§ 1 مفهوم الرقم الموجب
ستتعلم في هذا الدرس ما هي الأعداد التي تسمى متضادات، وكيفية العثور على العدد المقابل، وكذلك ما هي الأعداد الصحيحة و أرقام نسبية.
دعنا نبدء ب العمل التطبيقي. على خط الإحداثيات، حدد النقطتين A(2) وB(-2). وهي متناظرة ومركز تناظر هذه النقاط هو أصل الإحداثيات O(0)، حيث أن المسافة OA=OB.
ونرى أن إحداثيات النقاط المتناظرة حول نقطة الأصل هي أرقام تختلف في الإشارة فقط. وتسمى هذه الأرقام الأضداد.
هناك تعريف آخر للأرقام المعاكسة. ما هي القيم المطلقة للأرقام 2 و -2؟ يساوي 2. وبالتالي، فإن الأرقام المتقابلة هي أرقام لها نفس الوحدات، ولكنها تختلف في الإشارة.
للإشارة إلى عكس رقم معين، استخدم علامة الطرح المكتوبة أمام الرقم المحدد. وهذا يعني أن العدد المعاكس لـ a مكتوب كـ -a. على سبيل المثال، الرقم 0.24 هو مقابل الرقم −0.24، والرقم -25 هو الرقم المقابل −(−25)، لكن الرقم -25 على خط الإحداثيات هو مقابل 25، مما يعني -(-25) = 25. ويترتب على ذلك أن -( -a) = a و a = -(-a).
§ 2 خواص الأعداد المتضادة
دعونا نسلط الضوء على بعض خصائص الأعداد المتضادة.
وعكس الرقم الموجب هو سالب، وعكس الرقم السالب هو موجب. وهذا أمر مفهوم، لأن نقاط خط الإحداثيات المقابلة للأرقام المقابلة تقع على جوانب متقابلة من الأصل.
إذا كان الرقم أ مقابل الرقم ب، فإن ب هو عكس أ - وهذا يتبع خاصية تناظر النقاط على خط الإحداثيات.
دعنا ننتقل إلى خط الإحداثيات. ما عدد النقاط التي يمكن تحديدها على الخط الإحداثي المتماثل مع الخط المعطى بالنسبة إلى نقطة الأصل؟ واحد فقط. وهذا يعني أنه لكل رقم يوجد رقم معاكس واحد فقط.
رقم واحد فقط هو عكس نفسه - هذا هو الرقم 0، لأن 0 = -0 (لذلك ليس من المعتاد كتابة -0).
أرقام مع الخصائص المشتركةتشكل مجموعة (أو مجموعة)، كل مجموعة لها اسمها الخاص.
ولنتذكر أن الأعداد التي نستخدمها عند العد تسمى الأعداد الطبيعية، فهي تشكل مجموعة الأعداد الطبيعية.
لكل عدد طبيعي يمكنك إيجاد العدد المقابل له. تسمى الأعداد الطبيعية وأضدادها والرقم 0 أعدادًا صحيحة.
يمكن أن تكون الأرقام الكسرية أيضًا موجبة أو سالبة. تسمى جميع الأعداد الصحيحة وجميع الكسور أرقامًا منطقية. ويقولون أيضًا إنهم يشكلون معًا مجموعة الأعداد النسبية.
دعونا نسلط الضوء على مجموعتين أخريين من الأرقام. لنأخذ خط الإحداثيات. إذا قمت بإزالة جزء السطر الذي توجد عليه الأرقام السالبة، فسوف يتبقى لك شعاع أرقام إيجابيةوالرقم المرجعي 0. وتسمى الأرقام المتبقية غير سالبة أي الأرقام التي تكون أكبر من أو تساوي 0. لذلك فإن الأرقام غير الموجبة كلها أرقام سالبة والرقم 0 أي أرقام أقل من أو يساوي 0.
لقد تعلمنا اليوم ما هي الأعداد المعاكسة والصحيحة والعقلانية وغير السالبة وغير الموجبة، وتعلمنا العثور على الرقم المعاكس لرقم معين.
قائمة الأدبيات المستخدمة:
- الرياضيات الصف السادس: خطط الدرسإلى الكتاب المدرسي I.I. زوباريفا، أ.ج. موردكوفيتش //مؤلف ومترجم L.A. توبيلينا. منيموسين 2009
- الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية. أنا. زوباريفا، أ.ج. موردكوفيتش - م: منيموسين، 2013.
- الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام. /ن.يا. فيلينكين، ف. جوخوف، أ.س. تشيسنوكوف، إس. شوارتزبرد. – م.: منيموسين، 2013.
- دليل الرياضيات - http://lyudmilanik.com.ua
- دليل لطلاب المدارس الثانوية http://shkolo.ru
في هذه المقالة سنحاول معرفة ما هي الأعداد المعاكسة. سنشرح ما هي بشكل عام، ونوضح التسميات المحددة المستخدمة لها، وننظر في بعض الأمثلة. في الجزء الأخير من المادة، سنقوم بإدراج الخصائص الرئيسية للأعداد المتضادة.
لشرح مفهوم الأضداد ذاته، نحتاج أولاً إلى رسم خط إحداثي. لنأخذ النقطة M عليها (ولكن ليس في بداية العد التنازلي). المسافة إلى الصفر ستكون مساوية لعدد معين من أجزاء الوحدة، والتي بدورها يمكن تقسيمها إلى أعشار ومئات. إذا قمنا بقياس نفس المسافة من نقطة الأصل في الاتجاه المعاكس للاتجاه الذي يقع فيه M، فيمكننا الوصول إلى نقطة أخرى مماثلة. دعنا نسميها N. على سبيل المثال، من M إلى الصفر هي مسافة 2.4 قطعة وحدة، ومن N إلى الصفر هي نفسها. نلقي نظرة على الصورة:
دعونا نتذكر أن كل نقطة على الخط الإحداثي يمكن ربطها بعدد حقيقي واحد فقط. في هذه الحالة، تتوافق نقطتنا M و N مع أرقام معينة تسمى العكس. كل رقم له رقم معاكس ما عدا الصفر. وبما أن هذه بداية العد التنازلي، فهي تعتبر عكس نفسها.
دعنا نكتب تعريف الأعداد المعاكسة:
التعريف 1
عكسيتم استدعاء الأرقام التي تتوافق مع هذه النقاط على خط الإحداثيات التي سنصل إليها إذا وضعنا علامة على نفس المسافة من الأصل في اتجاهات مختلفة (إيجابية وسالبة). الصفر موجود في الأصل وهو معاكس لذاته.
كيف يتم الإشارة إلى الأرقام المعاكسة؟
في هذا القسم سوف نقدم التدوين الأساسي لهذه الأرقام. إذا كان لدينا عدد معين وأردنا كتابة عكسه، فإننا نستخدم علامة الطرح لهذا الغرض.
مثال 1
لنفترض أن الرقم لدينا هو a، وبالتالي فإن عكسه هو (ناقص a). وبنفس الطريقة تمامًا، بالنسبة لـ 0.26، يكون العكس هو - 0.26، وبالنسبة لـ 145 سيكون - 145. إذا كان الرقم الأصلي نفسه سالباً، على سبيل المثال - 9، فإننا نكتب العكس كـ - (- 9).
ما هي الأمثلة الأخرى للأعداد المتضادة التي يمكنك تقديمها؟ لنأخذ الأعداد الصحيحة: 12 و- 12. الأرقام النسبية المتقابلة هي 3 2 11 و - 3 2 11، بالإضافة إلى 8، 128 و- 8، 128، 0، (18901) و- 0، (18901)، إلخ. يمكن أن تكون الأرقام غير النسبية أيضًا معاكسة، على سبيل المثال: القيم التعبيرية العددية 2 + 1 و - 2 + 1.
الأعداد غير المنطقية المعاكسة ستكون أيضًا e و - e.
الخصائص الأساسية للأعداد المتضادة
هذه الأرقام لها خصائص معينة. أدناه سنقدم قائمة بهم مع التوضيحات.
التعريف 2
1. إذا كان العدد الأصلي موجباً فإن ضده يكون سالباً.
هذا البيان واضح ويتبع من الرسم البياني أعلاه: تقع هذه الأرقام على جانبي الخط المرجعي. إذا كنت قد نسيت المفاهيم الإيجابية و أرقام سلبية، انظر إلى المادة التي نشرناها سابقًا.
ويمكن استخلاص بيان آخر مهم للغاية من هذه القاعدة. في شكل حرفي، يبدو تدوينه كما يلي: بالنسبة لأي موجب a سيكون صحيحًا - (− a) = a. دعونا نعرض بمثال سبب أهمية ذلك.
لنأخذ الرقم 5 باستخدام خط الإحداثيات، يمكنك أن ترى أن الرقم المقابل هو 5، والعكس صحيح. باستخدام الترميز الذي أشرنا إليه أعلاه، نكتب الرقم المقابل - 5 بالشكل - (- 5) . ويتبين أن – (- 5) = 5. ومن هنا الاستنتاج: الأعداد المتضادة لا تختلف عن بعضها البعض إلا بوجود علامة الطرح.
2. الخاصية التالية تسمى عادة خاصية التماثل. ويمكن أيضًا استخلاصه من تعريف الأعداد المتضادة. يبدو مثل هذا:
التعريف 3
إذا كان عدد ما a هو عكس b، فإن b هو عكس a.
ومن الواضح أن هذا البيان لا يحتاج إلى أدلة إضافية.
3. الخاصية الثالثة للأعداد المتضادة تقول:
التعريف 4
كل عدد حقيقي له عدد معاكس واحد فقط.
يأتي هذا البيان من حقيقة أن النقاط الموجودة على خط الإحداثيات لا يمكن أن تتوافق مع العديد من الأرقام في وقت واحد.
التعريف 5
4. وحدات الأعداد المتضادة متساوية.
هذا يتبع من تعريف الوحدة. ومن المنطقي أن تكون النقاط الموجودة على الخط المقابل لأي أرقام متقابلة على نفس المسافة من النقطة المرجعية.
التعريف 6
5. إذا أضفنا أرقاما متقابلة، نحصل على 0.
حرفيًا، تبدو هذه العبارة كما يلي: + (− a) = 0.
مثال 2
فيما يلي أمثلة على هذه الحسابات:
890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0
كما ترون، تعمل هذه القاعدة مع جميع الأعداد - الأعداد الصحيحة، والعقلانية، وغير المنطقية، وما إلى ذلك.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
5 و -5 (الشكل 61) بعيدان بالتساوي عن النقطة O ويقعان على جانبيها المتقابلين. للوصول من النقطة O إلى هذه النقاط، عليك أن تقطع نفس المسافات، ولكن في اتجاهين متعاكسين. الرقمان 5 و -5 يطلق عليهما أرقام متقابلة: 5 هو عكس 5، و -5 هو عكس 5.
الرقمان اللذان يختلفان عن بعضهما البعض فقط في العلامات يطلق عليهما أرقام متضادة.
على سبيل المثال، الأرقام المتقابلة ستكون 8 و -8، لأن الرقم 8 = + 8، مما يعني أعداد 8 و - 8 يختلفان فقط في العلامات. الأرقام المعاكسة ستكون أيضًا
لكل رقم يوجد رقم معاكس واحد فقط.
الرقم 0 هو عكس نفسه.
الرقم المعاكس o يُشار إليه بـ -a. إذا كانت أ = -7.8، فإن -أ = 7.8؛ إذا كانت أ = 8.3، إذن - أ = -8.3؛ إذا كانت a = 0، فإن -a = 0. الإدخال "- (-15)" يعني الرقم المقابل لـ -15. بما أن العدد المقابل لـ -15 هو 15، إذن -(- 15) = 15. بشكل عام - (- a) = a.
تسمى الأعداد الطبيعية وأضدادها والصفر أعدادًا صحيحة.
? ما هي الأرقام التي تسمى الأضداد؟
الرقم ب هو مقابل الرقم أ. ما هو الرقم الذي هو عكس ب؟
ما هو الرقم المقابل للصفر؟
هل هناك رقم له رقمين متقابلين؟
ما هي الأرقام التي تسمى الأعداد الصحيحة؟
ل 910. أوجد الأرقام المتقابلة:
911. استبدل رقمًا للحصول على المساواة الصحيحة:
912. ابحث عن معنى التعبير:
913. أوجد إحداثيات النقاط A و B و C (الشكل 62).
914. ما هو الرقم - س، إذا س:
سلبي؛ ب) صفر؛ ج) إيجابي؟
915. املأ الفراغات في الجدول وحدد الإحداثيات مستقيمالنقاط التي لها إحداثياتها أرقام الجدول الناتج.
916. حل المعادلة:
أ) - س = 607؛ ب) - أ = 30.4؛ ج) - ص= -3
917. ما هي الأعداد الصحيحة الموجودة على خط الإحداثيات بين الأرقام:
ص 918. احسب بشكل تقليدي:
919. بين الأعداد الصحيحة على خط الإحداثيات يوجد الرقم الموجود: 2.6؛ -ثلاثون؛ -6؛ -8
920. ابحث عن الأرقام الموجودة على مسافة على خط الإحداثيات: أ) 6 وحدات من الرقم -9؛ ب) 10 وحدات من الرقم 4؛ ج) 10 وحدات من الرقم -4؛ د) 100 وحدة من الرقم 0.
921. رسم خط الإحداثيات، مع الأخذ كوحدة القطعة المستقيمةطول 4 خلايا دفترية، وحدد النقطة على هذا الخط المستقيم F (2,25).
أ 922. حدد على "الخط الزمني" الأحداث التالية من تاريخ الرياضيات:
أ) كتاب "العناصر" كتبه إقليدس في القرن الثالث. قبل الميلاد ه.
ب) نشأت نظرية الأعداد اليونان القديمةفي القرن السادس قبل الميلاد ه.
الخامس) الكسور العشريةظهرت في الصين في القرن الثالث.
د) تم تطوير نظرية العلاقات والنسب في اليونان القديمة في القرن الرابع. قبل الميلاد ه.
هـ) انتشر نظام الأرقام العشرية الموضعية إلى بلدان الشرق في القرن التاسع. منذ كم قرنًا حدثت هذه الأحداث؟ قارن بين "الخط الزمني" وخط الإحداثيات.
923. تحديد أزواج من الأرقام معكوسة بشكل متبادل:
924. اشترى فيتيا 2.4 كجم من الجزر. كم عدد الجزر مُشترىكوليا، إذا كنت تعرف ما اشترى:
أ) 0.7 كجم أكثر من فيتي؛ و) ما اشتراه فيتيا؛
ب) 0.9 كجم أقل من فيتي؛ ز) 0.5 مما اشتراه فيتيا؛
ج) 3 مرات أكثر من فيتي؛ ح) 20% مما اشتراه فيتيا؛
د) 1.2 مرة أقل من فيتي؛ ط) 120% مما اشتراه فيتيا؛
ه) ما اشتراه فيتيا؛ ي) 20٪ أكثر مما اشتراه فيتيا؟
925. حل المشكلة:
1) كان على مصنع الطوب أن ينتج 270 ألف طوبة لبناء قصر الثقافة. أولاً
في الأسبوع أنتج المهام، وفي الأسبوع الثاني أنتج 10% أكثر من الأسبوع الأول. كم ألف طوبة بقي للمصنع لإنتاجها؟
2) باعت المزرعة الجماعية 434 طناً من الحبوب للدولة في ثلاثة أيام. في اليوم الأول باع هذا المبلغ، في اليوم الثاني - 10٪ أقل من اليوم الأول، وفي اليوم الثالث - بقية الحبوب. كم طن من الحبوب باعت المزرعة الجماعية في اليوم الثالث؟
926. النوتات تختلف في مدة صوتها. تشير العلامة إلى ملاحظة كاملة، ملاحظة نصف طولها - نصف ملاحظة، ملاحظة سادسة عشرة.
التحقق من المساواة في المدد:
د 927. ما هي الأرقام هي أرقام متضادة:
928. اكتب جميع الأعداد الطبيعية الأقل من 5 وأضدادها.
929. أوجد القيمة:
930. في اليوم الثاني، تم إطلاق أسلاك من المستودع مرتين أكثر من اليوم الأول، وفي اليوم الثالث 3 مرات أكثر من الأول. كم عدد الكيلوجرامات من الأسلاك التي تم إصدارها في هذه الأيام الثلاثة، إذا تم إصدارها في اليوم الأول بمقدار 30 كجم أقل من اليوم الثالث؟
931. في المزرعة الجماعية، في الأراضي المروية، تم جمع 60.8 سنتًا من القمح لكل هكتار. استبدال صنف القمح القديم بصنف جديد يعطي زيادة في المحصول بنسبة 25%. ما هي كمية القمح التي تجمعها المزرعة الجماعية الآن من 23 هكتارًا من الحقول المروية؟
932. قم بتكوين معادلة لكل رسم بياني وحلها:
933. ابحث عن معنى العبارة:
إن.يا.فيلينكين، أ.س. تشيسنوكوف، إس. شفارتسبورد، في آي جوخوف، الرياضيات للصف السادس، الكتاب المدرسي لـ المدرسة الثانوية
تعريف الأرقام المعاكسة
تعريف الأرقام المعاكسة:
يتم تسمية رقمين متقابلين إذا كانا يختلفان في العلامات فقط.
أمثلة على الأعداد المعاكسة
أمثلة على الأعداد المعاكسة
1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45
من هنا يتضح كيفية العثور على عكس رقم معين: فقط قم بتغيير إشارة الرقم.
الرقم المقابل للرقم 3 هو الرقم ناقص ثلاثة.
مثال. الأرقام عكس البيانات.
نظرا: أرقام 1؛ 5؛ 8؛ 9.
أوجد الأعداد المعاكسة للبيانات.
لحل هذه المهمة، ما عليك سوى تغيير إشارات الأرقام المعطاة:
لنقم بعمل جدول للأعداد المتضادة:
| 1 | 5 | 8 | 9 |
| -1 | -5 | -8 | -9 |
عكس الصفر
وعكس الصفر هو الرقم صفر نفسه.
وبالتالي فإن الرقم المقابل لل0 هو 0.
مقابل الأعداد الصحيحة
الأعداد الصحيحة المتقابلة تختلف فقط في الإشارة.
أمثلة على الأعداد الصحيحة المعاكسة.
10 -10
20 -20
125 -125
زوج من الأرقام المتضادة
عندما يتحدثون عن أرقام متضادة، فإنهم يقصدون دائمًا زوجًا من الأرقام المتضادة.
الرقم هو عكس رقم آخر. وكل رقم له رقم مقابل واحد فقط.
الأعداد المعاكسة للأعداد الطبيعية
وعكس الأعداد الطبيعية هي الأعداد الصحيحة السالبة.
لنقم بعمل جدول للأعداد المتضادة للأعداد الطبيعية الخمسة الأولى:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| -1 | -2 | -3 | -4 | -5 |
مجموع الأعداد المتضادة
مجموع الأعداد المتضادة هو صفر. بعد كل شيء، تختلف الأرقام المعاكسة فقط في الإشارة.