نوع المعادلة التفاضلية. حل أبسط المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

تذكر المشكلة التي واجهناها عند إيجاد تكاملات محددة:

أو dy = f (x) dx. حلها:

ويتلخص في الحساب تكامل غير محدد. من الناحية العملية ، تكون المهمة الأكثر صعوبة هي الأكثر شيوعًا: العثور على وظيفة ذ، إذا كان معروفًا أنه يفي بعلاقة النموذج

هذه العلاقة تتعلق بالمتغير المستقل x، وظيفة غير معروفة ذومشتقاته حتى النظام نشاملة ، تسمى .

تتضمن المعادلة التفاضلية دالة تحت علامة المشتقات (أو الفروق) من أمر واحد أو آخر. يسمى ترتيب الأعلى بالترتيب (9.1) .

المعادلات التفاضلية:

- الطلب الأول

الدرجة الثانية،

- الترتيب الخامس ، إلخ.

الوظيفة التي تحقق معادلة تفاضلية معينة تسمى حلها , أو متكامل . لحلها يعني إيجاد كل الحلول. إذا كان للوظيفة المطلوبة ذنجحنا في الحصول على صيغة تقدم كل الحلول ، ثم نقول وجدنا حلها العام , أو التكامل العام .

قرار مشترك يتضمن نثوابت اعتباطية ويشبه

إذا تم الحصول على علاقة تتعلق س ، صو نالثوابت التعسفية بشكل لا يسمح به فيما يتعلق ذ -

ثم تسمى هذه العلاقة التكامل العام للمعادلة (9.1).

مشكلة كوشي

كل حل محدد ، أي كل وظيفة محددة تفي بمعادلة تفاضلية معينة ولا تعتمد على ثوابت عشوائية ، تسمى حلاً معينًا , أو تكامل خاص. للحصول على حلول معينة (تكاملات) من الحلول العامة ، من الضروري إرفاق قيم عددية محددة بالثوابت.

يسمى الرسم البياني لحل معين منحنى متكامل. الحل العام ، الذي يحتوي على جميع الحلول الخاصة ، هو مجموعة من المنحنيات المتكاملة. بالنسبة لمعادلة من الدرجة الأولى ، تعتمد هذه العائلة على ثابت تعسفي واحد ؛ للمعادلة نالترتيب عشر - من نثوابت اعتباطية.

تتمثل مشكلة كوشي في إيجاد حل معين للمعادلة نالترتيب ، مرضية ن الشروط الأولية:

التي تحدد ن ثوابت с 1، с 2، ...، c n.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

بالنسبة للمشتق الذي لم يتم حله ، فإن المعادلة التفاضلية من الترتيب الأول لها الشكل

أو المسموح به نسبيًا

مثال 3.46. ابحث عن حل عام للمعادلة

حل.التكامل ، نحصل عليه

حيث C ثابت تعسفي. إذا قدمنا قيمًا عددية محددة لـ C ، فسنحصل على حلول معينة ، على سبيل المثال ،

مثال 3.47. ضع في اعتبارك زيادة مبلغ الأموال المودعة في البنك ، مع مراعاة استحقاق 100 ص الفائدة المركبة في السنة. دع Yo هو المبلغ الأولي للمال ، و Yx بعد انتهاء الصلاحية xسنين. عندما تحسب الفائدة مرة واحدة في السنة ، نحصل عليها

حيث x = 0، 1، 2، 3 .... عندما تحسب الفائدة مرتين في السنة نحصل عليها

حيث x = 0، 1/2، 1، 3/2، .... عند حساب الفائدة نمرة في السنة و إذا كان xيأخذ على التوالي القيم 0 ، 1 / n ، 2 / n ، 3 / n ، ... ، إذن

ضع علامة 1 / n = h ، ثم ستبدو المساواة السابقة كما يلي:

مع تكبير غير محدود ن(في ) في الحد الأقصى نصل إلى عملية زيادة مبلغ المال مع تراكم الفائدة المستمر:

وبالتالي ، يمكن ملاحظة ذلك مع التغيير المستمر xيتم التعبير عن قانون التغيير في المعروض النقدي من خلال معادلة تفاضلية من الترتيب الأول. حيث Y x هي دالة غير معروفة ، x- متغير مستقل، ص- ثابت. نحل هذه المعادلة ، لذلك نعيد كتابتها على النحو التالي:

أين ، أو ، حيث P تعني e C.

من الشروط الأولية Y (0) = Yo ، نجد P: Yo = Pe o ، حيث Yo = P. لذلك ، يبدو الحل كما يلي:

تأمل المشكلة الاقتصادية الثانية. يتم وصف نماذج الاقتصاد الكلي أيضًا بواسطة المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى ، والتي تصف التغيير في الدخل أو الناتج Y كدالة للوقت.

مثال 3.48. دع الدخل القومي Y يزداد بمعدل يتناسب مع قيمته:

ودعونا ، فإن العجز في الإنفاق الحكومي يتناسب طرديا مع الدخل Y مع معامل التناسب ف. يؤدي العجز في الإنفاق إلى زيادة الدين القومي د:

الشروط الأولية Y = Yo و D = Do عند t = 0. من المعادلة الأولى Y = Yoe kt. استبدال Y نحصل على dD / dt = qYoe kt. الحل العام له الشكل
D = (q / k) Yoe kt + С ، حيث С = const ، والتي يتم تحديدها من الشروط الأولية. باستبدال الشروط الأولية ، نحصل على Do = (q / k) Yo + C.

D = Do + (q / k) Yo (e kt -1) ،

وهذا يدل على أن الدين القومي يتزايد بنفس المعدل النسبي كوهو الدخل القومي.

لنفكر أكثر المعادلات التفاضلية نترتيب ، هذه معادلات من النموذج

يمكن الحصول على حلها العام باستخدام نأوقات التكامل.

مثال 3.49.خذ بعين الاعتبار المثال y "" "= cos x.

حل.التكامل ، نجد

الحل العام له الشكل

المعادلات التفاضلية الخطية

في الاقتصاد ، إنها ذات فائدة كبيرة ، فكر في حل مثل هذه المعادلات. إذا كان (9.1) يحتوي على النموذج:

ثم يطلق عليه خطي ، حيث يتم إعطاء وظائف po (x) و p1 (x) و ... و pn (x) و f (x). إذا كانت f (x) = 0 ، فإن (9.2) تسمى متجانسة ، وإلا فإنها تسمى غير متجانسة. الحل العام للمعادلة (9.2) يساوي مجموع أي من حلولها الخاصة ص (س)والحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة لها:

إذا كانت المعاملات p o (x) ، p 1 (x) ، ... ، p n (x) ثوابت ، إذن (9.2)

(9.4) تسمى معادلة تفاضلية خطية مع معاملات ترتيب ثابتة ن .

(9.4) لها الشكل:

يمكننا التحديد دون فقدان العمومية p o = 1 وكتابة (9.5) في النموذج

سنبحث عن حل (9.6) بالصيغة y = e kx ، حيث k ثابت. لدينا: ؛ y "= ke kx، y" "= k 2 e kx، ...، y (n) = kne kx. استبدل التعبيرات التي تم الحصول عليها في (9.6) ، سيكون لدينا:

(9.7) معادلة جبرية ، غير معروف لها ك، يطلق عليه صفة مميزة. المعادلة المميزة لها درجة نو نالجذور ، والتي يمكن أن تكون متعددة ومعقدة. لنفترض أن k 1 ، k 2 ، ... ، k n تكون حقيقية ومميزة ، إذن هي حلول خاصة (9.7) ، في حين أن العام

ضع في اعتبارك معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة:

معادلتها المميزة لها الشكل

(9.9)

المميّز D = p 2 - 4q ، اعتمادًا على علامة D ، هناك ثلاث حالات ممكنة.

1. إذا كانت D> 0 ، فإن الجذور k 1 و k 2 (9.9) حقيقيتان ومختلفتان ، والحل العام له الشكل:

حل.المعادلة المميزة: k 2 + 9 = 0 ، حيث k = ± 3i ، a = 0 ، b = 3 ، الحل العام هو:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

تُستخدم المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية لدراسة نموذج اقتصادي يشبه الويب مع مخزون من السلع ، حيث يعتمد معدل تغير السعر P على حجم المخزون (انظر الفقرة 10). إذا كان العرض والطلب وظائف خطية للسعر ، أي ،

أ - هو ثابت يحدد معدل التفاعل ، ثم يتم وصف عملية تغيير السعر بمعادلة تفاضلية:

لحل معين ، يمكنك أن تأخذ ثابتًا

والتي لها معنى سعر التوازن. انحراف يفي بالمعادلة المتجانسة

(9.10)

ستكون المعادلة المميزة كما يلي:

في حالة ، المصطلح موجب. دل . جذور المعادلة المميزة k 1،2 = ± i w ، وبالتالي فإن الحل العام (9.10) له الشكل:

حيث C والثوابت التعسفية ، يتم تحديدها من الشروط الأولية. لقد حصلنا على قانون تغيير السعر في الوقت المناسب:

أدخل المعادلة التفاضلية الخاصة بك ، يتم استخدام الفاصلة العليا "" "لإدخال المشتق ، اضغط على إرسال واحصل على الحل

إما تم حلها بالفعل فيما يتعلق بالمشتق ، أو يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتق .

قرار مشترك المعادلات التفاضليةاكتب في الفاصل الزمني X، التي يتم تقديمها ، يمكن العثور عليها من خلال اتخاذ جزء لا يتجزأ من هذه المساواة.

يحصل .

إذا نظرنا إلى خصائص التكامل غير المحدد ، نجد الحل العام المطلوب:

ص = و (س) + ج,

أين و (س)- واحد من وظائف عكسية و (خ)ما بين أثنين X، أ معثابت تعسفي.

يرجى ملاحظة أن الفاصل الزمني في معظم المهام Xلا تشير. هذا يعني أنه يجب إيجاد حل للجميع. xوالتي من أجلها والوظيفة المطلوبة ذ، والمعادلة الأصلية منطقية.

إذا كنت بحاجة إلى حساب حل معين لمعادلة تفاضلية تحقق الشرط الأولي ص (س 0) = ص 0، ثم بعد حساب التكامل العام ص = و (س) + ج، لا يزال من الضروري تحديد قيمة الثابت C = C0باستخدام الشرط الأولي. هذا هو ثابت C = C0تحدد من المعادلة و (س 0) + ج = ص 0، وسيأخذ الحل المعين المطلوب للمعادلة التفاضلية الشكل:

ص = F (س) + C0.

فكر في مثال:

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية ، وتحقق من صحة النتيجة. لنجد حلاً معينًا لهذه المعادلة يلبي الشرط الأولي.

حل:

بعد دمج المعادلة التفاضلية المحددة ، نحصل على:

نأخذ هذا التكامل بطريقة التكامل بالأجزاء:

الذي - التي.، هو حل عام للمعادلة التفاضلية.

دعنا نتحقق للتأكد من صحة النتيجة. للقيام بذلك ، نعوض بالحل الذي وجدناه في المعادلة الآتية:

هذا هو ، في تتحول المعادلة الأصلية إلى هوية:

لذلك ، تم تحديد الحل العام للمعادلة التفاضلية بشكل صحيح.

الحل الذي توصلنا إليه هو الحل العام للمعادلة التفاضلية لكل منهما صالحقيم الحجة x.

يبقى حساب حل معين لـ ODE يفي بالشرط الأولي. بمعنى آخر ، من الضروري حساب قيمة الثابت مع، حيث ستكون المساواة صحيحة:

ثم استبدال ج = 2في الحل العام لـ ODE ، نحصل على حل معين للمعادلة التفاضلية التي تفي بالشرط الأولي:

المعادلة التفاضلية العادية يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتق عن طريق قسمة جزأين من المعادلة على و (خ). سيكون هذا التحول معادلاً إذا و (خ)لا تذهب إلى الصفر لأي xمن فترة تكامل المعادلة التفاضلية X.

من المحتمل عندما تكون المواقف ، بالنسبة لبعض قيم الحجة x ∈ Xالمهام و (خ)و ز (س)تتحول إلى الصفر في نفس الوقت. لقيم مماثلة xالحل العام للمعادلة التفاضلية هو أي دالة ذالتي تم تعريفها فيها ، لأن .

إذا لبعض قيم الحجة x ∈ Xتم استيفاء الشرط ، مما يعني أنه في هذه الحالة ليس لدى ODE حلول.

لجميع الآخرين xمن الفاصل Xيتم تحديد الحل العام للمعادلة التفاضلية من المعادلة المحولة.

لنلقِ نظرة على الأمثلة:

مثال 1

دعونا نجد الحل العام لـ ODE: .

حل.

يتضح من خصائص الوظائف الأولية الأساسية أن الوظيفة اللوغاريتم الطبيعييتم تعريفه لقيم الوسيطة غير السالبة ، وبالتالي فإن نطاق التعبير تسجيل (x + 3)هناك فترة x > -3 . ومن ثم ، فإن المعادلة التفاضلية المعطاة منطقية x > -3 . مع هذه القيم من الحجة ، والتعبير x + 3لا يتلاشى ، لذلك يمكن للمرء حل ODE فيما يتعلق بالمشتق عن طريق قسمة الجزأين على x + 3.

نحن نحصل .

بعد ذلك ، نقوم بدمج المعادلة التفاضلية الناتجة ، التي تم حلها فيما يتعلق بالمشتق: . لأخذ هذا التكامل ، نستخدم طريقة التصنيف تحت علامة التفاضل.

المعادلات التفاضلية (DE). هاتان الكلمتان عادة ما ترعبان الشخص العادي العادي. يبدو أن المعادلات التفاضلية أمر شائن ويصعب إتقانه للعديد من الطلاب. Uuuuuu… المعادلات التفاضلية كيف يمكنني النجاة من كل هذا ؟!

مثل هذا الرأي ومثل هذا الموقف هو خطأ جوهري ، لأنه في الواقع المعادلات التفاضلية بسيطة وممتعة حتى. ما الذي تحتاج إلى معرفته والقدرة على تعلم حل المعادلات التفاضلية؟ لدراسة الاختلافات بنجاح ، يجب أن تكون جيدًا في الدمج والتمييز. كلما تمت دراسة المواضيع بشكل أفضل مشتق دالة لمتغير واحدو تكامل غير محدد، سيكون من الأسهل فهم المعادلات التفاضلية. سأقول أكثر من ذلك ، إذا كانت لديك مهارات تكامل أكثر أو أقل ، فسيتم إتقان الموضوع عمليًا! المزيد من التكاملات أنواع مختلفةأنت تعرف كيف تقرر - كان ذلك أفضل. لماذا؟ لأنه عليك الاندماج كثيرًا. وتفرق. أيضًا موصى بة بشدةتعلم أن تجد مشتق من وظيفة محددة ضمنيًا.

في 95٪ من الحالات في مراقبة العملهناك ثلاثة أنواع من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى: المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل ، والتي سننظر فيها في هذا الدرس ؛ معادلات متجانسةو معادلات خطية غير متجانسة. للمبتدئين لدراسة الناشرون ، أنصحك بقراءة الدروس بهذا الترتيب. هناك أنواع نادرة من المعادلات التفاضلية: المعادلات في مجموع الفروق, معادلات برنوليوالبعض الآخر. من النوعين الأخيرين ، الأهم هي المعادلات في مجموع التفاضلات ، لأنه بالإضافة إلى DE ، أعتبر مواد جديدةهو تكامل معين.

لنلقِ نظرة على المعادلات المعتادة أولاً. تحتوي على متغيرات وأرقام. أبسط مثال:. ماذا يعني حل معادلة عادية؟ هذا يعني أن تجد مجموعة من الأرقامالتي ترضي هذه المعادلة. من السهل ملاحظة أن معادلة الأبناء لها جذر واحد:. من أجل المتعة ، دعنا نجري فحصًا ، استبدل الجذر الموجود في معادلتنا:

- يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل موجود بشكل صحيح.

يتم ترتيب النشرات بنفس الطريقة إلى حد كبير!

المعادلة التفاضلية الطلب الأول, يتضمن:
1) متغير مستقل ؛
2) المتغير التابع (الوظيفة) ؛
3) المشتق الأول للدالة:.

في بعض الحالات ، قد لا تحتوي معادلة الدرجة الأولى على "x" أو (و) "y" - مهمبحيث في DU كانالمشتق الأول و لم يكن لديمشتقات الطلبات الأعلى - إلخ.

ماذا يعني ؟لحل المعادلة التفاضلية يعني إيجاد العديد من الوظائفالتي ترضي هذه المعادلة. هذه المجموعة من الوظائف تسمى الحل العام للمعادلة التفاضلية.

مثال 1

حل المعادلة التفاضلية

ذخيرة كاملة. من أين نبدأ في حل أي معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى؟

أولًا ، عليك إعادة كتابة المشتق بصيغة مختلفة قليلًا. نتذكر الترميز المرهق للمشتق:. ربما بدا مثل هذا التعيين للمشتق بالنسبة للكثيرين منكم سخيفًا وغير ضروري ، لكن هذا هو بالضبط ما يحكم في الاختلافات!

لذلك ، في المرحلة الأولى ، نعيد كتابة المشتق بالشكل الذي نحتاجه:

في المرحلة الثانية دائماًنرى ما إذا كنا نستطيع متغيرات الانقسام؟ماذا يعني فصل المتغيرات؟ تحدث تقريبا، على الجانب الأيسرنحن بحاجة للمغادرة فقط "ألعاب"، أ على الجانب الأيمنتنظم س فقط. يتم فصل المتغيرات بمساعدة التلاعب في "المدرسة": الأقواس ، ونقل المصطلحات من جزء إلى آخر مع تغيير علامة ، ونقل العوامل من جزء إلى جزء وفقًا لقاعدة التناسب ، إلخ.

الفوارق كاملة المضاعفات والمشاركين النشطين في الأعمال العدائية. في هذا المثال ، يمكن فصل المتغيرات بسهولة عن طريق التقليب العوامل وفقًا لقاعدة التناسب:

يتم فصل المتغيرات. على الجانب الأيسر - فقط "لعبة" ، على الجانب الأيمن - فقط "X".

المرحلة القادمة - تكامل المعادلة التفاضلية. الأمر بسيط ، فنحن نعلق التكاملات على كلا الجزأين:

بالطبع ، يجب أخذ التكاملات. في هذه الحالة ، تكون جدولة:

كما نتذكر ، يتم تخصيص ثابت لأي مشتق عكسي. يوجد تكاملان هنا ، لكن يكفي كتابة الثابت مرة واحدة. غالبًا ما يُنسب إلى الجانب الأيمن.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، بعد أخذ التكاملات ، تعتبر المعادلة التفاضلية قد تم حلها. الشيء الوحيد هو أن "y" الخاص بنا لا يتم التعبير عنه من خلال "x" ، أي أن الحل مقدم في الضمنياستمارة. يسمى الحل الضمني للمعادلة التفاضلية التكامل العام للمعادلة التفاضلية. هذا هو ، هو التكامل العام.

نحتاج الآن إلى محاولة إيجاد حل عام ، وهو محاولة تمثيل الدالة بشكل صريح.

يرجى تذكر الأسلوب الأول ، فهو شائع جدًا وغالبًا ما يستخدم في المهام العملية. عندما يظهر اللوغاريتم على الجانب الأيمن بعد التكامل ، فمن المستحسن دائمًا كتابة الثابت أيضًا تحت اللوغاريتم.

إنه، بدلاً منعادة ما يتم كتابة السجلات .

هنا ، هو نفس الثابت الكامل مثل. لماذا هذا مطلوب؟ ولتسهيل التعبير عن "y". نستخدم ممتلكات المدرسة من اللوغاريتمات: . في هذه الحالة:

يمكن الآن إزالة اللوغاريتمات والوحدات النمطية من كلا الجزأين بضمير مرتاح:

يتم تقديم الوظيفة بشكل صريح. هذا هو الحل العام.

الكثير من الميزات هو الحل العام للمعادلة التفاضلية.

بإعطاء قيم مختلفة ثابتة ، يمكنك الحصول على عدد لا نهائي من قرارات خاصةالمعادلة التفاضلية. أي من الوظائف ، إلخ. سوف تفي بالمعادلة التفاضلية.

في بعض الأحيان يسمى الحل العام عائلة الوظائف. في هذا المثال ، الحل العام - هذه عائلة وظائف خطية، أو بالأحرى ، عائلة من النسب المباشرة.

من السهل التحقق من العديد من المعادلات التفاضلية. يتم ذلك بكل بساطة ، نأخذ الحل الموجود ونجد المشتق:

نعوض بالحل والمشتق الموجود في المعادلة الأصلية:

- يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل موجود بشكل صحيح. بمعنى آخر ، الحل العام يلبي المعادلة.

بعد مناقشة مفصلة للمثال الأول ، من المناسب الإجابة على بعض الأسئلة الساذجة حول المعادلات التفاضلية.

1)في هذا المثال ، تمكنا من فصل المتغيرات:. هل من الممكن دائما أن تفعل هذا؟لا، ليس دائما. وحتى في كثير من الأحيان لا يمكن فصل المتغيرات. على سبيل المثال ، في معادلات متجانسة من الدرجة الأولىيجب استبداله أولا. في أنواع أخرى من المعادلات ، على سبيل المثال ، في معادلة خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى، تحتاج إلى استخدام الحيل المختلفةوطرق إيجاد حل عام. المعادلات المتغيرة القابلة للفصل التي نأخذها في الاعتبار في الدرس الأول هي أبسط نوع من المعادلات التفاضلية.

2) هل من الممكن دائمًا تكامل معادلة تفاضلية؟لا، ليس دائما. من السهل جدًا التوصل إلى معادلة "خيالية" لا يمكن دمجها ، بالإضافة إلى وجود تكاملات لا يمكن أخذها. لكن يمكن حل مثل هذه العناصر تقريبًا باستخدام طرق خاصة. ضمان D'Alembert و Cauchy. ... لاف ، lurkmore.ru قرأت الكثير.

3) في هذا المثال ، حصلنا على حل في شكل تكامل عام . هل من الممكن دائمًا إيجاد حل عام من التكامل العام ، أي التعبير عن "y" بشكل صريح؟لا، ليس دائما. على سبيل المثال: . حسنًا كيف يمكنني التعبير عن "y" هنا ؟! في مثل هذه الحالات ، يجب كتابة الإجابة كجزء متكامل عام. بالإضافة إلى ذلك ، في بعض الأحيان يمكن العثور على حل عام ، ولكن يتم كتابته بشكل مرهق وغير متقن لدرجة أنه من الأفضل ترك الإجابة في شكل تكامل عام

دعونا لا نسرع. جهاز تحكم عن بعد بسيط آخر وحل نموذجي آخر.

مثال 2

ابحث عن حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي

الشرط هو أن تجد قرار خاص DE الذي يفي بالشرط الأولي. يسمى هذا النوع من الاستجواب أيضًا مشكلة كوشي.

أولاً ، نجد حلاً عامًا. لا يوجد متغير "x" في المعادلة ، لكن هذا لا ينبغي أن يكون محرجًا ، الشيء الرئيسي هو أنه يحتوي على المشتق الأول.

نعيد كتابة المشتق بالشكل المطلوب:

من الواضح أنه يمكن تقسيم المتغيرات ، الأولاد على اليسار ، البنات على اليمين:

ندمج المعادلة:

يتم الحصول على التكامل العام. لقد رسمت هنا ثابتًا بنجمة مميزة ، والحقيقة هي أنه سيتحول قريبًا إلى ثابت آخر.

نحاول الآن تحويل التكامل العام إلى حل عام (عبر عن "y" صراحة). نتذكر المدرسة القديمة الجيدة: . في هذه الحالة:

لا يبدو الثابت في المؤشر بطريقة ما كوشير ، لذلك عادةً ما يتم إنزاله من السماء إلى الأرض. بالتفصيل ، يحدث مثل هذا. باستخدام خاصية الدرجات ، نعيد كتابة الدالة على النحو التالي:

إذا كان ثابتًا ، فهو أيضًا ثابت ، والذي نشير إليه بالحرف:

تذكر "انجراف" الثابت ، فهذه هي التقنية الثانية التي تُستخدم غالبًا في سياق حل المعادلات التفاضلية.

لذا فإن الحل العام هو: هذه عائلة لطيفة من الوظائف الأسية.

في المرحلة النهائية ، تحتاج إلى إيجاد حل معين يلبي الشرط الأولي المحدد. إنه بسيط أيضًا.

ما هي المهمة؟ بحاجة لالتقاط هذهقيمة الثابت بحيث يتم استيفاء الشرط الأولي المحدد.

يمكنك ترتيبها بطرق مختلفة ، ولكن ربما يكون الأمر الأكثر قابلية للفهم على هذا النحو. في الحل العام ، بدلاً من "x" ، نعوض بصفر ، وبدلاً من "y" ، نعوض اثنين:

إنه،

إصدار التصميم القياسي:

نعوض بالقيمة التي تم العثور عليها للثابت في الحل العام:
- هذا هو الحل المحدد الذي نحتاجه.

لنقم بفحص. يتضمن التحقق من حل معين مرحلتين.

أولاً ، من الضروري التحقق مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يلبي بالفعل الشرط الأولي؟ بدلاً من "x" نستبدل الصفر ونرى ما سيحدث:
- نعم ، في الواقع ، تم الحصول على شيطان ، مما يعني أن الشرط الأولي مستوفى.

المرحلة الثانية مألوفة بالفعل. نأخذ الحل المعين الناتج ونجد المشتق:

استبدل في المعادلة الأصلية:

- الحصول على المساواة الصحيحة.

الخلاصة: تم العثور على حل معين بشكل صحيح.

دعنا ننتقل إلى أمثلة أكثر أهمية.

مثال 3

حل المعادلة التفاضلية

حل:نعيد كتابة المشتق بالشكل الذي نحتاجه:

تقييم ما إذا كان يمكن فصل المتغيرات؟ يستطيع. ننقل المصطلح الثاني إلى الجانب الأيمن مع تغيير العلامة:

ونقلب العوامل حسب قاعدة التناسب:

تم فصل المتغيرات ، دعنا ندمج كلا الجزأين:

يجب أن أحذرك ، يوم القيامة قادم. إذا لم تكن قد تعلمت جيدًا تكاملات غير محددة، تم حل بعض الأمثلة ، فلا يوجد مكان تذهب إليه - عليك إتقانها الآن.

يسهل العثور على تكامل الجانب الأيسر ، مع تكامل ظل التمام نتعامل مع التقنية القياسية التي أخذناها في الاعتبار في الدرس اندماج الدوال المثلثية العام الماضي:

على الجانب الأيمن ، حصلنا على لوغاريتم ، وفقًا لتوصيتي الفنية الأولى ، في هذه الحالة ، يجب أيضًا كتابة الثابت تحت اللوغاريتم.

الآن نحاول تبسيط التكامل العام. نظرًا لأن لدينا لوغاريتمات فقط ، فمن الممكن (والضروري) التخلص منها. نحن "نحزم" اللوغاريتمات قدر الإمكان. يتم التغليف باستخدام ثلاث خصائص:

يرجى إعادة كتابة هذه الصيغ الثلاث لنفسك في دفتر العمل، يتم استخدامها في كثير من الأحيان عند حل مشكلة الانتشار.

سأكتب الحل بتفصيل كبير:

التعبئة كاملة ، قم بإزالة اللوغاريتمات:

هل من الممكن التعبير عن "y"؟ يستطيع. كلا الجزأين يجب تربيعهما. لكن ليس عليك ذلك.

النصيحة التقنية الثالثة:إذا ، للحصول على حل عام ، تحتاج إلى الارتقاء إلى قوة أو أن تتجذر ، إذن في معظم الحالاتيجب أن تمتنع عن هذه الإجراءات وتترك الإجابة في شكل تكامل عام. الحقيقة هي أن الحل العام سيبدو طنانًا ورهيبًا - بجذور وعلامات كبيرة.

لذلك ، نكتب الإجابة كتكامل عام. يعتبر تقديم التكامل العام في النموذج شكلًا جيدًا ، أي اترك ثابتًا على الجانب الأيمن إن أمكن. ليس من الضروري القيام بذلك ، لكن من المفيد دائمًا إرضاء الأستاذ ؛-)

إجابة:التكامل العام:

ملحوظة:يمكن كتابة التكامل العام لأي معادلة بأكثر من طريقة. وبالتالي ، إذا لم تتطابق نتيجتك مع إجابة معروفة مسبقًا ، فهذا لا يعني أنك حللت المعادلة بشكل غير صحيح.

يتم أيضًا التحقق من التكامل العام بسهولة تامة ، والشيء الرئيسي هو أن تكون قادرًا على العثور عليه مشتقات دالة محددة ضمنيًا. لنفرق الجواب:

نضرب كلا المصطلحين في:

ونقسم على:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية بالضبط ، مما يعني أنه تم إيجاد التكامل العام بشكل صحيح.

مثال 4

ابحث عن حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي. قم بإجراء فحص.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". أذكرك أن مشكلة كوشي تتكون من مرحلتين:
1) إيجاد حل عام.
2) إيجاد حل معين.

يتم إجراء الفحص أيضًا على مرحلتين (انظر أيضًا عينة المثال 2) ، تحتاج إلى:
1) تأكد من أن الحل المعين الذي تم العثور عليه يلبي الشرط الأولي حقًا.
2) تحقق من أن حلًا معينًا يفي بالمعادلة التفاضلية بشكل عام.

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

مثال 5

ابحث عن حل معين لمعادلة تفاضلية ، واستيفاء الشرط الأولي. قم بإجراء فحص.

حل:أولاً ، لنجد حلًا عامًا ، تحتوي هذه المعادلة بالفعل على متفاضلات جاهزة ، مما يعني أن الحل مبسط. فصل المتغيرات:

ندمج المعادلة:

التكامل على اليسار جدولي ، والتكامل على اليمين مأخوذ طريقة جمع الدالة تحت علامة التفاضل:

تم الحصول على التكامل العام ، هل من الممكن التعبير عن الحل العام بنجاح؟ يستطيع. نعلق اللوغاريتمات:

(أتمنى أن يفهم الجميع التحول ، يجب أن تكون هذه الأشياء معروفة بالفعل)

لذا فإن الحل العام هو:

لنجد حلاً معينًا يتوافق مع الشرط الأولي المحدد. في الحل العام ، بدلاً من "x" ، نعوض بصفر ، وبدلاً من "y" ، لوغاريتم اثنين:

تصميم مألوف أكثر:

نعوض بالقيمة التي تم إيجادها للثابت في الحل العام.

إجابة:حل خاص:

تحقق: أولاً ، تحقق مما إذا تم استيفاء الشرط الأولي:
- كل شيء بخير.

دعنا الآن نتحقق مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يفي بالمعادلة التفاضلية على الإطلاق. نجد المشتق:

لنلقِ نظرة على المعادلة الأصلية: - يتم تقديمه في تفاضلات. هناك طريقتان للتحقق. من الممكن التعبير عن التفاضل من المشتق الموجود:

نعوض بالحل المعين الموجود والمشتق الناتج في المعادلة الأصلية :

نحن نستخدم الملف الرئيسي الهوية اللوغاريتمية :

يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن الحل المحدد موجود بشكل صحيح.

الطريقة الثانية للتدقيق معكوسة ومألوفة أكثر: من المعادلة عبر عن المشتق ، لذلك نقسم كل القطع على:

وفي DE المحول نستبدل الحل المعين الذي تم الحصول عليه والمشتق الموجود. نتيجة للتبسيط ، يجب أيضًا الحصول على المساواة الصحيحة.

مثال 6

حل المعادلة التفاضلية. عبر عن الإجابة باعتبارها جزءًا لا يتجزأ من عامة.

هذا مثال على الحل الذاتي والحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ما هي الصعوبات التي تنتظر حل المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة؟

1) ليس من الواضح دائمًا (خاصةً إبريق الشاي) أنه يمكن فصل المتغيرات. يعتبر مثال شرطي:. هنا تحتاج إلى إخراج العوامل من الأقواس: وفصل الجذور:. كيفية المضي قدمًا واضحة.

2) صعوبات في الاندماج نفسه. غالبًا ما تنشأ التكاملات ليست أبسطها ، وإذا كانت هناك عيوب في مهارات البحث تكامل غير محدد، عندها سيكون الأمر صعبًا مع العديد من الموزعات. بالإضافة إلى ذلك ، فإن المنطق "بما أن المعادلة التفاضلية بسيطة ، لذا اجعل التكاملات أكثر تعقيدًا" شائعًا بين مجمعي المجموعات والأدلة.

3) التحولات ذات ثابت. كما لاحظ الجميع ، مع وجود ثابت في المعادلات التفاضلية ، يمكنك فعل أي شيء تقريبًا. وليست هذه التحولات واضحة دائمًا للمبتدئين. ضع في اعتبارك مثالًا شرطيًا آخر: . في ذلك ، يُنصح بضرب جميع المصطلحات في 2: . الثابت الناتج هو أيضًا نوع من الثابت ، والذي يمكن الإشارة إليه من خلال: . نعم ، ونظرًا لوجود لوغاريتم على الجانب الأيمن ، فمن المستحسن إعادة كتابة الثابت باعتباره ثابتًا آخر: .

المشكلة هي أنهم في كثير من الأحيان لا يهتمون بالمؤشرات ، ويستخدمون نفس الحرف. ونتيجة لذلك يتخذ محضر القرار الشكل التالي:

بحق الجحيم؟ ها هي الأخطاء. رسميا ، نعم. وبشكل غير رسمي - لا يوجد خطأ ، من المفهوم أنه عند تحويل ثابت ، لا يزال يتم الحصول على ثابت آخر.

أو في مثل هذا المثال ، افترض أنه أثناء حل المعادلة ، يتم الحصول على تكامل عام. تبدو هذه الإجابة قبيحة ، لذا يُنصح بتغيير علامات جميع المضاعفات: . رسميًا ، وفقًا للسجل ، هناك خطأ مرة أخرى ، كان يجب كتابته. لكن من المفهوم ضمنيًا أنه - لا يزال ثابتًا آخر (كل ما يمكن أن يأخذ أي قيمة) ، لذا فإن تغيير إشارة الثابت لا معنى له ويمكنك استخدام نفس الحرف.

سأحاول تجنب أسلوب الإهمال ، مع الاستمرار في وضع فهارس مختلفة للثوابت عند تحويلها.

مثال 7

حل المعادلة التفاضلية. قم بإجراء فحص.

حل:تسمح هذه المعادلة بفصل المتغيرات. فصل المتغيرات:

ندمج:

لا يجب تعريف الثابت هنا تحت اللوغاريتم ، لأنه لن يأتي منه أي خير.

إجابة:التكامل العام:

تحقق: ميّز الإجابة (وظيفة ضمنية):

نتخلص من الكسور ، لذلك نضرب كلا الحدين في:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية ، مما يعني أنه تم إيجاد التكامل العام بشكل صحيح.

المثال 8

ابحث عن حل خاص لـ DE.
,

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". التعليق الوحيد ، هنا تحصل على تكامل عام ، والأصح ، تحتاج إلى التفكير في إيجاد ليس حلًا معينًا ، ولكن تكامل خاص. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

كما ذكرنا سابقًا ، في مختلف المناطق ذات المتغيرات القابلة للفصل ، لا تظهر أبسط التكاملات غالبًا. وإليك بعض الأمثلة لحل مستقل. أوصي الجميع بحل الأمثلة رقم 9-10 ، بغض النظر عن مستوى التدريب ، فهذا سيسمح لك بتحديث مهارات إيجاد التكاملات أو سد الفجوات المعرفية.

المثال 9

حل المعادلة التفاضلية

المثال 10

حل المعادلة التفاضلية

تذكر أنه يمكن كتابة التكامل العام بأكثر من طريقة ، وقد يختلف مظهر إجاباتك عنها مظهراجاباتي. السكتة الدماغية قصيرةالحلول والأجوبة في نهاية الدرس.

ترقية ناجحة!

المثال 4:حل: دعنا نجد حلا عاما. فصل المتغيرات:

ندمج:

تم الحصول على التكامل العام ، نحاول تبسيطه. نحزم اللوغاريتمات ونتخلص منها:

ال آلة حاسبة على الانترنتيسمح لك بحل المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت. يكفي إدخال المعادلة في الحقل المناسب ، مع الإشارة إلى "مشتق الوظيفة" بعلامة اقتباس أحادية والنقر فوق الزر "حل المعادلة". وسيعطي النظام المطبق على أساس موقع WolframAlpha الشهير شرحًا تفصيليًا حل المعادلة التفاضليةبحرية مطلقة. يمكنك أيضًا ضبط مشكلة Cauchy بحيث يتم ذلك من المجموعة بأكملها الحلول الممكنةاختر حاصل قسمة يتوافق مع الشروط الأولية المحددة. يتم إدخال مشكلة كوشي في حقل منفصل.

المعادلة التفاضلية

بشكل افتراضي ، في المعادلة ، الوظيفة ذهي دالة لمتغير x. ومع ذلك ، يمكنك تعيين تدوين المتغير الخاص بك ، إذا كتبت ، على سبيل المثال ، y (t) في معادلة ، فسوف تتعرف الآلة الحاسبة تلقائيًا على ذلك ذهي دالة لمتغير ر. مع الآلة الحاسبة يمكنك ذلك حل المعادلات التفاضليةمن أي تعقيد ونوع: متجانسة وغير متجانسة ، خطية أو غير خطية ، الرتبة الأولى أو الثانية والأعلى ، المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل أو غير القابلة للفصل ، إلخ. فرق الحل. يتم إعطاء المعادلة في شكل تحليلي ، لديها وصف مفصل. المعادلات التفاضلية شائعة جدًا في الفيزياء والرياضيات. بدون حساباتهم ، من المستحيل حل العديد من المشكلات (خاصة في الفيزياء الرياضية).

تتمثل إحدى خطوات حل المعادلات التفاضلية في تكامل الوظائف. هناك طرق قياسية لحل المعادلات التفاضلية. من الضروري إحضار المعادلات إلى النموذج مع المتغيرات القابلة للفصل y و x ودمج الوظائف المنفصلة بشكل منفصل. للقيام بذلك ، تحتاج في بعض الأحيان إلى إجراء بديل معين.