معلومات أساسية عن التعبيرات المنطقية وتحولاتها. تحويل الكسور المنطقية (الجبرية) ، أنواع التحولات ، أمثلة

أي تعبير كسري(البند 48) يمكن كتابته على أنه ، حيث P و Q تعبيران منطقيان ، و Q بالضرورة تحتوي على متغيرات. يسمى هذا الكسر الكسر المنطقي.

أمثلة على الكسور المنطقية:

يتم التعبير عن الخاصية الرئيسية للكسر من خلال هوية صالحة في ظل الظروف هنا - تعبير عقلاني كامل. هذا يعني أن بسط ومقام الكسر الكسري يمكن ضربهما أو قسمةهما على نفس العدد غير الصفري ، أحادي أو كثير الحدود.

على سبيل المثال ، يمكن استخدام خاصية الكسر لتغيير إشارات أعضاء الكسر. إذا تم ضرب البسط والمقام في -1 ، نحصل على ذلك ، لن تتغير قيمة الكسر إذا تغيرت علامات البسط والمقام في نفس الوقت. إذا قمت بتغيير علامة البسط فقط أو المقام فقط ، فسيغير الكسر علامته:

على سبيل المثال،

60. اختزال الكسور المنطقية.

لتقليل الكسر ، يجب قسمة بسط الكسر ومقامه على عامل مشترك. إمكانية مثل هذا التخفيض يرجع إلى الخاصية الرئيسية للكسر.

لتقليل كسر كسري ، عليك تحليل البسط والمقام إلى عوامل. إذا اتضح أن البسط والمقام لهما عوامل مشتركة ، فيمكن اختزال الكسر. إذا لم تكن هناك عوامل مشتركة ، فإن تحويل الكسر عن طريق الاختزال أمر مستحيل.

مثال. تقليل الكسر

حل. لدينا

يتم إجراء تصغير الكسر تحت الشرط.

61. جعل الكسور المنطقية في قاسم مشترك.

المقام المشترك للعديد من الكسور المنطقية هو التعبير المنطقي الكامل ، والذي يقسم على مقام كل كسر (انظر البند 54).

على سبيل المثال ، تعد كثيرة الحدود بمثابة قاسم مشترك للكسور ، نظرًا لأنها قابلة للقسمة على وبواسطة وبواسطة كثيرة الحدود ومتعددة الحدود ومتعددة الحدود ، وما إلى ذلك. صدى. يسمى هذا المقام الأبسط أحيانًا المقام المشترك الأصغر.

في المثال أعلاه ، المقام المشترك هو لدينا

يتم تحقيق اختزال هذه الكسور إلى مقام مشترك بضرب بسط ومقام الكسر الأول في 2. ويطلق على بسط ومقام الكسر الثاني في كثيرات الحدود عوامل إضافية للكسرين الأول والثاني ، على التوالي. العامل الإضافي لكسر معين يساوي حاصل قسمة المقام المشترك على مقام الكسر المحدد.

لتقليل العديد من الكسور المنطقية إلى قاسم مشترك ، تحتاج إلى:

1) حلل مقام كل كسر إلى عوامل ؛

2) جعل القاسم المشترك ، بما في ذلك كعوامل جميع العوامل التي تم الحصول عليها في الفقرة 1) من التوسعات ؛ إذا كان هناك عامل معين في العديد من التوسعات ، فسيتم أخذه بأسس مساوية لأكبر التوسعات المتاحة ؛

3) إيجاد عوامل إضافية لكل من الكسور (لهذا ، يتم قسمة المقام المشترك على مقام الكسر) ؛

4) ضرب بسط كل كسر ومقامه في عامل إضافي ، وبذلك يصبح الكسر مقامًا مشتركًا.

مثال. اختصر إلى المقام المشترك لكسر

حل. دعنا نحلل القواسم:

يجب تضمين العوامل التالية في المقام المشترك: والمضاعف المشترك الأصغر للأرقام 12 ، 18 ، 24 ، أي. إذن فإن المقام المشترك هو

مضاعفات إضافية: للكسر الأول للجزء الثاني للثالث لذا نحصل على:

62. جمع وطرح الكسور النسبية.

مجموع كسرين (وبشكل عام أي عدد محدد) من الكسور المنطقية ذات المقامات نفسها يساوي كسرًا بنفس المقام وبسط يساوي مجموع بسط الكسور المضافة:

يكون الموقف مشابهًا عند طرح كسور لها نفس القواسم:

مثال 1: تبسيط تعبير

حل.

لجمع أو طرح الكسور النسبية مع قواسم مختلفةبادئ ذي بدء ، تحتاج إلى تقليل الكسور إلى مقام مشترك ، ثم إجراء العمليات على الكسور الناتجة بنفس القواسم.

مثال 2: تبسيط تعبير

حل. لدينا

63. ضرب وقسمة الكسور النسبية.

حاصل ضرب اثنين (وبشكل عام أي عدد محدد) الكسور المنطقية يساوي كسرًا بسطه يساوي حاصل ضرب البسطين ، والمقام هو حاصل ضرب مقامات الكسور المضاعفة:

حاصل قسمة كسرين عقلانيين يساوي بشكل مماثل كسرًا يساوي بسطه حاصل ضرب بسط الكسر الأول على مقام الكسر الثاني ، والمقام هو حاصل ضرب مقام الكسر الأول على بسط الكسر الثاني:

تنطبق القواعد المصاغة للضرب والقسمة أيضًا على حالة الضرب أو القسمة بواسطة كثير الحدود: يكفي كتابة كثير الحدود ككسر مقامه 1.

نظرًا لإمكانية اختزال الكسر المنطقي الذي تم الحصول عليه بضرب أو قسمة الكسور النسبية ، فعادة ما يتم السعي إلى تحليل البسط والمقام في الكسور الأصلية قبل إجراء هذه العمليات.

مثال 1. اضرب

حل. لدينا

باستخدام قاعدة ضرب الكسور ، نحصل على:

مثال 2: قم بإجراء القسمة

حل. لدينا

باستخدام قاعدة القسمة ، نحصل على:

64. رفع الكسر الكسري إلى قوة صحيحة.

لرفع الكسر الكسري - إلى قوة طبيعية ، تحتاج إلى رفع بسط ومقام الكسر بشكل منفصل إلى هذه الأس ؛ التعبير الأول هو البسط والتعبير الثاني هو مقام النتيجة:

مثال 1. حوّل إلى كسر بقوة 3.

حل الحل.

عند رفع الكسر إلى قوة عدد صحيح سالب ، يتم استخدام هوية صالحة لجميع قيم المتغيرات التي من أجلها.

مثال 2. تحويل التعبير إلى كسر

65. تحويل التعبيرات المنطقية.

يتم تحويل أي تعبير منطقي إلى جمع وطرح وضرب وتقسيم الكسور المنطقية ، وكذلك رفع الكسر إلى قوة طبيعية. يمكن تحويل أي تعبير منطقي إلى كسر يكون بسطه ومقامه تعابير منطقية عددية ؛ هذا ، كقاعدة عامة ، هو الهدف من التحولات المتطابقة للتعبيرات العقلانية.

مثال. تبسيط التعبير

66. أبسط التحولات الحسابية للجذور (الجذور).

عند تحويل النواة الحسابية ، يتم استخدام خصائصها (انظر البند 35).

ضع في اعتبارك بعض الأمثلة على استخدام الخصائص الجذور الحسابيةلأبسط تحولات الجذور. في هذه الحالة ، سيتم اعتبار جميع المتغيرات على أنها تأخذ فقط قيمًا غير سالبة.

مثال 1. استخرج جذر المنتج

حل. عند تطبيق الخاصية 1 ° نحصل على:

مثال 2. أخرج العامل من تحت علامة الجذر

حل.

يسمى هذا التحول بعزل من تحت علامة الجذر. الغرض من التحويل هو تبسيط التعبير الجذري.

مثال 3: تبسيط.

حل. وفقًا للخاصية 3 ° ، نحاول عادةً تبسيط التعبير الجذري ، والذي من أجله يتم إخراج المضاعفات التي تتجاوز علامة الكوريوم. لدينا

مثال 4: تبسيط

حل. نقوم بتحويل التعبير عن طريق إدخال عامل تحت علامة الجذر: بالخاصية 4 ° لدينا

مثال 5: تبسيط

حل. بالخاصية 5 ° ، لدينا الحق في قسمة أس الجذر وأس التعبير الجذري على نفس العدد الطبيعي. إذا قسمنا المؤشرات المشار إليها على 3 في المثال قيد الدراسة ، فسنحصل عليها.

مثال 6. تبسيط التعبيرات:

الحل ، أ) من خلال الخاصية 1 ° ، نحصل على أنه لمضاعفة الجذور من نفس الدرجة ، يكفي مضاعفة تعبيرات الجذر واستخراج الجذر بنفس الدرجة من النتيجة التي تم الحصول عليها. وسائل،

ب) أولاً ، يجب أن نختزل الجذور إلى مؤشر واحد. وفقًا للخاصية 5 ° ، يمكننا ضرب أس الجذر في نفس العدد الطبيعي. لذلك ، بعد ذلك ، لدينا الآن النتيجة التي تم الحصول عليها بقسمة مؤشرات الجذر ودرجة التعبير الجذري على 3 ، نحصل على.

هذا المقال عن تحويل التعبيرات العقلانية، في الغالب منطقيًا جزئيًا ، هو أحد الأسئلة الرئيسية في مقرر الجبر للصف الثامن. أولًا ، نتذكر نوع المقادير التي تسمى عقلانية. بعد ذلك ، سنركز على إجراء تحويلات معيارية بتعبيرات عقلانية ، مثل تجميع المصطلحات ، وإخراج العوامل المشتركة من الأقواس ، وتقليل المصطلحات المماثلة ، وما إلى ذلك. أخيرًا ، سوف نتعلم كيفية تمثيل التعبيرات المنطقية الكسرية ككسور منطقية.

التنقل في الصفحة.

تعريف وأمثلة للتعبيرات المنطقية

التعبيرات العقلانية هي أحد أنواع التعبيرات المدروسة في دروس الجبر في المدرسة. دعونا نعطي تعريف.

تعريف.

التعبيرات المكونة من أرقام ، متغيرات ، أقواس ، درجات بأسس صحيحة ، متصلة بإشارات عمليات حسابية+ ، - ، و: ، حيث يمكن الإشارة إلى القسمة بشريط من كسر ، تسمى تعابير عقلانية.

فيما يلي بعض الأمثلة على التعبيرات المنطقية:.

تبدأ التعبيرات العقلانية في دراسة هادفة في الصف السابع. علاوة على ذلك ، في الصف السابع ، أساسيات العمل مع من يسمى تعابير عقلانية كاملة، أي مع التعبيرات المنطقية التي لا تحتوي على قسمة إلى تعبيرات ذات متغيرات. للقيام بذلك ، تتم دراسة المعادلات الأحادية ومتعددة الحدود باستمرار ، بالإضافة إلى مبادئ تنفيذ الإجراءات معهم. تسمح لك كل هذه المعرفة في النهاية بإجراء تحويل التعبيرات الصحيحة.

في الصف الثامن ، ينتقلون إلى دراسة التعبيرات المنطقية التي تحتوي على قسمة بتعبير ذي متغيرات ، والتي تسمى التعبيرات المنطقية الكسرية. في الوقت نفسه ، يتم إيلاء اهتمام خاص لما يسمى ب الكسور المنطقية(أيضا يسمى الكسور الجبرية) ، أي الكسور التي يحتوي بسطها ومقامها على كثيرات الحدود. هذا يجعل من الممكن في النهاية إجراء تحويل الكسور المنطقية.

تتيح لنا المهارات المكتسبة المضي قدمًا في تحويل التعبيرات العقلانية لشكل تعسفي. ويفسر ذلك حقيقة أن أي تعبير عقلاني يمكن اعتباره تعبيرًا يتكون من كسور منطقية وتعبيرات صحيحة مرتبطة بعلامات العمليات الحسابية. ونحن نعلم بالفعل كيفية التعامل مع المقادير الصحيحة والكسور الجبرية.

الأنواع الرئيسية لتحولات التعبيرات العقلانية

باستخدام التعبيرات المنطقية ، يمكنك تنفيذ أي من تحويلات الهوية الأساسية ، سواء كانت مجموعة من المصطلحات أو العوامل ، أو تقليل المصطلحات المتشابهة ، أو إجراء عمليات بأرقام ، إلخ. عادةً ما يكون الغرض من هذه التحولات هو تبسيط التعبير المنطقي.

مثال.

.

حل.

من الواضح أن هذا التعبير العقلاني هو اختلاف بين تعبيرين ، وهذان التعبيران متشابهان ، لأنهما لهما نفس الجزء الحرفي. وبالتالي ، يمكننا إجراء تخفيض للمصطلحات المتشابهة:

إجابة:

.

من الواضح أنه عند إجراء تحولات بتعبيرات عقلانية ، كما هو الحال في الواقع ، مع أي تعبيرات أخرى ، يجب على المرء أن يظل في إطار ترتيب الإجراءات المقبول.

مثال.

تحويل التعبير المنطقي.

حل.

نحن نعلم أن الإجراءات بين قوسين يتم تنفيذها أولاً. لذلك ، أولاً وقبل كل شيء ، نقوم بتحويل التعبير بين قوسين: 3 س - س = 2 س.

الآن يمكنك استبدال النتيجة في التعبير المنطقي الأصلي:. لذلك توصلنا إلى تعبير يحتوي على أفعال مرحلة واحدة - الجمع والضرب.

دعنا نتخلص من الأقواس في نهاية التعبير بتطبيق خاصية القسمة على منتج:.

أخيرًا ، يمكننا تجميع العوامل الرقمية وعوامل x ، ثم إجراء العمليات المقابلة على الأرقام وتطبيق:.

هذا يكمل تحويل التعبير المنطقي ، ونتيجة لذلك حصلنا على monomial.

إجابة:

مثال.

تحويل التعبير العقلاني .

حل.

أولًا نحول البسط والمقام. يُفسَّر ترتيب تحويل الكسور هذا من خلال حقيقة أن ضربة الكسر هي في الأساس تسمية قسمة أخرى ، والتعبير المنطقي الأصلي هو أساسًا شكل معين ، ويتم تنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين أولاً.

لذلك ، في البسط ، نجري عمليات مع كثيرات الحدود ، الضرب الأول ، ثم الطرح ، وفي المقام نجمع العوامل العددية ونحسب حاصل ضربها: .

لنتخيل أيضًا بسط ومقام الكسر الناتج على أنه حاصل ضرب: فجأة أصبح من الممكن تقليل الكسر الجبري. للقيام بذلك ، نستخدم في البسط فرق صيغة المربعات، وفي المقام نخرج الشيطان من الأقواس ، لدينا .

إجابة:

.

لذلك ، يمكن اعتبار التعارف الأولي مع تحول التعبيرات العقلانية مكتملاً. نمر ، إذا جاز التعبير ، إلى أحلى.

التمثيل ككسر منطقي

الهدف النهائي الأكثر شيوعًا لتحويل التعبيرات هو تبسيط شكلها. في ضوء هذا ، الأكثر منظر بسيط، الذي يمكن تحويل التعبير المنطقي الكسري إليه ، هو جزء عقلاني (جبري) ، وفي حالة معينة ، متعدد الحدود ، أو وحيد الحد ، أو رقم.

هل من الممكن تمثيل أي تعبير منطقي ككسر كسري؟ الجواب نعم. دعونا نشرح سبب ذلك.

كما قلنا سابقًا ، يمكن اعتبار أي تعبير عقلاني متعدد الحدود وكسور عقلانية مرتبطة بعلامات موجب وناقص وضرب وقسمة. كل العمليات ذات الصلة على كثيرات الحدود تنتج كثير الحدود أو كسر منطقي. في المقابل ، يمكن تحويل أي كثير حدود إلى كسر جبري بكتابته بالمقام 1. بالإضافة إلى ذلك ، ينتج عن الطرح والضرب والقسمة للكسور الكسرية كسور كسرية جديدة. لذلك ، بعد إجراء جميع العمليات مع كثيرات الحدود والكسور النسبية في التعبير الكسري ، نحصل على كسر كسري.

مثال.

عبر عن التعبير في صورة كسر نسبي .

حل.

التعبير المنطقي الأصلي هو الفرق بين الكسر ومنتج الكسور في الصورة . وفقًا لترتيب العمليات ، يجب علينا أولاً إجراء الضرب ، ثم الجمع فقط.

نبدأ بضرب الكسور الجبرية:

نستبدل النتيجة التي تم الحصول عليها في التعبير المنطقي الأصلي:.

لقد توصلنا إلى طرح الكسور الجبرية ذات القواسم المختلفة:

لذلك ، بعد أن نفذنا الأفعال مع الكسور المنطقية التي تشكل التعبير المنطقي الأصلي ، قدمناها ككسر نسبي.

إجابة:

.

لتوحيد المادة ، سنحلل حل مثال آخر.

مثال.

اكتب تعبيرًا كسريًا في صورة كسر كسري.

ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت abracadabra بدلاً من الصيغ ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوب هنا:
2. قبل أن تبدأ في قراءة المقال ، انتبه إلى الملاح الخاص بنا أكثر من غيره مورد مفيدل

غالبًا ما نسمع هذه العبارة غير السارة: "تبسيط التعبير."عادة ، في هذه الحالة ، لدينا نوع من الوحش مثل هذا:

نقول "نعم ، أسهل بكثير" ، لكن مثل هذه الإجابة عادة لا تعمل.

الآن سأعلمك ألا تخاف من أي مهام من هذا القبيل.

علاوة على ذلك ، في نهاية الدرس ، ستقوم أنت بنفسك بتبسيط هذا المثال إلى (فقط!) رقم عادي(نعم ، إلى الجحيم بهذه الحروف).

لكن قبل أن تبدأ هذا الدرس ، يجب أن تكون قادرًا على ذلك التعامل مع الكسورو حلل كثيرات الحدود إلى عوامل.

لذلك ، إذا لم تكن قد فعلت ذلك من قبل ، فتأكد من إتقان الموضوعات "" و "".

يقرأ؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، فأنت جاهز.

لنذهب لنذهب!)

عمليات تبسيط التعبير الأساسية

سنقوم الآن بتحليل التقنيات الرئيسية المستخدمة لتبسيط التعبيرات.

أبسطها هو

1. إحضار مماثل

ما هي المتشابهة؟ مررت بهذا في الصف السابع ، عندما ظهرت الحروف لأول مرة في الرياضيات بدلاً من الأرقام.

مشابهعبارة عن مصطلحات (أحادية) بنفس جزء الحرف.

على سبيل المثال ، في المجموع ، مثل المصطلحات هي و.

تذكرت؟

إحضار ما شابه- يعني إضافة عدة مصطلحات متشابهة مع بعضها البعض والحصول على مصطلح واحد.

لكن كيف يمكننا تجميع الحروف معًا؟ - أنت تسأل.

من السهل جدًا فهم هذا إذا تخيلت أن الحروف هي نوع من الأشياء.

على سبيل المثال ، الحرف هو كرسي. ثم ما هو التعبير؟

كرسيان وثلاثة كراسي كم سيكون؟ هذا صحيح ، الكراسي:.

جرب الآن هذا التعبير:

من أجل عدم الخلط ، دعونا بأحرف مختلفةتمثل أشياء مختلفة.

على سبيل المثال ، - هذا (كالعادة) كرسي ، و- هذه طاولة.

كراسي طاولات كراسي طاولات وكراسي وطاولات وكراسي

يتم استدعاء الأرقام التي يتم بها ضرب الأحرف في هذه المصطلحات معاملات.

على سبيل المثال ، في المونومال يكون المعامل متساويًا. وهو متساوٍ.

إذن ، قاعدة إحضار المماثل:

أمثلة:

إحضار مشابه:

الإجابات:

2. (وهي متشابهة ، لأن هذه المصطلحات لها نفس جزء الحرف).

2. التخصيم

هذا عادة أكثر جزء مهمفي عبارات مبسطة.

بعد أن تعطي كلمات مماثلة ، غالبًا ما تكون هناك حاجة إلى التعبير الناتج حلل إلى عوامل، أي تمثل كمنتج.

خاصة هذا مهم في الكسور:لأنه من أجل تقليل الكسر ، يجب التعبير عن البسط والمقام كمنتج.

لقد مررت بالطرق التفصيلية لتقسيم التعبيرات في الموضوع "" ، لذلك عليك فقط أن تتذكر ما تعلمته.

للقيام بذلك ، قم بحل بعض الأمثلة (تحتاج إلى التحليل)

أمثلة:

حلول:

3. تخفيض الكسر.

حسنًا ، ما الذي يمكن أن يكون أجمل من شطب جزء من البسط والمقام وإبعادهما عن حياتك؟

هذا هو جمال الاختصار.

انه سهل:

إذا احتوى البسط والمقام على نفس العوامل ، فيمكن اختزالهما ، أي إزالتهما من الكسر.

هذه القاعدة تتبع الخاصية الأساسية للكسر:

أي أن جوهر عملية التخفيض هو ذلك نقسم بسط ومقام الكسر على نفس الرقم (أو بنفس التعبير).

لتقليل الكسر ، تحتاج إلى:

1) البسط والمقام حلل إلى عوامل

2) إذا احتوى البسط والمقام العوامل المشتركة، يمكن حذفها.

أمثلة:

المبدأ في اعتقادي واضح؟

أريد أن ألفت الانتباه إلى واحدة خطأ نموذجيعند التقليل. على الرغم من أن هذا الموضوع بسيط ، إلا أن الكثير من الناس يفعلون كل شيء بشكل خاطئ ، دون أن يدركوا ذلك يقطع- هذا يعنى يقسمالبسط والمقام بنفس العدد.

لا توجد اختصارات إذا كان البسط أو المقام هو المجموع.

على سبيل المثال: تحتاج إلى التبسيط.

البعض يفعل هذا: وهو خطأ مطلق.

مثال آخر: تقليل.

سيفعل "الأذكى" هذا:

قل لي ما هو الخطأ هنا؟ يبدو: - هذا مُضاعِف ، لذا يمكنك تقليله.

لكن لا: - هذا عامل حد واحد فقط في البسط ، لكن البسط نفسه ككل لا يتحلل إلى عوامل.

هنا مثال آخر:.

يتحلل هذا التعبير إلى عوامل ، مما يعني أنه يمكنك الاختزال ، أي قسمة البسط والمقام على ، ثم بواسطة:

يمكنك القسمة على الفور على:

لتجنب مثل هذه الأخطاء ، تذكر طريقة سهلةكيفية تحديد ما إذا كان التعبير محللًا إلى عوامل:

العملية الحسابية التي يتم إجراؤها أخيرًا عند حساب قيمة التعبير هي "main".

بمعنى ، إذا استبدلت بعض (أي) أرقام بدلاً من الأحرف ، وحاولت حساب قيمة التعبير ، فإذا كان الإجراء الأخير هو الضرب ، فسيكون لدينا منتج (يتحلل التعبير إلى عوامل).

إذا كان الإجراء الأخير هو الجمع أو الطرح ، فهذا يعني أن التعبير لم يتم تحليله إلى عوامل (وبالتالي لا يمكن اختزاله).

لإصلاحها بنفسك ، بعض الأمثلة:

أمثلة:

حلول:

4. جمع وطرح الكسور. تحويل الكسور إلى قاسم مشترك.

تعد عملية جمع الكسور العادية وطرحها عملية معروفة: نبحث عن مقام مشترك ، ونضرب كل كسر في العامل المفقود ونجمع / نطرح البسط.

دعنا نتذكر:

الإجابات:

1. القواسم والجريمة المشتركة ، أي ليس لديهم عوامل مشتركة. إذن ، المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي حاصل ضربهما. سيكون هذا هو القاسم المشترك:

2. هنا القاسم المشترك هو:

3. أول شيء هنا كسور مختلطةقم بتحويلها إلى أخطاء ، ثم - وفقًا للمخطط المعتاد:

إنها مسألة أخرى تمامًا إذا كانت الكسور تحتوي على أحرف ، على سبيل المثال:

لنبدأ ببساطة:

أ) لا تحتوي القواسم على أحرف

كل شيء هنا هو نفسه كما هو الحال مع الكسور العددية العادية: نجد قاسمًا مشتركًا ، نضرب كل كسر في العامل المفقود ونجمع / نطرح البسط:

الآن في البسط يمكنك إحضار متشابهة ، إن وجدت ، وتحليلها:

جربها بنفسك:

الإجابات:

ب) تحتوي القواسم على حروف

لنتذكر مبدأ إيجاد قاسم مشترك بدون أحرف:

بادئ ذي بدء ، نحدد العوامل المشتركة ؛

ثم نكتب كل العوامل المشتركة مرة واحدة ؛

واضربهم في جميع العوامل الأخرى ، وليس العوامل الشائعة.

لتحديد العوامل المشتركة بين القواسم ، نحللها أولاً إلى عوامل بسيطة:

نؤكد على العوامل المشتركة:

نكتب الآن العوامل المشتركة مرة واحدة ونضيف إليها جميع العوامل غير المشتركة (غير المسطرة):

هذا هو القاسم المشترك.

دعنا نعود إلى الحروف. يتم إعطاء القواسم بالطريقة نفسها تمامًا:

نحن نحلل القواسم إلى عوامل ؛

تحديد المضاعفات المشتركة (المتطابقة) ؛

اكتب كل العوامل المشتركة مرة واحدة ؛

نضربهم في جميع العوامل الأخرى ، وليس العوامل الشائعة.

لذلك ، بالترتيب:

1) حلل القواسم إلى عوامل:

2) تحديد العوامل المشتركة (المتطابقة):

3) اكتب جميع العوامل المشتركة مرة واحدة واضربها في جميع العوامل الأخرى (غير المسطرة):

إذن فإن المقام المشترك هنا. يجب ضرب الكسر الأول في ، والثاني - بواسطة:

بالمناسبة ، هناك خدعة واحدة:

على سبيل المثال: .

نرى نفس العوامل في القواسم ، جميعها فقط بمؤشرات مختلفة. سيكون القاسم المشترك:

الى حد

الى حد

الى حد

في الدرجة.

دعنا نعقد المهمة:

كيف تجعل الكسور لها نفس المقام؟

لنتذكر الخاصية الأساسية للكسر:

لا يُقال في أي مكان أنه يمكن طرح (أو إضافة) نفس العدد من بسط الكسر ومقامه. لأنه ليس صحيحا!

انظر بنفسك: خذ أي كسر ، على سبيل المثال ، وأضف بعض الأرقام إلى البسط والمقام ، على سبيل المثال ،. ما الذي تم تعلمه؟

إذن ، قاعدة أخرى لا تتزعزع:

عندما تحضر الكسور إلى قاسم مشترك ، استخدم فقط عملية الضرب!

لكن ما الذي تحتاجه للمضاعفة لتحصل على؟

هنا وتضاعف. واضرب في:

سوف يطلق على التعبيرات التي لا يمكن تحليلها إلى عوامل "عوامل أولية".

على سبيل المثال ، هو عامل أساسي. - نفس. لكن - لا: تتحلل إلى عوامل.

ماذا عن التعبير؟ هل هي ابتدائية؟

لا ، لأنه يمكن تحليله إلى عوامل:

(لقد قرأت بالفعل عن التحليل في الموضوع "").

لذا ، فإن العوامل الأولية التي تحلل فيها التعبير بالأحرف هي نظير العوامل الأوليةالتي تتحلل فيها الأرقام. وسنفعل نفس الشيء معهم.

نرى أن كلا المقامين لهما عامل. سيذهب إلى القاسم المشترك في القوة (تذكر لماذا؟).

يعتبر المضاعف أوليًا ، وليس هناك قاسم مشترك بينهما ، مما يعني أنه يجب ببساطة ضرب الكسر الأول به:

مثال آخر:

حل:

قبل ضرب هذه القواسم في حالة من الذعر ، عليك التفكير في كيفية تحليلها؟ كلاهما يمثل:

عظيم! ثم:

مثال آخر:

حل:

كالعادة ، نقوم بتحليل القواسم. في المقام الأول ، نضعه ببساطة من الأقواس ؛ في الثانية - فرق المربعات:

يبدو أنه لا توجد عوامل مشتركة. لكن إذا نظرت عن كثب ، فهي متشابهة جدًا بالفعل ... والحقيقة هي:

لذلك دعونا نكتب:

أي ، اتضح على النحو التالي: داخل القوس ، قمنا بتبديل الحدود ، وفي نفس الوقت ، تغيرت الإشارة الموجودة أمام الكسر إلى العكس. خذ ملاحظة ، سيكون عليك القيام بذلك كثيرًا.

الآن نأتي إلى قاسم مشترك:

فهمتها؟ الآن دعنا نتحقق.

مهام الحل المستقل:

الإجابات:

5. ضرب وقسمة الكسور.

حسنًا ، الجزء الأصعب قد انتهى الآن. وأمامنا هو الأبسط ، ولكنه الأهم في نفس الوقت:

إجراء

ما هو الإجراء لحساب التعبير الرقمي؟ تذكر ، مع الأخذ في الاعتبار قيمة هذا التعبير:

هل عدت؟

يجب أن تعمل.

لذا أذكرك.

الخطوة الأولى هي حساب الدرجة.

والثاني هو الضرب والقسمة. إذا كان هناك العديد من عمليات الضرب والقسمة في نفس الوقت ، فيمكنك القيام بها بأي ترتيب.

وأخيرًا ، نجري عمليات الجمع والطرح. مرة أخرى ، بأي ترتيب.

لكن: يتم تقييم التعبير بين قوسين خارج الترتيب!

إذا تم ضرب عدة أقواس أو قسمة بعضها على بعض ، فإننا نقوم أولاً بتقييم التعبير الموجود في كل من الأقواس ، ثم نقوم بضربها أو تقسيمها.

ماذا لو كان هناك أقواس أخرى داخل الأقواس؟ حسنًا ، لنفكر: بعض التعبيرات مكتوبة داخل الأقواس. ما هو أول شيء يجب فعله عند تقييم تعبير؟ هذا صحيح ، احسب الأقواس. حسنًا ، لقد توصلنا إلى ذلك: أولاً نحسب الأقواس الداخلية ، ثم كل شيء آخر.

لذا ، فإن ترتيب الإجراءات للتعبير أعلاه هو كما يلي (يتم تمييز الإجراء الحالي باللون الأحمر ، أي الإجراء الذي أقوم به الآن):

حسنًا ، كل شيء بسيط.

لكن هذا ليس نفس التعبير بالحروف ، أليس كذلك؟

لا ، نفس الشيء! فقط بدلاً من العمليات الحسابية ، من الضروري إجراء العمليات الجبرية ، أي العمليات الموضحة في القسم السابق: جلب مماثلةوإضافة الكسور واختزال الكسور وهكذا. سيكون الاختلاف الوحيد هو إجراء تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل (نستخدمها غالبًا عند التعامل مع الكسور). في أغلب الأحيان ، من أجل التحليل إلى عوامل ، تحتاج إلى استخدام i أو ببساطة إخراج العامل المشترك من الأقواس.

عادة ما يكون هدفنا هو تمثيل تعبير ما كمنتج أو حاصل قسمة.

على سبيل المثال:

لنبسط التعبير.

1) أولاً نقوم بتبسيط التعبير بين قوسين. يوجد لدينا فرق الكسور ، وهدفنا هو تمثيلها على أنها حاصل ضرب أو حاصل قسمة. لذلك ، نضع الكسور في مقام مشترك ونضيف:

من المستحيل تبسيط هذا التعبير بشكل أكبر ، فكل العوامل هنا أولية (هل ما زلت تتذكر ما يعنيه هذا؟).

2) نحصل على:

ضرب الكسور: ما أسهل.

3) الآن يمكنك تقصير:

حسنًا ، انتهى كل شيء الآن. لا شيء معقد ، أليس كذلك؟

مثال آخر:

تبسيط التعبير.

أولاً ، حاول حلها بنفسك ، وعندها فقط انظر إلى الحل.

حل:

بادئ ذي بدء ، دعنا نحدد الإجراء.

أولًا ، دعنا نجمع الكسور الموجودة بين قوسين ، بدلاً من كسرين ، سيظهر أحدهما.

ثم سنقوم بقسمة الكسور. حسنًا ، نضيف النتيجة مع الكسر الأخير.

سأقوم بترقيم الخطوات بشكل تخطيطي:

أخيرًا ، سأقدم لك نصيحتين مفيدتين:

1. في حالة وجود حالات مماثلة ، يجب إحضارها على الفور. في أي لحظة لدينا مماثلة ، فمن المستحسن إحضارها على الفور.

2. الشيء نفسه ينطبق على الكسور المختصرة: بمجرد ظهور فرصة للتقليل ، يجب استخدامها. الاستثناء هو الكسور التي تضيفها أو تطرحها: إذا كانت لديك نفس القواسم، ثم يجب ترك التخفيض في وقت لاحق.

إليك بعض المهام التي عليك حلها بنفسك:

وعدت في البداية:

الإجابات:

الحلول (مختصر):

إذا تعاملت مع الأمثلة الثلاثة الأولى على الأقل ، فأنت ، في الاعتبار ، قد أتقنت الموضوع.

الآن إلى التعلم!

تحويل التعبير. ملخص وصيغة أساسية

عمليات التبسيط الأساسية:

• جلب مماثلة: لإضافة (تقليل) المصطلحات المتشابهة ، تحتاج إلى إضافة معاملاتها وتعيين جزء الحرف.
• التخصيم:إخراج العامل المشترك من الأقواس ، والتطبيق ، وما إلى ذلك.
• تخفيض الكسر: يمكن ضرب أو قسمة بسط الكسر أو مقامه على نفس الرقم غير الصفري ، والذي لا تتغير منه قيمة الكسر.
  1) البسط والمقام حلل إلى عوامل
  2) إذا كانت هناك عوامل مشتركة في البسط والمقام ، فيمكن شطبهما.

  هام: يمكن تقليل المضاعفات فقط!

• جمع وطرح الكسور:
  ;
• ضرب وقسمة الكسور:
  ;

حسنًا ، لقد انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت رائع جدًا.

لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بمفردهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية ، فأنت في الـ 5٪!

الآن أهم شيء.

لقد اكتشفت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر ، إنه ... إنه رائع فقط! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

للنجاح اجتياز الامتحان، للقبول في المعهد على الميزانية ، والأهم من ذلك ، مدى الحياة.

لن أقنعك بأي شيء ، سأقول شيئًا واحدًا ...

الناس الذين تلقوا على تعليم جيد، يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يحصلوا عليها. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس هو الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن المزيد من الفرص تفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف ...

لكن فكر بنفسك ...

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أن تكون أفضل من الآخرين في الامتحان وأن تكون في النهاية ... أكثر سعادة؟

املأ يدك وحل المشكلات الواردة في هذا الموضوع.

في الامتحان لن يطلب منك النظرية.

سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.

وإذا لم تحلها (الكثير!) ، فإنك بالتأكيد سترتكب خطأ غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن ترتكبها في الوقت المناسب.

إنه مثل الرياضة - تحتاج إلى التكرار عدة مرات للفوز بالتأكيد.

ابحث عن مجموعة في أي مكان تريده بالضرورة مع الحلول تحليل تفصيلي وتقرر ، تقرر ، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (ليست ضرورية) ونحن بالتأكيد نوصي بها.

من أجل الحصول على يد المساعدة في مهامنا ، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع المقالات البالغ عددها 99 في البرنامج التعليمي - شراء كتاب مدرسي - 499 روبل

نعم ، لدينا 99 مقالًا من هذا القبيل في الكتاب المدرسي ويمكن الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها يمكن فتحها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع بالكامل.

ختاماً...

إذا كنت لا تحب مهامنا ، فابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عن النظرية.

"فهمت" و "أعرف كيف أحل" مهارات مختلفة تمامًا. أنت بحاجة لكليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

سيغطي هذا الدرس المعلومات الأساسية حول التعبيرات العقلانية وتحولاتها ، بالإضافة إلى أمثلة على تحول التعبيرات العقلانية. هذا الموضوعوكأنه يلخص المواضيع التي درسناها حتى الآن. تتضمن تحولات التعبيرات المنطقية الجمع والطرح والضرب والقسمة والارتقاء إلى قوة الكسور الجبرية والاختزال والعوامل وما إلى ذلك. .

موضوع:الكسور الجبرية. العمليات الحسابية على الكسور الجبرية

درس:معلومات أساسية عن التعبيرات المنطقية وتحولاتها

تعريف

تعبير عقلانيهو تعبير يتكون من الأرقام والمتغيرات والعمليات الحسابية والأس.

ضع في اعتبارك مثالًا للتعبير العقلاني:

حالات خاصة من التعبيرات العقلانية:

الدرجة الأولى: ;

2. أحادية: ؛

3. الكسر:.

تحويل التعبير العقلانيهو تبسيط للتعبير المنطقي. ترتيب العمليات عند تحويل التعبيرات المنطقية: أولاً ، هناك إجراءات بين قوسين ، ثم عمليات الضرب (القسمة) ، ثم عمليات الجمع (الطرح).

دعونا ننظر في بعض الأمثلة على تحويل التعبيرات المنطقية.

مثال 1

حل:

لنحل هذا المثال خطوة بخطوة. يتم تنفيذ الإجراء بين قوسين أولاً.

إجابة:

مثال 2

حل:

إجابة:

مثال 3

حل:

إجابة: .

ملحوظة:ربما ، عند رؤية هذا المثال ، خطرت لك فكرة: اختصر الكسر قبل اختزاله إلى قاسم مشترك. في الواقع ، هذا صحيح تمامًا: أولاً ، من المستحسن تبسيط التعبير قدر الإمكان ، ثم تحويله. دعنا نحاول حل نفس المثال بالطريقة الثانية.

كما ترى ، تبين أن الإجابة متشابهة تمامًا ، لكن الحل كان أبسط إلى حد ما.

في هذا الدرس ، نظرنا إلى التعبيرات العقلانية وتحولاتها، فضلا عن العديد أمثلة ملموسةبيانات التحويل.

فهرس

1. Bashmakov M.I. الجبر الصف الثامن. - م: التنوير ، 2004.

2. Dorofeev G.V. ، Suvorova S.B. ، Bunimovich E.A. وآخرون. الجبر 8. - الطبعة الخامسة. - م: التعليم ، 2010.