خصائص المثلث القائم
أعزائي طلاب الصف السابع ، أنتم تعرفون بالفعل الأشكال الهندسية التي تسمى المثلثات ، وتعرفون كيف تثبتون علامات المساواة بينهم. تعرف أيضًا حالات خاصة للمثلثات: متساوي الساقين ومستطيل. تعرف جيدًا خصائص المثلثات متساوي الساقين.
لكن حتى المثلثات القائمة لها العديد من الخصائص. واحدة واضحة تتعلق بنظرية مجموع الزوايا الداخلية للمثلث: في المثلث القائم ، مجموع الزوايا الحادة 90 درجة. سوف تتعلم الخاصية المدهشة للمثلث القائم في الصف الثامن عندما تدرس نظرية فيثاغورس الشهيرة.
والآن سنتحدث عن خاصيتين أكثر أهمية. يشير أحدهما إلى مثلثات قائمة الزاوية بزاوية 30 درجة ، ويشير الآخر إلى مثلثات قائمة على اليمين. دعونا نصيغ ونثبت هذه الخصائص.
أنت تدرك جيدًا أنه في الهندسة من المعتاد صياغة تأكيدات معكوسة لتلك التي تم إثباتها ، عندما يتم عكس الشرط والاستنتاج في التأكيد. العبارات المعاكسة ليست دائما صحيحة. في حالتنا ، كلا العبارتين المعاكستين صحيحان.
الملكية 1.1 في المثلث القائم ، الضلع المقابل للزاوية 30 ° يساوي نصف طول الوتر.
الإثبات: ضع في اعتبارك مستطيلًا ∆ ABC ، حيث A = 90 درجة ، ÐB = 30 درجة ، ثم C = 60 درجة ..gif "العرض =" 167 "الارتفاع =" 41 "> ، لذلك كان مطلوبًا لإثبات ذلك.
الملكية 1.2 (عكس الخاصية 1.1) إذا كانت ضلع المثلث القائم نصف طول الوتر ، فإن الزاوية المقابلة لها هي 30 درجة.
الملكية 2.1 في المثلث القائم ، الوسيط المرسوم على الوتر هو نصف الوتر.
ضع في اعتبارك مستطيل ∆ ABC ، فيه ÐB = 90 درجة.
متوسط BD ، أي AD = DC. دعنا نثبت ذلك.
لإثبات ذلك ، لنقم ببناء إضافي: دعنا نكمل BD بعد النقطة D بحيث يكون BD = DN ونوصل N بـ A و C..gif "width =" 616 "height =" 372 src = ">
معطى: ∆ABC ، ÐC = 90 درجة ، ÐA = 30 درجة ، ÐBEC = 60 درجة ، EC = 7 سم
1. ÐEBC = 30 درجة ، حيث أن مجموع الزوايا الحادة في المستطيل ∆BCE يساوي 90 درجة
2.BE = 14 سم (خاصية 1)
3. ÐABE = 30o ، حيث أن A + ÐABE = ÐBEC (خاصية الزاوية الخارجية للمثلث) لذلك ∆AEB- متساوي الساقين AE = EB = 14 سم.
BC = 2AN = 20 سم (خاصية 2).
المهمة 3. إثبات أن الارتفاع والوسيط للمثلث القائم المرسوم على الوتر يشكلان زاوية تساوي الفرق بين الزوايا الحادة للمثلث.
معطى: ∆ ABC ، РВАС = 90 درجة ، متوسط AM ، ارتفاع AH.
إثبات: РМАН = РС-РВ.
دليل:
1) РМАС = РС (حسب الخاصية 2 ∆ AMC-isosceles ، AM = CM)
2) RMAN = RMAS-RNAS = Rs-RNAS.
يبقى إثبات أن PNAS = PB. هذا يأتي من حقيقة أن РВ + РС = 90 درجة (في ∆ ABC) و РНАС + РС = 90 درجة (من ANS).
إذن ، РМАН = РС-РВ ، والتي كانت مطلوبة لإثباتها.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif "width =" 194 "height =" 184 "> المعطى: ∆ABC ، ÐBAC = 90 ° ، ارتفاع AH ،.
البحث عن: РВ، РС.
الحل: ارسم الوسيط AM. دع AH = x ، ثم BC = 4x و
VM = MS = AM = 2x.
في مستطيل ∆ AMN ، يكون الوتر AM أكبر بمرتين من الساق AH ، لذا فإن ÐAMN = 30 °. منذ VM = AM ،
РВ = РВАМ100٪ ">
لنكمل AC بعد النقطة A بحيث يكون AD = AC. ثم ∆ABC = ∆ABD (لرجلين). BD = BC = 2AC = CD ، وبالتالي فإن ∆DBC متساوي الأضلاع ، C = 60 درجة و RABC = 30 درجة.
المهمة 5
في مثلث متساوي الساقين ، إحدى زواياه 120 درجة ، والقاعدة 10 سم ، أوجد الارتفاع المرسوم على الجانب.
الحل: بادئ ذي بدء ، نلاحظ أن الزاوية 120 درجة لا يمكن أن تكون إلا عند رأس المثلث وأن الارتفاع المرسوم على الجانب سينخفض عند استمراره.
AB - سلم ، K - هريرة.
في أي موضع من السلم ، حتى سقط أخيرًا على الأرض ∆ ABC- مستطيل. SC - الوسيط ∆ABC.
حسب الخاصية 2 SK = 1 / 2AB. أي ، في أي لحظة زمنية ، يكون طول مقطع SC ثابتًا.
الإجابة: ستتحرك النقطة K على طول قوس دائرة مركزها C ونصف قطرها SK = 1 / 2AB.
مهام الحل المستقل.
إحدى زوايا المثلث القائم الزاوية هي 60 درجة ، والفرق بين الوتر والضلع الأصغر هو 4 سم. أوجد طول الوتر. في مستطيل ∆ ABC بالوتر BC والزاوية B تساوي 60 درجة ، يُرسم ارتفاع AD. ابحث عن DC إذا كانت DB = 2cm. في ∆АВС РС = 90о ، СD - مرتفعات ، ВС = 2ВD. إثبات أن م = 3 دينار. ارتفاع المثلث القائم يقسم الوتر إلى أجزاء 3 سم و 9 سم. أوجد زوايا المثلث والمسافة من منتصف الوتر إلى الضلع الأكبر. يقسم المنصف المثلث إلى مثلثين متساوي الساقين. أوجد زوايا المثلث الأصلي. الوسيط يقسم المثلث إلى مثلثين متساوي الساقين. هل من الممكن أن تجد الزوايا
المثلث الأصلي؟
في الحياة ، غالبًا ما يتعين علينا التعامل مع المشكلات الرياضية: في المدرسة ، في الجامعة ، ثم نساعد أطفالنا في ذلك العمل في المنزل. سيواجه الأشخاص في بعض المهن الرياضيات بشكل يومي. لذلك ، من المفيد أن نتذكر أو نتذكر القواعد الرياضية. في هذه المقالة ، سنقوم بتحليل واحد منهم: إيجاد ضلع مثلث قائم الزاوية.
ما هو المثلث القائم
أولًا ، لنتذكر ما هو المثلث القائم الزاوية. مثلث قائم- هذا الشكل الهندسيمن ثلاثة أجزاء تربط نقاطًا لا تقع على نفس الخط المستقيم ، وإحدى زوايا هذا الشكل 90 درجة. الأضلاع التي تشكل الزاوية القائمة تسمى الأرجل ، والجانب المقابل للزاوية القائمة يسمى الوتر.
إيجاد ضلع مثلث قائم الزاوية
هناك عدة طرق لمعرفة طول الساق. أود النظر فيها بمزيد من التفصيل.
نظرية فيثاغورس لإيجاد ضلع مثلث قائم الزاوية
إذا عرفنا الوتر والساق ، فيمكننا إيجاد طول الضلع المجهول باستخدام نظرية فيثاغورس. يبدو مثل هذا: "مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين." الصيغة: c² = a² + b² ، حيث c هو الوتر ، a و b هما الساقان. نقوم بتحويل الصيغة والحصول على: a² = c²-b².
مثال. طول الوتر 5 سم ، والساق 3 سم ، نقوم بتحويل الصيغة: c² = a² + b² → a² = c²-b². بعد ذلك ، نقرر: a² = 5²-3²؛ أ² = 25-9 ؛ أ² = 16 ؛ أ = -16 ؛ أ = 4 (سم).
العلاقات المثلثية لإيجاد ضلع مثلث قائم الزاوية
من الممكن أيضًا العثور على ساق غير معروفة في حالة معرفة أي جانب آخر وأي زاوية حادة للمثلث القائم. هناك أربعة خيارات لإيجاد الساق باستخدام الدوال المثلثية: بالجيب وجيب التمام والظل والظل. لحل المشاكل ، سيساعدنا الجدول أدناه. لنفكر في هذه الخيارات.
أوجد ضلع مثلث قائم الزاوية باستخدام الجيب
جيب الزاوية (sin) هو نسبة الضلع المقابلة إلى الوتر. الصيغة: sin \ u003d a / c ، حيث a هي الساق المقابلة للزاوية المعطاة ، و c هي الوتر. بعد ذلك ، نقوم بتحويل الصيغة والحصول على: a = sin * c.
مثال. طول الوتر 10 سم ، والزاوية أ 30 درجة. وفقًا للجدول ، نحسب جيب الزاوية A ، وهو يساوي 1/2. ثم ، باستخدام الصيغة المحولة ، نحل: a = sin∠A * c ؛ أ = 1/2 * 10 ؛ أ = 5 (سم).
أوجد ضلع مثلث قائم الزاوية باستخدام جيب التمام
جيب تمام الزاوية (cos) هو نسبة الضلع المجاورة إلى الوتر. الصيغة: cos \ u003d b / c ، حيث b هي الساق المجاورة للزاوية المعطاة ، و c هي الوتر. دعنا نحول الصيغة ونحصل على: b = cos * c.
مثال. الزاوية أ 60 درجة ، والوتر 10 سم ، وبحسب الجدول نحسب جيب التمام للزاوية أ ، وهو يساوي 1/2. بعد ذلك ، نحل: b = cos∠A * c ؛ ب = 1/2 * 10 ، ب = 5 (سم).
أوجد ضلع مثلث قائم الزاوية باستخدام الظل
ظل الزاوية (tg) هو نسبة الضلع المقابلة إلى المجاورة. الصيغة: tg \ u003d a / b ، حيث a هي الساق المقابلة للزاوية ، و b المجاورة. دعنا نحول الصيغة ونحصل على: a = tg * b.
مثال. الزاوية A قياسها 45 درجة ، والوتر 10 cm ، ووفقًا للجدول نحسب ظل الزاوية A ، فهي تساوي Solve: a = tg∠A * b؛ أ = 1 * 10 ؛ أ = 10 (سم).
أوجد ضلع مثلث قائم الزاوية باستخدام ظل التمام
ظل التمام لزاوية (ctg) هو نسبة الساق المجاورة إلى الساق المقابلة. الصيغة: ctg \ u003d b / a ، حيث b هي الساق المجاورة للزاوية ، والعكس. بمعنى آخر ، ظل التمام هو "الظل المقلوب". نحصل على: b = ctg * a.
مثال. قياس الزاوية أ 30 درجة ، والضلع المقابل 5 سم ، وطبقاً للجدول ، ظل الزاوية أ هو √3. احسب: b = ctg∠A * a ؛ ب = √3 * 5 ؛ ب = 5√3 (سم).
إذن ، أنت تعرف الآن كيفية إيجاد الساق في مثلث قائم الزاوية. كما ترون ، الأمر ليس بهذه الصعوبة ، الشيء الرئيسي هو تذكر الصيغ.
يتطلب حل المشكلات الهندسية قدرًا هائلاً من المعرفة. المثلث القائم الزاوية هو أحد التعريفات الأساسية لهذا العلم.
هذا المفهوم يعني تتكون من ثلاث زوايا و
الأضلاع ، وقيمة إحدى الزوايا 90 درجة. الأضلاع التي تشكل الزاوية اليمنى تسمى الأرجل ، بينما الضلع الثالث المقابل لها يسمى الوتر.
إذا كانت الأرجل في مثل هذا الشكل متساوية ، فيطلق عليها اسم المثلث الأيمن متساوي الساقين. في هذه الحالة ، هناك انتماء إلى اثنين ، مما يعني أنه يتم ملاحظة خصائص كلتا المجموعتين. تذكر أن الزوايا الموجودة في قاعدة المثلث متساوي الساقين متساوية تمامًا دائمًا ، وبالتالي ، فإن الزوايا الحادة لهذا الشكل ستشمل 45 درجة لكل منها.
يسمح لنا وجود إحدى الخصائص التالية بتأكيد أن مثلث قائم الزاوية يساوي الآخر:
- أرجل مثلثين متساوية ؛
- الأشكال لها نفس الوتر وأحد الساقين ؛
- الوتر وأي من الزوايا الحادة متساوية ؛
- لوحظت حالة تساوي الساق والزاوية الحادة.
يمكن حساب مساحة المثلث الأيمن بسهولة باستخدام الصيغ القياسية وكقيمة تساوي نصف منتج أرجلها.
في المثلث الأيمن ، يتم ملاحظة العلاقات التالية:
- ليست الساق سوى الوسيلة المتناسبة مع الوتر وإسقاطه عليها ؛
- إذا وصفت دائرة حول مثلث قائم الزاوية ، فسيكون مركزها في منتصف الوتر ؛
- الارتفاع المرسوم من الزاوية اليمنى هو المتوسط المتناسب مع إسقاطات أرجل المثلث على الوتر.
من المثير للاهتمام أنه بغض النظر عن ماهية المثلث القائم ، يتم دائمًا ملاحظة هذه الخصائص.
نظرية فيثاغورس
بالإضافة إلى الخصائص المذكورة أعلاه ، تتميز المثلثات القائمة بالشرط التالي:
سميت هذه النظرية باسم مؤسسها - نظرية فيثاغورس. اكتشف هذه العلاقة عندما كان يدرس خصائص المربعات المبنية عليها
لإثبات هذه النظرية ، نقوم ببناء مثلث ABC ، نشير إلى ساقيه a و b ، والوتر c. بعد ذلك ، سنبني مربعين. أحد الجانبين سيكون الوتر ، والآخر سيكون مجموع قدمين.
ثم يمكن إيجاد مساحة المربع الأول بطريقتين: كمجموع مساحات المثلثات الأربعة ABC والمربع الثاني ، أو كمربع الضلع ، بطبيعة الحال ، هذه النسب ستكون متساوية. إنه:
مع 2 + 4 (أب / 2) = (أ + ب) 2 ، نقوم بتحويل التعبير الناتج:
ص 2 +2 أب = أ 2 + ب 2 + 2 أب
نتيجة لذلك ، نحصل على: c 2 \ u003d a 2 + b 2
وبالتالي ، فإن الشكل الهندسي للمثلث الأيمن لا يتوافق فقط مع جميع الخصائص المميزة للمثلثات. يؤدي وجود الزاوية اليمنى إلى حقيقة أن للشخصية علاقات فريدة أخرى. ستكون دراستهم مفيدة ليس فقط في العلوم ، ولكن أيضًا في الحياة اليومية، لأن مثل هذا الشكل مثل المثلث القائم يوجد في كل مكان.
يمثل المثلث في الهندسة أحد الأشكال الأساسية. من الدروس السابقة ، تعلم أن المثلث هو شكل متعدد الأضلاع له ثلاث زوايا وثلاثة أضلاع.
يسمى المثلث مستطيليإذا كانت الزاوية قائمة 90 درجة.
المثلث القائم الزاوية يسمى جانبان متعامدان على بعضهما البعض أرجل
؛ يسمى الجانب الثالث وتر
. الوتر هو أكبر ضلع في هذا المثلث.
- وفقًا لخصائص الوتر العمودي والمائل ، فإن كل من الأرجل أطول (ولكن أقل من مجموعها).
- مجموع زاويتين حادتين لمثلث قائم الزاوية يساوي الزاوية القائمة.
- يتطابق ارتفاعان من المثلث القائم مع رجليه. لذلك ، تقع إحدى النقاط الأربع الرائعة على رءوس الزاوية اليمنى للمثلث.
- يقع مركز الدائرة المحددة لمثلث قائم الزاوية في منتصف الوتر.
- إن وسيط المثلث القائم المرسوم من رأس الزاوية القائمة إلى الوتر هو نصف قطر الدائرة المحصورة حول هذا المثلث.
خصائص وميزات المثلثات القائمة
أنا - الممتلكات. في المثلث القائم ، مجموع زواياه الحادة 90 درجة. الضلع الأكبر للمثلث يقابل الزاوية الأكبر ، والضلع الأكبر يقابل الزاوية الأكبر. في المثلث القائم الزاوية ، أكبر زاوية هي الزاوية القائمة. إذا كانت أكبر زاوية في المثلث تزيد عن 90 درجة ، فإن هذا المثلث لا يكون قائم الزاوية ، لأن مجموع كل الزوايا يتجاوز 180 درجة. يستنتج من كل هذا أن الوتر هو أكبر ضلع في المثلث.
ثانيا - الملكية الإلكترونية. ضلع مثلث قائم الزاوية يقابل زاوية قياسها 30 درجة يساوي نصف طول الوتر.
ثالثا - الملكية الإلكترونية. إذا كانت الساق في المثلث القائم تساوي نصف طول الوتر ، فإن الزاوية التي تقع مقابل هذا الضلع تساوي 30 درجة.
مستوى متوسط
مثلث قائم. دليل مصور كامل (2019)
مثلث قائم. مستوى اول.
في المشاكل ، الزاوية اليمنى ليست ضرورية على الإطلاق - الزاوية اليسرى السفلية ، لذلك تحتاج إلى معرفة كيفية التعرف على المثلث الأيمن في هذا الشكل ،
وفي مثل
وفي مثل 
ما هو الجيد في المثلث القائم؟ حسنًا ... أولاً وقبل كل شيء ، هناك أسماء جميلة خاصة لحفلاته.
الانتباه إلى الرسم!
تذكر ولا تخلط: الساقان - اثنان ، والوتر - واحد فقط(الوحيد والفريد والأطول)!
حسنًا ، لقد ناقشنا الأسماء ، والآن أهم شيء: نظرية فيثاغورس.
نظرية فيثاغورس.
هذه النظرية هي مفتاح حل العديد من المسائل التي تتضمن مثلث قائم الزاوية. لقد أثبته فيثاغورس في أزمنة سحيقة تمامًا ، ومنذ ذلك الحين جلب العديد من الفوائد لمن يعرفه. وأفضل شيء عنها أنها بسيطة.
لذا، نظرية فيثاغورس:
هل تتذكر النكتة: "سروال فيثاغورس متساوٍ من جميع الجوانب!"؟
دعونا نرسم هذه السراويل فيثاغورس وننظر إليها. 
هل تبدو حقا مثل السراويل القصيرة؟ حسنًا ، على أي جانب وأين يتساوى؟ لماذا ومن أين أتت النكتة؟ وترتبط هذه النكتة بدقة بنظرية فيثاغورس ، وبشكل أكثر دقة بالطريقة التي صاغ بها فيثاغورس نفسه نظريته. وصاغها على هذا النحو:
"مجموع مساحة المربعات، بني على الساقين ، يساوي مساحة مربعةمبني على الوتر.
ألا يبدو الأمر مختلفًا بعض الشيء ، أليس كذلك؟ وهكذا ، عندما رسم فيثاغورس بيان نظريته ، ظهرت هذه الصورة تمامًا.
في هذه الصورة ، مجموع مساحات المربعات الصغيرة يساوي مساحة المربع الكبير. وحتى يتذكر الأطفال بشكل أفضل أن مجموع مربعات الساقين يساوي مربع الوتر ، اخترع شخص بارع هذه النكتة حول السراويل فيثاغورس.
لماذا نقوم الآن بصياغة نظرية فيثاغورس
هل عانى فيثاغورس وتحدث عن المربعات؟
كما ترى ، في العصور القديمة لم يكن هناك ... الجبر! لم تكن هناك علامات وهكذا. لم تكن هناك نقوش. هل يمكنك أن تتخيل مدى رعب أن يحفظ الطلاب القدامى الفقراء كل شيء بالكلمات ؟؟! ويسعدنا أن لدينا صياغة بسيطة لنظرية فيثاغورس. دعنا نكررها مرة أخرى لنتذكر بشكل أفضل:
الآن يجب أن يكون الأمر سهلاً:
| مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين. |
حسنًا ، تمت مناقشة أهم نظرية حول المثلث القائم. إذا كنت مهتمًا بكيفية إثبات ذلك ، فاقرأ المستويات التالية من النظرية ، والآن دعنا ننتقل ... إلى الغابة المظلمة ... لعلم المثلثات! إلى الكلمات الرهيبة الجيب وجيب التمام والظل والظل.
الجيب وجيب التمام والظل والظل في مثلث قائم الزاوية.
في الواقع ، كل شيء ليس مخيفًا على الإطلاق. بالطبع ، يجب النظر في التعريف "الحقيقي" للجيب وجيب التمام والظل والظل في المقالة. لكنك حقًا لا تريد ذلك ، أليس كذلك؟ يمكننا أن نفرح: لحل المشكلات المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية ، يمكنك ببساطة ملء الأشياء البسيطة التالية:
لماذا كل شيء عن الزاوية؟ اين الزاوية؟ لفهم هذا ، تحتاج إلى معرفة كيفية كتابة العبارات 1 - 4 بالكلمات. انظروا وافهموا وتذكروا!
1.
يبدو في الواقع مثل هذا:
ماذا عن الزاوية؟ هل توجد ساق مقابل الركن أي الساق المقابلة (للزاوية)؟ بالطبع! هذا هو قسطرة!
لكن ماذا عن الزاوية؟ انظر بتمعن. أي ساق مجاورة للزاوية؟ بالطبع القط. إذن ، بالنسبة للزاوية ، تكون الساق مجاورة ، و
والآن الانتباه! انظروا الى ما حصلنا عليه:
انظر كم هو رائع:
الآن دعنا ننتقل إلى الظل والظل.
كيف نضعها في كلمات الآن؟ ما هي الساق بالنسبة للزاوية؟ العكس ، بالطبع - انها "تقع" مقابل الزاوية. والقسطرة؟ بجوار الزاوية. وذلك ما لم نحصل؟
انظر كيف يتم عكس البسط والمقام؟
والآن مرة أخرى الزوايا وإجراء التبادل:
ملخص
دعنا نكتب بإيجاز ما تعلمناه.
 |
نظرية فيثاغورس: |
نظرية المثلث القائم الزاوية الرئيسية هي نظرية فيثاغورس.
نظرية فيثاغورس
بالمناسبة ، هل تتذكر جيدًا ما هي الساقين والوتر؟ إذا لم يكن كذلك ، فقم بإلقاء نظرة على الصورة - قم بتحديث معلوماتك
من المحتمل أنك استخدمت بالفعل نظرية فيثاغورس عدة مرات ، لكن هل تساءلت يومًا عن سبب صحة هذه النظرية. كيف تثبت ذلك؟ دعونا نفعل مثل الإغريق القدماء. لنرسم مربعًا به جانب.
ترى كيف نقسم بمكر جوانبها إلى مقاطع أطوال و!
الآن دعنا نربط النقاط المحددة
ومع ذلك ، لاحظنا هنا شيئًا آخر ، لكنك تنظر إلى الصورة وتفكر في السبب.
ما هي مساحة المربع الأكبر؟ يمين، . ماذا عن المنطقة الأصغر؟ بالتأكيد، . تبقى المساحة الإجمالية للزوايا الأربع. تخيل أننا أخذنا اثنين منهم واتكنا على بعضنا البعض باستخدام الوتر. ماذا حدث؟ مستطيلان. لذا ، فإن مساحة "العقل" متساوية.
دعونا نجمعها جميعًا الآن.
دعنا نتحول:
لذلك قمنا بزيارة فيثاغورس - لقد أثبتنا نظريته بطريقة قديمة.
المثلث القائم وعلم المثلثات
بالنسبة للمثلث الأيمن ، فإن العلاقات التالية تصمد:
جيب الزاوية الحادة يساوي نسبة الضلع المقابلة إلى الوتر
جيب تمام الزاوية الحادة يساوي نسبة الضلع المجاورة على الوتر.
ظل الزاوية الحادة يساوي نسبة الساق المقابلة إلى الساق المجاورة.
ظل التمام لزاوية حادة يساوي نسبة الساق المجاورة إلى الساق المقابلة.
ومرة أخرى ، كل هذا على شكل طبق:
انها مريحة جدا!
علامات المساواة في مثلثات الحق
أولا على قدمين
ثانيًا. عن طريق الساق والوتر
ثالثا. عن طريق الوتر والزاوية الحادة
رابعا. على طول الساق وزاوية حادة
أ) 
ب) 
انتباه! هنا من المهم جدًا أن تكون الأرجل "متطابقة". على سبيل المثال ، إذا سارت الأمور على هذا النحو:
وبالتالي فإن المثلثات ليست متساوية، على الرغم من حقيقة أن لديهم زاوية حادة واحدة متطابقة.
بحاجة ل في كلا المثلثين ، كانت الساق متجاورة ، أو في كلاهما - متقابلة.
هل لاحظت كيف تختلف علامات المساواة في المثلثات القائمة عن العلامات المعتادة لتساوي المثلثات؟ انظر إلى موضوع "وانتبه إلى حقيقة أنه من أجل المساواة بين المثلثات" العادية "، تحتاج إلى المساواة بين عناصرها الثلاثة: ضلعان وزاوية بينهما ، وزاويتان وضلع بينهما ، أو ثلاثة جوانب. ولكن من أجل المساواة بين المثلثات القائمة الزاوية ، يكفي عنصران متطابقان فقط. إنه رائع ، أليس كذلك؟
تقريبا نفس الموقف مع علامات تشابه المثلثات القائمة.
علامات تشابه المثلثات القائمة
I. ركن حاد
ثانيًا. على قدمين
ثالثا. عن طريق الساق والوتر
الوسيط في مثلث قائم الزاوية
لماذا هو كذلك؟
ضع في اعتبارك مستطيلًا كاملاً بدلاً من مثلث قائم الزاوية.
لنرسم قطريًا وننظر في نقطة - نقطة تقاطع الأقطار. ماذا تعرف عن أقطار المستطيل؟
وماذا يتبع هذا؟
لذلك حدث ذلك
- - الوسيط:
تذكر هذه الحقيقة! يساعد كثيرا!
الأمر الأكثر إثارة للدهشة هو أن العكس صحيح أيضًا.
ما الفائدة التي يمكن جنيها من حقيقة أن الوسيط المرسوم على الوتر يساوي نصف الوتر؟ دعونا نلقي نظرة على الصورة
انظر بتمعن. لدينا: أي أن المسافات من النقطة إلى جميع الرؤوس الثلاثة للمثلث تبين أنها متساوية. لكن في المثلث توجد نقطة واحدة فقط ، والمسافات التي تتساوى منها رؤوس المثلث الثلاثة تقريبًا ، وهذا هو مركز الدائرة المحدد. اذا ماذا حصل؟
لذلك لنبدأ بهذا "إلى جانب ...".
لنلق نظرة على أنا.
لكن في مثلثات متشابهة كل الزوايا متساوية!
يمكن قول الشيء نفسه عن و
الآن دعنا نرسمها معًا:
ما الفائدة التي يمكن استخلاصها من هذا التشابه "الثلاثي".
حسنًا ، على سبيل المثال - صيغتان لارتفاع المثلث القائم.
نكتب العلاقات بين الأطراف المقابلة:
لإيجاد الارتفاع ، نحل النسبة ونحصل على الصيغة الأولى "الارتفاع في مثلث قائم الزاوية":
لذلك ، دعنا نطبق التشابه:.
ماذا سيحدث الان؟
مرة أخرى نحل النسبة ونحصل على الصيغة الثانية:
يجب تذكر كلتا الصيغتين جيدًا والصيغة الأكثر ملاءمة للتطبيق. دعنا نكتبها مرة أخرى.
نظرية فيثاغورس:
في المثلث القائم ، مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الأرجل :.
علامات المساواة في مثلثات الحق:
- على قدمين:
- على طول الساق والوتر: أو
- على طول الرجل والزاوية الحادة المجاورة: أو
- على طول الرجل والزاوية الحادة المقابلة: أو
- بالوتر والزاوية الحادة: أو.
علامات تشابه المثلثات القائمة على اليمين:
- زاوية حادة واحدة: أو
- من تناسب الرجلين:
- من تناسب الساق والوتر: أو.
الجيب وجيب التمام والظل والظل في مثلث قائم الزاوية
- جيب الزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية هو نسبة الساق المقابلة إلى الوتر:
- جيب تمام الزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة إلى الوتر:
- ظل الزاوية الحادة لمثلث قائم الزاوية هو نسبة الضلع المقابلة إلى المجاورة:
- ظل التمام لزاوية حادة لمثلث قائم الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة إلى الضلع المقابل :.
ارتفاع المثلث القائم: أو.
في المثلث القائم ، الوسيط المرسوم من رأس الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر:.
مساحة المثلث القائم:
- من خلال القسطرة: