Ako nájsť absolútnu chybu merania, ak je známa. Absolútna chyba

V živote sa často musíme zaoberať rôznymi približnými hodnotami. Približné výpočty sú vždy výpočty s určitou chybou.

Koncept absolútnej chyby

Absolútna chyba približná hodnota je modul rozdielu medzi presnou hodnotou a približnou hodnotou.
To znamená, že od presnej hodnoty musíte odpočítať približnú hodnotu a vziať výsledné číslo modulo. Absolútna chyba je teda vždy kladná.

Ako vypočítať absolútnu chybu

Ukážeme si, ako to môže vyzerať v praxi. Napríklad máme graf určitej hodnoty, nech je to parabola: y=x^2.

Z grafu vieme v niektorých bodoch určiť približnú hodnotu. Napríklad pri x=1,5 je hodnota y približne 2,2 (y≈2,2).

Podľa vzorca y=x^2 môžeme nájsť presná hodnota v bode x=1,5 y= 2,25.

Teraz vypočítame absolútnu chybu našich meraní. |2,25-2,2|=|0,05| = 0,05.

Absolútna chyba je 0,05. V takýchto prípadoch tiež hovoria, že hodnota je vypočítaná s presnosťou 0,05.

Často sa stáva, že nie vždy sa podarí nájsť presnú hodnotu, a preto nie je vždy možné nájsť absolútnu chybu.

Ak napríklad vypočítame vzdialenosť medzi dvoma bodmi pomocou pravítka, alebo uhol medzi dvoma priamkami pomocou uhlomeru, potom dostaneme približné hodnoty. Presná hodnota sa však nedá vypočítať. V tomto prípade môžeme zadať číslo, ktoré nemôže prekročiť hodnotu absolútnej chyby.

V príklade s pravítkom to bude 0,1 cm, pretože hodnota delenia na pravítku je 1 milimeter. V príklade pre uhlomer je 1 stupeň, pretože stupnica uhlomeru je odstupňovaná po každom stupni. Hodnoty absolútnej chyby v prvom prípade sú teda 0,1 a v druhom prípade 1.

Merania sú tzv rovný, ak hodnoty veličín zisťujú priamo prístroje (napríklad meranie dĺžky pravítkom, určovanie času stopkami atď.). Merania sú tzv nepriamy, ak sa hodnota meranej veličiny zisťuje priamymi meraniami iných veličín, ktoré sú spojené s meraným špecifickým vzťahom.

Náhodné chyby v priamych meraniach

Absolútna a relatívna chyba. Nech sa drží N merania rovnakej veličiny X pri absencii systematickej chyby. Výsledky jednotlivých meraní vyzerajú takto: X 1 ,X 2 , …,X N. Priemerná hodnota meranej veličiny sa volí ako najlepšia:

Absolútna chyba jedno meranie sa nazýva rozdiel tvaru:

Priemerná absolútna chyba N jednotlivé merania:

(2)

volal priemerná absolútna chyba.

Relatívna chyba je pomer priemernej absolútnej chyby k priemernej hodnote meranej veličiny:

. (3)

Chyby prístrojov pri priamych meraniach

Ak nie špeciálne pokyny, chyba prístroja sa rovná polovici jeho hodnoty delenia (pravítko, kadička).

Chyba prístrojov vybavených noniusom sa rovná hodnote delenia nónia (mikrometer - 0,01 mm, posuvné meradlo - 0,1 mm).

Chyba tabuľkových hodnôt sa rovná polovici jednotky poslednej číslice (päť jednotiek nasledujúceho poriadku po poslednej platnej číslici).

Chyba elektrických meracích prístrojov sa vypočíta podľa triedy presnosti OD uvedené na stupnici prístroja:

Napríklad:
a
,

kde U max a ja max– limit merania zariadenia.

Chyba zariadení s digitálnou indikáciou sa rovná jednotke poslednej číslice indikácie.

Po posúdení náhodných a inštrumentálnych chýb sa berie do úvahy tá, ktorej hodnota je väčšia.

Výpočet chýb v nepriamych meraniach

Väčšina meraní je nepriama. V tomto prípade je požadovaná hodnota X funkciou niekoľkých premenných a,b, c… , ktorých hodnoty možno zistiť priamym meraním: Х = f( a, b, c…).

Aritmetický priemer výsledku nepriame merania sa bude rovnať:

X = f( a, b, c…).

Jedným zo spôsobov výpočtu chyby je spôsob diferenciácie prirodzeného logaritmu funkcie X = f( a, b, c...). Ak je napríklad požadovaná hodnota X určená vzťahom X = , potom po logaritmovaní dostaneme: lnX = ln a+ln b+ln( c+ d).

Rozdiel tohto výrazu je:

Čo sa týka výpočtu približných hodnôt, pre relatívnu chybu možno zapísať v tvare:

 =
. (4)

Absolútna chyba sa v tomto prípade vypočíta podľa vzorca:

Х = Х(5)

Výpočet chýb a výpočet výsledku pre nepriame merania sa teda vykonávajú v tomto poradí:

1) Vykonajte merania všetkých veličín zahrnutých v pôvodnom vzorci, aby ste vypočítali konečný výsledok.

2) Vypočítajte aritmetické stredné hodnoty každej nameranej hodnoty a ich absolútne chyby.

3) Do pôvodného vzorca nahraďte priemerné hodnoty všetkých nameraných hodnôt a vypočítajte priemernú hodnotu požadovanej hodnoty:

X = f( a, b, c…).

4) Zoberte logaritmus pôvodného vzorca X = f( a, b, c...) a zapíšte výraz pre relatívnu chybu v tvare vzorca (4).

5) Vypočítajte relatívnu chybu  = .

6) Vypočítajte absolútnu chybu výsledku pomocou vzorca (5).

7) Konečný výsledok sa zapíše takto:

X \u003d X cf X

Absolútne a relatívne chyby najjednoduchších funkcií sú uvedené v tabuľke:

Absolútna

chyba

Relatívna

chyba

a+ b

Podmienky chyba merania a chyba merania sa používajú ako synonymá.) Veľkosť tejto odchýlky je možné len odhadnúť napríklad pomocou štatistických metód. Zároveň za skutočnú hodnotu berie sa priemerná štatistická hodnota získaná štatistickým spracovaním výsledkov série meraní. Táto získaná hodnota nie je presná, ale len najpravdepodobnejšia. Preto je potrebné v meraniach uviesť, aká je ich presnosť. Na tento účel sa spolu so získaným výsledkom zobrazí chyba merania. Napríklad vstup T = 2,8 ± 0,1 c. znamená, že skutočná hodnota množstva T leží v intervale od 2,7 s. predtým 2,9 s. nejaká špecifikovaná pravdepodobnosť (pozri interval spoľahlivosti, pravdepodobnosť spoľahlivosti, štandardná chyba).

V roku 2006 bol na medzinárodnej úrovni prijatý nový dokument, ktorý diktuje podmienky vykonávania meraní a stanovuje nové pravidlá pre porovnávanie štátnych noriem. Pojem „chyba“ sa stal zastaraným, namiesto neho sa zaviedol pojem „neistota merania“.

Definícia chyby

V závislosti od charakteristík meranej veličiny sa na určenie chyby merania používajú rôzne metódy.

Kornfeldova metóda spočíva vo výbere intervalu spoľahlivosti v rozsahu od minima po maximálny výsledok merania a chybu ako polovicu rozdielu medzi maximálnym a minimálnym výsledkom merania:

Stredná štvorcová chyba:

Stredná kvadratická chyba aritmetického priemeru:

Klasifikácia chýb

Podľa formy prezentácie

Absolútna chyba - Δ X je odhad absolútnej chyby merania. Hodnota tejto chyby závisí od spôsobu jej výpočtu, ktorý je zase určený rozdelením náhodnej premennej X meas . V tomto prípade rovnosť:

Δ X = | X true − X meas | ,

kde X true je skutočná hodnota a X meas - nameraná hodnota, mala by sa vykonať s určitou pravdepodobnosťou blízkou 1. Ak náhodná hodnota X meas rozdelené podľa normálneho zákona, potom sa jeho štandardná odchýlka zvyčajne považuje za absolútnu chybu. Absolútna chyba sa meria v rovnakých jednotkách ako samotná hodnota.

Relatívna chyba- pomer absolútnej chyby k hodnote, ktorá sa považuje za pravdivú:

Relatívna chyba je bezrozmerná veličina alebo sa meria v percentách.

Znížená chyba- relatívna chyba, vyjadrená ako pomer absolútnej chyby meracieho prístroja k podmienečne akceptovanej hodnote veličiny, ktorá je konštantná v celom rozsahu merania alebo v časti rozsahu. Vypočítané podľa vzorca

kde X n- normalizačná hodnota, ktorá závisí od typu stupnice meracieho prístroja a je určená jej odstupňovaním:

Ak je mierka prístroja jednostranná, t.j. dolná hranica merania je potom nula X n je určená ako rovná hornej hranici meraní;
- ak je stupnica prístroja obojstranná, potom sa normalizačná hodnota rovná šírke meracieho rozsahu prístroja.

Daná chyba je bezrozmerná hodnota (dá sa merať v percentách).

Vzhľadom na výskyt

Inštrumentálne/inštrumentálne chyby- chyby, ktoré sú určené chybami použitých meracích prístrojov a sú spôsobené nedokonalosťou princípu činnosti, nepresnosťou stupnice a nedostatočnou viditeľnosťou zariadenia.
Metodologické chyby- chyby spôsobené nedokonalosťou metódy, ako aj zjednodušeniami, ktoré sú základom metodiky.
Subjektívne / operátorské / osobné chyby- chyby spôsobené stupňom pozornosti, koncentrácie, pripravenosti a iných vlastností obsluhy.

V strojárstve sa prístroje používajú na meranie len s určitou vopred stanovenou presnosťou – hlavnou chybou povolenou normálnou v normálnych podmienkach prevádzku pre tento nástroj.

Ak je zariadenie prevádzkované za iných ako normálnych podmienok, objaví sa dodatočná chyba, ktorá zvyšuje celkovú chybu zariadenia. Medzi ďalšie chyby patrí: teplota spôsobená odchýlkou teploty životné prostredie od bežnej, inštalácie, v dôsledku odchýlky polohy zariadenia od bežnej prevádzkovej polohy a pod. Za normálna teplota okolitého vzduchu sa berie ako 20 ° C, pre normálne Atmosférický tlak 01,325 kPa.

Všeobecnou charakteristikou meracích prístrojov je trieda presnosti, určená hraničnými hodnotami prípustných hlavných a dodatočné chyby, ako aj ďalšie parametre ovplyvňujúce presnosť meracích prístrojov; hodnota parametrov je stanovená normami pre určité typy meradiel. Trieda presnosti meracích prístrojov charakterizuje ich vlastnosti presnosti, nie je však priamym ukazovateľom presnosti meraní vykonaných pomocou týchto prístrojov, keďže presnosť závisí aj od spôsobu merania a podmienok ich realizácie. Meradlá, ktorých hranice dovolenej základnej chyby sú uvedené vo forme redukovaných základných (relatívnych) chýb, majú priradené triedy presnosti vybrané z niekoľkých čísel: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0 ;5,0;6,0)*10n, kde n = 1; 0; - jeden; -2 atď.

Podľa povahy prejavu

náhodná chyba- chyba, meniaca sa (veľkosťou a znamienkom) od merania k meraniu. Náhodné chyby môže súvisieť s nedokonalosťou prístrojov (trenie v mechanických prístrojoch a pod.), trasením v mestských podmienkach, s nedokonalosťou predmetu merania (napr. pri meraní priemeru tenkého drôtu, ktorý nemusí mať úplne kruhový prierez v dôsledku nedokonalosti výrobného procesu), s vlastnosťami samotnej nameranej hodnoty (napríklad pri meraní počtu elementárnych častíc prechádzajúcich za minútu cez Geigerov počítač).
Systematická chyba- chyba, ktorá sa mení v čase podľa určitého zákona (špeciálny prípad je neustála chyba, ktorý sa časom nemení). Systematické chyby môžu byť spojené s chybami prístroja (nesprávna stupnica, kalibrácia atď.), ktoré experimentátor nezohľadnil.
Progresívna (driftová) chyba je nepredvídateľná chyba, ktorá sa v priebehu času pomaly mení. Je to nestacionárny náhodný proces.
Hrubá chyba (minúť)- chyba vyplývajúca z prehliadnutia experimentátora alebo poruchy zariadenia (napr. ak experimentátor nesprávne prečítal číslo dielika na stupnici prístroja, ak došlo ku skratu v elektrickom obvode).

1. Úvod

Práca chemikov, fyzikov a predstaviteľov iných prírodovedných profesií je často spojená s vykonávaním kvantitatívnych meraní rôznych veličín. To vyvoláva otázku analýzy spoľahlivosti získaných hodnôt, spracovania výsledkov priamych meraní a odhadu chýb výpočtov, ktoré využívajú hodnoty priamo meraných charakteristík (tento proces sa nazýva aj spracovanie výsledkov). nepriamy merania). Vedomosti absolventov Chemickej fakulty Moskovskej štátnej univerzity o výpočte chýb nie sú z viacerých objektívnych dôvodov vždy dostatočné správne spracovanie prijaté dáta. Jedným z týchto dôvodov je nedostatok učebných osnov fakulte predmetu o štatistickom spracovaní výsledkov meraní.

Komu prítomný okamih problematika chýb vo výpočte bola samozrejme podrobne študovaná. Existuje veľké množstvo metodologický vývoj, učebnice a pod., v ktorých môžete získať informácie o výpočte chýb. Žiaľ, väčšina týchto prác je preplnená ďalšími a nie vždy potrebnými informáciami. Najmä väčšina prác študentských workshopov si nevyžaduje také činnosti, ako je porovnávanie vzoriek, hodnotenie konvergencie atď. Preto sa javí ako vhodné vytvoriť krátky vývoj, ktorý načrtne algoritmy pre najčastejšie používané výpočty, čo je dôvod tohto vývoja sa venuje.

2. Notácia prijatá v tejto práci

Nameraná hodnota, - priemerná hodnota nameranej hodnoty, - absolútna chyba priemernej hodnoty nameranej hodnoty, - relatívna chyba priemernej hodnoty nameranej hodnoty.

3. Výpočet chýb priamych meraní

Predpokladajme teda, že existovali n merania rovnakej veličiny za rovnakých podmienok. V tomto prípade môžete vypočítať priemernú hodnotu tohto množstva v meraniach:

(1)

Ako vypočítať chybu? Podľa nasledujúceho vzorca:

(2)

Tento vzorec používa Študentov koeficient. Jeho hodnoty pre rôzne pravdepodobnosti a hodnoty spoľahlivosti sú uvedené v .

3.1. Príklad výpočtu chýb priamych meraní:

Úloha.

Merala sa dĺžka kovovej tyče. Urobilo sa 10 meraní a získali sa nasledujúce hodnoty: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Je potrebné nájsť priemernú hodnotu nameranej hodnoty (dĺžku pruhu) a jej chybu.

Riešenie.

Pomocou vzorca (1) zistíme:

Teraz pomocou vzorca (2) nájdeme absolútnu chybu strednej hodnoty s pravdepodobnosťou spoľahlivosti a počtom stupňov voľnosti (používame hodnotu \u003d 2,262, prevzatú z):

Napíšeme výsledok:

10,8 ± 0,7 0,95 mm

4. Výpočet chýb nepriamych meraní

Predpokladajme, že v priebehu experimentu sa merajú hodnoty , a potom c pomocou získaných hodnôt sa hodnota vypočíta podľa vzorca . V tomto prípade sa chyby priamo nameraných hodnôt vypočítajú tak, ako je opísané v odseku 3.

Výpočet priemernej hodnoty množstva sa vykonáva podľa závislosti pomocou priemerných hodnôt argumentov.

Chyba veľkosti sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

,(3)

kde je počet argumentov, sú parciálne derivácie funkcie vzhľadom na argumenty, je absolútna chyba strednej hodnoty argumentu.

Absolútna chyba, ako v prípade priamych meraní, sa vypočíta podľa vzorca .

4.1. Príklad výpočtu chýb priamych meraní:

Úloha.

Uskutočnilo sa päť priamych meraní a . Pre získané hodnoty hodnoty: 50, 51, 52, 50, 47; hodnoty získané pre hodnotu: 500, 510, 476, 354, 520. Je potrebné vypočítať hodnotu hodnoty určenú vzorcom a nájsť chybu získanej hodnoty.

Absolútna a relatívna chyba

Prvky teórie chýb

Presné a približné čísla

Presnosť čísla je vo všeobecnosti nepochybná, pokiaľ ide o celočíselné hodnoty údajov (2 ceruzky, 100 stromov). Vo väčšine prípadov, keď nie je možné uviesť presnú hodnotu čísla (napríklad pri meraní objektu pravítkom, získavaní výsledkov zo zariadenia atď.), máme do činenia s približnými údajmi.

Približná hodnota je číslo, ktoré sa mierne líši od presnej hodnoty a nahrádza ju vo výpočtoch. Mieru rozdielu medzi približnou hodnotou čísla a jeho presnou hodnotou charakterizuje chyba .

Existujú tieto hlavné zdroje chýb:

1. Chyby vo formulácii problému vznikajúce ako výsledok približného popisu reálneho javu z hľadiska matematiky.

2. Chyby metódy spojené s ťažkosťami alebo nemožnosťou vyriešiť problém a nahradiť ho podobným, aby ste mohli použiť známy a dostupný spôsob riešenia a dosiahnuť výsledok blízky želanému.

3. Fatálne chyby, spojené s približnými hodnotami počiatočných údajov a kvôli vykonaniu výpočtov na približných číslach.

4. Chyby zaokrúhľovania spojené so zaokrúhľovaním hodnôt počiatočných údajov, priebežných a konečných výsledkov získaných pomocou výpočtových nástrojov.

Absolútna a relatívna chyba

Účtovanie chýb je dôležitý aspekt aplikácia numerických metód, keďže chyba konečného výsledku riešenia celého problému je výsledkom vzájomného pôsobenia všetkých typov chýb. Preto je jednou z hlavných úloh teórie chýb odhadnúť presnosť výsledku na základe presnosti počiatočných údajov.

Ak je presné číslo a je to jeho približná hodnota, potom chyba (chyba) približnej hodnoty je miera blízkosti jej hodnoty k presnej hodnote .

Najjednoduchším kvantitatívnym meradlom chyby je absolútna chyba, ktorá je definovaná ako

(1.1.2-1)

Ako je možné vidieť zo vzorca 1.1.2-1, absolútna chyba má rovnaké jednotky merania ako hodnota. Preto podľa veľkosti absolútnej chyby nie je vždy možné vyvodiť správny záver o kvalite aproximácie. Napríklad ak , a to hovoríme o strojnej časti, potom sú merania veľmi hrubé a ak hovoríme o veľkosti nádoby, tak sú veľmi presné. Z tohto dôvodu koncept relatívna chyba, v ktorom hodnota absolútnej chyby súvisí s modulom približnej hodnoty ( ).

(1.1.2-2)

Použitie relatívnych chýb je vhodné najmä preto, že nezávisia od stupnice hodnôt a dátových jednotiek. Relatívna chyba sa meria v zlomkoch alebo percentách. Takže napríklad ak

,a , potom , čo ak a ,

tak potom .

Ak chcete numericky vyhodnotiť chybu funkcie, musíte poznať základné pravidlá na výpočet chyby akcií:

· pri sčítavaní a odčítaní čísel absolútne chyby čísel sa sčítavajú

· pri násobení a delení čísel ich relatívne chyby sú naukladané na seba

· keď sa zvýši na mocninu približného čísla jeho relatívna chyba sa vynásobí exponentom

Príklad 1.1.2-1. Zadaná funkcia: . Nájdite absolútne a relatívne chyby hodnoty (chybu výsledku vykonania aritmetických operácií), ak sú hodnoty sú známe a 1 je presné číslo a jeho chyba je nula.

Keď takto určíme hodnotu relatívnej chyby, môžeme nájsť hodnotu absolútnej chyby ako , kde sa hodnota vypočíta podľa vzorca pre približné hodnoty

Keďže presná hodnota množstva je zvyčajne neznáma, výpočet a podľa vyššie uvedených vzorcov je nemožné. Preto sa v praxi vyhodnocujú okrajové chyby formulára:

(1.1.2-3)

kde a - známe hodnoty, ktoré sú hornými hranicami absolútnych a relatívnych chýb, inak sa nazývajú - medzné absolútne a obmedzujúce relatívne chyby. Presná hodnota teda leží v rozmedzí:

Ak je hodnota známe teda a ak je hodnota známa , potom