درس فيديو "درجة مع مؤشر عقلاني» يحتوي على البصرية المواد التعليميةلتعليم درس حول هذا الموضوع. يحتوي درس الفيديو على معلومات حول مفهوم الدرجة ذات الأس العقلاني، وخصائص هذه الدرجات، بالإضافة إلى أمثلة تصف استخدام المواد التعليمية لحل المشكلات العملية. الغرض من هذا الدرس المرئي هو عرض المادة التعليمية بشكل واضح وواضح وتسهيل تطويرها وحفظها لدى الطلاب وتنمية القدرة على حل المشكلات باستخدام المفاهيم المستفادة.
تتمثل المزايا الرئيسية لدرس الفيديو في القدرة على إجراء التحويلات والحسابات بشكل مرئي، والقدرة على استخدام تأثيرات الرسوم المتحركة لتحسين كفاءة التعلم. تساعد المرافقة الصوتية على تطوير الكلام الرياضي الصحيح، وتجعل من الممكن أيضًا استبدال شرح المعلم، وتحريره للقيام بعمل فردي.
يبدأ درس الفيديو بتقديم الموضوع. عند ربط دراسة موضوع جديد بمادة تمت دراستها مسبقًا، يُقترح أن نتذكر أن n √a يُشار إليه بخلاف ذلك بـ 1/n لـ n الطبيعي وa الموجب. يتم عرض تمثيل n-root على الشاشة. بعد ذلك، نقترح النظر في ما يعنيه التعبير a m/n، حيث a هو رقم موجب وm/n عبارة عن كسر. تعريف الدرجة ذات الأس العقلاني كما هو موضح في m/n = n √a m، مظلل في الإطار. من الملاحظ أن n يمكن أن يكون عددًا طبيعيًا، وm يمكن أن يكون عددًا صحيحًا.
وبعد تعريف الدرجة بالأس الكسرى يظهر معناها من خلال الأمثلة: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. ويعرض أيضًا مثالًا يتم فيه تحويل القوة الممثلة برقم عشري إلى كسر ليتم تمثيله كجذر: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 و مثال مع قيمة سالبةالدرجات: 3 -1/8 = 8 √3 -1.
يشار بشكل منفصل إلى خصوصية الحالة الخاصة عندما يكون أساس الدرجة صفرًا. تجدر الإشارة إلى أن هذه الدرجة تكون منطقية فقط مع وجود أس كسري موجب. وفي هذه الحالة تكون قيمته صفر: 0 m/n =0.
هناك ميزة أخرى للدرجة ذات الأس العقلاني - أنه لا يمكن اعتبار الدرجة ذات الأس الكسرى ذات الأس الكسرى. يتم إعطاء أمثلة على التدوين غير الصحيح للدرجة: (-9) -3/7، (-3) -1/3، 0 -1/5.
بعد ذلك، في درس الفيديو، نناقش خصائص الدرجة ذات الأس النسبي. تجدر الإشارة إلى أن خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح ستكون صالحة أيضًا للدرجة ذات الأس العقلاني. يُقترح التذكير بقائمة الخصائص الصالحة أيضًا في هذه الحالة:
- عند ضرب القوى ذات الأساس نفسه، فإن أسسها تكون مجمعة: a p a q =a p+q.
- يتم تقليل تقسيم الدرجات ذات الأساس نفسه إلى درجة ذات أساس معين والفرق في الأسس: a p:a q =a p-q.
- إذا رفعنا الدرجة إلى قوة معينة، فسننتهي بدرجة ذات أساس معين وحاصل ضرب الأسس: (a p) q =a pq.
كل هذه الخصائص صالحة للقوى ذات الأسس المنطقية p، q والقاعدة الإيجابية a>0. كما تظل تحويلات الدرجات عند فتح الأقواس صحيحة:
- (ab) p =a p b p - عند رفع ناتج رقمين إلى قوة ما بأس عقلاني، يتم تقليل حاصل ضرب رقمين، كل منهما مرفوع إلى قوة معينة.
- (a/b) p =a p /b p - رفع الكسر إلى قوة ذات أس نسبي يتم تقليله إلى الكسر الذي يكون بسطه ومقامه مرفوعًا إلى قوة معينة.
يناقش الفيديو التعليمي حل الأمثلة التي تستخدم الخصائص المدروسة للقوى ذات الأس العقلاني. يطلب منك المثال الأول إيجاد قيمة تعبير يحتوي على متغيرات x بقوة كسرية: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). على الرغم من تعقيد التعبير، باستخدام خصائص القوى، يمكن حله بكل بساطة. يبدأ حل المشكلة بتبسيط التعبير، الذي يستخدم قاعدة رفع قوة ذات أس كسري إلى قوة، وكذلك ضرب القوى ذات الأساس نفسه. بعد استبدال القيمة المعطاة x=8 في التعبير المبسط x 1/3 +48، من السهل الحصول على القيمة - 50.
في المثال الثاني، تحتاج إلى تبسيط الكسر الذي يحتوي بسطه ومقامه على قوى ذات أس كسري. باستخدام خصائص الدرجة، نستخرج من الفرق العامل × 1/3، والذي يتم بعد ذلك تخفيضه في البسط والمقام، وباستخدام صيغة فرق المربعات، يتم تحليل البسط، مما يعطي المزيد من التخفيضات للمتطابقات العوامل في البسط والمقام. نتيجة هذه التحولات هي الكسر القصير × 1/4 +3.
يمكن استخدام درس الفيديو "الأس ذو الأس العقلاني" بدلاً من قيام المعلم بشرح موضوع الدرس الجديد. يحتوي هذا الدليل أيضًا على معلومات كاملة كافية لـ دراسة ذاتيةطالب. يمكن أن تكون المادة مفيدة أيضًا للتعلم عن بعد.
من الأسس الصحيحة للرقم أ، فإن الانتقال إلى الأسس العقلانية يوحي بنفسه. أدناه سنحدد الدرجة ذات الأس العقلاني، وسنفعل ذلك بطريقة يتم فيها الحفاظ على جميع خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح. وهذا ضروري لأن الأعداد الصحيحة جزء من أرقام نسبية.
من المعروف أن مجموعة الأعداد النسبية تتكون من أعداد صحيحة وكسور، ويمكن تمثيل كل عدد كسري على أنه موجب أو سالب جزء مشترك. لقد قمنا بتعريف الدرجة ذات الأس الصحيح في الفقرة السابقة، لذلك، لكي نكتمل تعريف الدرجة ذات الأس الكسرى، نحتاج إلى إعطاء معنى لدرجة الرقم أمع مؤشر كسور م / ن، أين مهو عدد صحيح، و ن- طبيعي. دعنا نقوم به.
دعونا نفكر في درجة ذات أس كسري للنموذج. لكي تظل خاصية القدرة على القوة صالحة، يجب أن تكون المساواة قائمة 
. إذا أخذنا في الاعتبار المساواة الناتجة وكيفية تحديد الجذر النوني للدرجة، فمن المنطقي أن نقبل، بشرط أن يكون المعطى م, نو أالتعبير منطقي.
من السهل التحقق من صحة جميع خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح (تم ذلك في قسم خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح).
المنطق أعلاه يسمح لنا بعمل ما يلي خاتمة: إذا أعطيت البيانات م, نو أالتعبير منطقي، ثم قوة العدد أمع مؤشر كسور م / نيسمى الجذر نالدرجة ال أإلى حد ما م.
تقربنا هذه العبارة من تعريف الدرجة ذات الأس الكسري. كل ما تبقى هو وصف ماذا م, نو أالتعبير منطقي. اعتمادا على القيود المفروضة على م, نو أهناك طريقتان رئيسيتان.
1. أسهل طريقة هي فرض قيود على أ، بعد أن قبلت أ≥0للإيجابية مو أ>0للسلبية م(منذ متى م ≥0درجة 0 ملم يحدد). ثم نحصل على التعريف التالي للدرجة ذات الأس الكسرية.
تعريف.
قوة الرقم الإيجابي أمع مؤشر كسور م / ن ، أين م- كله، و ن– عدد طبيعي يسمى الجذر ن-الرقم أإلى حد ما م، إنه، .
يتم أيضًا تحديد القوة الكسرية للصفر مع التحذير الوحيد الذي يجب أن يكون المؤشر موجبًا.
تعريف.
قوة الصفر مع الأس الموجب الكسرى م / ن
، أين مهو عدد صحيح موجب، و ن- العدد الطبيعي، كما هو محدد 
.
عندما لا يتم تحديد الدرجة، أي أن درجة الرقم صفر مع الأس السالب الكسري لا معنى لها.
تجدر الإشارة إلى أنه مع هذا التعريف للدرجة ذات الأس الكسري، هناك تحذير واحد: بالنسبة لبعض السالبة أو البعض مو نالتعبير منطقي، لكننا تجاهلنا هذه الحالات بإدخال الشرط أ≥0. على سبيل المثال، الإدخالات منطقية 
أو ، والتعريف الوارد أعلاه يجبرنا على القول بأن القوى ذات أس كسري للنموذج 
لا معنى له، لأن القاعدة لا ينبغي أن تكون سلبية.
2. طريقة أخرى لتحديد الدرجة باستخدام الأس الكسري م / نيتكون من النظر بشكل منفصل في الأسس الزوجية والفردية للجذر. يتطلب هذا النهج حالة إضافية: درجة أ، الذي يكون أسه كسرًا عاديًا قابلاً للاختزال، يعتبر قوة للرقم أ، مؤشرها هو الكسر المقابل غير القابل للاختزال (سيتم شرح أهمية هذا الشرط أدناه). وهذا هو، إذا م / نهو كسر غير قابل للاختزال، ثم لأي عدد طبيعي كيتم استبدال الدرجة مبدئيًا بـ .
حتى نوإيجابية مالتعبير منطقي لأي غير سلبي أ(حتى جذر عدد السلبيلا معنى له)، مع السلبية مرقم أيجب أن يظل مختلفًا عن الصفر (وإلا سيكون هناك قسمة على صفر). وللغريب نوإيجابية مرقم أيمكن أن يكون أي (يتم تعريف الجذر الفردي لأي رقم حقيقي)، وللسالب مرقم أيجب أن يكون غير الصفر (حتى لا يكون هناك قسمة على صفر).
يقودنا المنطق أعلاه إلى هذا التعريف للدرجة ذات الأس الكسرى.
تعريف.
يترك م / ن- جزء غير قابل للاختزال، م- كله، و ن- عدد طبيعي. بالنسبة لأي جزء قابل للاختزال، يتم استبدال الدرجة بـ . درجة أمع الأس الكسري غير القابل للاختزال م / ن- هو ل
او اي رقم حقيقي أ، إيجابية كاملة موطبيعية غريبة ن، على سبيل المثال، 
;
o أي عدد حقيقي غير الصفر أ، عدد صحيح سلبي موغريب ن، على سبيل المثال، 
;
o أي رقم غير سالب أ، إيجابية كاملة موحتى ن، على سبيل المثال، 
;
او اي ايجابية أ، عدد صحيح سلبي موحتى ن، على سبيل المثال، 
;
o وفي حالات أخرى لا يتم تحديد الدرجة بمؤشر كسري، فمثلا لا يتم تحديد الدرجات 
.a نحن لا نعلق أي معنى على الإدخال، بل نحدد قوة الرقم صفر للأسس الكسرية الموجبة م / نكيف ، بالنسبة للأسس الكسرية السالبة، لم يتم تحديد قوة الرقم صفر.
في ختام هذه الفقرة، دعونا ننتبه إلى أن الأس الكسري يمكن كتابته على الصورة عدد عشريأو رقم مختلط، على سبيل المثال، 
. لحساب قيم التعبيرات من هذا النوع، تحتاج إلى كتابة الأس على شكل كسر عادي، ثم استخدام تعريف الأس مع الأس الكسري. للأمثلة المذكورة أعلاه لدينا 
و 
القوة مع الأس العقلاني
خاسيانوفا تي جي،
مدرس رياضيات
ستكون المواد المقدمة مفيدة لمعلمي الرياضيات عند دراسة موضوع "الأس ذو الأس العقلاني".
الغرض من المادة المقدمة: الكشف عن تجربتي في إجراء درس حول موضوع "الأس ذو الأس العقلاني" برنامج العملالانضباط "الرياضيات".
تتوافق منهجية إجراء الدرس مع نوعه - درس في دراسة المعرفة الجديدة وتعزيزها في البداية. تم تحديث المعرفة والمهارات الأساسية على أساس الخبرة المكتسبة سابقًا؛ الحفظ الأساسي وتوحيد وتطبيق المعلومات الجديدة. تم توحيد وتطبيق المواد الجديدة في شكل حل المشكلات التي اختبرتها بدرجات متفاوتة من التعقيد، مما أعطى نتيجة ايجابيةإتقان الموضوع.
في بداية الدرس قمت بتحديد الأهداف التالية للطلاب: تربوية، تنموية، تربوية. خلال الدرس، استخدمت أساليب مختلفة للنشاط: أمامي، فردي، زوج، مستقل، اختبار. تم التمييز بين المهام وجعل من الممكن تحديد درجة اكتساب المعرفة في كل مرحلة من مراحل الدرس. حجم وتعقيد المهام يتوافق خصائص العمرطلاب. من تجربتي - العمل في المنزل، على غرار المشكلات التي تم حلها في الفصل الدراسي، تتيح لك دمج المعرفة والمهارات المكتسبة بشكل موثوق. في نهاية الدرس، تم إجراء التفكير وتقييم عمل الطلاب الفرديين.
تم تحقيق الأهداف. درس الطلاب مفهوم وخصائص الدرجة ذات الأس العقلاني، وتعلموا استخدام هذه الخصائص عند حل المشكلات العملية. بالنسبة للعمل المستقل، يتم الإعلان عن الدرجات في الدرس التالي.
أعتقد أن المنهجية التي أستخدمها في تدريس الرياضيات يمكن استخدامها من قبل معلمي الرياضيات.
موضوع الدرس: القوة ذات الأس العقلاني
الغرض من الدرس:
التعرف على مستوى إتقان الطلاب لمجموعة من المعارف والمهارات، وعلى أساسها تطبيق حلول معينة لتحسين العملية التعليمية.
أهداف الدرس:
التعليمية:لتشكيل معرفة جديدة بين الطلاب حول المفاهيم الأساسية والقواعد والقوانين لتحديد الدرجات بمؤشر عقلاني، والقدرة على تطبيق المعرفة بشكل مستقل في الظروف القياسية، في الظروف المعدلة وغير القياسية؛
النامية:التفكير المنطقي وتحقيق القدرات الإبداعية؛
مقوي:تطوير الاهتمام بالرياضيات، وتجديد المفردات بمصطلحات جديدة، واكتساب معلومات إضافيةعن العالم من حولنا. تنمية الصبر والمثابرة والقدرة على التغلب على الصعوبات.
تنظيم الوقت
تحديث المعرفة المرجعية
عند ضرب القوى ذات الأساس نفسه، تُضاف الأسس، لكن الأساس يبقى كما هو:
على سبيل المثال، 
2. عند قسمة الدرجات على نفس الأساسات يتم طرح أسس الدرجات، ولكن يبقى الأساس كما هو:
على سبيل المثال، 
3. عند رفع درجة إلى قوة، يتم ضرب الأسس، ولكن الأساس يبقى كما هو:
على سبيل المثال،
4. درجة المنتج تساوي منتج درجات العوامل:
على سبيل المثال، 
5. درجة حاصل القسمة تساوي حاصل قسمة درجات المقسوم والمقسوم عليه:
على سبيل المثال، 
تمارين مع الحلول
ابحث عن معنى العبارة: 
حل:
في هذه الحالة، بشكل صريح، لا شيء من خصائص الدرجة ج مؤشر طبيعيلا يمكن تطبيقها، لأن جميع الدرجات لها أسس مختلفة. لنكتب بعض القوى بشكل مختلف:
(درجة المنتج تساوي منتج درجات العوامل)؛
(عند ضرب الأس مع نفس الأساس، يتم إضافة الأسس، ولكن الأساس يبقى كما هو؛ وعند رفع درجة إلى قوة، يتم ضرب الأسس، ولكن الأساس يبقى كما هو).
ثم نحصل على:
في هذا المثال، تم استخدام الخصائص الأربعة الأولى لدرجة ذات أس طبيعي.
الجذر التربيعي الحسابي
هو عدد غير سالب مربعه يساويأ,
. في 
- تعبير لم يتم تعريفها، لأن لا يوجد عدد حقيقي مربعه يساوي عددا سالباأ.
الإملاء الرياضي(8-10 دقائق)
خيار
ثانيا. خيار
1. أوجد قيمة التعبير
أ) 
ب) 
1. أوجد قيمة التعبير
أ) 
ب) 
2. احسب
أ) 
ب) 
في) 
2. احسب
أ) 
ب) 
الخامس) 
اختبار ذاتي(على اللوح):
مصفوفة الاستجابة:
№ الخيار/المهمة
المشكلة 1
المشكلة 2
الخيار 1
أ) 2
ب) 2
أ) 0.5
ب) 
الخامس) 
الخيار 2
أ) 1.5
ب)
أ) 
ب) 
في 4
ثانيا: تكوين معارف جديدة
دعونا نفكر في معنى التعبير وأين 
- رقم موجب، عدد إيجابي- العدد الكسري والعدد الصحيح، n الطبيعي (n›1)
التعريف: قوة a›0 ذات الأس العقلانيص = , م-جميع، ن-طبيعي ( ن›1) يتم الاتصال بالرقم.
لذا: 
على سبيل المثال: 
ملحوظات:
1. لأي رقم موجب وأي رقم r عقلاني 
بشكل ايجابي.
2. متى القوة العقلانية لعددألم يحدد.
التعبيرات مثل 
لا معنى له.
3. إذا 
رقم موجب كسري هو 
.
لو كسور رقم سلبي إذن 
-لا معنى له.
على سبيل المثال: 
- لا معنى له.
دعونا نفكر في خصائص الدرجة ذات الأس العقلاني.
دع >0، ب>0؛ ص، ق - أي أرقام عقلانية. إذن فإن الدرجة التي لها أي أس عقلاني لها الخصائص التالية:
1.
2.
3.
4.
5.
ثالثا. الدمج. تكوين مهارات وقدرات جديدة.
تعمل بطاقات المهام في مجموعات صغيرة على شكل اختبار.
في هذه المقالة سوف نكتشف ما هو درجة. سنقدم هنا تعريفات لقوة العدد، بينما سننظر بالتفصيل في جميع الأسس الممكنة، بدءًا من الأس الطبيعي وانتهاءً بالأس غير العقلاني. ستجد في المادة الكثير من الأمثلة على الدرجات التي تغطي جميع التفاصيل الدقيقة التي تنشأ.
التنقل في الصفحة.
القوة مع الأس الطبيعي، مربع العدد، مكعب العدد
دعنا نبدء ب . بالنظر إلى المستقبل، لنفترض أن تعريف قوة العدد a مع الأس الطبيعي n يُعطى لـ a، وهو ما سنسميه أساس الدرجةو n الذي سنسميه الأس. نلاحظ أيضًا أن الدرجة ذات الأس الطبيعي يتم تحديدها من خلال المنتج، لذا لفهم المادة أدناه، يجب أن يكون لديك فهم لضرب الأعداد.
تعريف.
قوة الرقم مع الأس الطبيعي نهو تعبير بالصيغة a n، التي تساوي قيمتها حاصل ضرب عوامل n، كل منها يساوي a، أي .
على وجه الخصوص، قوة الرقم a مع الأس 1 هي الرقم a نفسه، أي 1 =a.
تجدر الإشارة على الفور إلى قواعد قراءة الدرجات. الطريقة العالمية لقراءة الرمز a n هي: "a إلى قوة n". في بعض الحالات، تكون الخيارات التالية مقبولة أيضًا: "a أس n" و"a أس n". على سبيل المثال، لنأخذ القوة 8 12، وهذا هو "ثمانية أس اثني عشر"، أو "ثمانية أس الثاني عشر"، أو "القوة الثانية عشرة لثمانية".
القوة الثانية للرقم، وكذلك القوة الثالثة للرقم، لها أسماء خاصة بها. يتم استدعاء القوة الثانية للرقم تربيع الرقمعلى سبيل المثال، تتم قراءة 7 2 على أنها "سبعة تربيع" أو "مربع الرقم سبعة". يتم استدعاء القوة الثالثة للرقم أرقام مكعبةعلى سبيل المثال، يمكن قراءة 5 3 كـ "خمسة مكعبات" أو يمكنك قول "مكعب العدد 5".
حان الوقت لجلب أمثلة على الدرجات ذات الأسس الطبيعية. لنبدأ بالدرجة 5 7، هنا 5 هو أساس الدرجة، و7 هو الأس. لنعطي مثالا آخر: 4.32 هو الأساس، والعدد الطبيعي 9 هو الأس (4.32) 9 .
يرجى ملاحظة أنه في المثال الأخير، تم كتابة أساس القوة 4.32 بين قوسين: لتجنب التناقضات، سنضع بين قوسين جميع أسس القوة التي تختلف عن الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، نعطي الدرجات التالية مع الأسس الطبيعية 
، أسسها ليست أعدادًا طبيعية، لذا فهي مكتوبة بين قوسين. حسنًا، من أجل الوضوح التام، سنعرض في هذه المرحلة الفرق الموجود في السجلات بالصيغة (−2) 3 و−2 3. التعبير (−2) 3 هو قوة −2 مع الأس الطبيعي 3، والتعبير −2 3 (يمكن كتابته كـ −(2 3)) ) يتوافق مع الرقم، وقيمة الأس 2 3 .
لاحظ أن هناك تدوينًا لقوة الرقم a مع الأس n بالصيغة a^n. علاوة على ذلك، إذا كان n عددًا طبيعيًا متعدد القيم، فسيتم أخذ الأس بين قوسين. على سبيل المثال، 4^9 هو رمز آخر لأس 4 9 . وإليك بعض الأمثلة الإضافية لكتابة الدرجات باستخدام الرمز "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . في ما يلي، سوف نستخدم بشكل أساسي تدوين الدرجة بالصيغة a n .
إحدى المشاكل العكسية للرفع إلى قوة ذات أس طبيعي هي مشكلة إيجاد أساس القوة عن طريق قيمة معروفةدرجة ومؤشر معروف. تؤدي هذه المهمة إلى .
ومن المعروف أن مجموعة الأعداد النسبية تتكون من أعداد صحيحة وكسور، ويمكن تمثيل كل كسر على أنه كسر عادي موجب أو سالب. لقد قمنا بتعريف الدرجة ذات الأس الصحيح في الفقرة السابقة، لذلك، من أجل استكمال تعريف الدرجة ذات الأس الكسرى، نحتاج إلى إعطاء معنى لدرجة الرقم a مع الأس الكسرى m/n، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي. دعنا نقوم به.
دعونا نفكر في درجة ذات أس كسري للنموذج. لكي تظل خاصية القدرة على القوة صالحة، يجب أن تكون المساواة قائمة 
. إذا أخذنا في الاعتبار المساواة الناتجة وكيفية تحديدها، فمن المنطقي قبولها بشرط أن يكون التعبير منطقيًا بالنسبة لـ m وn وa.
من السهل التحقق من صحة جميع خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح (تم ذلك في قسم خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح).
المنطق أعلاه يسمح لنا بعمل ما يلي خاتمة: إذا أعطيت m، n وكان التعبير a منطقيًا، فإن قوة a ذات الأس الكسري m/n تسمى الجذر n لـ a أس m.
تقربنا هذه العبارة من تعريف الدرجة ذات الأس الكسري. كل ما تبقى هو وصف ما هو معنى m و n و a. اعتمادًا على القيود المفروضة على m وn وa، هناك طريقتان رئيسيتان.
أسهل طريقة هي فرض قيد على a من خلال أخذ a≥0 للموجب m وa>0 للسالب m (نظرًا لأنه بالنسبة إلى m<0 لم يتم تحديد الدرجة 0 من m). ثم نحصل على التعريف التالي للدرجة ذات الأس الكسرية.
تعريف.
قوة الرقم الموجب a مع الأس الكسرى m/n، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي، يسمى الجذر النوني للرقم a أس m، أي .
يتم أيضًا تحديد القوة الكسرية للصفر مع التحذير الوحيد الذي يجب أن يكون المؤشر موجبًا.
تعريف.
قوة الصفر مع الأس الإيجابي الكسرى م/ن، حيث m عدد صحيح موجب و n عدد طبيعي، يتم تعريفه على أنه 
.
عندما لا يتم تحديد الدرجة، أي أن درجة الرقم صفر مع الأس السالب الكسري لا معنى لها.
تجدر الإشارة إلى أنه مع هذا التعريف للدرجة ذات الأس الكسري، هناك تحذير واحد: بالنسبة لبعض السلبيات a وبعض m وn، يكون التعبير منطقيًا، وقد تجاهلنا هذه الحالات عن طريق إدخال الشرط a≥0. على سبيل المثال، الإدخالات منطقية 
أو ، والتعريف الوارد أعلاه يجبرنا على القول بأن القوى ذات أس كسري للنموذج 
لا معنى له، لأن القاعدة لا ينبغي أن تكون سلبية.
هناك طريقة أخرى لتحديد درجة ذات أس كسري m/n وهي النظر بشكل منفصل في الأسس الزوجية والفردية للجذر. يتطلب هذا النهج شرطًا إضافيًا: قوة الرقم أ، أسه، تعتبر قوة الرقم أ، أسه هو الكسر المقابل غير القابل للاختزال (سنشرح أهمية هذا الشرط أدناه ). بمعنى، إذا كان m/n كسرًا غير قابل للاختزال، فإنه لأي عدد طبيعي k يتم استبدال الدرجة أولاً بـ .
بالنسبة إلى n والموجب m، يكون التعبير منطقيًا لأي غير سالب a (الجذر الزوجي لعدد سالب ليس له معنى)؛ بالنسبة إلى m السالب، يجب أن يظل الرقم a مختلفًا عن الصفر (وإلا سيكون هناك قسمة بمقدار صفر). وبالنسبة للفرد n والموجب m، يمكن أن يكون الرقم a أي (يتم تعريف جذر الدرجة الفردية لأي رقم حقيقي)، وبالنسبة للسالب m، يجب أن يكون الرقم a غير صفر (بحيث لا يكون هناك قسمة على) صفر).
يقودنا المنطق أعلاه إلى هذا التعريف للدرجة ذات الأس الكسرى.
تعريف.
اجعل m/n كسرًا غير قابل للاختزال، وm عددًا صحيحًا، وn عددًا طبيعيًا. بالنسبة لأي جزء قابل للاختزال، يتم استبدال الدرجة بـ . قوة الرقم مع الأس الكسري غير القابل للاختزال م / ن هي ل
دعونا نشرح لماذا يتم أولاً استبدال الدرجة ذات الأس الكسري القابل للاختزال بدرجة ذات أس غير قابل للاختزال. إذا قمنا ببساطة بتعريف الدرجة على أنها ، ولم نبدي تحفظًا بشأن عدم قابلية الاختزال للكسر m/n، فسوف نواجه مواقف مشابهة لما يلي: بما أن 6/10 = 3/5، فيجب أن تكون المساواة ثابتة 
، لكن 
، أ .