ما هو لوغاريتم الوحدة. حساب اللوغاريتمات والأمثلة والحلول

الخصائص الأساسية.

logax + logay = log (x y) ؛
logax - logay = log (x: y).

نفس الأسباب

تسجيل 6 4 + تسجيل 6 9.

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً.

أمثلة على حل اللوغاريتمات

ماذا لو كانت هناك درجة في قاعدة اللوغاريتم أو حججه؟ ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من علامة اللوغاريتم وفقًا للقواعد التالية:

بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ لوغاريتم ODZ: a> 0 ، a ≠ 1 ، x>

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

دع اللوغاريتم اللوغاريتم يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c مثل c> 0 و c ≠ 1 ، تكون المساواة صحيحة:

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

أنظر أيضا:

الخصائص الأساسية للوغاريتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

الأس هو 2.718281828…. لتذكر الأس ، يمكنك دراسة القاعدة: الأس هو 2.7 ومرتين سنة ميلاد ليو تولستوي.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

بمعرفة هذه القاعدة ستعرف و القيمة الدقيقةالعارضين ، وتاريخ ميلاد ليو تولستوي.

أمثلة على اللوغاريتمات

خذ لوغاريتم التعبيرات

مثال 1
أ). س = 10ac ^ 2 (أ> 0 ، ج> 0).

حسب الخصائص 3،5 نحسب

4. أين .

مثال 2 أوجد x إذا

مثال 3. دع قيمة اللوغاريتمات تعطى

احسب تسجيل (x) إذا

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

يمكن إضافة اللوغاريتمات ، مثل أي رقم ، وطرحها وتحويلها بكل طريقة ممكنة. ولكن منذ اللوغاريتمات ليست في الحقيقة أرقام عادية، هناك قواعد هنا ، والتي تسمى الخصائص الأساسية.

يجب معرفة هذه القواعد - لا يمكن حل مشكلة لوغاريتمية خطيرة بدونها. بالإضافة إلى ذلك ، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكن تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس القاعدة: logax و logay. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:

logax + logay = log (x y) ؛
logax - logay = log (x: y).

إذن ، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب ، والفرق هو لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي - نفس الأسباب. إذا كانت القواعد مختلفة ، فإن هذه القواعد لا تعمل!

ستساعد هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى في حالة عدم مراعاة أجزائه الفردية (انظر الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألق نظرة على الأمثلة وانظر:

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log2 48 - log2 3.

القواعد هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
تسجيل 2 48 - تسجيل 2 3 = تسجيل 2 (48: 3) = تسجيل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log3 135 - log3 5.

مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

كما ترى ، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة" ، والتي لا يتم النظر فيها بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات تظهر أرقام عادية. بناء على هذه الحقيقة ، كثير أوراق الاختبار. نعم ، تحكم - يتم تقديم تعبيرات متشابهة بكل جدية (أحيانًا - مع عدم وجود تغييرات تقريبًا) في الامتحان.

إزالة الأس من اللوغاريتم

من السهل ملاحظة أن القاعدة الأخيرة تتبع أول قاعدتين. لكن من الأفضل تذكرها على أي حال - في بعض الحالات ستقلل بشكل كبير من مقدار العمليات الحسابية.

بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ لوغاريتم ODZ: a> 0 ، a ≠ 1 ، x> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين ، ولكن أيضًا العكس ، أي يمكنك إدخال الأرقام قبل علامة اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log7 496.

دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة وفق الصيغة الأولى:
سجل 7496 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

لاحظ أن المقام عبارة عن لوغاريتم أساسه وسيطته قوى دقيقة: 16 = 24؛ 49 = 72. لدينا:

أعتقد أن المثال الأخير يحتاج إلى توضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة ، نحن نعمل فقط مع المقام.

صيغ اللوغاريتمات. اللوغاريتمات هي أمثلة على الحلول.

قدموا قاعدة وحجة اللوغاريتم الذي يقف هناك على شكل درجات وأخذوا المؤشرات - حصلوا على كسر من "ثلاثة طوابق".

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الرئيسي. البسط والمقام لهما نفس الرقم: log2 7. بما أن log2 7 ≠ 0 ، يمكننا تقليل الكسر - 2/4 سيبقى في المقام. وفقًا لقواعد الحساب ، يمكن تحويل الأربعة إلى البسط ، وقد تم ذلك. والنتيجة هي الجواب: 2.

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

بالحديث عن قواعد إضافة وطرح اللوغاريتمات ، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. ماذا لو اختلفت القواعد؟ ماذا لو لم تكن قوى دقيقة لنفس العدد؟

تنقذ الصيغ الخاصة بالانتقال إلى قاعدة جديدة. نصيغها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم اللوغاريتم يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c مثل c> 0 و c ≠ 1 ، تكون المساواة صحيحة:

على وجه الخصوص ، إذا وضعنا c = x ، نحصل على:

ويترتب على الصيغة الثانية أنه من الممكن تبادل الأساس ووسيط اللوغاريتم ، ولكن في هذه الحالة يكون التعبير بالكامل "منقلبًا" ، أي اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ومع ذلك ، هناك مهام لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى مؤسسة جديدة. دعنا نفكر في اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log5 16 log2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمين هي أسس دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ؛ log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ؛

الآن دعنا نقلب اللوغاريتم الثاني:

نظرًا لأن المنتج لا يتغير من تبديل العوامل ، فقد ضربنا بهدوء أربعة في اثنين ، ثم اكتشفنا اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log9100 lg 3.

أساس وسعة اللوغاريتم الأول قوى دقيقة. دعنا نكتبها ونتخلص من المؤشرات:

الآن دعنا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

غالبًا في عملية الحل ، يلزم تمثيل رقم كلوغاريتم لـ هذا السبب. في هذه الحالة ، ستساعدنا الصيغ على:

في الحالة الأولى ، يصبح الرقم n هو الأس في الوسيطة. يمكن أن يكون العدد n أي شيء على الإطلاق ، لأنه يمثل قيمة اللوغاريتم فقط.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. يطلق عليه مثل هذا:

في الواقع ، ماذا سيحدث إذا تم رفع الرقم ب لدرجة أن الرقم ب في هذه الدرجة يعطي الرقم أ؟ هذا صحيح: هذا هو نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس "يعلقون" عليها.

مثل الصيغ للانتقال إلى قاعدة جديدة ، فإن الرئيسي الهوية اللوغاريتميةفي بعض الأحيان يكون هو الحل الوحيد الممكن.

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

لاحظ أن log25 64 = log5 8 - أخرج فقط المربع من القاعدة ووسيطة اللوغاريتم. بالنظر إلى قواعد ضرب الأسس بنفس الأساس ، نحصل على:

إذا لم يكن شخص ما على دراية ، فهذه كانت مهمة حقيقية من اختبار الدولة الموحد 🙂

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام ، سأقدم متطابقتين يصعب تسميتهما بالخصائص - بالأحرى ، هذه نتائج من تعريف اللوغاريتم. يتم العثور عليها باستمرار في المشاكل ، والمثير للدهشة أنها تخلق مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

لوقا = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي قاعدة a من تلك القاعدة نفسها يساوي واحدًا.
loga 1 = 0 هو. يمكن أن تكون القاعدة a أي شيء ، ولكن إذا كانت الوسيطة واحدة ، فإن اللوغاريتم هو صفر! لأن a0 = 1 نتيجة مباشرة للتعريف.

هذه كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وقم بطباعتها وحل المشكلات.

أنظر أيضا:

يشير لوغاريتم الرقم b إلى الأساس a إلى التعبير. لحساب اللوغاريتم يعني إيجاد مثل هذه القوة x () التي تكون فيها المساواة صحيحة

الخصائص الأساسية للوغاريتم

يجب معرفة الخصائص المذكورة أعلاه ، لأنه ، على أساسها ، يتم حل جميع المشكلات والأمثلة تقريبًا بناءً على اللوغاريتمات. يمكن اشتقاق الخصائص الغريبة المتبقية عن طريق التلاعب الرياضي بهذه الصيغ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

عند حساب الصيغ لمجموع وفرق اللوغاريتمات (3.4) يتم مصادفتها في كثير من الأحيان. الباقي معقد إلى حد ما ، ولكن في عدد من المهام لا غنى عنها لتبسيط التعبيرات المعقدة وحساب قيمها.

الحالات الشائعة للوغاريتمات

بعض اللوغاريتمات الشائعة هي تلك التي تكون فيها القاعدة عشرة أو أسية أو شيطان.
عادةً ما يُطلق على لوغاريتم الأساس العشر لوغاريتم الأساس العشر ويُشار إليه ببساطة بـ lg (x).

يتضح من السجل أن الأساسيات غير مكتوبة في السجل. على سبيل المثال

اللوغاريتم الطبيعي هو اللوغاريتم الذي أساسه هو الأس (يُشار إليه بـ ln (x)).

الأس هو 2.718281828…. لتذكر الأس ، يمكنك دراسة القاعدة: الأس هو 2.7 ومرتين سنة ميلاد ليو تولستوي. بمعرفة هذه القاعدة ، ستعرف القيمة الدقيقة للأس وتاريخ ميلاد ليو تولستوي.

ولوغاريتم أساسي آخر للأساس اثنين هو

مشتق لوغاريتم الدالة يساوي واحدًا مقسومًا على المتغير

يتم تحديد اللوغاريتم المتكامل أو العكسي بالاعتماد

المواد المذكورة أعلاه كافية بالنسبة لك لحل فئة واسعة من المشاكل المتعلقة باللوغاريتمات واللوغاريتمات. من أجل فهم المادة ، سأقدم فقط بعض الأمثلة الشائعة من المناهج الدراسيةوالجامعات.

أمثلة على اللوغاريتمات

خذ لوغاريتم التعبيرات

مثال 1
أ). س = 10ac ^ 2 (أ> 0 ، ج> 0).

حسب الخصائص 3،5 نحسب

2.
من خلال خاصية الاختلاف في اللوغاريتمات ، لدينا

3.
باستخدام الخصائص 3.5 نجد

4. أين .

يتم تبسيط التعبير الذي يبدو معقدًا باستخدام سلسلة من القواعد في النموذج

البحث عن قيم اللوغاريتم

مثال 2 أوجد x إذا

حل. للحساب ، نطبق الخاصيتين 5 و 13 حتى آخر مصطلح

استبدل في المحضر وندب

نظرًا لأن الأسس متساوية ، فإننا نساوي التعبيرات

اللوغاريتمات. مستوى اول.

دع قيمة اللوغاريتمات تعطى

احسب تسجيل (x) إذا

الحل: خذ لوغاريتم المتغير لكتابة اللوغاريتم من خلال مجموع المصطلحات

هذه مجرد بداية التعرف على اللوغاريتمات وخصائصها. تدرب على الحسابات ، وأثري مهاراتك العملية - ستحتاج قريبًا إلى المعرفة المكتسبة لحل المعادلات اللوغاريتمية. بعد دراسة الطرق الأساسية لحل مثل هذه المعادلات ، سنقوم بتوسيع معرفتك لموضوع آخر لا يقل أهمية - عدم المساواة اللوغاريتمية ...

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

يمكن إضافة اللوغاريتمات ، مثل أي رقم ، وطرحها وتحويلها بكل طريقة ممكنة. ولكن نظرًا لأن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا ، فهناك قواعد هنا تسمى الخصائص الأساسية.

جمع وطرح اللوغاريتمات

ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس القاعدة: logax و logay. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:

logax + logay = log (x y) ؛
logax - logay = log (x: y).

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log6 4 + log6 9.

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log2 48 - log2 3.

القواعد هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
تسجيل 2 48 - تسجيل 2 3 = تسجيل 2 (48: 3) = تسجيل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log3 135 - log3 5.

مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

كما ترى ، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة" ، والتي لا يتم النظر فيها بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات تظهر أرقام عادية. تستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. نعم ، تحكم - يتم تقديم تعبيرات متشابهة بكل جدية (أحيانًا - مع عدم وجود تغييرات تقريبًا) في الامتحان.

إزالة الأس من اللوغاريتم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت هناك درجة في قاعدة اللوغاريتم أو حججه؟ ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من علامة اللوغاريتم وفقًا للقواعد التالية:

كيفية حل اللوغاريتمات

هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log7 496.

دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة وفق الصيغة الأولى:
سجل 7496 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

لاحظ أن المقام عبارة عن لوغاريتم أساسه وسيطته قوى دقيقة: 16 = 24؛ 49 = 72. لدينا:

أعتقد أن المثال الأخير يحتاج إلى توضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة ، نحن نعمل فقط مع المقام. قدموا قاعدة وحجة اللوغاريتم الذي يقف هناك على شكل درجات وأخذوا المؤشرات - حصلوا على كسر من "ثلاثة طوابق".

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

تنقذ الصيغ الخاصة بالانتقال إلى قاعدة جديدة. نصيغها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم اللوغاريتم يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c مثل c> 0 و c ≠ 1 ، تكون المساواة صحيحة:

على وجه الخصوص ، إذا وضعنا c = x ، نحصل على:

ومع ذلك ، هناك مهام لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى مؤسسة جديدة. دعنا نفكر في اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log5 16 log2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمين هي أسس دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ؛ log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ؛

الآن دعنا نقلب اللوغاريتم الثاني:

نظرًا لأن المنتج لا يتغير من تبديل العوامل ، فقد ضربنا بهدوء أربعة في اثنين ، ثم اكتشفنا اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log9100 lg 3.

أساس وسعة اللوغاريتم الأول قوى دقيقة. دعنا نكتبها ونتخلص من المؤشرات:

الآن دعنا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

غالبًا في عملية الحل ، يلزم تمثيل رقم كلوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة ، ستساعدنا الصيغ على:

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. يطلق عليه مثل هذا:

مثل صيغ التحويل الأساسية الجديدة ، فإن الهوية اللوغاريتمية الأساسية هي أحيانًا الحل الوحيد الممكن.

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

إذا لم يكن شخص ما على دراية ، فهذه كانت مهمة حقيقية من اختبار الدولة الموحد 🙂

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

لوقا = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي قاعدة a من تلك القاعدة نفسها يساوي واحدًا.
loga 1 = 0 هو. يمكن أن تكون القاعدة a أي شيء ، ولكن إذا كانت الوسيطة واحدة ، فإن اللوغاريتم هو صفر! لأن a0 = 1 نتيجة مباشرة للتعريف.

المتعلق ب

يمكن تعيين مهمة إيجاد أي من الأرقام الثلاثة من الرقمين الآخرين. عند إعطاء a ثم يتم العثور على N عن طريق الأس. إذا تم إعطاء N ثم تم العثور على a عن طريق استخراج جذر القوة x (أو الأس). الآن ضع في اعتبارك الحالة عندما يكون من الضروري إيجاد x ، عند إعطاء a و N.

اجعل الرقم N موجبًا: الرقم a موجب ولا يساوي واحدًا:.

تعريف. لوغاريتم الرقم N للقاعدة a هو الأس الذي تحتاج إلى رفع a للحصول على الرقم N ؛ يتم الإشارة إلى اللوغاريتم بواسطة

وهكذا ، في المساواة (26.1) ، تم العثور على الأس على أنه لوغاريتم N للقاعدة a. إدخالات

يملك نفس المعنى. تسمى المساواة (26.1) أحيانًا الهوية الأساسية لنظرية اللوغاريتمات. في الواقع ، إنه يعبر عن تعريف مفهوم اللوغاريتم. من خلال هذا التعريف ، تكون قاعدة اللوغاريتم a موجبة دائمًا ومختلفة عن الوحدة ؛ الرقم اللوغاريتمي N موجب. لا تحتوي الأعداد السالبة والصفر على لوغاريتمات. يمكن إثبات أن أي رقم له أساس معين له لوغاريتم محدد جيدًا. لذلك فإن المساواة تستلزم. لاحظ أن الشرط ضروري هنا ، وإلا فلن يكون الاستنتاج مبررًا ، لأن المساواة صحيحة لأي قيم من x و y.

مثال 1. بحث

حل. للحصول على الرقم ، تحتاج إلى رفع الأساس 2 إلى القوة.

يمكنك التسجيل عند حل مثل هذه الأمثلة في النموذج التالي:

مثال 2. بحث.

حل. لدينا

في المثالين 1 و 2 ، وجدنا بسهولة اللوغاريتم المطلوب من خلال تمثيل رقم اللوغاريتم كقوة الأساس مع مؤشر منطقي. في الحالة العامة ، على سبيل المثال ، على سبيل المثال ، وما إلى ذلك ، لا يمكن القيام بذلك ، لأن اللوغاريتم له قيمة غير منطقية. دعونا ننتبه إلى سؤال واحد يتعلق بهذا البيان. قدمنا في الفقرة 12 مفهوم إمكانية تحديد أي قوة حقيقية لرقم موجب معين. كان هذا ضروريًا لإدخال اللوغاريتمات ، والتي ، بشكل عام ، يمكن أن تكون أرقامًا غير منطقية.

ضع في اعتبارك بعض خصائص اللوغاريتمات.

الخاصية 1. إذا كان الرقم والأساس متساويين ، فإن اللوغاريتم يساوي واحد ، وعلى العكس ، إذا كان اللوغاريتم يساوي واحدًا ، فإن الرقم والأساس متساويان.

دليل. دعونا من خلال تعريف اللوغاريتم ، لدينا ومن أين

على العكس من ذلك ، دعونا إذن بالتعريف

الخاصية 2. لوغاريتم الوحدة لأي أساس يساوي صفرًا.

دليل. بتعريف اللوغاريتم (القوة الصفرية لأي قاعدة موجبة تساوي واحدًا ، انظر (10.1)). من هنا

Q.E.D.

العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا ، إذن N = 1. بالفعل ، لدينا.

قبل ذكر خاصية اللوغاريتمات التالية ، دعونا نتفق على أن نقول إن العددين a و b يقعان على نفس الجانب من الرقم الثالث c إذا كان كلاهما أكبر من c أو أقل من c. إذا كان أحد هذين العددين أكبر من c والآخر أقل من c ، فإننا نقول إنهما يقعان على طرفي نقيض من c.

الخاصية 3. إذا كان الرقم والأساس يقعان على نفس الجانب من الوحدة ، فإن اللوغاريتم يكون موجبًا ؛ إذا كان العدد والأساس يقعان على جانبين متقابلين من الوحدة ، فإن اللوغاريتم يكون سالبًا.

يعتمد إثبات الخاصية 3 على حقيقة أن درجة a أكبر من واحد إذا كان الأساس أكبر من واحد وكان الأس موجبًا ، أو كان الأساس أقل من واحد وكان الأس سالبًا. تكون الدرجة أقل من واحد إذا كان الأساس أكبر من واحد وكان الأس سالبًا أو كان الأساس أقل من واحد وكان الأس موجبًا.

هناك أربع حالات يجب النظر فيها:

نقتصر على تحليل أولهما ، وسينظر القارئ في الباقي بمفرده.

دع إذن الأس في المساواة لا يكون سالبًا ولا يساوي الصفر ، لذلك فهو إيجابي ، أي الذي كان مطلوبًا لإثباته.

مثال 3. اكتشف أي اللوغاريتمات التالية موجبة وأيها سلبية:

الحل ، أ) نظرًا لأن الرقم 15 والقاعدة 12 يقعان على نفس الجانب من الوحدة ؛

ب) ، نظرًا لأن 1000 و 2 يقعان على نفس الجانب من الوحدة ؛ في الوقت نفسه ، ليس من الضروري أن تكون القاعدة أكبر من الرقم اللوغاريتمي ؛

ج) ، بما أن 3.1 و 0.8 تقعان على جانبي الوحدة ؛

ز) ؛ لماذا؟

ه) ؛ لماذا؟

غالبًا ما تسمى الخصائص التالية 4-6 قواعد اللوغاريتم: فهي تسمح ، بمعرفة لوغاريتمات بعض الأرقام ، بإيجاد لوغاريتمات حاصل ضربها ، وحاصلها ، ودرجة كل منها.

الخاصية 4 (قاعدة لوغاريتم المنتج). لوغاريتم حاصل ضرب عدة أعداد موجبة في أساس معين يساوي مجموع لوغاريتمات هذه الأرقام في نفس القاعدة.

دليل. دع الأرقام الموجبة تعطى.

بالنسبة إلى لوغاريتم منتجهم ، نكتب المساواة (26.1) لتعريف اللوغاريتم:

من هنا نجد

بمقارنة دعاة التعابير الأولى والأخيرة ، نحصل على المساواة المطلوبة:

لاحظ أن الشرط ضروري ؛ لوغاريتم حاصل ضرب اثنين أرقام سالبةيبدو منطقيًا ، لكن في هذه الحالة نحصل عليه

بشكل عام ، إذا كان ناتج العديد من العوامل موجبًا ، فإن لوغاريتمه يساوي مجموع لوغاريتمات وحدات هذه العوامل.

الخاصية 5 (قاعدة لوغاريتم حاصل القسمة). لوغاريتم حاصل قسمة أعداد موجبة يساوي الفرق بين لوغاريتمي المقسوم والمقسوم عليه ، مأخوذ من نفس القاعدة. دليل. تجد باستمرار

Q.E.D.

خاصية 6 (قاعدة لوغاريتم الدرجة). لوغاريتم قوة أي رقم موجب يساوي لوغاريتم ذلك العدد مضروبًا في الأس.

دليل. نكتب مرة أخرى الهوية الرئيسية (26.1) للرقم:

Q.E.D.

عاقبة. لوغاريتم جذر رقم موجب يساوي لوغاريتم الرقم الجذر مقسومًا على أس الجذر:

يمكننا إثبات صحة هذه النتيجة الطبيعية من خلال تقديم كيفية استخدام الخاصية 6.

مثال 4. لوغاريتم الأساس أ:

أ) (من المفترض أن جميع القيم ب ، ج ، د ، هـ موجبة) ؛

ب) (من المفترض أن).

الحل ، أ) من المناسب أن تمرر في هذا التعبير إلى القوى الكسرية:

بناءً على المساواة (26.5) - (26.7) يمكننا الآن كتابة:

نلاحظ أنه يتم إجراء عمليات أبسط على لوغاريتمات الأرقام مقارنة بالأرقام نفسها: عند ضرب الأرقام ، تتم إضافة اللوغاريتمات الخاصة بها ، وعند القسمة ، يتم طرحها ، إلخ.

هذا هو سبب استخدام اللوغاريتمات في الممارسة الحسابية (انظر القسم 29).

يسمى الإجراء العكسي للوغاريتم التقوية ، أي: التقوية هي الإجراء الذي يتم من خلاله العثور على هذا الرقم نفسه من خلال اللوغاريتم المحدد لرقم. من حيث الجوهر ، ليس التقوية أي إجراء خاص: يتعلق الأمر برفع القاعدة إلى قوة (تساوي لوغاريتم الرقم). يمكن اعتبار مصطلح "التقوية" مرادفًا لمصطلح "الأس".

عند التعزيز ، من الضروري استخدام القواعد المعكوسة لقواعد اللوغاريتم: استبدال مجموع اللوغاريتمات بلوغاريتم المنتج ، وفرق اللوغاريتمات مع لوغاريتم حاصل القسمة ، وما إلى ذلك على وجه الخصوص ، إذا كان هناك أي عامل أمام علامة اللوغاريتم ، ثم أثناء التقوية يجب نقله إلى درجات المؤشر تحت علامة اللوغاريتم.

مثال 5. ابحث عن N إذا كان معروفًا ذلك

حل. فيما يتعلق بقاعدة التقوية المذكورة للتو ، سيتم نقل العوامل 2/3 و 1/3 ، الموجودة أمام علامات اللوغاريتمات على الجانب الأيمن من هذه المساواة ، إلى الأس تحت علامات هذه اللوغاريتمات ؛ نحن نحصل

الآن نستبدل اختلاف اللوغاريتمات بلوغاريتم حاصل القسمة:

للحصول على الكسر الأخير في سلسلة المساواة هذه ، حررنا الكسر السابق من اللاعقلانية في المقام (القسم 25).

خاصية 7. إذا كانت القاعدة أكبر من واحد ، إذن أكثريحتوي على لوغاريتم أكبر (ولوغاريتم أصغر يحتوي على لوغاريتم أصغر) ، إذا كانت القاعدة أقل من واحد ، فإن الرقم الأكبر يحتوي على لوغاريتم أصغر (ولوغاريتم أصغر يحتوي على واحد أكبر).

تمت صياغة هذه الخاصية أيضًا كقاعدة لوغاريتم عدم المساواة ، وكلاهما موجب:

عند أخذ لوغاريتم المتباينات مع أساس أكبر من واحد ، يتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة ، وعند أخذ لوغاريتم ذو أساس أقل من واحد ، يتم عكس علامة المتباينة (انظر أيضًا البند 80).

يستند الإثبات إلى الخواص 5 و 3. ضع في اعتبارك الحالة عندما نحصل على

(a و N / M تقعان على نفس الجانب من الوحدة). من هنا

الحالة أ تلي ، سوف يكتشفها القارئ بنفسه.

لوغاريتم b (b> 0) للقاعدة a (a> 0 ، a ≠ 1)هو الأس الذي تحتاج إلى رفعه للحصول على b.

يمكن كتابة لوغاريتم b للأساس 10 بالصيغة تسجيل (ب)، واللوغاريتم إلى الأساس e (اللوغاريتم الطبيعي) - ln (ب).

غالبًا ما تستخدم عند حل المشكلات باستخدام اللوغاريتمات:

خصائص اللوغاريتمات

هناك أربعة رئيسية خصائص اللوغاريتمات.

لنفترض أن a> 0 و a 1 و x> 0 و y> 0.

خاصية 1. لوغاريتم المنتج

لوغاريتم المنتجيساوي مجموع اللوغاريتمات:

سجل أ (س ⋅ ص) = سجل أ س + سجل أ ص

الخاصية 2. لوغاريتم حاصل القسمة

لوغاريتم حاصل القسمةيساوي فرق اللوغاريتمات:

سجل أ (س / ص) = سجل أ س - سجل أ ص

خاصية 3. لوغاريتم الدرجة

لوغاريتم الدرجةيساوي حاصل ضرب الدرجة واللوغاريتم:

إذا كان أساس اللوغاريتم في الأس ، فسيتم تطبيق صيغة أخرى:

الخاصية 4. لوغاريتم الجذر

يمكن الحصول على هذه الخاصية من خاصية لوغاريتم الدرجة ، حيث أن جذر الدرجة n يساوي قوة 1 / n:

صيغة الانتقال من لوغاريتم في قاعدة واحدة إلى لوغاريتم في قاعدة أخرى

تُستخدم هذه الصيغة أيضًا غالبًا عند حل المهام المختلفة للوغاريتمات:

حالة خاصة:

مقارنة اللوغاريتمات (عدم المساواة)

لنفترض أن لدينا وظيفتين f (x) و g (x) تحت اللوغاريتمات بنفس الأسس وهناك علامة عدم مساواة بينهما:

لمقارنتها ، عليك أولاً إلقاء نظرة على قاعدة اللوغاريتمات أ:

إذا كان a> 0 ، ثم f (x)> g (x)> 0
إذا كان 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

كيفية حل مشاكل اللوغاريتمات: أمثلة

المهام مع اللوغاريتماتالمدرجة في الاستخدام في الرياضيات للصف 11 في المهمة 5 والمهمة 7 ، يمكنك العثور على مهام مع حلول على موقعنا في الأقسام المناسبة. أيضًا ، تم العثور على المهام ذات اللوغاريتمات في بنك المهام في الرياضيات. يمكنك العثور على جميع الأمثلة من خلال البحث في الموقع.

ما هو اللوغاريتم

لطالما تم النظر في اللوغاريتمات موضوع صعبفي الرياضيات المدرسية. هناك العديد من التعريفات المختلفة للوغاريتم ، ولكن لسبب ما تستخدم معظم الكتب المدرسية أكثرها تعقيدًا وأسوأها.

سنقوم بتعريف اللوغاريتم بكل بساطة ووضوح. لنقم بإنشاء جدول لهذا:

إذن ، لدينا قوى لاثنين.

اللوغاريتمات - الخصائص والصيغ وكيفية حلها

إذا أخذت الرقم من الخلاصة ، فيمكنك بسهولة العثور على القوة التي يجب أن ترفع بها اثنين للحصول على هذا الرقم. على سبيل المثال ، للحصول على 16 ، عليك رفع اثنين مرفوعًا للقوة الرابعة. ولكي تحصل على 64 ، عليك أن ترفع اثنين أس ستة. هذا يمكن رؤيته من الجدول.

والآن - في الواقع ، تعريف اللوغاريتم:

الأساس a من السعة x هو القوة التي يجب رفع الرقم a إليها للحصول على العدد x.

تدوين: سجل أ س \ u003d ب ، حيث أ هو الأساس ، س هو الوسيطة ، ب هو في الواقع ما يساوي اللوغاريتم.

على سبيل المثال ، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (لوغاريتم الأساس 2 للعدد 8 هو ثلاثة لأن 2 3 = 8). قد يكون كذلك سجل 2 64 = 6 ، لأن 2 6 = 64.

تسمى عملية إيجاد لوغاريتم رقم لأساس معين. لذلك دعونا نضيف صفًا جديدًا إلى طاولتنا:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
سجل 2 2 = 1	سجل 2 4 = 2	سجل 2 8 = 3	سجل 2 16 = 4	سجل 2 32 = 5	سجل 2 64 = 6

لسوء الحظ ، لا يتم النظر في جميع اللوغاريتمات بسهولة. على سبيل المثال ، حاول العثور على log 2 5. الرقم 5 غير موجود في الجدول ، لكن المنطق يفرض أن اللوغاريتم سوف يقع في مكان ما على المقطع. لأن 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

تسمى هذه الأرقام غير منطقية: يمكن كتابة الأرقام بعد الفاصلة العشرية إلى أجل غير مسمى ، ولا تتكرر أبدًا. إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي ، فمن الأفضل تركه على النحو التالي: log 2 5 ، log 3 8 ، log 5100.

من المهم أن نفهم أن اللوغاريتم هو تعبير به متغيرين (الأساس والحجة). في البداية ، كثير من الناس يخلطون بين مكان الأساس وأين الحجة. لتجنب سوء الفهم المزعج ، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الصورة:

أمامنا ليس أكثر من تعريف اللوغاريتم. يتذكر: اللوغاريتم هو القوة، والتي تحتاج إلى رفع الأساس للحصول على الحجة. إنها القاعدة التي يتم رفعها إلى قوة - في الصورة مظللة باللون الأحمر. اتضح أن القاعدة دائمًا في الأسفل! أقول هذه القاعدة الرائعة لطلابي في الدرس الأول - ولا يوجد أي لبس.

كيف نحسب اللوغاريتمات

توصلنا إلى التعريف - يبقى أن نتعلم كيفية حساب اللوغاريتمات ، أي تخلص من علامة "السجل". بادئ ذي بدء ، نلاحظ أن حقيقتين مهمتين تنبعان من التعريف:

يجب أن تكون الوسيطة والأساس دائمًا أكبر من الصفر. هذا يتبع من تعريف الدرجة بواسطة الأس المنطقي ، والذي يتم اختزال تعريف اللوغاريتم إليه.
يجب أن تكون القاعدة مختلفة عن الوحدة ، لأن الوحدة لأي قوة لا تزال وحدة. لهذا السبب ، فإن السؤال "إلى أي قوة يجب أن يرفع المرء للحصول على اثنين" لا معنى له. لا توجد مثل هذه الدرجة!

تسمى هذه القيود منطقة القيم المسموح بها (ODZ). اتضح أن ODZ للوغاريتم يبدو كالتالي: log a x = b ⇒ x> 0 ، a> 0 ، a 1.

لاحظ أنه لا توجد قيود على الرقم ب (قيمة اللوغاريتم) غير مفروضة. على سبيل المثال ، قد يكون اللوغاريتم سالبًا: log 2 0.5 = −1 ، لأن 0.5 = 2 1.

ومع ذلك ، نحن الآن نفكر في التعبيرات العددية فقط ، حيث لا يلزم معرفة ODZ للوغاريتم. تم بالفعل أخذ جميع القيود في الاعتبار من قبل مجمعي المشاكل. ولكن عندما تدخل المعادلات اللوغاريتمية وعدم المساواة حيز التنفيذ ، ستصبح متطلبات DHS إلزامية. في الواقع ، في الأساس والحجة يمكن أن تكون هناك إنشاءات قوية للغاية ، والتي لا تتوافق بالضرورة مع القيود المذكورة أعلاه.

فكر الآن المخطط العامحسابات اللوغاريتم. يتكون من ثلاث خطوات:

اكتب القاعدة a والسعة x كقوة لها أصغر أساس ممكن أكبر من واحد. على طول الطريق ، من الأفضل التخلص من الكسور العشرية ؛
حل معادلة المتغير ب: س = أ ب ؛
سيكون الرقم الناتج ب هو الجواب.

هذا كل شئ! إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي ، فسيتم رؤية ذلك بالفعل في الخطوة الأولى. يعتبر اشتراط أن تكون القاعدة أكبر من واحد وثيق الصلة للغاية: فهذا يقلل من احتمالية الخطأ ويبسط العمليات الحسابية إلى حد كبير. وبالمثل مع الكسور العشرية: إذا قمت بتحويلها على الفور إلى كسور عادية ، فسيكون هناك عدد مرات أقل من الأخطاء.

دعونا نرى كيف يعمل هذا المخطط مع أمثلة محددة:

مهمة. احسب اللوغاريتم: log 5 25

دعنا نمثل الأساس والسعة كقوة خمسة: 5 = 5 1 ؛ 25 = 52 ؛

لنصنع المعادلة ونحلها:
سجل 5 25 = ب ⇒ (5 1) ب = 5 2 ⇒5 ب = 5 2 ⇒ ب = 2 ؛

تلقى إجابة: 2.

مهمة. احسب اللوغاريتم:

مهمة. احسب اللوغاريتم: log 4 64

دعنا نمثل الأساس والسعة كقوة اثنين: 4 = 2 2؛ 64 = 26 ؛
لنصنع المعادلة ونحلها:
سجل 4 64 = ب (2 2) ب = 2 6 ⇒2 2 ب = 2 6 ⇒2 ب = 6 ⇒ ب = 3 ؛
تلقى إجابة: 3.

مهمة. احسب اللوغاريتم: log 16 1

دعنا نمثل الأساس والسعة كقوة اثنين: 16 = 2 4 ؛ 1 = 20 ؛
لنصنع المعادلة ونحلها:
سجل 16 1 = ب ⇒ (2 4) ب = 2 0 ⇒2 4 ب = 2 0 ⇒4 ب = 0 ب = 0 ؛
تلقى الرد: 0.

مهمة. احسب اللوغاريتم: log 7 14

لنمثل القاعدة والسعة كقوة سبعة: 7 = 7 1 ؛ ١٤ لا يتم تمثيلها كقوة سبعة ، لأن ٧ ١< 14 < 7 2 ;
ويترتب على الفقرة السابقة أن اللوغاريتم لا يؤخذ في الاعتبار ؛
الجواب لا تغيير: سجل 7 14.

ملاحظة صغيرة على المثال الأخير. كيف تتأكد من أن الرقم ليس قوة دقيقة لرقم آخر؟ بسيط جدًا - فقط قم بتوسيعه إلى العوامل الأولية. إذا كان هناك عاملين متميزين على الأقل في التوسع ، فإن الرقم ليس قوة دقيقة.

مهمة. اكتشف ما إذا كانت قوى العدد بالضبط هي: 8 ؛ 48 ؛ 81 ؛ 35 ؛ 14.

8 \ u003d 2 2 2 \ u003d 2 3 - الدرجة الدقيقة ، لأن يوجد مضاعف واحد فقط ؛
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ليست قوة دقيقة لأن هناك عاملين: 3 و 2 ؛
81 = 9 9 = 3 3 3 3 = 3 4 - الدرجة الدقيقة ؛
35 = 7 5 - مرة أخرى ليست درجة دقيقة ؛
14 \ u003d 7 2 - مرة أخرى ليست درجة دقيقة ؛

نلاحظ أيضا أننا الأعداد الأوليةهم دائما قوى محددة لأنفسهم.

اللوغاريتم العشري

بعض اللوغاريتمات شائعة لدرجة أن لها اسمًا خاصًا وتسمية.

من الوسيطة x هي لوغاريتم الأساس 10 ، أي القوة التي يجب رفع 10 إليها للحصول على x. التعيين: lgx.

على سبيل المثال ، سجل 10 = 1 ؛ سجل 100 = 2 ؛ lg 1000 = 3 - إلخ.

من الآن فصاعدًا ، عندما تظهر عبارة مثل "Find lg 0.01" في الكتاب المدرسي ، فاعلم أن هذا ليس خطأ مطبعي. هذا هو اللوغاريتم العشري. ومع ذلك ، إذا لم تكن معتادًا على مثل هذا التعيين ، فيمكنك دائمًا إعادة كتابته:
سجل س = سجل 10 س

كل ما ينطبق على اللوغاريتمات العادية ينطبق أيضًا على الكسور العشرية.

اللوغاريتم الطبيعي

هناك لوغاريتم آخر له رمز خاص به. بمعنى أنه أكثر أهمية من النظام العشري. هذا هو اللوغاريتم الطبيعي.

من وسيطة x هو لوغاريتم للقاعدة e ، أي القوة التي يجب رفع الرقم e إليها للحصول على الرقم x. التعيين: lnx.

سوف يسأل الكثير: ما هو الرقم e؟ هذا رقم غير منطقي ، لا يمكن العثور على قيمته الدقيقة وتدوينها. هذه هي الأرقام الأولى فقط:
ه = 2.718281828459 ...

لن نتعمق في ماهية هذا الرقم وسبب الحاجة إليه. فقط تذكر أن e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي:
ln x = تسجيل الدخول x

هكذا ln e = 1 ؛ سجل ه 2 = 2 ؛ ln e 16 = 16 - إلخ. من ناحية أخرى ، ln 2 عدد غير نسبي. بشكل عام ، اللوغاريتم الطبيعي لأي رقم منطقيغير منطقي. باستثناء الوحدة بالطبع: ln 1 = 0.

بالنسبة للوغاريتمات الطبيعية ، فإن جميع القواعد الصحيحة للوغاريتمات العادية صالحة.

أنظر أيضا:

لوغاريتم. خصائص اللوغاريتم (قوة اللوغاريتم).

كيفية تمثيل الرقم كلوغاريتم؟

نستخدم تعريف اللوغاريتم.

اللوغاريتم هو مؤشر على القوة التي يجب أن ترفع القاعدة إليها للحصول على الرقم تحت علامة اللوغاريتم.

وبالتالي ، من أجل تمثيل رقم معين ج كلوغاريتم للقاعدة أ ، تحتاج إلى وضع درجة لها نفس أساس قاعدة اللوغاريتم تحت علامة اللوغاريتم ، وكتابة هذا الرقم ج في الأس:

في شكل لوغاريتم ، يمكنك تمثيل أي رقم على الإطلاق - موجب ، سالب ، عدد صحيح ، كسري ، منطقي ، غير منطقي:

من أجل عدم الخلط بين a و c في الظروف المجهدة للاختبار أو الاختبار ، يمكنك استخدام القاعدة التالية لتذكر:

ما هو في الأسفل يذهب إلى الأسفل ، ما في الأعلى يرتفع للأعلى.

على سبيل المثال ، تريد تمثيل الرقم 2 كلوغاريتم للأساس 3.

لدينا رقمان - 2 و 3. هذان الرقمان هما الأساس والأس ، الذي سنكتبه تحت علامة اللوغاريتم. يبقى تحديد أي من هذه الأرقام يجب كتابته ، في قاعدة الدرجة ، وأيها - أعلى ، في الأس.

القاعدة 3 في سجل اللوغاريتم موجودة في الأسفل ، مما يعني أنه عندما نمثل الشيطان كلوغاريتم للقاعدة 3 ، فسنكتب 3 أيضًا إلى القاعدة.

2 أعلى من 3. وفي تدوين الدرجة ، نكتب الاثنين فوق الثلاثة ، أي في الأس:

اللوغاريتمات. مستوى اول.

اللوغاريتمات

اللوغاريتمرقم موجب، عدد إيجابي ببسبب أ، أين أ> 0 ، أ 1، هو الأس الذي يجب رفع الرقم إليه. أ، ليحصل ب.

تعريف اللوغاريتميمكن كتابتها بإيجاز مثل هذا:

هذه المساواة صالحة ل ب> 0 ، أ> 0 ، أ 1.عادة ما يتم استدعاؤه الهوية اللوغاريتمية.
يسمى إجراء إيجاد لوغاريتم رقم اللوغاريتم.

خصائص اللوغاريتمات:

لوغاريتم المنتج:

لوغاريتم حاصل القسمة:

استبدال قاعدة اللوغاريتم:

لوغاريتم الدرجة:

لوغاريتم الجذر:

لوغاريتم بقاعدة طاقة:

اللوغاريتمات العشرية والطبيعية.

اللوغاريتم العشريتستدعي الأرقام اللوغاريتم الأساسي 10 لذلك الرقم وتكتب & nbsp lg ب
اللوغاريتم الطبيعيتستدعي الأرقام لوغاريتم هذا الرقم إلى الأساس ه، أين ههو رقم غير نسبي يساوي تقريبًا 2.7. في نفس الوقت يكتبون ln ب.

ملاحظات أخرى حول الجبر والهندسة

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

جمع وطرح اللوغاريتمات

ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس الأساس: log a x و log a y. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:

سجل أ س + سجل أ ص = سجل أ (س ص) ؛
سجل أ س - سجل أ ص = سجل أ (س: ص).

سجل 6 4 + سجل 6 9.

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 - log 2 3.

القواعد هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
السجل 2 48 - السجل 2 3 = السجل 2 (48: 3) = السجل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3135 - log 3 5.

مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
السجل 3135 - السجل 3 5 = السجل 3 (135: 5) = السجل 3 27 = 3.

إزالة الأس من اللوغاريتم

كيفية حل اللوغاريتمات

هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6.

دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة وفق الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

لاحظ أن المقام عبارة عن لوغاريتم أساسه وسيطته قوى دقيقة: 16 = 2 4؛ 49 = 72. لدينا:

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الرئيسي. البسط والمقام لهما نفس العدد: log 2 7. بما أن log 2 7 ≠ 0 ، يمكننا تقليل الكسر - 2/4 سيبقى في المقام. وفقًا لقواعد الحساب ، يمكن تحويل الأربعة إلى البسط ، وقد تم ذلك. والنتيجة هي الجواب: 2.

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

تنقذ الصيغ الخاصة بالانتقال إلى قاعدة جديدة. نصيغها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم لوغاريتم a x معطى. ثم بالنسبة لأي رقم c مثل c> 0 و c ≠ 1 ، تكون المساواة صحيحة:

على وجه الخصوص ، إذا وضعنا c = x ، نحصل على:

ومع ذلك ، هناك مهام لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى مؤسسة جديدة. دعنا نفكر في اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 5 16 log 2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمين هي أسس دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2 ؛ سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2 سجل 2 5 ؛

الآن دعنا نقلب اللوغاريتم الثاني:

نظرًا لأن المنتج لا يتغير من تبديل العوامل ، فقد ضربنا بهدوء أربعة في اثنين ، ثم اكتشفنا اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9100 lg 3.

أساس وسعة اللوغاريتم الأول قوى دقيقة. دعنا نكتبها ونتخلص من المؤشرات:

الآن دعنا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

غالبًا في عملية الحل ، يلزم تمثيل رقم كلوغاريتم لقاعدة معينة.

في هذه الحالة ، ستساعدنا الصيغ على:

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. يطلق عليه مثل هذا:

مثل صيغ التحويل الأساسية الجديدة ، فإن الهوية اللوغاريتمية الأساسية هي أحيانًا الحل الوحيد الممكن.

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

لاحظ أن log 25 64 = log 5 8 - أخرج للتو المربع من القاعدة ووسيطة اللوغاريتم. بالنظر إلى قواعد ضرب الأسس بنفس الأساس ، نحصل على:

إذا لم يكن شخص ما على دراية ، فهذه كانت مهمة حقيقية من اختبار الدولة الموحد 🙂

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

سجل أ أ = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي قاعدة a من تلك القاعدة نفسها يساوي واحدًا.
سجل 1 = 0 هو. يمكن أن تكون القاعدة a أي شيء ، ولكن إذا كانت الوسيطة واحدة ، فإن اللوغاريتم هو صفر! لأن 0 = 1 نتيجة مباشرة للتعريف.

التعبيرات اللوغاريتمية ، حل الأمثلة. في هذه المقالة ، سننظر في المشكلات المتعلقة بحل اللوغاريتمات. تثير المهام مسألة إيجاد قيمة التعبير. وتجدر الإشارة إلى أن مفهوم اللوغاريتم يستخدم في العديد من المهام ومن المهم للغاية فهم معناه. بالنسبة إلى الاستخدام ، يتم استخدام اللوغاريتم في حل المعادلات والمشكلات التطبيقية وأيضًا في المهام المتعلقة بدراسة الوظائف.

فيما يلي أمثلة لفهم معنى اللوغاريتم:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

خصائص اللوغاريتمات التي يجب أن تتذكرها دائمًا:

* لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم حاصل القسمة (الكسر) يساوي الفرق في لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم الدرجة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم قاعدته.

* * *

* الانتقال إلى قاعدة جديدة

* * *

المزيد من الخصائص:

* * *

ترتبط اللوغاريتمات الحاسوبية ارتباطًا وثيقًا باستخدام خصائص الأسس.

نسرد بعضًا منهم:

جوهر هذه الخاصية هو أنه عند نقل البسط إلى المقام والعكس صحيح ، تتغير علامة الأس إلى العكس. على سبيل المثال:

نتيجة هذه الخاصية:

* * *

عند رفع قوة إلى قوة ، تظل القاعدة كما هي ، لكن الأسس تتضاعف.

* * *

كما ترى ، فإن مفهوم اللوغاريتم ذاته بسيط. الشيء الرئيسي هو أن الممارسة الجيدة ضرورية ، والتي تعطي مهارة معينة. من المؤكد أن معرفة الصيغ إلزامية. إذا لم يتم تشكيل المهارة في تحويل اللوغاريتمات الأولية ، فعند حل المهام البسيطة ، يمكن للمرء أن يخطئ بسهولة.

تمرن على حل أبسط الأمثلة من دورة الرياضيات أولاً ، ثم انتقل إلى أمثلة أكثر تعقيدًا. في المستقبل ، سأوضح بالتأكيد كيف يتم حل اللوغاريتمات "القبيحة" ، ولن يكون هناك مثل هذه اللوغاريتمات في الامتحان ، لكنها ذات أهمية ، فلا تفوتها!

هذا كل شئ! كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير ، الكسندر كروتسكيخ

ملاحظة: سأكون ممتنًا إذا تحدثت عن الموقع في الشبكات الاجتماعية.

\ (a ^ (b) = c \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)

دعونا نشرح الأمر بشكل أسهل. على سبيل المثال ، \ (\ log_ (2) (8) \) يساوي القوة \ (2 \) يجب رفعها للحصول على \ (8 \). من هذا يتضح أن \ (\ log_ (2) (8) = 3 \).

أمثلة:	\ (\ log_ (5) (25) = 2 \)	لأن \ (5 ^ (2) = 25 \)
	\ (\ log_ (3) (81) = 4 \)	لأن \ (3 ^ (4) = 81 \).
	\ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (32) \) \ (= - 5 \)	لأن \ (2 ^ (- 5) = \) \ (\ frac (1) (32) \)

حجة وأساس اللوغاريتم

يحتوي أي لوغاريتم على "التشريح" التالي:

عادة ما تكتب حجة اللوغاريتم على مستواها ، والقاعدة مكتوبة بخط منخفض أقرب إلى علامة اللوغاريتم. ويقرأ هذا الإدخال على النحو التالي: "لوغاريتم من خمسة وعشرين إلى أساس خمسة".

كيف تحسب اللوغاريتم؟

لحساب اللوغاريتم ، تحتاج إلى الإجابة على السؤال: إلى أي درجة يجب رفع الأساس للحصول على الوسيطة؟

على سبيل المثال، احسب اللوغاريتم: أ) \ (\ log_ (4) (16) \) ب) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) c) \ (\ log _ (\ sqrt (5)) (1) \) d) \ (\ log _ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) \) e) \ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) \)

أ) إلى أي قوة يجب رفع \ (4 \) للحصول على \ (16 \)؟ من الواضح أن الثانية. لهذا السبب:

\ (\ log_ (4) (16) = 2 \)

\ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= - 1 \)

ج) إلى أي قوة يجب رفع \ (\ sqrt (5) \) للحصول على \ (1 \)؟ وما الدرجة التي تجعل أي رقم وحدة؟ صفر بالطبع!

\ (\ السجل _ (\ الجذر التربيعي (5)) (1) = 0 \)

د) إلى أي قوة يجب رفع \ (\ sqrt (7) \) للحصول على \ (\ sqrt (7) \)؟ في الأول - أي رقم في الدرجة الأولى يساوي نفسه.

\ (\ السجل _ (\ الجذر التربيعي (7)) (\ الجذر التربيعي (7)) = 1 \)

هـ) إلى أي قوة يجب رفع \ (3 \) للحصول على \ (\ sqrt (3) \)؟ نعلم أن هذه قوة كسرية ، وهذا يعني الجذر التربيعيهي الدرجة \ (\ frac (1) (2) \).

\ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \) \ (\ frac (1) (2) \)

مثال : احسب اللوغاريتم \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) \)

حل :

\ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = x \)		علينا إيجاد قيمة اللوغاريتم ، فلنرمز لها على أنها x. الآن دعنا نستخدم تعريف اللوغاريتم: \ (\ log_ (a) (c) = b \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (a ^ (b) = c \)
\ ((4 \ sqrt (2)) ^ (x) = 8 \)		ما الروابط \ (4 \ sqrt (2) \) و \ (8 \)؟ ثانيًا ، لأنه يمكن تمثيل كلا الرقمين من خلال اثنين: \ (4 = 2 ^ (2) \) \ (\ sqrt (2) = 2 ^ (\ frac (1) (2)) \) \ (8 = 2 ^ (3) \)
\ (((2 ^ (2) \ cdot2 ^ (\ frac (1) (2)))) ^ (x) = 2 ^ (3) \)		على اليسار ، نستخدم خصائص الدرجة: \ (a ^ (m) \ cdot a ^ (n) = a ^ (m + n) \) و \ ((a ^ (m)) ^ (n) = a ^ (م \ cdot n) \)
\ (2 ^ (\ frac (5) (2) x) = 2 ^ (3) \)		الأسس متساوية ، ننتقل إلى مساواة المؤشرات
\ (\ فارك (5 س) (2) \) \ (= 3 \)		اضرب طرفي المعادلة في \ (\ frac (2) (5) \)
		الجذر الناتج هو قيمة اللوغاريتم

إجابة : \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = 1،2 \)

لماذا اخترع اللوغاريتم؟

لفهم هذا ، دعنا نحل المعادلة: \ (3 ^ (x) = 9 \). ما عليك سوى مطابقة \ (x \) لجعل المساواة تعمل. طبعا \ (س = 2 \).

الآن حل المعادلة: \ (3 ^ (x) = 8 \) ما هو x يساوي؟ هذا هو بيت القصيد.

سيقول الأكثر عبقريًا: "X أقل بقليل من اثنين". كيف يتم كتابة هذا الرقم بالضبط؟ للإجابة على هذا السؤال ، توصلوا إلى اللوغاريتم. بفضله ، يمكن كتابة الإجابة هنا كـ \ (x = \ log_ (3) (8) \).

أريد أن أؤكد أن \ (\ log_ (3) (8) \) وكذلك أي لوغاريتم هو مجرد رقم. نعم ، يبدو الأمر غير عادي ، لكنه قصير. لأننا إذا أردنا كتابته في صورة رقم عشري ، فسيبدو كالتالي: \ (1.892789260714 ..... \)

مثال : حل المعادلة \ (4 ^ (5x-4) = 10 \)

حل :

\ (4 ^ (5 × 4) = 10 \)		\ (4 ^ (5x-4) \) و \ (10 \) لا يمكن اختزاله إلى نفس القاعدة. لذلك هنا لا يمكنك الاستغناء عن اللوغاريتم. دعنا نستخدم تعريف اللوغاريتم: \ (a ^ (b) = c \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)
\ (\ log_ (4) (10) = 5x-4 \)		اقلب المعادلة بحيث يكون x على اليسار
\ (5x-4 = \ log_ (4) (10) \)		قبلنا. انقل \ (4 \) إلى اليمين. ولا تخف من اللوغاريتم ، تعامل معه كعدد عادي.
\ (5x = \ log_ (4) (10) +4 \)		قسّم المعادلة على 5
\ (س = \) \ (\ فارك (\ تسجيل_ (4) (10) +4) (5) \)		هنا جذرنا. نعم ، يبدو الأمر غير عادي ، لكن لم يتم اختيار الإجابة.

إجابة : \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)

اللوغاريتمات العشرية والطبيعية

كما هو مذكور في تعريف اللوغاريتم ، يمكن أن تكون قاعدته أي رقم موجب باستثناء واحد \ ((a> 0 ، a \ neq1) \). ومن بين جميع القواعد الممكنة ، هناك قاعدتان تحدثان كثيرًا لدرجة أنه تم اختراع تدوين قصير خاص للوغاريتمات معهم:

اللوغاريتم الطبيعي: لوغاريتم أساسه رقم أويلر \ (e \) (يساوي تقريبًا \ (2.7182818… \)) ، واللوغاريتم مكتوب كـ \ (\ ln (a) \).

إنه، \ (\ ln (a) \) هو نفسه \ (\ log_ (e) (a) \)

اللوغاريتم العشري: اللوغاريتم الذي أساسه 10 مكتوب \ (\ lg (a) \).

إنه، \ (\ lg (a) \) هو نفسه \ (\ log_ (10) (a) \)، حيث \ (أ \) هو رقم ما.

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

اللوغاريتمات لها العديد من الخصائص. أحدها يسمى "الهوية اللوغاريتمية الأساسية" ويبدو كالتالي:

\ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \)

هذه الخاصية تتبع مباشرة من التعريف. دعونا نرى كيف ظهرت هذه الصيغة بالضبط.

تذكر التعريف المختصر للوغاريتم:

إذا \ (أ ^ (ب) = ج \) ، إذن \ (\ تسجيل_ (أ) (ج) = ب \)

وهذا يعني أن \ (b \) هو نفسه \ (\ log_ (a) (c) \). ثم يمكننا كتابة \ (\ log_ (a) (c) \) بدلاً من \ (b \) في الصيغة \ (a ^ (b) = c \). اتضح \ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \) - الهوية اللوغاريتمية الرئيسية.

يمكنك العثور على باقي خصائص اللوغاريتمات. بمساعدتهم ، يمكنك تبسيط وحساب قيم التعبيرات باستخدام اللوغاريتمات ، والتي يصعب حسابها مباشرة.

مثال : أوجد قيمة التعبير \ (36 ^ (\ log_ (6) (5)) \)

حل :

إجابة : \(25\)

كيف تكتب رقم كلوغاريتم؟

كما ذكرنا أعلاه ، فإن أي لوغاريتم هو مجرد رقم. والعكس صحيح أيضًا: أي رقم يمكن كتابته كلوغاريتم. على سبيل المثال ، نعلم أن \ (\ log_ (2) (4) \) يساوي اثنين. ثم يمكنك كتابة \ (\ log_ (2) (4) \) بدلاً من اثنين.

لكن \ (\ log_ (3) (9) \) يساوي أيضًا \ (2 \) ، لذا يمكنك أيضًا كتابة \ (2 = \ log_ (3) (9) \). وبالمثل مع \ (\ log_ (5) (25) \) ، ومع \ (\ log_ (9) (81) \) ، إلخ. هذا هو ، اتضح

\ (2 = \ log_ (2) (4) = \ log_ (3) (9) = \ log_ (4) (16) = \ log_ (5) (25) = \ log_ (6) (36) = \ تسجيل _ (7) (49) ... \)

وبالتالي ، إذا احتجنا إلى ذلك ، يمكننا كتابة الاثنين في صورة لوغاريتم مع أي أساس في أي مكان (حتى في المعادلة ، حتى في التعبير ، وحتى في المتباينة) - نكتب القاعدة التربيعية كوسيطة.

هو نفسه مع الثلاثي - يمكن كتابته كـ \ (\ log_ (2) (8) \) ، أو كـ \ (\ log_ (3) (27) \) ، أو كـ \ (\ log_ (4) ( 64) \) ... هنا نكتب القاعدة في المكعب كوسيطة:

\ (3 = \ log_ (2) (8) = \ log_ (3) (27) = \ log_ (4) (64) = \ log_ (5) (125) = \ log_ (6) (216) = \ log_ (7) (343) ... \)

وبأربعة:

\ (4 = \ log_ (2) (16) = \ log_ (3) (81) = \ log_ (4) (256) = \ log_ (5) (625) = \ log_ (6) (1296) = \ log_ (7) (2401) ... \)

ومع ناقص واحد:

\ (- 1 = \) \ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (2) \) \ (= \) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) ( 3) \ (= \) \ (\ log_ (4) \) \ (\ frac (1) (4) \) \ (= \) \ (\ log_ (5) \) \ (\ frac (1) ) (5) \) \ (= \) \ (\ log_ (6) \) \ (\ frac (1) (6) \) \ (= \) \ (\ log_ (7) \) \ (\ frac (1) (7) \) \ (... \)

وبثلث:

\ (\ frac (1) (3) \) \ (= \ log_ (2) (\ sqrt (2)) = \ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \ log_ (4) (\ sqrt ( 4)) = \ log_ (5) (\ sqrt (5)) = \ log_ (6) (\ sqrt (6)) = \ log_ (7) (\ sqrt (7)) ... \)

يمكن تمثيل أي رقم \ (أ \) على أنه لوغاريتم بقاعدة \ (ب \): \ (أ = \ تسجيل_ (ب) (ب ^ (أ)) \)

مثال : أوجد قيمة التعبير \ (\ frac (\ log_ (2) (14)) (1+ \ log_ (2) (7)) \)

حل :

إجابة : \(1\)