná hodnota náhodnej premennej x, v ktorej polovica výsledkov má hodnotu menšiu ako a druhá väčšiu ako ja. Kalkulovať ja výsledky sú usporiadané vzostupne, to znamená, že tvoria takzvaný variačný rad. Pre nepárny počet meraní n sa medián rovná hodnote stredného člena série. Napríklad,
pre n=3
Pre párne n je hodnota ja sa rovná polovici súčtu hodnôt dvoch priemerov. Napríklad,
pre n=4
Pre výpočet s použiť nezaokrúhlené výsledky analýzy s nepresným posledným desatinným miestom.
S veľmi veľkým počtom vzoriek ( n>) náhodné chyby možno opísať pomocou normálneho Gaussovho rozdelenia. Pri malom n rozdelenie sa môže líšiť od normálneho. V matematickej štatistike je táto dodatočná nespoľahlivosť eliminovaná modifikovanou symetriou t-distribúcia. Existuje nejaký pomer t, nazývaný Studentov koeficient, ktorý v závislosti od počtu stupňov voľnosti ( f) a úroveň spoľahlivosti ( R) vám umožňuje prejsť zo vzorky na všeobecnú populáciu.
Smerodajná odchýlka priemerného výsledku je určená vzorcom:
Hodnota je interval spoľahlivosti priemeru. Pri sériových analýzach sa zvyčajne predpokladá R= 0,95.
Tabuľka 1. Hodnoty študentských koeficientov ( t)
f |
||||
Príklad 1 .
Z desiatich stanovení obsahu mangánu vo vzorke je potrebné vypočítať smerodajnú odchýlku jednej analýzy a interval spoľahlivosti priemernej hodnoty Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Riešenie. Podľa vzorca (1) sa vypočíta priemerná hodnota analýzy
Podľa tabuľky 1 (aplikácia) nájdite pre f=n-1=9 Študentov koeficient (P=0,95) t=2,26 a vypočítajte interval spoľahlivosti priemeru. Priemerná hodnota analýzy je teda určená intervalom (0,679 ± 0,009) % Mn.
Príklad 2 .
Priemer deviatich meraní tlaku vodnej pary nad roztokom karbamidu pri 20 °C je 2,02 kPa. Vzorová smerodajná odchýlka meraní s = 0,04 kPa. Určte šírku intervalu spoľahlivosti pre priemer deviatich a jedno meranie zodpovedajúce 95 % úrovni spoľahlivosti.
Riešenie. Študentov koeficient t pre hladinu spoľahlivosti 0,95 a f = 8 je 2,31. Vzhľadom na to
a nájdeme:
- šírka dôvery. interval pre strednú hodnotu
- šírka dôvery. interval pre meranie jednej hodnoty
Ak existujú výsledky rozborov vzoriek s rôznym obsahom, tak z čiastkových priemerov s spriemerovaním môžete vypočítať celkový priemer s. Majúce m vzorky a pre každú vzorku nj paralelné definície, výsledky sú prezentované vo forme tabuľky:
číslo |
Analytické číslo |
||
Chyba - odchýlka výsledku merania od skutočnej hodnoty nameranej hodnoty. V závislosti od rôznych vlastností sú chyby rozdelené do typov (obr. 2.9).
Absolútna chyba () - chyba vyjadrená rozdielom medzi nameranou () a skutočnou (skutočnou) hodnotou a vyjadrená v jednotkách nameranej hodnoty
Relatívna chyba() - chyba vyjadrená pomerom absolútnej chyby k skutočnej (reálnej) hodnote nameranej hodnoty a vyjadrená v percentách
Znížená chyba () je pomer absolútnej chyby k normalizačnej hodnote ().
Normalizačná hodnota sa rovná hornej hranici meraní v prítomnosti nulovej hodnoty jednostrannej stupnice zariadenia alebo rozsahu merania v prípade dvojcifernej stupnice zariadenia.
Systematická chyba - chyba, ktorá zostáva konštantná počas opakovaných meraní alebo sa mení podľa čísla.
Trvalé systematické chyby zvyčajne indikujú vysoké alebo nedostatočné ukazovatele metrologickej spoľahlivosti meracích prístrojov, môžu byť stanovené a eliminované Niekedy sa zavádza korekčná tabuľka na odstránenie systematických chýb.
Pravidelne vznikajúce systematické chyby sú spôsobené procesmi starnutia meracích prístrojov, pretože dochádza k procesom vymazávania povrchov, oxidácii atď. Prítomnosť takýchto chýb si vyžaduje overenie a kalibráciu meracích prístrojov
Náhodná chyba – chyby, ktoré sa náhodne menia pri opakovaných meraniach. Tieto chyby sú nepredvídateľné, preto sú nemerateľné a neodstrániteľné, ich vplyv je však možné znížiť opakovaným meraním s následným stanovením charakteristík náhodnej chyby metódami matematickej štatistiky. Blízkosť náhodných chýb k nule sa nazýva konvergencia meraní.
Statické chyby - chyba meracích prístrojov, kedy sa nameraná hodnota počas meraní nemení. Predpokladá sa, že v tomto prípade sa skutočná hodnota meranej veličiny nemení a absolútna chyba zostáva konštantná.
Dynamická chyba - chyba meracích prístrojov, kedy sa počas merania mení nameraná hodnota. Napríklad pri meraní teploty teplomerom musí uplynúť čas, aby ortuť zmenila svoju teplotu a ortuťový stĺpec dosiahol zodpovedajúcu značku na stupnici. Ak sa počas tejto doby zmení teplota meraného objektu, dôjde k dynamickej chybe.
Odstrániteľné chyby sú systematické chyby, ktoré možno identifikovať a odstrániť. Medzi neodstrániteľné patria systematické a náhodné chyby, ale určitá časť náhodných chýb je neodstrániteľná, a teda náhodnosť akéhokoľvek výsledku merania.
Základné chyby – chyby zodpovedajúce normálnych podmienkach aplikácia meracích prístrojov. Tieto podmienky sú stanovené normatívne dokumenty o druhoch meradiel alebo ich jednotlivých druhoch. Najčastejšie sa nastavujú tieto vonkajšie podmienky: teplota okolia, relatívna vlhkosť vzduchu, atmosférický tlak. Jednou z nich je izolácia základnej chyby zodpovedajúcej štandardným podmienkam používania dôležité faktory zabezpečenie jednotnosti meraní.
Dodatočná chyba - chyba, ktorá nastane, keď sa odchýli jedna z ovplyvňujúcich veličín normálna hodnota. Je zvykom rozlišovať dodatočné chyby pre jednotlivé faktory: dodatočná chyba teploty, chyba v dôsledku zmien atmosferický tlak atď.
Prístrojové chyby - chyby meracích prístrojov, podmienené ich nedokonalosťou, konštrukčnými a technologickými vlastnosťami a vplyvom vonkajších podmienok, napríklad rušením. Inštrumentálne chyby sú jednou z najvýznamnejších zložiek chýb a môžu byť systematické alebo náhodné.
Metodologická chyba – chyba určená nedokonalosťou použitej techniky merania. K metodickým chybám patrí aj nemožnosť ideálnej reprodukcie modelu meraného objektu. Väčšinou metodické chyby sú systematické.
Subjektívna chyba – chyba počítania vyplývajúca z individuálne vlastnosti subjekt (operátor) vykonávajúci merania. Táto chyba je určená stupňom pozornosti, koncentráciou operátorov a môže byť systematická aj náhodná.
Prípustná chyba je chyba, ktorej veľkosť je stanovená regulačnými a technickými dokumentmi alebo určená výpočtom.
Neprípustná chyba je taká chyba, pri ktorej je výsledok merania nespoľahlivý a nemožno naň prihliadať.
Neprípustné chyby sú tzv hrubý chyby, príp chyby. Dôležité je včasné odhalenie a odstránenie hrubých chýb.
Hrubé chyby sa môžu vyskytnúť pod vplyvom akéhokoľvek faktora, ktorý ovplyvňuje výsledok merania. Zdrojom hrubej chyby je však najčastejšie nesprávne odčítanie údajov prístroja alebo nepredvídateľné zmeny vonkajšieho prostredia.
Existujú dve hlavné spôsob, ako zistiť hrubé chyby:
O jednotlivé merania chybu možno zistiť, ak je očakávaný výsledok merania približne známy, napríklad pri kontrole pracovných meradiel pomocou etalónov a meradiel alebo pri systematickom meraní objektu, fyzikálne množstvo ktorý sa prakticky nemení;
O viacnásobné merania chyba môže byť stanovená štatistickou analýzou výsledkov pozorovaní. Napríklad pri určovaní prirodzeného úbytku produktov z ovocia a zeleniny sa meria hmotnosť 10 a viac predmetov. Výsledný rozdiel medzi počiatočným a konečným meraním udáva úbytok hmotnosti. Tester okamžite upozorní na „vypadnutie“. celkový počet výsledky.
Spôsoby, ako odstrániť hrubé chyby:
1. Hrubé chyby odhalené počas jednotlivých meraní je možné eliminovať opakovaním meraní a ich prevodom na viaceré.
2. Kedy viacnásobné merania Hrubé chyby sa eliminujú použitím nasledujúcich metód:
tri sigma pravidlá;
matematické spracovanie výsledkov meraní.
Pravidlo troch sigma hovorí, že hrubá chyba je väčšia ako tri sigma.
Sigma () - štandardná odchýlka, vypočítaná rovnicou
kde je skutočná hodnota veličiny v jednom meraní; - aritmetický priemer meranej veličiny pri opakovanom meraní; -- počet meraní.
Tým sa vypočíta interval spoľahlivosti. Zahŕňa hodnoty meranej veličiny, ktoré sa podľa zákona o normálnom rozdelení považujú za spoľahlivé. Hodnoty mimo tohto intervalu sa považujú za chybné a sú vylúčené ako nespoľahlivé. Výsledok merania sa prepočíta s prihliadnutím na vylúčené hodnoty.
Napríklad pri meraní priemernej hmotnosti orechov sa odvážilo 10 kópií. Získali sa tieto výsledky: 15, 19, 20, 21, 22, 18, 22, 20, 25, 17 g Priemerná hmotnosť orechov je 19,9 g; = 2. Interval spoľahlivosti sa rovná (20 2 alebo 18,2 ... 22,2). Mimo neho sú hodnoty 15; 17; 18 a 25, ktoré sú vylúčené, a získa sa spresnený výsledok rovnajúci sa 20,7 g.
Matematické spracovanie výsledky merania upravuje norma.