Ukážeme, ako môžete nájsť dráhu, ktorú telo prešlo, pomocou grafu závislosti rýchlosti od času.
Začnime s najjednoduchším prípadom - rovnomerným pohybom. Obrázok 6.1 ukazuje graf v(t) - rýchlosť versus čas. Je to úsek priamky rovnobežnej s časovou základňou, keďže pri rovnomernom pohybe je rýchlosť konštantná.
Obrázok priložený pod týmto grafom je obdĺžnik (na obrázku je vytieňovaný). Jeho plocha sa číselne rovná súčinu rýchlosti v a času pohybu t. Na druhej strane súčin vt sa rovná dráhe l, ktorú telo prejde. Takže rovnomerným pohybom
spôsobom číselne rovná ploche obrázok, priložený pod grafom závislosti rýchlosti od času.
Ukážme teraz, že túto pozoruhodnú vlastnosť má aj nerovnomerný pohyb.
Nech napríklad graf závislosti rýchlosti od času vyzerá ako krivka znázornená na obrázku 6.2. 
Rozdeľme si v duchu celý čas pohybu na také malé intervaly, že počas každého z nich možno pohyb tela považovať za takmer rovnomerný (toto rozdelenie je znázornené prerušovanými čiarami na obrázku 6.2).
Potom sa dráha prejdená pre každý takýto interval číselne rovná ploche obrázku pod príslušným zhlukom grafu. Preto sa celá cesta rovná ploche čísel uzavretých pod celým grafom. (Technika, ktorú sme použili, je základom integrálneho počtu, ktorého základy sa naučíte v kurze „Začiatky kalkulu“.)
2. Dráha a posun v priamočiarom rovnomerne zrýchlenom pohybe
Aplikujme teraz vyššie opísanú metódu na nájdenie cesty k priamočiaremu rovnomerne zrýchlenému pohybu.
Počiatočná rýchlosť tela je nulová
Nasmerujme os x na zrýchlenie telesa. Potom a x = a, v x = v. v dôsledku toho
Obrázok 6.3 ukazuje graf v(t). 
1. Pomocou obrázku 6.3 dokážte, že pri priamočiarom rovnomerne zrýchlenom pohybe bez počiatočnej rýchlosti je dráha l vyjadrená pomocou modulu zrýchlenia a a času pohybu t vzorcom
l = at2/2. (2)
Hlavný záver:
pri priamočiarom rovnomerne zrýchlenom pohybe bez počiatočnej rýchlosti je dráha, ktorú telo prejde, úmerná druhej mocnine času pohybu.
Tento rovnomerne zrýchlený pohyb sa výrazne líši od rovnomerného.
Obrázok 6.4 ukazuje grafy medzi dráhou a časom pre dve telesá, z ktorých jedno sa pohybuje rovnomerne a druhé rovnomerne zrýchlené bez počiatočnej rýchlosti. 
2. Pozrite si obrázok 6.4 a odpovedzte na otázky.
a) Akú farbu má graf telesa, ktoré sa pohybuje rovnomerne zrýchlene?
b) Aké je zrýchlenie tohto telesa?
c) Aké sú rýchlosti telies v okamihu, keď prešli rovnakú dráhu?
d) V akom časovom bode sú rýchlosti telies rovnaké?
3. Auto pri rozbehu prešlo za prvé 4 s vzdialenosť 20 m. Pohyb auta považujte za priamočiary a rovnomerne zrýchlený. Bez výpočtu zrýchlenia auta určite, ako ďaleko auto pôjde:
a) za 8 s? b) za 16 s? c) za 2 s?
Nájdime teraz závislosť priemetu s x od času. V tomto prípade je priemet zrýchlenia na os x kladný, takže s x = l, a x = a. Zo vzorca (2) teda vyplýva:
s x \u003d a x t 2 /2. (3)
Vzorce (2) a (3) sú veľmi podobné, čo niekedy vedie k chybám pri riešení jednoduché úlohy. Ide o to, že hodnota projekcie posunutia môže byť záporná. Bude to tak, ak os x smeruje opačne k posunutiu: potom s x< 0. А путь отрицательным быть не может!
4. Obrázok 6.5 ukazuje grafy času cesty a projekcie posunu pre niektoré teleso. Akú farbu má graf projekcie posunu?
Počiatočná rýchlosť telesa nie je nulová
Pripomeňme, že v tomto prípade je závislosť projekcie rýchlosti od času vyjadrená vzorcom
v x = v 0x + a x t, (4)
kde v 0x je priemet počiatočnej rýchlosti na os x.
Ďalej sa budeme zaoberať prípadom, keď v 0x > 0, a x > 0. V tomto prípade môžeme opäť využiť fakt, že dráha sa číselne rovná ploche obrazca pod grafom rýchlosti v závislosti od času. (Zvážte iné kombinácie znakov projekcie počiatočnej rýchlosti a zrýchlenia na vlastnú päsť: výsledok bude rovnaký všeobecný vzorec (5).
Obrázok 6.6 zobrazuje graf v x (t) pre v 0x > 0, a x > 0. 
5. Pomocou obrázku 6.6 dokážte, že pri priamočiarom rovnomerne zrýchlenom pohybe s počiatočnou rýchlosťou je projekcia posunutia
s x \u003d v 0x + a x t 2 /2. (5)
Tento vzorec vám umožňuje nájsť závislosť x-ovej súradnice tela od času. Pripomeňme (pozri vzorec (6), § 2), že súradnica x telesa súvisí s priemetom jeho posunutia s x vzťahom
s x \u003d x - x 0,
kde x 0 je počiatočná súradnica telesa. v dôsledku toho
x = x 0 + s x , (6)
Zo vzorcov (5), (6) dostaneme:
x = x 0 + v 0x t + a x t 2 /2. (7)
6. Závislosť súradnice od času pre nejaké teleso pohybujúce sa po osi x vyjadrujeme v jednotkách SI vzorcom x = 6 – 5t + t 2 .
a) Aká je počiatočná súradnica telesa?
b) Aký je priemet počiatočnej rýchlosti na os x?
c) Aký je priemet zrýchlenia na os x?
d) Nakreslite graf závislosti súradnice x na čase.
e) Nakreslite graf projekcie rýchlosti v závislosti od času.
e) Kedy sa rýchlosť telesa rovná nule?
g) Vráti sa teleso do východiskového bodu? Ak áno, v ktorom časovom bode (časoch)?
h) Prejde teleso počiatkom? Ak áno, v ktorom časovom bode (časoch)?
i) Nakreslite graf projekcie posunu v závislosti od času.
j) Nakreslite graf závislosti dráhy od času.
3. Vzťah medzi cestou a rýchlosťou
Pri riešení úloh sa často používa vzťah medzi dráhou, zrýchlením a rýchlosťou (počiatočné v 0 , konečné v alebo oboje). Poďme odvodiť tieto vzťahy. Začnime pohybom bez počiatočnej rýchlosti. Zo vzorca (1) získame pre čas pohybu:
Tento výraz dosadíme do vzorca (2) pre cestu:
l \u003d pri 2 / 2 \u003d a / 2 (v / a) 2 \u003d v 2 / 2a. (9)
Hlavný záver:
pri priamočiarom rovnomerne zrýchlenom pohybe bez počiatočnej rýchlosti je dráha, ktorú telo prejde, úmerná druhej mocnine konečnej rýchlosti.
7. Od zastávky nabralo auto rýchlosť 10 m/s na dráhe 40 m. Pohyb auta považujte za priamočiary a rovnomerne zrýchlený. Bez výpočtu zrýchlenia auta určte, akú vzdialenosť prešlo auto od začiatku pohybu, keď sa jeho rýchlosť rovnala: a) 20 m/s? b) 40 m/s? c) 5 m/s?
Vzťah (9) je možné získať aj tak, že si zapamätáme, že dráha sa numericky rovná oblasti čísla priloženého pod grafom závislosti rýchlosti od času (obr. 6.7). 
Táto úvaha vám pomôže ľahko zvládnuť nasledujúcu úlohu.
8. Pomocou obrázku 6.8 dokážte, že pri brzdení s konštantným zrýchľovaním sa telo úplne zastaví po dráhe l t \u003d v 0 2 / 2a, kde v 0 je počiatočná rýchlosť tela, a je akceleračný modul.
V prípade brzdenia vozidlo(auto, vlak) prejdená dráha až do úplného zastavenia sa nazýva brzdná dráha. Poznámka: Brzdná dráha pri počiatočnej rýchlosti v 0 a dráha prejdená počas zrýchlenia z pokoja na rýchlosť v 0 s rovnakým zrýchlením a modulo sú rovnaké.
9. Pri núdzovom brzdení na suchom chodníku je zrýchlenie vozidla modulo 5 m/s 2 . Aká je brzdná dráha auta pri počiatočnej rýchlosti: a) 60 km/h (maximálna povolená rýchlosť v meste); b) 120 km/h? Nájdite brzdnú dráhu pri uvedených rýchlostiach počas ľadu, keď je modul zrýchlenia 2 m/s 2 . Porovnajte nájdenú brzdnú dráhu s dĺžkou učebne.
10. Pomocou obrázku 6.9 a vzorca vyjadrujúceho plochu lichobežníka z hľadiska jeho výšky a polovice súčtu základní dokážte, že pri priamočiarom rovnomerne zrýchlenom pohybe:
a) l \u003d (v 2 - v 0 2) / 2a, ak sa rýchlosť tela zvyšuje;
b) l \u003d (v 0 2 - v 2) / 2a, ak sa rýchlosť tela zníži.
11. Dokážte, že projekcie posunutia, počiatočnej a konečnej rýchlosti a zrýchlenia súvisia vzťahom
s x \u003d (v x 2 - v 0 x 2) / 2 x (10)
12. Auto na dráhe 200 m zrýchlilo z rýchlosti 10 m/s na 30 m/s.
a) Ako rýchlo sa auto pohybovalo?
b) Ako dlho trvalo autu prejsť uvedenú vzdialenosť?
c) Aká je priemerná rýchlosť auta?
Doplňujúce otázky a úlohy
13. Posledný vozeň sa vyvesí z idúceho vlaku, potom sa vlak pohybuje rovnomerne a vozeň sa pohybuje so stálym zrýchľovaním až do úplného zastavenia.
a) Nakreslite na jeden výkres grafy závislosti rýchlosti od času pre vlak a auto.
b) Koľkokrát je vzdialenosť prejdená autom po zastávku menšia ako vzdialenosť prejdená vlakom za rovnaký čas?
14. Pri odchode zo stanice jazdil vlak nejaký čas rovnomerne, potom 1 minútu - rovnomerne rýchlosťou 60 km/h, potom opäť rovnomerne zrýchľoval na zastávku v nasledujúcej stanici. Zrýchľovacie moduly počas zrýchľovania a spomaľovania boli odlišné. Vlak cestoval medzi stanicami za 2 minúty.
a) Nakreslite schematický diagram závislosti priemetu rýchlosti vlaku na čase.
b) Pomocou tohto grafu nájdite vzdialenosť medzi stanicami.
c) Akú vzdialenosť by prekonal vlak, keby na prvom úseku cesty zrýchlil a na druhom spomalil? Aká by bola jeho maximálna rýchlosť?
15. Teleso sa rovnomerne pohybuje pozdĺž osi x. V počiatočnom momente bol na začiatku súradníc a projekcia jeho rýchlosti sa rovnala 8 m/s. Po 2 s sa súradnica telesa rovnala 12 m.
a) Aký je priemet zrýchlenia telesa?
b) Graf v x (t).
c) Napíšte vzorec vyjadrujúci závislosť x(t) v jednotkách SI.
d) Bude rýchlosť telesa nulová? Ak áno, v akom časovom bode?
e) Navštívi teleso bod so súradnicou 12 m druhýkrát? Ak áno, v akom časovom bode?
f) Vráti sa teleso do východiskového bodu? Ak áno, v akom časovom bode a aká bude prejdená vzdialenosť?
16. Po zatlačení loptička zroluje naklonenú rovinu, po ktorej sa vráti do východiskového bodu. Vo vzdialenosti b od počiatočného bodu loptička navštívila dvakrát v časových intervaloch t 1 a t 2 po zatlačení. Nahor a nadol pozdĺž naklonenej roviny sa lopta pohybovala s rovnakým modulom zrýchlenia.
a) Os x nasmerujte nahor po naklonenej rovine, vyberte počiatok v bode počiatočnej polohy lopty a napíšte vzorec vyjadrujúci závislosť x(t), ktorý zahŕňa modul počiatočnej rýchlosti lopty v0 a modul zrýchlenia lopty a.
b) Pomocou tohto vzorca a skutočnosti, že loptička bola v časoch t 1 a t 2 vo vzdialenosti b od počiatočného bodu, zostavte sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi v 0 a a.
c) Po vyriešení tejto sústavy rovníc vyjadrite v 0 a a až b, t 1 a t 2.
d) Vyjadrite celú dráhu l, ktorú gulička prešla, pomocou b, t 1 a t 2.
e) Nájdite číselné hodnoty v 0, a a l pri b = 30 cm, t 1 = 1 s, t 2 = 2 s.
f) Nakreslite závislosti v x (t), s x (t), l(t).
g) Pomocou grafu sx(t) určte moment, kedy bol modul posunutia lopty maximálny.
B2. Podľa grafov závislosti projekcie rýchlosti na čase (obr. 1) určte pre každé teleso:
a) projekcia počiatočnej rýchlosti;
b) projekcia rýchlosti po 2 s;
c) projekcia zrýchlenia;
d) rovnica projekcie rýchlosti;
e) kedy bude priemet rýchlosti telies rovný 6 m/s?
Riešenie
a) Určte pre každé teleso priemet počiatočnej rýchlosti.Grafický spôsob. Podľa grafu nájdeme hodnoty priemetov rýchlostí priesečníkov grafov s osou 0υ X(na obr. 2a sú tieto body zvýraznené):
υ 01X = 0; υ 02X= 5 m/s; υ 03X= 5 m/s.
B) Určte pre každé teleso priemet rýchlosti po 2 s.
Grafický spôsob. Podľa grafu nájdeme hodnoty priemetov rýchlostí priesečníkov grafov s kolmicou nakreslenou na os 0 t v bode t= 2 s (na obr. 2b sú tieto body zvýraznené):
υ 1X(2 s) = 6 m/s; υ 2X(2 s) = 5 m/s; υ 3X(2 s) = 3 m/s.
Analytická metóda. Vytvorte rovnicu pre projekciu rýchlosti a použite ju na určenie hodnoty rýchlosti pri t= 2 s (pozri bod d).
C) Určte pre každé teleso priemet zrýchlenia.
Grafický spôsob. Projekcia zrýchlenia \(~a_x = \tan \alpha = \frac(\Delta \upsilon)(\Delta t) = \frac(\upsilon_2 - \upsilon_1)(t_2-t_1)\), kde α je sklon graf na osi 0 t; Δ t = t 2 – t 1 - ľubovoľné časové obdobie; Δ υ = υ 2 – υ 1 - interval rýchlosti zodpovedajúci časovému intervalu Δ t = t 2 – t jeden . Pre zvýšenie presnosti výpočtov hodnoty zrýchlenia zvolíme pre každý graf maximálny možný časový interval a podľa toho aj maximálny možný interval rýchlosti.
Pre graf 1: let t 2 = 2 s, t 1 = 0 teda υ 2 = 6 m/s, υ 1 = 0 a a 1x \u003d (6 m / s - 0) / (2 s - 0) \u003d 3 m / s 2 (obr. 3 a).
Pre graf 2: let t 2 = 6 s, t 1 = 0 teda υ 2 = 5 m/s, υ 1 = 5 m/sa a 2x = (5 m/s - 5 m/s)/(6 s - 0) = 0 (obr. 3b).
Pre graf 3: let t 2 = 5 s, t 1 = 0 teda υ 2 = 0, υ 1 = 5 m/sa a 3x \u003d (0 - 5 m / s) / (4 s - 0) \u003d -1 m / s 2 (obr. 3 c).
Analytická metóda. Napíšme rovnicu projekcie rýchlosti všeobecný pohľad υ X = υ 0X + a X · t. Pomocou hodnôt projekcie počiatočnej rýchlosti (pozri bod a) a projekcie rýchlosti pri t= 2 s (pozri odsek b), zistíme hodnotu projekcie zrýchlenia\[~a_x = \frac(\upsilon_x - \upsilon_(0x))(t)\] .
D) Určte pre každé teleso rovnicu premietania rýchlosti.
Všeobecná rovnica projekcie rýchlosti je: υ X = υ 0X + a X · t. Pre graf 1: pretože υ 01X = 0, a 1X\u003d 3 m/s 2, potom υ 1X= 3 t. Pozrime sa na bod b: υ 1X(2 s) = 3 2 = 6 (m/s), čo zodpovedá odpovedi.
Pre graf 2: pretože υ 02X= 5 m/s, a 2X= 0 teda υ 2X= 5. Skontrolujte položku b: υ 2X(2 s) = 5 (m/s), čo zodpovedá odpovedi.
Pre graf 3: pretože υ 03X= 5 m/s, a 3X\u003d -1 m/s 2, potom υ 3X= 5 – 1 t = 5 – t. Pozrime sa na bod b: υ 3X(2 s) = 5 - 1 2 = 3 (m/s), čo zodpovedá odpovedi.
E) Určte, kedy sa priemet rýchlosti telies bude rovnať 6 m/s?
Grafický spôsob. Podľa grafu nájdeme časové hodnoty priesečníkov grafov s kolmicou nakreslenou na os 0υ X v bode υ X= 6 m/s (na obr. 4 sú tieto body zvýraznené): t 1 (6 m/s) = 2 s; t 3 (6 m/s) = -1 s.
Graf 2 je rovnobežný s kolmicou, preto rýchlosť telesa 2 nikdy nebude rovná 6 m/s.
Analytická metóda. Napíšte rovnicu projekcie rýchlosti pre každé teleso a nájdite, v akej časovej hodnote t, rýchlosť sa bude rovnať 6 m/s.
« Fyzika - 10. ročník
Aký je rozdiel medzi rovnomerným pohybom a rovnomerne zrýchleným pohybom?
Aký je rozdiel medzi grafom dráhy pre rovnomerne zrýchlený pohyb a grafom dráhy pre rovnomerný pohyb?
Čo sa nazýva premietanie vektora na ľubovoľnú os?
V prípade rovnomerného priamočiareho pohybu môžete rýchlosť určiť podľa grafu súradníc v závislosti od času.
Priemet rýchlosti sa číselne rovná dotyčnici sklonu priamky x(t) k osi x. V tomto prípade platí, že čím väčšia rýchlosť, tým väčší uhol sklonu.
Priamočiary rovnomerne zrýchlený pohyb.
Obrázok 1.33 ukazuje grafy závislosti projekcie zrýchlenia od času pre tri rôzne hodnoty zrýchlenie pri priamočiarom rovnomerne zrýchlenom pohybe bodu. Sú to priamky rovnobežné s osou x: a x = konšt. Grafy 1 a 2 zodpovedajú pohybu, keď je vektor zrýchlenia nasmerovaný pozdĺž osi OX, graf 3 - keď je vektor zrýchlenia nasmerovaný v smere opačnom k osi OX.
Pri rovnomerne zrýchlenom pohybe závisí projekcia rýchlosti lineárne od času: υ x = υ 0x + a x t. Obrázok 1.34 ukazuje grafy tejto závislosti pre tieto tri prípady. V tomto prípade je počiatočná rýchlosť bodu rovnaká. Poďme analyzovať tento graf.
Projekcia zrýchlenia Z grafu je zrejmé, že čím väčšie je zrýchlenie bodu, tým väčší je uhol sklonu priamky k osi t, a teda tým väčšia je dotyčnica uhla sklonu, ktorá určuje hodnotu zrýchlenia.
Za rovnakú dobu pri rôznych zrýchleniach sa rýchlosť mení o rôzne hodnoty.
Pri kladnej hodnote projekcie zrýchlenia za rovnaký časový interval sa projekcia rýchlosti v prípade 2 zvyšuje 2-krát rýchlejšie ako v prípade 1. Pri zápornej hodnote projekcie zrýchlenia na osi OX sa modulo projekcie rýchlosti mení o rovnaký hodnotu ako v prípade 1, ale rýchlosť sa znižuje.
Pre prípady 1 a 3 sa budú grafy závislosti rýchlostného modulu na čase zhodovať (obr. 1.35).
Pomocou grafu rýchlosť versus čas (obrázok 1.36) nájdeme zmenu súradnice bodu. Táto zmena sa číselne rovná ploche tieňovaného lichobežníka, v tomto prípade zmene súradnice pre 4 s Δx = 16 m.
Zistili sme zmenu súradníc. Ak potrebujete nájsť súradnicu bodu, musíte k nájdenému číslu pridať jeho počiatočnú hodnotu. Nech v počiatočnom čase x 0 \u003d 2 m, potom hodnota súradnice bodu v tento momentčas rovný 4 s sa rovná 18 m. V tomto prípade sa modul posunutia rovná dráhe, ktorú bod prejde, alebo zmene jeho súradníc, teda 16 m.
Ak sa pohyb rovnomerne spomalí, potom sa bod počas zvoleného časového intervalu môže zastaviť a začať sa pohybovať v opačnom smere ako bol počiatočný. Obrázok 1.37 ukazuje projekciu rýchlosti v závislosti od času pre takýto pohyb. Vidíme, že v okamihu 2 s sa mení smer rýchlosti. Zmena súradnice sa bude číselne rovnať algebraickému súčtu plôch tieňovaných trojuholníkov.
Pri výpočte týchto plôch vidíme, že zmena súradnice je -6 m, čo znamená, že v smere opačnom k osi OX bod prešiel väčšiu vzdialenosť ako v smere tejto osi.
Námestie vyššie vezmeme os t so znamienkom plus a oblasť pod os t, kde je projekcia rýchlosti záporná, so znamienkom mínus.
Ak v počiatočnom okamihu bola rýchlosť určitého bodu rovná 2 m / s, potom jeho súradnica v čase rovnajúcu sa 6 s sa rovná -4 m. Modul pohybu bodu je v tomto prípade tiež rovný 6 m - modul zmeny súradnice. Avšak dráha prejdená týmto bodom je 10 m, čo je súčet plôch tieňovaných trojuholníkov znázornených na obrázku 1.38.
Nakreslíme závislosť x-ovej súradnice bodu od času. Podľa jedného zo vzorcov (1.14) je krivka časovej závislosti - x(t) - parabola.
Ak sa bod pohybuje rýchlosťou, ktorej časová závislosť je znázornená na obrázku 1.36, potom vetvy paraboly smerujú nahor, pretože a x\u003e 0 (obrázok 1.39). Z tohto grafu môžeme určiť súradnicu bodu, ako aj rýchlosť v danom čase. Takže v čase rovnajúcom sa 4 s je súradnica bodu 18 m.
Pre počiatočný časový okamih, nakreslením dotyčnice ku krivke v bode A, určíme dotyčnicu sklonu α 1, ktorá sa číselne rovná počiatočnej rýchlosti, t.j. 2 m/s.
Na určenie rýchlosti v bode B nakreslíme v tomto bode dotyčnicu k parabole a určíme dotyčnicu uhla α 2 . Je rovný 6, preto je rýchlosť 6 m/s.
Graf dráha versus čas je rovnaká parabola, ale nakreslená z počiatku (obr. 1.40). Vidíme, že dráha sa s časom neustále zvyšuje, pohyb je v jednom smere.
Ak sa bod pohybuje rýchlosťou, ktorej graf projekcie versus čas je znázornený na obrázku 1.37, potom vetvy paraboly smerujú nadol, pretože a x< 0 (рис. 1.41). При этом моменту времени, равному 2 с, соответствует вершина параболы. Касательная в точке В параллельна оси t, угол наклона касательной к этой оси равен нулю, и скорость также равна нулю. До этого момента времени тангенс угла наклона касательной уменьшался, но был положителен, движение точки происходило в направлении оси ОХ.
Počnúc časom t = 2 s sa dotyčnica uhla sklonu stáva zápornou a jej modul sa zväčšuje, čo znamená, že bod sa pohybuje v opačnom smere ako počiatočný, zatiaľ čo modul rýchlosti pohybu sa zvyšuje.
Modul posunutia sa rovná modulu rozdielu medzi súradnicami bodu v konečnom a počiatočnom časovom okamihu a rovná sa 6 m.
Graf závislosti dráhy prejdenej bodom od času zobrazený na obrázku 1.42 sa líši od grafu závislosti posunu od času (pozri obrázok 1.41).
Bez ohľadu na to, ako je rýchlosť smerovaná, dráha prejdená bodom sa neustále zvyšuje.
Odvoďme závislosť súradnice bodu na priemete rýchlosti. Rýchlosť υx = υ 0x + a x t, teda
V prípade x 0 \u003d 0 a x\u003e 0 a υ x\u003e υ 0x je grafom závislosti súradnice od rýchlosti parabola (obr. 1.43).
V tomto prípade platí, že čím väčšie zrýchlenie, tým menej strmá bude vetva paraboly. To sa dá ľahko vysvetliť, pretože čím väčšie je zrýchlenie, tým menšia je vzdialenosť, ktorú musí bod prejsť, aby sa rýchlosť zvýšila o rovnakú hodnotu ako pri pohybe s menším zrýchlením.
V prípade a x< 0 и υ 0x >Projekcia rýchlosti 0 sa zníži. Prepíšme rovnicu (1.17) v tvare kde a = |a x |. Graf tejto závislosti je parabola s vetvami smerujúcimi nadol (obr. 1.44).
Zrýchlený pohyb.
Podľa grafov závislosti priemetu rýchlosti na čase je možné určiť súradnicu a priemet zrýchlenia bodu v ľubovoľnom časovom okamihu pre akýkoľvek typ pohybu.
Nech projekcia rýchlosti bodu závisí od času, ako je znázornené na obrázku 1.45. Je zrejmé, že v časovom intervale od 0 do t 3 dochádzalo k pohybu bodu po osi X s premenlivým zrýchlením. Počínajúc časovým momentom rovným t 3 je pohyb rovnomerný s konštantnou rýchlosťou υ Dx . Z grafu vidíme, že zrýchlenie, s ktorým sa bod pohyboval, plynulo klesalo (porovnaj uhol sklonu dotyčnice v bodoch B a C).
Zmena súradnice x bodu v čase t 1 sa číselne rovná ploche krivočiary lichobežník OABt 1 , pre čas t 2 - plocha OACt 2 atď. Ako je vidieť z grafu závislosti projekcie rýchlosti na čase, zmenu súradníc telesa môžete určiť na ľubovoľné časové obdobie.
Podľa grafu závislosti súradnice od času možno určiť hodnotu rýchlosti v ľubovoľnom časovom okamihu výpočtom dotyčnice sklonu dotyčnice ku krivke v bode zodpovedajúcom danému časovému okamihu. Z obrázku 1.46 vyplýva, že v čase t 1 je projekcia rýchlosti kladná. V časovom intervale od t 2 do t 3 je rýchlosť nulová, teleso je nehybné. V čase t 4 je rýchlosť tiež nulová (dotyčnica ku krivke v bode D je rovnobežná s osou x). Potom sa priemet rýchlosti stane záporným, smer pohybu bodu sa zmení na opačný.
Ak poznáte graf závislosti priemetu rýchlosti od času, môžete určiť zrýchlenie bodu a tiež, keď poznáte počiatočnú polohu, kedykoľvek určiť súradnicu tela, t.j. vyriešiť hlavný problém kinematika. Z grafu závislosti súradníc od času možno určiť jednu z najdôležitejších kinematických charakteristík pohybu, rýchlosť. Navyše podľa zadaných grafov môžete určiť typ pohybu po zvolenej osi: rovnomerný, s konštantným zrýchlením alebo pohyb s premenlivým zrýchlením.
Jednotný pohyb- ide o pohyb konštantnou rýchlosťou, to znamená, keď sa rýchlosť nemení (v \u003d const) a nedochádza k zrýchleniu ani spomaleniu (a \u003d 0).
Priamočiary pohyb- ide o pohyb po priamke, to znamená, že dráha priamočiareho pohybu je priamka.
Uniforma priamočiary pohyb je pohyb, pri ktorom telo robí rovnaké pohyby v ľubovoľných rovnakých časových intervaloch. Napríklad, ak rozdelíme nejaký časový interval na segmenty jednej sekundy, potom sa teleso rovnomerným pohybom posunie o rovnakú vzdialenosť pre každý z týchto segmentov času.
Rýchlosť rovnomerného priamočiareho pohybu nezávisí od času a v každom bode trajektórie smeruje rovnako ako pohyb telesa. To znamená, že vektor posunutia sa zhoduje v smere s vektorom rýchlosti. V tomto prípade sa priemerná rýchlosť za akékoľvek časové obdobie rovná okamžitej rýchlosti:
Rýchlosť rovnomerného priamočiareho pohybu je fyzikálna vektorová veličina rovnajúca sa pomeru posunutia telesa za ľubovoľné časové obdobie k hodnote tohto intervalu t:
Rýchlosť rovnomerného priamočiareho pohybu teda ukazuje, aký pohyb vykoná hmotný bod za jednotku času.
sťahovanie s rovnomerným priamočiarym pohybom je určený vzorcom:
Prejdená vzdialenosť pri priamočiarom pohybe sa rovná modulu posunutia. Ak sa kladný smer osi OX zhoduje so smerom pohybu, potom sa priemet rýchlosti na os OX rovná rýchlosti a je kladný:
v x = v, t.j. v > 0
Priemet posunu na os OX sa rovná:
s \u003d vt \u003d x - x 0
kde x 0 je počiatočná súradnica telesa, x je konečná súradnica telesa (alebo súradnica telesa kedykoľvek)
Pohybová rovnica, teda závislosť súradnice telesa od času x = x(t), má tvar:
Ak je kladný smer osi OX opačný k smeru pohybu telesa, potom je priemet rýchlosti telesa na os OX záporný, rýchlosť je menšia ako nula (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:
Závislosť rýchlosti, súradníc a dráhy od času
Závislosť priemetu rýchlosti telesa od času je znázornená na obr. 1.11. Keďže rýchlosť je konštantná (v = konštantná), graf rýchlosti je priamka rovnobežná s časovou osou Ot.
Ryža. 1.11. Závislosť priemetu rýchlosti telesa na čase pre rovnomerný priamočiary pohyb.
Priemet posunutia na súradnicovú os sa numericky rovná ploche obdĺžnika OABS (obr. 1.12), pretože veľkosť vektora posunutia sa rovná súčinu vektora rýchlosti a času, počas ktorého sa pohyb uskutočnil. .
Ryža. 1.12. Závislosť priemetu pohybu telesa na čase pre rovnomerný priamočiary pohyb.
Graf posunu v závislosti od času je znázornený na obr. 1.13. Z grafu je vidieť, že projekcia rýchlosti sa rovná
v = si / ti = tg a
kde α je uhol sklonu grafu k časovej osi.
Čím väčší je uhol α, tým rýchlejšie sa teleso pohybuje, to znamená, že jeho rýchlosť je väčšia (tým dlhšie teleso prejde za kratší čas). Tangenta sklonu dotyčnice ku grafu závislosti súradnice od času sa rovná rýchlosti:
Ryža. 1.13. Závislosť priemetu pohybu telesa na čase pre rovnomerný priamočiary pohyb.
Závislosť súradnice od času je znázornená na obr. 1.14. Z obrázku je to vidieť
tg α 1 > tg α 2
preto je rýchlosť telesa 1 vyššia ako rýchlosť telesa 2 (v 1 > v 2).
tg α 3 = v 3< 0
Ak je teleso v pokoji, potom graf súradnice je priamka rovnobežná s časovou osou, tj.
Ryža. 1.14. Závislosť súradnice tela na čase pre rovnomerný priamočiary pohyb.
Vzťah medzi uhlovými a lineárnymi hodnotami
Jednotlivé body rotujúceho telesa majú rôzne lineárne rýchlosti. Rýchlosť každého bodu, ktorý je smerovaný tangenciálne k príslušnému kruhu, neustále mení svoj smer. Veľkosť rýchlosti je určená rýchlosťou otáčania telesa a vzdialenosťou R uvažovaného bodu od osi otáčania. Nechajte telo otočiť o nejaký uhol v krátkom čase (obrázok 2.4). Bod umiestnený vo vzdialenosti R od osi prechádza dráhou rovnajúcou sa
Lineárna rýchlosť bodu podľa definície.
Tangenciálne zrýchlenie
Použitím rovnakého vzťahu (2.6) dostaneme
Normálne aj tangenciálne zrýchlenia teda rastú lineárne so vzdialenosťou bodu od osi rotácie.
Základné pojmy.
periodické kmitanie je proces, pri ktorom sa systém (napríklad mechanický) po určitom čase vráti do rovnakého stavu. Toto časové obdobie sa nazýva perióda oscilácie.
Obnovujúca sila- sila, pri ktorej pôsobení nastáva kmitavý proces. Táto sila má tendenciu vrátiť teleso alebo hmotný bod vychýlený z pokojovej polohy do pôvodnej polohy.
V závislosti od charakteru nárazu na kmitajúce teleso sa rozlišujú voľné (alebo prirodzené) vibrácie a vynútené vibrácie.
Voľné vibrácie prebieha, keď na kmitajúce teleso pôsobí iba vratná sila. V prípade, že nedochádza k žiadnemu rozptylu energie, voľné oscilácie sú netlmené. Skutočné oscilačné procesy sú však tlmené, pretože na kmitajúce teleso pôsobia sily odporu voči pohybu (hlavne trecie sily).
Nútené vibrácie sa uskutočňujú pôsobením vonkajšej periodicky sa meniacej sily, ktorá sa nazýva hnacia sila. V mnohých prípadoch systémy vykonávajú oscilácie, ktoré možno považovať za harmonické.
Harmonické vibrácie nazývané také oscilačné pohyby, pri ktorých sa premiestnenie telesa z rovnovážnej polohy uskutočňuje podľa zákona sínusu alebo kosínusu:
Na ilustráciu fyzikálneho významu uvažujme kruh a otočte polomer OK uhlovou rýchlosťou ω proti smeru hodinových ručičiek (7.1) šípky. Ak v počiatočnom okamihu OK ležalo v horizontálnej rovine, potom sa po čase t posunie o uhol. Ak je počiatočný uhol nenulový a rovný φ 0 , potom bude uhol natočenia rovný Priemet na os XO 1 sa rovná . Keď sa polomer OK otáča, hodnota projekcie sa mení a bod bude vzhľadom k bodu oscilovať - hore, dole atď. V tomto prípade sa maximálna hodnota x rovná A a nazýva sa amplitúda oscilácie; ω - kruhová alebo cyklická frekvencia, - fáza kmitania, - počiatočná fáza. Pri jednej otáčke bodu K pozdĺž kružnice vykoná jeho priemet jeden úplný kmit a vráti sa do východiskového bodu.
Obdobie T je čas jedného úplného kmitu. Po čase T sa zopakujú hodnoty všetkých fyzikálnych veličín charakterizujúcich oscilácie. V jednej perióde oscilujúci bod prejde dráhu, ktorá sa číselne rovná štyrom amplitúdam.
Uhlová rýchlosť sa určí z podmienky, že za periódu T polomer OK urobí jednu otáčku, t.j. sa bude otáčať o uhol 2π radiánov:
Oscilačná frekvencia- počet kmitov bodu za jednu sekundu, t.j. frekvencia oscilácií je definovaná ako prevrátená hodnota periódy oscilácie:
Pružné sily kyvadla pružiny.
Pružinové kyvadlo sa skladá z pružiny a masívnej gule namontovanej na vodorovnej tyči, po ktorej sa môže posúvať. Na pružinu necháme nasadiť guľu s otvorom, ktorá sa posúva po osi vedenia (tyč). Na obr. 7.2a znázorňuje polohu lopty v pokoji; na obr. 7.2, b - maximálna kompresia a na obr. 7.2, в - ľubovoľná poloha lopty.
Pri pôsobení vratnej sily rovnajúcej sa kompresnej sile bude loptička oscilovať. Tlaková sila F \u003d -kx, kde k je koeficient tuhosti pružiny. Znamienko mínus ukazuje, že smer sily F a posunutie x sú opačné. Potenciálna energia stlačenej pružiny
kinetický .
Na odvodenie pohybovej rovnice gule je potrebné spojiť x a t. Záver je založený na zákone zachovania energie. Celková mechanická energia sa rovná súčtu kinetickej a potenciálnej energie systému. V tomto prípade:
. V polohe b): 
.
Keďže pri uvažovanom pohybe je splnený zákon zachovania mechanickej energie, môžeme napísať:
. Definujme rýchlosť odtiaľto:
Ale v poradí, a preto 
. Samostatné premenné 
. Integráciou tohto výrazu dostaneme: 
,
kde je integračná konštanta. Z toho posledného vyplýva, že
Pôsobením elastickej sily teda teleso vykonáva harmonické kmity. Sily inej povahy ako elastické, ale pri ktorých je splnená podmienka F = -kx, sa nazývajú kvázi-elastické. Vplyvom týchto síl dochádza k harmonickému kmitaniu telies. kde:
|
zaujatosť: | |
|
rýchlosť: |
|
|
zrýchlenie: |
|
Matematické kyvadlo.
Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na neroztiahnuteľnom beztiažovom závite, ktorý pôsobením gravitácie kmitá v jednej vertikálnej rovine.
Za takéto kyvadlo možno považovať ťažkú guľu s hmotnosťou m, zavesenú na tenkej nite, ktorej dĺžka l je oveľa väčšia ako veľkosť gule. Ak sa vychýli o uhol α (obr. 7.3.) od zvislice, tak vplyvom sily F - jednej zo zložiek závažia P dôjde k rozkmitaniu. Druhá zložka, nasmerovaná pozdĺž vlákna, sa neberie do úvahy, pretože vyvážené napätím struny. Pri malých uhloch posunutia potom možno súradnicu x počítať v horizontálnom smere. Z obr. 7.3 je vidieť, že zložka hmotnosti kolmá na závit sa rovná
Znamienko mínus na pravej strane znamená, že sila F smeruje k zmenšovaniu uhla α. Berúc do úvahy malosť uhla α
Na odvodenie zákona o pohybe matematického a fyzikálneho kyvadla použijeme základnú rovnicu pre dynamiku rotačného pohybu
Moment sily vo vzťahu k bodu O: a moment zotrvačnosti: M = FL. Moment zotrvačnosti J v tomto prípade uhlové zrýchlenie:
Ak vezmeme do úvahy tieto hodnoty, máme: 
Jeho rozhodnutie 
,
Ako vidíte, doba kmitania matematického kyvadla závisí od jeho dĺžky a od gravitačného zrýchlenia a nezávisí od amplitúdy kmitov.
tlmené vibrácie.
Všetky skutočné oscilačné systémy sú disipatívne. Energia mechanických kmitov takéhoto systému sa postupne vynakladá na prácu proti trecím silám, preto voľné kmity vždy tlmia - ich amplitúda postupne klesá. V mnohých prípadoch, keď nedochádza k suchému treniu, možno v prvom priblížení uvažovať, že pri nízkych rýchlostiach pohybu sú sily spôsobujúce tlmenie mechanických vibrácií úmerné rýchlosti. Tieto sily, bez ohľadu na ich pôvod, sa nazývajú sily odporu.
Prepíšme túto rovnicu do nasledujúceho tvaru: 
a označujú: 
kde predstavuje frekvenciu, s ktorou by sa vyskytovali voľné oscilácie systému pri absencii stredného odporu, t.j. pri r = 0. Táto frekvencia sa nazýva frekvencia vlastného kmitania systému; β - faktor tlmenia. Potom
|
|
Budeme hľadať riešenie rovnice (7.19) v tvare, kde U je nejaká funkcia t.
Tento výraz dvakrát diferencujeme vzhľadom na čas t a dosadením hodnôt prvej a druhej derivácie do rovnice (7.19) dostaneme 
Riešenie tejto rovnice v podstate závisí od znamienka koeficientu pri U. Uvažujme prípad, keď je tento koeficient kladný. Zavedieme označenie Then With real ω, riešením tejto rovnice, ako vieme, je funkcia
Teda v prípade nízkeho odporu média bude riešením rovnice (7.19) funkcia
Graf tejto funkcie je znázornený na obr. 7.8. Bodkované čiary znázorňujú hranice, v ktorých sa nachádza posunutie oscilujúceho bodu. Veličina sa nazýva prirodzená cyklická frekvencia oscilácií disipatívneho systému. Tlmené kmity sú neperiodické kmity, pretože nikdy neopakujú napríklad maximálne hodnoty posunutia, rýchlosti a zrýchlenia. Hodnota sa zvyčajne nazýva perióda tlmených oscilácií, presnejšie podmienená perióda tlmených oscilácií,
Prirodzený logaritmus pomeru amplitúd posunu nasledujúcich za sebou po časovom intervale rovnajúcom sa perióde T sa nazýva logaritmický dekrement tlmenia.
Označme τ časový interval, počas ktorého amplitúda kmitania klesá koeficientom e. Potom
Preto je koeficient tlmenia fyzikálna veličina recipročná k časovému intervalu τ, počas ktorého amplitúda klesá faktorom e. Hodnota τ sa nazýva relaxačný čas.
Nech N je počet kmitov, po ktorých sa amplitúda zníži o faktor e. Potom
Preto je dekrement logaritmického tlmenia δ fyzikálne množstvo, recipročné k počtu kmitov N, po ktorých sa amplitúda zníži o faktor e
Nútené vibrácie.
V prípade vynútených kmitov sa sústava rozkmitá pôsobením vonkajšej (nútenej) sily a pôsobením tejto sily sa periodicky vyrovnávajú energetické straty sústavy. Frekvencia vynútených kmitov (frekvencia vynucovania) závisí od frekvencie zmeny vonkajšej sily.Určime amplitúdu vynútených kmitov telesa s hmotnosťou m, pričom uvažujme, že kmity nie sú tlmené neustále pôsobiacou silou.
Nech sa táto sila mení s časom podľa zákona , kde je amplitúda hnacej sily. Vratná sila a odporová sila Potom druhý Newtonov zákon možno zapísať v nasledujúcom tvare.
Rovnomerný priamočiary pohyb Toto je špeciálny prípad nerovnomerného pohybu.
Nerovnomerný pohyb- ide o pohyb, pri ktorom teleso (hmotný bod) robí nerovnomerné pohyby v rovnakých časových intervaloch. Napríklad mestský autobus sa pohybuje nerovnomerne, pretože jeho pohyb pozostáva hlavne zo zrýchlenia a spomalenia.
Rovnomerne premenlivý pohyb- ide o pohyb, pri ktorom sa rýchlosť telesa (hmotného bodu) mení rovnakým spôsobom v ľubovoľných rovnakých časových intervaloch.
Zrýchlenie telesa pri rovnomernom pohybe zostáva konštantná čo do veľkosti a smeru (a = const).
Rovnomerný pohyb môže byť rovnomerne zrýchlený alebo rovnomerne spomalený.
Rovnomerne zrýchlený pohyb- ide o pohyb telesa (hmotného bodu) s kladným zrýchlením, to znamená, že pri takomto pohybe sa teleso zrýchľuje s konštantným zrýchlením. Pri rovnomerne zrýchlenom pohybe sa modul rýchlosti telesa s časom zvyšuje, smer zrýchlenia sa zhoduje so smerom rýchlosti pohybu.
Rovnomerne spomalený pohyb- ide o pohyb telesa (hmotného bodu) so záporným zrýchlením, to znamená, že pri takomto pohybe sa teleso rovnomerne spomalí. Pri rovnomerne spomalenom pohybe sú vektory rýchlosti a zrýchlenia opačné a modul rýchlosti sa časom znižuje.
V mechanike je každý priamočiary pohyb zrýchlený, preto sa spomalený pohyb od zrýchleného líši len znamienkom priemetu vektora zrýchlenia na zvolenú os súradnicového systému.
Priemerná rýchlosť premenlivého pohybu sa určí vydelením pohybu tela časom, počas ktorého bol tento pohyb vykonaný. Jednotkou priemernej rýchlosti je m/s.
Vcp = s/t
- je to rýchlosť telesa (hmotného bodu) v danom časovom bode alebo v danom bode trajektórie, to znamená hranica, ku ktorej smeruje priemerná rýchlosť s nekonečným poklesom v časovom intervale Δt:
Vektor okamžitej rýchlosti rovnomerný pohyb možno nájsť ako prvú deriváciu vektora posunu vzhľadom na čas:
Vektorová projekcia rýchlosti na osi OX:
V x = x'
toto je derivácia súradnice vzhľadom na čas (podobne sa získajú projekcie vektora rýchlosti na iné súradnicové osi).
- je to hodnota, ktorá určuje rýchlosť zmeny rýchlosti telesa, to znamená hranicu, ku ktorej zmena rýchlosti smeruje s nekonečným poklesom v časovom intervale Δt:
Vektor zrýchlenia rovnomerného pohybu možno nájsť ako prvú deriváciu vektora rýchlosti vzhľadom na čas alebo ako druhú deriváciu vektora posunu vzhľadom na čas:
Ak sa teleso pohybuje priamočiaro pozdĺž osi OX priamočiareho karteziánskeho súradnicového systému, ktorý sa zhoduje v smere s trajektóriou telesa, potom je projekcia vektora rýchlosti na túto os určená vzorcom:
V x = v 0x ± a x t
Znamienko „-“ (mínus) pred priemetom vektora zrýchlenia označuje rovnomerne spomalený pohyb. Rovnice priemetov vektora rýchlosti na iné súradnicové osi sú zapísané podobne.
Keďže zrýchlenie je konštantné (a \u003d const) s rovnomerne premenlivým pohybom, graf zrýchlenia je priamka rovnobežná s osou 0t (časová os, obr. 1.15).
Ryža. 1.15. Závislosť zrýchlenia tela od času.
Rýchlosť verzus čas- toto je lineárna funkcia, ktorej graf je priamka (obr. 1.16).
Ryža. 1.16. Závislosť rýchlosti tela od času.
Graf závislosti rýchlosti od času(obr. 1.16) to ukazuje
V tomto prípade sa posunutie numericky rovná ploche obrázku 0abc (obr. 1.16).
Plocha lichobežníka je polovica súčtu dĺžok jeho základní krát výška. Základy lichobežníka 0abc sú číselne rovnaké:
0a = v 0bc = v
Výška lichobežníka je t. Plocha lichobežníka, a teda aj projekcia posunu na os OX, sa teda rovná:
V prípade rovnomerne spomaleného pohybu je projekcia zrýchlenia záporná a vo vzorci pre zobrazenie posunutia je pred zrýchlenie umiestnené znamienko „–“ (mínus).
Graf závislosti rýchlosti telesa od času pri rôznych zrýchleniach je na obr. 1.17. Graf závislosti posunu od času pri v0 = 0 je na obr. 1.18.
Ryža. 1.17. Závislosť rýchlosti tela od času pre rôzne hodnoty zrýchlenia.
Ryža. 1.18. Závislosť posunu tela od času.
Rýchlosť telesa v danom čase t 1 sa rovná dotyčnici uhla sklonu medzi dotyčnicou ku grafu a časovou osou v \u003d tg α a pohyb je určený vzorcom:
Ak nie je známy čas pohybu telesa, môžete použiť iný vzorec posunutia riešením systému dvoch rovníc:
Pomôže nám to odvodiť vzorec pre projekciu posunutia:
Keďže súradnice telesa je kedykoľvek určená súčtom počiatočných súradníc a projekcie posunutia, bude to vyzerať takto:
Graf súradnice x(t) je tiež parabola (rovnako ako graf posunutia), ale vrchol paraboly sa vo všeobecnosti nezhoduje s počiatkom. Pre x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).