Rozdiel medzi presnými a približnými hodnotami množstva sa nazýva chyba aproximácie ( označené x)
tie. x=x- a- chyba aproximácie
odkiaľ x= a+ x,
tie. skutočnú hodnotu sa rovná súčtu približnej hodnoty a aproximačnej chyby.
Modul rozdielu medzi presnými a približnými hodnotami množstva sa nazýva absolútna chyba približná hodnota čísla X.
tie. - absolútna chyba aproximácie.
Záznam x= a h znamená, že skutočná hodnota x leží medzi hranicami, t.j. a - h X a + h
Príklad 1 V podniku pracuje 1284 pracovníkov a zamestnancov. Keď sa toto číslo zaokrúhli na 1300, absolútna chyba je 1300 – 1284 = 16. Po zaokrúhlení na 1280 je absolútna chyba 1284 – 1280 = 4.
Príklad 2 Uvádzajú sa približné hodnoty čísla x=; Ktoré z týchto troch priblížení je najlepšie?
Riešenie:
Nájsť ; Najlepšia aproximácia čísla X je
Príklad 3 Dĺžka dielu x (cm) ohraničený v medziach 33 x 34. Nájdite hranicu absolútna chyba podrobné merania.
Riešenie: Zoberme si ako približnú hodnotu dĺžky časti aritmetický priemer hraníc: a \u003d (33 + 34) / 2 \u003d 33,5 (cm).
Potom hranica absolútnej chyby približnej hodnoty dĺžky dielu nepresiahne 0,5 (cm). Hodnotu možno nájsť aj ako polovičný rozdiel hornej a dolnej hranice, t.j. \u003d (34-33) / 2 \u003d 0,5 (cm). Dĺžka dielu X, nájdené s presnosťou až \u003d 0,5 (cm), je medzi približnými hodnotami čísla X:
33,5-0,5 x 33,5 + 0,5;
x = 33,5 ± 0,5 (cm).
Pomer absolútnej chyby aproximácie k modulu približnej hodnoty veličiny sa nazýva relatívna chyba aproximácie a označuje sa .
Je relatívna chyba aproximácie
Príklad 1 Pri meraní dĺžky L a prijatý priemer vodiča L= (10,0 ± 0,1) m , d= (2,5 ± 0,1) mm. Ktoré z týchto meraní je presnejšie?
Riešenie: Dĺžka vodiča bola meraná s presnosťou 0,1 m=100 mm a priemer vodiča bol meraný s presnosťou 0,1 mm.
Pri meraní dĺžky vodiča je povolená absolútna chyba 100 mm na 10 000 mm, a preto je prípustná absolútna chyba
merané množstvo.
Pri meraní priemeru je prípustná absolútna chyba
merané množstvo. Preto je meranie dĺžky vodiča presnejšie.
Príklad 2 Je známe, že 0,111 je približná hodnota pre Nájsť absolútne a relatívne chyby tejto aproximácie.
Riešenie: Tu x=, a= 0,111. Potom = x- a= 1/9 – 0,111 = 1/9000-a.p.,
Príklad 3Škola má 197 žiakov. Toto číslo zaokrúhľujeme na 200. Absolútna chyba je 200-197 = 3. Relatívna chyba sa rovná alebo je zaokrúhlená %.
Vo väčšine prípadov nie je možné poznať presnú hodnotu približného čísla, a teda presnú hodnotu chyby. Takmer vždy je však možné zistiť, že chyba (absolútna alebo relatívna) nepresahuje určité číslo.
Príklad 4
Predavač odváži melón na váhe. V sade závaží je najmenší 50 g.Vážením vyšlo 3600g.Toto číslo je približné. Presná hmotnosť vodného melónu nie je známa. Ale absolútna chyba nepresahuje 50 g Relatívna chyba nepresahuje %.
Komplexné čísla.
Grafický obrázok komplexné čísla.
Obrázok komplexných čísel.
Komplexné čísla sa píšu ako: a + bi. Tu a a b – reálne čísla, a i – pomyselná jednotka, t.j. i 2 = –1.Číslo a volal úsečka, a b - súradnica komplexné číslo a + bi. Komplexné číslo 0 + bi volal čisté imaginárne číslo.Záznam bi znamená to isté ako 0 + bi.
modul komplexné číslo sa nazýva dĺžka vektora OP, zobrazujúce komplexné číslo na súradnici ( integrovaný) lietadlo. Konjugované komplexné čísla majú rovnaký modul
Uvažujme kartézsky pravouhlý súradnicový systém xOy v rovine. Každému komplexnému číslu z = a + bi možno priradiť bod so súradnicami (a;b) a naopak každému bodu so súradnicami (c;d) možno priradiť komplexné číslo w = c + di. Takto sa vytvorí korešpondencia jedna ku jednej medzi bodmi roviny a množinou komplexných čísel. Preto môžu byť komplexné čísla reprezentované ako body v rovine. Rovina, na ktorej sú zobrazené komplexné čísla, sa zvyčajne nazýva komplexná rovina.
Príklad. Na komplexnej rovine reprezentujeme čísla
Z1 \u003d2 + i; z2 = 3i; z 3 \u003d -3 + 2i; z 4 \u003d -1 - i.
|
|
Aritmetické operácie s komplexnými číslami sú rovnaké ako s reálnymi číslami: možno ich navzájom sčítať, odčítať, násobiť a deliť. Sčítanie a odčítanie prebieha podľa pravidla ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, a násobenie - podľa pravidla ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (inzerát + bc)i(tu sa používa len to i 2 = -1). Číslo = a – bi volal komplexný konjugát do z = a + bi. Rovnosť z · = a 2 + b 2 vám umožní pochopiť, ako rozdeliť jedno komplexné číslo iným (nenulovým) komplexným číslom:
Napríklad,
Úlohy na samostatné riešenie
Časť 1. Približné čísla a operácie s nimi
1.1 Typy chýb v približných výpočtoch
Presné riešenie niektorých matematických úloh nie je možné získať klasickými metódami, alebo je možné toto riešenie získať takýmto spôsobom. komplexná forma, čo je pre ďalšie praktické využitie neprijateľné. Okrem toho presné riešenie problému môže vyžadovať veľmi Vysoké číslo(od niekoľkých desiatok do mnohých miliárd) akcií. V takýchto prípadoch sa uchýlite k približným a numerickým metódam riešenia.
Príchod počítačov značne rozšíril rozsah týchto metód. V súčasnosti je ťažké predstaviť si inžiniera, ktorý nevlastní počítač a metódy približných výpočtov.
Všimnite si, že každý počítač je schopný zapamätať si veľké, ale konečné polia čísel a vykonávať na nich aritmetické operácie a porovnania veľkou, ale konečnou rýchlosťou. To znamená, že stroj je schopný vykonávať veľmi veľký, ale konečný počet operácií. Preto pri práci na počítači môžete používať iba tie matematické modely, ktoré sú opísané konečnou množinou čísel, a používať iba konečné postupnosti aritmetických operácií.
Matematické modely rôznych javov sú funkcie, derivácie, integrály, diferenciálne rovnice atď. Pri práci na počítači by sa tieto počiatočné modely mali nahradiť modelmi, ktoré sú popísané konečnými množinami čísel označujúcich konečnú postupnosť akcií na ich spracovanie. Na tento účel je funkcia nahradená tabuľkou, určitý integrál- množstvo atď. Okrem toho má počítač konečnú pamäť a môže pracovať s číslami konečnej dĺžky, takže medzivýsledky sú zaokrúhlené. Výsledkom je, že aj presná metóda s konečným počtom krokov sa stáva približnou.
Riešenie získané numerickou metódou je teda približné.
Dôvody chýb sú:
- Nekonzistentnosť matematického modelu so skúmaným skutočným javom
- Počiatočná chyba údajov.
- Chyba metódy riešenia.
- Chyby zaokrúhľovania v aritmetických a iných operáciách s číslami.
Chyba rozhodnutia spôsobená prvými dvoma dôvodmi sa nazýva tzv smrteľné— to nezávisí od matematika.
Chyba metódy vzniká, pretože numerická metóda spravidla nerieši pôvodný problém, ale jednoduchší problém. Okrem toho je numerická metóda zvyčajne založená na nekonečnom procese, ktorý musí byť v určitom kroku ukončený.
Väčšina numerických metód závisí od jedného alebo viacerých parametrov. Voľba parametrov metódy umožňuje upraviť chybu metódy.
Chyba zaokrúhľovania by nemalo byť významné viac chýb metóda. A je vhodné zvoliť chybu metódy 2-5 krát menšiu ako fatálnu chybu.
1.2 Približné čísla
V praxi sa často musíme zaoberať číslami, ktoré vyjadrujú skutočnú hodnotu nie presne, ale približne. Takéto čísla sa nazývajú približné.
Označme presnú číselnú hodnotu nejakej hodnoty a , približnú číselnú hodnotu tej istej hodnoty a * . Potom » a * .
Nahradením presného čísla a približným číslom a * urobíme chybu (chybu).
Definícia 1.1. Absolútna chyba približného čísla a * je absolútna hodnota rozdielu medzi týmto číslom a jeho presnou hodnotou | a-a* |.
Keďže presná hodnota množstva je zvyčajne neznáma, nie je možné vypočítať absolútnu chybu. Môžete však zadať kladné číslo D(a*), vyhovujúce nerovnosti:
Akékoľvek číslo d(a*) , uspokojujúce nerovnosť
Všimnite si, že existuje veľa čísel, ktoré spĺňajú nerovnosti (1.2) a (1.3). Preto hodnota hraničnej chyby nie je celkom istá.
V praxi sa zvyčajne berie najmenšia možná hodnota hraničnej chyby. Pre každé približné číslo je nevyhnutne určená jeho hraničná chyba (absolútna alebo relatívna). Limitujúca absolútna chyba umožňuje nastaviť hranice, v ktorých leží číslo a, t.j.
Limitná relatívna chyba charakterizuje presnosť výpočtov alebo meraní.
Príklady.
1.2.1 . Pri riešení problémov namiesto presného čísla p = 3,14159265... používame jeho približnú hodnotu 3,14 a robíme chybu:
p - 3,14 > 0,00159265
1.2.2 . Pri meraní dĺžky cesty bol získaný výsledok 25,2 km s presnosťou na 2m. Vypočítajte obmedzujúce absolútne a obmedzujúce relatívne chyby.
Riešenie. V našom prípade je limitná absolútna chyba rovná D = 0,002 km a hraničná relatívna chyba
Podobne vypočítame
znamená, že a * je približná hodnota čísla a s absolútnou chybou D(a*). Ak * je približná hodnota čísla a s relatívnou chybou d(a*), potom píšu takto:
1.4 Významné čísla, pravdivé a pochybné čísla
V praxi sa používajú rôzne techniky, ktoré umožňujú posúdiť jeho chybu iba zaznamenaním čo najpribližnejšieho čísla.
Zaznamenávanie približných čísel a absolútnych chýb podlieha určitým pravidlám.
V desiatkovom zápise významná postava Volá sa každá číslica, ktorá sa nerovná nule. Nula sa považuje za platnú číslicu, ak sa nachádza medzi platnými číslicami alebo je napravo od všetkých platných číslic.
Príklad 1.3.1. Približné číslo 0, 38 má 2 platné číslice, 0, 308 - tri, 0, 3080 - štyri, 0,00 308 - tri. Významné číslice sú podčiarknuté číslice.
Definícia 1.3. Významná číslica je tzv pravda v širokom zmysle ak absolútna chyba čísla nepresahuje jednu jednotku číslice zodpovedajúcej tomuto obrázku.
Významná číslica je tzv správne v užšom zmysle ak absolútna chyba čísla nepresahuje polovicu jednotky číslice zodpovedajúcej tomuto obrázku.
V opačnom prípade sa berie do úvahy číslo pochybný.
Ak sa zapíše približné číslo bez určenia jeho absolútnej (úplnej absolútnej) chyby, vypíšu sa iba jeho správne čísla. V tomto prípade sa skutočné nuly na pravom konci čísla nevyhadzujú. Čísla 0,25 a 0,250 sa líšia ako aproximácie. Ak použijeme záznamy v tvare (1.4) alebo (1.5), potom čísla na pravej strane týchto rovnosti musia byť zapísané s rovnakým počtom desatinných miest.
Absolútna resp relatívna chyba Je zvykom písať ho ako číslo obsahujúce jednu alebo dve platné číslice. V tomto prípade sa zaokrúhľovanie vykonáva s prebytkom.
Môže sa ukázať, že približné číslo vo svojej celočíselnej časti má viac platných číslic ako správne znamienka. V tomto prípade sa používa zápis v normalizovanom tvare a * = m 10 n , pričom číslo m ≤ 1 musí obsahovať iba platné číslice. V normalizovanom zápise sa číslo m nazýva mantisa, n — exponent
Všimnite si, že limitná absolútna chyba je určená počtom desatinných miest za desatinnou čiarkou: čím menej desatinných miest za desatinnou čiarkou, tým viac D(a*).
Limitná relatívna chyba je určená počtom platných číslic: čím menej platných číslic, tým viac d(a*).
1.5 Zaokrúhľovanie
Používa sa na písanie približných čísel so správnymi číslami zaokrúhľovanie.
Presné čísla je tiež potrebné zaokrúhliť nahor, ak je počet použitých číslic obmedzený.
Zaokrúhľovanie (doplnkom)číslo sa nazýva zápis tohto čísla s menším počtom číslic podľa nasledujúceho pravidla: ak je prvá vyradená číslica väčšia alebo rovná 5, posledná zostávajúca číslica sa zvýši o jednu. Pri zaokrúhľovaní čísel nastáva chyba, s ktorou treba tiež počítať.
Chyba zaokrúhľovania podľa doplnku nepresahuje polovicu jednotky najmenšej významnej číslice v absolútnej hodnote. Pri výpočte výslednej chyby treba k pôvodnej absolútnej chybe čísla pripočítať aj chybu zaokrúhľovania.
Príklad 1.3.2.Číslo a * = 413287,51 má relatívnu chybu d(a*) = 0,01. Z (1.3) vyplýva, že D(a*)=| a * | d(a*).
Absolútna chyba tohto čísla je teda 4133. To znamená, že štvrtá číslica čísla a * už môže obsahovať chybu. Správne sú teda iba prvé dve číslice čísla. Potom sa v normalizovanom tvare toto číslo zapíše takto: a * = 0,41 ·10 6 .
Argumentujúc podobne, približné číslo b * = 0,0794 at d(b*) = 2 % napíšte v normalizovanom tvare b * = 0,8 10 - 1 .
Všimnite si, že tu musíme číslo zaokrúhliť.
Pri vykonávaní aritmetických operácií s približnými číslami vznikajú dva vzájomne inverzné problémy:
1. Podľa známe chyby vstupné údaje na odhad chyby výsledku.
2. Určite presnosť počiatočných údajov, ktoré poskytujú špecifikovanú presnosť výsledku.
Pri práci s približnými číslami je navyše potrebné zladiť presnosť rôznych vstupných údajov, aby sa nestrácal čas vypisovaním zbytočných a nesprávnych čísel.
V procese výpočtov je tiež potrebné sledovať presnosť medzivýsledkov.
Pred začatím aritmetických operácií sa použije zaokrúhľovanie tak, aby sa všetky čísla zahrnuté v týchto operáciách zapísali s rovnakým počtom desatinných miest. Počet zostávajúcich desatinných miest je určený najmenším počtom platných číslic v pôvodných údajoch.
Pri sčítaní a odčítaní približných čísel, ktoré majú za desatinnou čiarkou rovnaký počet správnych číslic, sa zaokrúhľovanie nevykonáva.
Pri sčítaní a odčítaní približných čísel s rôznym počtom správnych číslic za desatinnou čiarkou sa výsledok v pôvodných údajoch zaokrúhli na najmenší počet správnych číslic za desatinnou čiarkou.
Pri násobení a delení približných čísel s rôznym počtom správnych číslic sa výsledok zaokrúhli na minimálny počet správnych číslic v pôvodných údajoch.
1.6 Aritmetické chyby
Nech a * a b * sú približné čísla, potom ich súčet c * = a * + b * je tiež približné číslo.
Ak označíme absolútne chyby pojmov D(a*) a D(b*), respektíve, potom absolútna chyba čísla c * je určená vzorcom
|
Preto sa pri sčítaní dvoch približných čísel sčítajú ich limitujúce absolútne chyby.
Toto pravidlo platí pre ľubovoľný konečný počet výrazov. Okrem toho platí vzorec (1.6) aj pre rozdiel dvoch čísel.
Rozdiel dvoch čísel môže byť skutočne reprezentovaný ako súčet
a * - b * = a * + ( - b *),
a absolútna chyba čísla ( -b*) sa rovná absolútnej chybe čísla b * .
Komentujte Pri odčítaní dvoch čísel rovnakého znamienka môže byť relatívna chyba rozdielu oveľa väčšia ako relatívna chyba každého člena. Obzvlášť veľká strata presnosti nastáva pri odčítaní čísel, ktoré sú blízko seba.
Príklad 1.4.1. Nech je potrebné nájsť rozdiel 61,32 - 61,31 .
Absolútne chyby týchto čísel sú, resp D1 = 0,01 a D2 = 0,01. Poďme teraz nájsť relatívne chyby týchto čísel:
Pri odčítaní dostaneme číslo 0,01 (všimneme si, že došlo k strate troch platných číslic). Jeho absolútna chyba sa rovná súčtu absolútnych chýb členov D1+ D 2 \u003d 0,02. Potom je relatívna chyba výsledku Porovnaním chýb počiatočných údajov a výsledku zistíme prudký nárast relatívnej chyby. Z príkladu 1.4.1. Z toho vyplýva, že by sme sa mali snažiť vyhnúť odčítaniu čísel, ktoré sú si v absolútnej hodnote blízke. Niekedy sa to dá dosiahnuť konverziou výpočtového vzorca. Ak sa takémuto odpočítaniu nedá vyhnúť, je potrebné zvýšiť presnosť medzivýpočtov, berúc do úvahy stratu významných čísel. Pri násobení a delení dvoch približných čísel a * a b * sa chyby určujú podľa vzorcov: Pri násobení a delení približných čísel sa teda sčítavajú ich obmedzujúce relatívne chyby. Poznámka . Ak absolútna chyba približného čísla Δ (a *) nepresahuje jednotku číslice vyjadrenú n-tou platnou číslicou v desiatkovom zápise tohto čísla, platí pre hraničnú relatívnu chybu nasledujúca nerovnosť: 5(a*) ≤ 1/k10n-1 kde k - prvá platná číslica čísla a * . Ak je absolútna chyba približného čísla D(a*) nepresahuje polovicu jednotky číslice vyjadrenej n-tou platnou číslicou v desiatkovom zápise tohto čísla, pre hraničnú relatívnu chybu platí nasledujúca nerovnosť: δ(a *) ≤ 1 / 2 k 10 n − 1 kde k je prvá platná číslica znaku * . V druhom prípade to platí aj naopak: ak d (a *) J 1/ 2 (k + 1) 10 n - 1, potom a * je približné číslo s n platnými číslicami. Nech je daná funkcia spojito diferencovateľná v oblasti G u \u003d f (x 1, x 2, j, x n). Odhad chyby v približnom výpočte hodnoty funkcie je nahradený odhadom modulu jej odchýlky od presná hodnota spôsobené chybami v argumentácii. V tomto prípade je odchýlka funkcie nahradená jej celkovým diferenciálom, v ktorom sú prírastky argumentov nahradené ich absolútnymi chybami. Potom je limitná absolútna chyba hodnoty funkcie určená vzťahom
d=
0,02
0,01
= 2.
D(a*b*) = | b * | D(a *) + | a * | D(b*),
d(a*b*) = d(a*) + d(b*),
(1.7)
D(a*/b*) =
| b*|D(a*)+| a*|D(b*)| b * | 2
d(a*/b*) = d(a*) + d(b*).
1.7 Chyba funkcie
Pre hraničnú relatívnu chybu máme rovnosť
Pomocou vzorcov (1.11) je možné určiť presnosť argumentov, čo zaisťuje danú presnosť funkčnej hodnoty.
Príklad 1.5.1. Treba merať s presnosťou d = 1 % plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa, ktorého polomery základne sú r 1 » 2 m, r 2" 1 m a generatrix l» 5 m.
S akou absolútnou chybou je potrebné merať polomery a tvoriacu čiaru a s koľkými znamienkami správne v širšom zmysle treba brať číslo p?
Ak D(a*) nepresahuje jednu číslicu vyjadrenú n-tou platnou číslicou, potom sa * nazýva číslo s n platnými číslicami v širokom zmysle.)
Riešenie. Plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa sa vypočíta podľa vzorca:
S = π l(r 1 + r 2).
Máme teda funkciu štyroch argumentov S = S(p , l, r 1, r 2).
Nájdite parciálne derivácie a vydeľte S .
Zo vzorcov (1.11) vyjadríme absolútne chyby argumentov:
z toho vyplýva, že číslo p treba brať s počtom znakov n = 3 .
PRESVEDČTE SA
Dané približné číslo a * = 1,0754327 a jeho limitná absolútna chyba D(a*)=0,0005.
Zaokrúhlite toto číslo na správne čísla. Berte do úvahy chybu zaokrúhľovania.
Krajčírskym krajčírskym metrom zmerajte obvod poludníka, delovú guľu Car Cannon a tenisovú loptičku. Ktoré meranie poskytne najväčšiu relatívnu chybu?
Pri meraní polomeru kruhu s presnosťou 0,5 cm vyšlo číslo 12 cm. Nájdite absolútne a relatívne chyby oblasti kruhu.
Dokončiť aritmetické operácie nad približné čísla, ktorých všetky číslice sú správne:
130,6 + 0,255 + 1,15224 + 41,84 + 11,8216;
35,2 1,748;
Hodnota to, čo možno vyjadriť číslom v určitých jednotkách, sa nazýva. Napríklad dĺžka, plocha, objem sú veličiny. Hodnota veličiny, o ktorej pravdivosti nepochybujeme, sa nazýva exaktná. (ďalej x je presné číslo). Ale zvyčajne sa v praxi pri hľadaní hodnoty veličiny získa len jej približná hodnota. (ďalej a je približné číslo ). Napríklad pri meraní fyzikálnych veličín pomocou meracích prístrojov.
Modul rozdielu medzi presnými a približnými hodnotami množstva sa nazýva absolútna chyba
aproximácia Limitná absolútna chyba aproximácie alebo hranice chyby resp absolútne
chyby
zavolal na číslo 
. Takéto hodnotenia môžu byť nekonečné číslo. najlepší odhad chybovosť je najmenší odhad.
Skratka pre presné číslo:
Pomer absolútnej chyby aproximácie k modulu presnej hodnoty veličiny sa nazýva relatívna chyba . V praxi sa používa Pre limitnú relatívnu chybu (odhad relatívnej chyby): . Relatívna chyba sa zvyčajne vyjadruje v %.
Neskôr slovo stupňa ide dole.
PRÍKLAD. Nájdite absolútnu a relatívnu chybu aproximácie a = 3,14 pre x=π.
To je známe 3,14 <π<3,15 .
Z toho vyplýva, že t.j.
Zvažujem to 3,14 <π<3,142, potom dostaneme najlepší odhad
Číslica v desiatkovom zápise približnej hodnoty veličiny X volal pravda v širokom zmysle , ak absolútna chyba aproximácie nepresiahne jednotku tejto číslice r, ku ktorému táto číslica patrí (Nulová číslica sa považuje za číslicu jednotiek, desatinné číslice sa považujú za záporné číslice). Existuje ďalší koncept pravdivý údaj v užšom zmysle : . V budúcnosti budeme uvažovať o správnych číslach v širšom zmysle. Zvyšné číslice sú tzv pochybný . Zmysluplné číslice čísla zapísaného v desiatkovej forme sú všetky správne číslice čísla, počnúc prvým vľavo, okrem 0. Všetky nuly vľavo sú nevýznamné. Podľa počtu platných číslic možno ľahko odhadnúť absolútnu chybu približného čísla. Na odhad absolútnej chyby môžete použiť 0,5 číslice za poslednou platnou číslicou. Limitná relatívna chyba sa môže rovnať zlomku, ktorého čitateľ je 1 a menovateľ je dvojité celé číslo zapísané pomocou všetkých platných číslic daného čísla.
PRÍKLAD. a = 0,065;
ÚLOHA 1.1. Objem miestnosti V určené s obmedzujúcou relatívnou chybou δ Koľko platných číslic obsahuje V ?
ÚLOHA 1.2. Je známe, že približná hodnota a Má n významné číslice. Odhadnite absolútnu a relatívnu chybu.