يمثل المثلث في الهندسة أحد الأشكال الأساسية. من الدروس السابقة ، تعلم أن المثلث هو شكل متعدد الأضلاع له ثلاث زوايا وثلاثة أضلاع.
يسمى المثلث مستطيليإذا كانت الزاوية قائمة 90 درجة.
المثلث القائم الزاوية يسمى جانبان متعامدان على بعضهما البعض أرجل
؛ يسمى الجانب الثالث وتر
. الوتر هو أكبر ضلع في هذا المثلث.
- وفقًا لخصائص الوتر العمودي والمائل ، فإن كل من الأرجل أطول (ولكن أقل من مجموعها).
- مجموع زاويتين حادتين لمثلث قائم الزاوية يساوي الزاوية القائمة.
- يتطابق ارتفاعان من المثلث القائم مع رجليه. لذلك ، تقع إحدى النقاط الأربع الرائعة على رءوس الزاوية اليمنى للمثلث.
- يقع مركز الدائرة المحددة لمثلث قائم الزاوية في منتصف الوتر.
- إن وسيط المثلث القائم المرسوم من رأس الزاوية القائمة إلى الوتر هو نصف قطر الدائرة المحصورة حول هذا المثلث.
خصائص وميزات المثلثات القائمة
أنا - الممتلكات. في المثلث القائم ، مجموع زواياه الحادة 90 درجة. الضلع الأكبر للمثلث يقابل الزاوية الأكبر ، والضلع الأكبر يقابل الزاوية الأكبر. في المثلث القائم الزاوية ، أكبر زاوية هي الزاوية القائمة. إذا كانت أكبر زاوية في المثلث تزيد عن 90 درجة ، فإن هذا المثلث لا يكون قائم الزاوية ، لأن مجموع كل الزوايا يتجاوز 180 درجة. يستنتج من كل هذا أن الوتر هو أكبر ضلع في المثلث.
ثانيا - الملكية الإلكترونية. ضلع مثلث قائم الزاوية يقابل زاوية قياسها 30 درجة يساوي نصف طول الوتر.
ثالثا - الملكية الإلكترونية. إذا كانت الساق في المثلث القائم تساوي نصف طول الوتر ، فإن الزاوية التي تقع مقابل هذا الضلع تساوي 30 درجة.
مستوى متوسط
مثلث قائم. دليل مصور كامل (2019)
مثلث قائم. مستوى اول.
في المشاكل ، الزاوية اليمنى ليست ضرورية على الإطلاق - الزاوية اليسرى السفلية ، لذلك تحتاج إلى معرفة كيفية التعرف على المثلث الأيمن في هذا الشكل ،
وفي مثل
وفي مثل 
ما هو الجيد في المثلث القائم؟ حسنًا ... أولاً وقبل كل شيء ، هناك أسماء جميلة خاصة لحفلاته.
الانتباه إلى الرسم!
تذكر ولا تخلط: الساقان - اثنان ، والوتر - واحد فقط(الوحيد والفريد والأطول)!
حسنًا ، لقد ناقشنا الأسماء ، والآن أهم شيء: نظرية فيثاغورس.
نظرية فيثاغورس.
هذه النظرية هي مفتاح حل العديد من المسائل التي تتضمن مثلث قائم الزاوية. لقد أثبته فيثاغورس في أزمنة سحيقة تمامًا ، ومنذ ذلك الحين جلب العديد من الفوائد لمن يعرفه. وأفضل شيء عنها أنها بسيطة.
لذا، نظرية فيثاغورس:
هل تتذكر النكتة: "سروال فيثاغورس متساوٍ من جميع الجوانب!"؟
دعونا نرسم هذه السراويل فيثاغورس وننظر إليها. 
هل تبدو حقا مثل السراويل القصيرة؟ حسنًا ، على أي جانب وأين يتساوى؟ لماذا ومن أين أتت النكتة؟ وترتبط هذه النكتة بدقة بنظرية فيثاغورس ، وبشكل أكثر دقة بالطريقة التي صاغ بها فيثاغورس نفسه نظريته. وصاغها على هذا النحو:
"مجموع مساحة المربعات، بني على الساقين ، يساوي مساحة مربعةمبني على الوتر.
ألا يبدو الأمر مختلفًا بعض الشيء ، أليس كذلك؟ وهكذا ، عندما رسم فيثاغورس بيان نظريته ، ظهرت هذه الصورة تمامًا.
في هذه الصورة ، مجموع مساحات المربعات الصغيرة يساوي مساحة المربع الكبير. وحتى يتذكر الأطفال بشكل أفضل أن مجموع مربعات الساقين يساوي مربع الوتر ، اخترع شخص بارع هذه النكتة حول السراويل فيثاغورس.
لماذا نقوم الآن بصياغة نظرية فيثاغورس
هل عانى فيثاغورس وتحدث عن المربعات؟
كما ترى ، في العصور القديمة لم يكن هناك ... الجبر! لم تكن هناك علامات وهكذا. لم تكن هناك نقوش. هل يمكنك أن تتخيل مدى رعب أن يحفظ الطلاب القدامى الفقراء كل شيء بالكلمات ؟؟! ويسعدنا أن لدينا صياغة بسيطة لنظرية فيثاغورس. دعنا نكررها مرة أخرى لنتذكر بشكل أفضل:
الآن يجب أن يكون الأمر سهلاً:
| مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين. |
حسنًا ، تمت مناقشة أهم نظرية حول المثلث القائم. إذا كنت مهتمًا بكيفية إثبات ذلك ، فاقرأ المستويات التالية من النظرية ، والآن دعنا ننتقل ... إلى الغابة المظلمة ... لعلم المثلثات! إلى الكلمات الرهيبة الجيب وجيب التمام والظل والظل.
الجيب وجيب التمام والظل والظل في مثلث قائم الزاوية.
في الواقع ، كل شيء ليس مخيفًا على الإطلاق. بالطبع ، يجب النظر في التعريف "الحقيقي" للجيب وجيب التمام والظل والظل في المقالة. لكنك حقًا لا تريد ذلك ، أليس كذلك؟ يمكننا أن نفرح: لحل المشكلات المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية ، يمكنك ببساطة ملء الأشياء البسيطة التالية:
لماذا كل شيء عن الزاوية؟ اين الزاوية؟ لفهم هذا ، تحتاج إلى معرفة كيفية كتابة العبارات 1 - 4 بالكلمات. انظروا وافهموا وتذكروا!
1.
يبدو في الواقع مثل هذا:
ماذا عن الزاوية؟ هل توجد ساق مقابل الركن أي الساق المقابلة (للزاوية)؟ بالطبع! هذا هو قسطرة!
لكن ماذا عن الزاوية؟ انظر بتمعن. أي ساق مجاورة للزاوية؟ بالطبع القط. إذن ، بالنسبة للزاوية ، تكون الساق مجاورة ، و
والآن الانتباه! انظروا الى ما حصلنا عليه:
انظر كم هو رائع:
الآن دعنا ننتقل إلى الظل والظل.
كيف نضعها في كلمات الآن؟ ما هي الساق بالنسبة للزاوية؟ العكس ، بالطبع - انها "تقع" مقابل الزاوية. والقسطرة؟ بجوار الزاوية. وذلك ما لم نحصل؟
انظر كيف يتم عكس البسط والمقام؟
والآن مرة أخرى الزوايا وإجراء التبادل:
ملخص
دعنا نكتب بإيجاز ما تعلمناه.
 |
نظرية فيثاغورس: |
نظرية المثلث القائم الزاوية الرئيسية هي نظرية فيثاغورس.
نظرية فيثاغورس
بالمناسبة ، هل تتذكر جيدًا ما هي الساقين والوتر؟ إذا لم يكن كذلك ، فقم بإلقاء نظرة على الصورة - قم بتحديث معلوماتك
من المحتمل أنك استخدمت بالفعل نظرية فيثاغورس عدة مرات ، لكن هل تساءلت يومًا عن سبب صحة هذه النظرية. كيف تثبت ذلك؟ دعونا نفعل مثل الإغريق القدماء. لنرسم مربعًا به جانب.
ترى كيف نقسم بمكر جوانبها إلى مقاطع أطوال و!
الآن دعنا نربط النقاط المحددة
ومع ذلك ، لاحظنا هنا شيئًا آخر ، لكنك تنظر إلى الصورة وتفكر في السبب.
ما هي مساحة المربع الأكبر؟ يمين، . ماذا عن المنطقة الأصغر؟ بالتأكيد، . تبقى المساحة الإجمالية للزوايا الأربع. تخيل أننا أخذنا اثنين منهم واتكنا على بعضنا البعض باستخدام الوتر. ماذا حدث؟ مستطيلان. لذا ، فإن مساحة "العقل" متساوية.
دعونا نجمعها جميعًا الآن.
دعنا نتحول:
لذلك قمنا بزيارة فيثاغورس - لقد أثبتنا نظريته بطريقة قديمة.
المثلث القائم وعلم المثلثات
بالنسبة للمثلث الأيمن ، فإن العلاقات التالية تصمد:
جيب الزاوية الحادة يساوي نسبة الضلع المقابلة إلى الوتر
جيب تمام الزاوية الحادة يساوي نسبة الضلع المجاورة على الوتر.
ظل الزاوية الحادة يساوي نسبة الساق المقابلة إلى الساق المجاورة.
ظل التمام لزاوية حادة يساوي نسبة الساق المجاورة إلى الساق المقابلة.
ومرة أخرى ، كل هذا على شكل طبق:
انها مريحة جدا!
علامات المساواة في مثلثات الحق
أولا على قدمين
ثانيًا. عن طريق الساق والوتر
ثالثا. عن طريق الوتر والزاوية الحادة
رابعا. على طول الساق وزاوية حادة
أ) 
ب) 
انتباه! هنا من المهم جدًا أن تكون الأرجل "متطابقة". على سبيل المثال ، إذا سارت الأمور على هذا النحو:
وبالتالي فإن المثلثات ليست متساوية، على الرغم من حقيقة أن لديهم زاوية حادة واحدة متطابقة.
بحاجة ل في كلا المثلثين ، كانت الساق متجاورة ، أو في كلاهما - متقابلة.
هل لاحظت كيف تختلف علامات المساواة في المثلثات القائمة عن العلامات المعتادة لتساوي المثلثات؟ انظر إلى موضوع "وانتبه إلى حقيقة أنه من أجل المساواة بين المثلثات" العادية "، تحتاج إلى المساواة بين عناصرها الثلاثة: ضلعان وزاوية بينهما ، وزاويتان وضلع بينهما ، أو ثلاثة جوانب. ولكن من أجل المساواة بين المثلثات القائمة الزاوية ، يكفي عنصران متطابقان فقط. إنه رائع ، أليس كذلك؟
تقريبا نفس الموقف مع علامات تشابه المثلثات القائمة.
علامات تشابه المثلثات القائمة
I. ركن حاد
ثانيًا. على قدمين
ثالثا. عن طريق الساق والوتر
الوسيط في مثلث قائم الزاوية
لماذا هو كذلك؟
ضع في اعتبارك مستطيلًا كاملاً بدلاً من مثلث قائم الزاوية.
لنرسم قطريًا وننظر في نقطة - نقطة تقاطع الأقطار. ماذا تعرف عن أقطار المستطيل؟
وماذا يتبع هذا؟
لذلك حدث ذلك
- - الوسيط:
تذكر هذه الحقيقة! يساعد كثيرا!
الأمر الأكثر إثارة للدهشة هو أن العكس صحيح أيضًا.
ما الفائدة التي يمكن جنيها من حقيقة أن الوسيط المرسوم على الوتر يساوي نصف الوتر؟ دعونا نلقي نظرة على الصورة
انظر بتمعن. لدينا: أي أن المسافات من النقطة إلى جميع الرؤوس الثلاثة للمثلث تبين أنها متساوية. لكن في المثلث توجد نقطة واحدة فقط ، والمسافات التي تتساوى منها رؤوس المثلث الثلاثة تقريبًا ، وهذا هو مركز الدائرة المحدد. اذا ماذا حصل؟
لذلك لنبدأ بهذا "إلى جانب ...".
لنلق نظرة على أنا.
لكن في مثلثات متشابهة كل الزوايا متساوية!
يمكن قول الشيء نفسه عن و
الآن دعنا نرسمها معًا:
ما الفائدة التي يمكن استخلاصها من هذا التشابه "الثلاثي".
حسنًا ، على سبيل المثال - صيغتان لارتفاع المثلث القائم.
نكتب العلاقات بين الأطراف المقابلة:
لإيجاد الارتفاع ، نحل النسبة ونحصل على الصيغة الأولى "الارتفاع في مثلث قائم الزاوية":
لذلك ، دعنا نطبق التشابه:.
ماذا سيحدث الان؟
مرة أخرى نحل النسبة ونحصل على الصيغة الثانية:
يجب تذكر كلتا الصيغتين جيدًا والصيغة الأكثر ملاءمة للتطبيق. دعنا نكتبها مرة أخرى.
نظرية فيثاغورس:
في المثلث القائم ، مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الأرجل :.
علامات المساواة في مثلثات الحق:
- على قدمين:
- على طول الساق والوتر: أو
- على طول الرجل والزاوية الحادة المجاورة: أو
- على طول الرجل والزاوية الحادة المقابلة: أو
- بالوتر والزاوية الحادة: أو.
علامات تشابه المثلثات القائمة على اليمين:
- زاوية حادة واحدة: أو
- من تناسب الرجلين:
- من تناسب الساق والوتر: أو.
الجيب وجيب التمام والظل والظل في مثلث قائم الزاوية
- جيب الزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية هو نسبة الساق المقابلة إلى الوتر:
- جيب تمام الزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة إلى الوتر:
- ظل الزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية هو نسبة الضلع المقابلة إلى المجاورة:
- ظل التمام لزاوية حادة لمثلث قائم الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة إلى الضلع المقابل :.
ارتفاع المثلث القائم: أو.
في المثلث القائم ، الوسيط المرسوم من رأس الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر:.
مساحة المثلث القائم:
- من خلال القسطرة:
مستوى متوسط
مثلث قائم. دليل مصور كامل (2019)
مثلث قائم. مستوى اول.
في المشاكل ، الزاوية اليمنى ليست ضرورية على الإطلاق - الزاوية اليسرى السفلية ، لذلك تحتاج إلى معرفة كيفية التعرف على المثلث الأيمن في هذا الشكل ،
وفي مثل
وفي مثل
ما هو الجيد في المثلث القائم؟ حسنًا ... أولاً وقبل كل شيء ، هناك أسماء جميلة خاصة لحفلاته.
الانتباه إلى الرسم!
تذكر ولا تخلط: الساقان - اثنان ، والوتر - واحد فقط(الوحيد والفريد والأطول)!
حسنًا ، لقد ناقشنا الأسماء ، والآن أهم شيء: نظرية فيثاغورس.
نظرية فيثاغورس.
هذه النظرية هي مفتاح حل العديد من المسائل التي تتضمن مثلث قائم الزاوية. لقد أثبته فيثاغورس في أزمنة سحيقة تمامًا ، ومنذ ذلك الحين جلب العديد من الفوائد لمن يعرفه. وأفضل شيء عنها أنها بسيطة.
لذا، نظرية فيثاغورس:
هل تتذكر النكتة: "سروال فيثاغورس متساوٍ من جميع الجوانب!"؟
دعونا نرسم هذه السراويل فيثاغورس وننظر إليها.
هل تبدو حقا مثل السراويل القصيرة؟ حسنًا ، على أي جانب وأين يتساوى؟ لماذا ومن أين أتت النكتة؟ وترتبط هذه النكتة بدقة بنظرية فيثاغورس ، وبشكل أكثر دقة بالطريقة التي صاغ بها فيثاغورس نفسه نظريته. وصاغها على هذا النحو:
"مجموع مساحة المربعات، بني على الساقين ، يساوي مساحة مربعةمبني على الوتر.
ألا يبدو الأمر مختلفًا بعض الشيء ، أليس كذلك؟ وهكذا ، عندما رسم فيثاغورس بيان نظريته ، ظهرت هذه الصورة تمامًا.
في هذه الصورة ، مجموع مساحات المربعات الصغيرة يساوي مساحة المربع الكبير. وحتى يتذكر الأطفال بشكل أفضل أن مجموع مربعات الساقين يساوي مربع الوتر ، اخترع شخص بارع هذه النكتة حول السراويل فيثاغورس.
لماذا نقوم الآن بصياغة نظرية فيثاغورس
هل عانى فيثاغورس وتحدث عن المربعات؟
كما ترى ، في العصور القديمة لم يكن هناك ... الجبر! لم تكن هناك علامات وهكذا. لم تكن هناك نقوش. هل يمكنك أن تتخيل مدى رعب أن يحفظ الطلاب القدامى الفقراء كل شيء بالكلمات ؟؟! ويسعدنا أن لدينا صياغة بسيطة لنظرية فيثاغورس. دعنا نكررها مرة أخرى لنتذكر بشكل أفضل:
الآن يجب أن يكون الأمر سهلاً:
| مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين. |
حسنًا ، تمت مناقشة أهم نظرية حول المثلث القائم. إذا كنت مهتمًا بكيفية إثبات ذلك ، فاقرأ المستويات التالية من النظرية ، والآن دعنا ننتقل ... إلى الغابة المظلمة ... لعلم المثلثات! إلى الكلمات الرهيبة الجيب وجيب التمام والظل والظل.
الجيب وجيب التمام والظل والظل في مثلث قائم الزاوية.
في الواقع ، كل شيء ليس مخيفًا على الإطلاق. بالطبع ، يجب النظر في التعريف "الحقيقي" للجيب وجيب التمام والظل والظل في المقالة. لكنك حقًا لا تريد ذلك ، أليس كذلك؟ يمكننا أن نفرح: لحل المشكلات المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية ، يمكنك ببساطة ملء الأشياء البسيطة التالية:
لماذا كل شيء عن الزاوية؟ اين الزاوية؟ لفهم هذا ، تحتاج إلى معرفة كيفية كتابة العبارات 1 - 4 بالكلمات. انظروا وافهموا وتذكروا!
1.
يبدو في الواقع مثل هذا:
ماذا عن الزاوية؟ هل توجد ساق مقابل الركن أي الساق المقابلة (للزاوية)؟ بالطبع! هذا هو قسطرة!
لكن ماذا عن الزاوية؟ انظر بتمعن. أي ساق مجاورة للزاوية؟ بالطبع القط. إذن ، بالنسبة للزاوية ، تكون الساق مجاورة ، و
والآن الانتباه! انظروا الى ما حصلنا عليه:
انظر كم هو رائع:
الآن دعنا ننتقل إلى الظل والظل.
كيف نضعها في كلمات الآن؟ ما هي الساق بالنسبة للزاوية؟ العكس ، بالطبع - انها "تقع" مقابل الزاوية. والقسطرة؟ بجوار الزاوية. وذلك ما لم نحصل؟
انظر كيف يتم عكس البسط والمقام؟
والآن مرة أخرى الزوايا وإجراء التبادل:
ملخص
دعنا نكتب بإيجاز ما تعلمناه.
|
نظرية فيثاغورس: |
نظرية المثلث القائم الزاوية الرئيسية هي نظرية فيثاغورس.
نظرية فيثاغورس
بالمناسبة ، هل تتذكر جيدًا ما هي الساقين والوتر؟ إذا لم يكن كذلك ، فقم بإلقاء نظرة على الصورة - قم بتحديث معلوماتك
من المحتمل أنك استخدمت بالفعل نظرية فيثاغورس عدة مرات ، لكن هل تساءلت يومًا عن سبب صحة هذه النظرية. كيف تثبت ذلك؟ دعونا نفعل مثل الإغريق القدماء. لنرسم مربعًا به جانب.
ترى كيف نقسم بمكر جوانبها إلى مقاطع أطوال و!
الآن دعنا نربط النقاط المحددة
ومع ذلك ، لاحظنا هنا شيئًا آخر ، لكنك تنظر إلى الصورة وتفكر في السبب.
ما هي مساحة المربع الأكبر؟ يمين، . ماذا عن المنطقة الأصغر؟ بالتأكيد، . تبقى المساحة الإجمالية للزوايا الأربع. تخيل أننا أخذنا اثنين منهم واتكنا على بعضنا البعض باستخدام الوتر. ماذا حدث؟ مستطيلان. لذا ، فإن مساحة "العقل" متساوية.
دعونا نجمعها جميعًا الآن.
دعنا نتحول:
لذلك قمنا بزيارة فيثاغورس - لقد أثبتنا نظريته بطريقة قديمة.
المثلث القائم وعلم المثلثات
بالنسبة للمثلث الأيمن ، فإن العلاقات التالية تصمد:
جيب الزاوية الحادة يساوي نسبة الضلع المقابلة إلى الوتر
جيب تمام الزاوية الحادة يساوي نسبة الضلع المجاورة على الوتر.
ظل الزاوية الحادة يساوي نسبة الساق المقابلة إلى الساق المجاورة.
ظل التمام لزاوية حادة يساوي نسبة الساق المجاورة إلى الساق المقابلة.
ومرة أخرى ، كل هذا على شكل طبق:
انها مريحة جدا!
علامات المساواة في مثلثات الحق
أولا على قدمين
ثانيًا. عن طريق الساق والوتر
ثالثا. عن طريق الوتر والزاوية الحادة
رابعا. على طول الساق وزاوية حادة
أ)
ب)
انتباه! هنا من المهم جدًا أن تكون الأرجل "متطابقة". على سبيل المثال ، إذا سارت الأمور على هذا النحو:
وبالتالي فإن المثلثات ليست متساوية، على الرغم من حقيقة أن لديهم زاوية حادة واحدة متطابقة.
بحاجة ل في كلا المثلثين ، كانت الساق متجاورة ، أو في كلاهما - متقابلة.
هل لاحظت كيف تختلف علامات المساواة في المثلثات القائمة عن العلامات المعتادة لتساوي المثلثات؟ انظر إلى موضوع "وانتبه إلى حقيقة أنه من أجل المساواة بين المثلثات" العادية "، تحتاج إلى المساواة بين عناصرها الثلاثة: ضلعان وزاوية بينهما ، وزاويتان وضلع بينهما ، أو ثلاثة جوانب. ولكن من أجل المساواة بين المثلثات القائمة الزاوية ، يكفي عنصران متطابقان فقط. إنه رائع ، أليس كذلك؟
تقريبا نفس الموقف مع علامات تشابه المثلثات القائمة.
علامات تشابه المثلثات القائمة
I. ركن حاد
ثانيًا. على قدمين
ثالثا. عن طريق الساق والوتر
الوسيط في مثلث قائم الزاوية
لماذا هو كذلك؟
ضع في اعتبارك مستطيلًا كاملاً بدلاً من مثلث قائم الزاوية.
لنرسم قطريًا وننظر في نقطة - نقطة تقاطع الأقطار. ماذا تعرف عن أقطار المستطيل؟
وماذا يتبع هذا؟
لذلك حدث ذلك
- - الوسيط:
تذكر هذه الحقيقة! يساعد كثيرا!
الأمر الأكثر إثارة للدهشة هو أن العكس صحيح أيضًا.
ما الفائدة التي يمكن جنيها من حقيقة أن الوسيط المرسوم على الوتر يساوي نصف الوتر؟ دعونا نلقي نظرة على الصورة
انظر بتمعن. لدينا: أي أن المسافات من النقطة إلى جميع الرؤوس الثلاثة للمثلث تبين أنها متساوية. لكن في المثلث توجد نقطة واحدة فقط ، والمسافات التي تتساوى منها رؤوس المثلث الثلاثة تقريبًا ، وهذا هو مركز الدائرة المحدد. اذا ماذا حصل؟
لذلك لنبدأ بهذا "إلى جانب ...".
لنلق نظرة على أنا.
لكن في مثلثات متشابهة كل الزوايا متساوية!
يمكن قول الشيء نفسه عن و
الآن دعنا نرسمها معًا:
ما الفائدة التي يمكن استخلاصها من هذا التشابه "الثلاثي".
حسنًا ، على سبيل المثال - صيغتان لارتفاع المثلث القائم.
نكتب العلاقات بين الأطراف المقابلة:
لإيجاد الارتفاع ، نحل النسبة ونحصل على الصيغة الأولى "الارتفاع في مثلث قائم الزاوية":
لذلك ، دعنا نطبق التشابه:.
ماذا سيحدث الان؟
مرة أخرى نحل النسبة ونحصل على الصيغة الثانية:
يجب تذكر كلتا الصيغتين جيدًا والصيغة الأكثر ملاءمة للتطبيق. دعنا نكتبها مرة أخرى.
نظرية فيثاغورس:
في المثلث القائم ، مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الأرجل :.
علامات المساواة في مثلثات الحق:
- على قدمين:
- على طول الساق والوتر: أو
- على طول الرجل والزاوية الحادة المجاورة: أو
- على طول الرجل والزاوية الحادة المقابلة: أو
- بالوتر والزاوية الحادة: أو.
علامات تشابه المثلثات القائمة على اليمين:
- زاوية حادة واحدة: أو
- من تناسب الرجلين:
- من تناسب الساق والوتر: أو.
الجيب وجيب التمام والظل والظل في مثلث قائم الزاوية
- جيب الزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية هو نسبة الساق المقابلة إلى الوتر:
- جيب تمام الزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة إلى الوتر:
- ظل الزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية هو نسبة الضلع المقابلة إلى المجاورة:
- ظل التمام لزاوية حادة لمثلث قائم الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة إلى الضلع المقابل :.
ارتفاع المثلث القائم: أو.
في المثلث القائم ، الوسيط المرسوم من رأس الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر:.
مساحة المثلث القائم:
- من خلال القسطرة:
يتطلب حل المشكلات الهندسية قدرًا هائلاً من المعرفة. المثلث القائم الزاوية هو أحد التعريفات الأساسية لهذا العلم.
هذا المفهوم يعني تتكون من ثلاث زوايا و
الأضلاع ، وقيمة إحدى الزوايا 90 درجة. الأضلاع التي تشكل الزاوية اليمنى تسمى الأرجل ، بينما الضلع الثالث المقابل لها يسمى الوتر.
إذا كانت الأرجل في مثل هذا الشكل متساوية ، فيطلق عليها اسم المثلث الأيمن متساوي الساقين. في هذه الحالة ، هناك انتماء إلى اثنين ، مما يعني أنه يتم ملاحظة خصائص كلتا المجموعتين. تذكر أن الزوايا الموجودة في قاعدة المثلث متساوي الساقين متساوية تمامًا دائمًا ، وبالتالي ، فإن الزوايا الحادة لهذا الشكل ستشمل 45 درجة لكل منها.
يسمح لنا وجود إحدى الخصائص التالية بتأكيد أن مثلث قائم الزاوية يساوي الآخر:
- أرجل مثلثين متساوية ؛
- الأشكال لها نفس الوتر وأحد الساقين ؛
- الوتر وأي من الزوايا الحادة متساوية ؛
- لوحظت حالة تساوي الساق والزاوية الحادة.
يمكن حساب مساحة المثلث الأيمن بسهولة باستخدام الصيغ القياسية وكقيمة تساوي نصف منتج أرجلها.
في المثلث الأيمن ، يتم ملاحظة العلاقات التالية:
- ليست الساق سوى الوسيلة المتناسبة مع الوتر وإسقاطه عليها ؛
- إذا وصفت دائرة حول مثلث قائم الزاوية ، فسيكون مركزها في منتصف الوتر ؛
- الارتفاع المرسوم من الزاوية اليمنى هو المتوسط المتناسب مع إسقاطات أرجل المثلث على الوتر.
من المثير للاهتمام أنه بغض النظر عن ماهية المثلث القائم ، يتم دائمًا ملاحظة هذه الخصائص.
نظرية فيثاغورس
بالإضافة إلى الخصائص المذكورة أعلاه ، تتميز المثلثات القائمة بالشرط التالي:
سميت هذه النظرية باسم مؤسسها - نظرية فيثاغورس. اكتشف هذه العلاقة عندما كان يدرس خصائص المربعات المبنية عليها
لإثبات هذه النظرية ، نقوم ببناء مثلث ABC ، نشير إلى ساقيه a و b ، والوتر c. بعد ذلك ، سنبني مربعين. أحد الجانبين سيكون الوتر ، والآخر سيكون مجموع قدمين.
ثم يمكن إيجاد مساحة المربع الأول بطريقتين: كمجموع مساحات المثلثات الأربعة ABC والمربع الثاني ، أو كمربع الضلع ، بطبيعة الحال ، هذه النسب ستكون متساوية. إنه:
مع 2 + 4 (أب / 2) = (أ + ب) 2 ، نقوم بتحويل التعبير الناتج:
ص 2 +2 أب = أ 2 + ب 2 + 2 أب
نتيجة لذلك ، نحصل على: c 2 \ u003d a 2 + b 2
هكذا، الشكل الهندسيلا يتوافق المثلث القائم الزاوية مع كل الخصائص المميزة للمثلثات فقط. يؤدي وجود الزاوية اليمنى إلى حقيقة أن للشخصية علاقات فريدة أخرى. ستكون دراستهم مفيدة ليس فقط في العلوم ، ولكن أيضًا في الحياة اليومية، لأن مثل هذا الشكل مثل المثلث القائم يوجد في كل مكان.
تعريف.مثلث قائم -مثلث ، إحدى زواياه قائمة (متساوية).
المثلث القائم الزاوية هو حالة خاصة للمثلث العادي. لذلك ، يتم الحفاظ على جميع خصائص المثلثات العادية للمثلثات المستطيلة. لكن هناك بعض الخصائص المعينة بسبب وجود الزاوية القائمة.
التدوين المشترك (الشكل 1):
- زاوية مستقيمة;
- وتر;
- أرجل;
.
أرز. 1.
معخصائص المثلث الأيمن.
خاصية 1. مجموع الزوايا والمثلث القائم هو.
دليل. تذكر أن مجموع زوايا أي مثلث هو. بالنظر إلى حقيقة أننا توصلنا إلى أن مجموع الزاويتين المتبقيتين هو ،
خاصية 2. في مثلث قائم الزاوية وترأكثر من أي من أرجل(هو الضلع الأكبر).
دليل. تذكر أنه في المثلث المقابل للزاوية الأكبر يقع الضلع الأكبر (والعكس صحيح). يتبين من الخاصية 1 التي تم إثباتها أعلاه أن مجموع الزوايا والمثلث القائم الزاوية يساوي. بما أن زاوية المثلث لا يمكن أن تكون 0 ، فكل منها أقل من. هذا يعني أنه هو الأكبر ، مما يعني أن الضلع الأكبر في المثلث يقع مقابله. ومن ثم ، فإن الوتر هو أكبر ضلع في مثلث قائم الزاوية ، وهو :.
الملكية 3. في المثلث القائم ، يكون الوتر أقل من مجموع الساقين.
دليل. تصبح هذه الخاصية واضحة إذا تذكرنا عدم المساواة في المثلث.
عدم المساواة في المثلث
في أي مثلث ، يكون مجموع أي ضلعين أكبر من الضلع الثالث.
الخاصية 3 تأتي مباشرة من هذا التفاوت.
ملحوظة:على الرغم من حقيقة أن كل من الساقين على حدة أقل من الوتر ، إلا أن مجموعها أكبر. في مثال عددي ، يبدو كالتالي: ، لكن.
الخامس:
العلامة الأولى (على جانبين والزاوية بينهما):إذا كان لمثلثين ضلعان متساويان والزاوية بينهما ، فإن هذين المثلثين متطابقان.
العلامة الثانية (على الجانب وزاويتان متجاورتان):إذا كان للمثلثات ضلع متساو وزاويتان متجاورتان مع جانب معين ، فإن هذه المثلثات تكون متطابقة. ملحوظة:باستخدام حقيقة أن مجموع زوايا المثلث ثابت ومتساوٍ ، فمن السهل إثبات أن حالة "تجاور" الزوايا ليست ضرورية ، أي أن العلامة ستكون صحيحة في الصيغة التالية: "... ضلع وزاويتان متساويتان ، إذن ...".
العلامة الثالثة (من 3 جوانب):إذا كانت الأضلاع الثلاثة للمثلث متساوية ، فإن هذه المثلثات متطابقة.
بطبيعة الحال ، تظل كل هذه العلامات صحيحة بالنسبة للمثلثات القائمة. ومع ذلك ، فإن المثلثات القائمة لها ميزة أساسية واحدة - فلديها دائمًا زوج من الزوايا القائمة المتساوية. لذلك ، يتم تبسيط هذه العلامات بالنسبة لهم. لذلك ، دعونا نصيغ علامات المساواة في المثلثات القائمة على اليمين:
العلامة الأولى (على قدمين):إذا كانت أرجل المثلثات القائمة متساوية في أزواج ، فإن هذه المثلثات متساوية مع بعضها البعض (الشكل 2).
منح:
أرز. 2. رسم توضيحي للعلامة الأولى للمساواة بين مثلثات الحق
يثبت:
دليل:في مثلثات قائمة: 
. لذلك ، يمكننا استخدام العلامة الأولى للمساواة بين المثلثات (على جانبين والزاوية بينهما) والحصول على: .
2العلامة الثالثة (على الرجل والزاوية):إذا كانت الساق والزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية تساوي الساق والزاوية الحادة لمثلث قائم آخر ، فإن هذه المثلثات تساوي بعضها البعض (الشكل 3).
منح:
أرز. 3. رسم توضيحي للعلامة الثانية للمساواة بين المثلثات القائمة على اليمين
يثبت:
دليل:لاحظ على الفور أن حقيقة أن الزوايا المجاورة ل أرجل متساوية، ليست حرجة. في الواقع ، مجموع الزوايا الحادة لمثلث قائم الزاوية (بواسطة الخاصية 1) يساوي. ومن ثم ، إذا كان أحد هذه الزوايا متساويًا ، فإن الآخر متساوي (لأن مجموعهما متماثل).
الدليل على هذه الميزة يعود إلى استخدام العلامة الثانية للمساواة بين المثلثات(على جانبين وجانب). في الواقع ، حسب الحالة ، تكون الأرجل وزوج من الزوايا المجاورة لها متساوية. لكن زوج الزوايا الثاني المجاور لهما يتكون من الزوايا . لذلك يمكننا استخدام المعيار الثاني للمساواة بين المثلثات والحصول على: .
العلامة الثالثة (بالوتر والزاوية):إذا كان الوتر والزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية متساويين مع الوتر والزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية آخر ، فإن هذين المثلثين متساويين (الشكل 4).
منح:
أرز. 4. رسم توضيحي للعلامة الثالثة للمساواة بين مثلثات الحق
يثبت:
دليل:لإثبات هذه العلامة ، يمكنك استخدامها على الفور العلامة الثانية للمساواة بين المثلثات- بالجانب وزاويتين (بتعبير أدق ، من خلال النتيجة ، التي تنص على أن الزوايا لا يجب أن تكون متجاورة مع الضلع). في الواقع ، بالشرط: ، ومن خواص المثلث القائم الزاوية يتبع ذلك . لذلك ، يمكننا استخدام المعيار الثاني لتساوي المثلثات ، والحصول على: .
العلامة الرابعة (عن طريق الوتر والساق):إذا كان الوتر والساق في مثلث قائم الزاوية متساويين ، على التوالي ، مع الوتر والساق لمثلث قائم الزاوية آخر ، فإن هذه المثلثات تساوي بعضها البعض (الشكل 5).
منح:
أرز. 5. رسم توضيحي للعلامة الرابعة للمساواة بين مثلثات الحق
يثبت:
دليل:لإثبات هذه العلامة ، سنستخدم علامة المساواة بين المثلثات ، والتي قمنا بصياغتها وإثباتها في الدرس الأخير ، وهي: إذا كان للمثلثات ضلعان متساويان وزاوية أكبر ، فإن هذه المثلثات متساوية. في الواقع ، بشرط أن يكون لدينا جانبان متساويان. بالإضافة إلى ذلك ، من خلال خاصية المثلثات القائمة: . يبقى إثبات أن الزاوية القائمة هي الأكبر في المثلث. لنفترض أن الأمر ليس كذلك ، مما يعني أنه يجب أن تكون هناك زاوية واحدة على الأقل أكبر من. ولكن بعد ذلك سيكون مجموع زوايا المثلث أكبر بالفعل. لكن هذا مستحيل ، مما يعني أن مثل هذه الزاوية لا يمكن أن توجد في مثلث. ومن ثم ، فإن الزاوية القائمة هي الأكبر في مثلث قائم الزاوية. لذلك ، يمكنك استخدام العلامة الموضحة أعلاه والحصول على: .
نقوم الآن بصياغة خاصية أخرى ، وهي خاصية مميزة فقط للمثلثات القائمة.
ملكية
الضلع المقابل للزاوية عنده أصغر بمرتين من طول الوتر(الشكل 6).
منح:
أرز. 6.
يثبت:AB
دليل:تنفيذ بناء إضافي: قم بتمديد الخط إلى ما بعد النقطة بجزء يساوي. دعنا نحصل على نقطة. نظرًا لأن الزوايا ومتجاورة ، فإن مجموعهما يساوي. منذ ذلك الحين ، الزاوية.
إذن ، مثلثات قائمة 
(بقدمين: - عام ، - عن طريق البناء) - أول علامة على مساواة المثلثات القائمة.
من المساواة بين المثلثات يتبع المساواة بين جميع العناصر المقابلة. وسائل، . أين: . بالإضافة إلى ذلك (من المساواة بين كل المثلثات نفسها). هذا يعني أن المثلث متساوي الساقين (لأن له زوايا متساوية عند القاعدة) ، لكن المثلث متساوي الساقين ، إحدى زواياه متساوية ، متساوي الأضلاع. ويترتب على ذلك ، على وجه الخصوص ، أن 
.
خاصية الساق المقابلة للزاوية في
من الجدير بالذكر أن العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا كان الوتر في المثلث الأيمن أكبر بمرتين من أحد الأرجل ، فإن الزاوية الحادة المقابلة لهذه الضلع تساوي.
ملحوظة: لافتةيعني أنه إذا كانت بعض العبارات صحيحة ، فإن المثلث هو مثلث قائم الزاوية. أي أن الميزة تسمح لك بتحديد مثلث قائم الزاوية.
من المهم عدم الخلط بين العلامة و ملكية- أي ، إذا كان المثلث قائم الزاوية ، فإن له مثل هذه الخصائص ... غالبًا ما تكون العلامات والخصائص معكوسة بشكل متبادل ، ولكن ليس دائمًا. على سبيل المثال ، خاصية مثلث متساوي الأضلاع: مثلث متساوي الأضلاع له زاوية. لكن هذا لن يكون علامة على مثلث متساوي الأضلاع ، لأنه ليس كل مثلث له زاوية، متساوي الأضلاع.