جدول التكاملات غير المحددة للوظائف. مشتق مضاد

في المدرسة، يفشل العديد من الأشخاص في حل التكاملات أو يواجهون أي صعوبات معها. ستساعدك هذه المقالة على معرفة ذلك، حيث ستجد كل شيء فيه. جداول متكاملة.

أساسيهي واحدة من الحسابات والمفاهيم الرئيسية في التحليل الرياضي. وقد نتج ظهورها عن غرضين:
الهدف الاول- استعادة وظيفة باستخدام مشتقها.
الهدف الثاني- حساب المساحة الواقعة على المسافة من الرسم البياني إلى الدالة f(x) على الخط المستقيم حيث تكون a أكبر من أو تساوي x أكبر من أو تساوي b والمحور x.

هذه الأهداف تقودنا إلى تكاملات محددة وغير محددة. العلاقة بين هذه التكاملات تكمن في البحث عن الخصائص والحساب. لكن كل شيء يتدفق وكل شيء يتغير مع مرور الوقت، وتم العثور على حلول جديدة، وتم تحديد الإضافات، مما يؤدي إلى تكاملات محددة وغير محددة إلى أشكال أخرى من التكامل.

ماذا حدث تكامل غير محدد أنت تسأل. هذه دالة مشتقة عكسية F(x) لمتغير واحد x في الفترة a أكبر من x أكبر من b. تسمى أي دالة F(x)، في فترة زمنية معينة لأي تسمية x، المشتق يساوي F(x). من الواضح أن F(x) هو مشتق عكسي لـ f(x) في الفترة a أكبر من x أكبر من b. هذا يعني أن F1(x) = F(x) + C. C - هو أي ثابت ومشتق عكسي لـ f(x) في فترة زمنية معينة. هذا البيانقابلة للعكس، بالنسبة للدالة f(x) - 2، تختلف المشتقات العكسية فقط في الثابت. استنادا إلى نظرية حساب التكامل، اتضح أن كل مستمرة في الفترة أ

تكامل محدد يُفهم على أنه نهاية في مجاميع متكاملة، أو في حالة دالة معينة f(x) محددة على سطر ما (a,b) به مشتق عكسي F عليه، مما يعني اختلاف تعبيراته في نهايات سطر معين و(ب) - و(أ).

لتوضيح دراسة هذا الموضوع أقترح مشاهدة الفيديو. وهو يحكي بالتفصيل ويظهر كيفية العثور على التكاملات.

يعد كل جدول من التكاملات في حد ذاته مفيدًا جدًا، لأنه يساعد في حل نوع معين من التكاملات.

الجميع الأنواع الممكنةالقرطاسية وأكثر من ذلك. يمكنك الشراء من خلال المتجر الإلكتروني v-kant.ru. أو فقط اتبع الرابط Stationery Samara (http://v-kant.ru) ستفاجئك الجودة والأسعار بسرور.

الصيغ الأساسية وطرق التكامل. قاعدة تكامل المبلغ أو الفرق. نقل الثابت خارج علامة التكامل. طريقة الاستبدال المتغيرة. صيغة التكامل بالأجزاء مثال على حل مشكلة.

الطرق الأربعة الرئيسية للتكامل مذكورة أدناه.

1) قاعدة تكامل المبلغ أو الفرق.
.
هنا وتحت u، v، w هي دوال لمتغير التكامل x.

2) نقل الثابت خارج علامة التكامل.
دع c يكون ثابتًا مستقلاً عن x. ومن ثم يمكن إخراجها من علامة التكامل.

3) طريقة الاستبدال المتغيرة.
دعونا نفكر في التكامل غير المحدد.
إذا تمكنا من العثور على مثل هذه الوظيفة φ (خ)من x، لذلك
,
ثم، عن طريق استبدال المتغير t = φ(x) ، لدينا
.

4) صيغة التكامل بالأجزاء
,
حيث u و v دالتان لمتغير التكامل.

الهدف النهائي للحساب التكاملات غير المحددة- وذلك من خلال التحويلات لاختزال تكامل معين إلى أبسط التكاملات، والتي تسمى التكاملات الجدولية. يتم التعبير عن تكاملات الجدول من خلال الوظائف الأولية باستخدام الصيغ المعروفة.
انظر جدول التكاملات >>>

مثال

حساب التكامل غير المحدد

حل

نلاحظ أن التكامل هو مجموع ثلاثة حدود والفرق بينها:
، و .
تطبيق الطريقة 1 .

بعد ذلك، نلاحظ أن تكاملات التكاملات الجديدة مضروبة في الثوابت 5, 4, و 2 ، على التوالى. تطبيق الطريقة 2 .

في جدول التكاملات نجد الصيغة
.
على افتراض ن = 2 ، نجد التكامل الأول.

دعونا نعيد كتابة التكامل الثاني في النموذج
.
نلاحظ ذلك . ثم

دعونا نستخدم الطريقة الثالثة. نغير المتغير t = φ (خ) = سجل س.
.
في جدول التكاملات نجد الصيغة

وبما أن متغير التكامل يمكن الإشارة إليه بأي حرف، إذن

دعونا نعيد كتابة التكامل الثالث في النموذج
.
نحن نطبق صيغة التكامل بالأجزاء.
دعونا نضعها.
ثم
;
;

;
;
.

في المواد السابقة، تم النظر في مسألة إيجاد المشتق وتم عرض تطبيقاته المختلفة: حساب ميل المماس للرسم البياني، وحل مشاكل التحسين، ودراسة وظائف الرتابة والنقاط القصوى. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

الصورة 1.

تم أيضًا النظر في مشكلة إيجاد السرعة اللحظية $v(t)$ باستخدام المشتق على طول مسار معروف سابقًا، معبرًا عنه بالدالة $s(t)$.

الشكل 2.

المشكلة العكسية شائعة جدًا أيضًا، عندما تحتاج إلى العثور على المسار $s(t)$ الذي تم اجتيازه بنقطة زمنية $t$، مع معرفة سرعة النقطة $v(t)$. إذا تذكرنا، تم العثور على السرعة اللحظية $v(t)$ كمشتق لدالة المسار $s(t)$: $v(t)=s'(t)$. هذا يعني أنه من أجل حل المشكلة العكسية، أي حساب المسار، فأنت بحاجة إلى العثور على دالة تكون مشتقتها مساوية لدالة السرعة. لكننا نعلم أن مشتقة المسار هي السرعة، أي: $s’(t) = v(t)$. السرعة تساوي التسارع في الزمن: $v=at$. من السهل تحديد أن دالة المسار المطلوبة سيكون لها الشكل: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. ولكن هذا ليس الحل الكامل تماما. سيكون الحل الكامل بالصيغة: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$، حيث $C$ هو ثابت ما. لماذا هذا الأمر سيتم مناقشته أكثر. الآن، دعونا نتحقق من صحة الحل الذي تم العثور عليه: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(ر)$.

تجدر الإشارة إلى أن العثور على مسار يعتمد على السرعة هو المعنى المادي للمشتق العكسي.

تسمى الدالة الناتجة $s(t)$ بالمشتق العكسي للدالة $v(t)$. اسم مثير للاهتمام وغير عادي، أليس كذلك؟ ففيه معنى عظيم يوضح جوهر هذا المفهوم ويؤدي إلى فهمه. ستلاحظ أنه يحتوي على كلمتين "الأول" و"الصورة". يتحدثون عن أنفسهم. أي أن هذه هي الدالة الابتدائية للمشتقة التي لدينا. وباستخدام هذه المشتقة نبحث عن الدالة التي كانت في البداية، كانت "الأولى"، "الصورة الأولى"، أي المشتقة العكسية. ويطلق عليها أحيانًا أيضًا دالة بدائية أو مشتقة عكسية.

كما نعلم بالفعل، تسمى عملية إيجاد المشتقة بالاشتقاق. وعملية إيجاد المشتقة العكسية تسمى التكامل. عملية التكامل هي عكس عملية التفاضل. والعكس صحيح أيضا.

تعريف.المشتق العكسي للدالة $f(x)$ في فترة زمنية معينة هو دالة $F(x)$ مشتقتها تساوي هذه الدالة $f(x)$ لجميع $x$ من الفترة المحددة: $F' (س)=و (س)$.

قد يكون لدى شخص ما سؤال: من أين أتى $F(x)$ و $f(x)$ في التعريف، إذا كنا نتحدث في البداية عن $s(t)$ و $v(t)$. والحقيقة هي أن $s(t)$ و $v(t)$ هما حالتان خاصتان لتعيين الوظيفة التي لها معنى محدد في هذه الحالة، أي أنهما دالة للوقت ودالة للسرعة، على التوالي. إنه نفس الشيء مع المتغير $t$ - فهو يشير إلى الوقت. و$f$ و$x$ هما المتغير التقليدي للتسمية العامة للدالة والمتغير، على التوالي. يجدر الانتباه بشكل خاص إلى تدوين المشتق العكسي $F(x)$. بادئ ذي بدء، $F$ هو رأس المال. يشار إلى المشتقات المضادة بالأحرف الكبيرة. ثانيا، الحروف هي نفسها: $F$ و $f$. أي أنه بالنسبة للدالة $g(x)$، سيتم الإشارة إلى المشتق العكسي بالرمز $G(x)$، وبالنسبة إلى $z(x)$ - بالرمز $Z(x)$. بغض النظر عن التدوين، فإن قواعد العثور على دالة مشتقة عكسية هي نفسها دائمًا.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1.أثبت أن الدالة $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ هي مشتق عكسي للدالة $f(x)=\cos5x$.

لإثبات ذلك سوف نستخدم التعريف، و بتعبير أدقحقيقة أن $F'(x)=f(x)$، وأوجد مشتقة الدالة $F(x)$: $F'(x)=(\frac(1)(5) \sin5x)'= \frac (1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. هذا يعني أن $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ هو المشتق العكسي لـ $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

مثال 2.ابحث عن الوظائف التي تتوافق مع المشتقات العكسية التالية: a) $F(z)=\tg z$; ب) $G(l) = \sin l$.

للعثور على الدوال المطلوبة، دعونا نحسب مشتقاتها:
أ) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
ب) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

مثال 3.ما هو المشتق العكسي لـ $f(x)=0$؟
دعونا نستخدم التعريف. دعونا نفكر في أي دالة يمكن أن يكون لها مشتق يساوي $0$. وبتذكر جدول المشتقات، نجد أن أي ثابت سيكون له مثل هذه المشتقة. نجد أن المشتق العكسي الذي نبحث عنه هو: $F(x)= C$.

يمكن تفسير الحل الناتج هندسيًا وفيزيائيًا. هندسيًا، يعني ذلك أن مماس الرسم البياني $y=F(x)$ يكون أفقيًا عند كل نقطة من هذا الرسم البياني، وبالتالي، يتزامن مع محور $Ox$. من الناحية الفيزيائية، يتم تفسير ذلك من خلال حقيقة أن النقطة التي سرعتها تساوي الصفر تظل في مكانها، أي أن المسار الذي سلكته لم يتغير. وبناء على ذلك يمكننا صياغة النظرية التالية.

نظرية. (علامة ثبات الوظائف). إذا كانت قيمة $F'(x) = 0$ في فترة ما، فإن الدالة $F(x)$ في هذه الفترة تكون ثابتة.

مثال 4.تحديد الدوال التي تعتبر مشتقات عكسية لـ a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; ب) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; ج) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; د) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$، حيث $a$ هو رقم ما.
باستخدام تعريف المشتقة العكسية، نستنتج أنه لحل هذه المشكلة علينا حساب مشتقات دوال المشتقة العكسية المعطاة لنا. عند الحساب، تذكر أن مشتقة الثابت، أي أي عدد، تساوي صفرًا.
أ) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
ب) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
ج) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
د) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

ماذا نرى؟ العديد من الوظائف المختلفة هي أوليات لنفس الوظيفة. يشير هذا إلى أن أي دالة تحتوي على عدد لا نهائي من المشتقات العكسية، ولها الشكل $F(x) + C$، حيث $C$ هو ثابت عشوائي. أي أن عملية التكامل متعددة القيم، على عكس عملية التفاضل. بناءً على ذلك، دعونا نصيغ نظرية تصف الخاصية الرئيسية للمشتقات العكسية.

نظرية. (الخاصية الرئيسية للمشتقات المضادة). اجعل الدالتين $F_1$ و$F_2$ مشتقتين عكسيتين للدالة $f(x)$ في فترة ما. ثم تكون المساواة التالية صحيحة لجميع القيم من هذا الفاصل الزمني: $F_2=F_1+C$، حيث يكون $C$ ثابتًا ما.

يمكن تفسير حقيقة وجود عدد لا حصر له من المشتقات العكسية هندسيًا. باستخدام الترجمة المتوازية على طول المحور $Oy$، يمكن للمرء الحصول من بعضهم البعض على الرسوم البيانية لأي مشتقين عكسيين لـ $f(x)$. هذا هو معنى هندسيمشتق مضاد.

من المهم جدًا الانتباه إلى حقيقة أنه من خلال اختيار الثابت $C$، يمكنك التأكد من أن الرسم البياني للمشتق العكسي يمر عبر نقطة معينة.

الشكل 3.

مثال 5.أوجد المشتق العكسي للدالة $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$، التي يمر رسمها البياني بالنقطة $(3; 1)$.
دعونا أولاً نعثر على جميع المشتقات العكسية لـ $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
بعد ذلك، سنجد الرقم C الذي سيمر الرسم البياني له $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ عبر النقطة $(3; 1)$. للقيام بذلك، نعوض بإحداثيات النقطة في معادلة الرسم البياني ونحلها للحصول على $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$، $C=-5$.
لقد حصلنا على رسم بياني $y=\frac(x^3)(9)+x-5$، والذي يتوافق مع المشتق العكسي $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

جدول المشتقات المضادة

يمكن تجميع جدول الصيغ الخاصة بإيجاد المشتقات العكسية باستخدام الصيغ الخاصة بإيجاد المشتقات.

جدول المشتقات المضادة

المهام	المشتقات المضادة
$0$	$ج$
$1$	$x+C$
$أ\في R$	$فأس+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln\|x\|+C$
$ \ الخطيئة × $	$-\cos x+C$
$\كوس س$	$\الخطيئة س+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg س+C$
$ه^س$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

يمكنك التحقق من صحة الجدول بالطريقة التالية: لكل مجموعة من المشتقات العكسية الموجودة في العمود الأيمن، ابحث عن المشتق الذي سيؤدي إلى الوظائف المقابلة في العمود الأيسر.

بعض القواعد لإيجاد المشتقات العكسية

كما تعلمون، العديد من الوظائف لديها أكثر من ذلك نظرة معقدة، بدلاً من تلك المشار إليها في جدول المشتقات العكسية، ويمكن أن تمثل أي مجموعة عشوائية من مجاميع ومنتجات الدوال من هذا الجدول. وهنا يطرح السؤال: كيفية حساب المشتقات العكسية لهذه الوظائف. على سبيل المثال، من الجدول نعرف كيفية حساب المشتقات العكسية لـ $x^3$ و$\sin x$ و$10$. كيف، على سبيل المثال، يمكن حساب المشتق العكسي $x^3-10\sin x$؟ بالنظر إلى المستقبل، تجدر الإشارة إلى أنه سيكون مساويًا لـ $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. إذا كان $F(x)$ مشتقًا عكسيًا لـ $f(x)$، و$G(x)$ لـ $g(x)$، فبالنسبة لـ $f(x)+g(x)$ فإن المشتق العكسي سيكون يساوي $ F(x)+G(x)$.
2. إذا كان $F(x)$ هو مشتق عكسي لـ $f(x)$ وكان $a$ ثابتًا، فإن المشتق العكسي لـ $af(x)$ هو $aF(x)$.
3. إذا كان المشتق العكسي لـ $f(x)$ هو $F(x)$، و $a$ و $b$ ثوابت، فإن $\frac(1)(a) F(ax+b)$ هو المشتق العكسي لـ $f (ax+b)$.
باستخدام القواعد التي تم الحصول عليها يمكننا توسيع جدول المشتقات العكسية.

المهام	المشتقات المضادة
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b)، a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln\|ax+b\|+C$
$e^(ax+b)، a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b)، a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b)، a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

مثال 5.ابحث عن المشتقات المضادة لـ:

أ) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

ب) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

ج) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

د) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

أ) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) س^8+C$;

ب) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

ج) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

د) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

في هذه الصفحة سوف تجد:

1. في الواقع، جدول المشتقات العكسية - يمكن تنزيله من تنسيق PDFوالطباعة؛

2. فيديو حول كيفية استخدام هذا الجدول؛

3. مجموعة من الأمثلة لحساب المشتق العكسي من الكتب المدرسية والاختبارات المختلفة.

في الفيديو نفسه، سنحلل العديد من المسائل التي تحتاج فيها إلى حساب المشتقات العكسية للدوال، والتي غالبًا ما تكون معقدة للغاية، ولكن الأهم من ذلك، أنها ليست دوال قوى. جميع الوظائف الملخصة في الجدول المقترح أعلاه يجب أن تكون معروفة عن ظهر قلب، مثل المشتقات. بدونها، من المستحيل إجراء مزيد من الدراسة للتكاملات وتطبيقها لحل المشكلات العملية.

اليوم نواصل دراسة المشتقات المضادة وننتقل إلى المزيد موضوع معقد. إذا نظرنا في المرة الأخيرة إلى المشتقات العكسية لدوال القوة والإنشاءات الأكثر تعقيدًا قليلًا، فسوف ننظر اليوم إلى علم المثلثات وأكثر من ذلك بكثير.

كما قلت في الدرس الأخير، المشتقات العكسية، على عكس المشتقات، لا يتم حلها "على الفور" باستخدام أي قواعد قياسية. علاوة على ذلك، فإن الأخبار السيئة هي أنه، على عكس المشتق، قد لا يتم أخذ المشتق العكسي في الاعتبار على الإطلاق. إذا كتبنا دالة عشوائية تمامًا وحاولنا العثور على مشتقها، فسننجح باحتمال كبير جدًا، لكن المشتق العكسي لن يتم حسابه أبدًا في هذه الحالة. ولكن هناك أخبار جيدة: هناك فئة كبيرة إلى حد ما من الوظائف تسمى الوظائف الأولية، والتي من السهل جدًا حساب المشتقات العكسية لها. وجميع الهياكل الأخرى الأكثر تعقيدًا التي يتم تقديمها في جميع أنواع الاختبارات والاختبارات والامتحانات المستقلة، في الواقع، تتكون من هذه الوظائف الأولية من خلال الجمع والطرح وغيرها من الإجراءات البسيطة. منذ فترة طويلة تم حساب النماذج الأولية لهذه الوظائف وتجميعها في جداول خاصة. هذه الوظائف والجداول هي التي سنعمل معها اليوم.

لكننا سنبدأ، كما هو الحال دائمًا، بالتكرار: دعونا نتذكر ما هي المشتقة العكسية، ولماذا يوجد عدد لا نهائي منها وكيفية تعريفها الشكل العام. للقيام بذلك، التقطت مشكلتين بسيطتين.

حل الأمثلة السهلة

مثال 1

دعونا نلاحظ على الفور أن $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ وبشكل عام وجود $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ يلمح لنا على الفور أن المشتق العكسي المطلوب للدالة مرتبط بعلم المثلثات. وبالفعل، إذا نظرنا إلى الجدول، فسنجد أن $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ليس أكثر من $\text(arctg)x$. لذلك دعونا نكتبها:

لكي تجده عليك أن تكتب ما يلي:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( )))(6)=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+ج\]

المثال رقم 2

نحن هنا نتحدث أيضا عن الدوال المثلثية. إذا نظرنا إلى الجدول، فبالفعل هذا ما يحدث:

نحتاج أن نجد من بين مجموعة المشتقات العكسية بأكملها تلك التي تمر عبر النقطة المشار إليها:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text()=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

دعونا نكتبها أخيرًا:

بكل بساطة. المشكلة الوحيدة هي أنه من أجل حساب المشتقات المضادة وظائف بسيطة، أنت بحاجة إلى تعلم جدول المشتقات العكسية. ومع ذلك، بعد دراسة جدول المشتقات بالنسبة لك، أعتقد أن هذا لن يكون مشكلة.

حل المسائل التي تحتوي على دالة أسية

في البداية، دعونا نكتب الصيغ التالية:

\[((ه)^(x))\إلى ((ه)^(x))\]

\[((أ)^(x))\إلى \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

دعونا نرى كيف يعمل كل هذا في الممارسة العملية.

مثال 1

إذا نظرنا إلى محتويات الأقواس، نلاحظ أنه في جدول المشتقات العكسية لا يوجد مثل هذا التعبير لـ $((e)^(x))$ موجود في مربع، لذلك يجب توسيع هذا المربع. للقيام بذلك، نستخدم صيغ الضرب المختصرة:

دعونا نجد المشتق العكسي لكل مصطلح من المصطلحات:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\إلى \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\إلى \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

الآن دعونا نجمع كل الحدود في تعبير واحد ونحصل على المشتق العكسي العام:

المثال رقم 2

هذه المرة تكون الدرجة أكبر، وبالتالي فإن صيغة الضرب المختصرة ستكون معقدة للغاية. لذلك دعونا نفتح الأقواس:

الآن دعونا نحاول أخذ المشتق العكسي لصيغتنا من هذا البناء:

كما ترون، لا يوجد شيء معقد أو خارق للطبيعة في المشتقات العكسية للدالة الأسية. يتم حسابها جميعًا من خلال الجداول، ولكن من المحتمل أن يلاحظ الطلاب اليقظون أن المشتق العكسي $((e)^(2x))$ أقرب بكثير إلى $((e)^(x))$ من $((a) )^(x ))$. لذا، ربما تكون هناك قاعدة خاصة أخرى تسمح، بمعرفة المشتق العكسي $((e)^(x))$، بالعثور على $((e)^(2x))$؟ نعم، مثل هذه القاعدة موجودة. علاوة على ذلك، فهو جزء لا يتجزأ من العمل مع جدول المشتقات العكسية. سنقوم الآن بتحليلها باستخدام نفس التعبيرات التي تعاملنا معها للتو كمثال.

قواعد العمل مع جدول المشتقات العكسية

لنكتب وظيفتنا مرة أخرى:

في الحالة السابقة استخدمنا الصيغة التالية لحلها:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

ولكن الآن دعونا نفعل ذلك بشكل مختلف قليلاً: دعونا نتذكر على أي أساس $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. كما قلت من قبل، نظرًا لأن المشتق $((e)^(x))$ ليس أكثر من $((e)^(x))$، وبالتالي فإن مشتقه العكسي سيكون مساويًا لنفس $((e) ^ (x))$. لكن المشكلة هي أن لدينا $((e)^(2x))$ و$((e)^(-2x))$. لنحاول الآن إيجاد مشتقة $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime )=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

دعونا نعيد كتابة البناء لدينا مرة أخرى:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x))))(2) \right))^(\prime ))\]

هذا يعني أنه عندما نجد المشتق العكسي $((e)^(2x))$ نحصل على ما يلي:

\[((e)^(2x))\إلى \frac(((e)^(2x)))(2)\]

كما ترون، حصلنا على نفس النتيجة السابقة، لكننا لم نستخدم الصيغة للعثور على $((a)^(x))$. الآن قد يبدو هذا غبيًا: لماذا تعقيد الحسابات عندما تكون هناك صيغة قياسية؟ ومع ذلك، في التعبيرات الأكثر تعقيدًا قليلًا، ستجد أن هذه التقنية فعالة جدًا، أي. استخدام المشتقات للعثور على المشتقات العكسية.

كتمهيد، دعونا نوجد المشتق العكسي للـ $((e)^(2x))$ بطريقة مشابهة:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime )))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

عند الحساب، سيتم كتابة البناء لدينا على النحو التالي:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

لقد حصلنا على نفس النتيجة تماما، ولكن سلكنا طريقا مختلفا. هذا هو المسار الذي يبدو الآن أكثر تعقيدًا بالنسبة لنا، والذي سيصبح في المستقبل أكثر فعالية لحساب المشتقات العكسية الأكثر تعقيدًا واستخدام الجداول.

ملحوظة! هذا جدا نقطة مهمة: يمكن عد المشتقات العكسية، مثل المشتقات، بعدة طرق مختلفة. ومع ذلك، إذا كانت جميع الحسابات والحسابات متساوية، فإن الإجابة ستكون واحدة. لقد رأينا ذلك للتو في مثال $((e)^(-2x))$ - من ناحية، قمنا بحساب هذا المشتق العكسي "من خلال"، باستخدام التعريف وحسابه باستخدام التحويلات، من ناحية أخرى، تذكرنا أنه يمكن تمثيل $ ((e)^(-2x))$ كـ $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ وعندها فقط استخدمنا المشتق العكسي للدالة $( (a)^(x))$. ومع ذلك، بعد كل التحولات، كانت النتيجة هي نفسها، كما كان متوقعا.

والآن بعد أن فهمنا كل هذا، فقد حان الوقت للانتقال إلى شيء أكثر أهمية. سنقوم الآن بتحليل بنائين بسيطين، لكن التقنية التي سيتم استخدامها عند حلهما هي أداة أكثر قوة وإفادة من مجرد "التشغيل" بين المشتقات العكسية المجاورة من الجدول.

حل المشكلات: إيجاد المشتق العكسي للدالة

مثال 1

دعونا نقسم المبلغ الموجود في البسط إلى ثلاثة كسور منفصلة:

يعد هذا انتقالًا طبيعيًا ومفهومًا إلى حد ما - فمعظم الطلاب ليس لديهم مشاكل معه. دعونا نعيد كتابة تعبيرنا على النحو التالي:

الآن دعونا نتذكر هذه الصيغة:

وفي حالتنا سنحصل على ما يلي:

للتخلص من كل هذه الكسور المكونة من ثلاثة طوابق، أقترح القيام بما يلي:

المثال رقم 2

على عكس الكسر السابق، فإن المقام ليس منتجًا، ولكنه مجموع. في هذه الحالة، لم يعد بإمكاننا تقسيم الكسر إلى مجموع عدة كسور بسيطة، ولكن عليك أن تحاول بطريقة أو بأخرى التأكد من أن البسط يحتوي تقريبًا على نفس التعبير الموجود في المقام. في هذه الحالة، من السهل جدًا القيام بذلك:

هذا الترميز، والذي يسمى في اللغة الرياضية "إضافة صفر"، سيسمح لنا بتقسيم الكسر مرة أخرى إلى جزأين:

والآن لنجد ما كنا نبحث عنه:

هذا كل الحسابات. على الرغم من التعقيد الواضح الذي كان أكبر مما كان عليه في المشكلة السابقة، فقد تبين أن كمية الحسابات أصغر.

الفروق الدقيقة في الحل

وهنا تكمن الصعوبة الرئيسية في العمل مع المشتقات المضادة الجدولية، وهذا ملحوظ بشكل خاص في المهمة الثانية. الحقيقة هي أنه من أجل اختيار بعض العناصر التي يمكن حسابها بسهولة من خلال الجدول، نحتاج إلى معرفة ما نبحث عنه بالضبط، وفي البحث عن هذه العناصر يتكون الحساب الكامل للمشتقات العكسية.

بمعنى آخر، لا يكفي مجرد حفظ جدول المشتقات العكسية - يجب أن تكون قادرًا على رؤية شيء غير موجود بعد، ولكن ما يعنيه المؤلف والمترجم لهذه المشكلة. ولهذا السبب يجادل العديد من علماء الرياضيات والمعلمين والأساتذة باستمرار: "ما الذي يعنيه تناول المشتقات العكسية أو التكامل - هل هو مجرد أداة أم أنه فن حقيقي؟" في الحقيقة، في رأيي الشخصي، التكامل ليس فنًا على الإطلاق - لا يوجد فيه شيء سامٍ، إنه مجرد ممارسة والمزيد من الممارسة. ومن أجل التدريب، دعونا نحل ثلاثة أمثلة أكثر جدية.

نحن ندرب على التكامل في الممارسة العملية

المهمة رقم 1

لنكتب الصيغ التالية:

\[((x)^(n))\إلى \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\إلى \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

لنكتب ما يلي:

المشكلة رقم 2

دعونا نعيد كتابتها على النحو التالي:

إجمالي المشتق العكسي سيكون مساوياً لـ:

المشكلة رقم 3

تكمن صعوبة هذه المشكلة في أنه، على عكس الوظائف السابقة أعلاه، لا يوجد متغير $x$ على الإطلاق، أي. ليس من الواضح لنا ما يجب إضافته أو طرحه للحصول على شيء مشابه لما هو أدناه على الأقل. لكن في الواقع يعتبر هذا التعبير أبسط من أي من التعبيرات السابقة، لأنه يمكن إعادة كتابة هذه الدالة على النحو التالي:

ربما تتساءل الآن: لماذا تتساوى هذه الدوال؟ دعونا تحقق:

لنعيد كتابتها مرة أخرى:

دعونا نغير تعبيرنا قليلاً:

وعندما أشرح كل هذا لطلابي، تظهر نفس المشكلة دائمًا تقريبًا: مع الوظيفة الأولى، يكون كل شيء أكثر أو أقل وضوحًا، ومع الوظيفة الثانية، يمكنك أيضًا اكتشاف ذلك بالحظ أو الممارسة، ولكن ما نوع الوعي البديل الذي تستخدمه؟ تحتاج إلى حل المثال الثالث؟ في الواقع، لا تخافوا. التقنية التي استخدمناها عند حساب المشتق العكسي الأخير تسمى "تحليل الدالة إلى أبسط صورها"، وهي تقنية خطيرة للغاية، وسيتم تخصيص درس فيديو منفصل لها.

في غضون ذلك، أقترح العودة إلى ما درسناه للتو، أي إلى الوظائف الأسية وتعقيد المشكلات إلى حد ما فيما يتعلق بمحتواها.

مسائل أكثر تعقيدًا لحل الدوال الأسية للمشتقات العكسية

المهمة رقم 1

دعونا نلاحظ ما يلي:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

للعثور على المشتق العكسي لهذا التعبير، ما عليك سوى استخدام الصيغة القياسية - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

في حالتنا، سيكون المشتق العكسي كما يلي:

وبطبيعة الحال، بالمقارنة مع التصميم الذي قمنا بحله للتو، يبدو هذا التصميم أبسط.

المشكلة رقم 2

مرة أخرى، من السهل أن ترى أن هذه الدالة يمكن تقسيمها بسهولة إلى حدين منفصلين - كسرين منفصلين. دعونا نعيد الكتابة:

يبقى العثور على المشتق العكسي لكل من هذه المصطلحات باستخدام الصيغة الموضحة أعلاه:

على الرغم من التعقيد الكبير الواضح وظائف الأسيبالمقارنة مع القوة، تبين أن الحجم الإجمالي للحسابات والحسابات أسهل بكثير.

بالطبع، بالنسبة للطلاب ذوي المعرفة، فإن ما ناقشناه للتو (خاصة على خلفية ما ناقشناه من قبل) قد يبدو وكأنه تعبيرات أولية. ومع ذلك، عند اختيار هاتين المسألتين لدرس الفيديو اليوم، لم أضع لنفسي هدفًا بإخبارك بتقنية أخرى معقدة ومتطورة - كل ما أردت أن أوضحه لك هو أنه لا ينبغي أن تخاف من استخدام تقنيات الجبر القياسية لتحويل الوظائف الأصلية .

باستخدام تقنية "سرية".

في الختام، أود أن ألقي نظرة على تقنية أخرى مثيرة للاهتمام، من ناحية، تتجاوز ما ناقشناه بشكل رئيسي اليوم، ولكن من ناحية أخرى، أولا، ليست معقدة على الإطلاق، أي. حتى الطلاب المبتدئين يمكنهم إتقانها، وثانيًا، غالبًا ما توجد في جميع أنواع الاختبارات والعمل المستقل، أي. معرفتها ستكون مفيدة جدًا بالإضافة إلى معرفة جدول المشتقات العكسية.

المهمة رقم 1

من الواضح أن لدينا شيئًا مشابهًا جدًا لدالة القوة. ماذا يجب أن نفعل في هذه الحالة؟ دعونا نفكر في الأمر: $x-5$ لا يختلف كثيرًا عن $x$ - لقد أضافوا للتو $-5$. لنكتبها هكذا:

\[((x)^(4))\إلى \frac(((x)^(5))))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((س)^(4))\]

دعونا نحاول العثور على مشتق $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

هذا يعني:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ صحيح))^(\prime ))\]

لا توجد مثل هذه القيمة في الجدول، لذا اشتقنا هذه الصيغة بأنفسنا باستخدام صيغة المشتقة العكسية القياسية لـ وظيفة الطاقة. لنكتب الجواب هكذا:

المشكلة رقم 2

قد يعتقد العديد من الطلاب الذين ينظرون إلى الحل الأول أن كل شيء بسيط للغاية: ما عليك سوى استبدال $x$ في دالة الطاقة بتعبير خطي، وسيقع كل شيء في مكانه. لسوء الحظ، كل شيء ليس بهذه البساطة، والآن سنرى هذا.

وقياساً على التعبير الأول نكتب ما يلي:

\[((x)^(9))\إلى \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

وبالعودة إلى مشتقتنا، يمكننا أن نكتب:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \يمين))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \يمين))^(10)))(-30) \يمين))^(\رئيسي ))\]

ويترتب على ذلك مباشرة:

الفروق الدقيقة في الحل

يرجى ملاحظة: إذا لم يتغير شيء جوهريًا في المرة الأخيرة، ففي الحالة الثانية، بدلاً من $-10$، ظهر $-30$. ما الفرق بين -10$ و-30$؟ من الواضح، بعامل $-3$. السؤال: من أين أتى؟ إذا نظرت عن كثب، يمكنك أن ترى أنه تم أخذه كنتيجة لحساب مشتق دالة معقدة - يظهر المعامل الذي يقف عند $x$ في المشتق العكسي أدناه. هذا جدا قاعدة مهمة، والتي لم أخطط في البداية لمناقشتها على الإطلاق في الفيديو التعليمي اليوم، ولكن بدونها سيكون عرض المشتقات العكسية الجدولية غير مكتمل.

لذلك دعونا نفعل ذلك مرة أخرى. يجب أن تكون هناك وظيفة الطاقة الرئيسية لدينا:

\[((x)^(n))\إلى \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

الآن، بدلاً من $x$، دعنا نستبدل التعبير $kx+b$. ماذا سيحدث بعد ذلك؟ نحن بحاجة إلى العثور على ما يلي:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\إلى \frac((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \يمين)\cdot ك)\]

وعلى أي أساس ندعي هذا؟ بسيط جدا. دعنا نجد مشتق البناء المكتوب أعلاه:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime )=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

وهذا هو نفس التعبير الذي كان موجودا في الأصل. وبالتالي، فإن هذه الصيغة صحيحة أيضًا، ويمكن استخدامها لتكملة جدول المشتقات العكسية، أو من الأفضل حفظ الجدول بأكمله ببساطة.

استنتاجات من "السر: التقنية:

في الواقع، يمكن اختزال كلتا الدالتين اللتين نظرنا إليهما للتو إلى المشتقات العكسية الموضحة في الجدول عن طريق توسيع الدرجات، ولكن إذا تمكنا بشكل أو بآخر من التعامل مع الدرجة الرابعة، فلن أفعل الدرجة التاسعة في تجرأ الجميع على الكشف.
إذا أردنا توسيع الصلاحيات، فسنحصل على هذا الحجم من الحسابات مهمة بسيطةسوف تقترض منا بشكل غير كاف عدد كبير منوقت.
ولهذا السبب فإن مثل هذه المشكلات التي تحتوي على تعبيرات خطية، لا تحتاج إلى حل "بتهور". بمجرد أن تصادف مشتقًا عكسيًا يختلف عن الموجود في الجدول فقط من خلال وجود التعبير $kx+b$ بالداخل، تذكر على الفور الصيغة المكتوبة أعلاه، واستبدلها في المشتق العكسي لجدولك، وسيظهر كل شيء كثيرًا أسرع وأسهل.

وبطبيعة الحال، ونظراً لتعقيد وخطورة هذه التقنية، سنعود إلى النظر فيها عدة مرات في دروس الفيديو المستقبلية، ولكن هذا كل ما لدينا اليوم. آمل أن يساعد هذا الدرس الطلاب الذين يرغبون في فهم المشتقات العكسية والتكامل.

التكامل ليس من الصعب تعلمه. للقيام بذلك، تحتاج فقط إلى تعلم مجموعة معينة صغيرة إلى حد ما من القواعد وتطوير نوع من الغريزة. من السهل بالطبع تعلم القواعد والصيغ، ولكن من الصعب جدًا فهم أين ومتى يتم تطبيق قاعدة أو أخرى من التكامل أو التمايز. هذه، في الواقع، هي القدرة على التكامل.

1. المشتق المضاد. تكامل غير محدد.

من المفترض أنه بحلول وقت قراءة هذه المقالة، يكون لدى القارئ بالفعل بعض مهارات التمايز (أي العثور على المشتقات).

التعريف 1.1:تسمى الدالة مشتقًا عكسيًا للدالة إذا كانت المساواة:

تعليقات:> التشديد في كلمة "بدائي" يمكن أن يقع على وجهين: أولاً يارمزية أو نموذج أولي أمعرفة.

الخاصية 1:إذا كانت الدالة مشتقة عكسية للدالة، فإن الدالة هي أيضًا مشتقة عكسية للدالة.

دليل:دعونا نثبت ذلك من تعريف المشتق العكسي. لنجد مشتقة الدالة:

الترم الأول في التعريف 1.1يساوي، والحد الثاني هو مشتقة الثابت الذي يساوي 0.

.

لخص. لنكتب بداية ونهاية سلسلة المساواة:

وبالتالي، فإن مشتقة الدالة تساوي، وبالتالي، بحكم التعريف، هي المشتقة العكسية لها. وقد ثبت العقار.

التعريف 1.2:التكامل غير المحدد للدالة هو المجموعة الكاملة من المشتقات العكسية لهذه الوظيفة. ويشار إلى ذلك على النحو التالي:

.

دعونا نلقي نظرة على أسماء كل جزء من السجل بالتفصيل:

- التسمية العامة للتكامل ،

- التعبير التكاملي (التكاملي)، الدالة التكاملية.

هو تفاضل، والتعبير الذي يلي الحرف، في هذه الحالة هو، سيسمى متغير التكامل.

تعليقات: الكلمات الدالةفي هذا التعريف – "كل الجمهور". أولئك. إذا لم يتم كتابة نفس "زائد C" في الإجابة في المستقبل، فإن للممتحن الحق الكامل في عدم احتساب هذه المهمة، لأن من الضروري العثور على مجموعة المشتقات العكسية بأكملها، وإذا كانت C مفقودة، فسيتم العثور على واحدة فقط.

خاتمة:من أجل التحقق مما إذا كان التكامل قد تم حسابه بشكل صحيح، فمن الضروري العثور على مشتق النتيجة. يجب أن يتزامن مع التكامل.
مثال:
يمارس:احسب التكامل غير المحدد وتحقق منه.

حل:

طريقة حساب هذا التكامل لا يهم في هذه الحالة. لنفترض أن هذا إعلان من فوق. ومهمتنا هي أن نبين أن الوحي لم يخدعنا، وهذا يمكن أن يتم عن طريق التحقق.

فحص:

عند اشتقاق النتيجة حصلنا على تكامل، مما يعني أنه تم حساب التكامل بشكل صحيح.

2. البداية. جدول التكاملات.

للتكامل، لا تحتاج إلى أن تتذكر في كل مرة الدالة التي تساوي مشتقتها التكامل المعطى (أي، استخدم تعريف التكامل مباشرة). تحتوي كل مجموعة من المسائل أو الكتب المدرسية عن التحليل الرياضي على قائمة بخصائص التكاملات وجدول بأبسط التكاملات.

دعونا قائمة الخصائص.

ملكيات:
1.
تكامل التفاضل يساوي متغير التكامل.
2. حيث هو ثابت.
يمكن إخراج المضاعف الثابت من علامة التكامل.

3.
تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات (إذا كان عدد الحدود محدودًا).
جدول التكاملات:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

في أغلب الأحيان، تتمثل المهمة في تقليل التكامل قيد الدراسة إلى تكامل جدولي باستخدام الخصائص والصيغ.

مثال:

[دعونا نستخدم الخاصية الثالثة للتكاملات ونكتبها كمجموع ثلاثة تكاملات.]

[دعونا نستخدم الخاصية الثانية وننقل الثوابت إلى ما بعد علامة التكامل.]

[ في التكامل الأول سنستخدم التكامل الجدولي رقم 1 (ن=2)، وفي الثاني سنستخدم نفس الصيغة، لكن ن=1، وفي التكامل الثالث يمكننا إما استخدام نفس التكامل الجدولي، ولكن مع n=0، أو الخاصية الأولى.
.
دعونا نتحقق من خلال التمايز: