مقدمة……………………………………………………………. 3
I. الرسم البياني وظيفة من الدرجة الثانية، التي تحتوي على المتغير
تحت علامة القيمة المطلقة
1.1 التعريفات والخصائص الأساسية …………………………… 4
1.2 رسم دالة تربيعية تحتوي على
متغير تحت علامة الوحدة ……………………………… 5
ثانيًا. رسم دالة تربيعية تحتوي على
متغير تحت علامة الوحدة في البرنامج
مايكروسوفت اكسل…………………………………………………. 12
خاتمة…………………………………………………. …. 15
قائمة الأدب المستعمل …………………… ... …… .. 16
مقدمة
كان علي أن أقسم وقتي بين السياسة والمعادلات. ومع ذلك ، فإن المعادلات ، في رأيي ، أهم بكثير ، لأن السياسة موجودة فقط من أجل هذه اللحظةوستبقى المعادلات إلى الأبد.
عندما تشتمل المعادلات "القياسية" للخطوط والقطوع المكافئة والقطع الزائد على علامة المقياس ، تصبح رسومها البيانية غير عادية بل وجميلة. لمعرفة كيفية إنشاء مثل هذه الرسوم البيانية ، تحتاج إلى إتقان تقنيات تكوين الأشكال الأساسية ، وكذلك معرفة وفهم تعريف مقياس الرقم. في دورة الرياضيات المدرسية ، لا يتم النظر في الرسوم البيانية التي تحتوي على وحدة بالعمق الكافي ، ولهذا السبب أردت توسيع معرفتي حول هذا الموضوع ، لإجراء بحثي الخاص.
الغرض من العمل هو النظر في إنشاء رسم بياني لوظيفة تربيعية تحتوي على متغير تحت علامة الوحدة.
موضوع الدراسة: رسم بياني لوظيفة تربيعية.
موضوع الدراسة: التغييرات في الرسم البياني للدالة التربيعية حسب موقع علامة القيمة المطلقة.
مهام:
1) دراسة الأدبيات المتعلقة بخصائص القيمة المطلقة والدالة التربيعية.
2) تحقق من التغييرات في الرسم البياني للدالة التربيعية اعتمادًا على موقع علامة القيمة المطلقة.
3) تعلم كيفية رسم المعادلات باستخدام برامج الرسوم البيانية المختلفة ، بما في ذلك Microsoft Excel.
طرق البحث:
1) النظرية (المرحلة المنطقية للمعرفة) ؛
2) تجريبي (بحث ، تجربة) ؛
3) النمذجة.
الأهمية العملية لعملي هي:
1) في استخدام المعرفة المكتسبة في هذا الموضوع وتعميقها وتطبيقها على الدوال والمعادلات الأخرى.
2) في استخدام المهارات عمل بحثيفى المستقبل نشاطات التعلم.
I. رسم بياني لدالة تربيعية تحتوي على متغير تحت علامة القيمة المطلقة
1.1 التعريفات والخصائص الأساسية.
تعتبر الوظيفة من أهم المفاهيم الرياضية. الوظيفة هي اعتماد المتغير y على المتغير x ، حيث تتوافق كل قيمة من المتغير x مع قيمة واحدة للمتغير y.
طرق تعيين الوظيفة:
1) طريقة تحليلية (يتم تعيين الوظيفة باستخدام صيغة رياضية) ؛
2) طريقة الجدول (يتم تحديد الوظيفة باستخدام الجدول) ؛
3) الأسلوب الوصفي (تُعطى الوظيفة من خلال وصف لفظي) ؛
4) طريقة رسومية (يتم تعيين الوظيفة باستخدام رسم بياني).
الرسم البياني للدالة هو مجموعة من جميع نقاط مستوى الإحداثيات ، والتي تكون الأحرف الخاصة بها مساوية لقيمة الوسيطة ، والإحداثيات مساوية للقيم المقابلة للدالة.
الوظيفة المحددة بالصيغة y = ax2 + in + c ، حيث x و y متغيران ، والمعلمات a و b و c هي أي أرقام حقيقية ، و 0 تسمى تربيعية.
الرسم البياني للدالة y = ax2 + in + c هو قطع مكافئ ؛ محور تناظر القطع المكافئ y \ u003d ax2 + bx + c هو خط مستقيم ، بالنسبة لـ a> 0 يتم توجيه "فروع" القطع المكافئ لأعلى ، من أجل<0 – вниз.
لرسم دالة تربيعية ، تحتاج إلى:
1) ابحث عن إحداثيات رأس القطع المكافئ وقم بتمييزها في مستوى الإحداثيات ؛
2) بناء بضع نقاط أخرى تنتمي إلى القطع المكافئ ؛
3) قم بتوصيل النقاط المحددة بخط ناعم.
يتم تحديد إحداثيات رأس القطع المكافئ بواسطة الصيغ:
, .
القيمة المطلقة للرقم الموجب هي الرقم الموجب نفسه ، والقيمة المطلقة للرقم السالب هي الرقم الموجب المقابل. تؤخذ القيمة المطلقة للصفر مساوية للصفر ، أي
.
ملكيات:
1) القيمة المطلقة لمجموع الأرقام ليست أكبر من مجموع القيم المطلقة لشروطها ، أي
| أ + ب | | أ | + | ج |
2) لا تقل القيمة المطلقة للفرق بين رقمين عن الفرق بين القيم المطلقة لهذين الرقمين أي
| أ-ج | | أ | - | ج | أو | a-c | | ت | - | أ |
3) القيمة المطلقة للمنتج تساوي ناتج القيم المطلقة للعوامل ، أي
| أ في | = | أ | | في |
4) القيمة المطلقة للحاصل تساوي حاصل قسمة القيم المطلقة للمقسوم والمقسوم عليه ، أي
5) القيمة المطلقة للدرجة ذات العدد الصحيح الموجب تساوي نفس الدرجة من القيمة المطلقة للقاعدة ، أي
| و | = | أ | ن.
1.2 رسم دالة تربيعية تحتوي على متغير تحت علامة modulo.
…يمكن تطبيق المعلومات الرياضية بمهارة وربح فقط إذا تم استيعابها بشكل إبداعي ، بحيث يرى الطالب بنفسه كيف يمكن الوصول إليها بشكل مستقل.
أ. كولموغوروف.
لإنشاء رسوم بيانية للوظائف التي تحتوي على علامة الوحدة ، كما هو الحال في حل المعادلات ، ابحث أولاً عن جذور التعبيرات الموجودة أسفل علامة الوحدة. نتيجة لذلك ، يتم تقسيم المحور x إلى فترات. نقوم بإزالة علامات الوحدة ، مع أخذ كل تعبير في كل فترة بعلامة معينة ، والتي نجدها بطريقة الفاصل الزمني.
في كل فترة ، يتم الحصول على دالة بدون علامة المعامل. نبني رسمًا بيانيًا لكل دالة في كل فترة.
في أبسط الحالات ، عندما يكون هناك تعبير واحد فقط تحت علامة المقياس ولا توجد مصطلحات أخرى بدون علامة المقياس ، يمكنك رسم مخطط الوظيفة بحذف علامة المقياس ، ثم عرض جزء الرسم البياني الموجود في منطقة قيم ص سالبة فيما يتعلق بمحور الثور.
دعونا نعرض من خلال الأمثلة بعض التقنيات لبناء الرسوم البيانية للوظائف مع الوحدات.
مثال 1
أولاً ، نقوم ببناء القطع المكافئ y \ u003d x2-6x +5. للحصول منه على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d | x2 - 6x + 5 | ، تحتاج إلى استبدال كل نقطة من القطع المكافئ بإحداثيات سالبة بنقطة لها نفس الإحداثي ، ولكن مع الإحداثي المعاكس (موجب). بعبارة أخرى ، يجب استبدال جزء القطع المكافئ الواقع أسفل محور الثور بخط متماثل له فيما يتعلق بمحور الثور (الشكل 1).
مثال 2
ضع في اعتبارك الرسم البياني للدالة y = | x | 2–6x +5.
منذ | x | مربعة ، فبغض النظر عن علامة الرقم x بعد تربيعه ستكون موجبة. ويترتب على ذلك أن الرسم البياني للدالة y = | x | 2-6x +5 سيكون مطابقًا للرسم البياني للدالة y = x2 - 6x +5 ، أي رسم بياني لوظيفة لا تحتوي على علامة قيمة مطلقة (الشكل 2). 
الصورة 2
مثال 3
انظر إلى الرسم البياني للدالة y = x2 - 6 | x | +5.
باستخدام تعريف مقياس العدد ، نعوض الصيغة
ص = س 2 - 6 | س | +5
نحن الآن نتعامل مع مواصفات التبعية متعددة التعريف المعروفة. سنقوم ببناء رسم بياني مثل هذا:
1) قم ببناء القطع المكافئ y = x2-6x + 5 وقم بدائرة الجزء منه الذي يتوافق مع القيم غير السالبة لـ x ، أي الجزء الموجود على يمين المحور الصادي.
2) في نفس مستوى الإحداثيات ، نقوم ببناء القطع المكافئ y = x2 + 6x + 5 ونحيط بهذا الجزء منه الذي يتوافق مع القيم السالبة لـ x ، أي الجزء الموجود على يسار المحور ص. تشكل الأجزاء المحاطة بدائرة من القطع المكافئ معًا الرسم البياني للدالة y = x2 - 6 | x | +5 (الشكل 3).
ضع في اعتبارك الرسم البياني للدالة y = | x | 2-6 | x | +5.
لأن الرسم البياني للمعادلة y \ u003d | x | 2-6x +5 هو نفس الرسم البياني للوظيفة بدون علامة المعامل (تم النظر فيه في المثال 2) ، ويتبع ذلك الرسم البياني للوظيفة y \ u003d | x | 2-6 | س | +5 مطابق للرسم البياني للدالة y = x2 - 6 | x | +5 ، في المثال 3 (الشكل 3).
مثال 5
للقيام بذلك ، نقوم بإنشاء رسم بياني للوظيفة y \ u003d x2 - 6x. للحصول منه على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d | x2 - 6x | ، تحتاج إلى استبدال كل نقطة من القطع المكافئ بإحداثيات سالبة بنقطة لها نفس الإحداثي ، ولكن مع الإحداثي المقابل (موجب). بعبارة أخرى ، يجب استبدال جزء القطع المكافئ الواقع أسفل المحور x بخط متماثل حول المحور x. لأن نحتاج إلى رسم الدالة y = | x2 - 6x | +5 ، ثم الرسم البياني للوظيفة التي اعتبرناها y \ u003d | x2 - 6x | تحتاج فقط إلى رفع المحور الصادي بمقدار 5 وحدات لأعلى (الشكل 4). 
مثال 6
لنرسم الدالة y = x2 - | 6x + 5 |. للقيام بذلك ، نستخدم الدالة متعددة التعريف المعروفة. لنجد أصفار الدالة
ص = 6 س +5
6 س + 5 = 0 في.
خذ بعين الاعتبار حالتين:
1) إذا ، فستأخذ المعادلة الشكل y \ u003d x2-6x -5. دعونا نبني هذا القطع المكافئ ونضع دائرة حول هذا الجزء منه حيث.
2) إذا ، فإن المعادلة تأخذ الشكل y \ u003d x2 + 6x +5. دعونا نبني هذا القطع المكافئ ونضع دائرة حول ذلك الجزء منه ، والذي يقع على يسار النقطة ذات الإحداثيات (الشكل 5).
للقيام بذلك ، سنقوم بإنشاء رسم بياني للوظيفة y \ u003d x2 - 6 | x | +5. قمنا برسم هذا الرسم البياني في المثال 3. نظرًا لأن وظيفتنا تقع بالكامل تحت علامة الوحدة النمطية ، من أجل رسم الرسم البياني للدالة y = | x2 - 6 | x | +5 | ، تحتاج إلى استبدال كل نقطة من الرسم البياني للوظيفة y = x2 - 6 | x | +5 بإحداثية سالبة بنقطة لها نفس الإحداثي ، ولكن مع الإحداثي المعاكس (الموجب) ، أي يجب استبدال جزء القطع المكافئ الواقع أسفل محور الثور بخط متماثل بالنسبة لمحور الثور (الشكل 6).
الشكل 6
المثال 8
ضع في اعتبارك إنشاء الرسوم البيانية بالشكل = f (x).
بالنظر إلى ذلك في الصيغة = f (x) و f (x) وبناءً على تعريف الوحدة النمطية =
دعنا نعيد كتابة الصيغة = f (x) بالصيغة y \ u003d f (x) ، حيث f (x).
بناءً على ذلك ، نقوم بصياغة خوارزمية القاعدة.
لرسم الرسوم البيانية للنموذج = f (x) ، يكفي رسم الدالة y \ u003d f (x) لتلك x من منطقة التعريف التي لها f (x) ، وتعكس الجزء الناتج من الرسم البياني بشكل متماثل حول المحور السيني.
وبالتالي ، يتكون الرسم البياني للتبعية \ u003d f (x) من رسوم بيانية لوظيفتين: y \ u003d f (x) و y \ u003d - f (x).
لنقم ببناء رسم بياني للدالة.
من المستحيل تقنيًا إدخال المزيد من الأشكال والصيغ
الشكل 7
المثال 9
ضع في اعتبارك إنشاء الرسوم البيانية للنموذج
من خلال إجراء التحويلات المعروفة بالفعل للرسوم البيانية ، سنقوم أولاً ببناء الرسم البياني y = │f (x) │ ، ثم مجموعة النقاط التي تلبي إحداثياتها الشرط
خوارزمية البناء:
1) نبني رسمًا بيانيًا للوظيفة.
2) يتم عرض جزء من الرسم البياني بشكل متماثل حول المحور السيني.
3) يتم عرض الرسم البياني الناتج بشكل متماثل حول محور الثور (الشكل 8).
الشكل 8
الاستنتاجات:
1.يمكن الحصول على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d │f (x) من الرسم البياني y \ u003d f (x) ، وترك هذا الجزء منه في مكانه ، حيث f (x) ، ويعكس الجزء الآخر بشكل متماثل حول محور الثور ، حيث f (x)< 0. Это следует из равенства │ f (x)│=
2. يتطابق الرسم البياني للدالة y = f (│x│) مع الرسم البياني للدالة y = f (x) على مجموعة القيم غير السالبة للوسيطة ويتوافق معها حول محور Oy على مجموعة القيم السالبة للوسيطة.
3.يمكن الحصول على الرسم البياني للدالة \ u003d f (x) من خلال رسم الدالة y \ u003d f (x) لتلك x من منطقة التعريف الخاصة بها f (x) ، وعكس الجزء الناتج من الرسم البياني بشكل متماثل حول المحور السيني.
4. يمكن الحصول على رسم بياني للدالة من خلال رسم رسم بياني للوظيفة
y \ u003d f (x) وعرض جزء من الرسم البياني بشكل متماثل بالنسبة لمحور Ox. يتم عرض الرسم البياني الناتج بشكل متماثل حول المحور السيني.
ثانيًا. رسم دالة تربيعية تحتوي على متغير تحت علامة المعامل في Microsoft Excel.
مثال 1
لنرسم الدالة y = | x2 - 6x +5 |.
مثال 2
لنرسم الدالة y = x2 - 6 | x | +5.
مثال 3
لنرسم الدالة y = | х2 - 6х | +5.
مثال 4
لنرسم الدالة y = x2 - | 6x + 5 |.
مثال 5
لنرسم الدالة y = | х2 - 6 | х | +5 |.
مثال 6
لنقم ببناء رسم بياني للدالة.
مثال 7
لنقم ببناء رسم بياني للدالة.
خاتمة
المعرفة هي المعرفة فقط عندما يتم اكتسابها بجهود الفكر وليس بالذاكرة.
إل ن. تولستوي.
نعتقد أنه في هذا العمل البحثي تم تحقيق الهدف ، حيث تم حل جميع المهام.
لقد درسنا إنشاء رسم بياني لوظيفة تربيعية تحتوي على متغير تحت علامة المعامل ، وبحثنا في التغييرات في الرسم البياني للدالة التربيعية اعتمادًا على موقع علامة القيمة المطلقة. تم إتقان تقنيات إنشاء الرسوم البيانية لوظائف النموذج: y = f (│x│) ، y = │f (x) │ ، y = │f (│x │) │ ،
لكتابة هذه الورقة البحثية
1) تمت دراسة الأدبيات المتعلقة بخصائص القيمة المطلقة والوظيفة التربيعية ؛
2) بحث وحللت التغييرات في بناء رسم بياني للدالة التربيعية ، حيث تحتوي علامة المعامل على متغيرات مختلفة ؛
3) تم إنشاء الرسوم البيانية للمعادلات باستخدام برامج الرسوم البيانية Graph Master v 1.1 و Microsoft Excel وغيرها ؛
عند كتابة العمل ، استخدمنا الأدبيات التعليمية وموارد الإنترنت وعملنا في برامج مثل Microsoft Word و Paint و Formula Editor و Microsoft Excel.
تبين أن موضوع البحث متعدد الجوانب للغاية ، ويتطلب مهارات جديدة تمامًا في كل من مرحلة البحث وعند كتابة العمل وتصميمه.
سنستخدم هذه التجربة العملية مع برامج الرسم البياني ، وكتابة الصيغ الرياضية ، بالإضافة إلى مهارات البحث المكتسبة في المزيد من الأنشطة التعليمية ، بما في ذلك دراسة الوظائف والمعادلات الأخرى مع الوحدة ، عند رسم هذه الوظائف.
قائمة الأدب المستخدم
1. الرياضيات. الجبر. المهام. تحليل البيانات. الصف 9: م: بروك. للتعليم العام المؤسسات / G. V. Dorofeev ، S. B. Suvorova ، E. A. Bunimovich ، L. إد. جي في دوروفيفا. - الطبعة الخامسة ، الصورة النمطية. - م: بوستارد ، 2004. - 352 ص: مريض.
2. مقرر الرياضيات العليا للمدارس الفنية. ا. سوفوروف ، موسكو - 1967.
3. الرياضيات. الجبر والوظائف الابتدائية. إم آي أبراموفيتش ، إم تي ستارودوبتسيف.
4. أ. كتاب موردكوفيتش للمعلم. محادثات مع المعلمين. موسكو - "أونيكس القرن الحادي والعشرين" ، "العالم والتعليم" ، 2005
5. مقرر اختياري. تعرف على الوحدة! الجبر. الصفوف 8-9. / شركات. Baukova T.T.-Volgograd: ITD "Coripheus" - 96 صفحة.
موارد الإنترنت
http://festival.1september.ru/articles/504401/
http://www.uztest.ru/abstracts/؟idabstract=18
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/45426
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1128423553.html
http://www.sorobr1.ru/index.php؟option=com_content&task=view&id=8&Itemid=41
http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/function/kvfunc/kvfunct.htm
http://tvsh2004.narod.ru/alg02.html
http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/٪D0٪9A٪D0٪B2٪D0٪B0٪D0٪B4٪D1٪80٪D0٪B0٪D1٪82٪D0٪B8٪D1٪87٪D0 ٪ BD٪ D0٪ B0٪ D1٪ 8F_٪ D1٪ 84٪ D1٪ 83٪ D0٪ BD٪ D0٪ BA٪ D1٪ 86٪ D0٪ B8٪ D1٪ 8F
بناء الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على علامة المعامل.
آمل أن تكون قد درست النقطة 23 بعناية وأن تفهم الفرق بين وظيفة العرض و a. الآن دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأخرى التي يجب أن تساعدك عند رسم الرسوم البيانية.
مثال 1. رسم دالة
لدينا دالة في الشكل ، أين.
1. ننشئ أولاً رسمًا بيانيًا لوظيفة شبه نموذجية ، أي دالة. للقيام بذلك ، حدد الجزء الصحيح من هذا الكسر. أذكرك أنه يمكن القيام بذلك بطريقتين: بقسمة البسط على المقام "في عمود" أو برسم البسط بحيث يظهر فيه تعبير يمثل مضاعف المقام. دعنا نختار الجزء بالكامل بالطريقة الثانية.
حتى تحت وظيفة معياريةلديه الشكل 
. ومن ثم ، فإن الرسم البياني الخاص به عبارة عن قطع زائد من الشكل مزاح بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين و 3 وحدات لأعلى.
دعونا نبني هذا المخطط.
2. للحصول على الرسم البياني للوظيفة المرغوبة ، من الضروري ترك جزء الرسم البياني للوظيفة التي تقع فوق محور الثور دون تغيير ، ويجب عرض جزء الرسم البياني الواقع أسفل محور الثور بشكل متماثل في الجزء العلوي نصف الطائرة. لنقم بهذه التحولات.
تم بناء المخطط.
يمكن حساب حدود نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور x عن طريق حل المعادلة
ص = 0 ، أي. لقد حصلنا على ذلك.
الآن ، وفقًا للرسم البياني ، يمكنك تحديد جميع خصائص الوظيفة ، والعثور على أصغر وأكبر قيم للدالة في الفاصل الزمني ، وحل المشكلات باستخدام معلمة.
على سبيل المثال ، يمكنك الإجابة على هذا السؤال. "ما قيم المعلمة أالمعادلة لها حل واحد بالضبط؟
دعونا نرسم مباشرة ص =ألقيم مختلفة من المعلمة أ. (خطوط حمراء رفيعة في الشكل التالي)
من الواضح أنه إذا أ<0 ، فإن الرسم البياني للدالة المركبة والخط المستقيم ليس لهما نقاط مشتركة ، مما يعني أن المعادلة ليس لها حل واحد.
لو 0< أ<3 أو أ> 3ثم الخط المستقيم ص =أوالرسم البياني المركب لهما نقطتان مشتركتان ، أي أن للمعادلة حلين.
لو أ = 0أو أ = 3، فإن المعادلة لها حل واحد بالضبط ، لأن هذه القيم أيحتوي الخط والرسم البياني للدالة على نقطة مشتركة واحدة بالضبط.
مثال 2ارسم دالة
حل
دعونا أولاً ننشئ رسمًا بيانيًا للدالة للقيم غير السالبة لـ x. إذا ، فإن وظيفتنا تأخذ أيضًا الشكل ، والوظيفة المطلوبة هي دالة في النموذج.
الرسم البياني للدالة هو فرع القطع المكافئ "الموجه" إلى اليسار ، ومزاحًا بمقدار 4 وحدات يمين. (لأننا نستطيع أن نتخيل 
).
دعونا نرسم هذه الوظيفة
وسننظر فقط في ذلك الجزء منه ، والذي يقع على يمين محور Oy. سنقوم بمحو الباقي.
يرجى ملاحظة أننا قد حسبنا قيمة إحداثي نقطة الرسم البياني الواقعة على المحور ص. للقيام بذلك ، يكفي حساب قيمة الوظيفة عند x = 0. في حالتنا ، في س = 0يملك ص = 2.
الآن دعنا نرسم وظيفة ل X< 0 . للقيام بذلك ، سنبني خطًا متماثلًا للخط الذي أنشأناه بالفعل ، بالنسبة لمحور Oy.
وهكذا ، قمنا ببناء رسم بياني للوظيفة المرغوبة.
مثال 3. رسم دالة
لم تعد هذه مهمة سهلة. نرى أن كلا النوعين من الوظائف مع وحدة موجودة هنا: و ، و. دعونا نبني بالترتيب:
أولاً ، دعنا نرسم الرسم البياني للوظيفة بدون كل الوحدات: ثم أضف الوحدة النمطية لكل وسيطة. نحصل على دالة في النموذج ، أي. لبناء مثل هذا الرسم البياني ، تحتاج إلى تطبيق التناظر حول محور Oy. دعنا نضيف وحدة خارجية. أخيرًا ، نحصل على الوظيفة المطلوبة. نظرًا لأنه تم الحصول على هذه الوظيفة من الوظيفة السابقة باستخدام وحدة خارجية ، فلدينا وظيفة من النموذج ، مما يعني أنه من الضروري تطبيق التناظر بالنسبة إلى Ox.
وللمزيد الان.
هذه دالة خطية كسرية ، لبناء رسم بياني ، تحتاج إلى تحديد الجزء الصحيح ، وهو ما سنفعله.
هذا يعني أن التمثيل البياني لهذه الدالة عبارة عن قطع زائد من الشكل مزاح 2 إلى اليمين و 4 لأسفل.
دعونا نحسب إحداثيات نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات.
y = 0 عند x = 0 ، لذلك سيمر الرسم البياني من خلال الأصل.
2. الآن دعونا نرسم الدالة.
للقيام بذلك ، في الرسم البياني الأصلي ، امسح أولاً ذلك الجزء الموجود على يسار محور Oy:
، ثم اعرضه بشكل متماثل حول محور Oy. يرجى ملاحظة أنه يتم أيضًا عرض الخطوط المقاربة بشكل متماثل!
لنقم الآن ببناء الرسم البياني النهائي للدالة:. للقيام بذلك ، سنترك جزء الرسم البياني السابق الواقع فوق محور الثور دون تغيير ، وما هو أسفل محور الثور سنعرضه بشكل متماثل في النصف العلوي من المستوى. مرة أخرى ، لا تنس أن الخطوط المقاربة معروضة مع الرسم البياني!
تم بناء المخطط.
مثال 4: باستخدام تحويلات الرسم البياني المختلفة ، ارسم دالة 
شيء ملتوي تمامًا ومعقد! طن من الوحدات! و x-square ليس له معامل !!! من المستحيل البناء!
بطريقة واحدة أو شيء من هذا القبيل ، يمكن لطالب عادي في الصف الثامن ، غير معتاد على أسلوب التخطيط ، أن يجادل.
لكن ليس نحن! لأننا نعرف طرقًا مختلفة لتحويل الرسوم البيانية للوظائف ونعرف أيضًا خصائص مختلفة للوحدة.
لذا ، لنبدأ بالترتيب.
المشكلة الأولى هي عدم وجود وحدة نمطية لـ x تربيع. لا مشكلة. نحن نعرف ذلك . بخير. إذن ، يمكن كتابة الدالة بالشكل 
. هذا بالفعل أفضل ، لأنه يبدو.
إضافي. تحتوي الوظيفة على وحدة خارجية ، لذا يبدو أنه سيتعين عليك استخدام القواعد لتخطيط دالة. دعونا نرى ما هو تعبير الوحدة الفرعية. هذه دالة في النموذج 
. إذا لم يكن لـ -2 ، فستحتوي الوظيفة مرة أخرى على وحدة خارجية ونعرف كيفية رسم الوظيفة 
باستخدام التماثلات. آها! ولكن بعد كل شيء ، إذا قمنا ببنائه ، فعندئذٍ ، نقلناه بمقدار وحدتين ، نحصل على ما نبحث عنه!
لذا ، بدأ شيء ما في الظهور. دعنا نحاول إنشاء خوارزمية لرسم رسم بياني.
1. 
5.
وأخيرا . سيتم عرض كل شيء يقع أسفل محور الثور بشكل متماثل في نصف المستوى العلوي.
الصيحة! الجدول جاهز!
حظا سعيدا في عملك الشاق في الرسم البياني!
ربما تكون علامة modulo واحدة من أكثر الظواهر إثارة للاهتمام في الرياضيات. في هذا الصدد ، لدى العديد من أطفال المدارس مسألة كيفية بناء الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على وحدة. دعونا نفحص هذه المسألة بالتفصيل.
1. وظائف التآمر التي تحتوي على وحدة
مثال 1
ارسم الدالة y = x 2-8 | x | +12.
حل.
دعونا نحدد التكافؤ في الوظيفة. قيمة y (-x) هي نفسها قيمة y (x) ، لذا فإن هذه الوظيفة زوجية. ثم يكون الرسم البياني الخاص به متماثلًا فيما يتعلق بمحور Oy. نبني رسمًا بيانيًا للدالة y \ u003d x 2-8x + 12 لـ x ≥ 0 ونعرض بشكل متماثل الرسم البياني بالنسبة لـ Oy لسالب x (الشكل 1).
مثال 2
الرسم البياني التالي هو y = | x 2-8x + 12 |.
- ما هو نطاق الوظيفة المقترحة؟ (ص ≥ 0).
- كيف هو الرسم البياني؟ (فوق أو لمس المحور السيني).
هذا يعني أنه يتم الحصول على الرسم البياني للدالة على النحو التالي: يرسمون الدالة y \ u003d x 2-8x + 12 ، ويتركون جزء الرسم البياني الذي يقع فوق محور Ox دون تغيير ، وجزء الرسم البياني الذي يقع تحته يتم عرض محور الإحداثيات بشكل متماثل بالنسبة لمحور الثور (الشكل 2).
مثال 3
لرسم الدالة y = | x 2-8 | x | + 12 | قم بإجراء مجموعة من التحولات:
ص = س 2-8 س + 12 ← ص = س 2-8 | س | + 12 → ص = | س 2-8 | س | + 12 |.
الجواب: الشكل 3.
التحولات المدروسة صالحة لجميع أنواع الوظائف. لنصنع طاولة:
2. رسم الوظائف التي تحتوي على "وحدات نمطية متداخلة" في الصيغة
لقد تعرفنا بالفعل على أمثلة للدالة التربيعية التي تحتوي على معامل ، بالإضافة إلى القواعد العامة لإنشاء الرسوم البيانية للوظائف بالصيغة y = f (| x |) ، y = | f (x) | و y = | f (| x |) |. ستساعدنا هذه التحولات عند التفكير في المثال التالي.
مثال 4
ضع في اعتبارك دالة بالصيغة y = | 2 - | 1 - | x |||. يحتوي التعبير الذي يعرّف الوظيفة على "الوحدات النمطية المتداخلة".
حل.
نستخدم طريقة التحولات الهندسية.
دعنا نكتب سلسلة من التحويلات المتتالية ونرسم الرسم المقابل (الشكل 4):
ص = س → ص = | س | → ص = - | س | → ص = - | س | + 1 → ص = | - | س | + 1 | → ص = - | - | س | + 1 | → ص = - | - | س | + 1 | + 2 → ص = | 2 - | 1 - | x |||.
لنفكر في الحالات التي لا يكون فيها التناظر وتحولات الترجمة المتوازية هي التقنية الرئيسية للتخطيط.
مثال 5
أنشئ رسمًا بيانيًا لوظيفة على شكل y \ u003d (x 2-4) / √ (x + 2) 2.
حل.
قبل بناء الرسم البياني ، نقوم بتحويل الصيغة التي تحدد الوظيفة والحصول على تعريف تحليلي آخر للدالة (الشكل 5). 
ص = (س 2-4) / (س + 2) 2 = (س -2) (س + 2) / | س + 2 |.
دعنا نوسع الوحدة في المقام:
بالنسبة إلى x> -2 ، و y = x - 2 ، وللحالة x< -2, y = -(x – 2).
المجال D (ص) = (-؛ -2) ᴗ (-2 ؛ + ∞).
النطاق E (ص) = (-4 ؛ + ∞).
النقاط التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع محور الإحداثيات: (0 ؛ -2) و (2 ؛ 0).
تقل الوظيفة لكل x من الفاصل الزمني (-؛ -2) ، وتزيد لـ x من -2 إلى +.
كان علينا هنا الكشف عن علامة المقياس ورسم الدالة لكل حالة.
مثال 6
ضع في اعتبارك الوظيفة y = | x + 1 | - | س - 2 |.
حل.
لتوسيع علامة الوحدة ، من الضروري النظر في جميع المجموعات الممكنة من علامات تعبيرات الوحدة الفرعية.
هناك أربع حالات محتملة:
(x + 1 - x + 2 = 3 ، مع x ≥ -1 و x 2 ؛
(-x - 1 + x - 2 = -3 ، مع x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1 ، لـ x ≥ -1 و x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1 ، مع x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
ثم ستبدو الوظيفة الأصلية كما يلي:
(3 ، لـ x ≥ 2 ؛
ص = (-3 ، عند س< -1;
(2x - 1 ، مع -1 ≤ x< 2.
حصلنا على دالة متعددة التعريف ، ويظهر الرسم البياني لها في الشكل 6.
3. خوارزمية لإنشاء الرسوم البيانية لوظائف النموذج
ص = أ 1 | س - س 1 | + أ 2 | س - س 2 | +… + a n | x - x n | + فأس + ب.
في المثال السابق ، كان من السهل جدًا توسيع علامات الوحدة. إذا كان هناك عدد أكبر من الوحدات النمطية ، فمن الصعب النظر في جميع التركيبات الممكنة لعلامات تعبيرات الوحدة الفرعية. كيف يمكننا رسم الدالة في هذه الحالة؟
لاحظ أن الرسم البياني عبارة عن خطوط متعددة ، مع وجود رؤوس عند النقاط التي تحتوي على abscissas -1 و 2. بالنسبة إلى x = -1 و x = 2 ، فإن تعبيرات الوحدة الفرعية تساوي صفرًا. بطريقة عملية ، اقتربنا من قاعدة إنشاء مثل هذه الرسوم البيانية:
رسم بياني لدالة بالصيغة y = a 1 | x - x 1 | + أ 2 | س - س 2 | +… + a n | x - x n | + ax + b هو خط متقطع بروابط نهائية لا نهائية. لبناء مثل هذا الشكل متعدد الخطوط ، يكفي معرفة جميع رؤوسه (الرؤوس هي أصفار لتعبيرات الوحدة الفرعية) ونقطة تحكم واحدة على كل من الروابط اللانهائية اليمنى واليسرى. 
مهمة.
ارسم الدالة y = | x | + | س - 1 | + | x + 1 | والعثور على أصغر قيمة لها.
حل:
أصفار تعبيرات الوحدة الفرعية: 0 ؛ -1 ؛ 1. رؤوس الخطوط المتعددة (0 ؛ 2) ؛ (-13) ؛ (13). نقطة التحكم على اليمين (2 ؛ 6) ، على اليسار (-2 ؛ 6). نبني رسم بياني (الشكل 7). دقيقة و (س) = 2.
هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيف ترسم دالة بمعامل؟
للحصول على مساعدة من مدرس -.
blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب رابط للمصدر.
الأمثلة الشائعة مع الوحدات هي وحدة نوع المعادلة في الوحدة النمطية.يمكن كتابة المعامل المزدوج في صورة صيغة
|| a * x-b | -c | = k * x + m.
إذا كانت k = 0 ، فإن حل مثل هذه المعادلة ذات المعامل أسهل باستخدام طريقة رسومية. يعد الكشف الكلاسيكي عن الوحدات في مثل هذه المواقف مرهقًا ولا يعطي التأثير المطلوب (توفير الوقت) على الضوابط والاختبارات. تسمح لك الطريقة الرسومية ببناء وظائف معيارية في وقت قصير وإيجاد عدد جذور المعادلة.
تعد خوارزمية إنشاء وحدة ثنائية وثلاثية بسيطة للغاية وسيحب الكثيرون الأمثلة أدناه. لتوحيد المنهجية أدناه أمثلة للحساب الذاتي.
مثال 1 حل وحدة المعادلة في الوحدة النمطية || x-3 | -5 | = 3.
الحل: نقوم بحل المعادلة بالوحدات بالطريقة الكلاسيكية وبالرسوم البيانية. ابحث عن صفر من الوحدة الداخلية
س 3 = 0 س = 3.
عند النقطة x = 3 ، يتم قسمة المعادلة ذات المقياس على 2. بالإضافة إلى ذلك ، فإن صفر الوحدة الداخلية هو نقطة تماثل في الرسم البياني للوحدات ، وإذا كان الجانب الأيمن من المعادلة ثابتًا ، فإن الجذور تقع على نفس المسافة من هذه النقطة. أي يمكنك حل معادلة واحدة من اثنين ، وحساب الجذور المتبقية من هذه الحالة.
دعنا نوسع الوحدة الداخلية لـ x> 3
| x-3-5 | = 3 ؛ | س 8 | = 3.
يتم تقسيم المعادلة الناتجة عند توسيع الوحدة على 2
دالة وحدات فرعية> 0
س 8 = 3 ؛ س = 3 + 8 = 11 ؛
ومن أجل القيم< 0
получим
- (x-8) = 3 ؛ س = 8-3 = 5.
كلا جذري المعادلة يفيان بالشرط x> 3 ، أي أنهما حلان.
مع الأخذ في الاعتبار قاعدة تناظر حلول المعادلة بالوحدات النمطية المكتوبة أعلاه ، لا يمكننا البحث عن جذور المعادلة لـ x< 3,
которое имеет вид
| - (x-3) -5 | = 3 ؛ | -x-2 | = 3 ،
وحسابهم.
القيمة متناظرة حول x = 3 لأن x = 11 هي
س = 3- (11-3) = 6-11 = -5.
باستخدام نفس الصيغة ، نجد الحل الثاني
س = 3- (5-3) = 6-5 = 1.
تحتوي معادلة الوحدة النمطية الواردة في الوحدة النمطية على 4 حلول
س = -5 ؛ س = 1 ؛ س = 5 ؛ س = 11.
الآن دعنا نجد الحلول المعادلات ذات الأسلوب الرسومي. من الوحدة الداخلية | x-3 | ويترتب على ذلك أن الرسم البياني للوحدة القياسية للوظيفة قد تم إزاحته على طول محور Ox إلى اليمين بمقدار 3.
علاوة على ذلك - طرح 5 يعني أنه يجب خفض الرسم البياني بمقدار 5 خلايا على طول محور Oy. للحصول على الوحدة النمطية للدالة الناتجة ، نعكس بشكل متماثل كل ما هو أسفل محور الثور.
وأخيرًا ، نبني خطًا مستقيمًا y = 3 موازيًا للمحور Ox. من الأفضل استخدام دفتر ملاحظات في صندوق بيانيًا لحساب المعادلات بالوحدات النمطية ، حيث أنه من الملائم إنشاء رسوم بيانية فيه.
الشكل النهائي للرسم البياني للوحدة يبدو
نقاط تقاطع معامل الوظيفة والخط y = 3 والحلول المرغوبة x = -5 ؛ x = 1 ؛ س = 5 ؛ س = 11.
ميزة الطريقة الرسومية على توسيع الوحدةل معادلات بسيطةبوضوح. ومع ذلك ، فمن غير الملائم من الناحية الرسومية البحث عن الجذور عندما يبدو الجانب الأيمن مثل k * x + m ، أي أنه خط مستقيم يميل إلى محور الإحداثي بزاوية.
لن نفكر في مثل هذه المعادلات هنا.
مثال 2 كم عدد جذر المعادلة || 2x-3 | -2 | = 2؟
حل: الجانب الأيمنثابت ، لذلك من المرجح أن تجد حلًا باستخدام طريقة رسومية. الوحدة الداخلية تذهب إلى الصفر
| 2 س -3 | = 0 س = 3/2 = 1.5
عند النقطة س = 1.5.
لذلك قمنا بإزاحة الرسم البياني للدالة y = | 2x | إلى هذه النقطة. من أجل بنائه ، استبدل بضع نقاط وارسم خطوطًا مستقيمة من خلالها. نطرح 2 من الدالة الناتجة ، أي أننا نخفض الرسم البياني بمقدار اثنين لأسفل ، ومن أجل الحصول على الوحدة ، ننقل القيم السالبة(ذ< 0)
симметрично относительно оси Ox
.
نرى أن للمعادلة التالية ثلاثة حلول.
مثال 3 ما قيمة المعلمة a هل المعادلة مع الوحدة ||| x + 1 | -2 | -5 | = a لديها 5 حلول؟
الحل: لدينا معادلة بثلاث وحدات متداخلة. ابحث عن الجواب باستخدام تحليل رسومي. لنبدأ ، كما هو الحال دائمًا ، من الوحدة الداخلية. يذهب إلى الصفر
| س + 1 | = 0 س = -1
عند النقطة س = -1.
نرسم وحدة الدالة في هذه المرحلة
دعنا مرة أخرى نحول الرسم البياني للوحدة النمطية للدالة لأسفل بمقدار 5 وننقل القيم السالبة للدالة بشكل متماثل. نتيجة لذلك ، نحصل عليه الجهه اليسرىالمعادلات مع الوحدات
y = ||| x + 1 | -2 | -5 | .
المعلمة a تقابل قيمة الخط الموازي ، الذي يجب أن يعبر الرسم البياني لمعامل الدالة عند 5 نقاط. أولاً نرسم مثل هذا الخط المستقيم ، ثم نبحث عن نقطة التقاطع مع المحور Oy.
هذا خط مستقيم y = 3 ، أي أن المعلمة المطلوبة تساوي a = 3.
طريقة توسيع الوحدة النمطية هذه المهمةيمكنك حل الدرس بأكمله ، إن لم يكن أكثر. هنا يأتي كل شيء إلى عدد قليل من الرسوم البيانية.
الجواب: أ = 3.
مثال 4 كم عدد حلول المعادلة ||| 3x-3 | -2 | -7 | = x + 5؟
الحل: قم بتوسيع الوحدة الداخلية للمعادلة
| 3x-3 | = 0<=>س = 3/3 = 1.
نبني رسمًا بيانيًا للدالة y = | 3x-3 |. للقيام بذلك ، لتغيير خلية واحدة من x من النقطة التي تم العثور عليها ، أضف 3 خلايا في y. قم بإنشاء جذور المعادلة في دفتر ملاحظات في صندوق ، وسأخبرك كيف يمكن القيام بذلك في بيئة Maple.
إعادة التشغيل ؛ باستخدام (المؤامرات): اضبط جميع المتغيرات على الصفر وقم بتوصيل الوحدة النمطية للعمل مع الرسومات.
> المؤامرة (القيمة المطلقة (3 * x-3) ، x = -2..4):
بعد ذلك ، نخفض الرسم البياني بمقدار خليتين لأسفل وننقل القيم السالبة بشكل متماثل (y<0)
.
دعنا نحصل على رسم بياني لوحدتين داخليتين نقوم بخفض الرسم البياني الناتج بواسطة شيطان ونعكسه بشكل متماثل. احصل على رسم بياني
ص = || 3x-3 | -2 |.
في حزمة الرياضيات خشب القيقبهذا يعادل كتابة وحدة أخرى
> المؤامرة (القيمة المطلقة (القيمة المطلقة (3 * س -3) -2) ، س = -2..4):
أعد إزاحة الرسم البياني لأسفل بمقدار سبع وحدات وانقله بشكل متماثل. احصل على الرسم البياني للدالة
ص = ||| 3x-3 | -2 | -7 |
في Maple ، هذا يعادل شريط الكود التالي
> المؤامرة (القيمة المطلقة (القيمة المطلقة (القيمة المطلقة (3 * س -3) -2) -7) ، س = -5..7):
نبني خطًا مستقيمًا y = x + 5 على نقطتين. الأول هو تقاطع خط مستقيم مع محور الإحداثية