الصيغة العامة للجيب في علم المثلثات. خصائص الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية

تسمى نسبة الساق المعاكسة إلى الوتر جيب الزاوية الحادةمثلث قائم.

\ خطيئة \ ألفا = \ فارك (أ) (ج)

جيب التمام لزاوية حادة لمثلث قائم الزاوية

تسمى نسبة أقرب ضلع إلى الوتر جيب التمام لزاوية حادةمثلث قائم.

\ كوس \ ألفا = \ فارك (ب) (ج)

ظل الزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية

تسمى نسبة الساق المقابلة إلى الساق المجاورة ظل الزاوية الحادةمثلث قائم.

tg \ alpha = \ frac (a) (b)

ظل التمام لزاوية حادة لمثلث قائم الزاوية

تسمى نسبة الساق المجاورة إلى الساق المقابلة ظل التمام لزاوية حادةمثلث قائم.

ctg \ alpha = \ frac (b) (a)

جيب الزاوية التعسفية

يسمى إحداثيات النقطة على دائرة الوحدة التي تتوافق معها الزاوية \ ألفا جيب لزاوية اعتباطيةتناوب \ ألفا.

\ الخطيئة \ ألفا = ص

جيب التمام لزاوية اعتباطية

يُطلق على حدود النقطة على دائرة الوحدة التي تتوافق معها الزاوية \ ألفا جيب التمام لزاوية اعتباطيةتناوب \ ألفا.

\ cos \ alpha = x

ظل زاوية اعتباطية

يتم استدعاء نسبة الجيب لزاوية الدوران التعسفي \ ألفا إلى جيب التمام ظل زاوية اعتباطيةتناوب \ ألفا.

tg \ alpha = y_ (A)

tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha)

ظل التمام لزاوية اعتباطية

يتم استدعاء نسبة جيب التمام لزاوية دوران عشوائية \ ألفا إلى جيبها ظل التمام لزاوية اعتباطيةتناوب \ ألفا.

ctg \ alpha = x_ (A)

ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)

مثال على إيجاد زاوية عشوائية

إذا كانت \ alpha عبارة عن زاوية ما AOM ، حيث M هي نقطة على دائرة الوحدة ، إذن

\ sin \ alpha = y_ (M)، \ cos \ alpha = x_ (M)، tg \ alpha = \ frac (y_ (M)) (x_ (M)), ctg \ alpha = \ frac (x_ (M)) (y_ (M)).

على سبيل المثال ، إذا الزاوية AOM = - \ frac (\ pi) (4)، إذن: إحداثي النقطة م هو - \ فارك (\ sqrt (2)) (2)، السينية هي \ فارك (\ sqrt (2)) (2)وهذا هو السبب

\ خطيئة \ يسار (- \ فارك (\ بي) (4) \ يمين) = - \ فارك (\ مربع (2)) (2);

\ كوس \ يسار (\ فارك (\ بي) (4) \ يمين) = \ فارك (\ مربع (2)) (2);

tg;

ctg \ يسار (- \ فارك (\ بي) (4) \ يمين) = - 1.

جدول قيم جيب جيب التمام لظلال ظل التمام

يتم عرض قيم الزوايا الرئيسية التي يتم مواجهتها في الجدول:

	0 ^ (دائرة) (0)	30 ^ (\ circ) \ left (\ frac (\ pi) (6) \ right)	45 ^ (\ circ) \ left (\ frac (\ pi) (4) \ right)	60 ^ (\ circ) \ left (\ frac (\ pi) (3) \ right)	90 ^ (\ circ) \ left (\ frac (\ pi) (2) \ right)	180 ^ (\ circ) \ left (\ pi \ right)	270 ^ (\ circ) \ left (\ frac (3 \ pi) (2) \ right)	360 ^ (\ circ) \ left (2 \ pi \ right)
\ الخطيئة \ ألفا	0	\ frac12	\ فارك (\ sqrt 2) (2)	\ فارك (\ sqrt 3) (2)	1	0	−1	0
\ كوس \ ألفا	1	\ فارك (\ sqrt 3) (2)	\ فارك (\ sqrt 2) (2)	\ frac12	0	−1	0	1
tg \ alpha	0	\ فارك (\ sqrt 3) (3)	1	\ مربع 3	—	0	—	0
ctg \ alpha	—	\ مربع 3	1	\ فارك (\ sqrt 3) (3)	0	—	0	—

تتمحور في نقطة أ.
α هي زاوية معبر عنها بالتقدير الدائري.

تعريف
التجويفدالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وساق المثلث القائم ، وتساوي نسبة طول الضلع المقابل | BC | على طول الوتر | AC |.

جيب التمام (كوس α)دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وساق المثلث القائم ، وتساوي نسبة طول الضلع المجاور | AB | على طول الوتر | AC |.

التعيينات المقبولة

;
;
.

;
;
.

رسم بياني لدالة الجيب ، y = sin x

رسم بياني لدالة جيب التمام ، y = cos x

خصائص الجيب وجيب التمام

دورية

وظائف y = الخطيئة xو y = كوس xدورية مع فترة 2 بي.

التكافؤ

وظيفة الجيب فردية. دالة جيب التمام زوجية.

مجال التعريف والقيم ، القيم القصوى ، الزيادة ، النقصان

الدالتان الجيب وجيب التمام مستمرتان في مجال تعريفهما ، أي بالنسبة لكل x (انظر دليل الاستمرارية). يتم عرض خصائصها الرئيسية في الجدول (n - عدد صحيح).

	ص = الخطيئة x	ص = كوس x
النطاق والاستمرارية	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
مدى من القيم	-1 ≤ ص 1	-1 ≤ ص 1
تصاعدي
تنازلي
الحدود القصوى ، ص = 1
الصغرى ، ص = - 1
الأصفار ، ص = 0
نقاط التقاطع مع المحور y ، x = 0	ص = 0	ص = 1

الصيغ الأساسية

مجموع الجيب وجيب التمام التربيعي

صيغ الجيب وجيب التمام للجمع والفرق

;
;

صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام

صيغ الجمع والفرق

التعبير عن الجيب من خلال جيب التمام

;
;
;
.

التعبير عن جيب التمام من خلال الجيب

;
;
;
.

التعبير من حيث الظل

; .

لدينا:
; .

في :
; .

جدول الجيب وجيب التمام والظل والظل

يوضح هذا الجدول قيم الجيب وجيب التمام لبعض قيم الوسيطة.

التعبيرات من خلال المتغيرات المعقدة

;

صيغة أويلر

التعبيرات من حيث الدوال الزائدية

;
;

المشتقات

؛ . اشتقاق الصيغ>>>

مشتقات الترتيب التاسع:
{ -∞ < x < +∞ }

القاطع ، قاطع التمام

وظائف معكوسة

الدوال العكسية للجيب وجيب التمام هي القوسين والجيب القوسي ، على التوالي.

أركسين ، أركسين

Arccosine ، arccos

مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.

علم المثلثات هو فرع من فروع الرياضيات يدرس الدوال المثلثيةواستخدامها في الهندسة. بدأ تطوير علم المثلثات في أيام اليونان القديمة. خلال العصور الوسطى ، قدم علماء من الشرق الأوسط والهند مساهمة مهمة في تطوير هذا العلم.

هذه المقالة مخصصة للمفاهيم والتعريفات الأساسية لعلم المثلثات. يناقش تعريفات الدوال المثلثية الرئيسية: الجيب وجيب التمام والظل والظل. يتم شرح وتوضيح معناها في سياق الهندسة.

Yandex.RTB R-A-339285-1

في البداية ، تم التعبير عن تعريفات الدوال المثلثية ، التي تكون حجتها زاوية ، من خلال نسبة أضلاع المثلث القائم.

تعريفات الدوال المثلثية

جيب الزاوية (sin α) هو نسبة الضلع المقابلة لهذه الزاوية على الوتر.

جيب تمام الزاوية (cos α) هو نسبة الضلع المجاورة إلى الوتر.

ظل الزاوية (t g α) هو نسبة الساق المقابلة إلى المجاورة.

ظل التمام للزاوية (ct g α) هو نسبة الضلع المجاورة إلى الأخرى.

يتم إعطاء هذه التعريفات لزاوية حادة للمثلث القائم!

دعونا نعطي توضيحا.

في المثلث ABC بالزاوية القائمة C ، فإن جيب الزاوية A يساوي نسبة الضلع BC إلى الوتر AB.

تجعل تعريفات الجيب وجيب التمام والظل والظل من الممكن حساب قيم هذه الوظائف من الأطوال المعروفة لأضلاع المثلث.

من المهم أن تتذكر!

نطاق قيم الجيب وجيب التمام: من -1 إلى 1. وبعبارة أخرى ، يأخذ الجيب وجيب التمام قيمًا من -1 إلى 1. نطاق قيم الظل وجيب التمام هو خط الأرقام بالكامل ، أي هذه يمكن أن تأخذ الوظائف أي قيمة.

التعريفات الواردة أعلاه تشير إلى الزوايا الحادة. في علم المثلثات ، يتم تقديم مفهوم زاوية الدوران ، والتي لا تقتصر قيمتها ، على عكس الزاوية الحادة ، على إطارات من 0 إلى 90 درجة. يتم التعبير عن زاوية الدوران بالدرجات أو بالراديان بأي رقم حقيقي من - ∞ إلى + ∞.

في هذا السياق ، يمكن للمرء تحديد الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية مقدار تعسفي. تخيل دائرة وحدة متمركزة في أصل نظام الإحداثيات الديكارتية.

نقطة البداية أ ذات الإحداثيات (1 ، 0) تدور حول مركز دائرة الوحدة بزاوية ما α وتنتقل إلى النقطة أ 1. يتم تقديم التعريف من خلال إحداثيات النقطة A 1 (x ، y).

جيب الزاوية لزاوية الدوران

جيب الزاوية α هو إحداثي النقطة A 1 (x، y). sinα = ذ

جيب التمام (cos) لزاوية الدوران

جيب تمام زاوية الدوران α هو حدود النقطة A 1 (x، y). كوس α = س

الظل (tg) لزاوية الدوران

ظل زاوية الدوران α هو نسبة إحداثي النقطة A 1 (x، y) إلى الحد الفاصل لها. t g α = y x

ظل التمام (ctg) لزاوية الدوران

ظل التمام لزاوية الدوران α هو نسبة الحد الأقصى للنقطة A 1 (س ، ص) إلى إحداثيتها. ج t ز α = س ص

يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زاوية دوران. هذا أمر منطقي ، لأنه يمكن تحديد الإحداثي والإحداثيات للنقطة بعد الدوران بأي زاوية. يختلف الوضع مع الظل والظل. لا يتم تحديد الظل عندما تنتقل النقطة بعد الدوران إلى النقطة التي لا تحتوي على حد أقصى (0 ، 1) و (0 ، - 1). في مثل هذه الحالات ، فإن التعبير عن الظل t g α = y x ببساطة لا معنى له ، لأنه يحتوي على قسمة على صفر. الوضع مشابه مع ظل التمام. الفرق هو أن ظل التمام لم يتم تعريفه في الحالات التي يختفي فيها إحداثيات النقطة.

من المهم أن تتذكر!

يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زوايا α.

يتم تحديد الظل لجميع الزوايا باستثناء α = 90 ° + 180 ° k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z)

يتم تعريف ظل التمام لجميع الزوايا باستثناء α = 180 ° k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z)

عند حل الأمثلة العملية ، لا تقل "جيب زاوية الدوران α". تم حذف الكلمات "زاوية الدوران" ببساطة ، مما يعني أنه من الواضح بالفعل من السياق ما هو على المحك.

أعداد

ماذا عن تعريف الجيب وجيب التمام والظل والظل لعدد ، وليس زاوية الدوران؟

الجيب وجيب التمام والظل والظل لعدد

الجيب وجيب التمام والظل والظل لعدد ريسمى رقم ، والذي يساوي على التوالي الجيب وجيب التمام والظل والظل في رراديان.

على سبيل المثال ، جيب 10 π يساوي جيب زاوية الدوران 10 π راد.

هناك نهج آخر لتعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لرقم. دعونا ننظر في الأمر بمزيد من التفصيل.

أي رقم حقيقي ريتم وضع نقطة على دائرة الوحدة بالتوافق مع المركز في أصل نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل. يتم تعريف الجيب وجيب التمام والظل والظل من حيث إحداثيات هذه النقطة.

نقطة البداية على الدائرة هي النقطة أ ذات الإحداثيات (1 ، 0).

رقم موجب، عدد إيجابي ر

عدد السلبي ريتوافق مع النقطة التي ستتحرك إليها نقطة البداية إذا تحركت عكس اتجاه عقارب الساعة حول الدائرة ومرت المسار t.

الآن وقد تم إنشاء الاتصال بين الرقم والنقطة على الدائرة ، ننتقل إلى تعريف الجيب وجيب التمام والظل والظل.

الجيب (الخطيئة) للعدد t

جيب رقم ر- إحداثيات نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. الخطيئة t = y

جيب التمام (كوس) من ر

جيب التمام لعدد ر- حدود نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. كوس تي = س

الظل (tg) من t

ظل رقم ر- نسبة الإحداثي إلى إحداثيات نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. t g t = y x = sin t cos t

تتوافق التعريفات الأخيرة مع التعريف الوارد في بداية هذا القسم ولا تتعارض معه. أشر إلى دائرة مقابلة لرقم ر، يتزامن مع النقطة التي تمر إليها نقطة البداية بعد الالتفاف عبر الزاوية رراديان.

الدوال المثلثية للحجة الزاوية والرقمية

تتوافق كل قيمة للزاوية α مع قيمة معينة لجيب وجيب التمام لهذه الزاوية. تمامًا مثل كل الزوايا α بخلاف α = 90 ° + 180 ° · k ، فإن k ∈ Z (α = π 2 + π · k، k ∈ Z) يتوافق مع قيمة معينة للماس. يتم تعريف ظل التمام ، كما هو مذكور أعلاه ، لجميع α ، باستثناء α = 180 ° k ، k ∈ Z (α = π k ، k ∈ Z).

يمكننا القول أن sin α و cos α و t g α و c t g α هي دوال للزاوية ألفا أو وظائف للوسيطة الزاوية.

وبالمثل ، يمكن للمرء أن يتحدث عن الجيب وجيب التمام والظل والظل كوظائف للحجة العددية. كل رقم حقيقي ريتوافق مع قيمة محددة لجيب أو جيب التمام لرقم ر. جميع الأرقام ما عدا π 2 + π · k ، k ∈ Z ، تتوافق مع قيمة الظل. يتم تعريف ظل التمام بالمثل لجميع الأرقام باستثناء π · k، k ∈ Z.

الوظائف الأساسية لعلم المثلثات

الجيب وجيب التمام والظل والظل هي الدوال المثلثية الأساسية.

عادة ما يكون واضحًا من السياق أي حجة للدالة المثلثية (الحجة الزاوية أو الحجة الرقمية) التي نتعامل معها.

دعنا نعود إلى البيانات في بداية التعريفات والزاوية ألفا ، التي تقع في النطاق من 0 إلى 90 درجة. التعريفات المثلثيةتتوافق الجيب وجيب التمام والظل والظل تمامًا مع التعريفات الهندسية المقدمة باستخدام نسب أضلاع المثلث القائم. دعونا نظهر ذلك.

خذ دائرة وحدة متمركزة على نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل. دعنا ندير نقطة البداية أ (1 ، 0) بزاوية تصل إلى 90 درجة ونرسم من النقطة الناتجة أ 1 (س ، ص) عموديًا على المحور س. في الواردة مثلث قائمالزاوية A 1 O H تساوي زاوية الدوران α ، وطول الساق O H يساوي حدودي النقطة A 1 (x ، y). طول الضلع المقابل للزاوية يساوي إحداثي النقطة A 1 (x، y) ، وطول الوتر يساوي واحدًا ، لأنه نصف قطر دائرة الوحدة.

وفقًا للتعريف الهندسي ، فإن جيب الزاوية α يساوي نسبة الساق المقابلة إلى الوتر.

الخطيئة α \ u003d A 1 H O A 1 \ u003d y 1 \ u003d y

هذا يعني أن تعريف جيب الزاوية الحادة في مثلث قائم الزاوية من خلال نسبة العرض إلى الارتفاع يكافئ تعريف جيب زاوية الدوران α ، مع وجود ألفا في النطاق من 0 إلى 90 درجة.

وبالمثل ، يمكن إظهار تطابق التعاريف لجيب التمام والظل والتظل.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

في هذه المقالة سوف نوضح كيف تعريفات الجيب وجيب التمام والظل والظل للزاوية والرقم في علم المثلثات. هنا سنتحدث عن التدوين ، ونعطي أمثلة على التسجيلات ، ونعطي الرسوم التوضيحية. في الختام ، نرسم توازيًا بين تعريفات الجيب وجيب التمام والظل والظل في علم المثلثات والهندسة.

التنقل في الصفحة.

تعريف الجيب وجيب التمام والظل والظل

دعنا نتبع كيف يتم تشكيل مفهوم الجيب وجيب التمام والظل والظل في دورة الرياضيات المدرسية. في دروس الهندسة ، يتم إعطاء تعريف الجيب وجيب التمام والظل والظل للزاوية الحادة في المثلث القائم. ودُرس علم المثلثات لاحقًا ، والذي يشير إلى الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية الدوران والرقم. نعطي كل هذه التعاريف ونعطي أمثلة ونعطي التعليقات اللازمة.

الزاوية الحادة في مثلث قائم الزاوية

من مجرى الهندسة ، تُعرف تعريفات الجيب وجيب التمام والظل والظل للزاوية الحادة في المثلث القائم. يتم إعطاؤها كنسبة أضلاع مثلث قائم الزاوية. نقدم صيغهم.

تعريف.

جيب الزاوية الحادة في مثلث قائم الزاويةهي نسبة الضلع المقابلة إلى الوتر.

تعريف.

جيب التمام لزاوية حادة في مثلث قائم الزاويةهي نسبة الضلع المجاورة إلى الوتر.

تعريف.

ظل زاوية حادة في مثلث قائم الزاويةهي نسبة الساق المقابلة للساق المجاورة.

تعريف.

ظل التمام لزاوية حادة في مثلث قائم الزاويةهي نسبة الساق المجاورة إلى الساق المقابلة.

كما تم تقديم تدوين الجيب وجيب التمام والظل والظل هناك - sin و cos و tg و ctg على التوالي.

على سبيل المثال ، إذا كان ABC مثلثًا قائمًا بزاوية قائمة C ، فإن جيب الزاوية الحادة A يساوي نسبة الضلع المقابل BC إلى الوتر AB ، أي sin∠A = BC / AB.

تتيح هذه التعريفات حساب قيم الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية حادة من الأطوال المعروفة لأضلاع المثلث القائم ، وكذلك من القيم المعروفةالجيب وجيب التمام والظل والظل وطول أحد الجوانب لإيجاد أطوال الأضلاع الأخرى. على سبيل المثال ، إذا علمنا أن الضلع AC في المثلث القائم يساوي 3 والوتر AB يساوي 7 ، فيمكننا حساب جيب تمام الزاوية الحادة A بالتعريف: cos∠A = AC / AB = 3/7.

زاوية الدوران

في علم المثلثات ، بدأوا في النظر إلى الزاوية على نطاق أوسع - يقدمون مفهوم زاوية الدوران. زاوية الدوران ، على عكس الزاوية الحادة ، لا تقتصر على إطارات من 0 إلى 90 درجة ، ويمكن التعبير عن زاوية الدوران بالدرجات (وبالراديان) بأي رقم حقيقي من إلى + ∞.

في ضوء ذلك ، لم تعد تعريفات الجيب وجيب التمام والظل والظل زاوية حادة ، بل هي زاوية ذات حجم اعتباطي - زاوية الدوران. يتم إعطاؤهم من خلال إحداثيات x و y للنقطة A 1 ، والتي تمر فيها ما يسمى بالنقطة الأولية A (1 ، 0) بعد أن تدور بزاوية α حول النقطة O - بداية نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل ومركز دائرة الوحدة.

تعريف.

جيب زاوية الدورانα هو إحداثي النقطة A 1 ، أي sinα = y.

تعريف.

جيب التمام لزاوية الدورانتسمى α حدود النقطة A 1 ، أي cosα = x.

تعريف.

ظل زاوية الدورانα هي نسبة إحداثي النقطة A 1 إلى إحداثياتها ، أي tgα = y / x.

تعريف.

ظل التمام لزاوية الدورانα هي نسبة إحداثيات النقطة A 1 إلى إحداثيتها ، أي ctgα = x / y.

يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زاوية α ، حيث يمكننا دائمًا تحديد الإحداثي السيني وتنسيق النقطة ، والتي يتم الحصول عليها عن طريق تدوير نقطة البداية من خلال الزاوية α. وظل التمام وظل التمام غير معرّفين لأي زاوية. لم يتم تعريف الظل لمثل هذه الزوايا α حيث تنتقل النقطة الأولية إلى نقطة بدون حدودي (0 ، 1) أو (0 ، −1) ، وهذا يحدث عند الزوايا 90 درجة + 180 درجة ك ، k∈Z (π / 2 + π ك راد). في الواقع ، عند زوايا الدوران هذه ، فإن التعبير tgα = y / x لا معنى له ، لأنه يحتوي على قسمة على صفر. بالنسبة إلى ظل التمام ، لم يتم تعريفه لهذه الزوايا α حيث تنتقل نقطة البداية إلى نقطة ذات إحداثيات صفرية (1 ، 0) أو (−1 ، 0) ، وهذا هو الحال بالنسبة للزوايا 180 درجة ك ، ك ∈Z (π ك راد).

لذلك ، يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زوايا دوران ، ويتم تحديد الظل لجميع الزوايا باستثناء 90 درجة + 180 درجة ك ، k∈Z (π / 2 + ك راد) ، وتظل التمام لجميع الزوايا باستثناء 180 ° · ك ، كوز (π · ك راد).

تظهر الرموز التي نعرفها بالفعل في التعريفات sin و cos و tg و ctg ، كما تُستخدم للإشارة إلى الجيب وجيب التمام والظل والظل التمام لزاوية الدوران (في بعض الأحيان يمكنك العثور على التدوين tan و cot المتوافق مع المماس و ظل التمام). لذا ، يمكن كتابة جيب زاوية الدوران البالغة 30 درجة كـ sin30 ° ، والسجلات tg (24 ° 17 ′) و ctgα تتوافق مع ظل زاوية الدوران 24 درجة 17 دقيقة وظل التمام لزاوية الدوران α . تذكر أنه عند كتابة قياس الراديان لزاوية ، غالبًا ما يتم حذف الرمز "rad". على سبيل المثال ، عادةً ما يُرمز لجيب زاوية دوران مقدارها ثلاثة راديات إلى cos3 π.

في ختام هذه الفقرة ، تجدر الإشارة إلى أنه عند الحديث عن الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية الدوران ، غالبًا ما يتم حذف عبارة "زاوية الدوران" أو كلمة "الدوران". هذا هو ، بدلاً من عبارة "جيب الزاوية ألفا" ، عادة ما يتم استخدام عبارة "جيب زاوية ألفا" ، أو حتى أقصر - "جيب ألفا". الأمر نفسه ينطبق على جيب التمام ، والظل ، وظل التمام.

لنفترض أيضًا أن تعريفات الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية حادة في مثلث قائم الزاوية تتوافق مع التعريفات المقدمة للتو للجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية دوران تتراوح من 0 إلى 90 درجات. سوف ندعم هذا.

أعداد

تعريف.

الجيب وجيب التمام والظل والظل لعدد t هو رقم يساوي الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية الدوران في t راديان ، على التوالي.

على سبيل المثال ، جيب تمام 8 π هو ، حسب التعريف ، عددًا يساوي جيب تمام الزاوية 8 π راد. وجيب الزاوية يساوي 8 π rad يساوي واحد، إذن ، جيب تمام الرقم 8 π يساوي 1.

هناك نهج آخر لتعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لرقم. وهو يتألف من حقيقة أن كل رقم حقيقي t يتم تخصيص نقطة من دائرة الوحدة المتمركزة في أصل نظام الإحداثيات المستطيلة ، ويتم تحديد الجيب وجيب التمام والظل والظل من حيث إحداثيات هذه النقطة. دعونا نتناول هذا بمزيد من التفصيل.

دعونا نوضح كيف يتم إنشاء المراسلات بين الأرقام الحقيقية ونقاط الدائرة:

• الرقم 0 يتم تعيين نقطة البداية A (1 ، 0) ؛
• يرتبط الرقم الموجب t بنقطة على دائرة الوحدة ، والتي سنصل إليها إذا تحركنا حول الدائرة من نقطة البداية في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة وسرنا في مسار طوله t ؛
• عدد السلبييقابل t نقطة على دائرة الوحدة ، والتي سنصل إليها إذا تحركنا حول الدائرة من نقطة البداية في اتجاه عقارب الساعة وسرنا في مسار طول | t | .

الآن دعنا ننتقل إلى تعريفات الجيب وجيب التمام والظل والظل للعدد t. لنفترض أن الرقم t يتوافق مع نقطة من الدائرة A 1 (x ، y) (على سبيل المثال ، الرقم & pi / 2 ؛ يتوافق مع النقطة A 1 (0 ، 1)).

تعريف.

جيب الرقم t هو إحداثي نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم t ، أي sint = y.

تعريف.

جيب التمام لعدديُطلق على t حدود نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم t ، أي التكلفة = x.

تعريف.

ظل رقم t هي نسبة الإحداثي إلى إحداثيات نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم t ، أي tgt = y / x. في صيغة أخرى مكافئة ، ظل العدد t هو نسبة جيب هذا الرقم إلى جيب التمام ، أي tgt = sint / cost.

تعريف.

ظل التمام لرقم t هي نسبة الإحداثي إلى إحداثيات نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم t ، أي ctgt = x / y. صيغة أخرى هي كما يلي: ظل الرقم t هو نسبة جيب التمام للرقم t إلى جيب الرقم t: ctgt = cost / sint.

نلاحظ هنا أن التعريفات المقدمة للتو تتفق مع التعريف الوارد في بداية هذا القسم الفرعي. في الواقع ، تتطابق نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم t مع النقطة التي تم الحصول عليها من خلال تدوير نقطة البداية بزاوية t راديان.

يجدر أيضًا توضيح هذه النقطة. لنفترض أن لدينا إدخال sin3. كيف نفهم ما إذا كان جيب الرقم 3 أو جيب الزاوية لزاوية الدوران 3 راديان موضع تساؤل؟ عادة ما يكون هذا واضحًا من السياق ، وإلا فمن المحتمل ألا يكون مهمًا.

الدوال المثلثية للحجة الزاوية والرقمية

وفقًا للتعريفات الواردة في الفقرة السابقة ، تتوافق كل زاوية دوران α مع قيمة محددة جيدًا sin α ، وكذلك القيمة cos α. بالإضافة إلى ذلك ، تتوافق جميع زوايا الدوران بخلاف 90 درجة + 180 درجة ك ، k∈Z (π / 2 + π ك راد) مع القيم tgα ، وغير 180 درجة ك ، k∈Z (π ك راد) هي قيم ctgα. لذلك فإن sinα و cosα و tgα و ctgα هي وظائف للزاوية α. بعبارة أخرى ، هذه هي وظائف الحجة الزاوية.

وبالمثل ، يمكننا التحدث عن الدوال الجيب وجيب التمام والظل والظل لسعة عددية. في الواقع ، كل رقم حقيقي t يتوافق مع قيمة محددة جيدًا من sint ، بالإضافة إلى التكلفة. بالإضافة إلى ذلك ، تتوافق جميع الأرقام بخلاف π / 2 + π · k و k∈Z مع القيم tgt والأرقام π · k و k∈Z تتوافق مع القيم ctgt.

تسمى وظائف الجيب وجيب التمام والظل والظل الدوال المثلثية الأساسية.

يتضح عادة من السياق أننا نتعامل مع الدوال المثلثية للحجة الزاوية أو الحجة العددية. خلافًا لذلك ، يمكننا اعتبار المتغير المستقل مقياسًا للزاوية (وسيطة الزاوية) ووسيطة رقمية.

ومع ذلك ، تدرس المدرسة بشكل أساسي الوظائف الرقمية ، أي الوظائف التي تكون حججها ، بالإضافة إلى قيمها الوظيفية المقابلة ، أرقامًا. لذلك ، إذا كنا نتحدث عن الدوال ، فمن المستحسن اعتبار الدوال المثلثية كوظائف للحجج العددية.

ربط التعاريف من علم الهندسة وعلم المثلثات

إذا أخذنا في الاعتبار زاوية الدوران α من 0 إلى 90 درجة ، فإن البيانات في سياق علم المثلثات لتعريف الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية الدوران تتوافق تمامًا مع تعريفات الجيب وجيب التمام ، ظل وظل التمام لزاوية حادة في مثلث قائم الزاوية ، والتي يتم تقديمها في دورة الهندسة. دعنا ندعم هذا.

ارسم دائرة وحدة في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل Oxy. لاحظ نقطة البداية أ (1 ، 0). دعنا نديرها بزاوية α تتراوح من 0 إلى 90 درجة ، ونحصل على النقطة A 1 (x ، y). لنقم بإسقاط العمود العمودي A 1 H من النقطة A 1 إلى محور الثور.

من السهل أن نرى أنه في المثلث القائم الزاوية A 1 OH تساوي زاوية الدوران α ، وطول الساق OH المجاورة لهذه الزاوية يساوي حدود النقطة A 1 ، أي | OH | = x ، طول الضلع المقابل للزاوية A 1 H يساوي إحداثي النقطة A 1 ، أي | A 1 H | = y ، وطول الوتر OA 1 يساوي واحدًا ، لأنه نصف قطر دائرة الوحدة. بعد ذلك ، حسب التعريف الهندسي ، فإن جيب الزاوية الحادة α في مثلث قائم الزاوية A 1 OH تساوي نسبة الساق المقابلة إلى الوتر ، أي sinα = | A 1 H | / | OA 1 | = ص / 1 = ص. وبحسب التعريف من علم المثلثات ، فإن جيب الزاوية لزاوية الدوران α يساوي إحداثي النقطة A 1 ، أي sinα = y. يوضح هذا أن تعريف جيب الزاوية الحادة في مثلث قائم الزاوية يعادل تعريف جيب الزاوية لزاوية الدوران α لـ α من 0 إلى 90 درجة.

وبالمثل ، يمكن إثبات أن تعريفات جيب التمام والظل والظل للزاوية الحادة α تتوافق مع تعريفات جيب التمام والظل والظل لزاوية الدوران α.

فهرس.

1. الهندسة. 7-9 درجات: دراسات. للتعليم العام المؤسسات / [L. S. Atanasyan ، V. F. Butuzov ، S. B. Kadomtsev وآخرون]. - الطبعة العشرون. م: التربية والتعليم 2010. - 384 ص: مريض. - ردمك 978-5-09-023915-8.
2. بوجوريلوف أ.الهندسة: Proc. لـ7-9 خلايا. تعليم عام المؤسسات / أ ف بوغوريلوف. - الطبعة الثانية - م: التنوير ، 2001. - 224 ص: م. - ردمك 5-09-010803-X.
3. الجبر والوظائف الابتدائية: درس تعليميلطلاب الصف التاسع المدرسة الثانوية/ E. S. Kochetkov، E. S. Kochetkova؛ حرره دكتور في العلوم الفيزيائية والرياضية O.N. Golovin. - 4th ed. موسكو: التعليم ، 1969.
4. الجبر:بروك. لـ 9 خلايا. متوسط المدرسة / Yu. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، كي آي نيشكوف ، إس بي سوفوروفا ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - M: Enlightenment، 1990. - 272 p: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. الجبروبداية التحليل: Proc. من 10 إلى 11 خلية. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov ، A. M. Abramov ، Yu. P. Dudnitsyn وآخرون ؛ إد. أ.ن.كولموغوروفا. - الطبعة 14. - م: التنوير ، 2004. - 384 ص: مريض - ISBN 5-09-013651-3.
6. مردكوفيتش أ.الجبر وبدايات التحليل. الصف 10. في 2 ص الفصل 1: برنامج تعليمي ل المؤسسات التعليمية(مستوى الملف الشخصي) / A.G Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة الرابعة ، إضافة. - م: Mnemosyne، 2007. - 424 ص: مريض. ردمك 978-5-346-00792-0.
7. الجبروبداية التحليل الرياضي. الصف العاشر: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات: الأساسية والملف الشخصي. المستويات / [Yu. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ إد. A. B. Zhizhchenko. - الطبعة الثالثة. - أولا: التعليم ، 2010. - 368 ص: إلينوي - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. باشماكوف م.الجبر وبداية التحليل: Proc. من 10 إلى 11 خلية. متوسط مدرسة - الطبعة الثالثة. - م: التنوير ، 1993. - 351 ص: مريض. - ردمك 5-09-004617-4.
9. جوسيف ف.أ ، مردكوفيتش أ.الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية): Proc. بدل. - م ؛ أعلى المدرسة ، 1984. - 351 ص. ، مريض.

• 2. نطاق القيم: [-1 ؛ 1]
• 3. دالة فردية.
• 7. الفترات التي تكون فيها الوظيفة موجبة: (2 * pi * n ؛ pi + 2 * pi * n)
• 8. الفترات التي تكون فيها الوظيفة سالبة: (-pi + 2 * pi * n ؛ 2 * pi * n)
• 9. زيادة الفواصل الزمنية: [-pi / 2 + 2 * pi * n؛ بي / 2 + 2 * بي * ن]
• 10. الفترات التنازلية:
• 11. النقاط المنخفضة: -pi / 2 + 2 * pi * n
• 12. الحد الأدنى من الوظائف: -1
• 13. النقاط العالية: pi / 2 + 2 * pi * n
• 14. الحد الأقصى للوظيفة: 1

خصائص جيب التمام

• 1. مجال التعريف: المحور العددي بأكمله
• 2. نطاق القيم: [-1 ؛ 1]
• 3. حتى وظيفة.
• 4. أصغر فترة إيجابية: 2 * بي
• 5. إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور Ox: (pi / 2 + pi * n ؛ 0)
• 6. إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني للوظيفة مع محور Oy: (0 ؛ 1)
• 7. الفترات التي تكون فيها الوظيفة موجبة: (-pi / 2 + 2 * pi * n ؛ pi / 2 + 2 * pi * n)
• 8. الفترات التي تكون فيها الوظيفة سالبة: (pi / 2 + 2 * pi * n ؛ 3 * pi / 2 + 2 * pi * n)
• 9. زيادة الفواصل الزمنية: [-pi + 2 * pi * n؛ 2 * بي * ن]
• 10. الفترات التنازلية:
• 11. النقاط المنخفضة: pi + 2 * pi * n
• 12. الحد الأدنى من الوظائف: -1
• 13. النقاط العالية: 2 * pi * n
• 14. الحد الأقصى للوظيفة: 1

خصائص الظل

• 1. مجال التعريف: (-pi / 2 + pi * n ؛ pi / 2 + pi * n)
• 3. دالة فردية.
• 5. إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور Ox: (pi * n ؛ 0)
• 6. إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني للوظيفة مع محور Oy: (0 ؛ 0)
• 9. تزيد الوظيفة على فترات زمنية (-pi / 2 + pi * n ؛ pi / 2 + pi * n)

خصائص ظل التمام

• 1. مجال التعريف: (pi * n ؛ pi + pi * n)
• 2. نطاق القيم: المحور العددي بأكمله
• 3. دالة فردية.
• 4. أصغر فترة موجبة: باي
• 5. إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور Ox: (pi / 2 + pi * n ؛ 0)
• 6. إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور Oy: لا
• 7. الفترات التي تكون فيها الوظيفة موجبة: (pi * n؛ pi / 2 + pi * n)
• 8. الفترات التي تكون فيها الوظيفة سالبة: (-pi / 2 + pi * n ؛ pi * n)
• 9. تقل الوظيفة على فترات (pi * n ؛ pi + pi * n)
• 10. لا توجد نقاط حد أقصى وحد أدنى.

يوضح الشكل أدناه عدة دوائر للوحدات ، حيث يتم الإشارة إلى علامات الجيب وجيب التمام والظل والظل في أرباع إحداثيات مختلفة.