n1.doc
SPRACOVANIE VÝSLEDKOV MERANIA
SÚHRN Z TEÓRIE CHYBY
Absolútne a relatívne chyby
Žiadna fyzikálna veličina sa nedá zmerať úplne presne: bez ohľadu na to, ako starostlivo je experiment nastavený, nameraná hodnota veličiny X bude iná ako ona skutočnú hodnotu X. Rozdiel medzi týmito hodnotami je absolútna chyba (alebo absolútna chyba * ) merania X :
X = x - x. (1)
Absolútna chyba je rozmerová hodnota: vyjadruje sa v rovnakých jednotkách ako samotná nameraná hodnota (napríklad absolútna chyba merania dĺžky je vyjadrená v metroch, sila prúdu v ampéroch atď.). Ako vyplýva z výrazu (1), X môžu byť pozitívne aj negatívne.
Hoci hodnota X ukazuje, ako sa nameraná hodnota líši od skutočnej, samotná absolútna chyba nemôže úplne charakterizovať presnosť vykonaného merania. Napríklad je známe, že absolútna chyba merania vzdialenosti sa rovná 1 m. Ak sa merala vzdialenosť medzi geografickými bodmi (rádovo niekoľko kilometrov), presnosť takéhoto merania by sa mala považovať za veľmi vysokú; ak sa merali rozmery miestnosti (nepresahujúce tucet metrov), meranie sa uskutočnilo veľmi hrubo. Na charakterizáciu presnosti existuje koncept relatívna chyba (alebo relatívna chyba) E, čo je pomer absolútneho chybového modulu k nameranej hodnote:
To je zrejmé relatívna chyba je bezrozmerná veličina; najčastejšie sa vyjadruje v percentách.
Pri určovaní chýb merania je dôležité mať na pamäti nasledovné. Výrazy (1) a (2) obsahujú skutočnú hodnotu meranej veličiny X, čo nie je možné presne vedieť - preto hodnoty X a E v zásade nemožno presne vypočítať. Môžete len odhadnúť tieto hodnoty, t.j. nájsť ich približne s rôznou mierou istoty. Preto by všetky výpočty súvisiace s určovaním chýb mali mať približný (odhadnutý) charakter.
Náhodné a inštrumentálne chyby
Rôzne chyby, ktoré sa vyskytnú počas meraní, možno klasifikovať podľa ich pôvodu a charakteru ich prejavu.
Podľa pôvodu sa chyby delia na inštrumentálne a metodické.
Prístrojové chyby sú spôsobené nedokonalosťou použitých meracích prístrojov a zariadení. Tieto chyby je možné znížiť použitím presnejších nástrojov. Veľkosť dielu je teda možné merať pomocou pravítka alebo posuvného meradla. Je zrejmé, že v druhom prípade je chyba merania menšia ako v prvom.
Metodické chyby vznikajú v dôsledku toho, že reálne fyzikálnych procesov sa vždy do určitej miery líšia od svojich teoretických modelov. Napríklad vzorec pre periódu kmitania matematického kyvadla je presne správny len pre nekonečne malú amplitúdu kmitania; Stokesov vzorec, ktorý určuje treciu silu pri pohybe guľôčky vo viskóznej tekutine, platí len v prípade dokonale guľového tvaru atď. Objavte a berte do úvahy metodologická chyba možné meraním rovnakej veličiny úplne odlišnou nezávislou metódou.
Podľa povahy prejavu chýb sú systematické a náhodné.
Systematická chyba môže byť spôsobená nástrojmi aj technikou merania. Má dve vlastnosti. Po prvé, systematická chyba je vždy buď pozitívna alebo negatívna a nemení svoje znamenie zo skúsenosti na skúsenosť. Po druhé, systematickú chybu nemožno znížiť zvýšením počtu meraní. Napríklad, ak v neprítomnosti vonkajšie vplyvyšípka meracieho zariadenia ukazuje hodnotu X 0 , iná ako nula, potom vo všetkých ďalších meraniach bude systematická chyba rovná X 0 .
Náhodná chyba môže byť inštrumentálna aj metodická. Je ťažké určiť dôvod jeho vzhľadu a najčastejšie je to nemožné (môžu to byť rôzne rušenia, náhodné otrasy, vibrácie, nesprávne odčítané údaje na zariadení atď.). Náhodná chyba môže byť pozitívna aj negatívna a nepredvídateľne mení svoje znamenie zo skúsenosti na skúsenosť. Jeho hodnotu je možné znížiť zvýšením počtu meraní.
Podrobná analýza chýb merania je komplexná úloha, na ktorú neexistuje jednotný recept. Preto sa v každom prípade táto analýza vykonáva rôznymi spôsobmi. Ak sa však pri prvej aproximácii vylúči systematická chyba, zvyšok možno podmienečne zredukovať na tieto dva typy: inštrumentálne a náhodné.
prístrojová miestnosť
Ďalej sa chyba bude nazývať náhodná chyba spôsobená meracími prístrojmi a zariadeniami a náhodný
- chyba, ktorej príčina nie je známa. Chyba prístrojového merania X bude označené ako
X, náhodný – ako s X.
Odhad náhodnej chyby. Interval spoľahlivosti
Metóda odhadu náhodnej chyby vychádza z ustanovení teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Náhodnú chybu je možné odhadnúť len v prípade, že boli vykonané opakované merania tej istej veličiny.
Nech sa v dôsledku vykonaných meraní P hodnoty množstva X: X 1 , X 2 , …, X P. Označiť podľa 
stredná aritmetická hodnota
. (3)
V teórii pravdepodobnosti je dokázané, že s nárastom počtu meraní P aritmetický priemer nameranej hodnoty sa približuje k skutočnosti:
S malým počtom meraní ( P 10) priemerná hodnota sa môže výrazne líšiť od skutočnej hodnoty. Aby sme vedeli, ako presne hodnota charakterizuje nameranú hodnotu, je potrebné určiť tzv interval spoľahlivosti výsledok.
Keďže absolútne presné meranie nie je možné, pravdepodobnosť správnosti tvrdenia „ x má hodnotu presne rovnú“ sa rovná nule. Pravdepodobnosť výroku " x má hodnotu” sa rovná jednej (100 %). Pravdepodobnosť správnosti akéhokoľvek medzivýroku teda leží v rozmedzí od 0 do 1. Účelom merania je nájsť taký interval, v ktorom s vopred stanovenou pravdepodobnosťou
(0 interval spoľahlivosti a hodnota s ním neoddeliteľne spojená
– úroveň sebavedomia
(alebo faktor spoľahlivosti). Priemerná hodnota vypočítaná podľa vzorca (3) sa berie ako stred intervalu. Polovica šírky intervalu spoľahlivosti je náhodná chyba s X(obr. 1).
Obr.1 (pozri koniec súboru)
Na obr. jeden, a, b Jasne sa ukazuje, že ak sú ostatné veci rovnaké, na zvýšenie pravdepodobnosti, že skutočná hodnota spadá do intervalu spoľahlivosti, je potrebné zväčšiť šírku intervalu spoľahlivosti (pravdepodobnosť „pokrytia“ hodnoty Xširší interval vyššie). Preto hodnota t n ,
by mala byť väčšia, tým vyššia je úroveň spoľahlivosti
.
Je zrejmé, že šírka intervalu spoľahlivosti (a teda chyba s X) závisí od toho, do akej miery sú jednotlivé merania množstva X i od strednej hodnoty. „Rozptyl“ výsledkov merania vo vzťahu k priemeru je charakterizovaný odmocnina stredná kvadratická chyba , ktorý sa zistí podľa vzorca
, (4)
kde 
.
Šírka požadovaného intervalu spoľahlivosti je priamo úmerná strednej kvadratickej chybe:
. (5)
Faktor proporcionality t n , volal Študentský koeficient; závisí od počtu pokusov P a úroveň dôvery .
S nárastom počtu experimentov sa priemerná hodnota približuje k skutočnosti; teda s rovnakou pravdepodobnosťou interval spoľahlivosti môže byť užší (pozri obr. 1, a, c) – teda s rastom P mal by klesnúť sudentský koeficient.
Tabuľka hodnôt študentských koeficientov v závislosti od P a uvedené v prílohe k tomuto návodu.
Treba poznamenať, že úroveň spoľahlivosti nemá nič spoločné s presnosťou výsledku merania. Hodnota
sú vopred stanovené na základe požiadaviek na ich spoľahlivosť. Vo väčšine technických experimentov a v laboratórnej praxi je hodnota
rovná sa 0,95.
Výpočet náhodnej chyby pri meraní veličiny X vykonávané v nasledujúcom poradí:
1) vypočíta sa súčet nameraných hodnôt a potom sa vypočíta priemerná hodnota množstva podľa vzorca (3);
2) pre každého i experimentu sa vypočíta rozdiel medzi nameranými a priemernými hodnotami, ako aj druhá mocnina tohto rozdielu (odchýlky) ( X i) 2 ;
3) nájde sa súčet kvadratických odchýlok a potom stredná kvadratická chyba podľa vzorca (4);
4) podľa danej úrovne spoľahlivosti a počet experimentov P zo stola. P-1 prihlášky sa zvolí zodpovedajúca hodnota Študentovho koeficientu t n , a odhodlaný náhodná chyba s X podľa vzorca (5).
Pre uľahčenie výpočtov a overenie priebežných výsledkov sa údaje zapisujú do tabuľky, ktorej vzor je uvedený nižšie.
stôl 1
| Číslo skúseností | … | X | X | ( X) 2 |
| 1 | … | |||
| 2 | … | |||
| … | … | |||
| P | … | |||
| = | = |
V každom konkrétnom prípade hodnota X má určitý fyzikálny význam a zodpovedajúce jednotky merania. Môže to byť napríklad zrýchlenie voľný pád g (pani 2), viskozita kvapaliny
(Pa
s) atď. Chýbajúce stĺpce tabuľky. 1 môže obsahovať medziľahlé namerané hodnoty potrebné na výpočet zodpovedajúcich hodnôt X.
Príklad 1
Na určenie zrýchlenia a pohyb tela meraný čas t prechádzajúc ich cestou Sžiadna počiatočná rýchlosť. Použitie známeho vzťahu 
, získame výpočtový vzorec
. (6)
Výsledky merania dráhy S a čas t sú uvedené v druhom a treťom stĺpci tabuľky. 2. Po vykonaní výpočtov pomocou vzorca (6) vyplníme
štvrtý stĺpec s hodnotami zrýchlenia a i a nájdeme ich súčet, ktorý zapíšeme pod tento stĺpec do bunky “ = “. Potom vypočítame priemernú hodnotu 
podľa vzorca (3):
.
tabuľka 2
| Číslo skúseností | S, m | t, c | a, pani 2 | a, pani 2 | (a) 2 , (pani 2) 2 |
| 1 | 5 | 2,20 | 2,07 | 0,04 | 0,0016 |
| 2 | 7 | 2,68 | 1,95 | -0,08 | 0,0064 |
| 3 | 9 | 2,91 | 2,13 | 0,10 | 0,0100 |
| 4 | 11 | 3,35 | 1,96 | -0,07 | 0,0049 |
| = | 8,11 | = | 0,0229 |
Odčítanie od každej hodnoty a i priemer, nájdite rozdiely a i a umiestnite ich do piateho stĺpca tabuľky. Vyrovnaním týchto rozdielov vyplníme posledný stĺpec. Potom vypočítame súčet štvorcových odchýlok a zapíšeme ho do druhej bunky „ = “. Podľa vzorca (4) určíme odmocninu:
.
Vzhľadom na hodnotu pravdepodobnosti spoľahlivosti = 0,95 pre počet experimentov P= 4 z tabuľky. Aplikácia P-1 zvoľte hodnotu Študentovho koeficientu t n , = 3,18; Nakoniec pomocou vzorca (5) odhadneme náhodnú chybu pri meraní zrýchlenia
s a= 3,180,0437 0,139 (pani 2 ) .
Metódy určovania chýb prístroja
Hlavnými charakteristikami meracích prístrojov sú medza merania a deliaca hodnota, ako aj - hlavne u elektrických meracích prístrojov - trieda presnosti.
Limit merania P- toto je maximálna hodnota množstvo, ktoré možno merať pomocou danej stupnice prístroja. Ak nie je limit merania špecifikovaný samostatne, potom je určený digitalizáciou stupnice. Ak teda Obr. 2 je znázornená mierka miliampérmetra, potom je jeho hranica merania 100 mA.
Obr.2
Hodnota delenia C- hodnota meranej veličiny zodpovedajúca najmenšiemu dieliku stupnice. Ak stupnica začína od nuly, potom
,
kde N je celkový počet divízií. Napríklad na obr. 2 N= 50. Ak táto stupnica patrí k ampérmetru s limitom merania 5 ALE, potom je cena delenia 5/50 = 0,1 ( ALE). Ak stupnica patrí k teplomeru a je odstupňovaná v OD, potom cena rozdelenia C = 100/50 = 2 ( OD). Mnoho elektrických meracích prístrojov má niekoľko limitov merania. Pri ich prechode z jedného limitu na druhý sa mení aj cena delenia váhy.
Trieda presnosti K je pomer absolútnej inštrumentálnej chyby k limitu merania na stupnici, vyjadrený v percentách:
. (7)
Hodnota triedy presnosti (bez symbolu „%“) sa spravidla uvádza na elektrických meracích prístrojoch.
V závislosti od typu meracieho zariadenia sa absolútna prístrojová chyba určuje jednou z nasledujúcich metód.
1. Chyba je indikovaná priamo na zariadení. Takže na mikrometri je nápis „0,01 mm“. Ak sa toto zariadenie používa na meranie napríklad priemeru gule D (laboratórne práce 1.2), potom chyba jeho merania D = 0,01 mm. Absolútna chyba sa zvyčajne uvádza na kvapalinových (ortuťových, alkoholových) teplomeroch, posuvných meradlách atď.
2. Trieda presnosti je uvedená na prístroji. Podľa definície tejto veličiny zo vzorca (7) máme:
. (8)
Napríklad pre voltmeter s triedou presnosti 2,5 a limitom merania 600 AT absolútna chyba merania napätia prístroja
.
3. Ak na zariadení nie je uvedená absolútna chyba ani trieda presnosti, potom v závislosti od povahy činnosti zariadenia existujú dva spôsoby, ako určiť hodnotu X:
a) ukazovateľ hodnoty nameranej hodnoty môže zaberať len určité (diskrétne) pozície zodpovedajúce dielikom stupnice (napr. Digitálne hodinky, stopky, počítadlá pulzov atď.). Takéto zariadenia sú diskrétne akčné zariadenia a ich absolútna chyba sa rovná hodnote delenia stupnice: X = C. Takže pri meraní časového intervalu t stopky s hodnotou dielika 0,2 s chyba t = 0,2 s;
b) ukazovateľ hodnoty nameranej hodnoty môže zaberať akúkoľvek pozíciu na stupnici (pravítka, zvinovacie metre, šípkové váhy, teplomery a pod.). V tomto prípade sa absolútna inštrumentálna chyba rovná polovici hodnoty delenia:
X = C/2. Presnosť údajov nameraných zariadením by nemala prekročiť jeho možnosti. Napríklad, keď je znázornené na obr. 3 poloha šípky zariadenia by mala byť napísaná buď 62,5 alebo 63,0 - v oboch prípadoch chyba nepresiahne polovicu hodnoty delenia. Záznamy ako 62,7 alebo 62,8 nedávajú zmysel.
Obr.3
4. Ak v danom experimente nie je nameraná nejaká hodnota, ale bola nameraná nezávisle a je známa len jej hodnota, potom je nastaviť parameter. Takže v práci 2.1 na určenie koeficientu viskozity vzduchu sú takými parametrami rozmery kapiláry, v Youngovom experimente o interferencii svetla (práca 5.1) - vzdialenosť medzi štrbinami atď. Predpokladá sa, že chyba daného parametra sa rovná polovici jednotky poslednej číslice čísla, ktorým je daná hodnota tohto parametra. Napríklad, ak je kapilárny polomer r udáva sa s presnosťou na stotiny milimetra, potom jeho chyba
r = 0,005 mm.
Chyby nepriamych meraní
Vo väčšine fyzikálnych experimentov požadovaná hodnota a nemerané priamo žiadnym jedným prístrojom, ale vypočítané z merania množstva medziľahlých hodnôt X,
r,
z,…
Výpočet sa vykonáva podľa určitého vzorca, ktorý v všeobecný pohľad možno napísať ako
a = a (X, r, z,… ). (9)
V tomto prípade sa hovorí o hodnote a je výsledok nepriame meranie Na rozdiel od X, r, z,… , čo sú výsledky priame merania. Napríklad v práci 1.2 koeficient viskozity kvapaliny vypočítané podľa vzorca
, (10)
kde sh je hustota materiálu gule; a je hustota kvapaliny; g- gravitačné zrýchlenie; D je priemer gule; t je čas jeho pádu v kvapaline; l- vzdialenosť medzi značkami na plavidle. V tomto prípade sú výsledkom priamych meraní množstvá l, D a t a viskozitný koeficient je výsledkom nepriameho merania. množstvá sh , a a g sú dané parametre.
Absolútna chyba nepriameho merania a závisí od priamych chýb merania X, r, z… a na type funkcie (9). Spravidla hodnota a možno odhadnúť podľa vzorca formulára
kde koeficienty k X , k r , k z,… sú určené typom závislostí veličiny a od X, r, z,… Tabuľka nižšie. 3 vám umožňuje nájsť tieto koeficienty pre najbežnejšie elementárne funkcie ( a, b, c, n sú dané konštanty).
Tabuľka 3
| a(X) | k x |
|
|  |
 |  |
 |  |
|
|  |
 |  |
|
| |
V praxi má závislosť (9) najčastejšie podobu mocninovej funkcie
ktorých exponenti k, m, n,… – reálne (kladné alebo záporné, celé alebo zlomkové) čísla; OD je konštantný koeficient. V tomto prípade absolútna inštrumentálna chyba a sa odhaduje podľa vzorca
kde 
- priemerná hodnota množstva a; 
sú relatívne inštrumentálne chyby priamych meraní veličín X, r, z,… Pre dosadenie do vzorca (12) vyberáme najreprezentatívnejšie, t.j. blízko priemerným hodnotám X, r, z,…
Pri výpočte pomocou vzorcov ako (12) by ste mali mať na pamäti nasledovné.
1. Merané veličiny a ich absolútne chyby (napr. X a X) musia byť vyjadrené v rovnakých jednotkách.
2. Výpočty si nevyžadujú vysokú presnosť výpočtov a mali by mať odhadovaný charakter. Teda množstvá zahrnuté v radikálovom výraze a na druhú ( kE X , mE r , nE z,…) sa zvyčajne zaokrúhľujú na dve platné číslice (pripomíname, že nula je platná číslica len vtedy, ak je pred ňou vľavo aspoň jedna nenulová číslica). Ďalej, ak jedna z týchto hodnôt (napríklad | kE X|) modulo prevyšuje najväčšie z ostatných (| mE r | , | nE z| ,...) viac ako trojnásobne, je možné bez použitia výpočtov podľa vzorca (12) vziať absolútnu chybu rovnú 
. Ak je jeden z nich viac ako trikrát menší ako najmenší z ostatných, potom ho možno pri výpočte podľa vzorca (12) zanedbať.
Príklad 2
Nech pri určovaní zrýchlenia telesa (pozri príklad 1) dráhu S merané krajčírskym metrom s deliacou cenou 1 mm, a čas t- elektronické stopky. Potom, v súlade s tvrdeniami v odseku 3, a,b(s. 13) pravidiel, budú chyby priamych meraní rovné
S= 0,5 mm = 0,0005 m;
t = 0,01 s.
Výpočtový vzorec (6) možno zapísať ako mocninovú funkciu
a(S,t ) = 2S 1 t – 2 ;
potom na základe (12) chyba nepriameho merania zrýchlenia a je určený výrazom
Ako najreprezentatívnejšie hodnoty meraných veličín berieme (pozri tabuľku 2) S 8 m; t 3 s a odhadnúť absolútnu hodnotu relatívnych inštrumentálnych chýb priamych meraní, berúc do úvahy ich váhové koeficienty:
;
.
Je zrejmé, že v tomto prípade hodnota E S možno zanedbať a prijať chybu a rovný
.
Príklad 3
Vráťme sa k určovaniu viskozitného koeficientu kvapaliny (práca 1.2). Výpočtový vzorec (10) môže byť reprezentovaný ako
kde 
. Potom odhadnite inštrumentálnu chybu
, podľa (12) dostaneme výraz
kde 
.
Nechajte vzdialenosť medzi značkami l merané centimetrovou páskou s hodnotou delenia 0,5 cm, priemer gule - s mikrometrom, čas jej pádu - s elektronickými stopkami. Potom
l = 0,25 cm;
D = 0,01 mm;
t = 0,01 s. Predpokladajme, že namerané hodnoty sú: l 80 cm;
D 4 mm;
t 10 s; 
Pa
s. Odhadnime množstvá zahrnuté vo vzorci (13):
Zanedbanie hodnoty E t, vypočítame podľa vzorca (13):
Úplná chyba. Konečný výsledok merania
Výsledkom vyhodnotenia náhodných a prístrojových chýb pri meraní veličiny X boli získané dva intervaly spoľahlivosti charakterizované hodnotami s X
a
X. Výsledný interval spoľahlivosti charakterizuje úplná absolútna chyba
, ktoré v závislosti od pomeru medzi veličinami s X
a
X, sa nachádza nasledujúcim spôsobom.
Ak je jedna z chýb viac ako trojnásobná oproti druhej (napríklad s X > 3 X), potom sa celková chyba rovná tejto väčšej hodnote (vo vyššie uvedenom príklade s X). Ak hodnoty s X a X sú blízko seba, potom sa celková chyba vypočíta ako
. (14)
Záznam o konečnom výsledku merania musí obsahovať nasledujúce povinné prvky.
1) Interval spoľahlivosti formulára
označujúci hodnotu úrovne spoľahlivosti . Hodnoty a sú vyjadrené v rovnakých merných jednotkách, ktoré sú vyňaté zo zátvoriek.
2) Význam celková relatívna chyba
,
vyjadrené v percentách a zaokrúhlené na desatiny.
Celková chyba sa zaokrúhli na dve platné číslice. Ak číslo získané po zaokrúhlení končí na 4, 5 alebo 6, ďalšie zaokrúhľovanie sa nevykoná; ak je druhá platná číslica 1, 2, 3, 7, 8 alebo 9, potom sa hodnota zaokrúhli nahor na jednu platnú číslicu (príklady: a)
0,2642 0,26; b)
3,177 3,2 3; v) 7,8310 - 7 810 - 7 atď.). Potom sa priemerná hodnota zaokrúhli s rovnakou presnosťou.
Príklad 4
V dôsledku určenia zrýchlenia pohybu tela (príklady 1 a 2) je priemerná hodnota zrýchlenia = 2,03 pani 2 , náhodná chyba s a
=
0,139 pani 2 s dôverou
=
0,95 a chyba prístroja
a= 0,0136 pani 2. Pretože
a viac ako desaťkrát menej s a, potom sa môže zanedbať a zaokrúhlená celková absolútna chyba sa môže rovnať s a 0,14 pani 2. Odhadnime relatívnu chybu:
a zapíšte si konečný výsledok merania:
Príklad 5 Nech pri určovaní rýchlosti zvuku a(laboratórium 4.2) získali nasledujúce výsledky: priemer = 343,3 pani; náhodná chyba s a = 8,27 pani pri = 0,90; absolútna chyba prístroja a = 1,52 pani. Je zrejmé, že v tomto prípade hodnota a možno zanedbať v porovnaní s s a a výpočet podľa vzorca (14) sa nevyžaduje. Celková chyba po zaokrúhlení je s a 8 pani; zaokrúhlený priemer 343 pani. Celková relatívna chyba
.
Konečný výsledok merania má tvar
Príklad 6
Pri určovaní vlnovej dĺžky
laserové žiarenie (práca 5.1) získané: pri
= 0,95;
= 1,8610 - 5 mm. V tomto prípade sú hodnoty inštrumentálnych a náhodných chýb blízko seba, takže celkovú chybu môžeme nájsť pomocou vzorca (14):
Zaokrúhlený priemer bude 
mm. Odhadnime celkovú relatívnu chybu
a napíšte konečný výsledok:
E = 4,4 %.
L 
Strana 1
Absolútna chyba stanovenia nepresahuje 0,01 μg fosforu. Túto metódu sme použili na stanovenie fosforu v kyseline dusičnej, octovej, chlorovodíkovej a sírovej a acetóne s ich predbežným odparením.
Absolútna chyba stanovenia je 0 2 - 0 3 mg.
Absolútna chyba pri stanovení zinku v zinko-mangánových feritoch navrhovanou metódou nepresahuje 0 2 % rel.
Absolútna chyba pri stanovení uhľovodíkov C2 - C4, keď je ich obsah v plyne 0 2 - 50 %, je 0 01 - 0 2 %, resp.
Tu je Ay absolútna chyba v definícii r/, ktorá vyplýva z chyby Áno v definícii a. Napríklad relatívna chyba druhej mocniny čísla je dvojnásobkom chyby pri určovaní samotného čísla a relatívna chyba čísla pod odmocninou je len jedna tretina chyby pri určovaní čísla.
Zložitejšie úvahy sú potrebné pri výbere miery porovnania absolútnych chýb pri určovaní času začiatku havárie TV - Ts, kde Tv a Ts je čas obnovenej a skutočnej havárie, resp. Analogicky tu môžeme použiť priemerný čas na dosiahnutie vrcholu znečistenia od skutočného vypúšťania do tých monitorovacích bodov, ktoré zaznamenali haváriu pri prechode znečistenia Tsm. Výpočet spoľahlivosti určenia mocniny nehôd je založený na výpočte relatívnej chyby MV - Ms / Mv, kde Mv a Ms sú obnovené a skutočné mocniny. Nakoniec, relatívna chyba pri určovaní trvania havarijného uvoľnenia je charakterizovaná hodnotou rv - rs / re, kde rv a rs sú rekonštruované a skutočné trvanie havárií.
Zložitejšie úvahy sú potrebné pri výbere miery porovnania absolútnych chýb pri určovaní času začiatku havárie TV - Ts, kde Tv a Ts je čas obnovenej a skutočnej havárie, resp. Analogicky tu môžeme použiť priemerný čas na dosiahnutie vrcholu znečistenia od skutočného vypúšťania do tých monitorovacích bodov, ktoré zaznamenali haváriu pri prechode znečistenia Tsm. Výpočet spoľahlivosti určenia mocniny nehôd je založený na výpočte relatívnej chyby Mv - Ms / Ms, kde Mv a Ms sú obnovené a skutočné mocniny. Nakoniec, relatívna chyba pri určovaní trvania havarijného uvoľnenia je charakterizovaná hodnotou rv - rs / rs, kde rv a rs sú rekonštruované a skutočné trvanie nehôd.
Pri rovnakej absolútnej chybe merania ay absolútna chyba v určení veľkosti sekery klesá so zvyšujúcou sa citlivosťou metódy.
Keďže základom chýb nie sú náhodné, ale systematické chyby Celková absolútna chyba pri určovaní prísaviek môže teoreticky dosiahnuť 10 %. požadované množstvo vzduchu. Len pri neprijateľne voľných peciach (A 0 25) dáva všeobecne akceptovaná metóda viac-menej uspokojivé výsledky. To, čo bolo popísané, je dobre známe nastavovačom, ktorí sa pri znižovaní vzduchovej bilancie hustých pecí často dostanú záporné hodnoty prísavky.
Analýza chyby pri určovaní hodnoty zvieraťa ukázala, že pozostáva zo 4 zložiek: absolútna chyba pri určovaní hmotnosti matrice, kapacita vzorky, váženie a relatívna chyba v dôsledku kolísania hmotnosti vzorky okolo rovnovážnu hodnotu.
Pri dodržaní všetkých pravidiel pre výber, počítanie objemov a analýzu plynov pomocou analyzátora plynov GKhP-3 by celková absolútna chyba pri stanovení obsahu CO2 a O2 nemala presiahnuť 0 2 - 0 4 % ich skutočnej hodnoty.
Z tabuľky. 1 - 3, môžeme konštatovať, že údaje, ktoré používame pre východiskové látky, prevzaté z rôzne zdroje, majú relatívne malé rozdiely, ktoré ležia v rámci absolútnych chýb pri určovaní týchto veličín.
Náhodné chyby môžu byť absolútne alebo relatívne. Náhodná chyba, ktorá má rozmer meranej hodnoty, sa nazýva absolútna chyba určenia. Aritmetický priemer absolútnych chýb všetkých jednotlivých meraní sa nazýva absolútna chyba metódy analýzy.
Hodnota dovolenej odchýlky alebo intervalu spoľahlivosti nie je stanovená svojvoľne, ale vypočítava sa z konkrétnych nameraných údajov a charakteristík použitých prístrojov. Odchýlka výsledku jednotlivého merania od skutočnej hodnoty veličiny sa nazýva absolútna chyba určenia alebo jednoducho chyba. Pomer absolútnej chyby k nameranej hodnote sa nazýva relatívna chyba, ktorá sa zvyčajne vyjadruje v percentách. Poznanie chyby jednotlivého merania nemá nezávislý význam a v každom serióznom experimente je potrebné vykonať niekoľko paralelných meraní, z ktorých sa vypočíta chyba experimentu. Chyby merania v závislosti od príčin ich výskytu sú rozdelené do troch typov.
Meranie veličiny je operácia, v dôsledku ktorej zistíme, koľkokrát je nameraná hodnota väčšia (alebo menšia) ako zodpovedajúca hodnota, braná ako etalón (merná jednotka). Všetky merania možno rozdeliť do dvoch typov: priame a nepriame.
DIRECT to sú merania, v ktorých je priamo zaujímavé fyzikálne množstvo(hmotnosť, dĺžka, časové intervaly, zmena teploty atď.).
NEPRIAME - ide o merania, pri ktorých sa pre nás zaujímavá veličina určuje (vypočítava) z výsledkov priamych meraní iných veličín s ňou spojených určitou funkčnou závislosťou. Napríklad určenie rýchlosti rovnomerný pohyb meraním prejdenej vzdialenosti za určité časové obdobie, meraním telesnej hustoty meraním telesnej hmotnosti a objemu atď.
Spoločným znakom meraní je nemožnosť získať skutočnú hodnotu meranej veličiny, výsledok merania vždy obsahuje nejakú chybu (chybu). Toto sa vysvetľuje ako zásadne obmedzené presnosť merania a charakter samotných meraných objektov. Preto, aby sa naznačilo, ako blízko je získaný výsledok skutočnej hodnote, chyba merania je uvedená spolu so získaným výsledkom.
Napríklad sme merali ohnisková vzdialenosťšošovky f a napísal, že
f = (256 ± 2) mm (1)
To znamená, že ohnisková vzdialenosť je medzi 254 a 258 mm. Ale v skutočnosti má táto rovnosť (1) pravdepodobnostný význam. Nemôžeme s úplnou istotou povedať, že hodnota leží v určených medziach, je to len určitá pravdepodobnosť, preto treba rovnosť (1) doplniť údajom o tom, s akou pravdepodobnosťou má tento pomer zmysel (nižšie to sformulujeme presnejšie vyjadrenie).
Vyhodnotenie chýb je nevyhnutné, pretože bez toho, aby sme vedeli, o čo ide, nie je možné z experimentu vyvodiť jednoznačné závery.
Zvyčajne vypočítajte absolútnu a relatívnu chybu. Absolútna chyba Δx je rozdiel medzi skutočnou hodnotou meranej veličiny μ a výsledkom merania x, t.j. Δx = μ - x
Pomer absolútnej chyby k skutočnej hodnote nameranej hodnoty ε = (μ - x)/μ sa nazýva relatívna chyba.
Absolútna chyba charakterizuje chybu metódy, ktorá bola zvolená na meranie.
Relatívna chyba charakterizuje kvalitu meraní. Presnosť merania je prevrátená k relatívnej chybe, t.j. 1/e.
§ 2. Klasifikácia chýb
Všetky chyby merania sú rozdelené do troch tried: miss (hrubé chyby), systematické a náhodné chyby.
STRATA je spôsobená prudkým porušením podmienok merania pri jednotlivých pozorovaniach. Ide o chybu spojenú s otrasom alebo rozbitím prístroja, hrubou chybnou kalkuláciou experimentátora, nepredvídaným rušením atď. hrubá chyba sa zvyčajne objavuje nie viac ako v jednom alebo dvoch rozmeroch a výrazne sa líši v rozsahu od ostatných chýb. Prítomnosť miss môže výrazne skresliť výsledok obsahujúci miss. Najjednoduchším spôsobom je zistiť príčinu sklzu a odstrániť ju počas procesu merania. Ak počas procesu merania nebol vylúčený sklz, malo by sa to urobiť pri spracovaní výsledkov merania pomocou špeciálnych kritérií, ktoré umožňujú objektívne identifikovať hrubú chybu v každej sérii pozorovaní, ak nejaká existuje.
Systematická chyba je zložka chyby merania, ktorá zostáva konštantná a pravidelne sa mení počas opakovaných meraní rovnakej hodnoty. Systematické chyby vznikajú, ak sa napríklad pri meraní objemu kvapaliny alebo plynu pri pomaly sa meniacej teplote neberie do úvahy tepelná rozťažnosť; ak sa pri meraní hmotnosti neberie do úvahy vplyv vztlakovej sily vzduchu na vážené teleso a na závažia a pod.
Systematické chyby sa pozorujú, ak sa mierka pravítka aplikuje nepresne (nerovnomerne); kapilára teplomera v rôznych častiach má rôzny prierez; s absenciou elektrický prúd cez ampérmeter, šípka prístroja nie je na nule atď.
Ako je zrejmé z príkladov, systematická chyba je spôsobená určitými príčinami, jej hodnota zostáva konštantná (nulový posun stupnice nástroja, nerovnomerné stupnice), prípadne sa mení podľa určitého (niekedy dosť zložitého) zákona (nerovnomernosť stupnica, nerovnomerný prierez kapiláry teplomera a pod.).
Môžeme povedať, že systematická chyba je zjemnený výraz, ktorý nahrádza slová „chyba experimentátora“.
Tieto chyby sa vyskytujú, pretože:
- nepresné meracie prístroje;
- skutočná inštalácia sa trochu líši od ideálu;
- teória javu nie je úplne správna, t.j. neboli zohľadnené žiadne účinky.
Vieme, čo robiť v prvom prípade, je potrebná kalibrácia alebo promócia. V ďalších dvoch prípadoch hotový recept neexistuje. Čím lepšie poznáte fyziku, čím máte viac skúseností, tým je pravdepodobnejšie, že takéto efekty odhalíte, a teda ich odstránite. Všeobecné pravidlá, neexistujú žiadne recepty na identifikáciu a odstránenie systematických chýb, ale je možné urobiť určitú klasifikáciu. Rozlišujeme štyri typy systematických chýb.
- Systematické chyby, ktorých povaha je vám známa a ich hodnota sa dá nájsť, sú preto zavedením zmien a doplnení vylúčené. Príklad. Váženie na nerovnakých váhach. Nech je rozdiel dĺžok ramien 0,001 mm. S dĺžkou rockeru 70 mm a vážil telesnú hmotnosť 200 G systematická chyba bude 2,86 mg. Systematickú chybu tohto merania je možné eliminovať aplikáciou špeciálnych váhových metód (Gaussova metóda, Mendelejevova metóda atď.).
- Systematické chyby, o ktorých je známe, že sú menšie alebo rovné určitej hodnote. V tomto prípade je možné pri zaznamenávaní odpovede uviesť ich maximálnu hodnotu. Príklad. V pase pripojenom k mikrometru je napísané: „Prípustná chyba je ± 0,004 mm. Teplota je +20 ± 4 ° C. To znamená, že pri meraní rozmerov telesa týmto mikrometrom pri teplotách uvedených v pase budeme mať absolútnu chybu nepresahujúcu ± 0,004 mm pre akékoľvek výsledky merania.
Často je maximálna absolútna chyba daná daným prístrojom indikovaná triedou presnosti prístroja, ktorá je na stupnici prístroja znázornená príslušným číslom, najčastejšie v krúžku.
Číslo označujúce triedu presnosti označuje maximálnu absolútnu chybu prístroja vyjadrenú v percentách najväčšiu hodnotu nameraná hodnota na hornej hranici stupnice.
Nech sa pri meraniach použije voltmeter so stupnicou od 0 do 250 AT, jeho trieda presnosti je 1. To znamená, že maximálna absolútna chyba, ktorú je možné urobiť pri meraní týmto voltmetrom, nebude väčšia ako 1 % najvyššej hodnoty napätia, ktorú je možné na tejto stupnici prístroja zmerať, inými slovami:
5 = ±0,01250 AT= ±2,5 AT.
Trieda presnosti elektrických meracích prístrojov určuje maximálnu chybu, ktorej hodnota sa pri pohybe od začiatku až po koniec stupnice nemení. V tomto prípade sa relatívna chyba dramaticky mení, pretože prístroje poskytujú dobrú presnosť, keď sa šípka odchyľuje takmer na celú stupnicu a nedáva ju pri meraní na začiatku stupnice. Preto odporúčanie: vyberte prístroj (alebo stupnicu viacrozsahového prístroja) tak, aby šípka prístroja počas meraní presahovala stred stupnice.
Ak nie je špecifikovaná trieda presnosti zariadenia a neexistujú žiadne pasové údaje, potom sa za maximálnu chybu zariadenia považuje polovičná cena najmenšieho dielika stupnice zariadenia.
Pár slov o presnosti pravítok. Kovové pravítka sú veľmi presné: milimetrové delenia sa aplikujú s chybou nie väčšou ako ±0,05 mm a centimetrové nie sú horšie ako s presnosťou 0,1 mm. Chyba meraní vykonaných s presnosťou takýchto pravítok sa prakticky rovná chybe čítania okom (≤0,5 mm). Je lepšie nepoužívať drevené a plastové pravítka, ich chyby sa môžu ukázať ako neočakávane veľké.
Pracovný mikrometer poskytuje presnosť 0,01 mm, a chyba merania posuvným meradlom je určená presnosťou, s ktorou je možné vykonať odčítanie, t.j. presnosť nónia (zvyčajne 0,1 mm alebo 0,05 mm).
- Systematické chyby spôsobené vlastnosťami meraného objektu. Tieto chyby sa často dajú zredukovať na náhodné. Príklad.. Určuje sa elektrická vodivosť niektorých materiálov. Ak sa na takéto meranie odoberie kus drôtu, ktorý má nejaký druh defektu (zhrubnutie, prasklina, nehomogenita), dôjde k chybe pri určovaní elektrickej vodivosti. Opakované meranie dáva rovnakú hodnotu, t.j. je tam nejaká systematická chyba. Zmerajte odpor niekoľkých segmentov takéhoto drôtu a nájdite priemernú hodnotu elektrickej vodivosti tohto materiálu, ktorá môže byť väčšia alebo menšia ako elektrická vodivosť jednotlivých meraní, preto možno pripísať chyby v týchto meraniach k takzvaným náhodným chybám.
- Systematické chyby, ktorých existencia nie je známa. Príklad.. Určte hustotu akéhokoľvek kovu. Najprv zistite objem a hmotnosť vzorky. Vo vnútri vzorky je prázdnota, o ktorej nič nevieme. Pri určovaní hustoty sa urobí chyba, ktorá sa bude opakovať pri ľubovoľnom počte meraní. Uvedený príklad je jednoduchý, zdroj chyby a jej veľkosť možno určiť bez väčších ťažkostí. Chyby tohto typu je možné zistiť pomocou dodatočných štúdií vykonaním meraní úplne inou metódou a za iných podmienok.
RANDOM je zložka chyby merania, ktorá sa náhodne mení pri opakovaných meraniach rovnakej hodnoty.
Keď sa opakované merania rovnakej konštantnej, nemennej veličiny vykonajú s rovnakou starostlivosťou a za rovnakých podmienok, dostaneme výsledky meraní, niektoré sa od seba líšia a niektoré sa zhodujú. Takéto nezrovnalosti vo výsledkoch merania naznačujú prítomnosť zložiek náhodnej chyby v nich.
Náhodná chyba vzniká súčasným pôsobením mnohých zdrojov, z ktorých každý má sám o sebe nepostrehnuteľný vplyv na výsledok merania, ale celkový vplyv všetkých zdrojov môže byť dosť silný.
Náhodná chyba môže nadobudnúť rôzne absolútne hodnoty, ktoré nie je možné predpovedať pre daný akt merania. Táto chyba môže byť rovnako pozitívna aj negatívna. V experimente sú vždy prítomné náhodné chyby. Pri absencii systematických chýb spôsobujú opakované merania rozptylu okolo skutočnej hodnoty ( obr.14).
Ak sa navyše vyskytne systematická chyba, výsledky merania budú rozptýlené vzhľadom na nie skutočnú, ale skreslenú hodnotu ( obr.15).
Ryža. 14 Obr. pätnásť
Predpokladajme, že pomocou stopiek meriame periódu kmitania kyvadla a meranie sa mnohokrát opakuje. Chyby pri spúšťaní a zastavovaní stopiek, chyba v hodnote referencie, malý nerovnomerný pohyb kyvadla to všetko spôsobuje rozptyl vo výsledkoch opakovaných meraní a preto možno klasifikovať ako náhodné chyby.
Ak neexistujú žiadne iné chyby, niektoré výsledky budú trochu nadhodnotené, zatiaľ čo iné budú mierne podhodnotené. Ak však okrem toho zaostávajú aj hodiny, všetky výsledky budú podhodnotené. Toto je už systematická chyba.
Niektoré faktory môžu spôsobiť systematické aj náhodné chyby súčasne. Takže zapínaním a vypínaním stopiek môžeme vytvoriť malý nepravidelný rozptyl v momentoch spustenia a zastavenia hodín vzhľadom na pohyb kyvadla a tým zaviesť náhodnú chybu. Ale ak sa navyše zakaždým, keď sa ponáhľame zapnúť stopky a trochu oneskoríme s ich vypnutím, povedie to k systematickej chybe.
Náhodné chyby sú spôsobené chybou paralaxy pri čítaní dielikov stupnice prístroja, otrasom základov budovy, vplyvom mierneho pohybu vzduchu a pod.
Hoci nie je možné vylúčiť náhodné chyby jednotlivých meraní, matematická teória náhodných javov nám umožňuje znížiť vplyv týchto chýb na konečný výsledok merania. Nižšie sa ukáže, že na to je potrebné vykonať nie jedno, ale niekoľko meraní a čím menšiu hodnotu chyby chceme získať, tým viac meraní je potrebné vykonať.
Treba mať na pamäti, že ak sa náhodná chyba získaná z nameraných údajov ukáže byť výrazne menšia ako chyba určená presnosťou prístroja, potom, samozrejme, nemá zmysel pokúšať sa ďalej znižovať veľkosť v každom prípade náhodná chyba, výsledky merania z toho nebudú presnejšie.
Naopak, ak je náhodná chyba väčšia ako inštrumentálna (systematická) chyba, meranie by sa malo vykonať niekoľkokrát, aby sa znížila hodnota chyby pre danú sériu meraní a aby táto chyba bola menšia alebo o jeden rád. veľkosť s chybou prístroja.
Jednou z najdôležitejších otázok v numerickej analýze je otázka, ako sa chyba, ktorá sa vyskytne v určitom bode v priebehu výpočtu, šíri ďalej, teda či sa jej vplyv zväčšuje alebo zmenšuje pri vykonávaní následných operácií. Extrémnym prípadom je odčítanie dvoch takmer rovnaké čísla: aj pri veľmi malých chybách oboch týchto čísel môže byť relatívna chyba rozdielu veľmi veľká. Takáto relatívna chyba sa bude ďalej šíriť vo všetkých nasledujúcich aritmetických operáciách.
Jedným zo zdrojov výpočtových chýb (chýb) je približná reprezentácia reálnych čísel v počítači, vzhľadom na konečnosť bitovej mriežky. Hoci sú počiatočné údaje prezentované v počítači s vysokou presnosťou, hromadenie chýb zaokrúhľovania v procese počítania môže viesť k významnej výslednej chybe a niektoré algoritmy sa môžu ukázať ako úplne nevhodné pre skutočné výpočty na počítači. Môžete sa dozvedieť viac o reprezentácii reálnych čísel v počítači.
Propagácia chýb
Ako prvý krok pri riešení takého problému, akým je šírenie chýb, je potrebné nájsť výrazy pre absolútne a relatívne chyby výsledku každej zo štyroch aritmetických operácií ako funkciu veličín zahrnutých do operácie a ich chýb.
Absolútna chyba
Doplnenie
Existujú dve aproximácie a dve veličiny a , ako aj zodpovedajúce absolútne chyby a . Potom v dôsledku sčítania máme
.Chyba súčtu, ktorú označíme , sa bude rovnať
.Odčítanie
Rovnakým spôsobom dostaneme
.Násobenie
Pri vynásobení máme
.Keďže chyby sú zvyčajne oveľa menšie ako samotné hodnoty, zanedbávame súčin chýb:
.Chyba produktu bude
.divízie
.Tento výraz transformujeme do formy
.Faktor v zátvorkách môže byť rozšírený do série
.Násobenie a zanedbávanie všetkých pojmov, ktoré obsahujú súčin chýb alebo stupeň chýb vyšší ako prvý, máme
.v dôsledku toho
.Musí byť jasné, že znak chyby je známy len vo veľmi zriedkavých prípadoch. Nie je pravda, že napríklad chyba rastie so sčítaním a klesá s odčítaním, pretože vo vzorci je plus pre sčítanie a mínus pre odčítanie. Ak napríklad chyby dvoch čísel majú opačné znamienka, potom bude situácia presne opačná, to znamená, že chyba sa zníži pri sčítaní a zvýši sa pri odčítaní týchto čísel.
Relatívna chyba
Keď sme odvodili vzorce na šírenie absolútnych chýb v štyroch aritmetických operáciách, je celkom jednoduché odvodiť zodpovedajúce vzorce pre relatívne chyby. Pre sčítanie a odčítanie boli vzorce upravené tak, aby explicitne zahŕňali relatívnu chybu každého pôvodného čísla.
Doplnenie
.Odčítanie
.Násobenie
.divízie
.Aritmetickú operáciu začíname s dvoma približnými hodnotami a so zodpovedajúcimi chybami a . Tieto chyby môžu byť akéhokoľvek pôvodu. Hodnoty a môžu byť experimentálne výsledky obsahujúce chyby; môžu byť výsledkom predbežného výpočtu podľa nejakého nekonečného procesu, a preto môžu obsahovať obmedzujúce chyby; môžu byť výsledkom predchádzajúcich aritmetických operácií a môžu obsahovať chyby zaokrúhľovania. Prirodzene môžu obsahovať aj všetky tri typy chýb v rôznych kombináciách.
Vyššie uvedené vzorce poskytujú výraz pre chybu výsledku každej zo štyroch aritmetických operácií ako funkciu ; chyba zaokrúhľovania v tomto aritmetická operácia kde neberú do úvahy. Ak bude v budúcnosti potrebné vypočítať, ako sa chyba tohto výsledku šíri v nasledujúcich aritmetických operáciách, potom je potrebné vypočítať chybu výsledku vypočítanú jedným zo štyroch vzorcov samostatne pridať chybu zaokrúhľovania.
Grafy výpočtových procesov
Teraz zvážime pohodlný spôsob výpočtu šírenia chyby v nejakom aritmetickom výpočte. Na tento účel znázorníme postupnosť operácií vo výpočte pomocou počítať a v blízkosti šípok grafu budeme zapisovať koeficienty, čo nám umožní pomerne jednoducho určiť celkovú chybu konečného výsledku. Táto metóda je výhodná aj v tom, že uľahčuje určenie podielu akejkoľvek chyby, ktorá vznikla v priebehu výpočtov, k celkovej chybe.
Obr.1. Výpočtový procesný graf
Na obr.1 je znázornený graf výpočtového procesu. Graf treba čítať zdola nahor podľa šípok. Najprv sa vykonajú operácie umiestnené na nejakej horizontálnej úrovni, potom operácie umiestnené na vyššej úrovni atď. Z obr. 1 je napríklad zrejmé, že X a r najprv sčítané a potom vynásobené z. Graf zobrazený v obr.1, je len obrazom samotného výpočtového procesu. Pre výpočet celkovej chyby výsledku je potrebné doplniť tento graf o koeficienty, ktoré sú zapísané pri šípkach podľa nasledujúcich pravidiel.