إن ضرب عدد صحيح في كسر ليس بالمهمة الصعبة. ولكن هناك بعض التفاصيل الدقيقة التي ربما تكون قد فهمتها في المدرسة، ولكنك نسيتها منذ ذلك الحين.
كيفية ضرب عدد صحيح في كسر - بعض المصطلحات
إذا كنت تتذكر ما هو البسط والمقام وكيف يختلف الكسر الصحيح عن الكسر غير الحقيقي، فتخط هذه الفقرة. إنه لأولئك الذين نسوا النظرية تمامًا.
البسط هو الجزء العلويالكسور هي ما نقسمه. المقام أقل. وهذا هو ما نقسم عليه.
الكسر الصحيح هو الذي بسطه أقل من مقامه. الكسر غير الحقيقي هو الذي بسطه أكبر من أو يساوي مقامه.
كيفية ضرب عدد صحيح في كسر
إن قاعدة ضرب عدد صحيح في كسر بسيطة للغاية - فنحن نضرب البسط في العدد الصحيح، لكن لا نلمس المقام. على سبيل المثال: اثنان مضروبًا في الخمس - نحصل على خمسين. أربعة في ثلاثة على ستة عشر يساوي اثني عشر على ستة عشر.
تخفيض
وفي المثال الثاني، يمكن تقليل الكسر الناتج.
ماذا يعني ذلك؟ يرجى ملاحظة أن كلًا من بسط هذا الكسر ومقامه يقبلان القسمة على أربعة. تسمى قسمة كلا الرقمين على قاسم مشترك بتقليل الكسر. نحصل على ثلاثة أرباع.
الكسور غير المناسبة
لكن لنفترض أننا ضربنا أربعة في خمسين. وتبين أنها ثمانية أخماس. وهذا كسر غير لائق.
بالتأكيد يجب إحضاره إلى الشكل الصحيح. للقيام بذلك، تحتاج إلى تحديد جزء كامل منه.
هنا تحتاج إلى استخدام القسمة مع الباقي. نحصل على واحد وثلاثة كباقي.
واحد صحيح وثلاثة أخماس هو الكسر الصحيح.
إن كتابة خمسة وثلاثين على ثمانية بالصورة الصحيحة أمر أكثر صعوبة قليلًا، وأقرب رقم إلى سبعة وثلاثين يقبل القسمة على ثمانية هو اثنان وثلاثون. عند القسمة نحصل على أربعة. اطرح اثنين وثلاثين من خمسة وثلاثين، وسنحصل على ثلاثة. النتيجة: أربعة كاملة وثلاثة أثمان.
المساواة بين البسط والمقام. وهنا كل شيء بسيط وجميل للغاية. إذا كان البسط والمقام متساويين، فالنتيجة هي واحد ببساطة.
ضرب الكسور العادية
لنلقي نظرة على مثال.
يجب أن يكون هناك $\frac(1)(3)$ جزء من التفاحة على طبق. نحن بحاجة إلى العثور على الجزء $\frac(1)(2)$ منه. الجزء المطلوب هو نتيجة ضرب الكسور $\frac(1)(3)$ و $\frac(1)(2)$. نتيجة ضرب كسرين مشتركين هي كسر عادي.
ضرب كسرين عاديين
قاعدة ضرب الكسور العادية:
نتيجة ضرب كسر في كسر هو كسر بسطه يساوي حاصل ضرب بسطي الكسور، ومقامه يساوي حاصل ضرب المقامين:
مثال 1
قم بإجراء عملية ضرب الكسور المشتركة $\frac(3)(7)$ و $\frac(5)(11)$.
حل.
دعونا نستخدم قاعدة ضرب الكسور العادية:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
إجابة:$ \ فارك (15) (77) $
إذا أدى ضرب الكسور إلى كسر قابل للاختزال أو غير حقيقي، فستحتاج إلى تبسيطه.
مثال 2
اضرب الكسور $\frac(3)(8)$ و $\frac(1)(9)$.
حل.
نستخدم قاعدة ضرب الكسور العادية:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
ونتيجة لذلك، حصلنا على كسر قابل للاختزال (على أساس القسمة على $3$. بقسمة البسط والمقام للكسر على $3$، نحصل على:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
الحل القصير:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
إجابة:$\فارك(1)(24).$
عند ضرب الكسور، يمكنك تقليل البسط والمقامات حتى تجد منتجهم. في هذه الحالة، يتم تقسيم البسط والمقام للكسر إلى العوامل الأوليةوبعد ذلك يتم تقليل عوامل التكرار ويتم العثور على النتيجة.
مثال 3
احسب حاصل ضرب الكسور $\frac(6)(75)$ و$\frac(15)(24)$.
حل.
دعونا نستخدم الصيغة لضرب الكسور العادية:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
من الواضح أن البسط والمقام يحتويان على أرقام يمكن اختزالها في أزواج إلى الأرقام $2$ و$3$ و$5$. دعونا نحلل البسط والمقام إلى عوامل بسيطة ونجري عملية اختزال:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
إجابة:$\فارك(1)(20).$
عند ضرب الكسور، يمكنك تطبيق القانون التبادلي:
ضرب كسر عادي في عدد طبيعي
قاعدة ضرب الكسر العادي في عدد طبيعي:
نتيجة ضرب الكسر في عدد طبيعي هي كسر بسطه يساوي حاصل ضرب بسط الكسر في العدد الطبيعي، ومقامه يساوي مقام الكسر المضروب:
حيث $\frac(a)(b)$ هو كسر عادي، $n$ هو عدد طبيعي.
مثال 4
اضرب الكسر $\frac(3)(17)$ في $4$.
حل.
دعونا نستخدم قاعدة ضرب الكسر العادي بعدد طبيعي:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
إجابة:$\فارك(12)(17).$
لا تنس التحقق من نتيجة الضرب عن طريق اختزال الكسر أو الكسر غير الصحيح.
مثال 5
اضرب الكسر $\frac(7)(15)$ بالرقم $3$.
حل.
دعونا نستخدم صيغة ضرب الكسر في عدد طبيعي:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
من خلال القسمة على الرقم $3$) يمكننا تحديد أنه يمكن تقليل الكسر الناتج:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
وكانت النتيجة كسرا غير صحيح. دعنا نختار الجزء بأكمله:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
الحل القصير:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
يمكن أيضًا تبسيط الكسور عن طريق استبدال الأرقام الموجودة في البسط والمقام بعواملها إلى عوامل أولية. وفي هذه الحالة يمكن كتابة الحل على النحو التالي:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\فارك(2)(5)\]
إجابة:$1\فارك(2)(5).$
عند ضرب كسر في عدد طبيعي، يمكنك استخدام القانون التبادلي:
تقسيم الكسور
عملية القسمة هي معكوس الضرب ونتيجتها كسر يجب ضرب الكسر المعلوم به للحصول على حاصل الضرب المعلوم للكسرين.
قسمة كسرين عاديين
قاعدة تقسيم الكسور العادية:من الواضح أنه يمكن تحليل وتخفيض بسط ومقام الكسر الناتج:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
ونتيجة لذلك نحصل على كسر غير حقيقي، ونختار منه الجزء بأكمله:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
إجابة:$1\فارك(5)(9).$
هناك عملية أخرى يمكن إجراؤها باستخدام الكسور العادية وهي الضرب. سنحاول شرح قواعدها الأساسية عند حل المسائل، وإظهار كيفية ضرب الكسر العادي في عدد طبيعي وكيفية ضرب ثلاثة كسور عادية أو أكثر بشكل صحيح.
دعونا أولا نكتب القاعدة الأساسية:
التعريف 1
إذا ضربنا كسرًا عاديًا واحدًا، فإن بسط الكسر الناتج سيكون مساويًا لمنتج بسط الكسور الأصلية، وسيكون المقام مساويًا لمنتج مقاميها. بشكل حرفي، بالنسبة للكسرين a / b و c / d، يمكن التعبير عن ذلك بالشكل a b · c d = a · c b · d.
دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية تطبيق هذه القاعدة بشكل صحيح. لنفترض أن لدينا مربعًا طول ضلعه يساوي وحدة عددية واحدة. ثم ستكون مساحة الشكل 1 مربع. وحدة. إذا قسمنا المربع إلى مستطيلات متساوية أضلاعها تساوي 1 4 و 1 8 وحدات عددية، فسنحصل على أنه يتكون الآن من 32 مستطيلًا (لأن 4 8 = 32). وعليه فإن مساحة كل منهما ستكون 1 32 من مساحة الشكل بأكمله، أي. 1 32 قدم مربع وحدات.
لدينا جزء مظلل جوانبه تساوي 58 وحدات عددية و34 وحدات عددية. وفقا لذلك، لحساب مساحتها، تحتاج إلى ضرب الكسر الأول بالثانية. ستكون مساوية لـ 5 8 · 3 4 متر مربع. وحدات. ولكن يمكننا ببساطة حساب عدد المستطيلات الموجودة في القطعة: هناك 15 منها، مما يعني أن المساحة الإجمالية هي 15 32 وحدة مربعة.
بما أن 5 3 = 15 و 8 4 = 32، فيمكننا كتابة المساواة التالية:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
إنه يؤكد القاعدة التي صاغناها لضرب الكسور العادية، والتي يتم التعبير عنها بـ a · c d = a · c b · d. إنه يعمل بنفس الطريقة بالنسبة للكسور الصحيحة وغير الصحيحة؛ يمكن استخدامه لضرب الكسور ذات المقامات المختلفة والمتطابقة.
دعونا نلقي نظرة على حلول العديد من المسائل التي تتضمن ضرب الكسور العادية.
مثال 1
اضرب 7 11 في 9 8.
حل
أولاً، لنحسب حاصل ضرب بسط الكسور المشار إليها بضرب 7 في 9. وصلنا 63 ثم نحسب حاصل ضرب المقامات ونحصل على: 11 · 8 = 88. دعونا نكتب رقمين والجواب هو: 63 88.
يمكن كتابة الحل بأكمله على النحو التالي:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
إجابة: 7 11 · 9 8 = 63 88.
إذا حصلنا على كسر قابل للاختزال في إجابتنا، فعلينا إكمال العملية الحسابية وإجراء اختزاله. إذا حصلنا على كسر غير حقيقي، علينا فصل الجزء كله عنه.
مثال 2
حساب منتج الكسور 4 15 و 55 6 .
حل
وفقًا للقاعدة المدروسة أعلاه، نحتاج إلى ضرب البسط في البسط، والمقام في المقام. سيبدو سجل الحل كما يلي:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
لقد حصلنا على جزء قابل للاختزال، أي. واحد يقبل القسمة على 10.
لنقم بتبسيط الكسر: 220 90 جي سي دي (220، 90) = 10، 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. ونتيجة لذلك، حصلنا على كسر غير حقيقي، نختار منه الجزء بأكمله ونحصل عليه رقم مختلط: 22 9 = 2 4 9 .
إجابة: 4 15 55 6 = 2 4 9.
ولتسهيل الحساب، يمكننا أيضًا تبسيط الكسور الأصلية قبل إجراء عملية الضرب، والتي نحتاج من أجلها إلى تبسيط الكسر إلى الصورة a · c b · d. دعونا نحلل قيم المتغيرات إلى عوامل بسيطة ونقوم بتقليل نفس العوامل.
دعونا نشرح كيف يبدو هذا باستخدام بيانات من مهمة محددة.
مثال 3
احسب المنتج 4 15 55 6.
حل
دعونا نكتب العمليات الحسابية بناءً على قاعدة الضرب. سوف نحصل على:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
بما أن 4 = 2 2، 55 = 5 11، 15 = 3 5، 6 = 2 3، إذن 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
إجابة: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
التعبير العددي الذي يتم فيه ضرب الكسور العادية له خاصية تبادلية، أي أنه يمكننا تغيير ترتيب العوامل إذا لزم الأمر:
أ ب · ج د = ج د · أ ب = أ · ج ب · د
كيفية ضرب الكسر بعدد طبيعي
دعنا نكتب القاعدة الأساسية على الفور، ثم نحاول شرحها في الممارسة العملية.
التعريف 2
لضرب كسر عادي في عدد طبيعي، عليك ضرب بسط ذلك الكسر في هذا الرقم. في هذه الحالة، سيكون مقام الكسر الأخير مساويًا لمقام الكسر العادي الأصلي. يمكن كتابة ضرب جزء معين a b بعدد طبيعي n بالصيغة a b · n = a · n b.
من السهل فهم هذه الصيغة إذا كنت تتذكر أنه يمكن تمثيل أي عدد طبيعي ككسر عادي بمقامه يساوي واحد، إنه:
أ ب · ن = أ ب · ن 1 = أ · ن ب · 1 = أ · ن ب
دعونا نشرح فكرتنا بأمثلة محددة.
مثال 4
احسب الناتج 2 27 ضرب 5.
حل
وبضرب بسط الكسر الأصلي في العامل الثاني، نحصل على 10. وبموجب القاعدة المذكورة أعلاه، سوف نحصل على 10 27 نتيجة لذلك. الحل كاملا موجود في هذه التدوينة:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
إجابة: 2 27 5 = 10 27
عندما نضرب عددًا طبيعيًا في كسر، فغالبًا ما يتعين علينا اختصار النتيجة أو تمثيلها كرقم مختلط.
مثال 5
الحالة: احسب الناتج 8 في 5 12.
حل
وفقا للقاعدة أعلاه، نضرب العدد الطبيعي في البسط. ونتيجة لذلك، نحصل على 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. يحتوي الكسر الأخير على علامات قابلية القسمة على 2، لذا نحتاج إلى تصغيره:
م م م (40، 12) = 4، إذن 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
الآن كل ما علينا فعله هو اختيار الجزء بأكمله وكتابة الإجابة الجاهزة: 10 3 = 3 1 3.
في هذا الإدخال يمكنك رؤية الحل بأكمله: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
يمكننا أيضًا تبسيط الكسر عن طريق تحليل البسط والمقام إلى عوامل أولية، وستكون النتيجة نفسها تمامًا.
إجابة: 5 12 8 = 3 1 3.
التعبير العددي الذي يتم فيه ضرب عدد طبيعي بكسر له أيضًا خاصية الإزاحة، أي أن ترتيب العوامل لا يؤثر على النتيجة:
أ ب · ن = ن · أ ب = أ · ن ب
كيفية ضرب ثلاثة كسور عادية أو أكثر
يمكننا أن نمتد إلى عملية ضرب الكسور العادية بنفس الخصائص التي تتميز بها عملية ضرب الأعداد الطبيعية. وهذا يأتي من تعريف هذه المفاهيم.
بفضل معرفة الخصائص الترابطية والإبدالية، يمكنك ضرب ثلاثة الكسور المشتركةو اكثر. ومن المقبول إعادة ترتيب العوامل لمزيد من الراحة أو ترتيب الأقواس بطريقة تسهل العد.
دعونا نعرض بمثال كيف يتم ذلك.
مثال 6
اضرب الكسور الأربعة المشتركة 1 20 و12 5 و3 7 و5 8.
الحل: أولاً، دعونا نسجل العمل. نحصل على 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . علينا ضرب كل البسط وكل المقامات معًا: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
قبل أن نبدأ الضرب، يمكننا أن نسهل الأمر على أنفسنا قليلًا، ونقوم بتحليل بعض الأعداد إلى عوامل أولية لمزيد من الاختزال. سيكون هذا أسهل من تقليل الكسر الناتج الجاهز بالفعل.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280
إجابة: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9,280.
مثال 7
اضرب 5 أعداد 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
حل
للراحة، يمكننا تجميع الكسر 7 8 مع الرقم 8، والرقم 12 مع الكسر 5 36، لأن الاختصارات المستقبلية ستكون واضحة لنا. ونتيجة لذلك سوف نحصل على:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3
إجابة: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter