الرقم الأولي هو عدد طبيعي لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى واحد.
تسمى بقية الأرقام مركب.
الأعداد الطبيعية البسيطة
لكن ليست كل الأعداد الطبيعية أولية.
الأعداد الطبيعية البسيطة هي فقط تلك التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى واحد.
أمثلة الأعداد الأولية:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
أعداد صحيحة بسيطة
ويترتب على ذلك أن الأعداد الطبيعية فقط هي الأعداد الأولية.
هذا يعني أن الأعداد الأولية طبيعية بالضرورة.
لكن جميع الأعداد الطبيعية هي أيضًا أعداد صحيحة.
وبالتالي ، فإن جميع الأعداد الأولية هي أعداد صحيحة.
أمثلة على الأعداد الأولية:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
حتى الأعداد الأولية
يوجد عدد أولي زوجي واحد فقط ، وهو اثنان.
جميع الأعداد الأولية الأخرى فردية.
لماذا لا يكون عدد زوجي أكبر من اثنين عددًا أوليًا؟
ولكن نظرًا لأن أي عدد زوجي أكبر من اثنين سيكون قابلاً للقسمة في حد ذاته ، ليس على واحد ، بل على اثنين ، أي أن هذا الرقم سيحتوي دائمًا على ثلاثة قواسم ، وربما أكثر.
يُعزى تقسيم الأعداد الطبيعية إلى أعداد أولية ومركبة إلى عالم الرياضيات اليوناني القديم فيثاغورس. وإذا اتبعت فيثاغورس ، فيمكن تقسيم مجموعة الأعداد الطبيعية إلى ثلاث فئات: (1) - مجموعة تتكون من رقم واحد - واحد ؛ (2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ،) هي مجموعة الأعداد الأولية ؛ (4 ، 6 ، 8 ، 9 ، 10 ، 12 ، 14 ، 15 ،) هي مجموعة الأرقام المركبة.
تخفي العديد من الألغاز المختلفة المجموعة الثانية. لكن أولًا ، دعنا نكتشف ما هو العدد الأولي. افتح "الرياضيات" قاموس موسوعي"(Yu. V. Prokhorov ، دار النشر" الموسوعة السوفيتية"، 1988) ونصها كما يلي:
"الرقم الأولي هو عدد صحيح موجب أكبر من واحد لا يحتوي على قواسم أخرى غير نفسه وواحد: 2،3،5،7،11،13 ،
يعتبر مفهوم العدد الأولي أساسيًا في دراسة قابلية القسمة على الأعداد الطبيعية ؛ أي أن النظرية الأساسية للحساب تنص على أن كل عدد صحيح موجب ، باستثناء 1 ، يمكن أن يتحلل بشكل فريد إلى منتج من الأعداد الأولية (لا يؤخذ ترتيب العوامل في الاعتبار). هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية (هذا الافتراض ، المسمى نظرية إقليدس ، كان معروفًا لعلماء الرياضيات اليونانيين القدماء ، ويمكن العثور على دليله في الكتاب 9 من عناصر إقليدس). أثبت P. Dirichlet (1837) أنه في التقدم الحسابي a + bx عند x = 1. ، 2 ، с مع coprime الأعداد الصحيحة a و b تحتوي أيضًا على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.
للعثور على الأعداد الأولية من 1 إلى x ، تم استخدام المعروف من القرن الثالث. قبل الميلاد ه. غربال إراتوستينس. بالنظر إلى تسلسل (*) الأعداد الأولية من 1 إلى x يظهر أنه كلما زاد x ، يصبح نادرًا في المتوسط. هناك مقاطع طويلة عشوائية من سلسلة من الأعداد الطبيعية ، لا يوجد بينها عدد أولي واحد (نظرية 4). في الوقت نفسه ، هناك مثل هذه الأعداد الأولية ، والفرق بينها يساوي 2 (ما يسمى بالتوائم). حتى الآن (1987) من غير المعروف ما إذا كانت مجموعة هذه التوائم محدودة أم لا نهائية. تظهر جداول الأعداد الأولية ضمن أول 11 مليون رقم طبيعي توائم كبيرة جدًا (على سبيل المثال ، 10.006.427 و 10.006.429).
يعد توضيح توزيع الأعداد الأولية في المتسلسلة الطبيعية للأرقام مشكلة صعبة للغاية في نظرية الأعداد. يتم طرحه كدراسة للسلوك المقارب لوظيفة تدل على عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز رقم موجب، عدد إيجابي X. يتضح من نظرية إقليدس أن في. قدم L. Euler وظيفة زيتا في عام 1737.
كما أثبت ذلك
حيث يتم إجراء الجمع على جميع الأعداد الطبيعية ، ويتم أخذ المنتج على جميع الأعداد الأولية. تلعب هذه الهوية وتعميماتها دورًا أساسيًا في نظرية توزيع الأعداد الأولية. انطلاقا من هذا ، أثبت L. Euler أن السلسلة والمنتج الرئيسي يتباعدان. علاوة على ذلك ، أثبت L. Euler أن هناك "العديد" من الأعداد الأولية ، لأن
وفي الوقت نفسه ، تكون جميع الأعداد الطبيعية تقريبًا مركبة ، منذ في.
ولأي (أي ما ينمو كوظيفة). ترتيبًا زمنيًا ، النتيجة المهمة التالية التي تنقح نظرية تشيبيشيف هي ما يسمى. قانون التقارب لتوزيع الأعداد الأولية (J. Hadamard، 1896، Ch. La Vallee Poussin، 1896) ، والذي يتألف من حقيقة أن حد النسبة إلى يساوي 1. وبالتالي ، تم توجيه جهود كبيرة لعلماء الرياضيات إلى توضيح قانون التقارب لتوزيع الأعداد الأولية. تتم دراسة أسئلة توزيع الأعداد الأولية بالطرق الأولية وطرق التحليل الرياضي.
من المنطقي هنا إثبات بعض النظريات الواردة في المقالة.
Lemma 1. إذا كانت gcd (a، b) = 1 ، فهناك أعداد صحيحة x، y مثل ذلك.
دليل. لنفترض أن a و b عددان أوليان نسبيًا. ضع في اعتبارك المجموعة J لجميع الأعداد الطبيعية z التي يمكن تمثيلها في النموذج ، واختر فيها أصغر عددد.
دعونا نثبت أن a يقبل القسمة على d. قسّم a على d مع الباقي: ودع. نظرًا لأنه يحتوي على الشكل ،
نحن نرى ذلك.
نظرًا لأننا افترضنا أن d هو أصغر رقم في J ، فلدينا تناقض. لذا فإن a يقبل القسمة على د.
بالطريقة نفسها ، نثبت أن b يقبل القسمة على d. لذا د = 1. ثبت أن اللمة.
النظرية 1. إذا كان الرقمان a و b عبارة عن جريمة مشتركة وكان المنتج bx يقبل القسمة على a ، فإن x يقبل القسمة على a.
إثبات 1. علينا أن نثبت أن الفأس يقبل القسمة على b و gcd (a، b) = 1 ، ثم x يقبل القسمة على b.
بواسطة Lemma 1 ، هناك x ، y مثل ذلك. ثم ، من الواضح ، أنه يقبل القسمة على ب.
إثبات 2. ضع في اعتبارك المجموعة J من جميع الأعداد الطبيعية z بحيث يكون zc قابلاً للقسمة على b. لنفترض أن d هو أصغر رقم في J. ومن السهل رؤية ذلك. على غرار إثبات Lemma 1 ، نثبت أن a يقبل القسمة على d و b يقبل القسمة على d
Lemma 2. إذا كانت الأرقام q و p1 و p2 و pn أولية وكان المنتج قابلاً للقسمة على q ، فإن أحد الأرقام pi يساوي q.
دليل. بادئ ذي بدء ، لاحظ أنه إذا كان العدد الأولي p يقبل القسمة على q ، فإن p = q. هذا يعني على الفور تأكيد اللمة لـ n = 1. بالنسبة إلى n = 2 ، فإنه يتبع مباشرة من النظرية 1: إذا كان p1p2 قابل للقسمة على رقم أولي q u ، فإن p2 يقبل القسمة على q (ie).
نثبت اللمة لـ n = 3 على النحو التالي. دع p1 p2 p3 يقبل القسمة على q. إذا كانت p3 = q ، فسيتم إثبات كل شيء. إذا ، وفقًا للنظرية 1 ، فإن p1 p2 يقبل القسمة على q. وبالتالي ، قمنا بتقليل الحالة n = 3 إلى الحالة التي تم النظر فيها بالفعل n = 2.
وبالمثل ، من n = 3 يمكننا الانتقال إلى n = 4 ، ثم إلى n = 5 ، وبوجه عام ، بافتراض إثبات تأكيد lemma n = k ، يمكننا بسهولة إثبات ذلك من أجل n = k + 1. هذا يقنعنا أن اللمة صحيحة لكل ن.
النظرية الأساسية في الحساب. يمكن أن يتحلل كل رقم طبيعي إلى العوامل الأوليةالطريقة الوحيدة.
دليل. افترض أن هناك نوعين من تحليل العوامل للرقم أ في العوامل الأولية:
بما أن الطرف الأيمن يقبل القسمة على q1 ، إذن الجهه اليسرىيجب أن تكون المساواة قابلة للقسمة على q1. وفقًا لـ Lemma 2 ، أحد الأرقام يساوي q1. دعونا نلغي طرفي المساواة بواسطة q1.
دعونا ننفذ نفس المنطق لـ q2 ، ثم q3 ، لـ qi. في النهاية ، سيتم تقليل جميع العوامل الموجودة على اليمين وستبقى 1. وبطبيعة الحال ، لن يبقى شيء على اليسار باستثناء واحد. ومن هنا نستنتج أن التوسعين ويمكن أن يختلفا فقط في ترتيب العوامل. لقد تم إثبات النظرية.
نظرية إقليدس. عدد الأعداد الأولية لانهائي.
دليل. افترض أن سلسلة الأعداد الأولية محدودة ، ودل على آخر رقم أولي بالحرف N
دعنا نضيف 1 إليها. نحصل على:
يجب أن يحتوي هذا الرقم ، كونه عددًا صحيحًا ، على عامل أولي واحد على الأقل ، أي أنه يجب أن يكون قابلاً للقسمة على رقم أولي واحد على الأقل. لكن جميع الأعداد الأولية ، من خلال الافتراض ، لا تتجاوز N ، والرقم M + 1 لا يقبل القسمة دون الباقي على أي من الأعداد الأولية أقل من أو يساوي N - في كل مرة يكون الباقي 1. يتم إثبات النظرية.
النظرية 4. يمكن أن تكون أقسام الأعداد المركبة بين الأعداد الأولية بأي طول. سنثبت الآن أن السلسلة تتكون من عدد n من الأرقام المركبة المتتالية.
هذه الأرقام تذهب مباشرة واحدة تلو الأخرى في المتسلسلة الطبيعية ، حيث أن كل رقم تالي يزيد بمقدار واحد عن الرقم السابق. يبقى إثبات أنها كلها مركبة.
الرقم الأول
حتى ، بما أن كلا المصطلحين يحتويان على العامل 2. وأي عدد زوجي أكبر من 2 يكون مركبًا.
يتكون الرقم الثاني من حدين ، كل منهما من مضاعف 3. لذلك ، هذا الرقم مركب.
وبالمثل ، فإننا نثبت أن الرقم التالي هو مضاعف للرقم 4 ، وهكذا دواليك. وبعبارة أخرى ، يحتوي كل رقم في سلسلتنا على عامل يختلف عن واحد ونفسه ؛ لذلك فهو مركب. لقد تم إثبات النظرية.
بعد دراسة البراهين على النظريات ، نواصل النظر في المقالة. في نصها ، تم ذكر غربال إراتوستينس كوسيلة للعثور على الأعداد الأولية. دعنا نقرأ عن هذه الطريقة من نفس القاموس:
"غربال إراتوستينس هو طريقة تم تطويرها بواسطة إراتوستينس والتي تتيح لك فرز الأرقام المركبة من السلاسل الطبيعية. جوهر غربال إراتوستينس على النحو التالي. تم شطب الوحدة. الرقم الثاني بسيط. يتم شطب جميع الأعداد الطبيعية القابلة للقسمة على 2. الرقم 3 - أول رقم غير متقاطع سيكون أوليًا. علاوة على ذلك ، يتم شطب جميع الأعداد الطبيعية القابلة للقسمة على 3. الرقم 5 - الرقم التالي غير المتقاطع - سيكون بسيطًا. استمرار الحسابات المماثلة ، يمكن للمرء أن يجد قطعة طويلة بشكل تعسفي من سلسلة من الأعداد الأولية. تم تطوير غربال إراتوستينس كطريقة نظرية لدراسة نظرية الأعداد بواسطة دبليو برون (1919).
هنا أكبر عدد، والذي يُعرف حاليًا أنه ببساطة:
يحتوي هذا العدد على حوالي سبعمائة منزل عشري. الحسابات التي وجد من خلالها أن هذا الرقم أولي تم إجراؤها على أجهزة الكمبيوتر الحديثة.
"دالة زيتا ريمان ، -وظيفة ، هي دالة تحليلية لمتغير معقد ، لـ σ> 1 ، تحددها سلسلة Dirichlet متقاربة بشكل مطلق وموحد:
بالنسبة إلى σ> 1 ، يكون التمثيل في شكل منتج أويلر صالحًا:
(2) حيث p يمر عبر جميع الأعداد الأولية.
تعد هوية السلسلة (1) والمنتج (2) إحدى الخصائص الرئيسية لدالة زيتا. يسمح لك بالحصول على نسب مختلفةحيث تربط دالة زيتا بأهم وظائف نظرية الأعداد. لذلك يتم تشغيل وظيفة زيتا دور كبيرفي نظرية الأعداد.
تم تقديم دالة زيتا كدالة لمتغير حقيقي بواسطة L. Euler (1737 ، سنة النشر. 1744) ، الذي أشار إلى موقعه في المنتج (2). ثم تم دراسة دالة زيتا بواسطة P. Dirichlet وبشكل خاص بواسطة P. L. Chebyshev فيما يتعلق بدراسة قانون توزيع الأعداد الأولية. ومع ذلك ، تم اكتشاف أعمق خصائص دالة زيتا بعد عمل ب. تعيين """.
لكن السؤال الذي يطرح نفسه: ما هو التطبيق العملي لكل هذا العمل على الأعداد الأولية؟ في الواقع ، لا فائدة منها تقريبًا ، ولكن هناك منطقة واحدة يتم فيها تطبيق الأعداد الأولية وخصائصها حتى يومنا هذا. هذا هو التشفير. هنا ، تُستخدم الأعداد الأولية في أنظمة التشفير دون نقل المفاتيح.
لسوء الحظ ، هذا كل ما نعرفه عن الأعداد الأولية. لا يزال هناك العديد من الألغاز المتبقية. على سبيل المثال ، من غير المعروف ما إذا كانت مجموعة الأعداد الأولية التي يمكن تمثيلها كمربعين لا نهائية.
"أرقام أولية غير بسيطة".
قررت إجراء القليل من البحث للعثور على إجابات لبعض الأسئلة حول الأعداد الأولية. بادئ ذي بدء ، لقد جمعت برنامجًا يطبع جميع الأعداد الأولية المتتالية الأقل من 1.000.000.000 بالإضافة إلى ذلك ، قمت بتجميع برنامج يحدد ما إذا كان الرقم المدخل أوليًا. لدراسة مشاكل الأعداد الأولية ، قمت ببناء رسم بياني يوضح اعتماد قيمة العدد الأولي على الرقم الترتيبي. وكخطة بحث أخرى ، قررت استخدام مقالة I. S. Zeltser و B. A. Kordemsky " الأعداد الأولية." حدد المؤلفون مسارات البحث التالية:
1. 168 مكانًا من أول ألف من الأعداد الطبيعية تشغلها الأعداد الأولية. من بين هذه الأرقام ، هناك 16 رقمًا متناوبًا - كل منها يساوي العكس: 11 ، 101 ، 131 ، 151 ، 181 ، 191 ، 313 ، 353 ، 373 ، 383 ، 727 ، 757 ، 787 ، 797 ، 919 ، 929.
لا يوجد سوى 1061 من أربعة أعداد أولية ، ولا يوجد أي منها متناوب.
هناك العديد من الأرقام المتناظرة البسيطة المكونة من خمسة أرقام. ومن بين هذه المحاسن: 13331 ، 15551 ، 16661 ، 19991. لا شك أن هناك قطعان من هذا النوع: ،. ولكن كم عدد النسخ في كل قطيع من هذا القبيل؟
3 + س + س + س + 3 = 6 + 3 س = 3 (2 + س)
9 + س + س + س + 9 = 18 + 3 س = 3 (6 + س)
يمكن ملاحظة أن مجموع أرقام الأرقام قابل للقسمة على 3 ، وبالتالي فإن هذه الأرقام نفسها قابلة للقسمة أيضًا على 3.
بالنسبة لأرقام النموذج ، من بينها الأرقام 72227 ، 75557 ، 76667 ، 78887 ، 79997 أولية.
2. في الألف رقم الأول هناك خمسة "رباعيات" تتكون من أعداد أولية متتالية ، آخر الأرقاموالتي تشكل التسلسل 1 ، 3 ، 7 ، 9: (11 ، 13 ، 17 ، 19) ، (101 ، 103 ، 107 ، 109) ، (191 ، 193 ، 197 ، 199) ، (211 ، 223 ، 227 ، 229 ) ، (821 ، 823 ، 827 ، 829).
كم عدد هذه الرباعيات الموجودة بين الأعداد الأولية المكونة من n أرقام لـ n> 3؟
باستخدام البرنامج الذي كتبته ، وجدت الرباعية التي فاتها المؤلفون: (479 ، 467 ، 463 ، 461) والرباعية لـ n = 4 ، 5 ، 6. بالنسبة إلى n = 4 ، هناك 11 رباعيًا
3. قطيع من تسعة أعداد أولية: 199 ، 409 ، 619 ، 829 ، 1039 ، 1249 ، 1459 ، 1669 ، 1879 - جذاب ليس فقط لأنه يمثل المتوالية العدديةبفارق 210 ، ولكن أيضًا القدرة على التوافق في تسع خلايا بحيث يتكون مربع سحري بثابت يساوي الفرق بين عددين أوليين: 3119 - 2:
العضو العاشر التالي من التقدم قيد النظر ، 2089 ، هو أيضًا رقم أولي. إذا قمت بإزالة الرقم 199 من القطيع ، ولكنك قمت بتضمين 2089 ، فيمكن للقطيع في هذا التكوين أن يشكل مربعًا سحريًا - موضوعًا للبحث.
وتجدر الإشارة إلى أن هناك مربعات سحرية أخرى تتكون من أعداد أولية:
1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687
2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547
2897 947 2357 4517 3347 5867 3917
3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257
4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477
4817 4767 827 887 5147 5387 1997
4127 557 617 3137 5507 4937 4967
المربع المقترح مثير للفضول لأنه
1. إنها ساحة سحرية 7 × 7.
2. تحتوي على مربع سحري 5 × 5.
3. يحتوي المربع السحري 5 × 5 على مربع سحري 3 × 3 ؛
4. كل هذه المربعات لها رقم مركزي مشترك واحد - 3407 ؛
5. جميع الأرقام الـ 49 المدرجة في النهاية المربعة 7x7 في الرقم 7 ؛
6. جميع الأرقام الـ 49 المدرجة في المربع 7x7 هي أعداد أولية.
7. يمكن تمثيل كل رقم من الأرقام الـ 49 المدرجة في مربع 7x7 على أنه 30n + 17.
البرامج المستخدمة كتبت بواسطتي بلغة البرمجة Dev-C ++ وأقدم نصوصها في الملحق (انظر الملفات ذات الامتداد .cpp). بالإضافة إلى كل ما سبق ، كتبت برنامجًا يحلل الأعداد الطبيعية المتتالية إلى عوامل أولية (انظر المقسومات 1. cpp) وبرنامج يحلل فقط الرقم المدخل إلى عوامل أولية (انظر المقسومات 2. cpp). نظرًا لأن هذه البرامج في شكل مترجم تشغل مساحة كبيرة ، يتم إعطاء نصوصها فقط. ومع ذلك ، يمكن لأي شخص تجميعها إذا كان لديه البرنامج المناسب.
سيرة العلماء المشاركين في مشكلة الأعداد الأولية
يوكليدس
(حوالي 330 قبل الميلاد - حوالي 272 قبل الميلاد)
تم الحفاظ على القليل جدًا من المعلومات الموثوقة حول حياة أشهر عالم رياضيات في العصور القديمة. يُعتقد أنه درس في أثينا ، وهو ما يفسر قيادته الرائعة للهندسة التي طورتها مدرسة أفلاطون. ومع ذلك ، من الواضح أنه لم يكن على دراية بكتابات أرسطو. عمل استاذا في الإسكندرية حيث نال ثناء كبيرا على عمله النشاط التربويفي عهد بطليموس الأول سوتر. هناك أسطورة طلبها هذا الملك أن يكشفها له عن طريقة لتحقيق نجاح سريع في الرياضيات ، ورد عليها إقليدس بأنه لا توجد طرق ملكية في الهندسة (ومع ذلك ، فقد رويت قصة مماثلة أيضًا عن منشم ، الذي يُزعم أنه سُئل عن نفس الشيء من قبل الإسكندر الأكبر). حافظ التقليد على ذكرى إقليدس كشخص خير ومتواضع. إقليدس هو مؤلف أطروحات حول مواضيع مختلفة ، لكن اسمه مرتبط بشكل أساسي بإحدى الرسائل المسماة "البدايات". تدور أحداث الفيلم حول مجموعة من أعمال علماء الرياضيات الذين عملوا قبله (أشهرهم كان أبقراط كوس) ، وقد حقق نتائجها الكمال بفضل قدرته على التعميم والاجتهاد.
أويلر (أويلر) ليونارد
(بازل ، سويسرا 1707 - سانت بطرسبرغ ، 1783)
عالم رياضيات وميكانيكي وفيزيائي. ولد في عائلة قس فقير بول أويلر. تلقى تعليمه أولاً من والده ، وفي 1720-1724 في جامعة بازل ، حيث حضر محاضرات في الرياضيات من قبل إ. برنولي.
في نهاية عام 1726 ، تمت دعوة أويلر إلى أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم وفي مايو 1727 وصل إلى سان بطرسبرج. في الأكاديمية المنظمة حديثًا ، وجد أويلر ظروفًا مواتية للنشاط العلمي ، مما سمح له بالبدء فورًا في دراسة الرياضيات والميكانيكا. خلال الأربعة عشر عامًا من فترة بطرسبورغ الأولى من حياته ، أعد أويلر حوالي 80 عملاً للنشر ونشر أكثر من 50 عملاً. درس اللغة الروسية في سانت بطرسبرغ.
شارك أويلر في العديد من أنشطة أكاديمية سان بطرسبرج للعلوم. ألقى محاضرات لطلاب الجامعة الأكاديمية ، وشارك في العديد من الاختبارات التقنية ، وعمل على تجميع خرائط روسيا ، وكتب "دليل الحساب" المتاح للجمهور (1738-40). بناءً على تعليمات خاصة من الأكاديمية ، أعد أويلر للنشر Naval Science (1749) ، وهو عمل أساسي حول نظرية بناء السفن والملاحة.
في عام 1741 ، قبل أويلر عرض الملك البروسي فريدريك الثاني بالانتقال إلى برلين ، حيث كان من المقرر إعادة تنظيم أكاديمية العلوم. في أكاديمية برلين للعلوم ، تولى أويلر منصب مدير فصل الرياضيات وعضو في مجلس الإدارة ، وبعد وفاة أول رئيس لها ، بي. لمدة 25 عامًا من حياته في برلين ، أعد حوالي 300 عمل ، من بينها عدد من الدراسات الكبيرة.
أثناء إقامته في برلين ، لم يتوقف أويلر عن العمل بشكل مكثف في أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم ، واحتفظ بلقب العضو الفخري. أجرى مراسلات علمية وعلمية تنظيمية واسعة النطاق ، على وجه الخصوص ، تراسل مع M. Lomonosov ، الذي كان يقدره للغاية. أشرف أويلر على تحرير قسم الرياضيات في هيئة علمية أكاديمية روسية ، حيث نشر خلال هذا الوقت تقريبًا عددًا من المقالات يساوي عدد المقالات الموجودة في "مذكرات" أكاديمية برلين للعلوم. شارك بنشاط في تدريب علماء الرياضيات الروس ؛ تم إرسال الأكاديميين المستقبليين S. Kotelnikov و S. Rumovsky و M. Sofronov إلى برلين للدراسة تحت قيادته. قدم أويلر مساعدة كبيرة لأكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم ، واكتسب المؤلفات العلمية والمعدات اللازمة لها ، والتفاوض مع المرشحين لشغل مناصب في الأكاديمية ، وما إلى ذلك.
في 17 يوليو (28) ، 1766 ، عاد أويلر وعائلته إلى سان بطرسبرج. على الرغم من تقدمه في السن والعمى شبه الكامل الذي أصابه ، إلا أنه عمل بشكل منتج حتى نهاية حياته. خلال 17 عامًا من إقامته الثانية في سانت بطرسبرغ ، أعد حوالي 400 عمل ، من بينها العديد من الكتب الكبيرة. واصل أويلر المشاركة في العمل التنظيمي للأكاديمية. في عام 1776 ، كان أحد الخبراء في مشروع جسر أحادي القوس عبر نهر نيفا ، الذي اقترحه آي كوليبين ، ومن اللجنة بأكملها ، قدم وحده دعمًا واسعًا للمشروع.
حظيت مزايا أويلر كعالم بارز ومنظم للبحث العلمي بتقدير كبير خلال حياته. بالإضافة إلى أكاديميات سانت بطرسبرغ وبرلين ، كان عضوًا في أكبر المؤسسات العلمية: أكاديمية باريس للعلوم والجمعية الملكية في لندن وغيرها.
من السمات المميزة لعمل أويلر إنتاجيته الاستثنائية. فقط خلال حياته ، تم نشر حوالي 550 من كتبه ومقالاته (تحتوي قائمة أعمال أويلر على حوالي 850 عنوانًا). في عام 1909 ، بدأت الجمعية السويسرية للعلوم الطبيعية في نشر أعمال أويلر الكاملة ، والتي اكتملت في عام 1975 ؛ يتكون من 72 مجلدا. تعتبر مراسلات أويلر العلمية الضخمة (حوالي 3000 حرف) ذات أهمية كبيرة ، والتي تم نشرها جزئيًا فقط حتى الآن.
كانت دائرة دراسات أويلر واسعة بشكل غير عادي ، حيث غطت جميع أقسام الرياضيات والميكانيكا المعاصرة ، ونظرية المرونة ، والفيزياء الرياضية ، والبصريات ، ونظرية الموسيقى ، ونظرية الآلة ، والمقذوفات ، والعلوم البحرية ، وأعمال التأمين ، وما إلى ذلك. حوالي 3/5 من أعمال أويلر تنتمي إلى الرياضيات ، والباقي 2/5 أساسًا لتطبيقاتها. نظم العالم نتائجه والنتائج التي حصل عليها الآخرون في عدد من الدراسات الكلاسيكية ، مكتوبة بوضوح مذهل ومزودة بأمثلة قيمة. هذه ، على سبيل المثال ، "الميكانيكا ، أو علم الحركة ، مبين تحليليًا" (1736) ، "مقدمة في التحليل" (1748) ، "حساب التفاضل" (1755) ، "نظرية الحركة جسم صلب"(1765) ،" الحساب العالمي "(1768-1769) ، والذي تم نشره في حوالي 30 إصدارًا بست لغات ،" حساب التفاضل والتكامل المتكامل "(1768-1794) ، إلخ. في القرن الثامن عشر. وجزئيا في القرن التاسع عشر. اكتسبت الرسائل المتعلقة بمختلف المسائل الفيزيائية والفلسفية المتاحة للجمهور ، والمكتوبة إلى أميرة ألمانية معينة ، شعبية هائلة. (1768–1774) ، والذي تم نشره في أكثر من 40 إصدارًا بعشر لغات. تم لاحقًا تضمين معظم محتوى دراسات أويلر في الكتب المدرسية للأعلى أو جزئيًا المدرسة الثانوية. من المستحيل سرد جميع نظريات وطرق وصيغ أويلر التي تم استخدامها حتى الآن ، والتي يظهر القليل منها فقط في الأدبيات تحت اسمه [على سبيل المثال ، طريقة أويلر للخط المتقطع ، واستبدالات أويلر ، وثابت أويلر ، ومعادلات أويلر ، صيغ أويلر ، دالة أويلر ، أرقام أويلر ، صيغة أويلر - Maclaurin ، صيغ أويلر فورييه ، خصائص أويلر ، تكاملات أويلر ، زوايا أويلر].
في "الميكانيكا" شرح أويلر أولاً ديناميكيات نقطة ما بمساعدة التحليل الرياضي: الحركة الحرة لنقطة تحت تأثير قوى مختلفة سواء في الفراغ أو في وسط به مقاومة ؛ حركة نقطة على طول خط معين أو على طول سطح معين ؛ الحركة تحت تأثير القوى المركزية. في عام 1744 صاغ لأول مرة بشكل صحيح المبدأ الميكانيكي للعمل الأقل وأظهر تطبيقاته الأولى. في Theory of Motion of the Rigid Body ، طور أويلر حركيات وديناميكيات الجسم الصلب وأعطى معادلات دورانه حول نقطة ثابتة ، ووضع الأساس لنظرية الجيروسكوبات. في نظريته عن السفينة ، قدم أويلر مساهمة قيمة في نظرية الاستقرار. من المهم اكتشافات أويلر في الميكانيكا السماوية (على سبيل المثال ، في نظرية حركة القمر) ، وميكانيكا الاستمرارية (المعادلات الأساسية لحركة مائع مثالي في شكل أويلر وفي ما يسمى بمتغيرات لاغرانج ، تذبذبات الغازات في الأنابيب ، إلخ). في علم البصريات ، أعطى أويلر (1747) صيغة العدسة ثنائية الوجه واقترح طريقة لحساب معامل الانكسار للوسط. التزم أويلر بنظرية موجات الضوء. كان يعتقد أن الألوان المختلفة تتوافق مع أطوال موجية مختلفة من الضوء. اقترح أويلر طرقًا للتخلص من الانحرافات اللونية للعدسات وقدم طرقًا لحساب المكونات البصرية للمجهر. دورة واسعة من الأعمال ، بدأت في عام 1748 ، كرس أويلر الفيزياء الرياضية: مشاكل اهتزاز الخيط ، اللوح ، الغشاء ، إلخ. كل هذه الدراسات حفزت تطوير النظرية المعادلات التفاضليةطرق تقريبية للتحليل خاصة. وظائف ، والهندسة التفاضلية ، وما إلى ذلك. تم تضمين العديد من اكتشافات أويلر الرياضية بدقة في هذه الأعمال.
كان عمل أويلر الرئيسي كعالم رياضيات هو تطوير التحليل الرياضي. لقد وضع أسس العديد من التخصصات الرياضية التي كانت في مهدها فقط أو كانت غائبة تمامًا في حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر لـ I.Notton و G.Lebniz و Bernoulli Brothers. وهكذا ، كان أويلر أول من أدخل وظائف حجة معقدة ودرس خصائص الوظائف الأولية الأساسية لمتغير معقد (الدوال الأسية واللوغاريتمية والمثلثية) ؛ على وجه الخصوص ، اشتق الصيغ المتعلقة الدوال المثلثيةمع مظاهرة. كان عمل أويلر في هذا الاتجاه بمثابة بداية نظرية وظائف المتغير المعقد.
كان أويلر مبتكر حساب التباينات ، الموصوف في العمل "طريقة لإيجاد الخطوط المنحنية ذات الخصائص القصوى أو الدنيا. »(1744). الطريقة التي اشتق بها أويلر عام 1744 شرط ضروريالحد الأقصى من المعادلة الوظيفية - معادلة أويلر ، كانت النموذج الأولي للطرق المباشرة لحساب التفاضل والتكامل في القرن العشرين. ابتكر أويلر نظرية المعادلات التفاضلية العادية كنظام مستقل ووضع الأسس لنظرية المعادلات التفاضلية الجزئية. هنا يمتلك عددًا كبيرًا من الاكتشافات: الطريقة الكلاسيكيةحلول المعادلات الخطية ذات المعاملات الثابتة ، طريقة اختلاف الثوابت التعسفية ، توضيح الخصائص الأساسية لمعادلة ريكاتي ، تكامل المعادلات الخطية مع المعاملات المتغيرة باستخدام متسلسلة لانهائية ، معايير الحلول الفردية ، عقيدة عامل التكامل ، مختلف طرق تقريبية وعدد من الطرق لحل المعادلات التفاضلية الجزئية. جمع أويلر جزءًا مهمًا من هذه النتائج في "حساب التفاضل والتكامل المتكامل".
قام أويلر أيضًا بإثراء حساب التفاضل والتكامل بالمعنى الضيق للكلمة (على سبيل المثال ، نظرية تغيير المتغيرات ، نظرية الدوال المتجانسة ، مفهوم التكامل المزدوج ، وحساب العديد من التكاملات الخاصة). في "حساب التفاضل" ، عبر أويلر ودعمه بأمثلة عن اقتناعه بملاءمة استخدام السلاسل المتباينة والأساليب المقترحة للتلخيص المعمم للسلسلة ، مستبقًا أفكار النظرية الصارمة الحديثة للسلسلة المتباينة ، التي تم إنشاؤها في نهاية القرنين التاسع عشر والعشرين. بالإضافة إلى ذلك ، حصل أويلر على العديد من النتائج الملموسة في نظرية السلاسل. فتح ما يسمى ب. معادلة تلخيص أويلر-ماكلورين ، اقترحت تحويل السلاسل التي تحمل اسمه ، وحددت مجاميع عدد كبير من السلاسل ، وقدمت أنواعًا جديدة مهمة من السلاسل في الرياضيات (على سبيل المثال ، المتسلسلات المثلثية). تجاور هنا دراسات أويلر حول نظرية الكسور المستمرة والعمليات اللانهائية الأخرى.
أويلر هو مؤسس نظرية الوظائف الخاصة. بدأ أولاً في اعتبار الجيب وجيب التمام كوظائف ، وليس مقاطع في دائرة. حصل تقريبًا على جميع التوسعات الكلاسيكية للوظائف الأولية إلى سلاسل ومنتجات لا نهائية. تم إنشاء نظرية γ-function في أعماله. لقد حقق في خصائص التكاملات الإهليلجية ، والوظائف الزائدية والأسطوانية ، والدالة ζ ، وبعض دوال ، واللوغاريتم المتكامل ، وفئات مهمة من كثيرات الحدود الخاصة.
وفقًا لـ P. Chebyshev ، أرسى أويلر الأساس لجميع الأبحاث التي تشكل الجزء العام من نظرية الأعداد. وهكذا ، أثبت أويلر عددًا من العبارات التي أدلى بها P. Fermat (على سبيل المثال ، نظرية فيرما الصغيرة) ، وطور أسس نظرية بقايا الطاقة ونظرية الأشكال التربيعية ، واكتشف (ولكن لم يثبت) قانون المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية ، ودرس عددا من المشاكل في تحليل Diophantine. كان أويلر أول من استخدم طرق التحليل في أعماله المتعلقة بتقسيم الأعداد إلى مصطلحات وعلى نظرية الأعداد الأولية ، وبذلك كان منشئ نظرية الأعداد التحليلية. على وجه الخصوص ، قدم وظيفة ζ وأثبت ما يسمى. هوية أويلر تربط الأعداد الأولية بجميع الأعداد الطبيعية.
تعتبر مزايا أويلر رائعة أيضًا في مجالات الرياضيات الأخرى. في الجبر ، يمتلك أعمالًا على الحل في جذور المعادلات درجات أعلىوحول المعادلات في مجهولين ، وكذلك ما يسمى. هوية أويلر المكونة من أربعة مربعات. حقق أويلر تقدمًا كبيرًا في الهندسة التحليلية ، خاصة في نظرية الأسطح من الدرجة الثانية. في الهندسة التفاضلية ، درس بالتفصيل خصائص الخطوط الجيوديسية ، ولأول مرة طبق المعادلات الطبيعية للمنحنيات ، والأهم من ذلك أنه وضع أسس نظرية الأسطح. قدم مفهوم الاتجاهات الرئيسية عند نقطة على السطح ، وأثبت تعامدها ، واشتق صيغة لانحناء أي قسم عادي ، وبدأ في دراسة الأسطح القابلة للتطوير ، وما إلى ذلك ؛ في أحد الأعمال المنشورة بعد وفاته (1862) ، توقع جزئيًا بحث K.Gauss على الهندسة الجوهرية للأسطح. تعامل أويلر أيضًا مع الأسئلة الفردية للطوبولوجيا وأثبت ، على سبيل المثال ، نظرية مهمة حول الأشكال المتعددة السطوح المحدبة. غالبًا ما يوصف أويلر عالم الرياضيات بأنه "آلة حاسبة" رائعة. في الواقع ، كان سيدًا غير مسبوق في الحسابات والتحولات الشكلية ، في العديد من أعماله الصيغ الرياضيةوتلقى الرموز نظرة حديثة(على سبيل المثال ، يمتلك التعيينات لـ e و). ومع ذلك ، قدم أويلر أيضًا عددًا من الأفكار العميقة في العلوم ، والتي أصبحت الآن مدعومة بدقة وتشكل نموذجًا لعمق الاختراق في موضوع البحث.
وفقًا لـ P. Laplace ، كان أويلر مدرسًا لعلماء رياضيات من الدرجة الثانية نصف الثامن عشرالخامس.
ديريكليت بيتر جوستاف
(Düren، now Germany، 1805 - Göttingen، ibid.، 1859)
درس في باريس ، وحافظ على علاقات ودية مع علماء الرياضيات البارزين ، ولا سيما مع فورييه. عند الاستلام درجةكان أستاذاً في جامعات بريسلاو (1826 - 1828) ، برلين (1828 - 1855) وجوتنجن ، حيث أصبح رئيسًا لقسم الرياضيات بعد وفاة العالم كارل فريدريش جاوس. أهم مساهماته في العلوم تتعلق بنظرية الأعداد ، وبشكل أساسي دراسة السلاسل. هذا سمح له بتطوير نظرية السلسلة التي اقترحها فورييه. ابتكر نسخته الخاصة من برهان نظرية فيرما ، واستخدم الدوال التحليلية لحل المسائل الحسابية ، وقدم معايير التقارب للسلسلة. في مجال التحليل الرياضي ، قام بتحسين تعريف ومفهوم الوظيفة في هذا المجال الميكانيكا النظريةركز على دراسة استقرار الأنظمة وعلى المفهوم النيوتوني للإمكانات.
تشيبيشيف بافنوتي لفوفيتش
عالم رياضيات روسي ، مؤسس مدرسة سانت بطرسبرغ العلمية ، وأكاديمي أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم (1856). أرست أعمال تشيبيشيف الأساس لتطوير العديد من فروع الرياضيات الجديدة.
أكثر أعمال تشيبيشيف عددًا هي في مجال التحليل الرياضي. كان ، على وجه الخصوص ، موضوع أطروحة عن الحق في المحاضرة ، حيث بحث تشيبيشيف في تكامل بعض التعبيرات غير المنطقية في الدوال الجبرية واللوغاريتمات. كرس Chebyshev أيضًا عددًا من الأعمال الأخرى لتكامل الوظائف الجبرية. في واحد منهم (1853) ، تم الحصول على نظرية معروفة حول شروط التكامل في الوظائف الأولية ذات الحدين التفاضلي. أحد المجالات المهمة للبحث في التحليل الرياضي هو عمله على بناء نظرية عامة لمتعامد متعدد الحدود. كان سبب إنشائها هو الاستيفاء المكافئ بطريقة المربعات الصغرى. تجاور تحقيقات تشيبيشيف حول مشكلة اللحظات والصيغ التربيعية دائرة الأفكار نفسها. مع وضع تقليل الحسابات في الاعتبار ، اقترح تشيبيشيف (1873) النظر في صيغ التربيع ذات المعاملات المتساوية (التكامل التقريبي). ارتبط البحث في الصيغ التربيعية ونظرية الاستيفاء ارتباطًا وثيقًا بالمهام التي تم تعيينها لتشيبيشيف في قسم المدفعية باللجنة العلمية العسكرية.
في نظرية الاحتمالات ، يُنسب إلى Chebyshev المقدمة المنهجية للنظر في المتغيرات العشوائية وإنشاء تقنية جديدة لإثبات نظريات الحد في نظرية الاحتمالات - ما يسمى. طريقة اللحظات (1845 ، 1846 ، 1867 ، 1887). لقد أثبت قانون الأعداد الكبيرة بشكل عام جدًا ؛ في نفس الوقت ، برهانه ملفت للنظر في بساطته وعنصريته. لم يكمل تشيبيشيف دراسة شروط تقارب دوال التوزيع لمجموع المتغيرات العشوائية المستقلة مع القانون العادي. ومع ذلك ، تمكن A. A. Markov من القيام بذلك بإضافة بعض أساليب تشيبيشيف. بدون اشتقاقات صارمة ، حدد Chebyshev أيضًا إمكانية تحسينات نظرية الحد هذه في شكل توسعات مقاربة لوظيفة التوزيع لمجموع المصطلحات المستقلة في قوى n21 / 2 ، حيث n هو عدد المصطلحات. يشكل عمل تشيبيشيف في نظرية الاحتمالات مرحلة مهمة في تطورها ؛ بالإضافة إلى ذلك ، كانوا الأساس الذي نشأت عليه المدرسة الروسية لنظرية الاحتمالات ، والتي كانت تتكون في البداية من الطلاب المباشرين في تشيبيشيف.
ريمان جورج فريدريش برنارد
(بريسلينز ، ساكسونيا السفلى ، 1826 - سيلاسكا ، بالقرب من إنترا ، إيطاليا 66)
عالم رياضيات ألماني. في عام 1846 التحق بجامعة جوتنجن: استمع إلى محاضرات K. Gauss ، الذي طور العديد من أفكاره لاحقًا. في 1847-1849 حضر محاضرات في جامعة برلين. في عام 1849 عاد إلى جوتنجن ، حيث أصبح صديقًا مقربًا مع مساعد جاوس ، الفيزيائي دبليو ويبر ، الذي أثار فيه اهتمامًا عميقًا بمسائل العلوم الطبيعية الرياضية.
في عام 1851 دافع عن أطروحة الدكتوراه "أساسيات النظرية العامة لوظائف متغير معقد واحد". من 1854 Privatdozent ، من 1857 أستاذًا في جامعة غوتنغن.
قدمت أعمال ريمان تأثير كبيرعلى تطوير الرياضيات في النصف الثاني من القرن التاسع عشر. وفي القرن العشرين. وضع ريمان في أطروحته للدكتوراه الأساس للاتجاه الهندسي لنظرية الوظائف التحليلية. قدم ما يسمى بأسطح ريمان ، والتي تعتبر مهمة في دراسة الوظائف متعددة القيم ، وطور نظرية الخرائط المطابقة ، وفيما يتعلق بذلك ، قدم الأفكار الأساسية للطوبولوجيا ، ودرس شروط وجود الوظائف التحليلية داخل المجالات. نوع مختلف(ما يسمى بمبدأ Dirichlet) ، إلخ. تلقت الأساليب التي طورها ريمان تطبيق واسعفي أعماله الإضافية حول نظرية الدوال والتكاملات الجبرية ، حول النظرية التحليلية للمعادلات التفاضلية (على وجه الخصوص ، المعادلات التي تحدد الوظائف فوق الهندسية) ، في نظرية الأعداد التحليلية (على سبيل المثال ، أشار ريمان إلى العلاقة بين توزيع الأعداد الأولية و خصائص الدالة ζ ، على وجه الخصوص ، مع توزيع أصفارها في المجال المعقد - ما يسمى بفرضية ريمان ، التي لم يتم إثبات صحتها بعد) ، إلخ.
في عدد من الأوراق ، بحث ريمان في توسيع الدوال إلى سلسلة مثلثية ، وفيما يتعلق بهذا ، حدد الشروط اللازمة والكافية للتكامل بمعنى ريمان ، والتي كانت مهمة لنظرية المجموعات ووظائف المتغير الحقيقي. . اقترح ريمان أيضًا طرقًا لدمج المعادلات التفاضلية الجزئية (على سبيل المثال ، استخدام ما يسمى بثوابت ريمان ووظيفة ريمان).
في محاضرته الشهيرة عام 1854 "حول الفرضيات الأساسية للهندسة" (1867) ، قدم ريمان فكرة عامة عن الفضاء الرياضي (في كلماته ، "المتشعبات") ، بما في ذلك المساحات الوظيفية والطوبولوجية. هنا اعتبر الهندسة بالمعنى الواسع عقيدة متشعبات الأبعاد المستمرة ، أي مجموعات من أي كائنات متجانسة ، وتعميم نتائج غاوس على الهندسة الجوهرية للسطح ، المفهوم العامعنصر خطي (تفاضل المسافة بين نقاط المتشعب) ، وبالتالي تحديد ما يسمى بمسافات فينسلر. بمزيد من التفصيل ، نظر ريمان إلى ما يسمى بالمساحات الريمانية ، وعمم مسافات هندسة إقليدس ، ولوباتشيفسكي ، وريمان ، وهندسة الإهليلجية ، التي تتميز بنوع خاص من العناصر الخطية ، وطور نظرية انحناءها. أثناء مناقشة تطبيق أفكاره على الفضاء المادي ، أثار ريمان مسألة "أسباب الخصائص المترية" لها ، كما لو كان توقعًا لما تم إنجازه في النظرية العامة للنسبية.
فتحت الأفكار والأساليب التي اقترحها ريمان مسارات جديدة في تطوير الرياضيات ووجدت تطبيقًا في الميكانيكا والنظرية النسبية العامة. توفي العالم عام 1866 من مرض السل.
رقم اوليهو رقم طبيعي (عدد صحيح موجب) يقبل القسمة بدون باقي على رقمين طبيعيين فقط: بمفرده. بمعنى آخر ، العدد الأولي له قاسمان طبيعيان بالضبط: والرقم نفسه.
بحكم التعريف ، فإن مجموعة جميع قواسم العدد الأولي تتكون من عنصرين ، أي هو عبارة عن مجموعة.
يتم الإشارة إلى مجموعة جميع الأعداد الأولية بالرمز. وهكذا ، بحكم تعريف مجموعة الأعداد الأولية ، يمكننا أن نكتب:.
يبدو تسلسل الأعداد الأولية كما يلي:
النظرية الأساسية في الحساب
النظرية الأساسية في الحسابيؤكد أن كل عدد طبيعي أكبر من واحد يمكن تمثيله كمنتج للأعداد الأولية ، وبطريقة فريدة ، حتى ترتيب العوامل. وبالتالي ، فإن الأعداد الأولية هي "اللبنات الأساسية" لمجموعة الأعداد الطبيعية.
تحليل عنوان رقم طبيعي = "(! LANG: تم التقديم بواسطة QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} العنوان الأساسي:
أين هو عدد أولي و. على سبيل المثال ، يبدو التوسع المتعارف عليه لعدد طبيعي كما يلي:.
يسمى أيضًا تمثيل العدد الطبيعي كمنتج للأعداد الأولية عامل العدد.
خصائص الأعداد الأولية
منخل إراتوستينس
واحدة من أشهر الخوارزميات للبحث عن الأعداد الأولية والتعرف عليها هي غربال إراتوستينس. لذلك سميت هذه الخوارزمية على اسم عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس القيرواني ، الذي يعتبر مؤلف الخوارزمية.
للعثور على جميع الأعداد الأولية الأقل من رقم معين ، باتباع طريقة إراتوستينس ، عليك اتباع الخطوات التالية:
الخطوة 1.اكتب في صف كل الأعداد الطبيعية من اثنين إلى ، أي .
الخطوة 2تعيين قيمة متغيرة، أي القيمة التي تساوي أصغر عدد أولي.
الخطوه 3احذف في القائمة جميع الأرقام من إلى مضاعفات ، أي الأرقام:.
الخطوة 4ابحث عن أول رقم غير متقاطع في القائمة أكبر من ، وقم بتعيين قيمة هذا الرقم إلى المتغير.
الخطوة الخامسةكرر الخطوتين 3 و 4 حتى يتم الوصول إلى الرقم.
ستبدو عملية تطبيق الخوارزمية كما يلي:
ستكون جميع الأرقام غير المتقاطعة المتبقية في القائمة في نهاية عملية تطبيق الخوارزمية عبارة عن مجموعة من الأعداد الأولية من إلى.
فرضية جولدباخ
غلاف كتاب "العم بيتروس وتخمين جولدباخ"
على الرغم من حقيقة أن الأعداد الأولية تمت دراستها من قبل علماء الرياضيات لفترة طويلة ، إلا أن العديد من المشكلات ذات الصلة اليوم لا تزال دون حل. واحدة من أشهر المشاكل التي لم يتم حلها هي تخمين جولدباخ، والتي صيغت على النحو التالي:
- هل صحيح أن كل عدد زوجي أكبر من اثنين يمكن تمثيله كمجموع اثنين من الأعداد الأولية (حدسية جولدباخ الثنائية)؟
- هل صحيح أن كل عدد فردي أكبر من 5 يمكن تمثيله كمجموع ثلاثة بسيطةالأرقام (تخمين جولدباخ الثلاثي)؟
يجب أن يقال أن تخمين جولدباخ الثلاثي هو حالة خاصة لتخمين جولدباخ الثنائي ، أو كما يقول علماء الرياضيات ، فإن تخمين جولدباخ الثلاثي أضعف من تخمين جولدباخ الثنائي.
أصبح تخمين جولدباخ معروفًا على نطاق واسع خارج المجتمع الرياضي في عام 2000 بفضل حيلة تسويقية إعلانية من قبل شركات النشر بلومزبري بالولايات المتحدة الأمريكية وفابر وفابر (المملكة المتحدة). بعد أن أصدرت دور النشر هذه كتاب "تخمين العم بيتروس وجولدباخ" ، وعدت بدفع جائزة قدرها مليون دولار أمريكي في غضون عامين من تاريخ نشر الكتاب لمن يثبت تخمين جولدباخ. أحيانًا يتم الخلط بين الجائزة المذكورة من الناشرين وجوائز حل مشكلات جائزة الألفية. لا تخطئ ، فرضية جولدباخ ليست مدرجة على أنها تحدي الألفية من قبل معهد كلاي ، على الرغم من أنها مرتبطة ارتباطًا وثيقًا فرضية ريمانأحد تحديات الألفية.
كتاب "أرقام بسيطة. طريق طويل إلى ما لا نهاية
غلاف كتاب عالم الرياضيات. أرقام بسيطة. طريق طويل إلى ما لا نهاية
بالإضافة إلى ذلك ، أوصي بقراءة كتاب علمي مشهور ، التعليق التوضيحي الذي يقول: "البحث عن الأعداد الأولية هو أحد أكثر المشاكل تناقضًا في الرياضيات. كان العلماء يحاولون حلها منذ آلاف السنين ، ولكن اكتساب إصدارات وفرضيات جديدة ، لا يزال هذا اللغز دون حل. لا يخضع ظهور الأعداد الأولية لأي نظام: فهي تنشأ تلقائيًا في سلسلة من الأعداد الطبيعية ، متجاهلة جميع محاولات علماء الرياضيات لتحديد الأنماط في تسلسلها. سيسمح هذا الكتاب للقارئ بتتبع تطور الأفكار العلمية من العصور القديمة حتى يومنا هذا وتقديم أكثر النظريات فضولًا للبحث عن الأعداد الأولية.
بالإضافة إلى ذلك ، سأقتبس بداية الفصل الثاني من هذا الكتاب: "الأعداد الأولية هي واحدة من الموضوعات المهمة التي تعيدنا إلى بدايات الرياضيات ، وبعد ذلك ، على طول طريق التعقيد المتزايد ، يقودنا إلى القص حافة الرياضيات. العلم الحديث. وبالتالي ، سيكون من المفيد جدًا تتبع التاريخ الرائع والمعقد لنظرية الأعداد الأولية: كيف تطورت بالضبط ، وكيف تم جمع الحقائق والحقائق التي تعتبر الآن مقبولة بشكل عام. سنرى في هذا الفصل كيف قامت أجيال من علماء الرياضيات بدراسة الأعداد الطبيعية بعناية بحثًا عن قاعدة تتنبأ بظهور الأعداد الأولية ، وهي قاعدة أصبحت ، في سياق البحث ، مراوغة أكثر فأكثر. سنلقي أيضًا نظرة فاحصة على السياق التاريخي: في أي ظروف عمل علماء الرياضيات وإلى أي مدى اشتمل عملهم على ممارسات صوفية وشبه دينية لا تشبه على الإطلاق الأساليب العلمية المستخدمة في عصرنا. ومع ذلك ، وببطء وبصعوبة ، تم تجهيز الأرض للمشاهد الجديدة التي ألهمت فيرما وأويلر في القرنين السابع عشر والثامن عشر ".
الأعداد مختلفة: طبيعية ، طبيعية ، عقلانية ، عدد صحيح وجزئي ، موجب وسالب ، معقد وأولي ، فردي وزوجي ، حقيقي ، إلخ. من هذه المقالة يمكنك معرفة الأعداد الأولية.
ما هي الأرقام التي تسمى الكلمة الإنجليزية "بسيط"؟
في كثير من الأحيان ، لا يعرف تلاميذ المدارس كيفية الإجابة على أحد أكثر الأسئلة التي تبدو بسيطة في الرياضيات ، حول ماهية العدد الأولي. غالبًا ما يخلطون بين الأعداد الأولية والأعداد الطبيعية (أي ، الأرقام التي يستخدمها الناس عند عد الأشياء ، بينما في بعض المصادر يبدأون من الصفر ، وفي مصادر أخرى - من واحد). لكن هذان مفهومان مختلفان تمامًا. الأعداد الأولية هي الأعداد الطبيعية ، أي الأعداد الصحيحة والموجبة أكبر من واحد والتي تحتوي على قسومتين طبيعيتين فقط. في هذه الحالة ، أحد هذه القواسم هو رقم معين ، والثاني عبارة عن وحدة. على سبيل المثال ، ثلاثة عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة على أي رقم آخر غير نفسه وواحد.
الأرقام المركبة
عكس الأعداد الأولية هو الأعداد المركبة. إنها أيضًا طبيعية ، وهي أيضًا أكبر من واحد ، ولكن ليس بها قسومتان ، لكن قواسم أكثر. لذلك ، على سبيل المثال ، الأرقام 4 و 6 و 8 و 9 وما إلى ذلك هي أرقام طبيعية ومركبة ولكنها ليست أعدادًا أولية. كما ترى ، هذه في الغالب أرقام زوجية ، لكن ليس كلها. لكن "اثنين" عدد زوجي و "الرقم الأول" في سلسلة من الأعداد الأولية.
اللاحقة
لبناء سلسلة من الأعداد الأولية ، من الضروري إجراء اختيار من جميع الأعداد الطبيعية ، مع مراعاة تعريفها ، أي أنك تحتاج إلى التصرف بالتناقض. من الضروري النظر في كل من الأرقام الموجبة الطبيعية حول موضوع ما إذا كان يحتوي على أكثر من اثنين من المقسومات. دعنا نحاول بناء سلسلة (تسلسل) تتكون من أعداد أولية. تبدأ القائمة برقم اثنين ، ثم تأتي بثلاثة ، لأنها لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى واحد. ضع في اعتبارك الرقم أربعة. وهل فيها قواسم غير أربعة وواحد؟ نعم ، هذا العدد هو 2. إذن أربعة ليس عددًا أوليًا. خمسة هي أيضًا أولية (إلى جانب 1 و 5 ، لا تقبل القسمة على أي رقم آخر) ، لكن ستة قابلة للقسمة. وبشكل عام ، إذا اتبعت جميع الأعداد الزوجية ، فستلاحظ أنه باستثناء "اثنين" ، لا يوجد أي منها عدد أولي. من هذا نستنتج أن الأعداد الزوجية ، باستثناء رقمين ، ليست أعدادًا أولية. اكتشاف آخر: جميع الأعداد القابلة للقسمة على ثلاثة ، باستثناء العدد الثلاثي نفسه ، سواء كان عددًا فرديًا أو زوجيًا ، ليست أيضًا أعدادًا أولية (6 ، 9 ، 12 ، 15 ، 18 ، 21 ، 24 ، 27 ، إلخ). الأمر نفسه ينطبق على الأعداد التي تقبل القسمة على خمسة وسبعة. كل مجموعاتهم ليست بسيطة أيضًا. دعونا نلخص. لذا ، فإن جميع الأعداد الفردية ، باستثناء واحد وتسعة ، تنتمي إلى أرقام بسيطة مكونة من رقم واحد ، و "اثنين" فقط من الأرقام الزوجية. العشرات نفسها (10 ، 20 ، ... 40 ، إلخ) ليست أعدادًا أولية. يمكن تعريف الأعداد الأولية المكونة من رقمين وثلاثة أرقام وما إلى ذلك بناءً على المبادئ المذكورة أعلاه: إذا لم يكن لديهم قواسم أخرى غير أنفسهم وواحد.
نظريات حول خصائص الأعداد الأولية
هناك علم يدرس خصائص الأعداد الصحيحة ، بما في ذلك الأعداد الأولية. هذا هو فرع الرياضيات ، والذي يسمى الأعلى. بالإضافة إلى خصائص الأعداد الصحيحة ، فإنها تتعامل أيضًا مع الأعداد الجبرية والمتجاوزة ، بالإضافة إلى الدوال أصول مختلفةالمرتبطة بحساب هذه الأرقام. في هذه الدراسات ، بالإضافة إلى الأساليب الأولية والجبرية ، يتم استخدام الأساليب التحليلية والهندسية أيضًا. على وجه التحديد ، تتناول دراسة الأعداد الأولية "نظرية الأعداد".
الأعداد الأولية هي "لبنات بناء" الأعداد الطبيعية
في الحساب توجد نظرية تسمى النظرية الرئيسية. وفقًا لذلك ، يمكن تمثيل أي رقم طبيعي ، باستثناء الوحدة ، كمنتج ، عوامله هي الأعداد الأولية ، وترتيب العوامل فريد ، مما يعني أن طريقة التمثيل فريدة من نوعها. يطلق عليه تحلل العدد الطبيعي إلى عوامل أولية. هناك اسم آخر لهذه العملية - تحليل الأرقام. بناءً على ذلك ، يمكن تسمية الأعداد الأولية " مواد بناء"،" كتل "لتكوين الأعداد الطبيعية.
ابحث عن الأعداد الأولية. اختبارات البساطة
حاول العديد من العلماء في أوقات مختلفة إيجاد بعض المبادئ (الأنظمة) للعثور على قائمة الأعداد الأولية. يعرف العلم أنظمة تسمى غربال أتكين ، ومنخل سوندارتام ، ومنخل إراتوستينس. ومع ذلك ، فإنها لا تعطي أي نتائج مهمة ، ويتم استخدام اختبار بسيط لإيجاد الأعداد الأولية. تم إنشاء الخوارزميات أيضًا بواسطة علماء الرياضيات. يطلق عليهم اختبارات البدائية. على سبيل المثال ، هناك اختبار طوره رابين وميلر. يتم استخدامه من قبل التشفير. يوجد أيضًا اختبار Kayala-Agrawala-Saskena. ومع ذلك ، على الرغم من دقتها الكافية ، من الصعب جدًا حسابها ، مما يقلل من قيمتها العملية.
هل مجموعة الأعداد الأولية لها حد؟
حقيقة أن مجموعة الأعداد الأولية هي اللانهاية قد كتبها العالم اليوناني القديم إقليدس في كتاب "البدايات". قال هذا: "دعونا نتخيل للحظة أن الأعداد الأولية لها حدود. ثم دعونا نضربهم مع بعضهم البعض ونضيف واحدًا إلى المنتج. العدد الذي تم الحصول عليه نتيجة هذه العمليات البسيطة لا يمكن قسمة أي سلسلة من الأعداد الأولية ، لأن الباقي سيكون دائمًا واحدًا. وهذا يعني أن هناك عددًا آخر لم يتم تضمينه بعد في قائمة الأعداد الأولية. لذلك ، افتراضنا ليس صحيحًا ، ولا يمكن أن يكون لهذه المجموعة حد. بالإضافة إلى برهان إقليدس ، هناك صيغة أكثر حداثة قدمها عالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر من القرن الثامن عشر. ووفقًا له ، فإن المجموع ، وهو مقلوب مجموع الأرقام n الأولى ، ينمو إلى أجل غير مسمى مع نمو الرقم n. وهنا صيغة النظرية المتعلقة بتوزيع الأعداد الأولية: (n) ينمو مثل n / ln (n).
ما هو أكبر عدد أولي؟
كل نفس ليونارد أويلر كان قادرًا على إيجاد أكبر عدد أولي في عصره. هذا هو 2 31 - 1 = 2147483647. ومع ذلك ، بحلول عام 2013 ، تم حساب رقم آخر أكثر دقة في قائمة الأعداد الأولية - 2 57885161 - 1. يطلق عليه رقم ميرسين. يحتوي على حوالي 17 مليون رقم عشري. كما ترون ، الرقم الذي وجده عالم من القرن الثامن عشر أصغر بعدة مرات من هذا. كان من المفترض أن يكون الأمر كذلك ، لأن أويلر أجرى هذه الحسابات يدويًا ، ولكن ربما ساعد الكمبيوتر المعاصر لدينا. علاوة على ذلك ، تم الحصول على هذا الرقم من قسم الرياضيات في أحد الأقسام الأمريكية. تمر الأرقام التي تحمل اسم هذا العالم من خلال اختبار لوك-لومير البدائية. ومع ذلك ، لا يريد العلم التوقف عند هذا الحد. قدمت مؤسسة Electronic Frontier Foundation ، التي تأسست عام 1990 في الولايات المتحدة الأمريكية (EFF) ، مكافأة مالية للعثور على أعداد أولية كبيرة. وإذا تم منح الجائزة حتى عام 2013 لأولئك العلماء الذين يجدونهم من بين مليون و 10 ملايين أرقام عشرية، فقد وصل هذا الرقم اليوم من 100 مليون إلى مليار. تتراوح الجوائز من 150 إلى 250 ألف دولار أمريكي.
أسماء الأعداد الأولية الخاصة
هذه الأرقام التي تم العثور عليها بفضل الخوارزميات التي أنشأها بعض العلماء واجتازت اختبار البساطة تسمى خاصة. فيما يلي بعض منهم:
1. مرسين.
4. كولين.
6. ميلز وآخرون.
بساطة هذه الأرقام ، التي سميت على اسم العلماء المذكورين أعلاه ، تم إثباتها باستخدام الاختبارات التالية:
1. لوكاس ليمير.
2. بيبينا.
3. ريزل.
4. بيلهارت - ليهمر - سلفريدج وآخرون.
العلم الحديث لا يتوقف عند هذا الحد ، وربما في المستقبل القريب سيعرف العالم أسماء أولئك الذين تمكنوا من الفوز بجائزة قدرها 250 ألف دولار من خلال إيجاد أكبر عدد أولي.
في هذه المقالة سوف ندرس الأعداد الأولية والمركبة. أولاً ، نعطي تعريفات للأعداد الأولية والمركبة ، ونعطي أيضًا أمثلة. بعد ذلك ، نثبت أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. بعد ذلك ، نكتب جدولًا للأعداد الأولية ، وننظر في طرق تجميع جدول الأعداد الأولية ، وسنتناول بشكل خاص الطريقة التي تسمى غربال إراتوستينس. في الختام ، نسلط الضوء على النقاط الرئيسية التي يجب أخذها في الاعتبار عند إثبات أن رقمًا معينًا أوليًا أو مركبًا.
التنقل في الصفحة.
الأعداد الأولية والمركبة - تعريفات وأمثلة
تشير مفاهيم الأعداد الأولية والأرقام المركبة إلى تلك التي تكون أكبر من واحد. هذه الأعداد الصحيحة ، اعتمادًا على عدد المقسومات الموجبة ، مقسمة إلى أعداد أولية ومركبة. حتى نفهم تعريفات الأعداد الأولية والمركبة، يجب أن تكون لديك فكرة جيدة عن المقسومات والمضاعفات.
تعريف.
الأعداد الأوليةهي أعداد صحيحة أكبر من واحد وتحتوي على قسومتين موجبتين فقط ، وهما نفسها و 1.
تعريف.
الأرقام المركبةهي أعداد صحيحة أكبر من واحد يحتوي على ثلاثة قواسم موجبة على الأقل.
بشكل منفصل ، نلاحظ أن الرقم 1 لا ينطبق على الأرقام الأولية أو المركبة. تحتوي الوحدة على قاسم موجب واحد فقط ، وهو الرقم 1 نفسه. هذا يميز الرقم 1 عن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأخرى التي تحتوي على الأقل على اثنين من قواسم موجبة.
بالنظر إلى أن الأعداد الصحيحة الموجبة هي ، وأن الوحدة بها قاسم موجب واحد فقط ، يمكن إعطاء صيغ أخرى للتعريفات الصوتية للأعداد الأولية والمركبة.
تعريف.
الأعداد الأوليةهي الأعداد الطبيعية التي تحتوي على اثنين فقط من قواسم موجبة.
تعريف.
الأرقام المركبةهي الأعداد الطبيعية التي تحتوي على أكثر من اثنين من قواسم موجبة.
لاحظ أن كل عدد صحيح موجب أكبر من واحد هو إما عدد أولي أو رقم مركب. بمعنى آخر ، لا يوجد عدد صحيح واحد ليس أوليًا ولا مركبًا. هذا يتبع من خاصية القسمة ، والتي تقول أن الرقمين 1 و a هما دومًا قواسم على أي عدد صحيح a.
بناءً على المعلومات الواردة في الفقرة السابقة ، يمكننا تقديم التعريف التالي للأرقام المركبة.
تعريف.
يتم استدعاء الأعداد الطبيعية التي ليست أولية المقوم، مكون، جزء من.
لنجلب أمثلة على الأعداد الأولية والمركبة.
كأمثلة على الأرقام المركبة ، نقدم 6 و 63 و 121 و 6697. هذا البيان يحتاج أيضا إلى تفسير. الرقم 6 ، بالإضافة إلى القواسم الموجبة 1 و 6 ، يحتوي أيضًا على قواسم 2 و 3 ، نظرًا لأن 6 \ u003d 2 3 ، وبالتالي فإن 6 هو رقم مركب حقًا. القواسم الموجبة للعدد 63 هي الأعداد 1 و 3 و 7 و 9 و 21 و 63. العدد 121 يساوي حاصل ضرب 11 11 ، إذن قواسمه الموجبة هي 1 و 11 و 121. والرقم 6697 مركب ، لأن قواسمه الموجبة ، بالإضافة إلى 1 و 6697 ، هي أيضًا الأرقام 37 و 181.
في ختام هذه الفقرة ، أود أيضًا أن ألفت الانتباه إلى حقيقة أن الأعداد الأولية وأرقام الجرائم المشتركة بعيدة كل البعد عن الشيء نفسه.
جدول العدد الأولي
يتم تسجيل الأعداد الأولية ، من أجل تسهيل الاستخدام الإضافي لها ، في جدول يسمى جدول الأعداد الأولية. في الأسفل يكون جدول العدد الأولييصل إلى 1000 .
يطرح سؤال منطقي: "لماذا قمنا بملء جدول الأعداد الأولية حتى 1000 فقط ، أليس من الممكن عمل جدول لجميع الأعداد الأولية الموجودة"؟
دعنا نجيب على الجزء الأول من هذا السؤال أولاً. تكفي الأعداد الأولية التي تصل إلى ألف في معظم المشكلات التي تتضمن أعدادًا أولية. في حالات أخرى ، على الأرجح ، سيتعين عليك اللجوء إلى بعض تقنيات الحلول الخاصة. على الرغم من أنه ، بالطبع ، يمكننا جدولة الأعداد الأولية حتى عدد صحيح موجب كبير بشكل تعسفي ، سواء كان 10،000 أو 1،000،000،000 ، في الفقرة التالية سنتحدث عن طرق تجميع جداول الأعداد الأولية ، على وجه الخصوص ، سنقوم بتحليل الطريقة مُسَمًّى.
الآن دعونا نلقي نظرة على إمكانية (أو بالأحرى استحالة) تجميع جدول لجميع الأعداد الأولية الموجودة. لا يمكننا عمل جدول لجميع الأعداد الأولية لأن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. البيان الأخير هو نظرية سنثبتها بعد النظرية المساعدة التالية.
نظرية.
أصغر قاسم موجب لعدد طبيعي أكبر من 1 بخلاف 1 هو رقم أولي.
دليل.
يترك أ هو رقم طبيعي أكبر من واحد ، و ب هو أقل عدد موجب ليس واحدًا للمقسوم على أ. دعنا نثبت أن b عدد أولي بالتناقض.
افترض أن ب هو رقم مركب. ثم هناك قاسم للرقم ب (دعنا نشير إليه ب 1) ، والذي يختلف عن كل من 1 و ب. إذا أخذنا في الاعتبار أيضًا أن القيمة المطلقة للمقسوم عليه لا تتجاوز القيمة المطلقة للمقسوم (نعرف ذلك من خصائص القابلية للقسمة) ، فإن الشرط 1
نظرًا لأن الرقم a قابل للقسمة على b حسب الشرط ، وقلنا أن b يقبل القسمة على b 1 ، فإن مفهوم القسمة يسمح لنا بالتحدث عن وجود مثل هذه الأعداد الصحيحة q و q 1 أن a = b q و b = b 1 ف 1 ، من أين أ = ب 1 · (ف 1 · ف). مما يلي أن حاصل ضرب عددين صحيحين هو عدد صحيح ، ثم المساواة أ = ب 1 · (ف 1 · ف) تشير إلى أن ب 1 هو القاسم على الرقم أ. مع الأخذ بعين الاعتبار التفاوتات المذكورة أعلاه 1
يمكننا الآن إثبات أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية.
نظرية.
هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.
دليل.
لنفترض أنه ليس كذلك. أي ، لنفترض أنه لا يوجد سوى n عدد أولي ، وهذه الأعداد الأولية هي p 1، p 2،…، p n. دعنا نظهر أنه يمكننا دائمًا العثور على عدد أولي مختلف عن العدد المشار إليه.
ضع في اعتبارك رقم p يساوي p 1 · p 2 · ... · p n +1. من الواضح أن هذا الرقم يختلف عن كل من الأعداد الأولية ص 1 ، ص 2 ، ... ، ص ن. إذا كان الرقم p عددًا أوليًا ، فسيتم إثبات النظرية. إذا كان هذا الرقم مركبًا ، فبموجب النظرية السابقة ، يوجد قاسم أولي لهذا العدد (دعنا نشير إليه p n + 1). دعنا نظهر أن هذا القاسم لا يتطابق مع أي من الأعداد ص 1 ، ص 2 ، ... ، ف ن.
إذا لم يكن الأمر كذلك ، فبواسطة خصائص القسمة ، سيكون حاصل الضرب p 1 · p 2 · ... · p n يقبل القسمة على p n + 1. لكن الرقم p قابل للقسمة أيضًا على p n + 1 ، يساوي مجموع p 1 · p 2 · ... · p n +1. هذا يعني أن الحد الثاني من هذا المجموع ، الذي يساوي واحدًا ، يجب أن يقبل القسمة على p n + 1 ، وهذا مستحيل.
وهكذا ، ثبت أنه يمكن دائمًا العثور على عدد أولي جديد ، والذي لا يتم تضمينه بين أي عدد من الأعداد الأولية المعطاة مسبقًا. لذلك ، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.
لذلك ، نظرًا لوجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ، عند تجميع جداول الأعداد الأولية ، فإنها تقصر نفسها دائمًا من أعلى إلى عدد ما ، عادةً 100 ، 1000 ، 10000 ، إلخ.
منخل إراتوستينس
الآن سنناقش طرق تجميع جداول الأعداد الأولية. افترض أننا نحتاج إلى عمل جدول بأعداد أولية حتى 100.
الطريقة الأكثر وضوحًا لحل هذه المشكلة هي التحقق بالتسلسل من الأعداد الصحيحة الموجبة ، بدءًا من 2 وتنتهي بـ 100 ، لوجود قاسم موجب أكبر من 1 وأقل من الرقم الذي يتم التحقق منه (من خصائص القسمة ، نحن اعلم أن القيمة المطلقة للمقسوم عليه لا تتجاوز القيمة المطلقة للمقسوم ، تختلف عن الصفر). إذا لم يتم العثور على المقسوم عليه ، فإن الرقم الذي يتم التحقق منه يكون أوليًا ، ويتم إدخاله في جدول الأعداد الأولية. إذا تم العثور على قاسم كهذا ، فإن الرقم الذي يتم التحقق منه مركب ، ولا يتم إدخاله في جدول الأعداد الأولية. بعد ذلك ، هناك انتقال إلى الرقم التالي ، والذي يتم فحصه بالمثل بحثًا عن وجود القاسم.
دعنا نصف الخطوات القليلة الأولى.
نبدأ بالرقم 2. الرقم 2 لا يحتوي على قواسم موجبة بخلاف 1 و 2. لذلك ، فهو عدد أولي ، لذلك ندخله في جدول الأعداد الأولية. هنا يجب أن يقال أن 2 هو أصغر عدد أولي. دعنا ننتقل إلى الرقم 3. المقسوم الإيجابي المحتمل بخلاف 1 و 3 هو 2. لكن 3 غير قابلة للقسمة على 2 ، لذلك ، 3 هي عدد أولي ، ويجب أيضًا إدخالها في جدول الأعداد الأولية. دعنا ننتقل إلى الرقم 4. قواسمه الموجبة بخلاف 1 و 4 يمكن أن تكون 2 و 3 ، فلنتحقق منها. الرقم 4 قابل للقسمة على 2 ، لذلك ، 4 هو رقم مركب ولا يحتاج إلى إدخاله في جدول الأعداد الأولية. لاحظ أن 4 هو أصغر رقم مركب. دعنا ننتقل إلى الرقم 5. نتحقق مما إذا كان أحد الأعداد 2 ، 3 ، 4 على الأقل هو القاسم عليه. بما أن الرقم 5 لا يقبل القسمة على 2 أو 3 أو 4 ، فهو عدد أولي ويجب كتابته في جدول الأعداد الأولية. ثم هناك انتقال إلى الأرقام 6 و 7 وهكذا حتى 100.
هذا النهج لتجميع جدول الأعداد الأولية بعيد كل البعد عن المثالية. بطريقة أو بأخرى ، له الحق في الوجود. لاحظ أنه باستخدام طريقة إنشاء جدول الأعداد الصحيحة ، يمكنك استخدام معايير القسمة ، والتي ستسرع قليلاً من عملية إيجاد القواسم.
هناك طريقة أكثر ملاءمة لتجميع جدول الأعداد الأولية يسمى. كلمة "غربال" الموجودة في الاسم ليست عرضية ، لأن إجراءات هذه الطريقة تساعد ، كما كانت ، على "غربلة" منخل إراتوستينس الأعداد الصحيحة ، الوحدات الكبيرة ، من أجل فصل الوحدات البسيطة عن الوحدات المركبة.
دعنا نظهر غربال إراتوستينس أثناء العمل عند تجميع جدول الأعداد الأولية حتى 50.
أولاً ، نكتب الأرقام 2 ، 3 ، 4 ، ... ، 50 بالترتيب.
العدد الأول المكتوب 2 هو عدد أولي. الآن من الرقم 2 ننتقل بالتتابع إلى اليمين برقمين ونشطب هذه الأرقام حتى نصل إلى نهاية جدول الأرقام المترجم. لذلك سيتم شطب جميع الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد اثنين.
الرقم الأول غير المشطوب بعد 2 هو 3. هذا الرقم أولي. الآن ، من الرقم 3 ، ننتقل بالتتابع إلى اليمين بثلاثة أرقام (مع مراعاة الأرقام المشطوبة بالفعل) وشطبها. لذلك سيتم شطب جميع الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد ثلاثة.
الرقم الأول غير المشطوب بعد 3 هو 5. هذا الرقم أولي. الآن ، من الرقم 5 ، ننتقل بالتتابع إلى اليمين بمقدار 5 أرقام (نأخذ في الاعتبار أيضًا الأرقام التي تم شطبها سابقًا) ونشطبها. لذلك ، يتم شطب جميع الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد خمسة.
بعد ذلك ، نقوم بشطب الأعداد التي تكون من مضاعفات 7 ، ثم مضاعفات 11 ، وهكذا. تنتهي العملية في حالة عدم وجود أرقام متبقية لشطبها. يوجد أدناه جدول مكتمل بالأعداد الأولية حتى 50 تم الحصول عليها باستخدام منخل إراتوستينس. جميع الأعداد غير المتقاطعة هي أعداد أولية ، وجميع الأرقام المشطوبة مركبة.
دعنا نصوغ ونثبت نظرية من شأنها تسريع عملية تجميع جدول الأعداد الأولية باستخدام غربال إراتوستينس.
نظرية.
لا يتعدى أقل عدد مركب موجب واحد أ ، حيث يكون من أ.
دليل.
نشير بالحرف ب إلى أصغر قاسم للرقم المركب أ الذي يختلف عن الوحدة (الرقم ب هو عدد أولي ، والذي يتبع النظرية المثبتة في بداية الفقرة السابقة). ثم هناك عدد صحيح q بحيث يكون a = b q (هنا q هو عدد صحيح موجب ، يتبع قواعد ضرب الأعداد الصحيحة) ، و (عندما b> q ، يتم انتهاك الشرط الذي يكون b هو أصغر قاسم على a ، منذ ذلك الحين q هو أيضًا مقسوم عليه بسبب المساواة أ = ف ب). بضرب كلا طرفي المتباينة في موجب وأكبر من واحد صحيح ب (مسموح لنا القيام بذلك) ، نحصل على ومن أين و.
ماذا تعطينا النظرية المثبتة بخصوص غربال إراتوستينس؟
أولاً ، يجب أن يبدأ حذف الأعداد المركبة التي تكون مضاعفات العدد الأولي b برقم يساوي (هذا يتبع من المتباينة). على سبيل المثال ، يجب أن يبدأ شطب الأرقام المكوّنة من مضاعفات الرقمين بالرقم 4 ومضاعفات الثلاثة - بالرقم 9 ومضاعفات الخمسة - بالرقم 25 وهكذا.
ثانيًا ، يمكن اعتبار تجميع جدول الأعداد الأولية حتى الرقم n باستخدام غربال Eratosthenes مكتملاً عندما يتم شطب جميع الأرقام المركبة التي هي مضاعفات أعداد أولية لا تتجاوز. في مثالنا ، n = 50 (لأننا نقوم بجدولة الأعداد الأولية حتى 50) ، وبالتالي يجب أن يستبعد غربال إراتوستينس جميع المضاعفات المركبة للأعداد الأولية 2 و 3 و 5 و 7 التي لا تتجاوز الجذر التربيعي الحسابي لـ 50 . أي أننا لم نعد بحاجة إلى البحث عن الأعداد التي تكون مضاعفات الأعداد الأولية 11 و 13 و 17 و 19 و 23 وما إلى ذلك حتى 47 وشطبها ، حيث سيتم شطبها بالفعل كمضاعفات الأعداد الأولية الأصغر 2 ، 3 و 5 و 7.
هل هذا العدد أولي أم مركب؟
تتطلب بعض المهام معرفة ما إذا كان الرقم المحدد أوليًا أم مركبًا. في الحالة العامة ، هذه المهمة بعيدة كل البعد عن البساطة ، خاصة بالنسبة للأرقام التي يتكون سجلها من عدد كبير من الأحرف. في معظم الحالات ، عليك البحث عن طريقة محددة لحلها. ومع ذلك ، سنحاول توجيه سلسلة الأفكار للحالات البسيطة.
مما لا شك فيه ، يمكن للمرء أن يحاول استخدام معايير القسمة لإثبات أن رقمًا معينًا مركب. إذا أظهرت بعض معايير القابلية للقسمة ، على سبيل المثال ، أن الرقم المعطى قابل للقسمة على عدد صحيح موجب أكبر من واحد ، فإن الرقم الأصلي مركب.
مثال.
برهن على أن الرقم 89898989898989898989 مركب.
حل.
مجموع أرقام هذا الرقم هو 9 8 + 9 9 = 9 17. نظرًا لأن الرقم الذي يساوي 9 17 قابل للقسمة على 9 ، فعندئذٍ من خلال معيار القابلية للقسمة على 9 ، يمكن القول إن الرقم الأصلي قابل للقسمة أيضًا على 9. لذلك ، فهو مركب.
عيب كبير في هذا النهج هو أن معايير القسمة لا تسمح لنا بإثبات بساطة الرقم. لذلك ، عند التحقق من رقم لمعرفة ما إذا كان أوليًا أم مركبًا ، فأنت بحاجة إلى المتابعة بشكل مختلف.
الطريقة الأكثر منطقية هي تعداد جميع القواسم الممكنة لرقم معين. إذا لم يكن أي من القواسم المحتملة مقسومًا حقيقيًا على رقم معين ، فإن هذا الرقم يكون أوليًا ؛ وإلا فإنه مركب. من النظريات المثبتة في الفقرة السابقة ، يترتب على ذلك أنه يجب البحث عن قواسم عدد معين من الأعداد الأولية التي لا تتجاوز. وبالتالي ، يمكن قسمة الرقم المعطى أ على التوالي على الأعداد الأولية (التي يسهل أخذها من جدول الأعداد الأولية) ، في محاولة للعثور على المقسوم على الرقم أ. إذا تم العثور على القاسم ، فإن الرقم أ مركب. إذا كان من بين الأعداد الأولية التي لا تتجاوز ، لا يوجد قاسم على الرقم أ ، فإن الرقم أ هو عدد أولي.
مثال.
رقم 11 723 بسيط أم مركب؟
حل.
لنكتشف العدد الأولي الذي يمكن أن تكون قواسمه على 11 723. لهذا ، نحن نقدر.
من الواضح أن 
، منذ 200 2 \ u003d 40000 ، و 11723<40 000
(при необходимости смотрите статью مقارنة الأرقام). وبالتالي ، فإن القواسم الأولية المحتملة لـ 11،723 أقل من 200. هذا بالفعل يبسط مهمتنا إلى حد كبير. إذا لم نكن نعرف هذا ، فسنضطر إلى فرز جميع الأعداد الأولية ليس حتى 200 ، ولكن حتى العدد 11 723.
إذا رغبت في ذلك ، يمكنك تقدير أكثر دقة. منذ 108 2 \ u003d 11664 ، و 109 2 \ u003d 11881 ، ثم 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. وبالتالي ، فإن أيًا من الأعداد الأولية الأقل من 109 يحتمل أن يكون قاسمًا أوليًا للرقم المحدد 11،723.
الآن سنقسم العدد 11723 بالتسلسل إلى أعداد أولية 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 59 ، 61 ، 67 ، 71 ، 73 ، 79 ، 83 ، 89 ، 97 ، 101 ، 103 ، 107. إذا كان العدد 11 723 مقسومًا بالكامل على أحد الأعداد الأولية المكتوبة ، فسيكون مركبًا. إذا لم يكن قابلاً للقسمة على أي من الأعداد الأولية المكتوبة ، فإن الرقم الأصلي يكون أوليًا.
لن نصف عملية الانقسام الرتيبة والرتيبة بأكملها. دعنا نقول فقط أن 11 723