Теория графов – это раздел дискретной математики, изучающий объекты, представимые в виде отдельных элементов (вершин) и связей между ними (дуг, рёбер).
Теория графов берет начало с решения задачи о кенигсбергских мостах в 1736 году знаменитым математиком Леонардом Эйлером (1707-1783: родился в Швейцарии, жил и работал в России).
Задача о кенигсбергских мостах.
В прусском городке Кенигсберг на реке Прегал семь мостов. Можно ли найти маршрут прогулки, который проходит ровно 1 раз по каждому из мостов и начинается и заканчивается в одном месте?
Граф, в котором найдется маршрут, начинающийся и заканчивающийся в одной вершине, и проходящий по всем ребрам графа ровно один раз, называется Эйлеровым графом.
Последовательность вершин (может быть с повторением), через которые проходит искомый маршрут, как и сам маршрут, называется Эйлеровым циклом .
Задача о трех домах и трех колодцах.
Имеется три дома и три колодца, каким-то образом расположенные на плоскости. Провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались. Эта задача была решена (показано, что решения не существует) Куратовским (1896 – 1979) в 1930 году.
Задача о четырех красках. Разбиение плоскости на непересекающиеся области называется картой . Области карты называются соседними, если они имеют общую границу. Задача состоит в раскрашивании карты таким образом, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом. С конца XIX века известна гипотеза, что для этого достаточно четырех красок. Гипотеза не доказана до сих пор.
Суть опубликованного решения состоит в том, чтобы перебрать большое, но конечное число (около 2000) типов потенциальных контрпримеров к теореме о четырех красках и показать, что ни один случай контрпримером не является. Этот перебор был выполнен программой примерно за тысячу часов работы суперкомпьютера.
Проверить «вручную» полученное решение невозможно – объем перебора выходит за рамки человеческих возможностей. Многие математики ставят вопрос: можно ли считать такое «программное доказательство» действительным доказательством? Ведь в программе могут быть ошибки…
Таким образом, остается уповать на программистскую квалификацию авторов и верить, что они все сделали правильно.
Определение 7.1. Графом G = G (V , E ) называется совокупность двух конечных множеств: V – называемого множеством вершин и множества E пар элементов из V, т.е. EÍV´V, называемого множеством рёбер , если пары неупорядочены, или множеством дуг , если пары упорядочены.
В первом случае граф G (V , E ) называется неориентированным , во втором – ориентированным.
ПРИМЕР. Граф с множеством вершин V = {а,b,с} и множеством ребер Е ={{а, b}, {b, с}}
ПРИМЕР. Граф, у которого V = {a,b,c,d,e} и Е = {{а, b}, {а, е}, {b, е}, {b, d}, {b, с}, {с, d}},
Если e=(v 1 ,v 2), еÎЕ, то говорят, что ребро е соединяет вершины v 1 и v 2 .
Две вершины v 1 ,v 2 называются смежными , если существует соединяющее их ребро. В этой ситуации каждая из вершин называется инцидентной соответствующему ребру.
Два различных ребра смежны , если они имеют общую вершину. В этой ситуации каждое из ребер называется инцидентным соответствующей вершине.
Число вершин графа G обозначим v , а число ребер - e :
.
Геометрическое представление графов следующее:
1) вершина графа – точка в пространстве (на плоскости);
2) ребро неориентированного графа – отрезок;
3) дуга ориентированного графа – направленный отрезок.
Определение 7.2. Если в ребре e=(v 1 ,v 2) имеет место v 1 =v 2 , то ребро е называется петлёй . Если в графе допускается наличие петель, то он называется графом с петлями или псевдографом .
Если в графе допускается наличие более одного ребра между двумя вершинами, то он называется мультиграфом .
Если каждая вершина графа и (или) ребра помечена, то такой граф называется помеченным (или нагруженным ). В качестве пометок обычно используются буквы или целые числа.
Определение 7.3. Граф G (V , E ) называется подграфом (или частью ) графа G (V ,E ), если V V , E E . Если V = V , то G называется остовным подграфом G .
Пример 7 . 1 . Дан неориентированный граф.
Определение 7.4. Граф называется полным , если любые две его вершины соединены ребром. Полный граф с n вершинами обозначается через K n .
Графы К 2 , К 3, К 4 и К 5 .
Определение 7.5. Граф G =G (V , E ) называется двудольным , если V можно представить как объединение непересекающихся множеств, скажем V =A B , так что каждое ребро имеет вид (v i , v j ), где v i A и v j B .
Каждое ребро связывает вершину из А с вершиной из В, но никакие две вершины из А или две вершины из В не являются связанными.
Двудольный граф называется полным двудольным графом K m , n , если A содержит m вершин, B содержит n вершин и для каждого v i A , v j B имеем (v i , v j )E .
Таким образом, для каждого v i A , и v j B имеется связывающее их ребро.
K 12 K 23 K 22 K 33
Пример 7 . 2 . Построить полный двудольный граф K 2,4 и полный граф K 4 .
Граф единичного n -мерного куба В n .
Вершины графа - n-мерные двоичные наборы. Рёбра соединяют вершины, отличающиеся одной координатой.
Пример:
Среди жителей Кёнигсберга была распространена такая практическая головоломка: можно ли пройти по всем мостам через реку Преголя, не проходя ни по одному из них дважды? В 1736 году выдающийся математик Леонард Эйлер заинтересовался задачей и в письме другу привел строгое доказательство того, что сделать это невозможно. В том же году он доказал замечательную формулу, которая связывает число вершин, граней и ребер многогранника в трехмерном пространстве. Формула таинственным образом верна и для графов, которые называются "планарными". Эти два результата заложили основу теории графов и неплохо иллюстрируют направление ее развития по сей день.
О курсе
Этот курс служит введением в современную теорию графов. Граф как математический объект оказывается полезным во многих теоретических и практических задачах. Дело, пожалуй, в том, что сложность его структуры хорошо отвечает возможностям нашего мозга: это структура наглядная и понятно устроенная, но, с другой стороны, достаточно богатая, чтобы улавливать многие нетривиальные явления. Если говорить о приложениях, то, конечно, сразу же на ум приходят большие сети: Интернет, карта дорог, покрытие мобильной связи и т.п. В основах поисковых машин, таких, как Yandex и Google, лежат алгоритмы на графах. Помимо computer science, графы активно используются в биоинформатике, химии, социологии. В нашем курсе мы, конечно же, обсудим классические задачи, но и поговорим про более недавние результаты и тенденции, например, про экстремальную теорию графов.
Формат
Курс состоит из 7 учебных недель и экзамена. Для успешного решения большинства задач из тестов достаточно освоить материал, рассказанный на лекциях. На семинарах разбираются и более сложные задачи, которые смогут заинтересовать слушателя, уже знакомого с основами теории графов.
Информационные ресурсы
- В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. Лекции по теории графов. М.: Книжный дом «Либроком», 2009.
- А. А. Зыков. Теория конечных графов. Новосибирск: Наука, 1969.
- М. Свами, К. Тхуласираман. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984.
- M. Aigner, G. M. Ziegler. Proofs From THE BOOK. Fourth Edition. Springer, 2009.
- B. Bollobás. Modern Graph Theory. Springer, 1998.
- J. A. Bondy, U. S. R. Murty. Graph Theory. Springer, 2008.
Требования
Материал изложен с самых основ и на доступном языке. Целью этого курса является не только познакомить вас с вопросами и методами теории графов, но и развить у неподготовленных слушателей культуру математического мышления. Поэтому курс доступен широкому кругу слушателей. Для освоения материала будет достаточно знания математики на хорошем школьном уровне и базовых знаний комбинаторики.
Программа курса
- Понятие графа и виды графов.
- Различные применения графов: от Кенигсберских мостов до Интернета.
- Связность графа, подграфы и степень вершины.
- Эквивалентные определения деревьев.
- Планарность и критерий Куратовского
- Формула Эйлера.
- Хроматическое число планарного графа.
- Перечисление деревьев: код Прюфера и формула Кэли.
- Формула для числа унициклических графов.
- Эйлеровы циклы и критерий эйлеровости.
- Гамильтоновы циклы. Критерий Дирака и критерий Хватала.
- Паросочетания. Теорема Холла и Кенига.
- Экстремальная теория графов. Теорема Турана.
- Аналог теоремы Турана для графов на плоскости.
- Теория Рамсея. Знакомства среди шести человек.
- Определение числа Рамсея.
- Нижняя и верхняя оценки чисел Рамсея.
Результаты обучения
По итогам успешного прохождения курса слушатель познакомится с понятием графа, с видами и различными характеристиками и свойствами графов. Слушатель узнает о задаче о правильных раскрасках и о возможности нарисовать данный граф на плоскости без пересечений ребер, а также научится разными способами определять деревья и перечислять их. Наконец, слушатель познакомится с понятиями эйлеровых и гамильтоновых циклов, паросочетаний и даже прикоснется к задачам экстремальной теории графов.
Неформально граф можно рассматривать как множество точек и соединяющих эти точки линий со стрелками или без них.
Первой работой теории графов как математической дисциплины считают статью Эйлера (1736 г.), в которой рассматривалась задача о Кёнингсбергских мостах. Эйлер показал, что нельзя обойти семь городских мостов и вернуться в исходную точку, пройдя по каждому мосту ровно один раз. Следующий импульс теория графов получила спустя почти 100 лет с развитием исследований по электрическим сетям, кристаллографии, органической химии и другим наукам.
С графами, сами того не замечая, мы сталкиваемся постоянно. Например, графом является схема линий метрополитена. Точками на ней представлены станции, а линиями - пути движения поездов. Исследуя свою родословную и возводя ее к далекому предку, мы строим так называемое генеалогическое древо. И это древо - граф.
Графы служат удобным средством описания связей между объектами. Ранее мы уже использовали графы как способ наглядного представления конечных бинарных отношений.
Но граф используют отнюдь не только как иллюстрацию. Например, рассматривая граф, изображающий сеть дорог между населенными пунктами, можно определить маршрут проезда от пункта А до пункта Б. Если таких маршрутов окажется несколько, хотелось бы выбрать в определенном смысле оптимальный, например самый короткий или самый безопасный. Для решения задачи выбора требуется проводить определенные вычисления над графами. При решении подобных задач удобно использовать алгебраическую технику, да и само понятие графа необходимо формализовать.
Методы теории графов широко применяются в дискретной математике. Без них невозможно обойтись при анализе и синтезе различных дискретных преобразователей: функциональных блоков компьютеров, комплексов программ и т.д.
В настоящее время теория графов охватывает большой материал и активно развивается. При ее изложении ограничимся только частью результатов и основной акцент сделаем на описании и обосновании некоторых широко распространенных алгоритмов анализа графов, которые применяются в теории формальных языков.
Основные определения
Графы, как уже отмечалось в примерах, есть способ „визуализации" связей между определенными объектами. Связи эти могут быть „направленными", как, например, в генеалогическом древе, или "ненаправленными" (сеть дорог с двусторонним движением). В соответствии с этим в теории графов выделяют два основных типа графов: ориентированные (или направленные) и неориентированные.
Способы представления
До сих пор мы задавали ориентированные и неориентированные графы, изображая их с помощью рисунков. Можно задать граф как пару множеств, следуя определению, однако этот способ довольно громоздкий и представляет, скорее, теоретический интерес. Развитие алгоритмических подходов к анализу свойств графов требует иных способов описания графов, более пригодных для практических вычислений, в том числе с использованием ЭВМ. Рассмотрим три наиболее распространенных способа представления графов.
Деревья
Определение 5.5. Неориентированным деревом называют связный и ациклический неориентированный граф. Определение 5.6. Ориентированным деревом называют бесконтурный ориентированный граф, у которого полустепень захода любой вершины не больше 1 и существует ровно одна вершина, называемая корнем ориентированного дерева, полустепень захода которой равна 0.
Остовное дерево наименьшего веса
Следующая задача известна в теории графов под названием задачи Штейнера: на плоскости заданы п точек; нужно соединить их отрезками прямых таким образом, чтобы суммарная длина отрезков была наименьшей.
Методы систематического обхода вершин графа
Важными задачами теории графов являются задачи глобального анализа как неориентированных, так и ориентированных графов. К этим задачам относятся, например, задачи поиска циклов или контуров, вычисление длин путей между парами вершин, перечисление путей с теми или иными свойствами и т.п. Глобальный анализ графа следует отличать от локального, примером которого может служить задача определения множеств предшественников и преемников фиксированной вершины ориентированного графа.
Задача о путях во взвешенных ориентированных графах
Изоморфизм графов
Для ориентированного графа (V, Е) множество Е дуг можно рассматривать как график бинарного отношения непосредственной достижимости, заданного на множестве вершин. В неориентированном графе (V, Е) множество Е ребер является множеством неупорядоченных пар. Для каждой неупорядоченной пары {u, v} ∈ Е можно считать, что вершины u и v связаны симметричным бинарным отношением р, т.е. (u, v) ∈ р и (v, u) ∈ р.
Топологическая сортировка
Определение 5.17. Ориентированной сетью (или просто сетью) называют бесконтурный ориентированный граф*. Поскольку сеть является бесконтурным графом, можно показать, что существуют вершины (узлы) сети с нулевой полустепенью исхода, а также вершины (узлы) с нулевой полустепенью захода. Первые называют стоками или выходами сети, а вторые - источниками или входами сети.
Элементы цикломатики
При обсуждении алгоритма поиска в глубину в неориентированном графе рассматривался вопрос о поиске так называемых фундаментальных циклов графа. При этом под фундаментальным понимался цикл, содержащий в точности одно обратное ребро, и между фундаментальными циклами и обратными ребрами устанавливалось взаимно однозначное соответствие, фундаментальные циклы возникают всякий раз, как только фиксировано произвольное разбиение всех ребер неориентированного графа на древесные (формирующие некоторый максимальный оспьовный лес исходного графа) и обратные, причем в общем случае это разбиение может быть задано совершенно независимо от алгоритма поиска в глубину. Поиск в глубину есть лишь один из способов реализации такого разбиения.
Книга К.Бержа - первая по теории графов на русском языке. Между тем в последние годы интерес к теории резко усилился как со стороны математиков, так и представителей самых различных дисциплин. Это объясняется тем, что методы теории графов успешно решают многочисленные задачи теории электрических цепей, теории транспортных цепей, теории информации, кибернетики и др.
В книге Бержа теория графов излагается последовательно, начиная с самых основ. Предполагается, что читатель обладает весьма скромными математическими познаниями, хотя и имеет некоторую математическую культуру. В текст включены многочисленные, зачастую забавные, примеры. Книга может быть использована для первоначального изучения теории графов. Математики-профессионалы также найдут в ней много интересного.
Алгорифм для непосредственного выявления эйлерова цикла.
[Флёрн (Fleury)]. Рассмотрим связный мультиграф G, все вершины которого имеют четную степень, и постараемся нарисовать его одним росчерком, не прибегая в процессе построения к исправлениям уже начерченной части траектории. Достаточно придерживаться следующего правила:
1 Выходим из произвольной вершины а; каждое пройденное ребро зачеркиваем.
2 Никогда не идем по такому ребру и, которое в рассматриваемый момент является перешейком (т.е. при удалении которого граф, образованный незачеркнутыми ребрами, распадается на две компоненты связности, имеющие хотя бы по одному ребру),
Соблюдая это правило, мы всегда будем находиться в благоприятном положении, потому что когда мы находимся в х = а, граф (из незачеркнутых ребер) имеет две вершины нечетной степени: х и а; если отбросить изолированные вершины, то останется связный граф, который в силу теоремы 1 имеет эйлерову цепь, начинающуюся в х.
Содержание
Введение
Глава 1. Основные определения
Множества и многозначные отображения
Граф. Пути и контуры
Цепи и циклы
Глава 2. Предварительное изучение квазиупорядоченности
Квазипорядок, определяемый графом
Индуктивный граф и базы
Глава 3. Порядковая функция и функция
Гранди для бесконечного графа
Общие соображения относительно бесконечных графов
Порядковая функция
Функции Гранди
Операции над графами
Глава 4. Основные числа теории графов
Цикломатическое число
Хроматическое число
Число внутренней устойчивости
Число внешней устойчивости
Глава 5. Ядра графа
Теоремы существования и единственности
Приложение к функциям Гранди
Глава 6. Игры на графе
Игра Ним
Общее определение игры (с полной информацией)
Стратегии
Глава 7. Задача о кратчайшем пути
Процессы по этапам Некоторые обобщения
Глава 8. Транспортные сети
Задача о наибольшем потоке Задача о наименьшем потоке
Задача о потоке, совместимом с множеством значений
Бесконечные транспортные сети
Глава 9. Теорема о полустепенях
Полу степени исхода и захода
Глава 10. Паросочетание простого графа
Задача о наибольшем паросочетании
Дефицит простого графа
Венгерский алгорифм
Обобщение на бесконечный случай
Приложение к теории матриц
Глава 11. Факторы
Гамильтоновы пути и гамильтоновы контуры
Нахождение фактора
Нахождение частичного графа с заданными полустепенями
Глава 12. Центры графа
Центры
Радиус
Глава 13. Диаметр сильно связного графа
Общие свойства сильно связных графов без петель
Диаметр
Глава 14. Матрица смежности графа
Применение обычных матричных операций
Задачи на подсчет
Задача о лидере
Применение булевых операций
Глава 15. Матрицы инциденций
Вполне унимодулярные матрицы
Вполне унимодулярные системы
Цикломатические матрицы
Глава 16. Деревья и прадеревья
Деревья
Аналитическое исследование
Прадеревья
Глава 17. Задача Эйлера
Эйлеровы циклы Эйлеровы контуры
Глава 18. Паросочетание произвольного графа
Теория чередующихся цепей
Нахождение частичного графа с заданными степенями вершин
Совершенное паросочетание
Приложение к числу внутренней устойчивости
Глава 19. Фактороиды
Гамильтоновы циклы и фактороиды
Необходимое и достаточное условие существования фактороида
Глава 20. Связность графа
Точки сочленения
Графы без сочленений
h-связные графы
Глава 21. Плоские графы
Основные свойства
Обобщение
Добавления
I. Off общей теории, игр
II. О транспортных задачах
III. Об использовании, понятия потенциала в транспортных сетях
IV. Нерешенные задачи, и недоказанные предположения
V. О некоторых основных принципах подсчета (Ж. Риге)
VI. Дополнения к русскому переводу (А.А. Зыков и Г.И. Кожухин)
Литература
Теория графов и книга К. Бержа (послесловие к русскому переводу)
Указатель символов
Именной указатель
Предметный указатель.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Теория графов и её применение, Берж К. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
РЕФЕРАТ
«ТЕОРИЯ ГРАФОВ»
Выполнила:
Зудина Т.В.
Владимир 2001
1. Введение
2. История возникновения теории графов
3. Основные определения теории графов
4. Основные теоремы теории графов
5. Задачи на применение теории графов
6. Применение теории графов в школьном курсе математики
7. Приложение теории графов в различных областях науки и техники
8. Последние достижения теории графов
§1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ.
Родоначальником теории графов принято считать математика Леонарда Эйлера (1707-1783). Историю возникновения этой теории можно проследить по переписке великого ученого. Вот перевод латинского текста, который взят из письма Эйлера к итальянскому математику и инженеру Маринони, отправленного из Петербурга 13 марта 1736 года [см. стр. 41-42]:
"Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не мог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство… После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может. Кенигсбергские же мосты расположены так, что их можно представить на следующем рисунке [рис.1], на котором A обозначает остров, а B , C иD – части континента, отделенные друг от друга рукавами реки. Семь мостов обозначены буквами a , b , c , d , e , f , g ".
(РИСУНОК 1.1)
По поводу обнаруженного им способа решать задачи подобного рода Эйлер писал [см. стр. 102-104]:
"Это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только рассуждением, и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике. Итак, я не знаю, каким образом получается, что вопросы, имеющие совсем мало отношения к математике, скорее разрешается математиками, чем другими".
Так можно ли обойти Кенигсбергские мосты, проходя только один раз через каждый из этих мостов? Чтобы найти ответ, продолжим письмо Эйлера к Маринони:
"Вопрос состоит в том, чтобы определить, можно ли обойти все эти семь мостов, проходя через каждый только однажды, или нельзя. Мое правило приводит к следующему решению этого вопроса. Прежде всего, нужно смотреть, сколько есть участков, разделенных водой, – таких, у которых нет другого перехода с одного на другой, кроме как через мост. В данном примере таких участков четыре – A , B , C , D . Далее нужно различать, является ли число мостов, ведущих к этим отдельным участкам, четным или нечетным. Так, в нашем случае к участку A ведут пять мостов, а к остальным – по три моста, т. е. Число мостов, ведущих к отдельным участкам, нечетно, а этого одного уже достаточно для решения задачи. Когда это определено, применяем следующее правило: если бы число мостов, ведущих к каждому отдельному участку, было четным, то тогда обход, о котором идет речь, был бы возможен, и в то же время можно было бы начать этот обход с любого участка. Если же из этих чисел два были бы нечетные, ибо только одно быть нечетным не может, то и тогда мог бы совершиться переход, как это предписано, но только начало обхода непременно должно быть взято от одного из тех двух участков, к которым ведет нечетное число мостов. Если бы, наконец, было больше двух участков, к которым ведет нечетное число мостов, то тогда такое движение вообще невозможно… если можно было привести здесь другие, более серьезные задачи, этот метод мог бы принести еще большую пользу и им не следовало бы пренебрегать".
Обоснование вышеприведенного правила можно найти в письме Л. Эйлера к своему другу Элеру от 3 апреля того же года. Мы перескажем ниже отрывок из этого письма.
Математик писал, что переход возможен, если на участке разветвления реки имеется не более двух областей, в которые ведет нечетное число мостов. Для того, чтобы проще представить себе это, будем стирать на рисунке уже пройденные мосты. Легко проверить, что если мы начнем двигаться в соответствии с правилами Эйлера, пересечем один мост и сотрем его, то на рисунке будет изображен участок, где опять имеется не более двух областей, в которые ведет нечетное число мостов, а при наличии областей с нечетным числом мостов мы будем располагаться в одной из них. Продолжая двигаться так далее, пройдем через все мосты по одному разу.
История с мостами города Кенигсберга имеет современное продолжение. Откроем, например, школьный учебник по математике под редакцией Н.Я. Виленкина для шестого класса. В нем на странице 98 в рубрике развития внимательности и сообразительности мы найдем задачу, имеющую непосредственное отношение к той, которую когда-то решал Эйлер.
Задача № 569 . На озере находится семь островов, которые соединены между собой так, как показано на рисунке 1.2. На какой остров должен доставить путешественников катер, чтобы они могли пройти по каждому мосту и только один раз? Почему нельзя доставить путешественников на остров A ?
(РИСУНОК 1.2)
Решение. Поскольку эта задача подобна задаче о Кенигсбергских мостах, то при ее решении мы также воспользуемся правилом Эйлера. В результате получим следующий ответ: катер должен доставить путешественников на остров E или F , чтобы они смогли пройти по каждому мосту один раз. Из того же правила Эйлера следует невозможность требуемого обхода, если он начнется с острова A .
В заключение отметим, что задача о Кенигсбергских мостах и подобные ей задачи вместе с совокупностью методов их исследования составляют очень важный в практическом отношении раздел математики, называемый теорией графов. Первая работа о графах принадлежала Л. Эйлеру и появилась в 1736 году. В дальнейшем над графами работали Кениг (1774-1833), Гамильтон (1805-1865), из современных математиков – К. Берж, О. Оре, А. Зыков.
§2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Теория графов, как было сказано выше, – дисциплина математическая, созданная усилиями математиков, поэтому ее изложение включает в себя и необходимые строгие определения. Итак, приступим к организованному введению основных понятий этой теории.
Определение 2.01. Графом называется совокупность конечного числа точек, называемых вершинами графа, и попарно соединяющих некоторые из этих вершин линий, называемых ребрами или дугами графа.
Это определение можно сформулировать иначе: графом называется непустое множество точек (вершин ) и отрезков (ребер ), оба конца которых принадлежат заданному множеству точек (см. рис. 2.1).
(РИСУНОК 2.1)
В дальнейшем вершины графа мы будем обозначать латинскими буквами A , B ,C ,D . Иногда граф в целом будем обозначать одной заглавной буквой.
Определение 2.02. Вершины графа, которые не принадлежат ни одному ребру, называются изолированными .
Определение 2.03. Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется нуль - графом .
Обозначение: O " – граф с вершинами, не имеющий ребер (рис. 2.2).
(РИСУНОК 2.2)
Определение 2.04. Граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром, называется полным .
Обозначение: U " – граф, состоящий из n вершин и ребер, соединяющих всевозможные пары этих вершин. Такой граф можно представить как n –угольник, в котором проведены все диагонали (рис. 2.3).
(РИСУНОК 2.3)
Определение 2.05. Степенью вершины называется число ребер, которым принадлежит вершина.
Обозначение: p (A ) – степень вершины A . Например, на рисунке 2.1: p (A )=2, p (B )=2, p (C )=2, p (D )=1, p (E )=1.
Определение 2.06. Граф, степени всех k вершин которого одинаковы, называется однородным графом степени k .
На рисунке 2.4 и 2.5 изображены однородные графы второй и третьей степени.
(РИСУНОК 2.4 и 2.5)
Определение 2.07. Дополнением данного графа называется граф, состоящий из всех ребер и их концов, которые необходимо добавить к исходному графу, чтобы получить полный граф.
На рисунке 2.6 изображен исходный граф G , состоящий из четырех вершин и трех отрезков, а на рисунке 2.7 – дополнение данного графа – граф G " .
(РИСУНОК 2.6 и 2.7)
Мы видим, что на рисунке 2.5 ребра AC и BD пересекаются в точке, не являющейся вершиной графа. Но бывают случаи, когда данный граф необходимо представить на плоскости в таком виде, чтобы его ребра пересекались только в вершинах (этот вопрос будет рассмотрен подробно далее, в параграфе 5).
Определение 2.08. Граф, который можно представить на плоскости в таком виде, когда его ребра пересекаются только в вершинах, называется плоским .
Например, на рисунке 2.8 показан плоский граф, изоморфный (равный) графу на рисунке 2.5. Однако, заметим, что не каждый граф является плоским, хотя обратное утверждение верно, т. е. любой плоский граф можно представить в обычном виде.
(РИСУНОК 2.8)
Определение 2.09. Многоугольник плоского графа, не содержащий внутри себя никаких вершин или ребер графа, называют его гранью .