دعنا نتعرف على المعادلات المنطقية والكسرية ، ونقدم تعريفها ، ونعطي أمثلة ، ونحلل أيضًا أكثر أنواع المشكلات شيوعًا.
Yandex.RTB R-A-339285-1
المعادلة العقلانية: التعريف والأمثلة
يبدأ التعرف على التعبيرات العقلانية في الصف الثامن من المدرسة. في هذا الوقت ، في دروس الجبر ، يبدأ الطلاب بشكل متزايد في تلبية المهام مع المعادلات التي تحتوي على تعبيرات عقلانية في ملاحظاتهم. دعونا نعيد تنشيط ذاكرتنا لما هي عليه.
التعريف 1
معادلة عقلانيةهي معادلة يحتوي فيها كلا الطرفين على تعبيرات عقلانية.
في العديد من الكتيبات ، يمكنك أن تجد صيغة أخرى.
التعريف 2
معادلة عقلانيةهي مثل هذه المعادلة ، يحتوي سجل الجانب الأيسر منها تعبير عقلانيبينما الصحيح هو صفر.
التعريفات التي قدمناها للمعادلات المنطقية متكافئة ، لأنها تعني نفس الشيء. يتم تأكيد صحة كلماتنا من خلال حقيقة أنه لأي تعبيرات عقلانية صو سالمعادلات ف = سو ف - س = 0ستكون عبارات مكافئة.
الآن دعنا ننتقل إلى الأمثلة.
مثال 1
المعادلات العقلانية:
س = 1 ، 2 س - 12 × 2 ص 3 = 0 ، س س 2 + 3 س - 1 = 2 + 2 7 س - أ (س + 2) ، 1 2 + 3 4-12 س - 1 = 3.
يمكن أن تحتوي المعادلات العقلانية ، تمامًا مثل المعادلات من الأنواع الأخرى ، على أي عدد من المتغيرات من 1 إلى عدة متغيرات. بادئ ذي بدء ، سننظر في أمثلة بسيطة تحتوي فيها المعادلات على متغير واحد فقط. ثم نبدأ في تعقيد المهمة تدريجيًا.
تنقسم المعادلات المنطقية إلى مجموعتين كبيرتين: عدد صحيح وكسر. دعونا نرى المعادلات التي ستنطبق على كل مجموعة.
التعريف 3
ستكون المعادلة المنطقية عددًا صحيحًا إذا كان سجل الجزأين الأيمن والأيسر يحتوي على تعبيرات عقلانية كاملة.
التعريف 4
ستكون المعادلة المنطقية كسرية إذا كان أحد أجزائها أو كلاهما يحتوي على كسر.
تحتوي المعادلات المنطقية الكسرية بالضرورة على القسمة على متغير ، أو أن المتغير موجود في المقام. لا يوجد مثل هذا التقسيم في كتابة المعادلات الصحيحة.
مثال 2
3 س + 2 = 0و (س + ص) (3 × 2-1) + س = - ص + 0 ، 5هي معادلات عقلانية كاملة. هنا يتم تمثيل كلا الجزأين من المعادلة بتعبيرات صحيحة.
1 × - 1 = × 3 و س: (5 × 3 + ص 2) = 3: (س - 1): 5هي معادلات منطقية كسور.
تشمل المعادلات المنطقية الكاملة المعادلات الخطية والتربيعية.
حل المعادلات الصحيحة
عادة ما يقلل حل هذه المعادلات من تحولها إلى معادلات جبرية مكافئة. يمكن تحقيق ذلك من خلال إجراء تحويلات مكافئة للمعادلات وفقًا للخوارزمية التالية:
- أولاً ، نحصل على صفر في الجانب الأيمن من المعادلة ، لذلك نحتاج إلى نقل التعبير الموجود في الجانب الأيمن من المعادلة إلى الجهه اليسرىوتغيير العلامة
- ثم نقوم بتحويل التعبير الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة إلى صيغة معيارية كثيرة الحدود.
علينا الحصول على معادلة جبرية. ستكون هذه المعادلة مكافئة فيما يتعلق بالمعادلة الأصلية. تتيح لنا الحالات السهلة حل المشكلة عن طريق تقليل المعادلة بأكملها إلى معادلة خطية أو تربيعية. في الحالة العامة ، نحل معادلة جبرية للدرجة ن.
مثال 3
من الضروري إيجاد جذور المعادلة بأكملها 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.
حل
دعونا نحول التعبير الأصلي من أجل الحصول على معادلة جبرية مكافئة لها. للقيام بذلك ، سننقل التعبير الموجود في الجانب الأيمن من المعادلة إلى الجانب الأيسر ونغير الإشارة إلى العكس. نتيجة لذلك ، نحصل على: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.
سنقوم الآن بتحويل التعبير الموجود على الجانب الأيسر إلى متعدد الحدود من النموذج القياسي وتنفيذ الإجراءات اللازمة باستخدام كثير الحدود هذا:
3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2-9 x + 3 س - 9 - 2 س 2 + س + 3 = س 2-5 س - 6
تمكنا من تقليل حل المعادلة الأصلية إلى حل المعادلة التربيعية للصيغة س 2-5 س - 6 = 0. مميز هذه المعادلة موجب: د = (- 5) 2-4 1 (- 6) = 25 + 24 = 49.هذا يعني أنه سيكون هناك جذران حقيقيان. لنجدهم باستخدام صيغة جذور المعادلة التربيعية:
س \ u003d - - 5 ± 49 2 1 ،
× 1 \ u003d 5 + 7 2 أو × 2 \ u003d 5-7 2 ،
س 1 = 6 أو س 2 = - 1
لنتحقق من صحة جذور المعادلة التي وجدناها أثناء الحل. لهذا الرقم ، الذي تلقيناه ، نستبدل المعادلة الأصلية: 3 (6 + 1) (6-3) = 6 (2 6-1) - 3و 3 (- 1 + 1) (- 1-3) = (- 1) (2 (- 1) - 1) - 3. في الحالة الأولى 63 = 63 ، في الثانية 0 = 0 . الجذور س = 6و س = - 1هي بالفعل جذور المعادلة الواردة في حالة المثال.
إجابة: 6 , − 1 .
دعونا نلقي نظرة على ما تعنيه "قوة المعادلة بأكملها". غالبًا ما نواجه هذا المصطلح في تلك الحالات عندما نحتاج إلى تمثيل معادلة كاملة في شكل معادلة جبرية. دعنا نحدد المفهوم.
التعريف 5
درجة معادلة عدد صحيحهي درجة المعادلة الجبرية المكافئة للمعادلة الكاملة الأصلية.
إذا نظرت إلى المعادلات من المثال أعلاه ، يمكنك تحديد: درجة هذه المعادلة بأكملها هي الثانية.
إذا كانت دورتنا تقتصر على حل المعادلات من الدرجة الثانية ، فيمكن إكمال النظر في الموضوع هنا. لكن كل شيء ليس بهذه البساطة. حل المعادلات من الدرجة الثالثة محفوف بالصعوبات. وبالنسبة للمعادلات فوق الدرجة الرابعة ، فهي غير موجودة على الإطلاق الصيغ العامةالجذور. في هذا الصدد ، يتطلب حل المعادلات الكاملة من الدرجة الثالثة والرابعة وغيرهما استخدام عدد من الأساليب والطرق الأخرى.
يعتمد النهج الأكثر استخدامًا لحل المعادلات المنطقية بأكملها على طريقة العوامل. خوارزمية الإجراءات في هذه الحالة هي كما يلي:
- ننقل التعبير من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيسر بحيث يبقى الصفر على الجانب الأيمن من السجل ؛
- نمثل التعبير الموجود على الجانب الأيسر كمنتج عوامل ، ثم ننتقل إلى مجموعة من المعادلات الأبسط.
أوجد حل المعادلة (x 2-1) (x 2-10 x + 13) = 2 x (x 2-10 x + 13).
حل
ننقل التعبير من الجانب الأيمن من السجل إلى الجانب الأيسر بالإشارة المعاكسة: (× 2-1) (× 2-10 × + 13) - 2 × (× 2-10 × + 13) = 0. تحويل الجانب الأيسر إلى كثير الحدود بالصيغة القياسية غير عملي نظرًا لحقيقة أن هذا سيعطينا معادلة جبرية من الدرجة الرابعة: × ٤ - ١٢ × ٣ + ٣٢ × ٢ - ١٦ × - ١٣ = ٠. سهولة التحول لا تبرر كل الصعوبات في حل مثل هذه المعادلة.
من الأسهل بكثير أن نسير في الاتجاه الآخر: نخرج العامل المشترك × 2-10 × + 13.وهكذا نصل إلى معادلة للصيغة (× 2-10 × + 13) (× 2 - 2 × - 1) = 0. الآن نستبدل المعادلة الناتجة بمجموعة من معادلتين تربيعيتين س 2-10 س + 13 = 0و س 2 - 2 س - 1 = 0وإيجاد جذورهم من خلال المميز: 5 + 2 3، 5 - 2 3، 1 + 2، 1 - 2.
إجابة: 5 + 2 3 ، 5-2 3 ، 1 + 2 ، 1 - 2.
وبالمثل ، يمكننا استخدام طريقة إدخال متغير جديد. تسمح لنا هذه الطريقة بالمرور إلى معادلات مكافئة ذات قوى أقل من تلك الموجودة في المعادلة الكاملة الأصلية.
مثال 5
هل للمعادلة جذور؟ (س 2 + 3 س + 1) 2 + 10 = - 2 (س 2 + 3 س - 4)?
حل
إذا حاولنا الآن اختزال المعادلة المنطقية بأكملها إلى معادلة جبرية ، فسنحصل على معادلة من الدرجة 4 ، والتي لا تحتوي على جذور عقلانية. لذلك ، سيكون من الأسهل بالنسبة لنا أن نذهب في الاتجاه الآخر: إدخال متغير جديد y ، والذي سيحل محل التعبير في المعادلة × 2 + 3 س.
الآن سنعمل مع المعادلة بأكملها (ص + 1) 2 + 10 = - 2 (ص - 4). ننقل الجانب الأيمن من المعادلة إلى الجانب الأيسر بالإشارة المعاكسة ونجري التحولات اللازمة. نحن نحصل: ص 2 + 4 ص + 3 = 0. لنجد جذور المعادلة التربيعية: ص = - 1و ص = - 3.
الآن لنقم بالتعويض العكسي. نحصل على معادلتين س 2 + 3 س = - 1و س 2 + 3 س = - 3.دعنا نعيد كتابتها بالصيغة x 2 + 3 x + 1 = 0 و س 2 + 3 س + 3 = 0. نستخدم صيغة جذور المعادلة التربيعية لإيجاد جذور المعادلة الأولى التي تم الحصول عليها: - 3 ± 5 2. مميز المعادلة الثانية سالب. هذا يعني أن المعادلة الثانية ليس لها جذور حقيقية.
إجابة:- 3 ± 5 2
معادلات كاملة درجات عاليةتأتي عبر المهام في كثير من الأحيان. لا داعي للخوف منهم. يجب أن تكون جاهزًا لتطبيق طريقة غير قياسية لحلها ، بما في ذلك عدد من التحولات الاصطناعية.
حل المعادلات الكسرية الكسرية
نبدأ النظر في هذا الموضوع الفرعي بخوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية للصيغة p (x) q (x) = 0 ، حيث ص (خ)و ف (س)هي تعبيرات منطقية عدد صحيح. يمكن دائمًا اختصار حل المعادلات المنطقية الكسرية الأخرى إلى حل المعادلات بالصيغة المشار إليها.
الطريقة الأكثر استخدامًا لحل المعادلات p (x) q (x) = 0 تعتمد على العبارة التالية: الكسر العددي ش، أين الخامسهو رقم يختلف عن الصفر ، ويساوي صفرًا فقط في الحالات التي يكون فيها بسط الكسر مساويًا للصفر. باتباع منطق البيان أعلاه ، يمكننا التأكيد على أن حل المعادلة p (x) q (x) = 0 يمكن اختزاله لتحقيق شرطين: ص (س) = 0و ف (س) ≠ 0. على هذا ، تم بناء خوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية للصيغة p (x) q (x) = 0:
- نجد حل المعادلة المنطقية بأكملها ص (س) = 0;
- نتحقق مما إذا كانت الحالة مرضية للجذور الموجودة أثناء الحل ف (س) ≠ 0.
إذا تم استيفاء هذا الشرط ، فسيتم العثور على الجذر ، وإذا لم يكن كذلك ، فلن يكون الجذر حلاً للمشكلة.
مثال 6
أوجد جذور المعادلة 3 · س - 2 5 · س 2-2 = 0.
حل
نحن نتعامل مع معادلة منطقية كسرية بالصيغة p (x) q (x) = 0 ، حيث p (x) = 3 · x - 2 ، q (x) = 5 · x 2 - 2 = 0. لنبدأ في حل المعادلة الخطية 3 س - 2 = 0. سيكون جذر هذه المعادلة س = 2 3.
دعنا نتحقق من الجذر الذي تم العثور عليه ، ما إذا كان يفي بالشرط 5 × 2 - 2 0. للقيام بذلك ، استبدل القيمة الرقمية في التعبير. نحصل على: 5 2 3 2 - 2 \ u003d 5 4 9-2 \ u003d 20 9-2 \ u003d 2 9 ≠ 0.
تم استيفاء الشرط. هذا يعني انه س = 2 3هو جذر المعادلة الأصلية.
إجابة: 2 3 .
يوجد خيار آخر لحل المعادلات المنطقية الكسرية p (x) q (x) = 0. تذكر أن هذه المعادلة تعادل المعادلة بأكملها ص (س) = 0في نطاق القيم المقبولة للمتغير x للمعادلة الأصلية. هذا يسمح لنا باستخدام الخوارزمية التالية في حل المعادلات p (x) q (x) = 0:
- حل المعادلة ص (س) = 0;
- أوجد مدى القيم المقبولة للمتغير x ؛
- نأخذ الجذور التي تقع في منطقة القيم المقبولة للمتغير x كالجذور المرغوبة للمعادلة المنطقية الكسرية الأصلية.
حل المعادلة x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.
حل
لنبدأ ، دعنا نقرر معادلة من الدرجة الثانية × 2 - 2 × - 11 = 0. لحساب جذوره ، نستخدم صيغة الجذر لمعامل ثانٍ زوجي. نحن نحصل د 1 = (- 1) 2-1 (- 11) = 12، و x = 1 ± 2 3.
يمكننا الآن إيجاد ODV لـ x للمعادلة الأصلية. هذه كلها أرقام من أجلها س 2 + 3 س ≠ 0. إنها نفس ملفات س (س + 3) ≠ 0، من أين س ≠ 0 ، س ≠ - 3.
الآن دعنا نتحقق مما إذا كانت الجذور x = 1 ± 2 3 التي تم الحصول عليها في المرحلة الأولى من الحل تقع في نطاق القيم المقبولة للمتغير x. نرى ما يأتي. هذا يعني أن المعادلة المنطقية الكسرية لها جذران x = 1 ± 2 3.
إجابة:س = 1 ± 2 3
وصف طريقة الحل الثانية أسهل من الأولفي الحالات التي يسهل فيها إيجاد مساحة القيم المسموح بها للمتغير x وجذور المعادلة ص (س) = 0غير منطقي. على سبيل المثال ، 7 ± 4 26 9. يمكن أن تكون الجذور عقلانية ، ولكن ذات البسط أو المقام الكبير. على سبيل المثال، 127 1101 و − 31 59 . هذا يوفر الوقت لفحص الحالة. ف (س) ≠ 0: من الأسهل بكثير استبعاد الجذور التي لا تناسب ، وفقًا لـ ODZ.
عندما تكون جذور المعادلة ص (س) = 0هي أعداد صحيحة ، فمن الأنسب استخدام أول الخوارزميات الموصوفة لحل المعادلات بالصيغة p (x) q (x) = 0. إيجاد جذور المعادلة بأكملها بشكل أسرع ص (س) = 0، ثم تحقق مما إذا كان الشرط قد تم الوفاء به بالنسبة لهم ف (س) ≠ 0، وعدم العثور على ODZ ، ثم حل المعادلة ص (س) = 0على هذا ODZ. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه في مثل هذه الحالات يكون من الأسهل عادةً إجراء فحص بدلاً من العثور على ODZ.
المثال 8
أوجد جذور المعادلة (2 x - 1) (x - 6) (x 2-5 x + 14) (x + 1) x 5-15 x 4 + 57 x 3-13 x 2 + 26 x + 112 = 0.
حل
نبدأ بالنظر في المعادلة بأكملها (2 x - 1) (x - 6) (x 2-5 x + 14) (x + 1) = 0وإيجاد جذوره. للقيام بذلك ، نطبق طريقة حل المعادلات من خلال التحليل إلى عوامل. اتضح أن المعادلة الأصلية تعادل مجموعة من أربع معادلات 2 س - 1 = 0 ، س - 6 = 0 ، س 2-5 س + 14 = 0 ، س + 1 = 0 ، ثلاثة منها خطية و واحد هو مربع. نجد الجذور: من المعادلة الأولى س = 1 2من الثانية س = 6، من الثالث - س \ u003d 7 ، س \ u003d - 2 ، من الرابع - س = - 1.
دعونا نتحقق من الجذور التي تم الحصول عليها. من الصعب علينا تحديد ODZ في هذه الحالة ، لأنه لهذا سيتعين علينا حل معادلة جبرية من الدرجة الخامسة. سيكون من الأسهل التحقق من الشرط الذي وفقًا لمقام الكسر ، الموجود في الجانب الأيسر من المعادلة ، يجب ألا يختفي.
بدلًا من ذلك ، استبدل الجذور مكان المتغير x في التعبير × ٥ - ١٥ × ٤ + ٥٧ × ٣ - ١٣ × ٢ + ٢٦ × + ١١٢وحساب قيمتها:
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32-15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ؛
6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 0 ؛
7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ؛
(- 2) 5-15 (- 2) 4 + 57 (- 2) 3-13 (- 2) 2 + 26 (- 2) + 112 = - 720 0 ؛
(- 1) 5-15 (- 1) 4 + 57 (- 1) 3-13 (- 1) 2 + 26 (- 1) + 112 = 0.
يسمح لنا التحقق الذي تم إجراؤه بإثبات أن جذور المعادلة المنطقية الكسرية الأصلية هي 1 2 و 6 و − 2 .
إجابة: 1 2 , 6 , - 2
المثال 9
أوجد جذور المعادلة المنطقية الكسرية 5 × 2 - 7 س - 1 س - 2 × 2 + 5 س - 14 = 0.
حل
لنبدأ بالمعادلة (5 × 2-7 × - 1) (س - 2) = 0. لنجد جذوره. يسهل علينا تمثيل هذه المعادلة كمجموعة من المعادلات التربيعية والخطية 5 × 2-7 × - 1 = 0و س - 2 = 0.
نستخدم صيغة جذور المعادلة التربيعية لإيجاد الجذور. نحصل على جذرين x = 7 ± 69 10 من المعادلة الأولى ومن الثانية س = 2.
سيكون استبدال قيمة الجذور في المعادلة الأصلية للتحقق من الظروف أمرًا صعبًا للغاية بالنسبة لنا. سيكون من الأسهل تحديد LPV للمتغير x. في هذه الحالة ، DPV للمتغير x هي جميع الأرقام ، باستثناء تلك التي يتم استيفاء الشرط لها س 2 + 5 س - 14 = 0. نحصل على: x ∈ - ∞، - 7 ∪ - 7، 2 ∪ 2، +.
الآن دعنا نتحقق مما إذا كانت الجذور التي وجدناها تنتمي إلى نطاق القيم المقبولة لمتغير x.
الجذور x = 7 ± 69 10 - تنتمي ، لذلك ، فهي جذور المعادلة الأصلية ، و س = 2- لا ينتمي لذلك فهو جذر دخيل.
إجابة:س = 7 ± 69 10.
دعونا نفحص بشكل منفصل الحالات التي يحتوي فيها بسط المعادلة المنطقية الكسرية للصيغة p (x) q (x) = 0 على رقم. في مثل هذه الحالات ، إذا احتوى البسط على رقم غير الصفر ، فلن يكون للمعادلة جذور. إذا كان هذا الرقم يساوي صفرًا ، فسيكون جذر المعادلة أي رقم من ODZ.
المثال 10
حل المعادلة الكسرية المنطقية - 3 ، 2 × 3 + 27 = 0.
حل
لن يكون لهذه المعادلة جذور ، لأن بسط الكسر من الجانب الأيسر للمعادلة يحتوي على عدد غير صفري. هذا يعني أنه بالنسبة لأية قيم لـ x ، فإن قيمة الكسر المعطى في حالة المشكلة لن تساوي صفرًا.
إجابة:لا جذور.
المثال 11
حل المعادلة 0 × 4 + 5 × 3 = 0.
حل
نظرًا لأن بسط الكسر هو صفر ، فإن حل المعادلة سيكون أي قيمة لـ x من متغير ODZ x.
الآن دعنا نحدد ODZ. سيتضمن جميع قيم x الخاصة بها × 4 + 5 × 3 0. حلول المعادلات × 4 + 5 × 3 = 0نكون 0 و − 5 ، لأن هذه المعادلة تعادل المعادلة × 3 (س + 5) = 0، وهي بدورها تعادل مجموعة معادلتين x 3 = 0 و س + 5 = 0حيث تظهر هذه الجذور. توصلنا إلى استنتاج مفاده أن النطاق المطلوب للقيم المقبولة هو أي x ، باستثناء س = 0و س = -5.
اتضح أن المعادلة المنطقية الكسرية 0 × 4 + 5 × 3 = 0 لها عدد لا نهائي من الحلول ، وهي أي أرقام باستثناء الصفر و - 5.
إجابة: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
الآن دعنا نتحدث عن المعادلات المنطقية الكسرية ذات الشكل العشوائي وطرق حلها. يمكن كتابتها كـ ص (س) = ث (س)، أين ص (خ)و ق (س)هي تعبيرات عقلانية ، وواحد منها على الأقل كسري. يتم تقليل حل هذه المعادلات إلى حل المعادلات بالصيغة p (x) q (x) = 0.
نعلم بالفعل أنه يمكننا الحصول على معادلة مكافئة عن طريق نقل التعبير من الجانب الأيمن للمعادلة إلى الطرف الأيسر بالإشارة المقابلة. هذا يعني أن المعادلة ص (س) = ث (س)يعادل المعادلة ص (س) - ث (س) = 0. لقد ناقشنا بالفعل كيفية تحويل تعبير كسري إلى كسر كسري. بفضل هذا ، يمكننا بسهولة تحويل المعادلة ص (س) - ث (س) = 0في الجزء المنطقي المتطابق من النموذج p (x) q (x).
لذلك ننتقل من المعادلة المنطقية الكسرية الأصلية ص (س) = ث (س)إلى معادلة بالصيغة p (x) q (x) = 0 ، والتي تعلمنا بالفعل كيفية حلها.
وتجدر الإشارة إلى أنه عند إجراء انتقالات من ص (س) - ث (س) = 0إلى p (x) q (x) = 0 ثم إلى ص (س) = 0قد لا نأخذ في الاعتبار توسيع نطاق القيم الصالحة للمتغير x.
من الواقعي أن المعادلة الأصلية ص (س) = ث (س)والمعادلة ص (س) = 0نتيجة للتحولات ، سوف تتوقف عن أن تكون متكافئة. ثم حل المعادلة ص (س) = 0يمكن أن تعطينا الجذور التي ستكون غريبة ص (س) = ث (س). في هذا الصدد ، في كل حالة من الضروري إجراء فحص بأي من الطرق الموضحة أعلاه.
لتسهيل دراسة الموضوع ، قمنا بتعميم جميع المعلومات في خوارزمية لحل المعادلة المنطقية الكسرية للنموذج ص (س) = ث (س):
- ننقل التعبير من الجانب الأيمن بعلامة معاكسة ونحصل على صفر على اليمين ؛
- نقوم بتحويل التعبير الأصلي إلى كسر منطقي p (x) q (x) عن طريق تنفيذ الإجراءات بالتتابع مع الكسور ومتعددة الحدود ؛
- حل المعادلة ص (س) = 0;
- نكشف عن جذور دخيلة عن طريق التحقق من انتمائها إلى ODZ أو عن طريق استبدالها في المعادلة الأصلية.
بصريًا ، ستبدو سلسلة الإجراءات كما يلي:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → التسرب r o n d e r o o n s
المثال 12
حل المعادلة المنطقية الكسرية x x + 1 = 1 x + 1.
حل
دعنا ننتقل إلى المعادلة x x + 1 - 1 x + 1 = 0. دعنا نحول التعبير المنطقي الكسري على الجانب الأيسر من المعادلة إلى الصورة p (x) q (x).
للقيام بذلك ، علينا اختزال الكسور الكسرية إلى مقام موحد وتبسيط التعبير:
س س + 1 - 1 س - 1 = س س - 1 (س + 1) - 1 س (س + 1) س (س + 1) = = س 2 - س - 1 - س 2 - س س (س + 1) = - 2 × - 1 × (× + 1)
لإيجاد جذور المعادلة - 2 س - 1 س (س + 1) = 0 ، علينا حل المعادلة - 2 × - 1 = 0. نحصل على جذر واحد س = - 1 2.
يبقى علينا إجراء الفحص بأي من الطرق. دعونا نعتبر كلاهما.
استبدل القيمة الناتجة بالمعادلة الأصلية. نحصل على - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. لقد وصلنا إلى المساواة العددية الصحيحة − 1 = − 1 . هذا يعني انه س = - 1 2هو جذر المعادلة الأصلية.
الآن سوف نتحقق من خلال ODZ. دعنا نحدد مساحة القيم المقبولة للمتغير x. ستكون هذه المجموعة الكاملة للأرقام ، باستثناء - 1 و 0 (عندما تكون x = - 1 و x = 0 ، تختفي مقامات الكسور). الجذر الذي حصلنا عليه س = - 1 2ينتمي إلى ODZ. هذا يعني أنه جذر المعادلة الأصلية.
إجابة: − 1 2 .
المثال 13
أوجد جذور المعادلة x 1 x + 3-1 x = - 2 3 x.
حل
نحن نتعامل مع معادلة منطقية كسرية. لذلك ، سوف نتصرف وفقًا للخوارزمية.
لننقل التعبير من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيسر بالإشارة المعاكسة: x 1 x + 3-1 x + 2 3 x = 0
دعنا ننفذ التحولات اللازمة: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.
نأتي إلى المعادلة س = 0. جذر هذه المعادلة هو صفر.
دعنا نتحقق مما إذا كان هذا الجذر هو الجذر الأجنبي للمعادلة الأصلية. عوّض بالقيمة في المعادلة الأصلية: 0 1 0 + 3-1 0 = - 2 3 0. كما ترى ، فإن المعادلة الناتجة لا معنى لها. هذا يعني أن 0 هو جذر خارجي ، وأن المعادلة المنطقية الكسرية الأصلية ليس لها جذور.
إجابة:لا جذور.
إذا لم نقم بتضمين تحويلات مكافئة أخرى في الخوارزمية ، فهذا لا يعني على الإطلاق أنه لا يمكن استخدامها. الخوارزمية عالمية ، لكنها مصممة للمساعدة وليس للحد.
المثال 14
حل المعادلة ٧ + ١ ٣ + ١ ٢ + ١ ٥ - س ٢ = ٧ ٧ ٢٤
حل
أسهل طريقة هي حل المعادلة المنطقية الكسرية وفقًا للخوارزمية. لكن هناك طريقة أخرى. دعونا نفكر فيه.
اطرح من الجزأين الأيمن والأيسر 7 ، نحصل على: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \ u003d 7 24.
من هذا يمكننا أن نستنتج أن التعبير في مقام الطرف الأيسر يجب أن يكون مساويًا للرقم رقم متبادلمن الجانب الأيمن ، أي 3 + 1 2 + 1 5 - س 2 = 24 7.
اطرح من كلا الجزأين 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. بالقياس 2 + 1 5 - × 2 \ u003d 7 3 ، من حيث 1 5 - × 2 \ u003d 1 3 ، والمزيد 5 - × 2 \ u003d 3 ، × 2 \ u003d 2 ، س \ u003d ± 2
دعنا نتحقق لمعرفة ما إذا كانت الجذور التي تم العثور عليها هي جذور المعادلة الأصلية.
إجابة:س = ± 2
إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter
عرض ودرس حول موضوع: "المعادلات المنطقية. الخوارزمية وأمثلة لحل المعادلات المنطقية"
مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم! يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.
الوسائل التعليمية وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف الثامن
دليل للكتاب المدرسي Makarychev Yu.N. دليل للكتاب المدرسي Mordkovich A.G.
مقدمة في المعادلات غير المنطقية
يا رفاق ، تعلمنا كيفية حل المعادلات التربيعية. لكن الرياضيات لا تقتصر عليهم. اليوم سوف نتعلم كيفية حل المعادلات المنطقية. يشبه مفهوم المعادلات العقلانية هذا المفهوم من نواح كثيرة أرقام نسبية. بالإضافة إلى الأرقام فقط ، قدمنا الآن بعض المتغيرات $ x $. وبذلك نحصل على تعبير فيه عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة والرفع إلى قوة عددية.دع $ r (x) $ be تعبير عقلاني. يمكن أن يكون هذا التعبير متعدد الحدود بسيطًا في المتغير $ x $ أو نسبة متعددة الحدود (يتم تقديم عملية القسمة ، كما هو الحال بالنسبة للأرقام المنطقية).
يتم استدعاء المعادلة $ r (x) = 0 $ معادلة عقلانية.
أي معادلة بالصيغة $ p (x) = q (x) $ ، حيث $ p (x) $ و $ q (x) $ تعبيرات منطقية ، ستكون أيضًا معادلة عقلانية.
ضع في اعتبارك أمثلة لحل المعادلات المنطقية.
مثال 1حل المعادلة: $ \ frac (5x-3) (x-3) = \ frac (2x-3) (x) $.
حل.
لننقل كل التعبيرات إلى الجانب الأيسر: $ \ frac (5x-3) (x-3) - \ frac (2x-3) (x) = 0 $.
إذا تم تمثيل الجانب الأيسر من المعادلة أرقام عادية، ثم نضع كسرين في مقام مشترك.
لنفعل هذا: $ \ frac ((5x-3) * x) ((x-3) * x) - \ frac ((2x-3) * (x-3)) ((x-3) * x) = \ frac (5x ^ 2-3x- (2x ^ 2-6x-3x + 9)) ((x-3) * x) = \ frac (3x ^ 2 + 6x-9) ((x-3) * x) = \ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) $.
حصلنا على المعادلة: $ \ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) = 0 دولار.
الكسر يساوي صفرًا فقط إذا كان بسط الكسر صفرًا والمقام غير صفري. ثم قم بمساواة البسط بالصفر بشكل منفصل وإيجاد جذور البسط.
3 دولارات (س ^ 2 + 2 س -3) = 0 دولار أو س ^ 2 + 2 س -3 = 0 دولار.
$ x_ (1،2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (4-4 * (- 3))) (2) = \ frac (-2 ± 4) (2) = 1 ؛ -3 $.
الآن دعنا نتحقق من مقام الكسر: $ (x-3) * x ≠ 0 $.
حاصل ضرب عددين يساوي صفرًا عندما يكون أحد هذين الرقمين على الأقل يساوي صفرًا. ثم: $ x ≠ 0 $ أو $ x-3 ≠ 0 $.
$ x ≠ 0 $ أو $ x ≠ 3 $.
الجذور التي تم الحصول عليها في البسط والمقام غير متطابقة. لذا ردا على ذلك ، نكتب جذري البسط.
الإجابة: $ x = 1 $ أو $ x = -3 $.
إذا تزامن أحد جذور البسط فجأة مع جذر المقام ، فيجب استبعاده. تسمى هذه الجذور دخيلة!
خوارزمية لحل المعادلات المنطقية:
1. يجب نقل جميع التعبيرات الواردة في المعادلة إلى الجهه اليسرىمن علامة التساوي.2. حوّل هذا الجزء من المعادلة إلى كسر جبري: $ \ frac (p (x)) (q (x)) = 0 $.
3. قم بمساواة البسط الناتج بالصفر ، أي حل المعادلة $ p (x) = 0 $.
4. قم بمساواة المقام بالصفر وحل المعادلة الناتجة. إذا تزامنت جذور المقام مع جذور البسط ، فيجب استبعادها من الإجابة.
مثال 2
حل المعادلة: $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) = \ frac (6) (x ^ 2-1) $.
حل.
سنحل وفقًا لنقاط الخوارزمية.
1. $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) (x ^ 2-1) = 0 $.
2. $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) (x ^ 2-1) = \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) ((x-1) (x + 1)) = \ frac (3x (x + 1) +4 (x-1) -6) ((x -1) (x + 1)) = $ $ = \ frac (3x ^ 2 + 3x + 4x-4-6) ((x-1) (x + 1)) = \ frac (3x ^ 2 + 7x- 10) ((x-1) (x + 1)) $.
$ \ frac (3x ^ 2 + 7x-10) ((x-1) (x + 1)) = 0 دولار.
3. يساوي البسط بالصفر: $ 3x ^ 2 + 7x-10 = 0 $.
$ x_ (1،2) = \ frac (-7 ± \ sqrt (49-4 * 3 * (- 10))) (6) = \ frac (-7 ± 13) (6) = - 3 \ frac ( 1) (3) ؛ 1 دولار.
4. مساواة المقام بصفر:
$ (x-1) (x + 1) = 0 دولار.
دولار x = 1 دولار و x دولار = -1 دولار.
يتطابق أحد الجذور $ x = 1 $ مع جذر البسط ، ثم لا نكتبه ردًا على ذلك.
الجواب: $ x = -1 $.
من الملائم حل المعادلات المنطقية باستخدام طريقة تغيير المتغيرات. دعنا نوضح ذلك.
مثال 3
حل المعادلة: $ x ^ 4 + 12x ^ 2-64 = 0 $.
حل.
نقدم البديل: $ t = x ^ 2 $.
ثم ستأخذ معادلتنا الشكل:
$ t ^ 2 + 12t-64 = 0 $ معادلة تربيعية عادية.
$ t_ (1،2) = \ frac (-12 ± \ sqrt (12 ^ 2-4 * (- 64))) (2) = \ frac (-12 ± 20) (2) = - 16 ؛ 4 دولار.
دعنا نقدم بديل معكوس: $ x ^ 2 = 4 $ أو $ x ^ 2 = -16 $.
جذور المعادلة الأولى هي زوج من الأرقام $ x = ± 2 $. الثاني ليس له جذور.
الجواب: $ x = ± 2 $.
مثال 4
حل المعادلة: $ x ^ 2 + x + 1 = \ frac (15) (x ^ 2 + x + 3) $.
حل.
لنقدم متغيرًا جديدًا: $ t = x ^ 2 + x + 1 $.
ثم تأخذ المعادلة الشكل: $ t = \ frac (15) (t + 2) $.
بعد ذلك ، سنتصرف وفقًا للخوارزمية.
1. $ t- \ frac (15) (t + 2) = 0 $.
2. $ \ frac (t ^ 2 + 2t-15) (t + 2) = 0 $.
3. $ t ^ 2 + 2t-15 = 0 $.
$ t_ (1،2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (4-4 * (- 15))) (2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (64)) (2) = \ frac ( -2 ± 8) (2) = - 5 ؛ 3 دولار.
4. $ t ≠ -2 $ - الجذور غير متطابقة.
نقدم استبدال عكسي.
$ x ^ 2 + x + 1 = -5 دولار.
$ x ^ 2 + x + 1 = 3 دولارات.
لنحل كل معادلة على حدة:
$ x ^ 2 + x + 6 = 0 دولار.
$ x_ (1،2) = \ frac (-1 ± \ sqrt (1-4 * (- 6))) (2) = \ frac (-1 ± \ sqrt (-23)) (2) $ - لا الجذور.
والمعادلة الثانية: $ x ^ 2 + x-2 = 0 $.
ستكون جذور هذه المعادلة هي الأرقام $ x = -2 $ و $ x = 1 $.
الإجابة: $ x = -2 $ و $ x = 1 $.
مثال 5
حل المعادلة: $ x ^ 2 + \ frac (1) (x ^ 2) + x + \ frac (1) (x) = 4 $.
حل.
نقدم البديل: $ t = x + \ frac (1) (x) $.
ثم:
$ t ^ 2 = x ^ 2 + 2 + \ frac (1) (x ^ 2) $ أو $ x ^ 2 + \ frac (1) (x ^ 2) = t ^ 2-2 $.
حصلنا على المعادلة: $ t ^ 2-2 + t = 4 $.
$ t ^ 2 + t-6 = 0 دولار.
جذور هذه المعادلة هي الزوج:
$ t = -3 $ و $ t = 2 $.
دعنا نقدم البديل العكسي:
$ x + \ frac (1) (x) = - 3 $.
$ x + \ frac (1) (x) = 2 دولار.
سنقرر بشكل منفصل.
$ x + \ frac (1) (x) + 3 = 0 $.
$ \ frac (x ^ 2 + 3x + 1) (x) = 0 دولار.
$ x_ (1،2) = \ frac (-3 ± \ sqrt (9-4)) (2) = \ frac (-3 ± \ sqrt (5)) (2) $.
لنحل المعادلة الثانية:
$ x + \ frac (1) (x) -2 = 0 دولار.
$ \ frac (x ^ 2-2x + 1) (x) = 0 دولار.
$ \ frac ((x-1) ^ 2) (x) = 0 دولار.
جذر هذه المعادلة هو الرقم $ x = 1 $.
الإجابة: $ x = \ frac (-3 ± \ sqrt (5)) (2) $، $ x = 1 $.
مهام الحل المستقل
حل المعادلات:1. $ \ frac (3x + 2) (x) = \ frac (2x + 3) (x + 2) $.
2. $ \ frac (5x) (x + 2) - \ frac (20) (x ^ 2 + 2x) = \ frac (4) (x) $.
3. $ × ^ 4-7x ^ 2-18 = 0 دولار.
4. 2x ^ 2 + x + 2 = \ frac (8) (2x ^ 2 + x + 4) $.
5. $ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 3 $.
المعادلات مع الكسور نفسها ليست صعبة وممتعة للغاية. ضع في اعتبارك أنواع المعادلات الكسرية وطرق حلها.
كيفية حل المعادلات ذات الكسور - x في البسط
إذا تم تقديم معادلة كسرية ، حيث يكون المجهول في البسط ، فإن الحل لا يتطلب شروطًا إضافية ويتم حله دون متاعب لا داعي لها. الشكل العامهذه المعادلة هي x / a + b = c ، حيث x غير معروف ، a و b و c أرقام عادية.
أوجد x: x / 5 + 10 = 70.
لحل المعادلة ، عليك التخلص من الكسور. اضرب كل حد من حدود المعادلة في 5: 5x / 5 + 5x10 = 70x5. يتم تقليل 5x و 5 ، يتم ضرب 10 و 70 في 5 ونحصل على: x + 50 = 350 => x = 350-50 = 300.
أوجد x: x / 5 + x / 10 = 90.
هذا المثال هو نسخة أكثر تعقيدًا من المثال الأول. هناك حلان هنا.
- الخيار 1: تخلص من الكسور بضرب جميع شروط المعادلة في مقام أكبر ، أي في 10: 10x / 5 + 10x / 10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x = 300.
- الخيار 2: أضف الجانب الأيسر من المعادلة. x / 5 + x / 10 = 90. المقام المشترك هو 10. قسّم 10 على 5 ، واضرب في x ، نحصل على 2x. 10 مقسومًا على 10 ، مضروبًا في x ، نحصل على x: 2x + x / 10 = 90. ومن ثم 2x + x = 90 × 10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
غالبًا ما توجد معادلات كسرية يكون فيها x على طرفي نقيض من علامة التساوي. في مثل هذه الحالة ، من الضروري نقل جميع الكسور التي تحتوي على x في اتجاه واحد ، والأرقام في اتجاه آخر.
- أوجد x: 3x / 5 = 130-2x / 5.
- انقل 2x / 5 إلى اليمين مع الإشارة المعاكسة: 3x / 5 + 2x / 5 = 130 => 5x / 5 = 130.
- نخفض 5x / 5 ونحصل على: x = 130.
كيفية حل معادلة بها كسور - x في المقام
يتطلب هذا النوع من المعادلات الكسرية كتابة شروط إضافية. الإشارة إلى هذه الشروط هي جزء إلزامي وجزء لا يتجزأ من القرار الصحيح. من خلال عدم إسنادها ، فإنك تخاطر ، لأن الإجابة (حتى لو كانت صحيحة) قد لا يتم احتسابها ببساطة.
الشكل العام للمعادلات الكسرية ، حيث x في المقام ، هو: أ / س + ب = ج ، حيث س غير معروف ، أ ، ب ، ج أرقام عادية. لاحظ أن x قد لا يكون أي رقم. على سبيل المثال ، لا يمكن أن تكون x صفرًا ، حيث لا يمكنك القسمة على 0. هذا ما هو حالة إضافيةالتي يجب أن نحددها. وهذا ما يسمى نطاق القيم المقبولة ، والمختصرة - ODZ.
أوجد س: 15 / س + 18 = 21.
نكتب على الفور ODZ لـ x: x ≠ 0. الآن وبعد الإشارة إلى ODZ ، نحل المعادلة وفقًا للمخطط القياسي ، ونتخلص من الكسور. نضرب كل حدود المعادلة في x. 15x / س + 18x = 21x => 15 + 18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
غالبًا ما توجد معادلات لا يحتوي فيها المقام على x فقط ، ولكن أيضًا بعض العمليات الأخرى معه ، مثل الجمع أو الطرح.
أوجد x: 15 / (x-3) + 18 = 21.
نحن نعلم بالفعل أن المقام لا يمكن أن يساوي صفرًا ، مما يعني x-3 ≠ 0. ننقل -3 إلى الجانب الأيمن ، بينما نغير إشارة "-" إلى "+" ونحصل على x ≠ 3. ODZ هو مبين.
حل المعادلة ، اضرب كل شيء في x-3: 15 + 18x (x - 3) = 21x (x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.
انقل x إلى اليمين ، والأرقام إلى اليسار: 24 = 3x => x = 8.
حتى الآن ، قمنا بحل المعادلات الصحيحة فقط فيما يتعلق بالمجهول ، أي المعادلات التي لا تحتوي فيها القواسم (إن وجدت) على المجهول.
غالبًا ما يتعين عليك حل المعادلات التي تحتوي على المجهول في القواسم: تسمى هذه المعادلات كسريًا.
لحل هذه المعادلة ، نضرب طرفيها في كثير الحدود الذي يحتوي على المجهول. هل ستكون المعادلة الجديدة معادلة للمعادلة المعطاة؟ للإجابة على السؤال ، دعنا نحل هذه المعادلة.
بضرب طرفيها نحصل على:
لحل هذه المعادلة من الدرجة الأولى نجد:
إذن ، المعادلة (2) لها جذر واحد
باستبدالها بالمعادلة (1) ، نحصل على:
ومن ثم ، فهو أيضًا جذر المعادلة (1).
المعادلة (1) ليس لها جذور أخرى. في مثالنا ، يمكن ملاحظة ذلك ، على سبيل المثال ، من حقيقة أنه في المعادلة (1)
كيف يجب أن يكون القاسم المجهول مساويًا للمقسوم 1 مقسومًا على حاصل القسمة 2 ، أي
لذا ، فإن المعادلتين (1) و (2) لها جذر واحد ، ومن ثم فهي متكافئة.
2. نحل المعادلة التالية الآن:
أبسط قاسم مشترك:؛ اضرب جميع شروط المعادلة بها:
بعد التخفيض نحصل على:
دعنا نفدد الأقواس:
عند إحضار شروط مماثلة ، لدينا:
لحل هذه المعادلة نجد:
بالتعويض في المعادلة (1) ، نحصل على:
على الجانب الأيسر ، تلقينا تعابير لا معنى لها.
ومن ثم ، فإن جذر المعادلة (1) ليس كذلك. هذا يعني أن المعادلات (1) وليست متكافئة.
في هذه الحالة ، نقول أن المعادلة (1) قد اكتسبت جذرًا غريبًا.
دعونا نقارن حل المعادلة (1) بحل المعادلات التي درسناها سابقًا (انظر الفقرة 51). في حل هذه المعادلة ، كان علينا إجراء عمليتين من هذا القبيل لم تتم مصادفتهما من قبل: أولاً ، قمنا بضرب طرفي المعادلة بتعبير يحتوي على غير معروف (قاسم مشترك) ، وثانيًا ، قللنا الكسور الجبرية بواسطة عوامل تحتوي على مجهول.
بمقارنة المعادلة (1) مع المعادلة (2) ، نرى أنه ليست كل قيم x الصالحة للمعادلة (2) صالحة للمعادلة (1).
إن الأرقام 1 و 3 ليست قيمًا مقبولة للمجهول في المعادلة (1) ، ونتيجة للتحول أصبحت مقبولة للمعادلة (2). تبين أن أحد هذه الأرقام هو حل للمعادلة (2) ، لكنه بالطبع لا يمكن أن يكون حلاً للمعادلة (1). المعادلة (1) ليس لها حلول.
يوضح هذا المثال أنه عند ضرب كلا الجزأين من المعادلة بعامل يحتوي على المجهول ، وعند تقليل الكسور الجبرية ، يمكن الحصول على معادلة لا تعادل المعطى المعطى ، وهي: يمكن أن تظهر الجذور الخارجية.
ومن هنا نستنتج الاستنتاج التالي. عند حل معادلة تحتوي على مجهول في المقام ، يجب التحقق من الجذور الناتجة بالتعويض في المعادلة الأصلية. يجب التخلص من الجذور الدخيلة.
§ 1 المعادلات المنطقية الكاملة والكسرية
في هذا الدرس ، سنقوم بتحليل مفاهيم مثل المعادلة المنطقية ، والتعبير المنطقي ، والتعبير الصحيح ، والتعبير الكسري. ضع في اعتبارك حل المعادلات المنطقية.
المعادلة المنطقية هي معادلة يكون فيها الجانبان الأيمن والأيسر تعابير منطقية.
التعبيرات العقلانية هي:
كسور.
يتكون تعبير العدد الصحيح من الأرقام والمتغيرات والقوى الصحيحة باستخدام عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة على رقم آخر غير الصفر.
على سبيل المثال:
في تعبيرات كسريةهناك قسمة على متغير أو تعبير به متغير. على سبيل المثال:
لا يكون التعبير الكسري منطقيًا لجميع قيم المتغيرات المضمنة فيه. على سبيل المثال ، التعبير
عند x = -9 لا معنى له ، لأنه عند x = -9 يذهب المقام إلى الصفر.
هذا يعني أن المعادلة الكسرية يمكن أن تكون عددًا صحيحًا وكسرًا.
المعادلة المنطقية الصحيحة هي معادلة منطقية يكون فيها الجانبان الأيمن والأيسر تعابير عددية.
على سبيل المثال:
المعادلة المنطقية الكسرية هي معادلة منطقية يكون فيها الجانب الأيمن أو الأيسر عبارة عن تعبيرات كسرية.
على سبيل المثال:
§ 2 حل معادلة منطقية كاملة
ضع في اعتبارك حل معادلة عقلانية كاملة.
على سبيل المثال:
اضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك الأصغر لمقام الكسور المتضمنة فيها.
لهذا:
1. أوجد المقام المشترك للمقام 2 ، 3 ، 6. إنه يساوي 6 ؛
2. ابحث عن عامل إضافي لكل كسر. للقيام بذلك ، اقسم المقام المشترك 6 على كل مقام
مضاعف إضافي للكسر
مضاعف إضافي للكسر
3. اضرب بسط الكسور في العوامل الإضافية المقابلة لها. وهكذا نحصل على المعادلة
وهو ما يعادل هذه المعادلة
دعونا نفتح الأقواس على اليسار ، وننقل الجزء الأيمن إلى اليسار ، ونغير إشارة المصطلح أثناء النقل إلى العكس.
نعطي شروطًا متشابهة لكثيرات الحدود ونحصل عليها
نرى أن المعادلة خطية.
بحلها نجد أن x = 0.5.
§ 3 حل معادلة كسرية منطقية
ضع في اعتبارك حل المعادلة المنطقية الكسرية.
على سبيل المثال:
1. اضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك الأصغر للمقامين الخاصين بالكسور المنطقية المتضمنة فيها.
أوجد المقام المشترك للمقامرين x + 7 و x - 1.
إنه يساوي حاصل ضربهم (س + 7) (س - 1).
2. لنجد عاملًا إضافيًا لكل كسر كسري.
للقيام بذلك ، نقسم المقام المشترك (x + 7) (x - 1) على كل مقام. مضاعف إضافي للكسور
يساوي x - 1 ،
مضاعف إضافي للكسر
يساوي x + 7.
3. اضرب بسط الكسور في العوامل الإضافية المقابلة لها.
نحصل على المعادلة (2x - 1) (x - 1) \ u003d (3x + 4) (x + 7) ، وهو ما يعادل هذه المعادلة
4- اضرب لليمين واليسار في ذات الحدين واحصل على المعادلة التالية
5. ننقل الجزء الأيمن إلى اليسار ، ونغير إشارة كل مصطلح عند التحويل إلى العكس:
6. نقدم أعضاء متشابهين في كثير الحدود:
7. يمكنك قسمة كلا الجزأين على -1. نحصل على معادلة من الدرجة الثانية:
8. بعد حلها ، سنجد الجذور
منذ ذلك الحين في المعادلة
الجزءان الأيمن والأيسر عبارة عن تعبيرات كسرية ، وفي التعبيرات الكسرية ، بالنسبة لبعض قيم المتغيرات ، قد يتلاشى المقام ، ثم من الضروري التحقق مما إذا كان المقام المشترك لا يختفي عند العثور على x1 و x2.
عند x = -27 لا يختفي المقام المشترك (x + 7) (x - 1) ، وعند x = -1 يكون المقام المشترك أيضًا غير صفري.
لذلك ، كلا الجذور -27 و -1 هي جذور المعادلة.
عند حل المعادلة المنطقية الكسرية ، من الأفضل الإشارة على الفور إلى منطقة القيم المسموح بها. احذف تلك القيم التي يصل عندها المقام المشترك إلى الصفر.
فكر في مثال آخر لحل معادلة منطقية كسرية.
على سبيل المثال ، لنحل المعادلة
نحلل مقام الكسر الموجود في الجانب الأيمن من المعادلة إلى عوامل
نحصل على المعادلة
أوجد المقام المشترك للمقام (x - 5)، x، x (x - 5).
سيكون التعبير x (x - 5).
لنجد الآن نطاق القيم المقبولة للمعادلة
للقيام بذلك ، نساوي المقام المشترك بصفر x (x - 5) \ u003d 0.
نحصل على معادلة ، ونحلها ، نجد أنه عند x \ u003d 0 أو عند x \ u003d 5 ، يتلاشى المقام المشترك.
إذن ، لا يمكن أن تكون x = 0 أو x = 5 جذور معادلتنا.
الآن يمكنك العثور على مضاعفات إضافية.
مضاعف إضافي للكسور المنطقية
مضاعف إضافي للكسور
سيكون (× - 5) ،
والعامل الإضافي للكسر
نضرب البسط في العوامل الإضافية المقابلة.
نحصل على المعادلة x (x - 3) + 1 (x - 5) = 1 (x + 5).
لنفتح الأقواس الموجودة على اليسار واليمين ، x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
دعنا ننقل المصطلحات من اليمين إلى اليسار عن طريق تغيير علامة الشروط المراد نقلها:
س 2 - 3 س + س - 5 - س - 5 = 0
وبعد إحضار المصطلحات المماثلة ، نحصل على المعادلة التربيعية x2 - 3x - 10 \ u003d 0. بعد حلها ، نجد الجذور x1 \ u003d -2 ؛ س 2 = 5.
لكننا اكتشفنا بالفعل أنه عند x = 5 يتلاشى المقام المشترك x (x - 5). لذلك ، جذر معادلتنا
سيكون x = -2.
§ 4 ملخص موجزدرس
من المهم أن تتذكر:
عند حل المعادلات المنطقية الكسرية ، يجب عليك القيام بما يلي:
1. أوجد المقام المشترك للكسور المتضمنة في المعادلة. علاوة على ذلك ، إذا كان من الممكن تحليل مقامات الكسور إلى عوامل ، فقم بتحليلها إلى عوامل ثم ابحث عن المقام المشترك.
2. اضرب طرفي المعادلة بمقام موحد: أوجد عوامل إضافية ، واضرب البسط في عوامل إضافية.
3. حل المعادلة الناتجة.
4. استبعاد من جذوره تلك التي تحول المقام المشترك إلى الصفر.
قائمة الأدب المستخدم:
- Makarychev Yu.N. ، N.G. Mindyuk ، Neshkov K.I. ، Suvorova S.B. / تحت رئاسة تحرير Telyakovsky S.A. الجبر: كتاب مدرسي. لمدة 8 خلايا. تعليم عام المؤسسات. - م: التعليم ، 2013.
- مردكوفيتش أ. الجبر. الصف الثامن: في جزئين. الجزء 1: Proc. للتعليم العام المؤسسات. - م: Mnemosyne.
- روركين أ. تطورات الدرس في الجبر: الصف الثامن - م: فاكو ، 2010.
- الجبر الصف الثامن: خطط الدروسوفقًا للكتاب المدرسي Yu.N. ماكاريشيفا ، ن. مينديوك ، ك. نيشكوفا ، س. سوفوروفا / شركات. ت. أفاناسييف ، لوس أنجلوس تابلينا. - فولغوغراد: مدرس ، 2005.