كيفية بناء القطع المكافئ؟ هناك عدة طرق لرسم الرسم البياني وظيفة من الدرجة الثانية. كل واحد منهم لديه إيجابيات وسلبيات. دعونا نفكر في طريقتين.
لنبدأ برسم دالة تربيعية بالشكل y=x²+bx+c وy= -x²+bx+c.
مثال.
ارسم بيانيًا الدالة y=x²+2x-3.
حل:
y=x²+2x-3 هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى. إحداثيات قمة القطع المكافئ
من الرأس (-1;-4) نبني رسمًا بيانيًا للقطع المكافئ y=x² (اعتبارًا من أصل الإحداثيات. بدلاً من (0;0) - الرأس (-1;-4). من (-1; -4) نذهب إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة وإلى الأعلى بمقدار وحدة واحدة، ثم إلى اليسار بمقدار 1 وإلى الأعلى بمقدار 1؛ كذلك: 2 - يمين، 4 - أعلى، 2 - يسار، 4 - أعلى؛ 3 - يمين، 9 - لأعلى، 3 - يسار، 9 - أعلى، إذا كانت هذه النقاط السبعة غير كافية، إذن 4 إلى اليمين، 16 إلى الأعلى، وما إلى ذلك).
الرسم البياني للدالة التربيعية y= -x²+bx+c عبارة عن قطع مكافئ، يتم توجيه فروعه نحو الأسفل. لإنشاء رسم بياني، نبحث عن إحداثيات الرأس ومنه نبني قطعًا مكافئًا y= -x².
مثال.
ارسم الدالة y= -x²+2x+8.
حل:
y= -x²+2x+8 هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأسفل. إحداثيات قمة القطع المكافئ
من الأعلى نبني القطع المكافئ y= -x² (1 - إلى اليمين، 1- إلى الأسفل؛ 1 - إلى اليسار، 1 - إلى الأسفل؛ 2 - إلى اليمين، 4 - إلى الأسفل؛ 2 - إلى اليسار، 4 - إلى الأسفل، إلخ.):
تسمح لك هذه الطريقة ببناء القطع المكافئ بسرعة ولا تسبب صعوبات إذا كنت تعرف كيفية رسم الدالتين y=x² وy= -x². العيب: إذا كانت إحداثيات الرأس عبارة عن أرقام كسرية، فليس من المناسب جدًا إنشاء رسم بياني. إذا كنت بحاجة إلى معرفة القيم الدقيقةنقاط تقاطع الرسم البياني مع محور الثور، سيتعين عليك أيضًا حل المعادلة x²+bx+c=0 (أو -x²+bx+c=0)، حتى لو كان من الممكن تحديد هذه النقاط مباشرة من الرسم.
هناك طريقة أخرى لإنشاء قطع مكافئ وهي بالنقاط، أي أنه يمكنك العثور على عدة نقاط على الرسم البياني ورسم قطع مكافئ من خلالها (مع الأخذ في الاعتبار أن الخط x=xₒ هو محور التماثل). عادةً ما يتم أخذ قمة القطع المكافئ ونقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات و1-2 نقاط إضافية لهذا الغرض.
ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y=x²+5x+4.
حل:
y=x²+5x+4 هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى. إحداثيات قمة القطع المكافئ
أي أن رأس القطع المكافئ هو النقطة (-2.5؛ -2.25).
يبحثون عن . عند نقطة التقاطع مع محور الثور y=0: x²+5x+4=0. جذور المعادلة التربيعية x1=-1، x2=-4، أي أننا حصلنا على نقطتين على الرسم البياني (-1؛ 0) و (-4؛ 0).
عند نقطة تقاطع الرسم البياني مع محور Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. لقد حصلنا على النقطة (0؛ 4).
لتوضيح الرسم البياني، يمكنك العثور على نقطة إضافية. لنأخذ x=1، ثم y=1²+5∙1+4=10، أي نقطة أخرى على الرسم البياني هي (1; 10). نحتفل بهذه النقاط على المستوى الإحداثي. مع الأخذ في الاعتبار تماثل القطع المكافئ بالنسبة للخط المستقيم الذي يمر عبر رأسه، نحدد نقطتين إضافيتين: (-5؛ 6) و (-6؛ 10) ونرسم قطعًا مكافئًا من خلالهما:
ارسم الدالة y= -x²-3x.
حل:
y= -x²-3x هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأسفل. إحداثيات قمة القطع المكافئ
الرأس (-1.5؛ 2.25) هو النقطة الأولى في القطع المكافئ.
عند نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور x y=0، نحل المعادلة -x²-3x=0. جذورها هي x=0 وx=-3، أي (0;0) و(-3;0) - نقطتان إضافيتان على الرسم البياني. النقطة (o; 0) هي أيضًا نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور الإحداثي.
عند x=1 y=-1²-3∙1=-4، تكون (1; -4) نقطة إضافية للتخطيط.
يعد إنشاء القطع المكافئ من النقاط طريقة أكثر كثافة في العمالة مقارنة بالطريقة الأولى. إذا كان القطع المكافئ لا يتقاطع مع محور الثور نقاط إضافيةستكون هناك حاجة إلى المزيد.
قبل الاستمرار في إنشاء الرسوم البيانية للدوال التربيعية بالصيغة y=ax²+bx+c، دعونا نفكر في إنشاء الرسوم البيانية للدوال باستخدام التحولات الهندسية. ومن الأكثر ملائمة أيضًا إنشاء رسوم بيانية للدوال بالصيغة y=x²+c باستخدام أحد هذه التحويلات - الترجمة الموازية.
التصنيف: |ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوبة هنا:
2. قبل أن تبدأ بقراءة المقال، انتبه لمتصفحنا للأكثر مورد مفيدل
لفهم ما سيتم كتابته هنا، عليك أن تعرف جيدًا ما هي الدالة التربيعية وفيم تُستخدم. إذا كنت تعتبر نفسك محترفًا عندما يتعلق الأمر بالدوال التربيعية، فمرحبًا بك. ولكن إذا لم يكن الأمر كذلك، يجب عليك قراءة الموضوع.
لنبدأ بواحدة صغيرة الفحوصات:
- كيف تبدو الدالة التربيعية في الصورة العامة (الصيغة)؟
- ماذا يسمى الرسم البياني للدالة التربيعية؟
- كيف يؤثر المعامل الرئيسي على الرسم البياني للدالة التربيعية؟
إذا تمكنت من الإجابة على هذه الأسئلة على الفور، تابع القراءة. إذا تسبب سؤال واحد على الأقل في حدوث صعوبات، فانتقل إلى.
إذن، أنت تعرف بالفعل كيفية التعامل مع الدالة التربيعية وتحليل الرسم البياني الخاص بها وإنشاء رسم بياني بالنقاط.
حسنًا، ها هو: .
دعونا نتذكر بإيجاز ما يفعلونه احتمال.
- المعامل الرئيسي هو المسؤول عن "انحدار" القطع المكافئ، أو بعبارة أخرى، عن عرضه: كلما كان القطع المكافئ أكبر، كلما كان القطع المكافئ أضيق، وأصغر، كان القطع المكافئ أوسع (مسطح).
- الحد الحر هو إحداثيات تقاطع القطع المكافئ مع المحور الإحداثي.
- والمعامل مسؤول بطريقة أو بأخرى عن إزاحة القطع المكافئ من مركز الإحداثيات. دعونا نتحدث عن هذا بمزيد من التفصيل الآن.
أين نبدأ دائمًا في بناء القطع المكافئ؟ ما هي النقطة المميزة لها؟
هذا قمة الرأس. هل تتذكر كيفية العثور على إحداثيات الرأس؟
يتم البحث عن الإحداثي باستخدام الصيغة التالية:
مثل هذا : من أكثر، أولئك إلى اليساريتحرك رأس القطع المكافئ.
يمكن إيجاد إحداثيات الرأس بالتعويض في الدالة:
استبدلها بنفسك وقم بالحسابات. ماذا حدث؟
إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح وقمت بتبسيط التعبير الناتج قدر الإمكان، فستحصل على:
وتبين أن أكثر modulo، أولئك أعلىسوف قمة الرأسالقطع المكافئة.
دعنا ننتقل أخيرًا إلى رسم الرسم البياني.
أسهل طريقة هي بناء القطع المكافئ بدءًا من الأعلى.
مثال:
إنشاء رسم بياني للوظيفة.
حل:
أولا، دعونا نحدد المعاملات: .
الآن دعونا نحسب إحداثيات الرأس:
تذكر الآن: جميع القطع المكافئة التي لها نفس المعامل الرئيسي تبدو متشابهة. هذا يعني أننا إذا قمنا ببناء قطع مكافئ وحركنا رأسه إلى نقطة ما، فسنحصل على الرسم البياني الذي نحتاجه:
بسيطة، أليس كذلك؟
لم يتبق سوى سؤال واحد: كيفية رسم القطع المكافئ بسرعة؟ حتى لو رسمنا قطعًا مكافئًا رأسه عند نقطة الأصل، فلا يزال يتعين علينا أن نبنيه نقطة بنقطة، وهذا طويل وغير مريح. لكن جميع القطع المكافئة تبدو متشابهة، ربما هناك طريقة لتسريع رسمها؟
عندما كنت في المدرسة، طلب مدرس الرياضيات من الجميع قص استنسل على شكل قطع مكافئ من الورق المقوى حتى يتمكنوا من رسمه بسرعة. لكنك لن تتمكن من التجول باستخدام الاستنسل في كل مكان، ولن يُسمح لك بأخذه إلى الاختبار. هذا يعني أننا لن نستخدم أجسامًا غريبة، بل سنبحث عن نمط ما.
دعونا نفكر في أبسط القطع المكافئ. دعونا نبنيها نقطة بعد نقطة:
هذا هو النمط هنا. إذا انتقلنا من الرأس إلى اليمين (على طول المحور) بمقدار وإلى الأعلى (على طول المحور)، فسنصل إلى نقطة القطع المكافئ. علاوة على ذلك: إذا انتقلنا من هذه النقطة إلى اليمين وما فوق، فسنصل مرة أخرى إلى نقطة القطع المكافئ. التالي: الحق وما فوق. ماذا بعد؟ الحق وما فوق. وهكذا: حرك رقمًا واحدًا إلى اليمين، والرقم الفردي التالي لأعلى. ثم نفعل الشيء نفسه مع الفرع الأيسر (بعد كل شيء، القطع المكافئ متماثل، أي أن فروعه تبدو متماثلة):
رائع، سيساعدك هذا على إنشاء أي قطع مكافئ من قمة ذات معامل رئيسي يساوي. على سبيل المثال، تعلمنا أن رأس القطع المكافئ يقع عند نقطة. قم ببناء (بنفسك، على الورق) هذا القطع المكافئ.
مبني؟
يجب أن تبدو هذه:
الآن نقوم بتوصيل النقاط الناتجة:
هذا كل شئ.
حسنًا، الآن يمكننا فقط بناء القطع المكافئة؟
بالطبع لا. الآن دعونا معرفة ما يجب القيام به معهم، إذا.
دعونا نلقي نظرة على بعض الحالات النموذجية.
عظيم، لقد تعلمت كيفية رسم القطع المكافئ، والآن دعونا نتدرب على استخدام الدوال الحقيقية.
لذلك، ارسم رسومًا بيانية لهذه الوظائف:
الإجابات:
3. الأعلى: .
هل تتذكر ماذا تفعل إذا كان المعامل الأقدم أقل؟
ننظر إلى مقام الكسر: إنه متساوي. لذلك سوف نتحرك هكذا:
- إلى اليمين
- إلى اليمين
- إلى اليمين
وأيضا على اليسار:
4. الأعلى: .
أوه، ماذا يمكننا أن نفعل حيال ذلك؟ كيفية قياس الخلايا إذا كان الرأس في مكان ما بين السطور؟..
وسوف نغش. لنرسم أولًا قطعًا مكافئًا، ثم نحرك رأسه إلى نقطة ما. لا، دعونا نفعل شيئًا أكثر دهاءً: لنرسم قطعًا مكافئًا، وبعد ذلك تحريك المحاور:- على تحت، أ - على يمين:
هذه التقنية مريحة للغاية في حالة وجود أي قطع مكافئ، تذكرها.
دعني أذكرك أنه يمكننا تمثيل الوظيفة بهذا الشكل:
على سبيل المثال: .
ماذا يعطينا هذا؟
والحقيقة هي أن الرقم الذي يتم طرحه بين قوسين () هو الإحداثي لرأس القطع المكافئ، والمصطلح الموجود خارج الأقواس () هو إحداثي الرأس.
هذا يعني أنه بعد بناء القطع المكافئ، ستحتاج ببساطة حرك المحور إلى اليسار والمحور إلى الأسفل.
مثال: لنقم ببناء رسم بياني للدالة.
لنختار مربعًا كاملاً:
ما العدد خصممن بين قوسين؟ هذا (وليس كيف يمكنك أن تقرر دون تفكير).
لذلك، دعونا نبني القطع المكافئ:
الآن نقوم بإزاحة المحور لأسفل، أي لأعلى:
والآن - إلى اليسار، أي إلى اليمين:
هذا كل شئ. هذا هو نفس تحريك القطع المكافئ برأسه من نقطة الأصل إلى نقطة ما، فقط المحور المستقيم هو الذي يسهل تحريكه أكثر من القطع المكافئ المنحني.
والآن كعادتي أنا:
ولا تنس مسح المحاور القديمة بالممحاة!
أنا كما إجاباتللتحقق، سأكتب لك إحداثيات رؤوس هذه القطع المكافئة:
هل جاء كل شيء معًا؟
إذا كانت الإجابة بنعم، فأنت عظيم! إن معرفة كيفية التعامل مع القطع المكافئ أمر مهم ومفيد للغاية، وهنا اكتشفنا أنه ليس بالأمر الصعب على الإطلاق.
بناء رسم بياني للدالة التربيعية. باختصار عن الأشياء الرئيسية
وظيفة من الدرجة الثانية- دالة النموذج وأين وأي أرقام (معاملات)، - مصطلح مجاني.
الرسم البياني للدالة التربيعية هو القطع المكافئ.
قمة القطع المكافئ:
، أي. كلما كان حجم \displaystyle b أكبر، كلما تحركت قمة القطع المكافئة إلى اليسار.
ونعوضه في الدالة فنحصل على:
، أي. كلما كانت \displaystyle b أكبر من حيث القيمة المطلقة، كلما كان الجزء العلوي من القطع المكافئ أعلى
الحد الحر هو إحداثيات تقاطع القطع المكافئ مع المحور الإحداثي.
حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.
لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!
الآن الشيء الأكثر أهمية.
لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.
المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..
لماذا؟
ل اكتمال موفقامتحان الدولة الموحد، للقبول في الكلية بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.
لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..
الناس الذين تلقوا على تعليم جيد، يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يحصلوا عليها. هذه إحصائيات.
ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.
الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...
لكن فكر بنفسك..
ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟
احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.
لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.
سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.
وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.
يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.
ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول تحليل تفصيلي وتقرر، تقرر، تقرر!
يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.
لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.
كيف؟ هناك خياران:
- فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
- فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 499 روبية
نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.
يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.
ختاماً...
إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.
إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.
البحث عن المشاكل وحلها!
الدالة التربيعية هي دالة بالشكل:
ص=أ*(س^2)+ب*س+ج,
حيث a هو المعامل لأعلى درجة للمجهول x،
ب - معامل مجهول x،
و ج عضو حر.
الرسم البياني للدالة التربيعية هو منحنى يسمى القطع المكافئ. الشكل العاميظهر القطع المكافئ في الشكل أدناه.
الشكل 1: منظر عام للقطع المكافئ.
هناك عدة طرق مختلفة لرسم دالة تربيعية بيانيًا. سننظر في أهمها وأكثرها عمومية.
خوارزمية لرسم دالة تربيعية y=a*(x^2)+b*x+c
1. قم بإنشاء نظام إحداثي، وحدد قطعة الوحدة وقم بتسمية محاور الإحداثيات.
2. تحديد اتجاه فروع القطع المكافئ (لأعلى أو لأسفل).
للقيام بذلك، عليك أن تنظر إلى إشارة المعامل أ. إذا كان هناك زائد، يتم توجيه الفروع إلى الأعلى، إذا كان هناك ناقص، يتم توجيه الفروع إلى الأسفل.
3. حدد الإحداثي x لرأس القطع المكافئ.
للقيام بذلك، تحتاج إلى استخدام الصيغة Xvertex = -b/2*a.
4. تحديد الإحداثيات عند قمة القطع المكافئ.
للقيام بذلك، استبدل بالمعادلة Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c بدلاً من x، قيمة Xverhiny التي تم العثور عليها في الخطوة السابقة.
5. ارسم النقطة الناتجة على الرسم البياني وارسم من خلالها محور تناظر، موازيًا لمحور الإحداثيات Oy.
6. أوجد نقاط تقاطع الرسم البياني مع محور الثور.
للقيام بذلك تحتاج إلى حل معادلة من الدرجة الثانية a*(x^2)+b*x+c = 0 باستخدام إحدى الطرق المعروفة. إذا لم يكن للمعادلة جذور حقيقية، فإن الرسم البياني للدالة لا يتقاطع مع محور الثور.
7. أوجد إحداثيات نقطة تقاطع الرسم البياني مع محور أوي.
للقيام بذلك، نعوض بالقيمة x=0 في المعادلة ونحسب قيمة y. نحدد هذا ونحدد نقطة متماثلة له على الرسم البياني.
8. ابحث عن إحداثيات نقطة عشوائية A(x,y)
للقيام بذلك، اختر قيمة عشوائية للإحداثي x واستبدلها في المعادلة. نحصل على قيمة y عند هذه النقطة. رسم النقطة على الرسم البياني. وقم أيضًا بوضع علامة على نقطة على الرسم البياني متناظرة مع النقطة A(x,y).
9. قم بتوصيل النقاط التي تم الحصول عليها على الرسم البياني بخط ناعم واستمر في الرسم البياني بعده النقاط المتطرفة، إلى نهاية المحور الإحداثي. قم بتسمية الرسم البياني إما على رأس الرسم البياني أو على طول الرسم البياني نفسه، إذا سمحت المساحة بذلك.
مثال على التآمر
على سبيل المثال، لنرسم دالة تربيعية معطاة بالمعادلة y=x^2+4*x-1
1. ارسم محاور الإحداثيات، وقم بتسميتها ووضع علامة على مقطع الوحدة.
2. قيم المعامل أ=1، ب=4، ج= -1. وبما أن a=1، وهو أكبر من الصفر، فإن فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأعلى.
3. حدد الإحداثي X لرأس القطع المكافئ Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. تحديد الإحداثيات Y لرأس القطع المكافئ
الرؤوس = أ*(س^2)+ب*س+ج = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. ضع علامة على الرأس وارسم محور التماثل.
6. أوجد نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة التربيعية مع محور الثور. نحل المعادلة التربيعية x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. نحتفل بالقيم التي تم الحصول عليها على الرسم البياني.
7. أوجد نقاط تقاطع الرسم البياني مع محور أوي.
س=0; ص=-1
8. اختر نقطة عشوائية ب. اجعل إحداثيتها x=1.
ثم ص=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. قم بتوصيل النقاط التي تم الحصول عليها وتوقيع الرسم البياني.
كما تبين الممارسة، فإن المهام المتعلقة بالخصائص والرسوم البيانية للدالة التربيعية تسبب صعوبات خطيرة. هذا غريب جدًا، لأنهم يدرسون الدالة التربيعية في الصف الثامن، ثم طوال الربع الأول من الصف التاسع "يعذبون" خصائص القطع المكافئ ويبنون رسومهم البيانية لمعلمات مختلفة.
ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه عند إجبار الطلاب على بناء القطع المكافئة، فإنهم لا يكرسون وقتًا عمليًا لـ "قراءة" الرسوم البيانية، أي أنهم لا يمارسون فهم المعلومات الواردة من الصورة. على ما يبدو، من المفترض أنه بعد إنشاء عشرات أو اثنين من الرسوم البيانية، سوف يكتشف الطالب الذكي نفسه ويصوغ العلاقة بين المعاملات في الصيغة و مظهرالفنون التصويرية. في الممارسة العملية هذا لا يعمل. يتطلب مثل هذا التعميم خبرة جادة في الأبحاث الرياضية المصغرة، وهو ما لا يمتلكه معظم طلاب الصف التاسع بالطبع. وفي الوقت نفسه، تقترح مفتشية الدولة تحديد علامات المعاملات باستخدام الجدول الزمني.
لن نطلب المستحيل من تلاميذ المدارس وسنقدم ببساطة إحدى الخوارزميات لحل مثل هذه المشكلات.
لذلك، وظيفة النموذج ص = الفأس 2 + ب س + جتسمى المعادلة التربيعية، ورسمها البياني عبارة عن قطع مكافئ. كما يوحي الاسم، فإن المصطلح الرئيسي هو الفأس 2. إنه ألا ينبغي أن تكون تساوي الصفر، والمعاملات المتبقية ( بو مع) يمكن أن يساوي الصفر.
دعونا نرى كيف تؤثر علامات معاملاتها على ظهور القطع المكافئ.
أبسط الاعتماد على المعامل أ. يجيب معظم تلاميذ المدارس بثقة: "إذا". أ> 0، فإن فروع القطع المكافئ موجهة للأعلى، و if أ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой أ > 0.
ص = 0.5س 2 - 3س + 1
في هذه الحالة أ = 0,5
والآن ل أ < 0:
ص = - 0.5x2 - 3x + 1
في هذه الحالة أ = - 0,5
تأثير المعامل معمن السهل أيضًا متابعته. لنتخيل أننا نريد إيجاد قيمة دالة عند نقطة ما X= 0. استبدل الصفر في الصيغة:
ذ = أ 0 2 + ب 0 + ج = ج. لقد أتضح أن ص = ج. إنه معهي إحداثية نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور y. عادة، من السهل العثور على هذه النقطة على الرسم البياني. وتحديد هل يقع فوق الصفر أم تحته. إنه مع> 0 أو مع < 0.
مع > 0:
ص = س 2 + 4س + 3
مع < 0
ص = س 2 + 4س - 3
وبناء على ذلك، إذا مع= 0، فإن القطع المكافئ سيمر بالضرورة عبر نقطة الأصل:
ص = س 2 + 4س
أكثر صعوبة مع المعلمة ب. النقطة التي سنجدها لا تعتمد عليها فقط بولكن أيضا من أ. هذا هو الجزء العلوي من القطع المكافئ. الإحداثي المحوري (إحداثيات المحور X) تم العثور عليها بواسطة الصيغة س في = - ب/(2أ). هكذا، ب = - 2ax في. أي أننا نتصرف على النحو التالي: نجد قمة القطع المكافئ على الرسم البياني، ونحدد علامة الإحداثي، أي أننا ننظر إلى يمين الصفر ( × في> 0) أو إلى اليسار ( × في < 0) она лежит.
ومع ذلك، هذا ليس كل شيء. علينا أيضًا الانتباه إلى إشارة المعامل أ. أي انظر إلى أين تتجه فروع القطع المكافئ. وفقط بعد ذلك حسب الصيغة ب = - 2ax فيتحديد العلامة ب.
لنلقي نظرة على مثال:
يتم توجيه الفروع إلى الأعلى، مما يعني أ> 0، القطع المكافئ يتقاطع مع المحور فيتحت الصفر، أي مع < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, × في> 0. إذن ب = - 2ax في = -++ = -. ب < 0. Окончательно имеем: أ > 0, ب < 0, مع < 0.
في دروس الرياضيات في المدرسة، لقد تعرفت بالفعل على أبسط الخصائص والرسم البياني للدالة ص = س 2. دعونا توسيع معرفتنا على وظيفة من الدرجة الثانية.
التمرين 1.
رسم بياني للوظيفة ص = س 2. المقياس: 1 = 2 سم حدد نقطة على محور أوي F(0 ؛ 1/4). باستخدام البوصلة أو شريط من الورق، قم بقياس المسافة من النقطة Fإلى حد ما مالقطع المكافئة. ثم قم بتثبيت الشريط عند النقطة M وقم بتدويره حول تلك النقطة حتى يصبح عموديًا. سوف تقع نهاية الشريط أسفل المحور السيني قليلاً (رسم بياني 1). حدد على الشريط مدى امتداده خارج المحور السيني. الآن خذ نقطة أخرى على القطع المكافئ وكرر القياس مرة أخرى. إلى أي مدى سقطت حافة الشريط أسفل المحور السيني؟
نتيجة:بغض النظر عن النقطة الموجودة على القطع المكافئ y = x 2، فإن المسافة من هذه النقطة إلى النقطة F(0; 1/4) ستكون أكبر من المسافة من نفس النقطة إلى محور الإحداثي السيني بنفس الرقم دائمًا - 1/4.
يمكننا أن نقول ذلك بشكل مختلف: المسافة من أي نقطة من القطع المكافئ إلى النقطة (0؛ 1/4) تساوي المسافة من نفس نقطة القطع المكافئ إلى الخط المستقيم y = -1/4. تسمى هذه النقطة الرائعة F(0; 1/4). ركزالقطع المكافئ y = x 2، والخط المستقيم y = -1/4 - ناظرةهذا القطع المكافئ. كل قطع مكافئ له دليل وبؤرة.
خصائص مثيرة للاهتمام من القطع المكافئ:
1. تكون أي نقطة من القطع المكافئ على مسافة متساوية من نقطة ما تسمى بؤرة القطع المكافئ، ومن نقطة أخرى من الخط المستقيم تسمى دليله.
2. إذا قمت بتدوير قطع مكافئ حول محور التماثل (على سبيل المثال، القطع المكافئ y = x 2 حول محور Oy)، فسوف تحصل على سطح مثير للاهتمام للغاية يسمى القطع المكافئ للثورة.
سطح السائل في وعاء دوار له شكل القطع المكافئ للثورة. يمكنك رؤية هذا السطح إذا قمت بالتحريك بقوة باستخدام ملعقة في كوب شاي غير مكتمل، ثم قم بإزالة الملعقة.
3. إذا رميت حجرًا في الفراغ بزاوية معينة مع الأفق، فسوف يطير في شكل قطع مكافئ (الصورة 2).
4. إذا تقاطعت سطح المخروط مع مستوى موازي لأي من مولداته، فإن المقطع العرضي سينتج عنه قطع مكافئ (تين. 3).
5. تتمتع المتنزهات الترفيهية أحيانًا برحلة ممتعة تسمى Paraboloid of Wonders. يبدو لكل من يقف داخل القطع المكافئ الدوار أنه يقف على الأرض، بينما يتمسك بقية الأشخاص بطريقة ما بأعجوبة بالجدران.
6. ب التلسكوبات المرآةتُستخدم أيضًا المرايا المكافئة: يتم تجميع ضوء نجم بعيد، يأتي في شعاع متوازي، يسقط على مرآة التلسكوب، في البؤرة.
7. تحتوي الأضواء الكاشفة عادة على مرآة على شكل قطع مكافئ. إذا قمت بوضع مصدر ضوء في بؤرة القطع المكافئ، فإن الأشعة المنعكسة من المرآة ذات القطع المكافئ تشكل شعاعًا متوازيًا.
رسم بياني للدالة التربيعية
درست في دروس الرياضيات كيفية الحصول على الرسوم البيانية لدوال النموذج من الرسم البياني للدالة y = x 2:
1) ص = الفأس 2– تمديد الرسم البياني y = x 2 على طول محور Oy في |a| مرات (مع |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, أرز. 4).
2) ص = س 2 + ن- إزاحة الرسم البياني بمقدار n من الوحدات على طول محور Oy، وإذا كانت n > 0، فإن الإزاحة تكون للأعلى، وإذا كانت n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) ص = (س + م) 2- إزاحة الرسم البياني بوحدات م على طول محور الثور: إذا م< 0, то вправо, а если m >0 ثم غادر (الشكل 5).
4) ص = -س 2– عرض متماثل بالنسبة لمحور الثور في الرسم البياني y = x 2 .
دعونا نلقي نظرة فاحصة على رسم الوظيفة ص = أ(س – م) 2 + ن.
يمكن دائمًا اختزال الدالة التربيعية بالصيغة y = ax 2 + bx + c إلى الصورة
ص = أ(س – م) 2 + ن، حيث م = -ب/(2أ)، ن = -(ب 2 – 4أ)/(4أ).
دعونا نثبت ذلك.
حقًا،
ص = الفأس 2 + ب س + ج = أ(س 2 + (ب/أ) س + ج/أ) =
أ(س 2 + 2س · (ب/أ) + ب 2 /(4أ 2) – ب 2 /(4أ 2) + ج/أ) =
أ((x + ب/2أ) 2 – (ب 2 – 4أ)/(4أ 2)) = أ(س + ب/2أ) 2 – (ب 2 – 4أ)/(4أ).
دعونا نقدم رموزا جديدة.
يترك م = -ب/(2أ)، أ ن = -(ب2 – 4أ)/(4أ),
ثم نحصل على y = a(x – m) 2 + n أو y – n = a(x – m) 2.
لنجري المزيد من البدائل: دع y – n = Y، x – m = X (*).
ثم نحصل على الدالة Y = aX 2، ورسمها البياني عبارة عن قطع مكافئ.
قمة القطع المكافئ تقع في نقطة الأصل. س = 0؛ ص = 0.
باستبدال إحداثيات الرأس في (*)، نحصل على إحداثيات قمة الرسم البياني y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.
وبالتالي، من أجل رسم دالة تربيعية ممثلة بـ
ص = أ(س – م) 2 + ن
من خلال التحولات، يمكنك المتابعة على النحو التالي:
أ)ارسم الدالة y = x 2 ;
ب)عن طريق الترجمة المتوازية على طول محور الثور بوحدات m وعلى طول محور Oy بوحدات n - نقل قمة القطع المكافئ من الأصل إلى النقطة ذات الإحداثيات (m؛ n) (الشكل 6).
تسجيل التحولات:
ص = س 2 → ص = (س – م) 2 → ص = أ(س – م) 2 → ص = أ(س – م) 2 + ن.
مثال.
باستخدام التحويلات، أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y = 2(x – 3) 2 في نظام الإحداثيات الديكارتية – 2.
حل.
سلسلة التحولات:
ص = س 2 (1) → ص = (س – 3) 2 (2) → ص = 2(س – 3) 2 (3) → ص = 2(س – 3) 2 – 2 (4) .
يظهر التخطيط في أرز. 7.
يمكنك التدرب على رسم الدوال التربيعية بيانيًا بنفسك. على سبيل المثال، قم ببناء رسم بياني للدالة y = 2(x + 3) 2 + 2 في نظام إحداثي واحد باستخدام التحويلات. إذا كانت لديك أي أسئلة أو ترغب في الحصول على نصيحة من أحد المعلمين، فلديك الفرصة لإجراء درس مجاني مدته 25 دقيقة مع مدرس عبر الإنترنتبعد التسجيل . لمزيد من العمل مع المعلم، يمكنك اختيار خطة التعريفة التي تناسبك.
لا تزال لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية رسم دالة تربيعية؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
الدرس الأول مجاني!
موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.