تجاوز هذه الخليع بالفعل! 🙂
ضرب وقسمة الكسور.
انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الأقوياء "ليس كثيرا. »
ولأولئك الذين "متساوون جدًا. "")
هذه العملية أجمل بكثير من الجمع والطرح! لأنه أسهل. أذكرك: لضرب الكسر في كسر ، تحتاج إلى ضرب البسط (سيكون هذا بسط النتيجة) والمقام (سيكون هذا هو المقام). إنه:
كل شيء بسيط للغاية. ورجاء لا تبحث عن قاسم مشترك! لا تحتاجه هنا ...
لقسمة كسر على كسر ، عليك أن تقلب ثانية(هذا مهم!) الكسر واضربهم ، أي:
إذا تم تسجيل الضرب أو القسمة بأعداد صحيحة وكسور ، فلا بأس بذلك. كما هو الحال مع الجمع ، نصنع كسرًا من عدد صحيح بوحدة في المقام - ونذهب! على سبيل المثال:
في المدرسة الثانوية ، غالبًا ما يتعين عليك التعامل مع كسور من ثلاثة طوابق (أو حتى أربعة طوابق!). على سبيل المثال:
كيف نحضر هذا الكسر إلى شكل لائق؟ نعم ، سهل جدا! استخدم القسمة على نقطتين:
لكن لا تنس أمر التقسيم! على عكس الضرب ، هذا مهم جدًا هنا! بالطبع ، لن نخلط بين 4: 2 أو 2: 4. لكن في جزء من ثلاثة طوابق ، من السهل ارتكاب خطأ. يرجى ملاحظة ، على سبيل المثال:
في الحالة الأولى (التعبير على اليسار):
في الثاني (التعبير على اليمين):
تشعر الفرق؟ 4 و 1/9!
ما هو ترتيب القسمة؟ أو أقواس ، أو (كما هو الحال هنا) طول الشرطات الأفقية. طور عين. وفي حالة عدم وجود أقواس أو شرطات ، مثل:
ثم قسمة وضرب بالترتيب ، من اليسار إلى اليمين!
وخدعة أخرى بسيطة ومهمة للغاية. في الإجراءات مع الدرجات ، سيكون في متناول يديك! دعنا نقسم الوحدة على أي كسر ، على سبيل المثال ، على 13/15:
انقلبت الطلقة! وهذا يحدث دائمًا. عند قسمة 1 على أي كسر ، تكون النتيجة هي نفس الكسر ، مقلوب فقط.
هذه هي كل الإجراءات مع الكسور. الأمر بسيط للغاية ، لكنه يعطي أخطاء أكثر من كافية. قم بتدوين النصائح العملية ، وسوف يكون هناك القليل منها (الأخطاء)!
1. أهم شيء عند التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه! ليس كلمات شائعة، ليست أمنيات طيبة! هذه حاجة ماسة! قم بإجراء جميع العمليات الحسابية في الامتحان كمهمة كاملة ، مع التركيز والوضوح. من الأفضل كتابة سطرين إضافيين في المسودة بدلاً من العبث عند الحساب في رأسك.
2. في الأمثلة مع أنواع مختلفةالكسور - انتقل إلى الكسور العادية.
3. نقوم بتقليل جميع الكسور إلى نقطة التوقف.
4. متعدد الطوابق تعبيرات كسريةنختزل إلى النقاط العادية باستخدام القسمة على نقطتين (نتبع ترتيب القسمة!).
فيما يلي المهام التي تحتاج إلى إكمالها. يتم إعطاء الإجابات بعد كل المهام. استخدم مواد هذا الموضوع والنصائح العملية. قدر عدد الأمثلة التي يمكنك حلها بشكل صحيح. المرة الأولى! بدون آلة حاسبة! واستخلص الاستنتاجات الصحيحة.
تذكر الإجابة الصحيحة تم الحصول عليها من المرة الثانية (خاصة الثالثة) - لا تحسب!هذه هي الحياة القاسية.
لذا، حل في وضع الامتحان ! بالمناسبة ، هذا هو التحضير للامتحان. نحل مثالًا ، نتحقق ، نحل ما يلي. قررنا كل شيء - تحققنا مرة أخرى من الأول إلى الأخير. لكن فقط ثمانظر إلى الإجابات.
أبحث عن إجابات تطابق إجابتك. تعمدت كتابتها في حالة من الفوضى ، بعيدًا عن الإغراء ، إذا جاز التعبير. ها هي الإجابات مفصولة بفاصلة منقوطة.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
والآن نستخلص النتائج. إذا نجح كل شيء - سعيد من أجلك! الحسابات الابتدائية مع الكسور ليست مشكلتك! يمكنك القيام بأشياء أكثر جدية. ان لم.
إذن لديك واحدة من مشكلتين. أو كلاهما في وقت واحد.) نقص المعرفة و (أو) عدم الانتباه. لكن. هذا قابل للحل مشاكل.
في القسم الخاص 555 "الكسور" يتم تحليل كل هذه الأمثلة (وليس فقط!). مع شرح مفصل لما ولماذا وكيف. مثل هذا التحليل يساعد كثيرًا في حالة نقص المعرفة والمهارات!
نعم ، وفي المشكلة الثانية هناك شيء ما) نصيحة عملية, كيف تصبح أكثر انتباهاً. نعم نعم! نصيحة يمكن تطبيقها كل.
بالإضافة إلى المعرفة والانتباه ، هناك حاجة إلى آلية معينة للنجاح. من أين تحصل عليه؟ أسمع تنهيدة ثقيلة ... نعم ، فقط في الممارسة ، في أي مكان آخر.
يمكنك الذهاب إلى موقع 321start.ru للتدريب. هناك ، في خيار "جرب" ، هناك 10 أمثلة يمكن للجميع استخدامها. مع التحقق الفوري. للمستخدمين المسجلين - 34 أمثلة من البسيط إلى الشديد. إنها فقط للكسور.
إذا كنت تحب هذا الموقع.
بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).
هنا يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. تعلم باهتمام!
وهنا يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
المادة 1
لضرب كسر في رقم طبيعي ، عليك أن تضرب بسطه في هذا الرقم ، ويترك المقام دون تغيير.
القاعدة 2
لضرب كسر في كسر:
1. أوجد حاصل ضرب البسط وحاصل ضرب مقامات هذه الكسور
2. اكتب حاصل الضرب الأول على أنه البسط ، والثاني على هيئة المقام.
القاعدة 3
من أجل ضرب الأعداد الكسرية ، عليك كتابتها في صورة كسور غير صحيحة ، ثم استخدام قاعدة ضرب الكسور.
القاعدة 4
لقسمة كسر على آخر ، تحتاج إلى ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.
مثال 1
احسب
مثال 2
احسب
مثال 3
احسب
مثال 4
احسب
الرياضيات. مواد اخرى
رفع رقم إلى قوة عقلانية. (
رفع رقم إلى قوة طبيعية. (
طريقة الفاصل الزمني المعمم لحل التفاوتات الجبرية (المؤلف Kolchanov A.V.)
طريقة استبدال العوامل في حل التفاوتات الجبرية (المؤلف Kolchanov A.V.)
علامات القسمة (Lungu Alena)
اختبر نفسك في موضوع "ضرب وقسمة الكسور العادية"
ضرب الكسور
سننظر في ضرب الكسور العادية بعدة طرق ممكنة.
ضرب كسر في كسر
هذه أبسط حالة تحتاج فيها إلى استخدام ما يلي قواعد الضرب الكسر.
ل اضرب الكسر في الكسر، ضروري:
تحقق من إمكانية اختزال الكسور قبل ضرب البسط والمقام. سيساعد تقليل الكسور في العمليات الحسابية بشكل كبير على العمليات الحسابية.
ضرب كسر في عدد طبيعي
إلى كسر اضرب في عدد طبيعيعليك أن تضرب بسط الكسر في هذا العدد ، وتترك مقام الكسر كما هو.
إذا كانت نتيجة الضرب كسرًا غير فعلي ، فلا تنس تحويله إلى عدد كسري ، أي حدد الجزء بالكامل.
ضرب الأعداد الكسرية
لمضاعفه أعداد مختلطة، يجب عليك أولاً تحويلها إلى كسور غير صحيحة ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.
طريقة أخرى لضرب الكسر في عدد طبيعي
في بعض الأحيان يكون من الأنسب في الحسابات استخدام طريقة مختلفة لضرب الكسر العادي برقم.
لضرب كسر في عدد طبيعي ، عليك قسمة مقام الكسر على هذا الرقم ، وترك البسط كما هو.
كما يتضح من المثال ، من الأنسب استخدام هذا الإصدار من القاعدة إذا كان مقام الكسر قابلاً للقسمة بدون الباقي برقم طبيعي.
قسمة الكسر على رقم
ما هي أسرع طريقة لقسمة الكسر على رقم؟ دعنا نحلل النظرية ، ونستنتج ونستخدم الأمثلة لنرى كيف يمكن إجراء قسمة الكسر على رقم وفقًا لقاعدة قصيرة جديدة.
عادةً ما يتم قسمة الكسر على رقم وفقًا لقاعدة قسمة الكسور. يتم ضرب الرقم الأول (الكسر) في مقلوب الثاني. بما أن الرقم الثاني عدد صحيح ، فإن مقلوبه هو كسر بسطه يساوي واحد، والمقام هو الرقم المحدد. من الناحية التخطيطية ، تبدو قسمة الكسر على رقم طبيعي كما يلي:
من هذا نستنتج:
لقسمة كسر على رقم ، اضرب المقام في ذلك الرقم واترك البسط كما هو. يمكن صياغة القاعدة بشكل أكثر إيجازًا:
عندما تقسم كسرًا على رقم ، ينتقل الرقم إلى المقام.
اقسم الكسر على رقم:
لقسمة كسر على رقم ، نعيد كتابة البسط بدون تغيير ، ونضرب المقام في هذا الرقم. نخفض 6 و 3 بمقدار 3.
عند قسمة كسر على رقم ، نعيد كتابة البسط ونضرب المقام في ذلك الرقم. ننقص 16 و 24 بمقدار 8.
عند قسمة كسر على رقم ، ينتقل الرقم إلى المقام ، لذلك نترك البسط كما هو ، ونضرب المقام في المقسوم عليه. ننقص 21 و 35 بمقدار 7.
ضرب وقسمة الكسور
آخر مرة تعلمنا فيها كيفية جمع الكسور وطرحها (انظر الدرس "جمع الكسور وطرحها"). كانت أصعب لحظة في تلك الإجراءات هي تحويل الكسور إلى قاسم مشترك.
حان الوقت الآن للتعامل مع الضرب والقسمة. الخبر السار هو أن هذه العمليات أسهل من الجمع والطرح. بادئ ذي بدء ، فكر في أبسط حالة ، عندما يكون هناك كسرين موجبين بدون جزء صحيح مميز.
لضرب كسرين ، عليك أن تضرب البسط والمقام بشكل منفصل. سيكون الرقم الأول هو بسط الكسر الجديد ، والثاني سيكون المقام.
لقسمة كسرين ، تحتاج إلى ضرب الكسر الأول في الثانية "المقلوبة".
من التعريف يتبع ذلك أن قسمة الكسور تختزل إلى الضرب. لقلب كسر ، ما عليك سوى تبديل البسط والمقام. لذلك ، سننظر في الدرس بأكمله بشكل أساسي في الضرب.
نتيجة الضرب ، يمكن أن ينشأ كسر صغير (وغالبًا ما ينشأ) - بالطبع ، يجب تقليله. إذا تبين ، بعد كل التخفيضات ، أن الكسر غير صحيح ، فيجب تمييز الجزء بالكامل فيه. ولكن ما لن يحدث بالضبط مع الضرب هو الاختزال إلى قاسم مشترك: لا توجد طرق عرضية ، وعوامل قصوى ، ومضاعفات مشتركة أقل.
مهمة. أوجد قيمة التعبير:
بالتعريف لدينا:
ضرب الكسور بعدد صحيح وكسور سالبة
إذا كان هناك جزء صحيح في الكسور ، فيجب تحويلها إلى أجزاء غير صحيحة - وعندها فقط يتم ضربها وفقًا للمخططات الموضحة أعلاه.
إذا كان هناك سالب في بسط الكسر ، في المقام أو أمامه ، فيمكن إزالته من حدود الضرب أو إزالته تمامًا وفقًا للقواعد التالية:
- زائد ضرب ناقص يعطي ناقص ؛
- سلبيتان تؤيدان.
- نقوم بشطب السلبيات في أزواج حتى تختفي تمامًا. في الحالة القصوى ، يمكن أن يعيش ناقص واحد - الذي لم يجد تطابقًا ؛
- إذا لم يكن هناك أي سلبيات متبقية ، فقد اكتملت العملية - يمكنك البدء في الضرب. إذا لم يتم شطب آخر ناقص ، لأنه لم يتم العثور على زوج ، فإننا نخرجه من حدود الضرب. تحصل على كسر سالب.
حتى الآن ، تمت مواجهة هذه القواعد فقط عند جمع الكسور السالبة وطرحها ، عندما كان مطلوبًا التخلص من الجزء بالكامل. بالنسبة لمنتج ما ، يمكن تعميمها من أجل "حرق" عدة سلبيات في وقت واحد:
نترجم كل الكسور إلى كسور غير صحيحة ، ثم نخرج السالب خارج حدود الضرب. ويضرب المتبقي حسب القواعد المعتادة. نحن نحصل:
دعني أذكرك مرة أخرى أن الطرح الذي يأتي قبل الكسر بجزء صحيح مميز يشير تحديدًا إلى الكسر بأكمله ، وليس فقط إلى الجزء الصحيح (هذا ينطبق على المثالين الأخيرين).
انتبه أيضًا إلى أرقام سالبة: عند ضربها ، يتم وضعها بين قوسين. يتم ذلك لفصل السلبيات عن علامات الضرب وجعل التدوين بأكمله أكثر دقة.
اختزال الكسور أثناء الطيران
الضرب عملية شاقة للغاية. الأرقام هنا كبيرة جدًا ، ولتسهيل المهمة ، يمكنك محاولة تقليل الكسر أكثر قبل الضرب. في الواقع ، من حيث الجوهر ، فإن البسط والمقام للكسور هي عوامل عادية ، وبالتالي ، يمكن اختزالها باستخدام الخاصية الأساسية للكسر. ألق نظرة على الأمثلة:
في جميع الأمثلة ، يتم تمييز الأرقام التي تم تقليلها وما تبقى منها باللون الأحمر.
يرجى ملاحظة: في الحالة الأولى ، تم تقليل المضاعفات تمامًا. بقيت الوحدات في مكانها ، والتي ، بشكل عام ، يمكن حذفها. في المثال الثاني ، لم يكن من الممكن تحقيق التخفيض الكامل ، لكن المبلغ الإجمالي للحسابات لا يزال ينخفض.
ومع ذلك ، لا تستخدم هذه التقنية بأي حال من الأحوال عند جمع وطرح الكسور! نعم ، في بعض الأحيان توجد أرقام متشابهة تريد فقط تقليلها. هنا ، انظر:
لا يمكنك فعل ذلك!
يحدث الخطأ بسبب حقيقة أنه عند إضافة كسر ، يظهر المجموع في بسط الكسر ، وليس في حاصل ضرب الأرقام. لذلك ، من المستحيل تطبيق الخاصية الرئيسية لكسر ، لأن هذه الخاصية تتعامل على وجه التحديد مع مضاعفة الأرقام.
ببساطة لا يوجد سبب آخر لتقليل الكسور ، لذا فإن الحل الصحيح للمسألة السابقة يبدو كما يلي:
كما ترى ، تبين أن الإجابة الصحيحة ليست جميلة جدًا. بشكل عام ، كن حذرا.
قسمة الكسور.
قسمة الكسر على عدد طبيعي.
أمثلة على قسمة كسر على عدد طبيعي
قسمة عدد طبيعي على كسر.
أمثلة على قسمة عدد طبيعي على كسر
قسمة الكسور العادية.
أمثلة على قسمة الكسور العادية
تقسيم الأعداد الكسرية.
- لقسمة رقم كسري على آخر ، أنت بحاجة إلى:
- تحويل الكسور المختلطة إلى غير صحيحة ؛
- اضرب الكسر الأول في مقلوب الثاني ؛
- تقليل الكسر الناتج ؛
- إذا حصلت على كسر غير فعلي ، فحول الكسر غير الفعلي إلى كسر مختلط.
- تحويل الكسور المختلطة إلى غير صحيحة ؛
- اضرب البسط والمقام في الكسور ؛
- نقوم بتقليل الكسر.
- إذا حصلنا على كسر غير فعلي ، فسنحول الكسر غير الفعلي إلى كسر مختلط.
- أغنية Under-and not up to-up "Spring Tango" (حان الوقت - تصل الطيور من الجنوب) - الموسيقى. فاليري ميلياييف لقد أخطأت في الفهم ، ولم ألحق ، بمعنى أنني لم أخمن ، لقد كتبت جميع الأفعال مع عدم وجود منفصلة ، ولم أكن أعرف عن البادئة nedo-. يحدث ، [...]
- لم يتم العثور على الصفحة في القراءة النهائية الثالثة ، تم اعتماد حزمة من الوثائق الحكومية التي تنص على إنشاء مناطق إدارية خاصة (SAR). نظرًا للخروج من الاتحاد الأوروبي ، لن يتم تضمين المملكة المتحدة في منطقة ضريبة القيمة المضافة الأوروبية و [...]
- ستظهر لجنة التحقيق المشتركة في الخريف
- براءة اختراع خوارزمية كيف تبدو براءة اختراع الخوارزمية كيف يتم إعداد براءة اختراع خوارزمية الأوصاف الفنيةطرق تخزين ومعالجة ونقل الإشارات و / أو البيانات على وجه التحديد لأغراض الحصول على براءات الاختراع عادة لا تمثل أي صعوبات معينة ، و [...]
- ما هو مهم لمعرفته حول المشروع الجديد للمعاشات التقاعدية 12 ديسمبر 1993 دستور الاتحاد الروسي (مع مراعاة التعديلات التي أدخلتها قوانين الاتحاد الروسي بشأن التعديلات على دستور الاتحاد الروسي بتاريخ 30 ديسمبر 2008 ن 6- منطقة منطقة حرة ، بتاريخ 30 كانون الأول (ديسمبر) 2008 N 7-FKZ ، [...]
- Chastushkas حول التقاعد للمرأة أمر رائع بالنسبة لبطل اليوم. الرجال بالنسبة لبطل اليوم بالنسبة للرجل - في جوقة لبطل اليوم للمرأة - بدء العمل في المتقاعدين النساء عبارة عن كوميديا مسابقات لأصحاب المعاشات ستكون مثيرة للاهتمام المضيف : أصدقائي الأعزاء! لحظة اهتمام! إحساس! فقط […]
أمثلة على قسمة الأعداد الكسرية
1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16
2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7
ستتم إزالة أي تعليقات فاحشة وإدراج مؤلفيها في القائمة السوداء!
مرحبا بكم في OnlineMSchool.
اسمي دوفجيك ميخائيل فيكتوروفيتش. أنا مالك ومؤلف هذا الموقع ، لقد كتبت كامل مادة نظرية، بالإضافة إلى التمارين والآلات الحاسبة عبر الإنترنت التي يمكنك استخدامها لدراسة الرياضيات.
الكسور. ضرب وقسمة الكسور.
ضرب كسر في كسر.
لضرب الكسور العادية ، من الضروري ضرب البسط في البسط (نحصل على بسط حاصل الضرب) والمقام في المقام (نحصل على مقام حاصل الضرب).
صيغة ضرب الكسر:
قبل الشروع في ضرب البسط والمقام ، من الضروري التحقق من إمكانية اختزال الكسر. إذا تمكنت من تقليل الكسر ، فسيكون من السهل عليك الاستمرار في إجراء الحسابات.
ملحوظة! لا داعي للبحث عن قاسم مشترك !!
قسمة كسر عادي على كسر.
يكون قسمة الكسر العادي على الكسر كما يلي: اقلب الكسر الثاني (أي قم بتغيير البسط والمقام في بعض الأماكن) وبعد ذلك يتم ضرب الكسور.
صيغة قسمة الكسور العادية:
ضرب كسر في عدد طبيعي.
ملحوظة!عند ضرب كسر في عدد طبيعي ، يتم ضرب بسط الكسر في العدد الطبيعي ، ويظل مقام الكسر كما هو. إذا كانت نتيجة المنتج كسرًا غير صحيح ، فتأكد من تحديد الجزء بالكامل عن طريق تحويل الكسر غير الصحيح إلى جزء مختلط.
قسمة الكسور التي تتضمن عددًا طبيعيًا.
إنه ليس مخيفًا كما يبدو. كما في حالة الجمع ، نحول عددًا صحيحًا إلى كسر بوحدة في المقام. على سبيل المثال:
ضرب الكسور المختلطة.
قواعد ضرب الكسور (مختلطة):
ملحوظة!لضرب كسر مختلط في كسر مختلط آخر ، عليك أولًا إحضاره إلى صورة الكسور غير الفعلية ، ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.
الطريقة الثانية لضرب الكسر في عدد طبيعي.
من الأنسب استخدام الطريقة الثانية لضرب الكسر العادي في رقم.
ملحوظة!لضرب كسر في رقم طبيعي ، من الضروري قسمة مقام الكسر على هذا الرقم ، وترك البسط دون تغيير.
من المثال أعلاه ، من الواضح أن هذا الخيار يكون أكثر ملاءمة للاستخدام عندما يتم قسمة مقام الكسر بدون الباقي على رقم طبيعي.
كسور متعددة المستويات.
في المدرسة الثانوية ، غالبًا ما توجد كسور من ثلاثة طوابق (أو أكثر). مثال:
لإحضار هذا الكسر إلى شكله المعتاد ، يتم استخدام القسمة على نقطتين:
ملحوظة!عند قسمة الكسور ، فإن ترتيب القسمة مهم جدًا. كن حذرًا ، من السهل الخلط هنا.
ملحوظة، على سبيل المثال:
عند قسمة واحد على أي كسر ، ستكون النتيجة هي نفس الكسر ، مقلوبًا فقط:
نصائح عملية لضرب الكسور وتقسيمها:
1. أهم شيء في التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه. قم بإجراء جميع العمليات الحسابية بحذر ودقة وتركيز ووضوح. من الأفضل كتابة بعض خطوط اضافيةفي مسودة من الخلط في الحسابات في العقل.
2. في المهام ذات الأنواع المختلفة من الكسور ، انتقل إلى نوع الكسور العادية.
3. نقوم بتقليل جميع الكسور حتى يصبح من غير الممكن تصغيرها.
4. نقوم بإدخال التعبيرات الكسرية متعددة المستويات إلى التعبيرات العادية ، باستخدام القسمة على نقطتين.
لنفترض أن أخيل يركض أسرع بعشر مرات من السلحفاة وخلفه ألف خطوة. خلال الوقت الذي يقطع فيه أخيل هذه المسافة ، تزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. عندما يركض أخيل مائة خطوة ، ستزحف السلحفاة عشر درجات أخرى ، وهكذا. ستستمر العملية إلى أجل غير مسمى ، ولن يلحق أخيل بالسلحفاة أبدًا.
أصبح هذا التفكير صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو ، ديوجين ، كانط ، هيجل ، جيلبرت ... كلهم ، بطريقة أو بأخرى ، يعتبرون زينو أبورياس. كانت الصدمة قوية لدرجة " ... تستمر المناقشات في الوقت الحالي ، ولم يتمكن المجتمع العلمي بعد من التوصل إلى رأي مشترك حول جوهر التناقضات ... تم تضمين التحليل الرياضي ، ونظرية المجموعات ، والنهج الفيزيائية والفلسفية الجديدة في دراسة القضية ؛ لم يصبح أي منهم حلاً مقبولًا عالميًا للمشكلة ..."[Wikipedia،" Zeno's Aporias "]. الجميع يفهم أنه يتم خداعهم ، لكن لا أحد يفهم ماهية الخداع.
من وجهة نظر الرياضيات ، أظهر زينو في أبوريا بوضوح الانتقال من القيمة إلى. يتضمن هذا الانتقال تطبيقًا بدلاً من الثوابت. بقدر ما أفهم ، فإن الجهاز الرياضي لتطبيق وحدات القياس المتغيرة إما لم يتم تطويره بعد ، أو لم يتم تطبيقه على أبوريا زينو. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن ، بجمود التفكير ، نطبق وحدات زمنية ثابتة على المعاملة بالمثل. من وجهة نظر جسدية ، يبدو أن الوقت يتباطأ حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يلحق فيها أخيل بالسلحفاة. إذا توقف الوقت ، لم يعد بإمكان أخيل تجاوز السلحفاة.
إذا قمنا بتحويل المنطق الذي اعتدنا عليه ، فإن كل شيء يقع في مكانه. يعمل أخيل بسرعة ثابتة. كل جزء لاحق من مساره أقصر بعشر مرات من المقطع السابق. وعليه فإن الوقت الذي يقضيه في التغلب عليه أقل بعشر مرات من الوقت السابق. إذا طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة ، فسيكون من الصحيح أن نقول "سيتفوق أخيل على السلحفاة بسرعة لانهائية."
كيف نتجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابقَ في وحدات زمنية ثابتة ولا تتحول إلى قيم متبادلة. في لغة Zeno ، يبدو الأمر كما يلي:
في الوقت الذي يستغرقه أخيل لتشغيل ألف خطوة ، تزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. خلال الفترة الزمنية التالية ، التي تساوي الأولى ، سيجري أخيل ألف خطوة أخرى ، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. الآن Achilles متقدم بثمانمائة خطوة على السلحفاة.
يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. لكن هذا ليس حلاً كاملاً للمشكلة. إن بيان أينشتاين حول عدم القدرة على التغلب على سرعة الضوء يشبه إلى حد بعيد أبوريا زينو "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة لانهائية ، ولكن بوحدات قياس.
تحكي أبوريا مثيرة أخرى لزينو عن سهم طائر:
السهم الطائر ثابت ، لأنه في حالة راحة في كل لحظة ، ولأنه في حالة راحة في كل لحظة ، فهو دائمًا في حالة راحة.
في هذا الانحراف ، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة من الزمن ، يقع السهم الطائر في نقاط مختلفة في الفضاء ، وهي في الواقع حركة. هناك نقطة أخرى يجب ملاحظتها هنا. من صورة واحدة لسيارة على الطريق ، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد حقيقة حركة السيارة ، يلزم التقاط صورتين من نفس النقطة في نقاط زمنية مختلفة ، لكن لا يمكن استخدامهما لتحديد المسافة. لتحديد المسافة إلى السيارة ، تحتاج إلى صورتين مأخوذة من نقاط مختلفةمساحة في وقت واحد ، لكن من المستحيل تحديد حقيقة الحركة منها (بطبيعة الحال ، لا تزال هناك حاجة إلى بيانات إضافية للحسابات ، وسيساعدك علم المثلثات). ما أريد أن أشير إليه على وجه الخصوص هو أن نقطتين في الوقت ونقطتين في الفضاء هما شيئان مختلفان لا ينبغي الخلط بينهما لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للاستكشاف.
الأربعاء 4 يوليو 2018
جيد جدًا ، تم وصف الاختلافات بين مجموعة و multiset في ويكيبيديا. نحن ننظر.
كما ترى ، "لا يمكن أن تحتوي المجموعة على عنصرين متطابقين" ، ولكن إذا كانت هناك عناصر متطابقة في المجموعة ، فإن هذه المجموعة تسمى "multiset". الكائنات المعقولة لن تفهم أبدًا منطق العبثية هذا. هذا هو مستوى الببغاوات الناطقة والقرود المدربة ، حيث يغيب العقل عن كلمة "تمامًا". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين ، يكرزون لنا بأفكارهم السخيفة.
ذات مرة ، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبارات الجسر. إذا انهار الجسر ، مات المهندس المتوسط تحت أنقاض خليقته. إذا كان الجسر يستطيع تحمل الحمل ، فقد بنى المهندس الموهوب جسورًا أخرى.
بغض النظر عن كيفية إخفاء علماء الرياضيات وراء عبارة "مانعني ، أنا في المنزل" ، أو بالأحرى "الرياضيات تدرس المفاهيم المجردة" ، هناك حبل سري واحد يربطهم ارتباطًا وثيقًا بالواقع. هذا الحبل السري هو المال. ملائم النظرية الرياضيةيحدد لعلماء الرياضيات أنفسهم.
لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن نجلس في مكتب النقدية ندفع الرواتب. هنا يأتي إلينا عالم رياضيات من أجل ماله. نحسب المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة ، حيث نضع سندات من نفس الفئة. ثم نأخذ فاتورة واحدة من كل كومة ونعطي عالم الرياضيات "مجموعة راتبه الرياضي". نوضح الرياضيات أنه سيتلقى بقية الفواتير فقط عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي المجموعة التي تحتوي على عناصر متطابقة. هنا يبدا المرح.
بادئ ذي بدء ، سينجح منطق النواب: "يمكنك تطبيقه على الآخرين ، لكن ليس عليّ!" علاوة على ذلك ، ستبدأ التأكيدات بوجود أرقام مختلفة للأوراق النقدية على الأوراق النقدية من نفس الفئة ، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها عناصر متطابقة. حسنًا ، نحسب الراتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سيبدأ عالم الرياضيات في استدعاء الفيزياء بشكل متشنج: يوجد على عملات معدنية مختلفة كمية مختلفةتعتبر الأوساخ والبنية البلورية والترتيب الذري لكل عملة فريدة من نوعها ...
والآن لدي أكثر اسأل الفائدة: أين هي الحدود التي بعدها تتحول عناصر مجموعة متعددة إلى عناصر من مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان ، والعلم هنا ليس قريبًا.
انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم بنفس مساحة الملعب. مساحة الحقول هي نفسها ، مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا أخذنا في الاعتبار أسماء نفس الملاعب ، فسنحصل على الكثير ، لأن الأسماء مختلفة. كما ترى ، فإن نفس مجموعة العناصر هي مجموعة ومجموعة متعددة في نفس الوقت. كيف الحق؟ وهنا ينسحب عالم الرياضيات الشامان شولر من جعبته ترامب ايسويبدأ بإخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. على أي حال ، سيقنعنا أنه على حق.
لفهم كيف يعمل الشامان الحديثون مع نظرية المجموعات ، وربطها بالواقع ، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم ، بدون أي "لا يمكن تصوره على أنه ليس كل واحد" أو "لا يمكن تصوره ككل واحد".
الأحد 18 مارس 2018
مجموع أرقام العدد هو رقصة الشامان مع الدف ، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم ، في دروس الرياضيات نتعلم أن نجد مجموع أرقام العدد ونستخدمها ، لكنهم شامان لذلك ، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم ، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.
هل تريد إثبات؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد معادلة في الرياضيات يمكنك من خلالها إيجاد مجموع أرقام أي رقم. بعد كل شيء ، الأرقام الرموز الرسومية، بمساعدة التي نكتب بها الأرقام وفي لغة الرياضيات تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم." لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة ، لكن الشامان يمكنهم حلها بشكل أساسي.
دعنا نفهم ماذا نفعل وكيف نفعل لإيجاد مجموع أرقام عدد معين. لذلك ، لنفترض أن لدينا الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا العدد؟ دعنا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.
1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز بياني رقمي. هذه ليست عملية رياضية.
2. قمنا بتقطيع صورة واحدة تم استلامها إلى عدة صور تحتوي على أرقام منفصلة. قص الصورة ليس عملية حسابية.
3. تحويل الأحرف الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.
4. اجمع الأرقام الناتجة. الآن هذه رياضيات.
مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القص والخياطة" من الشامان التي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.
من وجهة نظر الرياضيات ، لا يهم في أي نظام رقمي نكتب الرقم. لذلك ، في أنظمة الأرقام المختلفة ، سيكون مجموع أرقام نفس الرقم مختلفًا. في الرياضيات ، يُشار إلى نظام الأرقام على أنه رمز منخفض على يمين الرقم. مع عدد كبير 12345 لا أريد أن أخدع رأسي ، ضع في اعتبارك الرقم 26 من المقالة حول. لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأعداد الثنائية والثمانية والعشرية والسداسية العشرية. لن نفكر في كل خطوة تحت المجهر ، لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا نلقي نظرة على النتيجة.
كما ترى ، في أنظمة الأرقام المختلفة ، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. يبدو الأمر كما لو أن حساب مساحة المستطيل بالأمتار والسنتيمتر سيعطيك نتائج مختلفة تمامًا.
يبدو الصفر في جميع أنظمة الأرقام متماثلًا ولا يحتوي على مجموع أرقام. هذه حجة أخرى لصالح حقيقة أن. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يُشار في الرياضيات إلى ما ليس رقمًا؟ ماذا بالنسبة لعلماء الرياضيات ، لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ بالنسبة إلى الشامان ، يمكنني السماح بذلك ، لكن بالنسبة للعلماء ، لا. الواقع ليس مجرد أرقام.
يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها كدليل على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس الأرقام. بعد كل شيء ، لا يمكننا مقارنة الأرقام بوحدات قياس مختلفة. إذا كانت نفس الإجراءات بوحدات قياس مختلفة بنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفةبعد مقارنتها ، لا علاقة لها بالرياضيات.
ما هي الرياضيات الحقيقية؟ يحدث هذا عندما لا تعتمد نتيجة إجراء رياضي على قيمة الرقم ، ووحدة القياس المستخدمة ، وعلى من يقوم بهذا الإجراء.
أوه! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحدودة عند الصعود إلى السماء! نيمبوس في الأعلى والسهم لأعلى. أي مرحاض آخر؟
أنثى ... هالة في الأعلى وسهم لأسفل ذكر.
إذا كان لديك مثل هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم ،
إذن فليس من المستغرب أن تجد فجأة أيقونة غريبة في سيارتك:
أنا شخصياً أبذل جهداً على نفسي لأرى أربع درجات تحت الصفر في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تكوين عدة صور: علامة ناقص ، رقم أربعة ، تعيين درجات). وأنا لا أعتبر هذه الفتاة حمقاء لا تعرف الفيزياء. لديها فقط صورة نمطية قوسية لإدراك الصور الرسومية. ويعلمنا علماء الرياضيات هذا طوال الوقت. هنا مثال.
1A ليست "أربع درجات تحت الصفر" أو "واحدة أ". هذا هو "رجل يتغوط" أو الرقم "ستة وعشرون" في نظام الأرقام الست عشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يدركون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.
يعد ضرب عدد صحيح في كسر مهمة بسيطة. لكن هناك بعض التفاصيل الدقيقة التي ربما تكون قد فهمتها في المدرسة ، لكنك نسيتها منذ ذلك الحين.
كيفية ضرب عدد صحيح في كسر - عدد قليل من المصطلحات
إذا كنت تتذكر ما هو البسط والمقام وكيف يختلف الكسر الصحيح عن الكسر غير الصحيح ، فتخط هذه الفقرة. إنه لمن نسوا النظرية تمامًا.
البسط هو الجزء العلويالكسور هي ما نقسمه. المقام هو الجزء السفلي. هذا ما نشاركه.
الكسر المناسب هو الكسر الذي يكون بسطه أقل من المقام. الكسر غير الفعلي هو الكسر الذي بسطه أكبر من أو يساوي المقام.
كيفية ضرب عدد صحيح في كسر
قاعدة ضرب عدد صحيح في كسر بسيطة للغاية - نضرب البسط في العدد الصحيح ولا نلمس المقام. على سبيل المثال: اثنان في خمس - نحصل على خمسين. أربعة في ثلاثة على ستة عشر يساوي اثني عشر على ستة عشر.
تخفيض
في المثال الثاني ، يمكن اختزال الكسر الناتج.
ماذا يعني ذلك؟ لاحظ أن كلًا من بسط هذا الكسر ومقامه يقبل القسمة على أربعة. تسمى قسمة كلا الرقمين على مقسوم مشترك تقليل الكسر. نحصل على ثلاثة أرباع.
الكسور غير الصحيحة
لكن لنفترض أننا نضرب أربعة في اثنين على خمسة. حصلت على ثمانية أخماس. هذا هو الكسر الخطأ.
يجب إحضارها بالشكل الصحيح. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تحديد جزء كامل منه.
هنا تحتاج إلى استخدام القسمة مع الباقي. نحصل على واحد وثلاثة في الباقي.
واحد كامل وثلاثة أخماس هو الكسر الصحيح.
تصحيح خمسة وثلاثين على ثمانية أصعب قليلًا ، أقرب رقم إلى سبعة وثلاثين يقبل القسمة على ثمانية هو اثنان وثلاثون. عند القسمة ، نحصل على أربعة. نطرح 32 من 35 - نحصل على ثلاثة. المحصلة: أربعة كاملة وثلاثة أثمان.
مساواة البسط والمقام. وهنا كل شيء بسيط جدا وجميل. عندما يتساوى البسط والمقام ، تكون النتيجة واحدًا فقط.
§ 87. إضافة الكسور.
إضافة الكسور لها العديد من أوجه التشابه مع إضافة الأعداد الصحيحة. إضافة الكسور هو إجراء يتكون من حقيقة أن عدة أرقام (مصطلحات) يتم دمجها في رقم واحد (مجموع) ، والذي يحتوي على جميع الوحدات وكسور وحدات المصطلحات.
سننظر في ثلاث حالات بدورها:
1. جمع الكسور مع نفس القواسم.
2. جمع الكسور مع قواسم مختلفة.
3. جمع الأعداد الكسرية.
1. جمع كسور لها نفس القواسم.
فكر في مثال: 1/5 + 2/5.
خذ المقطع AB (الشكل 17) ، وخذها كوحدة وقسمها إلى 5 أجزاء متساوية ، ثم سيساوي الجزء AC من هذا المقطع 1/5 من المقطع AB ، والجزء من نفس المقطع CD سيساوي 2/5 AB.
يتضح من الرسم أنه إذا أخذنا المقطع AD ، فسيكون مساوياً لـ 3/5 AB ؛ لكن الجزء AD هو بالضبط مجموع المقاطع AC و CD. لذلك يمكننا أن نكتب:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
بالنظر إلى هذه المصطلحات والمبلغ الناتج ، نرى أنه تم الحصول على بسط المجموع عن طريق إضافة بسط المصطلحات ، وبقي المقام دون تغيير.
من هذا نحصل على القاعدة التالية: لإضافة كسور لها نفس المقامات ، يجب أن تجمع البسط وتترك نفس المقام.
فكر في مثال:
2. جمع الكسور ذات القواسم المختلفة.
دعنا نجمع الكسور: 3/4 + 3/8 أولاً يجب اختزالها إلى القاسم المشترك الأصغر:
متوسط 6/8 + 3/8 لا يمكن كتابتها ؛ لقد كتبناه هنا لمزيد من الوضوح.
لذلك ، لإضافة كسور ذات مقامات مختلفة ، يجب عليك أولاً إحضارهم إلى المقام المشترك الأصغر ، وإضافة البسط والتوقيع على المقام المشترك.
فكر في مثال (سنكتب عوامل إضافية على الكسور المقابلة):
3. جمع الأعداد الكسرية.
لنجمع الأرقام: 2 3/8 + 3 5/6.
دعنا أولاً نحضر الأجزاء الكسرية من أعدادنا إلى مقام مشترك ونعيد كتابتها مرة أخرى:
الآن أضف العدد الصحيح والجزء الكسري بالتسلسل:
§ 88. طرح الكسور.
يتم تعريف طرح الكسور بنفس طريقة طرح الأعداد الصحيحة. هذا إجراء يتم من خلاله العثور على مصطلح آخر ، نظرًا لمجموع فترتين وأحدهما. لننظر في ثلاث حالات بدورها:
1. طرح الكسور من نفس القواسم.
2. طرح الكسور ذات القواسم المختلفة.
3. طرح الأعداد الكسرية.
1. طرح الكسور من نفس القواسم.
فكر في مثال:
13 / 15 - 4 / 15
لنأخذ المقطع AB (الشكل 18) ، ونأخذها كوحدة ونقسمها إلى 15 جزءًا متساويًا ؛ ثم سيكون الجزء AC من هذا المقطع 1/15 من AB ، وسيتوافق الجزء AD من نفس المقطع مع 13/15 AB. لنضع جانبًا مقطعًا آخر ED ، يساوي 4/15 AB.
علينا طرح 4/15 من 13/15. في الرسم ، هذا يعني أنه يجب طرح الجزء ED من المقطع AD. نتيجة لذلك ، سيبقى الجزء AE ، وهو 9/15 من المقطع AB. حتى نتمكن من كتابة:
يوضح المثال الذي قدمناه أنه تم الحصول على بسط الفرق بطرح البسط ، وبقي المقام كما هو.
لذلك ، لطرح الكسور ذات المقامات نفسها ، عليك أن تطرح بسط المطروح من بسط المطروح وتترك نفس المقام.
2. طرح الكسور ذات القواسم المختلفة.
مثال. 3/4 - 5/8
أولاً ، لنختصر هذه الكسور إلى أصغر مقام مشترك:
الرابط الوسيط 6/8 - 5/8 مكتوب هنا للتوضيح ، لكن يمكن تخطيه في المستقبل.
لذلك ، من أجل طرح كسر من كسر ، يجب عليك أولاً إحضاره إلى أصغر مقام مشترك ، ثم طرح بسط المطروح من بسط الحد الأدنى وتوقيع المقام المشترك تحت الفرق بينهما.
فكر في مثال:
3. طرح الأعداد الكسرية.
مثال. 10 3/4 - 7 2/3.
لنجلب الأجزاء الكسرية من المطروح والجزء الفرعي إلى القاسم المشترك الأصغر:
لقد طرحنا الكل من الكل وكسرًا من كسر. ولكن هناك حالات يكون فيها الجزء الكسري من المطروح أكبر من الجزء الكسري من المطروح. في مثل هذه الحالات ، تحتاج إلى أخذ وحدة واحدة من الجزء الصحيح من الجزء المصغر ، وتقسيمها إلى تلك الأجزاء التي يتم فيها التعبير عن الجزء الكسري ، وإضافتها إلى الجزء الكسري من الجزء المصغر. وبعد ذلك سيتم إجراء الطرح بنفس الطريقة كما في المثال السابق:
§ 89. ضرب الكسور.
عند دراسة ضرب الكسور ، سننظر في الأسئلة التالية:
1. ضرب الكسر في عدد صحيح.
2. إيجاد كسر من رقم معين.
3. ضرب عدد صحيح في كسر.
4. ضرب كسر في كسر.
5. ضرب الأعداد الكسرية.
6. مفهوم الفائدة.
7. إيجاد النسب المئوية لعدد معين. دعونا نعتبرها بالتسلسل.
1. ضرب الكسر في عدد صحيح.
ضرب الكسر في عدد صحيح له نفس معنى ضرب عدد صحيح في عدد صحيح. يعني ضرب الكسر (المضاعف) في عدد صحيح (المضاعف) تكوين مجموع المصطلحات المتطابقة ، حيث يكون كل مصطلح مساويًا للمضاعف ، وعدد المصطلحات يساوي المضاعف.
لذلك ، إذا كنت بحاجة إلى ضرب 1/9 في 7 ، فيمكن القيام بذلك على النحو التالي:
لقد حصلنا على النتيجة بسهولة ، حيث تم تقليل الإجراء إلى إضافة كسور لها نفس القواسم. لذلك،
يُظهر النظر في هذا الإجراء أن ضرب الكسر في عدد صحيح يعادل زيادة هذا الكسر عدة مرات حيث توجد وحدات في العدد الصحيح. وبما أن الزيادة في الكسر تتحقق إما بزيادة البسط
أو بإنقاص قاسمها 
، إذن يمكننا إما ضرب البسط في العدد الصحيح ، أو قسمة المقام عليه ، إذا كان مثل هذا القسمة ممكنًا.
من هنا نحصل على القاعدة:
لضرب كسر في عدد صحيح ، تحتاج إلى ضرب البسط في هذا العدد الصحيح وترك المقام كما هو ، أو ، إن أمكن ، قسمة المقام على هذا الرقم ، مع ترك البسط دون تغيير.
عند الضرب ، يمكن استخدام الاختصارات ، على سبيل المثال:
2. إيجاد كسر من رقم معين.هناك العديد من المشاكل التي يجب عليك فيها إيجاد أو حساب جزء من رقم معين. الفرق بين هذه المهام والمهام الأخرى هو أنها تعطي عددًا من العناصر أو وحدات القياس وتحتاج إلى العثور على جزء من هذا الرقم ، والذي يشار إليه أيضًا هنا بجزء معين. لتسهيل الفهم ، سنقدم أولاً أمثلة على مثل هذه المشكلات ، ثم نقدم طريقة حلها.
مهمة 1.كان لدي 60 روبل. 1/3 من هذه الأموال التي أنفقتها على شراء الكتب. كم تكلفة الكتب؟
المهمة 2.يجب أن يقطع القطار المسافة بين المدينتين A و B تساوي 300 كم. لقد قطع بالفعل ثلثي تلك المسافة. كم كيلومتر هذا؟
المهمة 3.يوجد في القرية 400 منزل ، 3/4 منها من الطوب والباقي من الخشب. كم عدد البيوت المبنية من الطوب؟
فيما يلي بعض المشكلات العديدة التي يتعين علينا التعامل معها لإيجاد جزء من رقم معين. يطلق عليهم عادة مشاكل لإيجاد كسر من رقم معين.
حل المشكلة 1.من 60 روبل. قضيت 1/3 على الكتب. لذا ، للعثور على تكلفة الكتب ، عليك قسمة الرقم 60 على 3:
حل المشكلة 2.معنى المشكلة أنك تحتاج إلى إيجاد 2/3 لمسافة 300 كم. احسب 1/3 الأول من 300 ؛ ويتحقق ذلك بقسمة 300 كيلومتر على 3:
300: 3 = 100 (أي 1/3 من 300).
لإيجاد ثلثي 300 ، تحتاج إلى مضاعفة حاصل القسمة الناتج ، أي الضرب في 2:
100 × 2 = 200 (أي 2/3 من 300).
حل المشكلة 3.هنا تحتاج إلى تحديد عدد المنازل المبنية من الطوب ، وهي 3/4 من 400. لنجد أولاً 1/4 من 400 ،
400: 4 = 100 (أي 1/4 من 400).
لحساب ثلاثة أرباع 400 ، يجب مضاعفة حاصل القسمة الناتج ثلاث مرات ، أي مضروبًا في 3:
100 × 3 = 300 (3/4 من 400).
بناءً على حل هذه المشكلات يمكننا استنباط القاعدة التالية:
لإيجاد قيمة كسر من رقم معين ، عليك قسمة هذا الرقم على مقام الكسر وضرب الناتج الناتج في البسط.
3. ضرب عدد صحيح في كسر.
في وقت سابق (§ 26) ، تم التأكد من أن مضاعفة الأعداد الصحيحة يجب أن تُفهم على أنها إضافة مصطلحات متطابقة (5 × 4 \ u003d 5 + 5 + 5 + 5 \ u003d 20). في هذه الفقرة (الفقرة 1) ، تم التأكيد على أن ضرب الكسر في عدد صحيح يعني إيجاد مجموع المصطلحات المتطابقة التي تساوي هذا الكسر.
في كلتا الحالتين ، يتكون الضرب من إيجاد مجموع المصطلحات المتطابقة.
ننتقل الآن إلى ضرب عدد صحيح في كسر. هنا سنلتقي بمثل هذا ، على سبيل المثال ، الضرب: 9 2/3. من الواضح تمامًا أن التعريف السابق للضرب لا ينطبق على هذه الحالة. يتضح هذا من حقيقة أنه لا يمكننا استبدال هذا الضرب بإضافة أعداد متساوية.
لهذا السبب ، سيتعين علينا تقديم تعريف جديد للضرب ، أي بمعنى آخر ، للإجابة على السؤال حول ما يجب فهمه عن طريق الضرب في كسر ، وكيف ينبغي فهم هذا الإجراء.
معنى ضرب عدد صحيح في كسر واضح من التعريف التالي: إن ضرب عدد صحيح (مضاعف) بكسر (مضاعف) يعني إيجاد هذا الكسر من المضاعف.
أي أن ضرب 9 في 2/3 يعني إيجاد 2/3 من تسع وحدات. في الفقرة السابقة تم حل هذه المشاكل. لذلك من السهل معرفة أننا سنحصل على 6
ولكن الآن يطرح سؤال مهم ومثير للاهتمام: لماذا هذا للوهلة الأولى نشاطات متنوعةكيف تجد المجموع أعداد متساويةوإيجاد كسر العدد في الحساب تسمى نفس الكلمة "الضرب"؟
يحدث هذا لأن الإجراء السابق (تكرار الرقم مع المصطلحات عدة مرات) والإجراء الجديد (إيجاد كسر الرقم) يعطي إجابة لأسئلة متجانسة. هذا يعني أننا ننطلق هنا من الاعتبارات القائلة بأن الأسئلة أو المهام المتجانسة يتم حلها من خلال نفس الإجراء.
لفهم هذا ، ضع في اعتبارك المشكلة التالية: "1 متر من القماش يكلف 50 روبل. كم ستكون تكلفة 4 متر من قطعة القماش هذه؟
يتم حل هذه المشكلة بضرب عدد الروبل (50) في عدد الأمتار (4) ، أي 50 × 4 = 200 (روبل).
لنأخذ نفس المشكلة ، ولكن سيتم التعبير عن كمية القماش في صورة عدد كسري: "1 متر من القماش يكلف 50 روبل. كم سيكلف 3/4 م من هذا القماش؟
يجب حل هذه المشكلة أيضًا بضرب عدد الروبل (50) في عدد الأمتار (3/4).
يمكنك أيضًا تغيير الأرقام الموجودة فيه عدة مرات دون تغيير معنى المشكلة ، على سبيل المثال ، خذ 9/10 م أو 2 3/10 م ، إلخ.
نظرًا لأن هذه المشكلات لها نفس المحتوى وتختلف فقط في الأرقام ، فإننا نطلق على الإجراءات المستخدمة في حلها نفس الكلمة - الضرب.
كيف يتم ضرب عدد صحيح في كسر؟
لنأخذ الأرقام التي تمت مواجهتها في المشكلة الأخيرة:
وفقًا للتعريف ، يجب أن نجد 3/4 من 50. أولاً نجد 1/4 من 50 ، ثم 3/4.
1/4 من 50 هي 50/4 ؛
3/4 من 50 هو.
لذلك.
فكر في مثال آخر: 12 5/8 =؟
1/8 من 12 هي 12/8 ،
5/8 من العدد 12 هو.
لذلك،
من هنا نحصل على القاعدة:
لضرب عدد صحيح في كسر ، تحتاج إلى ضرب العدد الصحيح في بسط الكسر وجعل هذا المنتج هو البسط ، وتوقيع مقام الكسر المعطى كمقام.
نكتب هذه القاعدة باستخدام الحروف:
لتوضيح هذه القاعدة تمامًا ، يجب أن نتذكر أنه يمكن اعتبار الكسر حاصلًا للقسمة. لذلك ، من المفيد مقارنة القاعدة التي تم العثور عليها بقاعدة ضرب رقم في حاصل القسمة ، والتي تم تحديدها في الفقرة 38
يجب أن نتذكر أنه قبل إجراء الضرب ، يجب أن تفعل (إن أمكن) التخفيضات، على سبيل المثال:
4. ضرب كسر في كسر.ضرب الكسر في كسر له نفس معنى ضرب عدد صحيح في كسر ، أي عند ضرب كسر في كسر ، تحتاج إلى إيجاد الكسر في المضاعف من الكسر الأول (مضاعف).
أي أن ضرب 3/4 في 1/2 (نصف) يعني إيجاد نصف 3/4.
كيف تضرب كسرًا في كسر؟
لنأخذ مثالاً: 3/4 مرات 5/7. هذا يعني أنك بحاجة إلى إيجاد 5/7 من 3/4. أوجد أول 1/7 من 3/4 ثم 5/7
سيتم التعبير عن 1/7 من 3/4 على النحو التالي:
5/7 الأرقام 3/4 سيتم التعبير عنها على النحو التالي:
هكذا،
مثال آخر: 5/8 ضرب 4/9.
1/9 من 5/8 هو ،
4/9 أرقام 5/8 هي.
هكذا، 
من هذه الأمثلة يمكن استنتاج القاعدة التالية:
لضرب كسر في كسر ، عليك أن تضرب البسط في البسط والمقام في المقام وتجعل حاصل الضرب الأول هو البسط والحاصل الضرب الثاني مقام حاصل الضرب.
هذه هي القاعدة في نظرة عامةيمكن كتابتها على هذا النحو:
عند الضرب ، من الضروري إجراء تخفيضات (إن أمكن). خذ بعين الاعتبار الأمثلة:
5. ضرب الأعداد الكسرية.نظرًا لأنه يمكن بسهولة استبدال الأرقام المختلطة بكسور غير صحيحة ، يتم استخدام هذا الظرف عادةً عند ضرب الأعداد الكسرية. هذا يعني أنه في الحالات التي يتم فيها التعبير عن المضاعف أو المضاعف أو كلا العاملين كأرقام مختلطة ، يتم استبدالهم بكسور غير صحيحة. اضرب ، على سبيل المثال ، الأعداد الكسرية: 2 1/2 و 3 1/5. نحول كل منها إلى كسر غير فعلي ثم نضرب الكسور الناتجة وفقًا لقاعدة ضرب الكسر في كسر:
قاعدة.لضرب الأعداد الكسرية ، يجب أولاً تحويلها إلى كسور غير فعلية ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسر في الكسر.
ملحوظة.إذا كان أحد العوامل عددًا صحيحًا ، فيمكن إجراء الضرب بناءً على قانون التوزيع على النحو التالي:
6. مفهوم الفائدة.عند حل المسائل وإجراء العمليات الحسابية المختلفة ، نستخدم جميع أنواع الكسور. لكن يجب على المرء أن يضع في اعتباره أن العديد من الكميات لا تقبل أي تقسيمات فرعية طبيعية لها. على سبيل المثال ، يمكنك أن تأخذ مائة (1/100) من الروبل ، فستكون بنسًا واحدًا ، ومئتان تساوي 2 كوبيل ، وثلاث مائة تساوي 3 كوبيل. يمكنك أن تأخذ 1/10 من الروبل ، سيكون "10 كوبيل ، أو عشرة سنتات. يمكنك أن تأخذ ربع الروبل ، أي 25 كوبيل ، نصف روبل ، أي 50 كوبيل (خمسون كوبيل). لكنهم لا يفعلون ذلك عمليًا. لنأخذ ، على سبيل المثال ، 2/7 روبل لأن الروبل لا يقسم إلى سبعة.
تسمح وحدة قياس الوزن ، أي الكيلوغرام ، أولاً وقبل كل شيء ، بالتقسيمات العشرية ، على سبيل المثال ، 1/10 كجم ، أو 100 جم. وكسور الكيلوغرام مثل 1/6 ، 1/11 ، 1 / 13 غير شائعة.
بشكل عام ، تكون مقاييسنا (المترية) عشرية وتسمح بالتقسيمات الفرعية العشرية.
ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أنه من المفيد للغاية والملائم في مجموعة متنوعة من الحالات استخدام نفس الطريقة (الموحدة) لتقسيم الكميات. سنوات من الخبرةأظهر أن مثل هذا التقسيم المبرر هو تقسيم "المئات". لنأخذ في الاعتبار بعض الأمثلة المتعلقة بأكثر مجالات الممارسة البشرية تنوعًا.
1. انخفض سعر الكتب بنسبة 12/100 عن السعر السابق.
مثال. السعر السابق للكتاب 10 روبل. نزلت بمقدار 1 روبل. 20 كوب.
2. تقوم بنوك الادخار خلال العام بدفع 2/100 للمودعين من المبلغ الذي يتم ادخاره.
مثال. يتم وضع 500 روبل في مكتب النقدية ، والدخل من هذا المبلغ للسنة هو 10 روبل.
3. بلغ عدد خريجي مدرسة واحدة 5/100 من إجمالي عدد الطلاب.
مثال فقط 1200 طالب درسوا في المدرسة ، 60 منهم تخرجوا من المدرسة.
يُطلق على المائة من الرقم نسبة مئوية..
كلمة "النسبة المئوية" مستعارة من لاتينيوجذره "سنت" يعني مائة. مع حرف الجر (pro centum) ، هذه الكلمة تعني "لمائة". يأتي معنى هذا التعبير من حقيقة أنه في البداية في روما القديمة كانت الفائدة هي الأموال التي يدفعها المدين للمقرض "لكل مائة". يتم سماع كلمة "cent" في مثل هذه الكلمات المألوفة: centner (مائة كيلوغرام) ، السنتيمتر (يقولون سم).
على سبيل المثال ، بدلاً من القول إن المصنع أنتج 1/100 من جميع المنتجات التي أنتجها خلال الشهر الماضي ، سنقول هذا: أنتج المصنع واحد بالمائة من المرفوضات خلال الشهر الماضي. وبدلاً من القول: أنتج المصنع 4/100 منتجًا أكثر من الخطة الموضوعة ، سنقول: المصنع تجاوز الخطة بنسبة 4 بالمائة.
يمكن التعبير عن الأمثلة المذكورة أعلاه بشكل مختلف:
1. انخفض سعر الكتب بنسبة 12 بالمائة عن السعر السابق.
2. تدفع بنوك الادخار للمودعين 2 في المائة سنويًا من المبلغ الذي يتم توفيره في المدخرات.
3. بلغ عدد خريجي مدرسة واحدة 5٪ من مجموع الطلاب في المدرسة.
لتقصير الحرف ، من المعتاد كتابة علامة٪ بدلاً من كلمة "نسبة مئوية".
ومع ذلك ، يجب أن نتذكر أن علامة النسبة المئوية لا تُكتب عادةً في الحسابات ، ويمكن كتابتها في بيان المشكلة وفي النتيجة النهائية. عند إجراء العمليات الحسابية ، تحتاج إلى كتابة كسر مقامه 100 بدلاً من كتابة عدد صحيح باستخدام هذه الأيقونة.
يجب أن تكون قادرًا على استبدال عدد صحيح بالأيقونة المحددة بكسر مقام 100:
بالمقابل ، يجب أن تعتاد على كتابة عدد صحيح بالأيقونة المشار إليها بدلاً من كسر مقامه 100:
7. إيجاد النسب المئوية لعدد معين.
مهمة 1.استقبلت المدرسة 200 متر مكعب. متر من الحطب ، مع حطب خشب البتولا الذي يمثل 30 ٪. كم كان خشب البتولا هناك؟
معنى هذه المشكلة هو أن حطب البتولا لم يكن سوى جزء من الحطب الذي تم تسليمه إلى المدرسة ، ويتم التعبير عن هذا الجزء كجزء من 30/100. لذا ، فإننا نواجه مهمة إيجاد كسر من رقم. لحلها ، يجب علينا ضرب 200 في 30/100 (يتم حل المهام الخاصة بإيجاد كسر الرقم بضرب رقم في كسر.).
إذن 30٪ من 200 يساوي 60.
يمكن تقليل الكسر 30/100 الذي تم العثور عليه في هذه المشكلة بمقدار 10. سيكون من الممكن إجراء هذا التخفيض من البداية ؛ لن يتغير حل المشكلة.
المهمة 2.كان هناك 300 طفل من مختلف الأعمار في المخيم. الأطفال بعمر 11 سنة 21٪ ، الأطفال بعمر 12 سنة 61٪ وأخيراً 13 سنة 18٪. كم عدد الأطفال من كل عمر في المخيم؟
في هذه المشكلة ، تحتاج إلى إجراء ثلاث عمليات حسابية ، أي إيجاد عدد الأطفال الذين تبلغ أعمارهم 11 عامًا ، ثم 12 عامًا ، وأخيرًا 13 عامًا.
لذا ، من الضروري هنا إيجاد كسر للعدد ثلاث مرات. دعنا نقوم به:
1) كم يبلغ عدد الأطفال 11 سنة؟
2) كم عدد الأطفال بعمر 12 سنة؟
3) كم يبلغ عدد الأطفال 13 سنة؟
بعد حل المشكلة ، من المفيد إضافة الأرقام الموجودة ؛ يجب أن يكون مجموعهم 300:
63 + 183 + 54 = 300
يجب أيضًا الانتباه إلى حقيقة أن مجموع النسب المئوية المعطاة في حالة المشكلة هو 100:
21% + 61% + 18% = 100%
هذا يشير إلى أن الرقم الإجماليتم أخذ الأطفال الذين كانوا في المخيم بنسبة 100٪.
3 أ دا تشا 3.تلقى العامل 1200 روبل شهريًا. ومن بين هؤلاء ، أنفق 65٪ على الطعام ، و 6٪ على الشقة والتدفئة ، و 4٪ على الغاز والكهرباء والراديو ، و 10٪ على الاحتياجات الثقافية و 15٪ على الادخار. ما مقدار الأموال التي تم إنفاقها على الاحتياجات المشار إليها في المهمة؟
لحل هذه المسألة ، عليك إيجاد كسر من العدد 1200 5 مرات ، لنفعل ذلك.
1) ما مقدار المال الذي يتم إنفاقه على الطعام؟ تقول المهمة أن هذه المصروفات تمثل 65٪ من إجمالي الأرباح ، أي 65/100 من العدد 1200. لنقم بالحساب:
2) كم من المال تم دفعه لشقة مع تدفئة؟ بجدل مثل السابق ، نصل إلى الحساب التالي:
3) كم من المال دفعته مقابل الغاز والكهرباء والراديو؟
4) ما مقدار الأموال التي يتم إنفاقها على الاحتياجات الثقافية؟
5) كم من المال ادخر العامل؟
للتحقق ، من المفيد إضافة الأرقام الموجودة في هذه الأسئلة الخمسة. يجب أن يكون المبلغ 1200 روبل. يتم أخذ جميع الأرباح على أنها 100٪ ، وهو أمر يسهل التحقق منه عن طريق إضافة النسب المئوية الواردة في بيان المشكلة.
لقد حللنا ثلاث مشاكل. على الرغم من أن هذه المهام كانت تتعلق بأمور مختلفة (توصيل الحطب للمدرسة ، وعدد الأطفال من مختلف الأعمار ، ونفقات العامل) ، فقد تم حلها بنفس الطريقة. حدث هذا لأنه كان من الضروري في جميع المهام العثور على نسبة قليلة من الأرقام المحددة.
§ 90. تقسيم الكسور.
عند دراسة قسمة الكسور ، سننظر في الأسئلة التالية:
1. قسّم عددًا صحيحًا على عدد صحيح.
2. قسمة الكسر على عدد صحيح
3. قسمة عدد صحيح على كسر.
4. قسمة الكسر على كسر.
5. تقسيم الأعداد الكسرية.
6. إيجاد رقم بمعلومية كسره.
7. إيجاد رقم بنسبته المئوية.
دعونا نعتبرها بالتسلسل.
1. قسّم عددًا صحيحًا على عدد صحيح.
كما هو موضح في قسم الأعداد الصحيحة ، فإن القسمة هي الإجراء الذي يتكون من حقيقة أنه ، بالنظر إلى ناتج عاملين (المقسوم) وأحد هذه العوامل (المقسوم) ، تم العثور على عامل آخر.
قسمة عدد صحيح على عدد صحيح اعتبرناه في قسم الأعداد الصحيحة. التقينا هناك حالتين من الانقسام: قسمة بدون باقي ، أو "بالكامل" (150: 10 = 15) ، والقسمة مع الباقي (100: 9 = 11 و 1 في الباقي). لذلك يمكننا القول أنه في عالم الأعداد الصحيحة ، ليس من الممكن دائمًا القسمة الدقيقة ، لأن المقسوم ليس دائمًا حاصل ضرب المقسوم عليه والعدد الصحيح. بعد إدخال الضرب على الكسر ، يمكننا اعتبار أي حالة من حالات قسمة الأعداد الصحيحة قدر الإمكان (يتم استبعاد القسمة على الصفر فقط).
على سبيل المثال ، قسمة 7 على 12 يعني إيجاد رقم يكون حاصل ضربه في 12 هو 7. هذا الرقم هو الكسر 7/12 لأن 7/12 12 = 7. مثال آخر: 14: 25 = 14/25 لأن 14/25 25 = 14.
وبالتالي ، لقسمة عدد صحيح على عدد صحيح ، تحتاج إلى عمل كسر ، بسطه يساوي المقسوم ، والمقام هو المقسوم عليه.
2. قسمة الكسر على عدد صحيح.
اقسم الكسر 6/7 على 3. وفقًا لتعريف القسمة الموضح أعلاه ، لدينا هنا المنتج (6/7) وأحد العوامل (3) ؛ مطلوب إيجاد عامل ثانٍ ، عند ضربه في 3 ، سيعطي المنتج المحدد 6/7. من الواضح أنه يجب أن يكون أصغر بثلاث مرات من هذا المنتج. هذا يعني أن المهمة التي أمامنا كانت تقليل الكسر 6/7 بمقدار 3 مرات.
نعلم بالفعل أنه يمكن تصغير الكسر إما بإنقاص البسط أو زيادة مقامه. لذلك يمكنك كتابة:
في هذه الحالة ، البسط 6 يقبل القسمة على 3 ، لذلك يجب تقليل البسط بمقدار 3 مرات.
لنأخذ مثالًا آخر: 5/8 مقسومًا على 2. هنا البسط 5 غير قابل للقسمة على 2 ، مما يعني أنه يجب ضرب المقام في هذا الرقم:
وبناءً على ذلك يمكننا أن نذكر القاعدة: لقسمة كسر على عدد صحيح ، تحتاج إلى قسمة بسط الكسر على هذا العدد الصحيح(إذا كان ذلك ممكنا)، مع ترك نفس المقام ، أو اضرب مقام الكسر في هذا العدد ، مع ترك نفس البسط.
3. قسمة عدد صحيح على كسر.
دعنا نطلب قسمة 5 على 1/2 ، أي العثور على رقم ، بعد ضربه في 1/2 ، سيعطي المنتج 5. من الواضح أن هذا الرقم يجب أن يكون أكبر من 5 ، لأن 1/2 هو كسر صحيح ، وعند ضرب رقم في كسر مناسب ، يجب أن يكون حاصل الضرب أقل من المضاعف. لتوضيح الأمر ، دعنا نكتب أفعالنا على النحو التالي: 5: 1/2 = X ، لذلك × 1/2 \ u003d 5.
يجب أن نجد مثل هذا الرقم X ، والتي ، عند ضربها في 1/2 ، تعطي 5. بما أن ضرب رقم معين في 1/2 يعني إيجاد 1/2 من هذا العدد ، إذن ، 1/2 من الرقم المجهول X هو 5 والعدد الصحيح X ضعف ذلك ، أي 5 2 \ u003d 10.
إذن 5: 1/2 = 5 2 = 10
دعونا تحقق: 
لنفكر في مثال آخر. دعه يطلب قسمة 6 على 2/3. دعنا نحاول أولاً العثور على النتيجة المرجوة باستخدام الرسم (الشكل 19).
الشكل 19
ارسم قطعة AB ، تساوي 6 من بعض الوحدات ، وقسم كل وحدة إلى 3 أجزاء متساوية. في كل وحدة ، ثلاثة أثلاث (3/3) في المقطع AB بأكمله أكبر 6 مرات ، أي هـ. 18/3. نحن نتواصل بمساعدة الأقواس الصغيرة التي تم الحصول عليها 18 مقطعًا من 2 ؛ سيكون هناك 9 أجزاء فقط. هذا يعني أن الكسر 2/3 موجود في وحدات b 9 مرات ، أو بعبارة أخرى ، الكسر 2/3 أقل 9 مرات من 6 وحدات صحيحة. لذلك،
كيف تحصل على هذه النتيجة بدون رسم باستخدام الحسابات فقط؟ سنناقش على النحو التالي: مطلوب قسمة 6 على 2/3 ، أي مطلوب الإجابة على السؤال ، كم مرة يتم احتواء 2/3 في 6. دعنا نكتشف أولاً: كم مرة هو 1/3 الواردة في 6؟ في الوحدة الكاملة - 3 أثلاث ، وفي 6 وحدات - 6 مرات أكثر ، أي 18 ثلثًا ؛ لإيجاد هذا الرقم ، يجب أن نضرب 6 في 3. وبالتالي ، يتم احتواء 1/3 في وحدات b 18 مرة ، و 2/3 موجود في وحدات b ليس 18 مرة ، ولكن نصف عدد المرات ، أي 18: 2 = 9 لذلك ، عند قسمة 6 على 2/3 فعلنا ذلك الإجراءات التالية:
من هنا نحصل على قاعدة قسمة عدد صحيح على كسر. لقسمة عدد صحيح على كسر ، تحتاج إلى ضرب هذا العدد الصحيح في مقام الكسر المحدد ، وجعل هذا المنتج هو البسط ، وقسمته على بسط الكسر المحدد.
نكتب القاعدة بالحروف:
لتوضيح هذه القاعدة تمامًا ، يجب أن نتذكر أنه يمكن اعتبار الكسر حاصلًا للقسمة. لذلك ، من المفيد مقارنة القاعدة التي تم العثور عليها بقاعدة قسمة رقم على حاصل القسمة ، والتي تم تحديدها في الفقرة 38. لاحظ أنه تم الحصول على نفس الصيغة هناك.
عند القسمة ، يمكن استخدام الاختصارات ، على سبيل المثال:
4. قسمة الكسر على كسر.
دعه مطلوبًا لتقسيم 3/4 على 3/8. ماذا سيشير إلى الرقم الذي سيتم الحصول عليه نتيجة القسمة؟ سيجيب على السؤال: كم مرة يحتوي الكسر 3/8 في الكسر 3/4. لفهم هذه المشكلة ، دعنا نرسم (الشكل 20).
خذ المقطع AB ، واعتبره وحدة ، وقسمه إلى 4 أجزاء متساوية وحدد 3 أجزاء من هذا القبيل. سيساوي الجزء AC 3/4 الجزء AB. دعونا الآن نقسم كل جزء من الأجزاء الأربعة الأولية إلى نصفين ، ثم يتم تقسيم الجزء AB إلى 8 أجزاء متساوية وسيكون كل جزء مساويًا لـ 1/8 من المقطع AB. نقوم بتوصيل 3 مقاطع من هذا القبيل بأقواس ، ثم يكون كل جزء من المقاطع AD و DC مساوياً لـ 3/8 من المقطع AB. يوضح الرسم أن الجزء الذي يساوي 3/8 موجود في المقطع الذي يساوي 3/4 مرتين بالضبط ؛ لذلك يمكن كتابة نتيجة القسمة على النحو التالي:
3 / 4: 3 / 8 = 2
لنفكر في مثال آخر. فليطلب قسمة 15/16 على 3/32:
يمكننا أن نفكر على هذا النحو: نحتاج إلى إيجاد رقم ، بعد ضربه في 3/32 ، سيعطي حاصلًا يساوي 15/16. لنكتب الحسابات مثل هذا:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 رقم غير معروف X مكياج 15/16
1/32 رقم غير معروف X يكون ،
32/32 رقمًا X ماكياج .
لذلك،
وهكذا ، لقسمة كسر على كسر ، تحتاج إلى ضرب بسط الكسر الأول في مقام الكسر الثاني ، وضرب مقام الكسر الأول في بسط الثاني ، وجعل حاصل الضرب الأول هو البسط والبسط. ثاني المقام.
لنكتب القاعدة باستخدام الحروف:
عند القسمة ، يمكن استخدام الاختصارات ، على سبيل المثال:
5. تقسيم الأعداد الكسرية.
عند قسمة الأعداد الكسرية ، يجب أولاً تحويلها إلى كسور غير صحيحة ، ومن ثم يجب تقسيم الكسور الناتجة وفقًا لقواعد قسمة الأعداد الكسرية. فكر في مثال:
تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية:
الآن دعنا نقسم:
وبالتالي ، لتقسيم الأعداد الكسرية ، تحتاج إلى تحويلها إلى كسور غير صحيحة ثم القسمة وفقًا لقاعدة قسمة الكسور.
6. إيجاد رقم بمعلومية كسره.
من بين المهام المختلفة على الكسور ، هناك أحيانًا تلك التي يتم فيها إعطاء قيمة جزء من عدد غير معروف ويكون مطلوبًا للعثور على هذا الرقم. هذا النوع من المسائل سيكون معكوسًا لمشكلة إيجاد كسر من رقم معين ؛ تم إعطاء رقم وكان مطلوبًا العثور على جزء من هذا الرقم ، هنا تم إعطاء كسر من رقم ومطلوب لإيجاد هذا الرقم نفسه. ستصبح هذه الفكرة أكثر وضوحًا إذا لجأنا إلى حل هذا النوع من المشاكل.
مهمة 1.في اليوم الأول ، قامت الزجاجات بزجاج 50 نافذة ، أي 1/3 من جميع نوافذ المنزل المبني. كم عدد النوافذ في هذا المنزل؟
حل.تشير المشكلة إلى أن 50 نافذة زجاجية تشكل ثلث جميع نوافذ المنزل ، مما يعني أن هناك نوافذ أكثر بثلاث مرات في المجموع ، أي
كان المنزل يحتوي على 150 نافذة.
المهمة 2.باع المحل 1500 كيلوغرام من الدقيق ، أي 3/8 من إجمالي مخزون الدقيق في المحل. ما هو العرض الأولي للدقيق من المتجر؟
حل.يتضح من حالة المشكلة أن 1500 كجم من الدقيق المباع تشكل 3/8 من إجمالي المخزون ؛ هذا يعني أن 1/8 من هذا السهم سيكون أقل بثلاث مرات ، أي لحسابه ، تحتاج إلى تقليل 1500 بمقدار 3 مرات:
1500: 3 = 500 (أي 1/8 السهم).
من الواضح أن المخزون بالكامل سيكون أكبر بمقدار 8 مرات. لذلك،
500 8 = 4000 (كجم).
كان العرض الأولي للدقيق في المتجر 4000 كجم.
من خلال النظر في هذه المشكلة ، يمكن استنتاج القاعدة التالية.
لإيجاد رقم بقيمة معينة من كسره ، يكفي قسمة هذه القيمة على بسط الكسر وضرب الناتج في مقام الكسر.
حللنا مشكلتين لإيجاد عدد بمعلومية كسره. يتم حل مثل هذه المشكلات ، كما هو واضح بشكل خاص من المشكلة الأخيرة ، من خلال إجراءين: القسمة (عند العثور على جزء واحد) والضرب (عند العثور على العدد الصحيح).
ومع ذلك ، بعد أن درسنا تقسيم الكسور ، يمكن حل المشكلات المذكورة أعلاه في إجراء واحد ، وهو: القسمة على كسر.
على سبيل المثال ، يمكن حل المهمة الأخيرة في إجراء واحد مثل هذا:
في المستقبل ، سنحل مشكلة إيجاد رقم بكسره في إجراء واحد - القسمة.
7. إيجاد رقم بنسبته المئوية.
في هذه المهام ، ستحتاج إلى العثور على رقم ، مع معرفة نسبة مئوية قليلة من هذا الرقم.
مهمة 1.في بداية هذا العام ، تلقيت 60 روبل من بنك التوفير. الدخل من المبلغ الذي أدخلته في المدخرات قبل عام. كم من المال وضعته في بنك التوفير؟ (تمنح المكاتب النقدية المودعين 2٪ من الدخل سنويًا).
معنى المشكلة هو أن مبلغًا معينًا من المال تم وضعه من قبلي في بنك التوفير ووضعه هناك لمدة عام. بعد عام ، تلقيت 60 روبل منها. الدخل ، وهو 2/100 من الأموال التي أضعها. كم من المال قمت بإيداعه؟
لذلك ، بمعرفة جزء هذا المال ، معبراً عنه بطريقتين (بالروبل والكسور) ، يجب أن نجد المبلغ بالكامل ، غير المعروف حتى الآن. هذه مشكلة عادية لإيجاد رقم بمعلومية كسره. يتم حل المهام التالية عن طريق التقسيم:
لذلك ، تم وضع 3000 روبل في بنك الادخار.
المهمة 2.في غضون أسبوعين ، حقق الصيادون الخطة الشهرية بنسبة 64٪ بعد أن أعدوا 512 طنًا من الأسماك. ماذا كانت خطتهم؟
من حالة المشكلة ، من المعروف أن الصيادين أكملوا جزءًا من الخطة. هذا الجزء يساوي 512 طن أي 64٪ من الخطة. كم أطنان من الأسماك يجب حصادها وفقًا للخطة ، لا نعرف. سيتكون حل المشكلة من إيجاد هذا الرقم.
يتم حل هذه المهام عن طريق قسمة:
لذلك ، وفقًا للخطة ، تحتاج إلى تحضير 800 طن من الأسماك.
المهمة 3.ذهب القطار من ريغا إلى موسكو. عندما تجاوز الكيلومتر 276 ، سأل أحد الركاب المحصل المار عن مقدار الرحلة التي قطعوها بالفعل. أجاب المحصل على ذلك: "لقد غطينا بالفعل 30٪ من الرحلة بأكملها." ما هي المسافة من ريغا الى موسكو؟
يتضح من حالة المشكلة أن 30٪ من الرحلة من ريغا إلى موسكو تبلغ 276 كم. نحتاج إلى إيجاد المسافة الكاملة بين هذه المدن ، أي في هذا الجزء ، أوجد الكل:
§ 91. الأعداد المتبادلة. استبدال القسمة بالضرب.
خذ الكسر 2/3 وأعد ترتيب البسط إلى مكان المقام ، نحصل على 3/2. حصلنا على كسر ، مقلوب هذا الكسر.
من أجل الحصول على مقلوب كسر لكسر ما ، عليك أن تضع بسطه مكان المقام ، والمقام مكان البسط. بهذه الطريقة ، يمكننا الحصول على كسر هو مقلوب أي كسر. على سبيل المثال:
3/4 ، عكس 4/3 ؛ 5/6 ، عكس 6/5
يسمى كسران لهما خاصية أن بسط الأول هو مقام الثاني ومقام الأول هو بسط الثاني. متبادل معكوس.
لنفكر الآن في الكسر الذي سيكون مقلوب 1/2. من الواضح أنه سيكون 2/1 ، أو 2. عند البحث عن مقلوب هذا ، حصلنا على عدد صحيح. وهذه الحالة ليست معزولة. على العكس من ذلك ، بالنسبة لجميع الكسور ذات البسط 1 (واحد) ، سيكون المقلوب أعدادًا صحيحة ، على سبيل المثال:
1/3 ، معكوس 3 ؛ 1/5 ، عكس 5
نظرًا لأننا التقينا أيضًا بأعداد صحيحة عند إيجاد المعادلات ، فلن نتحدث في المستقبل عن المعاملة بالمثل ، بل عن المعاملة بالمثل.
لنتعرف على كيفية كتابة مقلوب عدد صحيح. بالنسبة للكسور ، يتم حل ذلك ببساطة: تحتاج إلى وضع المقام في مكان البسط. بنفس الطريقة ، يمكنك الحصول على مقلوب عدد صحيح ، لأن أي عدد صحيح يمكن أن يكون له مقام 1. لذلك ، مقلوب 7 سيكون 1/7 ، لأن 7 \ u003d 7/1 ؛ بالنسبة للرقم 10 ، يكون العكس هو 1/10 لأن 10 = 10/1
يمكن التعبير عن هذه الفكرة بطريقة أخرى: يتم الحصول على مقلوب رقم معين بقسمة واحد على الرقم المحدد. هذه العبارة صحيحة ليس فقط للأعداد الصحيحة ، ولكن أيضًا على الكسور. في الواقع ، إذا كنت تريد كتابة رقم مقلوب للكسر 5/9 ، فيمكننا أخذ 1 وقسمته على 5/9 ، أي
الآن دعنا نشير إلى واحد ملكيةأرقام متبادلة متبادلة ، والتي ستكون مفيدة لنا: حاصل ضرب الأعداد المتبادلة يساوي واحدًا.بالفعل:
باستخدام هذه الخاصية ، يمكننا إيجاد المعادلات بالطريقة التالية. لنوجد مقلوب 8.
دعنا نشير إليها بالحرف X ، ثم 8 X = 1 ، وبالتالي X = 1/8. لنجد رقمًا آخر ، وهو معكوس 7/12 ، ونرمز إليه بحرف X ، ثم 7/12 X = 1 ، وبالتالي X = 1: 7/12 أو X = 12 / 7 .
قدمنا هنا مفهوم الأعداد المتبادلة من أجل استكمال المعلومات حول قسمة الكسور بشكل طفيف.
عندما نقسم الرقم 6 على 3/5 ، فإننا نقوم بما يلي:
انتبه بشكل خاص للتعبير وقارنه بالتعبير المعطى:.
إذا أخذنا التعبير بشكل منفصل ، دون الاتصال بالتعبير السابق ، فمن المستحيل حل السؤال من أين أتى: من قسمة 6 على 3/5 أو من ضرب 6 في 5/3. في كلتا الحالتين النتيجة واحدة. لذلك يمكننا القول أن قسمة رقم على آخر يمكن استبدالها بضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.
الأمثلة التي نقدمها أدناه تؤكد تمامًا هذا الاستنتاج.
ضرب الكسور العادية
تأمل في مثال.
يجب أن يكون هناك $ \ frac (1) (3) $ جزء من تفاحة على الطبق. نحتاج إلى إيجاد الجزء $ \ frac (1) (2) $ منه. الجزء المطلوب هو نتيجة ضرب الكسور $ \ frac (1) (3) $ و $ \ frac (1) (2) $. نتيجة ضرب كسرين مشتركين هي كسر مشترك.
ضرب كسرين مشتركين
قاعدة لضرب الكسور العادية:
ناتج ضرب الكسر في كسر هو كسر بسطه يساوي حاصل ضرب بسط الكسور المضاعفة ، والمقام يساوي حاصل ضرب المقامين:
مثال 1
اضرب الكسور العادية $ \ frac (3) (7) $ و $ \ frac (5) (11) $.
حل.
دعنا نستخدم قاعدة ضرب الكسور العادية:
\ [\ frac (3) (7) \ cdot \ frac (5) (11) = \ frac (3 \ cdot 5) (7 \ cdot 11) = \ frac (15) (77) \]
إجابة:$ \ frac (15) (77) $
إذا تم الحصول على كسر قابل للإلغاء أو غير مناسب نتيجة ضرب الكسور ، فمن الضروري تبسيطه.
مثال 2
اضرب الكسور $ \ frac (3) (8) $ و $ \ frac (1) (9) $.
حل.
نستخدم قاعدة ضرب الكسور العادية:
\ [\ frac (3) (8) \ cdot \ frac (1) (9) = \ frac (3 \ cdot 1) (8 \ cdot 9) = \ frac (3) (72) \]
نتيجة لذلك ، حصلنا على كسر قابل للاختزال (على أساس القسمة على $ 3 $. اقسم البسط والمقام على 3 $ ، نحصل على:
\ [\ frac (3) (72) = \ frac (3: 3) (72: 3) = \ frac (1) (24) \]
حل قصير:
\ [\ frac (3) (8) \ cdot \ frac (1) (9) = \ frac (3 \ cdot 1) (8 \ cdot 9) = \ frac (3) (72) = \ frac (1) (24) \]
إجابة:$ \ frac (1) (24). $
عند ضرب الكسور ، يمكنك اختزال البسط والمقام لإيجاد حاصل ضربهم. في هذه الحالة ، يتحلل البسط والمقام في الكسر إلى العوامل الأوليةوبعد ذلك يتم تقليل العوامل المتكررة وإيجاد النتيجة.
مثال 3
احسب حاصل ضرب الكسور $ \ frac (6) (75) $ و $ \ frac (15) (24) $.
حل.
دعنا نستخدم صيغة ضرب الكسور العادية:
\ [\ frac (6) (75) \ cdot \ frac (15) (24) = \ frac (6 \ cdot 15) (75 \ cdot 24) \]
من الواضح أن البسط والمقام يحتويان على أرقام يمكن اختزالها في أزواج بالأرقام $ 2 $ و 3 $ و 5 $. نقوم بتحليل البسط والمقام إلى عوامل بسيطة ونقوم بالاختزال:
\ [\ frac (6 \ cdot 15) (75 \ cdot 24) = \ frac (2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5) (3 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3) = \ frac (1) (5 \ cdot 2 \ cdot 2) = \ frac (1) (20) \]
إجابة:$ \ frac (1) (20). $
عند ضرب الكسور ، يمكن تطبيق قانون الاستبدال:
ضرب كسر في عدد طبيعي
قاعدة ضرب الكسر العادي في عدد طبيعي:
ناتج ضرب الكسر في رقم طبيعي هو كسر فيه البسط يساوي حاصل ضرب بسط الكسر المضاعف في العدد الطبيعي ، والمقام يساوي مقام الكسر المضاعف:
حيث $ \ frac (a) (b) $ كسر شائع ، $ n $ رقم طبيعي.
مثال 4
اضرب الكسر $ \ frac (3) (17) $ ب 4 $.
حل.
دعنا نستخدم قاعدة ضرب الكسر العادي في عدد طبيعي:
\ [\ frac (3) (17) \ cdot 4 = \ frac (3 \ cdot 4) (17) = \ frac (12) (17) \]
إجابة:$ \ frac (12) (17). $
لا تنسَ التحقق من نتيجة الضرب من أجل تقلص جزء أو كسر غير صحيح.
مثال 5
اضرب الكسر $ \ frac (7) (15) $ ب 3 $.
حل.
لنستخدم صيغة ضرب الكسر في عدد طبيعي:
\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (21) (15) \]
وفقًا لمعيار القسمة على الرقم $ 3) ، يمكن تحديد أنه يمكن تقليل الكسر الناتج:
\ [\ frac (21) (15) = \ frac (21: 3) (15: 3) = \ frac (7) (5) \]
النتيجة هي كسر غير فعلي. لنأخذ الجزء كله:
\ [\ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]
حل قصير:
\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (21) (15) = \ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]
كان من الممكن أيضًا تقليل الكسور عن طريق استبدال الأرقام الموجودة في البسط والمقام بتوسيعها إلى عوامل أولية. في هذه الحالة ، يمكن كتابة الحل على النحو التالي:
\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (7 \ cdot 3) (3 \ cdot 5) = \ frac (7) (5) = 1 \ فارك (2) (5) \]
إجابة:$ 1 \ frac (2) (5). $
عند ضرب كسر في رقم طبيعي ، يمكنك استخدام القانون التبادلي:
قسمة الكسور العادية
عملية القسمة هي معكوس الضرب ونتيجتها هي كسر تحتاج فيه إلى ضرب كسر معروف للحصول على ناتج معروف لكسرين.
قسمة كسرين مشتركين
قاعدة قسمة الكسور العادية:من الواضح أن بسط ومقام الكسر الناتج يمكن أن يتحلل إلى عوامل بسيطة ويختصر:
\ [\ frac (8 \ cdot 35) (15 \ cdot 12) = \ frac (2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 5 \ cdot 7) (3 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3) = \ frac (2 \ cdot 7) (3 \ cdot 3) = \ frac (14) (9) \]
نتيجة لذلك ، حصلنا على كسر غير فعلي ، نختار منه الجزء الصحيح:
\ [\ frac (14) (9) = 1 \ frac (5) (9) \]
إجابة:$ 1 \ frac (5) (9). $