أحد المفاهيم المثيرة للاهتمام في المناهج الدراسية هو الأعداد المتضادة، والتي يمكن اعتبارها رياضيًا وهندسيًا. إن فهم هذا الموضوع يبسط دراسة الرياضيات ويسمح لك بالتعامل بسرعة مع بعض المشكلات - لذلك سننظر إلى الأرقام التي تسمى الأضداد، وما هي القواعد التي تناسبها.
ما هو جوهر المصطلح؟
لفهم معنى الأعداد المتضادة، دعونا ننتقل إلى الهندسة للحظة. لنرسم خطًا إحداثيًا ونحدد نقطة الصفر عليه، ثم نضع علامتين أخريين على الخط - على سبيل المثال، "2" مع الجانب الأيمنو"-2" على يسار الصفر. بالطبع، ستكون المسافة إلى نقطة الأصل هي نفسها تمامًا من كلا النقطتين - ويمكن التحقق من ذلك بسهولة عن طريق القياسات. "2" و "-2" هما نفس المسافة من الصفر، ولكن في اتجاهات مختلفة - وبالتالي فإنهما متعارضان تمامًا مع بعضهما البعض.
هذا هو بيت القصيد. يمكن أن تكون الأرقام كبيرة أو صغيرة حسب الرغبة، كاملة أو كسرية. ومع ذلك، كل واحد منهم لديه عدد معين هو عكسه تماما. يمكن إعطاء التعريف على النحو التالي - إذا كان من الممكن تخصيص مسافة متساوية إلى نقطة الأصل على خط الإحداثيات من نقطتين موضوعتين على جانبي الصفر - فإن هذه النقاط، أو بشكل أكثر دقة، الأرقام المقابلة لها، ستكون متقابلة .
ما هي القواعد التي يمكن استخلاصها من التعريف؟
تجدر الإشارة إلى بعض العبارات المطلقة المتعلقة بالموضوع قيد النظر:
- مبدأ الأضداد لعددين يعمل في كلا الاتجاهين. على سبيل المثال، الرقم 3 هو عكس الرقم -3 - وبالتالي فإن الرقم 3 فقط هو الذي عكس الرقم -3، وليس أي رقم آخر.
- لا يمكن أن يكون للرقم نقيضان، فهناك دائمًا واحد فقط.
- يمكن أن تكون الأرقام ذات العلامات المختلفة متعارضة مع بعضها البعض. إذا كان الرقم موجبًا، فسيكون للرقم المقابل له علامة ناقص - على سبيل المثال، 5 و -5. نفس الشيء يعمل في الجانب المعاكس- بالنسبة للرقم الذي يحتوي على علامة الطرح، سيكون العكس دائمًا هو الرقم الذي يحتوي على علامة الجمع - على سبيل المثال، -6 و6.
- رقمان متقابلان لهما نفس الشيء قيمه مطلقه، أو الوحدة النمطية. وبعبارة أخرى، إذا كان للرقم 4
في هذه المقالة سوف نستكشف أرقام متضادة. سنجيب هنا على سؤال ما هي الأرقام التي تسمى الأضداد، ونوضح كيف يتم تحديد عكس هذا الرقم، ونعطي أمثلة. سنقوم أيضًا بإدراج النتائج الرئيسية المميزة للأعداد المتضادة.
التنقل في الصفحة.
تحديد الأعداد المتضادة
سيساعدنا ذلك في الحصول على فكرة عن الأعداد المتضادة.
دعونا نحدد نقطة M على خط الإحداثيات، مختلفة عن نقطة الأصل. يمكننا الوصول إلى النقطة M عن طريق وضع قطعة الوحدة بشكل تسلسلي، بالإضافة إلى الجزء العاشر، والجزء من المائة، وهكذا، من نقطة الأصل في اتجاه النقطة M. إذا رسمنا نفس عدد قطع الوحدة وحصصها في الاتجاه المعاكس، فسنصل إلى نقطة أخرى، يُشار إليها بالحرف N. دعونا نعطي مثالا لتوضيح تصرفاتنا (انظر الشكل أدناه). للوصول إلى النقطة M على الخط الإحداثي، قمنا بوضع قطعتين من الوحدة وأربعة أجزاء تشكل عُشر الوحدة، في الاتجاه السالب. الآن دعونا نضع قطعتين من الوحدة و4 أجزاء، تشكل عُشر الوحدة، في الاتجاه الإيجابي. وهذا سيعطينا النقطة N.
نحن على استعداد تقريبًا لفهم تعريف الأعداد المتضادة، وكل ما تبقى هو مناقشة بعض الفروق الدقيقة.
نحن نعلم أن كل نقطة على الخط الإحداثي تقابل عددًا حقيقيًا واحدًا، وبالتالي فإن النقطتين M والنقطة N تتوافقان مع بعض الأعداد الحقيقية. لذلك تسمى الأرقام المقابلة للنقطتين M و N بالعكس.
بشكل منفصل، من الضروري أن نقول عن النقطة O - الأصل. النقطة O تتوافق مع الرقم 0. ويعتبر الرقم صفر هو عكس نفسه.
الآن يمكننا أن نصوت تحديد الأعداد المعاكسة.
تعريف.
يتم استدعاء رقمين متقابلين إذا كان من الممكن الوصول إلى النقاط الموجودة على خط الإحداثيات المقابلة لهذه الأرقام عن طريق طرح نفس عدد مقاطع الوحدة من الأصل في اتجاهين متعاكسين، وكذلك كسور قطعة الوحدة، فإن الرقم 0 مقابل ل بحد ذاتها.
تدوين الأعداد المتضادة والأمثلة
حان الوقت للدخول رموز الأرقام المعاكسة.
للإشارة إلى عكس رقم معين، استخدم علامة الطرح المكتوبة أمام الرقم المحدد. أي أن الرقم المقابل للرقم a يُكتب بالشكل -a. على سبيل المثال، الرقم المقابل 0.24 هو −0.24، والرقم المقابل −25 هو −(−25).
هيا نعطي أمثلة على الأعداد المعاكسة. زوج الأرقام 17 و −17 (أو −17 و 17) هو مثال على الأعداد الصحيحة المتقابلة. الأرقام و هي أرقام عقلانية متقابلة. من الأمثلة الأخرى على الأعداد النسبية المتضادة هي أزواج الأرقام 5.126 و −5.126. وكذلك 0,(1201) و −0,(1201) . يبقى أن نعطي بعض الأمثلة على العكس
موضوع
نوع الدرس
- الدراسة والاستيعاب الأولي للمواد الجديدة
أهداف الدرس
تعلم تعريفات الأعداد الموجبة والسالبة والمتعاكسة.
ابحث عن الأعداد المتضادة عند حل التمارين، عند حل المعادلات
التنموية - لتنمية انتباه الطلاب والمثابرة والمثابرة والتفكير المنطقي والكلام الرياضي.
التعليمية - من خلال الدرس، تنمية موقف يقظ تجاه بعضنا البعض، وغرس القدرة على الاستماع إلى الرفاق، والمساعدة المتبادلة، والاستقلال.
أهداف الدرس
معرفة ما هي الأرقام المعاكسة
تعلم كيفية استخدام هذا المفهوم عند حل المشكلات
اختبار مهارات حل المشكلات لدى الطلاب.
خطة الدرس
1 المقدمة.
2. الجزء النظري
3. الجزء العملي.
4. الواجبات المنزلية.
مقدمة
انظر إلى الصور ووصف بكلمة واحدة ما هو المختلف فيها.
الصور تظهر الأضداد.
- هذان رقمان متساويان في القيمة المطلقة، لكن لهما علامات مختلفةعلى سبيل المثال. 5 و -5.
الجزء النظري
أولا، دعونا نتذكر ما هو عليه أرقام سلبية. ينظر فيديو:
النقاط ذات الإحداثيات 5 و -5 بعيدة بشكل متساوٍ عن النقطة O وتقع على جانبيها المتقابلين. للوصول من النقطة O إلى هذه النقاط، عليك السفر بنفس المسافات، ولكن في اتجاهين متعاكسين. يتم استدعاء الأرقام 5 و -5 أرقام متضادة: 5 هو عكس -5، و -5 هو عكس 5.
يتم استدعاء رقمين يختلفان عن بعضهما البعض فقط بالعلامات أرقام متضادة.
على سبيل المثال، الأرقام المتقابلة ستكون 35 و -35، لأن الرقم 35 = +35، مما يعني أن الرقمين 35 و -35 يختلفان فقط في الإشارات. ستكون الأرقام المتقابلة أيضًا 0.8 و-0.8 و¾ و-¾.
خصائص الأعداد المتضادة
1). لكل رقم يوجد رقم معاكس واحد فقط.
2). الرقم 0 هو عكس نفسه.
3). الرقم المقابل لـ a يُشار إليه بـ -a. إذا كانت أ = -7.8، فإن -أ = 7.8؛ إذا كانت أ = 8.3، إذن -أ = -8.3؛ إذا كان أ = 0، فإن -أ = 0.
4). الترميز "-(-15)" يعني الرقم المعاكس لـ -15. بما أن معكوس -15 هو 15، إذن -(-15) = 15. بشكل عام -(-أ) = أ.
يتم استدعاء الأعداد الطبيعية وأضدادها والصفر الأعداد الصحيحة.
رقم مضاد n" بالنسبة للرقم n هو الرقم الذي عند إضافته إلى n يعطي صفرًا.
ن + ن" = 0
ويمكن إعادة كتابة هذه المساواة على النحو التالي:
ن + ن" - ن = 0 - نأو ن" = - ن
هكذا، أرقام متضادةلها نفس الوحدات، ولكن علامات عكسية.
وفقا لذلك، يتم الإشارة إلى العدد المعاكس لـ n - n. عندما يكون الرقم موجبًا، يكون العدد المقابل له سالبًا، والعكس صحيح.
1. أعط أمثلة على الأعداد المتضادة.
2. ارسمهم على خط الإحداثيات.
3. قم بتسمية الرقم المقابل -3.6؛ 7؛ 0; 8/9؛ -1/2
الجزء العملي
مثال
1) ضع علامة على نقاط خط الإحداثيات A(2)، B(-2)، C(+4)، D(-3)، E(-5.2)، F(5.2)، G(-6)، H( 7). 2) من بين هذه النقاط، ابحث عن النقاط المتناظرة بالنسبة للنقطة O(0) وأشر إليها. ماذا يمكن أن يقال عن إحداثيات النقاط المتناظرة؟
النقاط المتناظرة بالنسبة للنقطة O(0): A(2) وB(-2)، E(- 5.2) وF(5.2)
إحداثيات النقاط المتناظرةهي أرقام تختلف في الإشارة فقط. تسمى هذه الأرقام عكس.
حدد النقاط A(-3)، B(+6)، C(+4.2)، D(+3)، E(-4.2)، F(-6) على خط الإحداثيات. ماذا يمكنك أن تقول عن هذه الأرقام ؟؟
من الأعداد 15؛ 2.5؛ – 2.5; - 18؛ 0; 45؛ - 45 اختر: أ) الأعداد الطبيعية؛ ب) الأعداد الصحيحة. ج) الأرقام السالبة. د) الأرقام الإيجابية. ه) الأعداد المتضادة.
1) اكتب الرقم المقابل للرقم أ.
2) أشر إلى الرقم المقابل للرقم أ إذا:
أ=5، أ=-3، أ=0، أ=-2/5؛
أ = 6، -أ = - 2، -أ = 3.4.
1) تذكر معنى الإدخال: - (- أ).
2) ضع رقماً بدلاً من * للحصول على المساواة الصحيحة: أ) - (- 5) = *؛ ب) 3 = – *.
العمل في المنزل
1). املأ الجدول:
2). البحث عن: أ) -م،
إذا م = -8،
إذا م = -16
إذا -ك = 27
إذا -ك = -35
إذا ج = 41
إذا ج = -3.6
3). كم عدد أزواج الأعداد المتضادة الموجودة بين الرقمين -7.2 و 3.6؟ ضع علامة على خط الإحداثيات.
4). تعرف على اسم العالم الفرنسي المتميز:
هل تعرف أين في الحياة اليوميةهل نواجه أرقاما موجبة وسالبة؟
قائمة المصادر المستخدمة
1. الموسوعة الرياضية (في 5 مجلدات). - م.: الموسوعة السوفيتية، 2002. - ت 1.
2." أحدث الدليلتلميذ" "منزل القرن الحادي والعشرون" 2008
3. ملخص الدرس حول موضوع "الأعداد المتضادة" المؤلف: Petrova V.P.، مدرس رياضيات (الصفوف 5-9)، كييف
4. إن.يا.فيلينكين، أ.س. تشيسنوكوف، إس. شفارتسبورد، في آي جوخوف، الرياضيات للصف السادس، كتاب مدرسي للمدرسة الثانوية
§ 1 مفهوم الرقم الموجب
ستتعلم في هذا الدرس ما هي الأعداد التي تسمى متضادات، وكيفية العثور على العدد المقابل، وكذلك ما هي الأعداد الصحيحة و أرقام نسبية.
دعنا نبدء ب العمل التطبيقي. على خط الإحداثيات، حدد النقطتين A(2) وB(-2). وهي متناظرة ومركز تناظر هذه النقاط هو أصل الإحداثيات O(0)، حيث أن المسافة OA=OB.
ونرى أن إحداثيات النقاط المتناظرة حول نقطة الأصل هي أرقام تختلف في الإشارة فقط. وتسمى هذه الأرقام الأضداد.
هناك تعريف آخر للأرقام المعاكسة. ما هي القيم المطلقة للأرقام 2 و -2؟ يساوي 2. وبالتالي، فإن الأرقام المتقابلة هي أرقام لها نفس الوحدات، ولكنها تختلف في الإشارة.
للإشارة إلى عكس رقم معين، استخدم علامة الطرح المكتوبة أمام الرقم المحدد. وهذا يعني أن العدد المعاكس لـ a مكتوب كـ -a. على سبيل المثال، الرقم 0.24 هو مقابل الرقم −0.24، والرقم -25 هو الرقم المقابل −(−25)، لكن الرقم -25 على خط الإحداثيات هو مقابل 25، مما يعني -(-25) = 25. ويترتب على ذلك أن -( -a) = a و a = -(-a).
§ 2 خواص الأعداد المتضادة
دعونا نسلط الضوء على بعض خصائص الأعداد المتضادة.
وعكس الرقم الموجب هو سالب، وعكس الرقم السالب هو موجب. وهذا أمر مفهوم، لأن نقاط خط الإحداثيات المقابلة للأرقام المقابلة تقع على جوانب متقابلة من الأصل.
إذا كان الرقم أ مقابل الرقم ب، فإن ب هو عكس أ - وهذا يتبع خاصية تناظر النقاط على خط الإحداثيات.
دعنا ننتقل إلى خط الإحداثيات. ما عدد النقاط التي يمكن تحديدها على الخط الإحداثي المتماثل مع الخط المعطى بالنسبة إلى نقطة الأصل؟ واحد فقط. وهذا يعني أنه لكل رقم يوجد رقم معاكس واحد فقط.
رقم واحد فقط هو عكس نفسه - هذا هو الرقم 0، لأن 0 = -0 (لذلك ليس من المعتاد كتابة -0).
أرقام مع الخصائص المشتركةتشكل مجموعة (أو مجموعة)، كل مجموعة لها اسمها الخاص.
ولنتذكر أن الأعداد التي نستخدمها عند العد تسمى الأعداد الطبيعية، فهي تشكل مجموعة الأعداد الطبيعية.
لكل عدد طبيعي يمكنك إيجاد العدد المقابل له. تسمى الأعداد الطبيعية وأضدادها والرقم 0 أعدادًا صحيحة.
يمكن أن تكون الأرقام الكسرية أيضًا موجبة أو سالبة. تسمى جميع الأعداد الصحيحة وجميع الكسور أرقامًا منطقية. ويقولون أيضًا إنهم يشكلون معًا مجموعة الأعداد النسبية.
دعونا نسلط الضوء على مجموعتين أخريين من الأرقام. لنأخذ خط الإحداثيات. إذا قمت بإزالة جزء السطر الذي توجد عليه الأرقام السالبة، فسوف يتبقى لك شعاع أرقام إيجابيةوالرقم المرجعي 0. وتسمى الأرقام المتبقية غير سالبة أي الأرقام التي تكون أكبر من أو تساوي 0. لذلك فإن الأرقام غير الموجبة كلها أرقام سالبة والرقم 0 أي أرقام أقل من أو يساوي 0.
لقد تعلمنا اليوم ما هي الأعداد المعاكسة والصحيحة والعقلانية وغير السالبة وغير الموجبة، وتعلمنا العثور على الرقم المعاكس لرقم معين.
قائمة الأدبيات المستخدمة:
- الرياضيات الصف السادس : خطط الدرسإلى الكتاب المدرسي I.I. زوباريفا، أ.ج. موردكوفيتش //مؤلف ومترجم L.A. توبيلينا. منيموسين 2009
- الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية. أنا. زوباريفا، أ.ج. موردكوفيتش - م: منيموسين، 2013.
- الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام. /ن.يا. فيلينكين، ف. جوخوف، أ.س. تشيسنوكوف، إس. شوارتزبرد. – م.: منيموسين، 2013.
- دليل الرياضيات - http://lyudmilanik.com.ua
- دليل الطالب الى المدرسة الثانوية http://shkolo.ru
في هذه المقالة سنحاول معرفة ما هي الأعداد المعاكسة. سنشرح ما هي بشكل عام، ونوضح التسميات المحددة المستخدمة لها، وننظر في بعض الأمثلة. في الجزء الأخير من المادة، سنقوم بإدراج الخصائص الرئيسية للأعداد المتضادة.
لشرح مفهوم الأضداد ذاته، نحتاج أولاً إلى رسم خط إحداثي. لنأخذ النقطة M عليها (ولكن ليس في بداية العد التنازلي). المسافة إلى الصفر ستكون مساوية لعدد معين من أجزاء الوحدة، والتي بدورها يمكن تقسيمها إلى أعشار ومئات. إذا قمنا بقياس نفس المسافة من نقطة الأصل في الاتجاه المعاكس للاتجاه الذي يقع فيه M، فيمكننا الوصول إلى نقطة أخرى مماثلة. دعنا نسميها N. على سبيل المثال، من M إلى الصفر هي مسافة 2.4 قطعة وحدة، ومن N إلى الصفر هي نفسها. نلقي نظرة على الصورة:
دعونا نتذكر أن كل نقطة على الخط الإحداثي يمكن ربطها بعدد حقيقي واحد فقط. في هذه الحالة، تتوافق نقطتنا M و N مع أرقام معينة تسمى العكس. كل رقم له رقم معاكس ما عدا الصفر. وبما أن هذه بداية العد التنازلي، فهي تعتبر عكس نفسها.
دعنا نكتب تعريف الأعداد المعاكسة:
التعريف 1
عكسيتم استدعاء الأرقام التي تتوافق مع هذه النقاط على خط الإحداثيات التي سنصل إليها إذا وضعنا علامة على نفس المسافة من الأصل في اتجاهات مختلفة (إيجابية وسالبة). الصفر موجود في الأصل وهو معاكس لذاته.
كيف يتم الإشارة إلى الأرقام المعاكسة؟
في هذا القسم سوف نقدم التدوين الأساسي لهذه الأرقام. إذا كان لدينا عدد معين وأردنا كتابة عكسه، فإننا نستخدم علامة الطرح لهذا الغرض.
مثال 1
لنفترض أن الرقم لدينا هو a، وبالتالي فإن عكسه هو (ناقص a). وبنفس الطريقة تمامًا، بالنسبة لـ 0.26، يكون العكس هو - 0.26، وبالنسبة لـ 145 سيكون - 145. إذا كان الرقم الأصلي نفسه سالباً، على سبيل المثال - 9، فإننا نكتب العكس كـ - (- 9).
ما هي الأمثلة الأخرى للأعداد المتضادة التي يمكنك تقديمها؟ لنأخذ الأعداد الصحيحة: 12 و- 12. الأرقام النسبية المتقابلة هي 3 2 11 و - 3 2 11، وكذلك 8، 128 و- 8، 128، 0، (18901) و- 0، (18901)، إلخ. يمكن أن تكون الأرقام غير النسبية أيضًا معاكسة، على سبيل المثال: القيم التعبيرية العددية 2 + 1 و - 2 + 1.
الأعداد غير المنطقية المعاكسة ستكون أيضًا e و - e.
الخصائص الأساسية للأعداد المتضادة
هذه الأرقام لها خصائص معينة. أدناه سنقدم قائمة بهم مع التوضيحات.
التعريف 2
1. إذا كان العدد الأصلي موجباً فإن ضده يكون سالباً.
هذا البيان واضح ويتبع من الرسم البياني أعلاه: تقع هذه الأرقام على جانبي الخط المرجعي. إذا كنت قد نسيت المفاهيم الإيجابية و أرقام سلبية، انظر إلى المادة التي نشرناها سابقًا.
ويمكن استخلاص بيان آخر مهم للغاية من هذه القاعدة. في شكل حرفي، يبدو تدوينه كما يلي: بالنسبة لأي موجب a سيكون صحيحًا - (− a) = a. دعونا نعرض بمثال سبب أهمية ذلك.
لنأخذ الرقم 5 باستخدام خط الإحداثيات، يمكنك أن ترى أن الرقم المقابل هو 5، والعكس صحيح. باستخدام الترميز الذي أشرنا إليه أعلاه، نكتب الرقم المقابل - 5 بالشكل - (- 5) . ويتبين أن – (- 5) = 5. ومن هنا الاستنتاج: الأعداد المتضادة لا تختلف عن بعضها البعض إلا بوجود علامة الطرح.
2. الخاصية التالية تسمى عادة خاصية التماثل. ويمكن أيضًا استخلاصه من تعريف الأعداد المتضادة. يبدو مثل هذا:
التعريف 3
إذا كان عدد ما a هو عكس b، فإن b هو عكس a.
ومن الواضح أن هذا البيان لا يحتاج إلى أدلة إضافية.
3. الخاصية الثالثة للأعداد المتضادة تقول:
التعريف 4
كل عدد حقيقي له عدد معاكس واحد فقط.
يأتي هذا البيان من حقيقة أن النقاط الموجودة على خط الإحداثيات لا يمكن أن تتوافق مع العديد من الأرقام في وقت واحد.
التعريف 5
4. وحدات الأعداد المتضادة متساوية.
هذا يتبع من تعريف الوحدة. ومن المنطقي أن تكون النقاط الموجودة على الخط المقابل لأي أرقام متقابلة على نفس المسافة من النقطة المرجعية.
التعريف 6
5. إذا أضفنا أرقاما متقابلة، نحصل على 0.
حرفيًا، تبدو هذه العبارة كما يلي: + (− a) = 0.
مثال 2
فيما يلي أمثلة على هذه الحسابات:
890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0
كما ترون، تعمل هذه القاعدة مع جميع الأعداد - الأعداد الصحيحة، والعقلانية، وغير المنطقية، وما إلى ذلك.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter