ثم أ + ب = ب + أ ، أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج.
إضافة الصفر لا يغير الرقم بل المجموع أرقام معاكسةيساوي صفر.
ومن ثم ، بالنسبة لأي رقم منطقي لدينا: أ + 0 = أ ، أ + (- أ) = 0.
لضرب الأعداد المنطقية أيضًا خصائص تبادلية وترابطية. بمعنى آخر ، إذا كانت a و b و c أي أرقام منطقية ، فعندئذٍ ab - ba، a (bc) - (ab) c.
الضرب في 1 لا يغير رقمًا منطقيًا ، لكن حاصل ضرب رقم ومقلوبه هو 1.
لذلك بالنسبة لأي رقم منطقي (أ) لدينا:
أ) س + 8 - س - 22 ؛ ج) أ م + 7-8 + م ؛
ب) -x-a + 12 + a -12 ؛ د) 6.1 ك + 2.8 + ص - 8.8 + ك - ص.
1190. بعد اختيار ترتيب مناسب للحسابات ، أوجد قيمة التعبير:
1191- صغ بالكلمات الخاصية التبادلية لعملية الضرب ab = ba وتحقق منها من أجل:
1192. صِغ بالكلمات الخاصية الترابطية للضرب a (bc) = (ab) c وتحقق منها من أجل:
1193- باختيار ترتيب مناسب للحسابات ، ابحث عن قيمة التعبير:
1194. ما هو الرقم (موجب أو سالب) إذا ضربت:
أ) رقم واحد سلبي ورقمان موجبان ؛
ب) رقمان سالبان ورقم موجب ؛
ج) 7 أرقام سلبية وعدة أرقام موجبة ؛
د) 20 سلبيات وبعض الإيجابيات؟ تقديم استنتاج.
1195- حدد علامة المنتج:
أ) - 2 (- 3) (- 9) (-1.3) 14 (- 2.7) (- 2.9) ؛
ب) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
أ) تجمع فيتيا وكوليا وبيتيا وسيريوزا وماكسيم في صالة الألعاب الرياضية (الشكل 91 ، أ). اتضح أن كل طفل يعرف اثنين آخرين فقط. من يعرف من؟ (تعني حافة الرسم البياني "نحن نعرف بعضنا البعض.")
ب) الإخوة والأخوات من نفس العائلة يسيرون في الفناء. أي من هؤلاء الأطفال هم من الأولاد ومن هم البنات (الشكل 91 ، ب)؟ (تعني الحواف المنقطة للرسم البياني - "أنا أخت" ، والأطراف الصلبة - "أنا أخ".)
1205. احسب:
1206. قارن:
أ) 2 3 و 3 2 ؛ ب) (-2) 3 و (-3) 2 ؛ ج) 1 3 و 1 2 ؛ د) (-1) 3 و (-1) 2.
1207. تقريب 5.2853 إلى جزء من الألف ؛ قبل المئات؛ ما يصل إلى أعشار ما يصل إلى وحدات.
1208- حل المشكلة:
1) يلحق سائق الدراجة النارية بالدراج. الآن بينهما 23.4 كم. تبلغ سرعة سائق الدراجة النارية 3.6 أضعاف سرعة سائق الدراجة. أوجد سرعات راكب الدراجة النارية وسائق الدراجة النارية إذا كان معروفًا أن راكب الدراجة النارية سيتجاوزه في غضون ساعات.
2) سيارة تلحق بالحافلة. الآن بينهما 18 كم. سرعة الحافلة هي سرعة السيارة. أوجد سرعات الحافلة والسيارة إذا كان من المعروف أن السيارة ستتجاوز الحافلة في غضون ساعات.
1209- أوجد قيمة التعبير:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
تحقق من حساباتك مع آلة حاسبة.
1210. بعد اختيار ترتيب مناسب للحسابات ، أوجد قيمة التعبير: 
1211. بسّط التعبير:
1212. أوجد قيمة التعبير:
1213. قم بما يلي:
1214. تم تكليف الطلاب بجمع 2.5 طن من الخردة المعدنية. لقد جمعوا 3.2 طن من الخردة المعدنية. ما هي النسبة المئوية التي أكملها الطلاب المهمة وبأي نسبة قاموا بإفراط في إنجاز المهمة؟
1215 قطعت السيارة 240 كلم. من بين هؤلاء ، سارت 180 كم على طول طريق ريفي ، وبقية الطريق - على طول الطريق السريع. كان استهلاك البنزين لكل 10 كيلومترات من طريق ريفي 1.6 لتر ، وعلى الطريق السريع - 25 ٪ أقل. كم لترًا من البنزين تم استهلاكه في المتوسط لكل 10 كيلومترات من السفر؟
1216. عند مغادرته القرية ، لاحظ الدراج أن أحد المشاة يسير في نفس الاتجاه على الجسر ، ولحق به في غضون 12 دقيقة. أوجد سرعة المشاة إذا كانت سرعة الدراج 15 كم / س والمسافة من القرية إلى الجسر 1 كم 800 م؟
1217. قم بما يلي:
أ) - 4.8 3.7 - 2.9 8.7 - 2.6 5.3 + 6.2 1.9 ؛
ب) -14.31: 5.3 - 27.81: 2.7 + 2.565: 3.42 + 4.1 0.8 ؛
ج) 3.5 0.23 - 3.5 (- 0.64) + 0.87 (- 2.5).
كما تعلم ، تعرف الناس تدريجياً على الأرقام المنطقية. في البداية ، عند عد الأشياء ، نشأت الأعداد الطبيعية. في البداية ، كان هناك القليل منهم. لذلك ، حتى وقت قريب ، كان لدى السكان الأصليين للجزر في مضيق توريس (الذي يفصل غينيا الجديدة عن أستراليا) رقمان فقط في لغتهم: "urapun" (واحد) و "okaza" (رقمان). اعتقد سكان الجزيرة ذلك: "okaza-urapun" (ثلاثة) ، "okaza-okaza" (أربعة) ، إلخ. جميع الأرقام ، بدءًا من سبعة ، أطلق عليها السكان الأصليون الكلمة التي تعني "كثير".
يعتقد العلماء أن كلمة مائة ظهرت منذ أكثر من 7000 سنة ، منذ ألف - 6000 سنة ، وقبل 5000 سنة في مصر القديمةوفي بابل القديمة ظهرت أسماء لأعداد هائلة - تصل إلى مليون. لكن لفترة طويلة ، اعتبرت السلسلة الطبيعية للأرقام محدودة: اعتقد الناس أن هناك أكثر من غيرها رقم ضخم.
توصل أعظم عالم الرياضيات والفيزيائي اليوناني القديم أرخميدس (287-212 قبل الميلاد) إلى طريقة لوصف الأعداد الهائلة. كان أكبر رقم عرف أرخميدس تسميته كبيرًا لدرجة أن تسجيله الرقمي يتطلب شريطًا أطول بألفي مرة من المسافة من الأرض إلى الشمس.
لكنهم ما زالوا لا يعرفون كيف يكتبون مثل هذه الأعداد الضخمة. أصبح هذا ممكنًا فقط بعد علماء الرياضيات الهنود في القرن السادس. تم اختراع الرقم صفر وبدأ يشير إلى عدم وجود وحدات في أرقام التدوين العشري للرقم.
عند قسمة الغنيمة ولاحقًا عند قياس القيم ، وفي حالات أخرى مماثلة ، التقى الناس بالحاجة إلى إدخال "أرقام مكسورة" - الكسور المشتركة. تعتبر الإجراءات على الكسور أصعب منطقة في الرياضيات في العصور الوسطى. حتى الآن ، يقول الألمان عن شخص في وضع صعب ، إنه "وقع في شقوق".
لتسهيل التعامل مع الكسور ، تم اختراع الكسور العشرية. كسور. في أوروبا ، تم تقديمها في X585 من قبل عالم الرياضيات والمهندس الهولندي سيمون ستيفين.
ظهرت الأعداد السالبة بعد الكسور. لفترة طويلة ، كانت هذه الأرقام تعتبر "غير موجودة" ، و "خاطئة" في المقام الأول بسبب حقيقة أن التفسير المقبول للإيجابية و أرقام سالبة"الملكية - الديون" أدت إلى الحيرة: يمكنك إضافة أو طرح "الملكية" أو "الديون" ، ولكن كيف تفهم العمل أو "الملكية" الخاصة و "الديون"؟
ومع ذلك ، على الرغم من هذه الشكوك والحيرة ، تم اقتراح قواعد ضرب وتقسيم الأرقام الموجبة والسالبة في القرن الثالث. بواسطة عالم الرياضيات اليوناني ديوفانتوس (بالشكل: "المطروح ، مضروبًا في المضافة ، يعطي المطروح ؛ المطروح من المطروح يعطي المضاف" ، إلخ) ، ولاحقًا عبر عالم الرياضيات الهندي باسكارا (القرن الثاني عشر) عن نفس الشيء القواعد في مفاهيم "الملكية" ، "الدين" ("ناتج عقارين أو دينين هو ملكية ؛ منتج الملكية والديون هو الدين". تنطبق القاعدة نفسها على التقسيم).
وجد أن خصائص الإجراءات على الأعداد السالبة هي نفسها الموجودة في الأعداد الموجبة (على سبيل المثال ، الجمع والضرب لهما خاصية تبادلية). وأخيرًا ، منذ بداية القرن الماضي ، أصبحت الأرقام السالبة مساوية للأرقام الإيجابية.
في وقت لاحق ، ظهرت أرقام جديدة في الرياضيات - غير منطقية ومعقدة وغيرها. سوف تتعلم عنهم في المدرسة الثانوية.
نيا فيلينكين ، أ. تشيسنوكوف ، إس. Schwarzburd ، V.I. Zhokhov ، الرياضيات للصف 6 ، كتاب مدرسي لـ المدرسة الثانوية
الكتب والكتب المدرسية وفقًا لخطة التقويم الخاصة بتنزيل الرياضيات للصف السادس ، تساعد الطالب عبر الإنترنت
يغطي هذا الدرس جمع وطرح الأعداد المنطقية. الموضوع مصنف على أنه معقد. من الضروري هنا استخدام كامل ترسانة المعرفة المكتسبة سابقًا.
قواعد جمع وطرح الأعداد الصحيحة صالحة أيضًا للأرقام المنطقية. تذكر أن الأرقام المنطقية هي أرقام يمكن تمثيلها في صورة كسر ، وأين أ -هو بسط الكسر بمقام الكسر. حيث، بلا ينبغي أن يكون فارغًا.
في هذا الدرس ، سوف نشير بشكل متزايد إلى الكسور والأرقام المختلطة باعتبارها عبارة واحدة شائعة - أرقام نسبية.
التنقل في الدرس:مثال 1أوجد قيمة التعبير:
نضع كل عدد كسري بين قوسين مع علاماته. نأخذ في الاعتبار أن علامة الجمع الواردة في التعبير هي علامة العملية ولا تنطبق على الكسور. هذا الكسر له علامة زائد خاصة به ، وهي غير مرئية نظرًا لعدم كتابته. لكننا سنكتبها للتوضيح:
هذه هي إضافة الأعداد المنطقية مع علامات مختلفة. لإضافة أرقام منطقية بعلامات مختلفة ، تحتاج إلى طرح وحدة أصغر من وحدة أكبر ، ووضع علامة الرقم المنطقي الذي تكون وحدته أكبر أمام الإجابة. ولكي تفهم أي وحدة أكبر وأيها أقل ، يجب أن تكون قادرًا على مقارنة وحدات هذه الكسور قبل حسابها:
معامل العدد المنطقي أكبر من مقياس العدد المنطقي. لذلك ، قمنا بطرحها من. حصلت على إجابة. بعد ذلك ، بتقليل هذا الكسر بمقدار 2 ، حصلنا على الإجابة النهائية.
يمكن تخطي بعض الإجراءات البدائية ، مثل وضع الأرقام بين قوسين ووضع الوحدات. يمكن كتابة هذا المثال بطريقة أقصر:
مثال 2أوجد قيمة التعبير:
نضع كل عدد كسري بين قوسين مع علاماته. نأخذ في الاعتبار أن الطرح بين الأعداد النسبية وعلامة العملية ولا ينطبق على الكسور. هذا الكسر له علامة زائد خاصة به ، وهي غير مرئية نظرًا لعدم كتابته. لكننا سنكتبها للتوضيح:
دعنا نستبدل الطرح بالجمع. تذكر أنه لهذا عليك أن تضيف إلى الرقم المصغر المقابل للمطروح الفرعي:
حصلنا على جمع الأعداد المنطقية السالبة. لإضافة أرقام منطقية سالبة ، تحتاج إلى إضافة وحداتها النمطية ووضع علامة ناقص قبل الإجابة:
ملحوظة.ليس من الضروري وضع كل رقم منطقي بين قوسين. يتم ذلك للراحة ، من أجل أن نرى بوضوح علامات الأرقام المنطقية.
مثال 3أوجد قيمة التعبير:
في هذا التعبير ، الكسور قواسم مختلفة. لتسهيل الأمر على أنفسنا ، فلنقم بإحضار هذه الكسور إلى قاسم مشترك. لن نخوض في التفاصيل حول كيفية القيام بذلك. إذا واجهت صعوبات ، فتأكد من إعادة الدرس.
بعد اختزال الكسور إلى مقام موحد ، سيأخذ التعبير بالصيغة التالية:
هذه هي إضافة أرقام منطقية بعلامات مختلفة. نطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر ، وقبل الإجابة المستلمة نضع علامة الرقم المنطقي ، والوحدة النمطية أكبر:
دعنا نكتب حل هذا المثال بطريقة أقصر:
مثال 4أوجد قيمة التعبير
نحسب هذا التعبير بالطريقة التالية: نجمع الأرقام المنطقية ثم نطرح الرقم المنطقي من النتيجة التي تم الحصول عليها. 
الإجراء الأول:
الإجراء الثاني:
مثال 5. أوجد قيمة التعبير:
دعونا نمثل العدد الصحيح −1 في صورة كسر ، و عدد كسريتحويل إلى كسر غير فعلي:
نضع كل رقم منطقي بين قوسين مع علاماته:
لقد حصلنا على جمع أعداد نسبية بعلامات مختلفة. نطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر ، وقبل الإجابة المستلمة نضع علامة الرقم المنطقي ، والوحدة النمطية أكبر:
حصلت على إجابة.
هناك أيضا حل ثان. يتكون من تجميع الأجزاء الكاملة معًا بشكل منفصل.
لذا ، عد إلى التعبير الأصلي:
ضع كل رقم بين قوسين. لهذا الرقم المختلط مؤقتًا:
دعنا نحسب الأجزاء الصحيحة:
(−1) + (+2) = 1
في التعبير الرئيسي ، بدلاً من (1) + (+2) نكتب الوحدة الناتجة:
التعبير الناتج. للقيام بذلك ، اكتب الوحدة والكسر معًا:
لنكتب الحل بهذه الطريقة بطريقة أقصر:
مثال 6أوجد قيمة التعبير
حوّل العدد الكسري إلى كسر غير فعلي. نعيد كتابة الباقي دون تغيير:
نضع كل رقم منطقي بين قوسين مع علاماته:
دعنا نستبدل الطرح بالجمع:
دعنا نكتب حل هذا المثال بطريقة أقصر:
مثال 7ابحث عن تعبير القيمة
دعنا نمثل العدد الصحيح −5 في صورة كسر ، ونترجم العدد الكسري إلى كسر غير فعلي:
لنجلب هذه الكسور إلى قاسم مشترك. بعد إحضارهم إلى قاسم مشترك ، سيأخذون الشكل التالي:
نضع كل رقم منطقي بين قوسين مع علاماته:
دعنا نستبدل الطرح بالجمع:
حصلنا على جمع الأعداد المنطقية السالبة. نضيف وحدات هذه الأرقام ونضع علامة ناقص قبل الإجابة المستلمة:
وبالتالي ، فإن قيمة التعبير هي.
لنحل هذا المثال بالطريقة الثانية. دعنا نعود إلى التعبير الأصلي:
لنكتب العدد الكسري في الصورة الموسعة. نعيد كتابة الباقي بدون تغييرات:
نضع كل رقم منطقي بين قوسين مع علاماته:
دعنا نحسب الأجزاء الصحيحة:
في التعبير الرئيسي ، بدلاً من كتابة العدد الناتج −7
التعبير هو شكل موسع لكتابة عدد كسري. لنكتب العدد −7 والكسر معًا ، لنشكل الإجابة النهائية:
لنكتب هذا الحل بعد قليل:
المثال 8أوجد قيمة التعبير
نضع كل رقم منطقي بين قوسين مع علاماته:
دعنا نستبدل الطرح بالجمع:
حصلنا على جمع الأعداد المنطقية السالبة. نضيف وحدات هذه الأرقام ونضع علامة ناقص قبل الإجابة المستلمة:
وبالتالي ، فإن قيمة التعبير هي
يمكن حل هذا المثال بالطريقة الثانية. يتكون من إضافة الأجزاء الكاملة والكسرية بشكل منفصل. دعنا نعود إلى التعبير الأصلي:
نضع كل رقم منطقي بين قوسين مع علاماته:
دعنا نستبدل الطرح بالجمع:
حصلنا على جمع الأعداد المنطقية السالبة. نجمع وحدات هذه الأرقام ونضع علامة ناقص قبل الإجابة المستلمة. لكن هذه المرة نضيف بشكل منفصل الأجزاء الصحيحة (1 و 2) والكسر و
لنكتب هذا الحل بعد قليل:
المثال 9ابحث عن تعبيرات تعبيرية 
تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية:
نرفق العدد المنطقي بين قوسين مع علامته. لا يلزم وضع رقم منطقي بين قوسين ، لأنه موجود بالفعل بين قوسين:
حصلنا على جمع الأعداد المنطقية السالبة. نضيف وحدات هذه الأرقام ونضع علامة ناقص قبل الإجابة المستلمة:
وبالتالي ، فإن قيمة التعبير هي
لنحاول الآن حل نفس المثال بالطريقة الثانية ، أي عن طريق جمع العدد الصحيح والجزء الكسري بشكل منفصل.
هذه المرة ، من أجل الحصول على حل قصير ، دعنا نحاول تخطي بعض الإجراءات ، مثل كتابة عدد كسري في شكل موسع واستبدال الطرح بالجمع:
لاحظ أنه تم اختزال الأجزاء الكسرية إلى مقام مشترك.
المثال 10أوجد قيمة التعبير 
دعنا نستبدل الطرح بالجمع:
لا يحتوي التعبير الناتج على أرقام سالبة ، وهي السبب الرئيسي للأخطاء. ونظرًا لعدم وجود أرقام سالبة ، يمكننا حذف الموجب الموجود أمام المطروح ، وإزالة الأقواس أيضًا:
والنتيجة هي تعبير بسيط يسهل حسابه. دعنا نحسبها بأي طريقة مناسبة لنا:
المثال 11.أوجد قيمة التعبير
هذه هي إضافة أرقام منطقية بعلامات مختلفة. دعنا نطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر ، ونضع علامة الرقم المنطقي ، والوحدة التي تكون الوحدة أكبر منها ، أمام الإجابات المستلمة:
المثال 12.أوجد قيمة التعبير 
يتكون التعبير من عدة أرقام منطقية. وفقًا ، أولاً وقبل كل شيء ، تحتاج إلى تنفيذ الإجراءات بين قوسين.
أولاً ، نحسب التعبير ، ثم التعبير نجمع النتائج التي تم الحصول عليها.
الإجراء الأول:
الإجراء الثاني:
الإجراء الثالث:
إجابة:قيمة التعبير يساوي
المثال 13أوجد قيمة التعبير 
تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية:
نرفق العدد المنطقي بين قوسين مع علامته. لا يلزم وضع رقم منطقي بين قوسين ، لأنه موجود بالفعل بين قوسين:
لنكتب هذه الكسور في المقام المشترك. بعد إحضارهم إلى قاسم مشترك ، سيأخذون الشكل التالي:
دعنا نستبدل الطرح بالجمع:
لقد حصلنا على جمع أعداد نسبية بعلامات مختلفة. دعنا نطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر ، ونضع علامة الرقم المنطقي ، والوحدة التي تكون الوحدة أكبر منها ، أمام الإجابات المستلمة:
وهكذا ، فإن قيمة التعبير يساوي
ضع في اعتبارك جمع وطرح الكسور العشرية ، وهي أيضًا أرقام منطقية ويمكن أن تكون موجبة وسالبة.
المثال 14أوجد قيمة التعبير −3.2 + 4.3
نضع كل عدد كسري بين قوسين مع علاماته. نأخذ في الاعتبار أن علامة الجمع الواردة في التعبير هي علامة العملية ولا تنطبق على الكسر العشري 4.3. هذا الرقم العشري له علامة زائد خاصة به ، وهي غير مرئية نظرًا لعدم كتابتها. لكننا سنكتبها للتوضيح:
(−3,2) + (+4,3)
هذه هي إضافة أرقام منطقية بعلامات مختلفة. لإضافة أرقام منطقية بعلامات مختلفة ، تحتاج إلى طرح وحدة أصغر من وحدة أكبر ، ووضع الرقم المنطقي الذي تكون وحدته أكبر أمام الإجابة. ولفهم المعامل الأكبر والأصغر ، يجب أن تكون قادرًا على مقارنة معاملات هذه الكسور العشرية قبل حسابها:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
المقياس 4.3 أكبر من المقياس −3.2 ، لذلك طرحنا 3.2 من 4.3. حصلت على الجواب 1.1. الإجابة هي نعم ، لأن الإجابة يجب أن تسبقها إشارة العدد المنطقي الذي يكون مقياسه أكبر. ومقياس 4.3 أكبر من المقياس −3.2
وبالتالي ، فإن قيمة التعبير −3.2 + (+4.3) هي 1.1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
المثال 15أوجد قيمة التعبير 3.5 + (−8.3)
هذه هي إضافة أرقام منطقية بعلامات مختلفة. كما في المثال السابق ، نطرح الأصغر من الوحدة الأكبر ونضع علامة الرقم المنطقي ، الوحدة النمطية منها أكبر ، قبل الإجابة:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
وبالتالي ، فإن قيمة التعبير 3.5 + (−8.3) تساوي −4.8
يمكن كتابة هذا المثال بشكل أقصر:
3,5 + (−8,3) = −4,8
المثال 16أوجد قيمة التعبير −7.2 + (−3.11)
هذه هي إضافة الأعداد المنطقية السالبة. لإضافة أرقام منطقية سالبة ، تحتاج إلى إضافة وحداتها النمطية ووضع علامة ناقص قبل الإجابة.
يمكنك تخطي الإدخال بالوحدات النمطية لتجنب ازدحام التعبير:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
وبالتالي ، فإن قيمة التعبير −7.2 + (−3.11) تساوي 10.31
يمكن كتابة هذا المثال بشكل أقصر:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
المثال 17.أوجد قيمة التعبير −0.48 + (−2.7)
هذه هي إضافة الأعداد المنطقية السالبة. نضيف وحداتهم ونضع علامة ناقص قبل الإجابة المستلمة. يمكنك تخطي الإدخال بالوحدات النمطية لتجنب ازدحام التعبير:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
المثال 18.أوجد قيمة التعبير −4.9 - 5.9
نضع كل عدد كسري بين قوسين مع علاماته. نأخذ في الاعتبار أن الطرح الواقع بين العددين المنطقيين −4.9 و 5.9 هو علامة العملية ولا ينطبق على الرقم 5.9. هذا الرقم المنطقي له علامة زائد خاصة به ، وهي غير مرئية نظرًا لعدم كتابتها. لكننا سنكتبها للتوضيح:
(−4,9) − (+5,9)
دعنا نستبدل الطرح بالجمع:
(−4,9) + (−5,9)
حصلنا على جمع الأعداد المنطقية السالبة. نضيف وحداتهم ونضع علامة ناقص قبل الإجابة المستلمة:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
وبالتالي ، فإن قيمة التعبير −4.9 - 5.9 تساوي 10.8
−4,9 − 5,9 = −10,8
المثال 19.أوجد قيمة التعبير 7 - 9.3
ضع كل رقم مع علاماته بين قوسين
(+7) − (+9,3)
دعنا نستبدل الطرح بالجمع
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
وبالتالي ، فإن قيمة التعبير 7 - 9.3 هي −2.3
دعنا نكتب حل هذا المثال بطريقة أقصر:
7 − 9,3 = −2,3
المثال 20.أوجد قيمة التعبير −0.25 - (−1.2)
دعنا نستبدل الطرح بالجمع:
−0,25 + (+1,2)
لقد حصلنا على جمع أعداد نسبية بعلامات مختلفة. نطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر ، وقبل الإجابة نضع علامة الرقم الذي تكون وحدته أكبر:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
دعنا نكتب حل هذا المثال بطريقة أقصر:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
المثال 21.أوجد قيمة التعبير -3.5 + (4.1 - 7.1)
نفذ الإجراءات بين قوسين ، ثم أضف الإجابة المستلمة بالرقم −3.5
الإجراء الأول:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
الإجراء الثاني:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
إجابة:قيمة التعبير −3.5 + (4.1 - 7.1) هي 6.5.
المثال 22.أوجد قيمة التعبير (3.5 - 2.9) - (3.7 - 9.1)
لنقم بعمل الأقواس. ثم ، من الرقم الناتج عن تنفيذ الأقواس الأولى ، اطرح الرقم الناتج عن تنفيذ القوسين الثانيين:
الإجراء الأول:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
الإجراء الثاني:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
الفصل الثالث
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
إجابة:قيمة التعبير (3.5 - 2.9) - (3.7 - 9.1) هي 6.
المثال 23.أوجد قيمة التعبير −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
ضع بين قوسين كل رقم منطقي مع علاماته
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
دعنا نستبدل الطرح بالجمع حيثما أمكن ذلك:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
يتكون التعبير من عدة مصطلحات. وفقًا لقانون الجمع الجمع ، إذا كان التعبير يتكون من عدة مصطلحات ، فلن يعتمد المجموع على ترتيب الإجراءات. هذا يعني أنه يمكن إضافة الشروط بأي ترتيب.
لن نعيد اختراع العجلة ، لكننا نضيف كل المصطلحات من اليسار إلى اليمين بالترتيب الذي تظهر به:
الإجراء الأول:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
الإجراء الثاني:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
الإجراء الثالث:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
إجابة:قيمة التعبير −3.8 + 17.15 - 6.2 - 6.15 تساوي 1.
المثال 24.أوجد قيمة التعبير
لنحول الكسر العشري -1.8 إلى عدد كسري. سنعيد كتابة الباقي دون تغيير:
درس 4
درجة مع مؤشر طبيعي
الأهداف: لتعزيز تكوين المهارات والقدرات الحاسوبية ، وتراكم المعرفة حول الدرجات على أساس الخبرة الحسابية ؛ تعلم كيفية كتابة الأعداد الكبيرة والصغيرة باستخدام قوى 10.
خلال الفصول
أولا - تفعيل المعرفة الأساسية.
يحلل المعلم النتائج عمل التحقق، يتلقى كل طالب توصيات بشأن تطوير خطة فردية لتصحيح المهارات والقدرات الحسابية.
ثم يُطلب من الطلاب إجراء العمليات الحسابية وقراءة أسماء علماء الرياضيات المشهورين الذين ساهموا في بناء نظرية الدرجات العلمية:
0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .
مفتاح:
بمساعدة جهاز كمبيوتر أو جهاز epiprojector ، يتم عرض صور العلماء Diophantus و Rene Descartes و Simon Stevin على الشاشة. الطلاب مدعوون لإعداد ، إذا رغبوا في ذلك ، معلومات تاريخية حول حياة وعمل هؤلاء الرياضيين.
ثانيًا. تشكيل مفاهيم وأساليب عمل جديدة.
يكتب الطلاب التعبيرات التالية في دفاتر ملاحظاتهم:
1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
2. 2 + 2 + 2 + … + 2;
أشروط
3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;
4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;
نالمضاعفات
5. أ∙ أ∙ … ∙ أ;
نالمضاعفات
الطلاب مدعوون للإجابة على السؤال: "كيف يمكن تقديم هذه السجلات بشكل أكثر إحكاما بحيث تصبح" مرئية "؟
ثم يقوم المعلم بإجراء محادثة حول موضوع جديد ، وتعريف الطلاب بمفهوم الدرجة الأولى من الرقم. يمكن للطلاب إعداد مسرحية لأسطورة هندية قديمة عن مخترع الشطرنج ، سيث ، والملك شيرام. من الضروري إنهاء المحادثة بقصة حول استخدام صلاحيات 10 عند كتابة كميات كبيرة وصغيرة ، وبعد أن قدمت للطلاب عدة كتب مرجعية في الفيزياء والتكنولوجيا وعلم الفلك ، لإعطائهم الفرصة لإيجاد أمثلة على هذه الكميات. في الكتب.
ثالثا. تكوين المهارات والقدرات.
1. حل التمرين رقم 40 د) ، هـ) ، و) ؛ 51.
أثناء الحل ، يستنتج الطلاب أنه من المفيد تذكر: الأس ذو الأساس السالب يكون موجبًا إذا كان الأس زوجيًا وسالب إذا كان الأس فرديًا.
2. حل التمرينين رقم 41 و 47.
رابعا. تلخيص.
يعلق المعلم ويقيم عمل الطلاب في الدرس.
العمل في المنزل: البند 1.3 ، رقم 42 ، 43 ، 52 ؛ اختياري: قم بإعداد رسائل حول Diophantus و Descartes و Stevin.
ديوفانتوس- عالم رياضيات يوناني قديم من الإسكندرية (القرن الثالث). تم الاحتفاظ بجزء من أطروحته الرياضية "الحساب" (6 كتب من أصل 13) ، حيث يتم تقديم حل للمسائل ، والتي يؤدي معظمها إلى ما يسمى بـ "معادلات ديوفانتين" ، والتي يتم البحث عن حل لها بطريقة عقلانية أرقام موجبة (ديوفانتوس ليس لديه أرقام سلبية).
لتعيين المجهول ودرجاته (حتى السادسة) ، استخدمت علامة المساواة Diophantus تدوينًا مختصرًا للكلمات المقابلة. اكتشف العلماء أيضًا النص العربي لأربعة كتب أخرى من كتاب ديوفانتوس الحسابي. كانت كتابات ديوفانتوس نقطة البداية لبحوث P. Fermat و L. Euler و K. Gauss وغيرهم.
ديكارت رينيه (31.03.159.23) 6 –11. 02. 1650) - فيلسوف وعالم رياضيات فرنسي ، من عائلة نبيلة عريقة. تلقى تعليمه في المدرسة اليسوعية La Flèche في أنجو. في بداية حرب الثلاثين عاما خدم في الجيش وتركه عام 1621. بعد عدة سنوات من السفر انتقل إلى هولندا (1629) ، حيث أمضى عشرين عامًا في الدراسة العلمية الانفرادية. في عام 1649 ، بدعوة من الملكة السويدية ، انتقل إلى ستوكهولم ، لكنه سرعان ما توفي.
وضع ديكارت أسس الهندسة التحليلية وقدم العديد من الرموز الجبرية الحديثة. حسّن ديكارت التدوين بشكل كبير من خلال إدخال علامات مقبولة بشكل عام للمتغيرات.
(X, في,ض…) والمعاملات ( أ, ب, مع...) ، وكذلك تدوين الدرجات ( X 4 , أ 5…). لا تختلف كتابة معادلات ديكارت تقريبًا عن الصيغ الحديثة.
في الهندسة التحليلية ، كان الإنجاز الرئيسي لديكارت هو طريقة الإحداثيات التي أنشأها.
ستيفين سيمون (1548–1620) هو عالم ومهندس هولندي. من عام 1583 درس في جامعة ليدن ، وفي عام 1600 قام بتنظيم مدرسة هندسة في جامعة ليدن ، حيث حاضر في الرياضيات. عمل ستيفن "العشور" (1585) مكرس للنظام العشري للقياسات و الكسور العشرية، التي قدمها سيمون ستيفن للاستخدام في أوروبا.
رسم. العمليات الحسابية على الأعداد النسبية.
نص:
قواعد العمليات ذات الأرقام المنطقية:
. عند جمع الأرقام التي تحمل نفس العلامة ، قم بإضافة وحداتها ووضعها أمام المجموع علامة مشتركة;
. عند إضافة رقمين بعلامات مختلفة من رقم ذي وحدة كبيرة ، يتم طرح رقم ذي وحدة أصغر وتوضع علامة الرقم الذي يحتوي على وحدة أكبر أمام الفرق الناتج ؛
. عند طرح رقم من رقم آخر ، تحتاج إلى إضافة الرقم المعاكس للرقم المطروح: أ - ب \ u003d أ + (-ب)
. عند ضرب رقمين بنفس العلامات ، تتضاعف وحداتهما ويتم وضع علامة الجمع أمام المنتج الناتج ؛
. عند ضرب رقمين بعلامات مختلفة ، تتضاعف وحداتهما ويتم وضع علامة الطرح أمام المنتج الناتج ؛
. عند قسمة الأرقام بنفس العلامات ، يتم تقسيم معامل المقسوم على معامل المقسوم عليه وتوضع علامة الجمع أمام حاصل القسمة الناتج ؛
. عند قسمة الأرقام بعلامات مختلفة ، يتم تقسيم معامل المقسوم على معامل المقسوم عليه وتوضع علامة الطرح أمام حاصل القسمة الناتج ؛
. ينتج عن قسمة الصفر وضربه في أي رقم غير صفري صفر:
. لا يمكنك القسمة على صفر.