Výpočet chýb pre priame a nepriame merania
Meraním sa rozumie porovnanie nameranej hodnoty s inou hodnotou, branou ako merná jednotka. Merania sa vykonávajú empiricky pomocou špeciálnych technických prostriedkov.
Priame merania sa nazývajú merania, ktorých výsledok sa získa priamo z experimentálnych údajov (napríklad meranie dĺžky pravítkom, času stopkami, teploty teplomerom). Nepriame merania sú merania, pri ktorých sa požadovaná hodnota veličiny zistí na základe známeho vzťahu medzi touto veličinou a veličinami, ktorých hodnoty sa získavajú v procese priamych meraní (napríklad určovanie rýchlosti na prejdenej vzdialenosti a čas http://pandia.ru/text/78/ 464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).
Akékoľvek meranie, bez ohľadu na to, ako starostlivo sa vykonáva, je nevyhnutne sprevádzané chybou (chybou) - odchýlkou výsledku merania od skutočnej hodnoty meranej veličiny.
Systematické chyby sú chyby, ktorých veľkosť je rovnaká vo všetkých meraniach vykonaných tou istou metódou s použitím rovnakých meracích prístrojov za rovnakých podmienok. Vyskytujú sa systematické chyby:
V dôsledku nedokonalosti prístrojov používaných pri meraniach (napr. ručička ampérmetra sa môže pri absencii prúdu odchyľovať od nulového delenia; kladina môže mať nerovnaké ramená a pod.);
V dôsledku nedostatočného rozvoja teórie metódy merania, t.j. metóda merania obsahuje zdroj chýb (napr. chyba vzniká pri tepelných stratách v životné prostredie alebo keď sa váženie na analytických váhach vykonáva bez zohľadnenia vztlaku vzduchu);
V dôsledku toho, že sa neberie do úvahy zmena podmienok experimentu (napr. pri dlhodobom prechode prúdu obvodom sa v dôsledku tepelného účinku prúdu zmenia elektrické parametre). zmena okruhu).
Systematické chyby je možné eliminovať, ak sa študujú vlastnosti prístrojov, teória experimentu sa podrobnejšie rozvíja a na základe toho sa robia korekcie výsledkov merania.
Náhodné chyby sú chyby, ktorých veľkosť je odlišná aj pre merania vykonané rovnakým spôsobom. Ich príčiny spočívajú tak v nedokonalosti našich zmyslov, ako aj v mnohých ďalších okolnostiach, ktoré merania sprevádzajú a ktoré nie je možné vopred vziať do úvahy (vyskytujú sa náhodné chyby, ak je rovnosť osvetľovacích polí fotometra nastavená okom ak je okamih maximálnej výchylky matematického kyvadla určený okom; pri zistení okamihu zvukovej rezonancie sluchom; pri vážení na analytických váhach, ak sa na váhy prenášajú vibrácie podlahy a stien a pod.) .
Náhodným chybám sa nedá vyhnúť. Ich výskyt sa prejavuje tak, že pri opakovaní meraní rovnakej veličiny s rovnakou starostlivosťou sa získajú číselné výsledky, ktoré sa navzájom líšia. Ak teda opakovanie meraní prinieslo rovnaké hodnoty, neznamená to absenciu náhodné chyby, ale na nedostatočnú citlivosť metódy merania.
Náhodné chyby menia výsledok v jednom aj v druhom smere od skutočnej hodnoty, preto, aby sa znížil vplyv náhodných chýb na výsledok merania, merania sa zvyčajne opakujú mnohokrát a aritmetický priemer všetkých výsledkov merania je prijaté.
Vedome nesprávne výsledky - k chybám dochádza v dôsledku porušenia základných podmienok merania, v dôsledku nepozornosti alebo nedbanlivosti experimentátora. Napríklad pri slabom osvetlení namiesto „3“ napíšte „8“; v dôsledku toho, že experimentátor je rozptýlený, môže pri počítaní počtu výkyvov kyvadla zablúdiť; z nepozornosti alebo nepozornosti si môže pomýliť hmotnosti hmôt pri určovaní konštanty pruženia a pod. vonkajší znak miss je prudký rozdiel vo veľkosti od výsledkov iných meraní. Ak sa zistí chyba, výsledok merania by sa mal okamžite zahodiť a samotné meranie by sa malo zopakovať. Identifikácii chýb napomáha aj porovnanie výsledkov meraní získaných rôznymi experimentátormi.
Merať fyzikálnu veličinu znamená nájsť interval spoľahlivosti, ktorý obsahuje jeho skutočnú hodnotu http://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21">..png" width="21" height ="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> prípadoch, skutočná hodnota nameranej hodnoty spadá do intervalu spoľahlivosti. Hodnota je vyjadrená v zlomkoch jednotky alebo ako percento. pravdepodobnosť 0,9 alebo 0,95 Niekedy, keď sa vyžaduje extrémne vysoký stupeň spoľahlivosti, sa uvádza hladina spoľahlivosti 0,999. Spolu s hladinou spoľahlivosti sa často používa hladina významnosti, ktorá špecifikuje pravdepodobnosť, že skutočná hodnota nespadá do intervalu spoľahlivosti.Výsledok merania je uvedený vo formulári
kde http://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> – absolútna chyba. Hranice intervalu http://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> teda ležia v tomto intervale.
Vo väčšine prípadov konečný cieľ laboratórne práce je výpočet požadovanej hodnoty pomocou nejakého vzorca, ktorý zahŕňa veličiny merané priamou cestou. Takéto merania sa nazývajú nepriame. Ako príklad uvádzame vzorec hustoty pevné telo valcového tvaru
kde r je hustota telesa, m- telesná hmotnosť, d- priemer valca, h- jeho vysoká.
Závislosť (A.5) v všeobecný pohľad môžu byť reprezentované takto:
Kde Y je nepriamo meraná veličina, vo vzorci (A.5) je to hustota r; X 1 , X 2 ,... ,X n sú priamo merané veličiny, vo vzorci (A.5) sú tieto m, d, A h.
Výsledok nepriameho merania nemôže byť presný, pretože výsledky priamych meraní veličín X 1 , x2, ... ,X n vždy obsahujú chyby. Preto je pre nepriame merania, ako aj pre priame merania potrebné odhadnúť interval spoľahlivosti (absolútnu chybu) získanej hodnoty D Y A relatívna chyba e.
Pri výpočte chýb v prípade nepriamych meraní je vhodné dodržať nasledujúcu postupnosť akcií:
1) získajte priemerné hodnoty každej priamo meranej veličiny á x1ñ, á x2ñ, …, á X nñ;
2) získajte priemernú hodnotu nepriamo meranej veličiny á Yñ dosadením do vzorca (A.6) priemerných hodnôt priamo meraných veličín;
3) na vyhodnotenie absolútnych chýb priamo meraných veličín DX 1 , DX 2 , ..., DXn pomocou vzorcov (A.2) a (A.3);
4) na základe explicitného tvaru funkcie (A.6) získajte vzorec na výpočet absolútnej chyby nepriamo meranej hodnoty D Y a vypočítajte to;
6) zapíšte si výsledok merania s prihliadnutím na chybu.
Nižšie je uvedený vzorec bez odvodenia, ktorý umožňuje získať vzorce na výpočet absolútnej chyby, ak je známy explicitný tvar funkcie (A.6):
kde ¶Y¤¶ x1 atď. - parciálne derivácie Y vzhľadom na všetky priamo merané veličiny X 1 , X 2 , …, X n (keď sa vezme parciálna derivácia, napr X 1, potom všetky ostatné množstvá X i sa vo vzorci považujú za konštantné), D X i– absolútne chyby priamo meraných veličín vypočítané podľa (A.3).
Po vypočítaní DY nájdu relatívnu chybu.
Ak je však funkcia (A.6) jednočlenná, potom je oveľa jednoduchšie najskôr vypočítať relatívnu chybu a potom absolútnu.
V skutočnosti, vydelením oboch strán rovnosti (A.7) Y, dostaneme
.
Ale odvtedy 
, potom môžeme písať
Teraz, keď poznáte relatívnu chybu, určite absolútnu.
Ako príklad získame vzorec na výpočet chyby v hustote látky určenej vzorcom (A.5). Keďže (A.5) je monomický, potom, ako bolo uvedené vyššie, je jednoduchšie najprv vypočítať relatívnu chybu merania podľa (A.8). V (A.8) pod odmocninou máme súčet druhých mocnín parciálnych derivácií z logaritmus nameranú hodnotu, tak najprv zistíme prirodzený logaritmus r:
ln r = ln 4 + ln m– ln p –2 ln d– ln h,
a potom použijeme vzorec (A.8) a získame to
. (str. 9)
Ako vidno, v (A.9) sú použité priemerné hodnoty priamo meraných veličín a ich absolútne chyby vypočítané metódou priamych meraní podľa (A.3). Chyba spôsobená číslom p sa neberie do úvahy, pretože jej hodnotu možno vždy brať s presnosťou presahujúcou presnosť merania všetkých ostatných veličín. Výpočtom e nájdeme .
Ak sú nepriame merania nezávislé (podmienky každého nasledujúceho experimentu sa líšia od podmienok predchádzajúceho), potom hodnoty množstva Y vypočítané pre každý jednotlivý experiment. Po výrobe n skúsenosti, získať n hodnoty Y i. Ďalej, brať každú z hodnôt Y i(Kde i– číslo skúseností) pre výsledok priame meranie, vypočítať á Yñ a D Y podľa vzorcov (A.1) a (A.2).
Konečný výsledok priamych aj nepriamych meraní by mal vyzerať takto:
, (A.10)
Kde m- exponent, u– merné jednotky Y.
Výpočet chýb pri meraniach fyzikálnych veličín
o priame merania fyzikálnych veličín (hodnotu veličiny určuje priamo meracie zariadenie), možno pripustiť tri druhy chýb (chyby merania): a) systematické (metodické a prístrojové);
b) náhodné;
c) brutto (chybí).
Hrubé chyby(alebo vynechá) potrebovať Naraz vylúčiť a vykonajte nové merania.
Systematické a náhodné chyby potrebovať zvážiť.
štandardná chyba merania veľkosti X vypočítané podľa vzorca:
X= , (1)
Kde X syst- štandardný systematický chyba a X sl- štandardný náhodný chyba.
Metodická systematickosť chyby sú potrebné, ak je to možné eliminovať alebo brať do úvahy zavedením špeciálnych korekčných faktorov do nameranej hodnoty X.
Prístrojové vybavenie systematický chyby sú určené triedou presnosti prístroja. Existuje sedem tried presnosti prístroja - 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0.
Ak trieda presnosti na stupnici prístroja uzavretý v kruhu (zariadenie je normalizované relatívnou chybou), napríklad 0,5, potom
X syst = X arr = 0,01 . TO . X, (2a)
Kde TO- trieda presnosti zariadenia, X- nameraná hodnota fyzikálnej veličiny.
Ak trieda presnosti na stupnici prístroja nie je uzavretý v kruhu (zariadenie sa normalizuje podľa zníženej chyby), potom X syst = X arr = 0,01 . TO . X max, (2b)
Kde X max- horná hranica meraní zariadenia.
Ak Trieda presnosť prístroja neznámy , To chyba brať rovný polovičná cena najmenšej divízie ručička prístrojovej stupnice a jeden najmenší dielik digitálnej prístrojovej stupnice. Ak sa ukazovateľ prístroja pohybuje pozdĺž stupnice v skokoch , ako napríklad pri manuálnych stopkách inštrumentálna chyba brať rovný cena divízie zodpovedajúca jeden skokový šíp .
Na určenie náhodná chyba merania sa vykonávajú opakovane.
Pre väčšinu skutočnú hodnotu priamo meraná fyzikálna veličina X vziať priemer všetkých n miery:
<
X>=
. (3)
Štandardné náhodná chyba rovná sa:
Xsl
=
t
n
, (4)
Kde X i = |< X> - X i | - absolútna chyba i-tá dimenzia; t n - Študentský koeficient , záleží na počet meraní n a z požadovaného spoľahlivosť získaný výsledok určený špeciálnou tabuľkou (pozri nižšie). S počtom meraní n 5 so spoľahlivosťou =2/3 Študentský koeficient t n = 1 .
Relatívna chyba merania X množstvo sa nazýva:
X=
.
(5)
X so spoľahlivosťou je v intervale [ X - X, X + X], Kde X je určená vzorcom (3), a X- vzorec (1) so substitúciou hodnôt X syst A X sl vypočítané podľa vzorcov (2) a (4). Bežne sa to píše takto:
X = < X> ΔX . (6)
o nepriame merania význam fyzikálne množstvo určený cez priame merania iných fyzikálnych veličín , ako aj používanie známe parametre nastavenie merania a referenčné údaje s ďalším nahradením týchto hodnôt do pracovného vzorca a zodpovedajúcich výpočtov.
Napríklad, Y = f(a,b,c,d), Kde a = a a, b = b b,c= c c, d= d d.
Najbližšie k skutočnú hodnotu bude:
Y = f( a , b , c , d ), (7)
a štandard chyba Y sa rovná:
Y= . (8)
V jednoduchých prípadoch, napr. Y = a b c , je vhodné vykonať výpočet podľa vzorca:
.
(9)
Skutočná hodnota nameranej hodnoty Y je v intervale [ Y - Y, Y + Y ] , Kde Y je určená vzorcom (7), a Y- vzorec (8) alebo (9). Výsledok teda môže byť reprezentovaný v štandardnej forme (6):
Y = < Y> Y .
Pri zaznamenávaní výsledku merania v štandardnej forme je potrebné dodržiavať
pravidlá zaokrúhľovania :
1. pravidlo - chyby X alebo Y sú zaokrúhlené do dvoch platných číslic ak je prvá číslica jedna, a až do jednej platnej číslice vo všetkých ostatných prípadoch;
2. pravidlo - priemerné hodnoty nameraných veličín X alebo < Y> sú zaokrúhlené na posledné desatinné miesto , ktorý sa používa pri písaní chyby .
Študentské koeficienty t n
MU zostavil doc. Petrenko L.G.