أولاً ، لنصوغ النظرية نفسها: دعونا نحصل على المعطى معادلة من الدرجة الثانيةبالصيغة x ^ 2 + b * x + c = 0. افترض أن هذه المعادلة تحتوي على الجذور x1 و x2. بعد ذلك ، وفقًا للنظرية ، تُقبل العبارات التالية:
1) مجموع الجذور x1 و x2 يساوي قيمة سالبةمعامل ب.
2) ناتج هذه الجذور بالذات سيعطينا المعامل ج.
لكن ما هي المعادلة أعلاه؟
المعادلة التربيعية المختزلة هي معادلة تربيعية ، معامل الدرجة الأعلى ، الذي يساوي واحدًا ، أي هذه معادلة بالصيغة x ^ 2 + b * x + c = 0. (والمعادلة a * x ^ 2 + b * x + c = 0 لم يتم اختزالها). بمعنى آخر ، لتقليل المعادلة إلى الصيغة المختصرة ، يجب أن نقسم هذه المعادلة على المعامل في أعلى درجة (أ). المهمة هي إحضار هذه المعادلة إلى النموذج المصغر:
3 * س ^ 2 12 * س + 18 = 0 ؛
−4 * س ^ 2 + 32 * س + 16 = 0 ؛
1.5 * x ^ 2 + 7.5 * x + 3 = 0 ؛ 2 * س ^ 2 + 7 * س - 11 = 0.
نقسم كل معادلة على معامل الدرجة الأعلى ، نحصل على:
س ^ 2 4 * س + 6 = 0 ؛ س ^ 2 8 * س - 4 = 0 ؛ س ^ 2 + 5 * س + 2 = 0 ؛
س ^ 2 + 3.5 * س - 5.5 = 0.
كما يتضح من الأمثلة ، حتى المعادلات التي تحتوي على كسور يمكن اختزالها إلى الصورة المختصرة.
باستخدام نظرية فييتا
X ^ 2 5 * x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = - (−5) = 5 ؛ x1 * x2 = 6 ؛
نحصل على الجذور: x1 = 2 ؛ س 2 = 3 ؛
X ^ 2 + 6 * x + 8 = 0 x1 + x2 = −6 ؛ x1 * x2 = 8 ؛
نتيجة لذلك ، نحصل على الجذور: x1 = -2 ؛ x2 = -4 ؛
X ^ 2 + 5 * x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5 ؛ x1 * x2 = 4 ؛
نحصل على الجذور: x1 = −1 ؛ س 2 = -4.
أهمية نظرية فييتا
تسمح لنا نظرية فييتا بحل أي معادلة تربيعية في ثوانٍ تقريبًا. للوهلة الأولى ، تبدو هذه مهمة صعبة إلى حد ما ، ولكن بعد 5 10 معادلات ، يمكنك تعلم رؤية الجذور على الفور.
من الأمثلة أعلاه ، وباستخدام النظرية ، يمكنك أن ترى كيف يمكنك تبسيط حل المعادلات التربيعية بشكل ملحوظ ، لأنه باستخدام هذه النظرية ، يمكنك حل معادلة تربيعية بحسابات قليلة أو معدومة وحساب المميز ، وكما تعلم كلما قل عدد العمليات الحسابية ، زادت صعوبة ارتكاب الخطأ ، وهو أمر مهم.
في جميع الأمثلة ، استخدمنا هذه القاعدة بناءً على افتراضين مهمين:
المعادلة أعلاه ، أي المعامل عند أعلى درجة يساوي واحدًا (من السهل تجنب هذا الشرط. يمكنك استخدام الصيغة غير المختصرة للمعادلة ، ثم العبارات التالية x1 + x2 = -b / a ؛ x1 * x2 = c / a ستكون صالح ، ولكن عادة ما يكون حله أكثر صعوبة :))
عندما يكون للمعادلة جذران مختلفان. نفترض أن المتباينة صحيحة وأن المميز أكبر من الصفر تمامًا.
لذلك ، يمكننا تكوين خوارزمية حل عامة باستخدام نظرية فييتا.
خوارزمية الحل العام من خلال نظرية فييتا
نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصيغة المختصرة إذا أعطيت لنا المعادلة في الصورة غير المختصرة. عندما تبين أن المعاملات في المعادلة التربيعية ، التي قدمناها سابقًا على أنها مخفضة ، كسرية (وليست عشرية) ، إذن في هذه الحالة يجب حل معادلتنا من خلال المميز.
هناك أيضًا حالات تسمح لنا فيها العودة إلى المعادلة الأصلية بالعمل بأرقام "ملائمة".
تسمح لنا نظرية فييتا (بتعبير أدق ، النظرية العكسية لنظرية فييتا) بتقليل الوقت اللازم لحل المعادلات التربيعية. تحتاج فقط إلى معرفة كيفية استخدامه. كيف تتعلم حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا؟ إنه سهل إذا كنت تفكر قليلاً.
الآن سوف نتحدث فقط عن حل المعادلة التربيعية المختصرة باستخدام نظرية فييتا. المعادلة التربيعية المختزلة هي معادلة يكون فيها a ، أي المعامل أمام x² ، يساوي واحد. يمكن أيضًا حل المعادلات التربيعية غير المعطاة باستخدام نظرية فيتا ، ولكن هناك بالفعل واحدًا على الأقل من الجذور ليس عددًا صحيحًا. من الصعب تخمينها.
تقول النظرية المعكوسة لنظرية فييتا: إذا كان الرقمان x1 و x2 هكذا
ثم x1 و x2 هي جذور المعادلة التربيعية
عند حل معادلة تربيعية باستخدام نظرية فييتا ، هناك 4 خيارات فقط ممكنة. إذا كنت تتذكر مسار التفكير ، فيمكنك أن تتعلم العثور على الجذور الكاملة بسرعة كبيرة.
1- إذا كانت q عددًا موجبًا ،
هذا يعني أن الجذور x1 و x2 هي أرقام من نفس العلامة (لأنه فقط عند ضرب الأرقام بنفس العلامات ، يتم الحصول على رقم موجب).
I ل. إذا كان -p رقمًا موجبًا ، (على التوالي ، ص<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
ب. إذا -p - رقم سالب, (على التوالي ، p> 0) ، ثم كلا الجذور عبارة عن أرقام سالبة (أضافوا أرقامًا من نفس العلامة ، وحصلوا على رقم سالب).
ثانيًا. إذا كان q رقمًا سالبًا ،
هذا يعني أن الجذور x1 و x2 لها علامات مختلفة (عند ضرب الأرقام ، يتم الحصول على رقم سالب فقط عندما تختلف علامات العوامل). في هذه الحالة ، لم يعد x1 + x2 مجموعًا ، بل فرقًا (بعد كل شيء ، عند جمع الأرقام باستخدام علامات مختلفةنطرح الأصغر من المعامل الأكبر). لذلك ، يوضح x1 + x2 مدى اختلاف الجذور x1 و x2 ، أي مقدار جذر واحد أكثر من الآخر (modulo).
II.a. إذا كان -p رقمًا موجبًا ، (أي ص<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. إذا كان -p رقمًا سالبًا ، (p> 0) ، فإن الجذر الأكبر (modulo) هو رقم سلبي.
ضع في اعتبارك حل المعادلات التربيعية وفقًا لنظرية فييتا باستخدام الأمثلة.
حل المعادلة التربيعية المحددة باستخدام نظرية فييتا:
هنا q = 12> 0 ، لذا فإن الجذور x1 و x2 عددان من نفس العلامة. مجموعهم هو -p = 7> 0 ، لذا فإن كلا الجذور أرقام موجبة. نختار الأعداد الصحيحة التي يكون حاصل ضربها 12. هذه هي 1 و 12 ، 2 و 6 ، 3 و 4. المجموع 7 للزوج 3 و 4. وبالتالي ، 3 و 4 هما جذور المعادلة.
في هذا المثال ، q = 16> 0 ، مما يعني أن الجذور x1 و x2 أرقام من نفس العلامة. مجموعهم -p = -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
هنا q = -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 ، فالعدد الأكبر يكون موجبًا. إذن ، الجذور هي 5 و -3.
ف = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
نظرية فييتا - هذا المفهوم مألوف للجميع تقريبًا منذ أيام الدراسة. ولكن هل هي حقا "مألوفة"؟ قلة من الناس يصادفونها في الحياة اليومية. لكن ليس كل أولئك الذين يتعاملون مع الرياضيات يفهمون أحيانًا تمامًا المعنى العميق والأهمية الكبيرة لهذه النظرية.
تسهل نظرية فييتا إلى حد كبير عملية حل عدد كبير من المشكلات الرياضية ، والتي تعود في النهاية إلى حل:
بعد فهم أهمية هذه الأداة الرياضية البسيطة والفعالة ، يفكر المرء بشكل لا إرادي في الشخص الذي اكتشفها لأول مرة.
العالم الفرنسي الشهير الذي بدأ حياته المهنية كمحام. لكن من الواضح أن الرياضيات كانت دعوته. أثناء عمله في الخدمة الملكية كمستشار ، اشتهر بقدرته على قراءة رسالة مشفرة تم اعتراضها من ملك إسبانيا إلى هولندا. أعطى هذا للملك الفرنسي هنري الثالث الفرصة لمعرفة كل نوايا خصومه.
بعد أن أصبح على دراية بالمعرفة الرياضية تدريجيًا ، توصل فرانسوا فيت إلى استنتاج مفاده أنه يجب أن يكون هناك ارتباط وثيق بين أحدث أبحاث "علماء الجبر" في ذلك الوقت والتراث الهندسي العميق للقدماء. في سياق البحث العلمي ، طور وصاغ الجبر الأولي بالكامل تقريبًا. كان أول من أدخل استخدام القيم الحرفية في الجهاز الرياضي ، وميز بوضوح بين المفاهيم: العدد والحجم وعلاقاتهم. أثبت Viet أنه من خلال إجراء العمليات في شكل رمزي ، من الممكن حل المشكلة للحالة العامة ، لأي قيمة تقريبًا لكميات معينة.
نتج عن بحثه لحل المعادلات ذات الدرجات الأعلى من الثانية نظرية تُعرف الآن باسم نظرية فيتا المعممة. إنها ذات أهمية عملية كبيرة ، وتطبيقها يجعل من الممكن حل المعادلات ذات الترتيب الأعلى بسرعة.
إحدى خصائص هذه النظرية هي كما يلي: حاصل ضرب كل القوى n يساوي حدها الثابت. غالبًا ما تُستخدم هذه الخاصية عند حل المعادلات من الدرجة الثالثة أو الرابعة لتقليل ترتيب كثير الحدود. إذا كانت كثيرة الحدود من الدرجة n لها جذور صحيحة ، فيمكن تحديدها بسهولة عن طريق التحديد البسيط. ثم بعد قسمة كثير الحدود على التعبير (x-x1) ، نحصل على كثير الحدود (n-1) الدرجة.
في النهاية ، أود أن أشير إلى أن نظرية فييتا هي واحدة من أشهر النظريات في دورة الجبر المدرسية. واسمه يحتل مكانة مرموقة بين أسماء علماء الرياضيات العظماء.
غالبًا ما تستخدم نظرية فييتا لاختبار الجذور الموجودة بالفعل. إذا وجدت الجذور ، يمكنك استخدام الصيغ \ (\ start (cases) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (cases) \) لحساب القيم \ (p \) ) و \ (ف \). وإذا اتضح أنهما متماثلان في المعادلة الأصلية ، فسيتم العثور على الجذور بشكل صحيح.
على سبيل المثال ، لنستخدم حل المعادلة \ (x ^ 2 + x-56 = 0 \) واحصل على الجذور: \ (x_1 = 7 \) ، \ (x_2 = -8 \). دعنا نتحقق مما إذا كنا قد ارتكبنا خطأ في عملية الحل. في حالتنا ، \ (ع = 1 \) ، و \ (ف = -56 \). من خلال نظرية فييتا لدينا:
\ (\ start (cases) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (cases) \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ begin (cases) 7 + (- 8) = - 1 \\ 7 \ cdot (-8) = - 56 \ end (الحالات) \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ start (cases) -1 = -1 \\ - 56 = -56 \ end (cases) \ )
كلتا العبارتين متقاربة ، مما يعني أننا حللنا المعادلة بشكل صحيح.
يمكن إجراء هذا الاختبار شفهيًا. سيستغرق الأمر 5 ثوان ويخلصك من الأخطاء الغبية.
نظرية فييتا المعكوسة
إذا كان \ (\ start (cases) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (cases) \) ، فإن \ (x_1 \) و \ (x_2 \) هما جذور المعادلة التربيعية \ (x ^ 2 + px + q = 0 \).
أو بطريقة بسيطة: إذا كانت لديك معادلة بالصيغة \ (x ^ 2 + px + q = 0 \) ، فعندئذٍ عن طريق حل النظام \ (\ start (cases) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (cases) \) ستجد جذورها.
بفضل هذه النظرية ، يمكنك العثور بسرعة على جذور المعادلة التربيعية ، خاصةً إذا كانت هذه الجذور موجودة. هذه المهارة مهمة لأنها توفر الكثير من الوقت.
مثال . حل المعادلة \ (x ^ 2-5x + 6 = 0 \).
حل
: باستخدام معكوس نظرية فييتا ، نحصل على أن الجذور تفي بالشروط: \ (\ start (cases) x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \ cdot x_2 = 6 \ end (cases) \).
انظر إلى المعادلة الثانية لنظام \ (x_1 \ cdot x_2 = 6 \). إلى أي اثنين يمكن أن يتحلل الرقم \ (6 \)؟ في \ (2 \) و \ (3 \) و \ (6 \) و \ (1 \) أو \ (- 2 \) و \ (- 3 \) و \ (- 6 \) و \ (- 1 \). وأي زوج تختار ، ستخبرنا المعادلة الأولى في النظام: \ (x_1 + x_2 = 5 \). \ (2 \) و \ (3 \) متشابهان ، لأن \ (2 + 3 = 5 \).
إجابة
: \ (x_1 = 2 \) ، \ (x_2 = 3 \).
أمثلة
. باستخدام معكوس نظرية فييتا ، أوجد جذور المعادلة التربيعية:
أ) \ (س ^ 2-15 س + 14 = 0 \) ؛ ب) \ (س ^ 2 + 3 س -4 = 0 \) ؛ ج) \ (س ^ 2 + 9 س + 20 = 0 \) ؛ د) \ (س ^ 2-88 س + 780 = 0 \).
حل
:
أ) \ (س ^ 2-15x + 14 = 0 \) - ما العوامل التي تتحلل \ (14 \) إليها؟ \ (2 \) و \ (7 \) و \ (- 2 \) و \ (- 7 \) و \ (- 1 \) و \ (- 14 \) و \ (1 \) و \ (14 \) ). ما أزواج الأرقام التي تضيف ما يصل إلى \ (15 \)؟ الجواب: \ (1 \) و \ (14 \).
ب) \ (x ^ 2 + 3x-4 = 0 \) - ما هي العوامل التي تتحلل \ (- 4 \)؟ \ (- 2 \) و \ (2 \) و \ (4 \) و \ (- 1 \) و \ (1 \) و \ (- 4 \). ما أزواج الأرقام التي تضيف ما يصل إلى \ (- 3 \)؟ الجواب: \ (1 \) و \ (- 4 \).
ج) \ (x ^ 2 + 9x + 20 = 0 \) - ما هي العوامل التي تتحلل \ (20 \)؟ \ (4 \) و \ (5 \) و \ (- 4 \) و \ (- 5 \) و \ (2 \) و \ (10 \) و \ (- 2 \) و \ (- 10 \) ) و \ (- 20 \) و \ (- 1 \) و \ (20 \) و \ (1 \). ما أزواج الأرقام التي تضيف ما يصل إلى \ (- 9 \)؟ الجواب: \ (- 4 \) و \ (- 5 \).
د) \ (x ^ 2-88x + 780 = 0 \) - ما هي العوامل التي تتحلل \ (780 \)؟ \ (390 \) و \ (2 \). هل يصل مجموعهم إلى \ (88 \)؟ لا. ما هي المضاعفات الأخرى الموجودة في \ (780 \)؟ \ (78 \) و \ (10 \). هل يصل مجموعهم إلى \ (88 \)؟ نعم. الجواب: (78) و (10).
ليس من الضروري تحليل المصطلح الأخير إلى جميع العوامل الممكنة (كما في المثال الأخير). يمكنك على الفور التحقق مما إذا كان مجموعهم يعطي \ (- ع \).
مهم!تعمل نظرية فييتا ونظرية العكس فقط مع ، أي أن معامله أمام \ (x ^ 2 \) يساوي واحدًا. إذا كانت لدينا معادلة غير مخفضة في البداية ، فيمكننا تقليلها ببساطة عن طريق القسمة على المعامل الموجود أمام \ (x ^ 2 \).
على سبيل المثال، دع المعادلة \ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) تُعطى ونريد استخدام إحدى نظريات فييتا. لكن لا يمكننا ذلك ، لأن المعامل قبل \ (x ^ 2 \) يساوي \ (2 \). دعنا نتخلص منها بقسمة المعادلة بأكملها على \ (2 \).
\ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) \ (|: 2 \)
\ (س ^ 2-2x-3 = 0 \)
مستعد. الآن يمكننا استخدام كلتا النظريتين.
الأجوبة على الأسئلة المتداولة
سؤال:
من خلال نظرية فييتا ، هل يمكنك حل أي منها؟
إجابة:
للاسف لا. إذا لم تكن هناك أعداد صحيحة في المعادلة أو إذا لم يكن للمعادلة جذور على الإطلاق ، فلن تساعد نظرية فييتا. في هذه الحالة ، تحتاج إلى استخدام مميز
. لحسن الحظ ، 80٪ من المعادلات في مقرر الرياضيات بالمدرسة لها حلول صحيحة.
نظرية فييتا
دعنا نشير إلى جذور المعادلة التربيعية المختزلة
(1)
.
ثم مجموع الجذور يساوي المعامل المأخوذ بالإشارة المعاكسة. حاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح المجاني:
;
.
ملاحظة حول الجذور المتعددة
إذا كان مميز المعادلة (1) هو صفر ، فإن هذه المعادلة لها جذر واحد. ولكن لتجنب الصياغات المرهقة ، من المقبول عمومًا أنه في هذه الحالة ، يكون للمعادلة (1) جذور متعددة أو متساوية:
.
دليل واحد
دعونا نجد جذور المعادلة (1). للقيام بذلك ، قم بتطبيق الصيغة الخاصة بجذور المعادلة التربيعية:
;
;
.
إيجاد مجموع الجذور:
.
للعثور على المنتج ، نطبق الصيغة:
.
ثم
.
لقد تم إثبات النظرية.
الإثبات الثاني
إذا كانت الأرقام وجذور المعادلة التربيعية (1) ، إذن
.
نفتح الأقواس.
.
وبالتالي ، ستأخذ المعادلة (1) الشكل:
.
بالمقارنة مع (1) نجد:
;
.
لقد تم إثبات النظرية.
نظرية فييتا المعكوسة
يجب ألا تكون هناك أرقام عشوائية. ثم هي جذور المعادلة التربيعية
,
أين
(2)
;
(3)
.
دليل على نظرية العكس في فييتا
ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية
(1)
.
نحن بحاجة لإثبات ذلك إذا ، إذن ، وما هي جذور المعادلة (1).
استبدل (2) و (3) بـ (1):
.
نقوم بتجميع شروط الجانب الأيسر من المعادلة:
;
;
(4)
.
البديل بـ (4):
;
.
البديل بـ (4):
;
.
تحققت المعادلة. أي أن الرقم هو جذر المعادلة (1).
لقد تم إثبات النظرية.
نظرية فييتا للمعادلة التربيعية الكاملة
فكر الآن في المعادلة التربيعية الكاملة
(5)
,
أين ، و هي بعض الأرقام. و .
نقسم المعادلة (5) على:
.
أي أننا حصلنا على المعادلة أعلاه
,
أين ؛ .
ثم فإن نظرية فييتا للمعادلة التربيعية الكاملة لها الشكل التالي.
دع ونشير إلى جذور المعادلة التربيعية الكاملة
.
ثم يتم تحديد مجموع ومنتج الجذور من خلال الصيغ:
;
.
نظرية فييتا لمعادلة تكعيبية
وبالمثل ، يمكننا إنشاء روابط بين جذور المعادلة التكعيبية. ضع في اعتبارك المعادلة التكعيبية
(6)
,
حيث توجد بعض الأرقام. و .
دعنا نقسم هذه المعادلة على:
(7)
,
أين ، ، .
لنكن جذور المعادلة (7) (والمعادلة (6)). ثم
.
بالمقارنة مع المعادلة (7) نجد:
;
;
.
نظرية فييتا لمعادلة الدرجة التاسعة
بالطريقة نفسها ، يمكنك إيجاد روابط بين الجذور ، ... ، لمعادلة الدرجة التاسعة
.
نظرية فييتا لمعادلة الدرجة التاسعة لها الشكل التالي:
;
;
;
.
للحصول على هذه الصيغ ، نكتب المعادلة بالشكل التالي:
.
ثم نساوي المعاملات عند ، ، ، ... ، ونقارن بين المصطلح الحر.
مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.
سم. نيكولسكي ، م. Potapov وآخرون ، الجبر: كتاب مدرسي للصف الثامن من المؤسسات التعليمية ، موسكو ، التعليم ، 2006.