إثبات واشتقاق الصيغ لمشتقة الأسي (e للقوة x) و وظيفة الأسية(أ إلى القوة x). أمثلة لحساب مشتقات e^2x وe^3x وe^nx. صيغ المشتقات ذات الرتب العليا.

مشتق الأس يساوي الأس نفسه (مشتق e أس x يساوي e أس x):
(1) (ه س )′ = ه س.

مشتق الدالة الأسية ذات الأساس a يساوي الدالة نفسها مضروبة في اللوغاريتم الطبيعي لـ a:
(2) .

اشتقاق صيغة مشتق الأسي e إلى القوة x

الأسية هي دالة أسية أساسها يساوي الرقم e، وهو الحد التالي:
.
هنا يمكن أن يكون عددًا طبيعيًا أو عددًا حقيقيًا. بعد ذلك، نشتق الصيغة (1) لمشتقة الأسي.

اشتقاق صيغة المشتقة الأسية

النظر في الأسي، e إلى القوة x:
ص = ه س .
يتم تعريف هذه الوظيفة للجميع. دعونا نجد مشتقتها بالنسبة للمتغير x. بحكم التعريف، المشتق هو الحد التالي:
(3) .

دعونا نحول هذا التعبير لاختزاله إلى الخصائص والقواعد الرياضية المعروفة. وللقيام بذلك نحتاج إلى الحقائق التالية:
أ)خاصية الأس:
(4) ;
ب)خاصية اللوغاريتم:
(5) ;
في)استمرارية اللوغاريتم وخاصية الحدود للدالة المستمرة:
(6) .
هذه دالة لها نهاية وهذه النهاية موجبة.
ز)معنى الحد الثاني الملحوظ:
(7) .

فلنطبق هذه الحقائق على حدنا (٣). نستخدم الخاصية (4):
;
.

دعونا نجعل الاستبدال. ثم ؛ .
ونظرا لاستمرارية الأسي ،
.
لذلك، عندما . ونتيجة لذلك نحصل على:
.

دعونا نجعل الاستبدال. ثم . في ، . ونحن لدينا:
.

لنطبق خاصية اللوغاريتم (5):
. ثم
.

فلنطبق الخاصية (٦). وبما أن هناك نهاية موجبة واللوغاريتم مستمر، فإن:
.
وقد استخدمنا هنا أيضاً الحد الملحوظ الثاني (7). ثم
.

وهكذا حصلنا على الصيغة (1) لمشتقة الأسي.

اشتقاق صيغة مشتقة الدالة الأسية

الآن نشتق الصيغة (2) لمشتقة الدالة الأسية ذات الأساس من الدرجة أ. ونحن نعتقد أن و. ثم الدالة الأسية
(8)
محددة للجميع.

دعونا نحول الصيغة (8). لهذا سوف نستخدم خصائص الدالة الأسيةواللوغاريتم.
;
.
لذلك قمنا بتحويل الصيغة (8) إلى الصيغة التالية:
.

مشتقات ذات ترتيب أعلى من e إلى القوة x

الآن دعونا نجد مشتقات الطلبات العليا. دعونا ننظر إلى الأس أولا:
(14) .
(1) .

نرى أن مشتقة الدالة (14) تساوي الدالة (14) نفسها. بالتفاضل (1) نحصل على مشتقات من الرتبة الثانية والثالثة:
;
.

يوضح هذا أن مشتق الرتبة n يساوي أيضًا الدالة الأصلية:
.

مشتقات ذات رتبة أعلى من الدالة الأسية

الآن فكر في دالة أسية ذات قاعدة من الدرجة أ:
.
لقد وجدنا مشتقته من الدرجة الأولى:
(15) .

بالتفاضل (15) نحصل على مشتقات من الرتبة الثانية والثالثة:
;
.

نرى أن كل تمايز يؤدي إلى ضرب الدالة الأصلية بـ . وبالتالي فإن مشتق الرتبة n له الشكل التالي:
.

المشتقات المعقدة. مشتق لوغاريتمي.
مشتق من دالة الأسية

نواصل تحسين تقنية التمايز لدينا. في هذا الدرس، سنقوم بدمج المواد التي تناولناها، وننظر إلى المشتقات الأكثر تعقيدًا، ونتعرف أيضًا على التقنيات والحيل الجديدة لإيجاد المشتقة، على وجه الخصوص، المشتقة اللوغاريتمية.

لأولئك القراء الذين لديهم مستوى منخفضالتحضير، يجب عليك الرجوع إلى هذه المادة كيفية العثور على المشتق؟ أمثلة على الحلولمما سيسمح لك برفع مهاراتك من الصفر تقريبًا. بعد ذلك، عليك أن تدرس الصفحة بعناية مشتق من وظيفة معقدةوفهم وحل الجميعالأمثلة التي أعطيتها. هذا الدرس منطقيًا هو الثالث على التوالي، وبعد إتقانه ستميز بثقة بين الوظائف المعقدة إلى حد ما. من غير المرغوب فيه اتخاذ موقف "أين آخر؟" نعم هذا يكفي!"، حيث أن جميع الأمثلة والحلول مأخوذة من الواقع الاختباراتوغالبا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

لنبدأ بالتكرار. في الدرس مشتق من وظيفة معقدةنظرنا إلى عدد من الأمثلة مع تعليقات مفصلة. في سياق دراسة حساب التفاضل والتكامل والفروع الأخرى للتحليل الرياضي، سيتعين عليك التمييز في كثير من الأحيان، وليس من المناسب دائمًا (وليس من الضروري دائمًا) وصف الأمثلة بتفصيل كبير. ومن ثم، سوف نتدرب على إيجاد المشتقات شفويًا. "المرشحون" الأكثر ملاءمة لذلك هم مشتقات أبسط الدوال المعقدة، على سبيل المثال:

وفقا لقاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة :

عند دراسة مواضيع متانية أخرى في المستقبل، غالبًا ما لا يكون هذا السجل التفصيلي مطلوبًا، ويُفترض أن الطالب يعرف كيفية العثور على مثل هذه المشتقات على الطيار الآلي. لنتخيل أنه في الساعة الثالثة صباحًا كان هناك مكالمة هاتفيةوسأل صوت لطيف: «ما مشتقة مماس اثنين X؟» يجب أن يتبع ذلك إجابة فورية ومهذبة تقريبًا: .

سيتم تخصيص المثال الأول على الفور للحل المستقل.

مثال 1

أوجد المشتقات التالية شفهياً في إجراء واحد مثلاً: . لإكمال المهمة، ما عليك سوى استخدامه جدول مشتقات الوظائف الأولية(إذا لم تكن تتذكره بعد). إذا واجهت أي صعوبات، أنصحك بإعادة قراءة الدرس مشتق من وظيفة معقدة.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

الإجابات في نهاية الدرس

المشتقات المعقدة

بعد إعداد المدفعية الأولي، ستكون الأمثلة ذات التعشيش 3-4-5 أقل مخيفة. قد يبدو المثالان التاليان معقدين بالنسبة للبعض، ولكن إذا فهمتهما (سيعاني شخص ما)، فإن كل شيء آخر تقريبًا في حساب التفاضل والتكامل سيبدو وكأنه مزحة طفل.

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة

كما ذكرنا سابقًا، عند العثور على مشتق دالة معقدة، فمن الضروري أولاً وقبل كل شيء يمينفهم استثماراتك. في الحالات التي توجد فيها شكوك، أذكرك خدعة مفيدة: نأخذ المعنى التجريبي لـ "x" على سبيل المثال، ونحاول (ذهنيًا أو في مسودة) استبدال هذا المعنى بـ "التعبير الرهيب".

1) نحتاج أولاً إلى حساب التعبير، مما يعني أن المجموع هو التضمين الأعمق.

2) فأنت بحاجة إلى حساب اللوغاريتم:

4) ثم مكعب جيب التمام:

5) في الخطوة الخامسة الفرق:

6) وأخيرا، الوظيفة الأكثر خارجية هي الجذر التربيعي:

صيغة للتمييز بين وظيفة معقدة يتم تطبيقها بترتيب عكسي، من الوظيفة الخارجية إلى الوظيفة الأعمق. نحن نقرر:

يبدو أنه لا يوجد أي أخطاء..

(1) خذ مشتقة الجذر التربيعي.

(2) نأخذ مشتقة الفرق باستخدام القاعدة

(٣) مشتقة الثلاثي هي صفر. وفي الفصل الثاني نأخذ مشتقة الدرجة (المكعب).

(4) خذ مشتق جيب التمام.

(5) خذ مشتقة اللوغاريتم.

(6) وأخيرا، نأخذ مشتقة التضمين الأعمق.

قد يبدو الأمر صعبا للغاية، ولكن هذا ليس المثال الأكثر وحشية. خذ على سبيل المثال مجموعة كوزنتسوف وسوف تقدر كل جمال وبساطة المشتق الذي تم تحليله. لقد لاحظت أنهم يحبون تقديم شيء مماثل في الاختبار للتحقق مما إذا كان الطالب يفهم كيفية العثور على مشتق دالة معقدة أم لا.

المثال التالي هو الحل بنفسك.

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة

تلميح: أولاً، نطبق القواعد الخطية وقاعدة تمايز المنتجات

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

حان الوقت للانتقال إلى شيء أصغر وأجمل.
ليس من غير المألوف أن يُظهر المثال منتجًا ليس وظيفتين، بل ثلاث وظائف. كيفية العثور على مشتق من منتجات ثلاثةمضاعفات؟

مثال 4

أوجد مشتقة الدالة

لننظر أولاً، هل من الممكن تحويل منتج ثلاث وظائف إلى منتج دالتين؟ على سبيل المثال، إذا كان لدينا كثيرتا الحدود في حاصل الضرب، فيمكننا فتح القوسين. ولكن في المثال قيد النظر، جميع الوظائف مختلفة: الدرجة والأس واللوغاريتم.

في مثل هذه الحالات فمن الضروري بالتتابعتطبيق قاعدة تمايز المنتج مرتين

الحيلة هي أننا نشير بالحرف "y" إلى حاصل ضرب وظيفتين: وبالحرف "ve" نشير إلى اللوغاريتم: . لماذا يمكن القيام بذلك؟ هل هو حقا – هذا ليس نتاج عاملين والقاعدة لا تعمل؟! لا يوجد شيء معقد:

الآن يبقى تطبيق القاعدة مرة ثانية بين قوسين:

يمكنك أيضًا التحريف ووضع شيء ما خارج الأقواس، ولكن في هذه الحالة من الأفضل ترك الإجابة بالضبط في هذا النموذج - سيكون من الأسهل التحقق منها.

يمكن حل المثال المدروس بالطريقة الثانية:

كلا الحلين متكافئان تمامًا.

مثال 5

أوجد مشتقة الدالة

وهذا مثال لحل مستقل، في العينة يتم حله باستخدام الطريقة الأولى.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة مماثلة مع الكسور.

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة

هناك عدة طرق يمكنك الذهاب إليها هنا:

او مثل هذا:

لكن الحل سيكون مكتوبًا بشكل أكثر إحكامًا إذا استخدمنا قاعدة اشتقاق خارج القسمة أولًا ، مع الأخذ في الاعتبار البسط بأكمله:

ومن حيث المبدأ فالمثال محلول، وإذا ترك كما هو فلا يكون خطأ. ولكن إذا كان لديك الوقت، فمن المستحسن دائمًا التحقق من المسودة لمعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط الإجابة؟ دعونا نختصر تعبير البسط إلى قاسم مشترك و دعونا نتخلص من الكسر المكون من ثلاثة طوابق:

عيب التبسيط الإضافي هو أن هناك خطر ارتكاب خطأ ليس عند العثور على المشتق، ولكن أثناء التحولات المدرسية المبتذلة. من ناحية أخرى، غالبًا ما يرفض المعلمون المهمة ويطلبون "إحضارها إلى الذهن" المشتقة.

مثال أبسط لحلها بنفسك:

مثال 7

أوجد مشتقة الدالة

نواصل إتقان طرق العثور على المشتق، والآن سننظر في حالة نموذجية عندما يتم اقتراح اللوغاريتم "الرهيب" للتمايز

مثال 8

أوجد مشتقة الدالة

هنا يمكنك قطع شوط طويل، باستخدام قاعدة التمييز بين دالة معقدة:

لكن الخطوة الأولى تغرقك على الفور في اليأس - عليك أن تأخذ المشتق غير السار من القوة الكسرية، ثم من الكسر أيضًا.

لهذا قبلكيفية أخذ مشتق اللوغاريتم "المعقد" يتم تبسيطه أولاً باستخدام خصائص المدرسة المعروفة:

! إذا كان لديك دفتر تدريبي في متناول يدك، فانسخ هذه الصيغ مباشرة هناك. إذا لم يكن لديك دفتر ملاحظات، فانسخه على قطعة من الورق، لأن الأمثلة المتبقية من الدرس ستدور حول هذه الصيغ.

الحل نفسه يمكن كتابته بشيء من هذا القبيل:

دعونا نحول الوظيفة:

إيجاد المشتقة:

أدى التحويل المسبق للوظيفة نفسها إلى تبسيط الحل إلى حد كبير. وبالتالي، عندما يتم اقتراح لوغاريتم مماثل للتمايز، فمن المستحسن دائمًا "تقسيمه".

والآن إليك بعض الأمثلة البسيطة التي يمكنك حلها بنفسك:

مثال 9

أوجد مشتقة الدالة

مثال 10

أوجد مشتقة الدالة

جميع التحويلات والإجابات موجودة في نهاية الدرس.

مشتق لوغاريتمي

إذا كان مشتق اللوغاريتمات موسيقى حلوة، فإن السؤال الذي يطرح نفسه: هل من الممكن في بعض الحالات تنظيم اللوغاريتم بشكل مصطنع؟ يستطيع! وحتى ضرورية.

مثال 11

أوجد مشتقة الدالة

لقد نظرنا مؤخرًا إلى أمثلة مماثلة. ما يجب القيام به؟ يمكنك تطبيق قاعدة اشتقاق الحاصل بشكل تسلسلي، ثم قاعدة اشتقاق المنتج. عيب هذه الطريقة هو أنه سينتهي بك الأمر بجزء ضخم من ثلاثة طوابق، وهو ما لا ترغب في التعامل معه على الإطلاق.

ولكن من الناحية النظرية والتطبيقية هناك شيء رائع مثل المشتق اللوغاريتمي. يمكن تنظيم اللوغاريتمات بشكل مصطنع عن طريق "تعليقها" على كلا الجانبين:

أنت الآن بحاجة إلى "تفكيك" لوغاريتم الجانب الأيمن قدر الإمكان (الصيغ أمام عينيك؟). سأصف هذه العملية بتفصيل كبير:

لنبدأ بالتمايز.
نستنتج كلا الجزأين تحت الرئاسة:

إن مشتقة الجانب الأيمن بسيطة جدًا، ولن أعلق عليها، لأنك إذا كنت تقرأ هذا النص، فيجب أن تكون قادرًا على التعامل معه بثقة.

ماذا عن الجانب الأيسر؟

على الجانب الأيسر لدينا وظيفة معقدة. أتوقع السؤال: "لماذا يوجد حرف واحد "Y" تحت اللوغاريتم؟"

الحقيقة هي أن هذه "لعبة الحرف الواحد" - هي في حد ذاتها وظيفة(إذا لم يكن الأمر واضحًا جدًا، فارجع إلى المقالة مشتق من دالة محددة ضمنيًا). وبالتالي فإن اللوغاريتم هو دالة خارجية، و"y" هي دالة داخلية. ونستخدم القاعدة لاشتقاق دالة معقدة :

على الجانب الأيسر، كما لو كان بالسحر، لدينا مشتقة. بعد ذلك، وفقًا لقاعدة التناسب، نقوم بنقل "y" من مقام الجانب الأيسر إلى أعلى الجانب الأيمن:

والآن دعونا نتذكر ما نوع وظيفة "اللاعب" التي تحدثنا عنها أثناء التمايز؟ دعونا نلقي نظرة على الحالة:

الجواب النهائي:

مثال 12

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال لك لحله بنفسك. يوجد تصميم عينة لمثال من هذا النوع في نهاية الدرس.

باستخدام المشتق اللوغاريتمي، كان من الممكن حل أي من الأمثلة رقم 4-7، والشيء الآخر هو أن الوظائف هناك أبسط، وربما، استخدام المشتق اللوغاريتمي ليس له ما يبرره.

مشتق من دالة الأسية

لم نفكر في هذه الوظيفة بعد. دالة الأس الأسية هي دالة لها تعتمد كل من الدرجة والقاعدة على "x". مثال كلاسيكي سيتم تقديمه لك في أي كتاب مدرسي أو محاضرة:

كيفية العثور على مشتق دالة القوة الأسية؟

من الضروري استخدام التقنية التي تمت مناقشتها للتو - المشتق اللوغاريتمي. نعلق اللوغاريتمات على كلا الجانبين:

كقاعدة عامة، على الجانب الأيمن يتم إخراج الدرجة من تحت اللوغاريتم:

ونتيجة لذلك، على الجانب الأيمن لدينا منتج وظيفتين، والتي سيتم اشتقاقها وفقًا للصيغة القياسية .

نجد المشتقة؛ للقيام بذلك، نحيط كلا الجزأين بالحدود:

الإجراءات الإضافية بسيطة:

أخيراً:

إذا لم يكن أي تحويل واضحًا تمامًا، فيرجى إعادة قراءة شرح المثال رقم 11 بعناية.

في المهام العملية، ستكون دالة الأس الأسية دائمًا أكثر تعقيدًا من مثال المحاضرة الذي تم النظر فيه.

مثال 13

أوجد مشتقة الدالة

نستخدم المشتقة اللوغاريتمية.

على الجانب الأيمن لدينا ثابت وحاصل ضرب عاملين - "x" و"لوغاريتم اللوغاريتم x" (يوجد لوغاريتم آخر متداخل تحت اللوغاريتم). عند الاشتقاق، كما نتذكر، من الأفضل نقل الثابت فورًا خارج إشارة المشتقة حتى لا يعيق الطريق؛ وبالطبع نطبق القاعدة المألوفة :

كما ترون، فإن خوارزمية استخدام المشتق اللوغاريتمي لا تحتوي على أي حيل أو حيل خاصة، وعادةً لا يرتبط العثور على مشتق دالة أسية بـ "العذاب".

عند استخلاص الصيغة الأولى من الجدول، سنبدأ من تعريف الدالة المشتقة عند نقطة ما. دعونا نأخذ أين س- أي عدد حقيقي، أي س- أي رقم من مجال تعريف الدالة. دعونا نكتب حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة عند:

تجدر الإشارة إلى أنه تحت علامة النهاية يتم الحصول على تعبير، وهو ليس عدم اليقين صفر مقسومًا على صفر، لأن البسط لا يحتوي على قيمة متناهية الصغر، بل صفر بالضبط. بمعنى آخر، زيادة الدالة الثابتة تكون دائمًا صفرًا.

هكذا، مشتق من وظيفة ثابتةيساوي الصفر في كامل مجال التعريف.

مشتق من وظيفة السلطة.

صيغة مشتق دالة القدرة لها الشكل ، حيث الأس ص- أي عدد حقيقي.

دعونا أولا نثبت صيغة الأس الطبيعي، أي ل ع = 1، 2، 3، ...

سوف نستخدم تعريف المشتق. دعونا نكتب حد نسبة زيادة دالة القدرة إلى زيادة الوسيطة:

لتبسيط التعبير في البسط، ننتقل إلى صيغة نيوتن ذات الحدين:

لذلك،

وهذا يثبت صيغة مشتقة دالة القوة للأس الطبيعي.

مشتق من الدالة الأسية.

نقدم اشتقاق الصيغة المشتقة بناءً على التعريف:

لقد وصلنا إلى حالة من عدم اليقين. لتوسيعه، نقدم متغيرًا جديدًا، وفي . ثم . في عملية الانتقال الأخيرة، استخدمنا صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة.

لنعوض في النهاية الأصلية:

وإذا تذكرنا النهاية الملحوظة الثانية، نصل إلى صيغة مشتقة الدالة الأسية:

مشتق من دالة لوغاريتمية.

دعونا نثبت صيغة مشتقة الدالة اللوغاريتمية للجميع سمن مجال التعريف وجميع القيم الصحيحة للقاعدة أاللوغاريتم حسب تعريف المشتق لدينا:

كما لاحظت، أثناء الإثبات، تم إجراء التحويلات باستخدام خصائص اللوغاريتم. المساواة صحيح بسبب الحد الثاني الملحوظ.

مشتقات الدوال المثلثية.

لاشتقاق صيغ مشتقات الدوال المثلثية، علينا أن نتذكر بعض صيغ علم المثلثات، بالإضافة إلى النهاية الملحوظة الأولى.

من خلال تعريف مشتق دالة الجيب لدينا .

دعونا نستخدم صيغة الفرق بين الجيب:

ويبقى أن ننتقل إلى الحد الأول الملحوظ:

وبالتالي مشتقة الدالة الخطيئة سهنالك كوس س.

تم إثبات صيغة مشتق جيب التمام بنفس الطريقة تمامًا.

وبالتالي مشتقة الدالة كوس سهنالك -الخطيئة س.

سنشتق صيغًا لجدول مشتقات الظل وظل التمام باستخدام قواعد التمايز المثبتة (مشتق الكسر).

مشتقات الدوال الزائدية.

تسمح لنا قواعد التفاضل وصيغة مشتق الدالة الأسية من جدول المشتقات باستخلاص صيغ لمشتقات الجيب الزائدي وجيب التمام والظل وظل التمام.

مشتق من الدالة العكسية.

لتجنب الارتباك أثناء العرض التقديمي، دعنا نشير بالخط السفلي إلى وسيطة الدالة التي يتم من خلالها إجراء التمايز، أي أنها مشتقة من الدالة و (خ)بواسطة س.

الآن دعونا صياغة قاعدة لإيجاد مشتقة دالة عكسية.

دع الوظائف ص = و(س)و س = ز (ص)معكوس بشكل متبادل، محدد على فترات وعلى التوالي. إذا كان هناك عند نقطة ما مشتق محدود غير صفري للدالة و (خ)، عند هذه النقطة يوجد مشتق محدود للدالة العكسية ز (ص)، و . في مشاركة أخرى .

يمكن إعادة صياغة هذه القاعدة لأي شخص سمن الفاصل الزمني، ثم نحصل .

دعونا نتحقق من صحة هذه الصيغ.

دعونا نجد الدالة العكسية للوغاريتم الطبيعي (هنا ذهي وظيفة، و س- دعوى). وبعد حل هذه المعادلة ل س، نحصل على (هنا سهي وظيفة، و ذ– حجتها). إنه، والوظائف العكسية المتبادلة.

ومن جدول المشتقات نرى ذلك و .

دعونا نتأكد من أن صيغ إيجاد مشتقات الدالة العكسية تقودنا إلى نفس النتائج:

مستوى اول

مشتق من وظيفة. الدليل النهائي (2019)

لنتخيل طريقًا مستقيمًا يمر عبر منطقة جبلية. أي أنه يصعد ويهبط، لكنه لا يلتفت يمينًا أو يسارًا. إذا تم توجيه المحور أفقيًا على طول الطريق وعموديًا، فسيكون خط الطريق مشابهًا جدًا للرسم البياني لبعض الوظائف المستمرة:

المحور هو مستوى معين من الارتفاع صفر، في الحياة نستخدم مستوى سطح البحر كما هو.

وبينما نتحرك للأمام على طول هذا الطريق، فإننا نتحرك أيضًا لأعلى أو لأسفل. يمكننا أن نقول أيضًا: عندما يتغير الوسيط (الحركة على طول محور الإحداثي) تتغير قيمة الدالة (الحركة على طول المحور الإحداثي). الآن دعونا نفكر في كيفية تحديد "انحدار" طريقنا؟ أي نوع من القيمة يمكن أن يكون هذا؟ الأمر بسيط للغاية: ما مدى تغير الارتفاع عند المضي قدمًا لمسافة معينة. في الواقع، في أجزاء مختلفة من الطريق، إذا تحركنا للأمام (على طول المحور السيني) بمقدار كيلومتر واحد، فسوف نرتفع أو نهبط بمقدار كميات مختلفةمتر بالنسبة لمستوى سطح البحر (على طول المحور الإحداثي).

دعونا نشير إلى التقدم (اقرأ "دلتا x").

يُستخدم الحرف اليوناني (دلتا) بشكل شائع في الرياضيات كبادئة تعني "التغيير". وهذا هو - هذا تغيير في الكمية، - التغيير؛ ما هي اذا؟ هذا صحيح، تغيير في الحجم.

هام: التعبير هو كل واحد ومتغير واحد. لا تفصل أبدًا "دلتا" عن "x" أو أي حرف آخر! وهذا هو، على سبيل المثال،.

لذلك، تقدمنا ​​للأمام، أفقيًا، بمقدار. إذا قارنا خط الطريق بالرسم البياني للدالة، فكيف نشير إلى الارتفاع؟ بالتأكيد، . أي أننا كلما تقدمنا ​​للأمام، نرتفع إلى أعلى.

القيمة سهلة الحساب: إذا كنا في البداية على ارتفاع، وبعد التحرك وجدنا أنفسنا على ارتفاع، إذن. إذا كانت نقطة النهاية أقل من نقطة البداية، فستكون سلبية - وهذا يعني أننا لا نصعد، بل ننزل.

دعنا نعود إلى "الانحدار": هذه قيمة توضح مدى زيادة الارتفاع (بشكل حاد) عند التحرك للأمام بوحدة مسافة واحدة:

لنفترض أنه في جزء ما من الطريق، عند التحرك للأمام بمقدار كيلومتر، يرتفع الطريق بمقدار كيلومتر. إذن الميل عند هذا المكان متساوي. وإذا كان الطريق أثناء التقدم بمقدار متر انخفض بمقدار كيلومتر؟ ثم الميل متساوي.

الآن دعونا ننظر إلى أعلى التل. إذا أخذت بداية المقطع قبل القمة بنصف كيلومتر، والنهاية بعد نصف كيلومتر منها، يمكنك أن ترى أن الارتفاع هو نفسه تقريبًا.

وهذا يعني أنه وفقًا لمنطقنا، يتبين أن الميل هنا يساوي الصفر تقريبًا، وهو ما من الواضح أنه غير صحيح. على مسافة كيلومترات قليلة يمكن أن يتغير الكثير. من الضروري النظر في مناطق أصغر لإجراء تقييم أكثر دقة ودقة للانحدار. على سبيل المثال، إذا قمت بقياس التغير في الارتفاع أثناء تحركك مترًا واحدًا، فستكون النتيجة أكثر دقة. ولكن حتى هذه الدقة قد لا تكون كافية بالنسبة لنا - لأنه إذا كان هناك عمود في منتصف الطريق، فيمكننا ببساطة تجاوزه. ما المسافة التي يجب أن نختارها إذن؟ سنتيمتر؟ ملليمتر؟ اقل هو الافضل!

في الحياه الحقيقيهيعد قياس المسافات إلى أقرب ملليمتر أكثر من كافي. لكن علماء الرياضيات يسعون دائمًا إلى الكمال. ولذلك، تم اختراع هذا المفهوم متناهي الصغرأي أن القيمة المطلقة أقل من أي رقم يمكننا تسميته. مثلاً تقول: واحد على تريليون! كم أقل؟ وقمت بتقسيم هذا الرقم على - وسيكون أقل. وما إلى ذلك وهلم جرا. إذا أردنا أن نكتب أن الكمية متناهية الصغر، نكتب هكذا: (نقرأ "x تميل إلى الصفر"). من المهم جدا أن نفهم أن هذا الرقم ليس صفراً!ولكن قريبة جدا منه. هذا يعني أنه يمكنك القسمة عليه.

المفهوم المعاكس لل متناهية الصغر هو كبير بلا حدود (). من المحتمل أنك صادفت هذا بالفعل عندما كنت تعمل على المتباينات: هذا الرقم أكبر بمقياس من أي رقم يمكن أن يخطر ببالك. إذا حصلت على أكبر عدد ممكن، فما عليك سوى ضربه في اثنين وستحصل على رقم أكبر. واللانهاية أعظم مما يحدث. في الواقع، الكبير بلا حدود والصغير بلا حدود هما عكس بعضهما البعض، أي عند، والعكس صحيح: عند.

الآن دعونا نعود إلى طريقنا. الميل المحسوب بشكل مثالي هو الميل المحسوب لجزء متناهٍ في الصغر من المسار، وهو:

وألاحظ أنه مع الإزاحة المتناهية الصغر، فإن التغير في الارتفاع سيكون أيضًا متناهيًا في الصغر. ولكن اسمحوا لي أن أذكركم أن متناهية الصغر لا تعني يساوي الصفر. إذا قمت بقسمة أعداد متناهية الصغر على بعضها البعض، فيمكنك الحصول على رقم عادي تمامًا، على سبيل المثال، . وهذا يعني أن قيمة صغيرة واحدة يمكن أن تكون أكبر من الأخرى تمامًا.

لماذا كل هذا؟ الطريق والانحدار... لن نشارك في مسيرة بالسيارات، ولكننا نقوم بتدريس الرياضيات. وفي الرياضيات، كل شيء هو نفسه تمامًا، ولكن يُسمى بشكل مختلف.

مفهوم المشتقة

مشتق الدالة هو نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة لزيادة متناهية الصغر في الوسيطة.

تدريجيافي الرياضيات يسمونه التغيير. يسمى المدى الذي تتغير به الوسيطة () أثناء تحركها على طول المحور زيادة الحجةويتم تعيينه، ويسمى مقدار تغير الوظيفة (الارتفاع) عند التحرك للأمام على طول المحور لمسافة زيادة الوظيفةويتم تعيينه.

إذن، مشتقة الدالة هي النسبة إلى متى. نشير إلى المشتق بنفس حرف الدالة، فقط برمز أولي في أعلى اليمين: أو ببساطة. لذلك، دعونا نكتب الصيغة المشتقة باستخدام هذه الرموز:

وكما في التشبيه بالطريق، هنا عندما تزيد الدالة تكون المشتقة موجبة، وعندما تنقص تكون سالبة.

هل يمكن أن تكون المشتقة مساوية للصفر؟ بالتأكيد. على سبيل المثال، إذا كنا نسير على طريق أفقي مسطح، فإن درجة الانحدار تكون صفرًا. وهذا صحيح، الارتفاع لا يتغير على الإطلاق. وهكذا الحال مع المشتقة: مشتقة دالة ثابتة (ثابتة) تساوي صفرًا:

حيث أن زيادة هذه الدالة تساوي صفرًا لأي.

دعونا نتذكر مثال قمة التل. اتضح أنه من الممكن ترتيب نهايات المقطع على جوانب متقابلة من الرأس بحيث يكون الارتفاع عند الأطراف هو نفسه، أي أن المقطع موازي للمحور:

لكن الأجزاء الكبيرة هي علامة على قياس غير دقيق. سنرفع القطعة موازية لنفسها، ثم سينخفض ​​طولها.

في النهاية، عندما نقترب بشكل لا نهائي من القمة، سيصبح طول القطعة متناهية الصغر. لكنه بقي في نفس الوقت موازيا للمحور، أي أن فرق الارتفاعات عند طرفيه يساوي الصفر (لا يميل إلى بل يساوي). لذلك المشتقة

يمكن فهم ذلك بهذه الطريقة: عندما نقف في القمة، فإن التحول البسيط إلى اليسار أو اليمين يغير ارتفاعنا بشكل ضئيل.

يوجد أيضًا تفسير جبري بحت: تزداد الوظيفة على يسار الرأس، وتتناقص إلى اليمين. كما عرفنا سابقًا، عندما تزيد الدالة، تكون المشتقة موجبة، وعندما تقل تكون سالبة. لكنه يتغير بسلاسة، دون قفزات (لأن الطريق لا يغير منحدره بشكل حاد في أي مكان). ولذلك يجب أن يكون هناك بين القيم السلبية والإيجابية. سيكون حيث لا تزيد الدالة ولا تنقص - عند نقطة القمة.

وينطبق الشيء نفسه على الحوض الصغير (المنطقة التي تقل فيها الدالة على اليسار وتزداد على اليمين):

المزيد عن الزيادات.

لذلك نغير الحجة إلى الحجم. نتغير من أي قيمة؟ ماذا أصبحت (الحجة) الآن؟ يمكننا اختيار أي نقطة، والآن سنرقص منها.

النظر في نقطة مع الإحداثيات. قيمة الدالة فيه متساوية. ثم نقوم بنفس الزيادة: نزيد الإحداثيات بمقدار. ما هي الحجة الآن؟ سهل جدا: . ما هي قيمة الدالة الآن؟ أينما تذهب الوسيطة، تذهب الدالة أيضًا: . ماذا عن زيادة الوظيفة؟ لا شيء جديد: لا يزال هذا هو المقدار الذي تغيرت به الدالة:

ممارسة العثور على الزيادات:

1. أوجد زيادة الدالة عند نقطة تكون فيها زيادة الوسيطة مساوية لـ.
2. وينطبق الشيء نفسه على الوظيفة عند نقطة ما.

حلول:

في نقاط مختلفةمع نفس زيادة الوسيطة، ستكون زيادة الوظيفة مختلفة. هذا يعني أن المشتق عند كل نقطة يختلف (ناقشنا هذا في البداية - يختلف انحدار الطريق عند نقاط مختلفة). لذلك، عندما نكتب مشتقًا، يجب أن نشير إلى أي نقطة:

وظيفة الطاقة.

دالة القوة هي دالة يكون فيها الوسيط إلى حد ما (منطقي، أليس كذلك؟).

علاوة على ذلك - إلى أي حد: .

أبسط حالة هي عندما يكون الأس:

دعونا نجد مشتقتها عند نقطة ما. لنتذكر تعريف المشتق:

لذلك تتغير الحجة من إلى. ما هي الزيادة في الدالة؟

الزيادة هي هذه. لكن الدالة عند أي نقطة تساوي حجتها. لهذا السبب:

المشتق يساوي:

مشتق يساوي:

ب) فكر الآن وظيفة من الدرجة الثانية (): .

الآن دعونا نتذكر ذلك. وهذا يعني أنه يمكن إهمال قيمة الزيادة، لأنها متناهية الصغر، وبالتالي غير ذات أهمية على خلفية المصطلح الآخر:

لذلك توصلنا إلى قاعدة أخرى:

ج) نواصل السلسلة المنطقية : .

يمكن تبسيط هذا التعبير بطرق مختلفة: افتح القوس الأول باستخدام صيغة الضرب المختصر لمكعب المجموع، أو قم بتحليل التعبير بأكمله باستخدام صيغة فرق المكعبات. حاول أن تفعل ذلك بنفسك باستخدام أي من الطرق المقترحة.

لذلك حصلت على ما يلي:

ومرة أخرى دعونا نتذكر ذلك. وهذا يعني أنه يمكننا إهمال جميع المصطلحات التي تحتوي على:

نحن نحصل: .

د) يمكن الحصول على قواعد مماثلة للقوى الكبرى:

هـ) اتضح أن هذه القاعدة يمكن تعميمها على دالة القدرة ذات مؤشر تعسفي، ولا حتى كله:

(2)

يمكن صياغة القاعدة بالكلمات التالية: "يتم تقديم الدرجة كمعامل، ثم يتم تخفيضها بمقدار".

سنثبت هذه القاعدة لاحقًا (في النهاية تقريبًا). الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة. أوجد مشتقة الدوال:

1. (بطريقتين: بالصيغة وباستخدام تعريف المشتق - بحساب زيادة الدالة)؛

1. . صدق أو لا تصدق، هذه وظيفة قوة. إذا كانت لديك أسئلة مثل "كيف يتم ذلك؟ أين الدرجة؟"، تذكروا موضوع ""!
   نعم، نعم، الجذر أيضًا درجة، كسري فقط: .
   هذا يعني أن الجذر التربيعي لدينا هو مجرد قوة لها أس:
   .
   نحن نبحث عن المشتق باستخدام الصيغة التي تعلمناها مؤخرًا:

   إذا أصبح الأمر غير واضح في هذه المرحلة مرة أخرى، أعيدوا الموضوع “”!!! (حوالي درجة ذات أس سلبي)

2. . الآن الأس:

   والآن من خلال التعريف (هل نسيت بعد؟):
   ;
   .
   والآن كالعادة نهمل المصطلح الذي يحتوي على:
   .

3. . الجمع بين الحالات السابقة : .

الدوال المثلثية.

هنا سوف نستخدم حقيقة واحدة من الرياضيات العليا:

مع التعبير.

سوف تتعلم الدليل في السنة الأولى من المعهد (وللوصول إلى هناك، تحتاج إلى اجتياز اختبار الدولة الموحدة جيدًا). والآن سأعرضها بيانيًا فقط:

نرى أنه في حالة عدم وجود الدالة، يتم قطع النقطة الموجودة على الرسم البياني. ولكن كلما اقتربنا من القيمة، كلما اقتربت الوظيفة منها، وهذا هو "الهدف".

بالإضافة إلى ذلك، يمكنك التحقق من هذه القاعدة باستخدام الآلة الحاسبة. نعم، نعم، لا تخجل، استخدم الآلة الحاسبة، فنحن لم نصل إلى امتحان الدولة الموحدة بعد.

إذا دعنا نحاول: ؛

لا تنس تحويل الآلة الحاسبة إلى وضع الراديان!

إلخ. ونلاحظ أنه كلما كانت النسبة أصغر، كلما اقتربت قيمة النسبة منها.

أ) النظر في الوظيفة. كالعادة، لنجد زيادتها:

دعونا نحول فرق الجيوب إلى منتج. للقيام بذلك نستخدم الصيغة (تذكر الموضوع ""): .

الآن المشتقة:

فلنقم بالاستبدال : . ثم بالنسبة إلى متناهية الصغر فهي أيضًا متناهية الصغر: . التعبير لـ يأخذ الشكل:

والآن نتذكر ذلك بالتعبير. وأيضًا، ماذا لو كان من الممكن إهمال كمية متناهية الصغر في المجموع (أي في).

وبذلك نحصل على القاعدة التالية: مشتق الجيب يساوي جيب التمام:

هذه هي المشتقات الأساسية ("الجدولية"). وهنا هم في قائمة واحدة:

سنضيف إليها لاحقًا بعضًا منها، لكن هذه هي الأهم، حيث يتم استخدامها في أغلب الأحيان.

يمارس:

1. أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما؛
2. العثور على مشتق من وظيفة.

حلول:

1. أولًا، دعونا نوجد المشتقة في منظر عام، ثم استبدل قيمته:
   ;
   .
2. لدينا هنا شيء مشابه لدالة القدرة. دعونا نحاول إحضارها إلى
   المظهر العادي:
   .
   عظيم، الآن يمكنك استخدام الصيغة:
   .
   .
3. . إييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييي������ئ هؤلاء ما هذا ؟؟؟؟

حسنًا، أنت على حق، فنحن لا نعرف بعد كيفية العثور على مثل هذه المشتقات. لدينا هنا مجموعة من عدة أنواع من الوظائف. للعمل معهم، عليك أن تتعلم بعض القواعد الإضافية:

الأس واللوغاريتم الطبيعي.

هناك دالة في الرياضيات مشتقتها لأي قيمة تساوي قيمة الدالة نفسها في نفس الوقت. وتسمى "الأس"، وهي دالة أسية

أساس هذه الدالة هو ثابت - إنه لانهائي عدد عشري، أي عدد غير نسبي (مثل). يُطلق عليه "رقم أويلر"، ولهذا يُشار إليه بالحرف.

إذن القاعدة:

من السهل جدًا تذكرها.

حسنًا، دعونا لا نذهب بعيدًا، فلنفكر فورًا في الدالة العكسية. ما هي الدالة المعكوسة للدالة الأسية؟ اللوغاريتم:

في حالتنا، الأساس هو الرقم:

يُطلق على مثل هذا اللوغاريتم (أي اللوغاريتم ذو الأساس) اسم "طبيعي" ، ونستخدم له رمزًا خاصًا: نكتب بدلاً من ذلك.

ما هو يساوي؟ بالطبع، .

مشتق من اللوغاريتم الطبيعيأيضًا بسيط جدًا:

أمثلة:

1. العثور على مشتق من وظيفة.
2. ما هو مشتق الدالة؟

الإجابات: اللوغاريتم الأسي والطبيعي هما دالتان بسيطتان بشكل فريد من منظور مشتق. إن الدوال الأسية واللوغاريتمية مع أي أساس آخر سيكون لها مشتق مختلف، وهو ما سنحلله لاحقا، بعد أن نتعرف على قواعد الاشتقاق.

قواعد التمايز

قواعد ماذا؟ مرة أخرى مصطلح جديد، مرة أخرى؟!...

التفاضلهي عملية العثور على المشتق.

هذا كل شئ. ماذا يمكنك أن تسمي هذه العملية في كلمة واحدة؟ ليست مشتقة... يطلق علماء الرياضيات على التفاضل نفس زيادة الدالة عند. يأتي هذا المصطلح من التمايز اللاتيني - الاختلاف. هنا.

عند استخلاص كل هذه القواعد، سنستخدم دالتين، على سبيل المثال، و. سنحتاج أيضًا إلى صيغ لزياداتها:

هناك 5 قواعد في المجموع.

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة.

إذا - بعض الأرقام الثابتة (ثابت)، إذن.

من الواضح أن هذه القاعدة تعمل أيضًا على الاختلاف: .

دعونا نثبت ذلك. فليكن، أو أبسط.

أمثلة.

أوجد مشتقات الدوال:

1. عند نقطة ما؛
2. عند نقطة ما؛
3. عند نقطة ما؛
4. عند هذه النقطة.

حلول:

1. (المشتق هو نفسه في جميع النقاط، لأن هذا دالة خطية، يتذكر؟)؛

مشتق من المنتج

كل شيء مشابه هنا: دعنا ندخل ميزة جديدةوأوجد زيادتها:

المشتق:

أمثلة:

1. أوجد مشتقات الدوال و؛
2. أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما.

حلول:

مشتق من الدالة الأسية

الآن معرفتك كافية لتتعلم كيفية العثور على مشتقة أي دالة أسية، وليس فقط الأسس (هل نسيت ما هو حتى الآن؟).

لذلك، أين هو بعض العدد.

نحن نعرف بالفعل مشتقة الدالة، لذا دعونا نحاول اختزال الدالة إلى أساس جديد:

لهذا سوف نستخدم قاعدة بسيطة: . ثم:

حسنًا، لقد نجحت. حاول الآن إيجاد المشتقة، ولا تنس أن هذه الدالة معقدة.

حدث؟

وهنا راجع نفسك:

تبين أن الصيغة مشابهة جدًا لمشتقة الأس: كما كانت، ظلت كما هي، ولم يظهر سوى عامل، وهو مجرد رقم، ولكنه ليس متغيرًا.

أمثلة:
أوجد مشتقات الدوال:

الإجابات:

هذا مجرد رقم لا يمكن حسابه بدون آلة حاسبة، أي أنه لا يمكن تدوينه بعد الآن في شكل بسيط. ولذلك نتركها على هذه الصورة في الجواب.

مشتق من دالة لوغاريتمية

الأمر مشابه هنا: أنت تعرف بالفعل مشتقة اللوغاريتم الطبيعي:

ولذلك، للعثور على لوغاريتم اختياري مع قاعدة مختلفة، على سبيل المثال:

علينا اختزال هذا اللوغاريتم إلى الأساس. كيف يمكنك تغيير قاعدة اللوغاريتم؟ أتمنى أن تتذكر هذه الصيغة:

الآن فقط سنكتب بدلاً من ذلك:

المقام هو ببساطة ثابت (رقم ثابت، بدون متغير). يتم الحصول على المشتق بكل بساطة:

لا يتم العثور على مشتقات الوظائف الأسية واللوغاريتمية أبدًا في امتحان الدولة الموحدة، لكن معرفتها لن تكون زائدة عن الحاجة.

مشتق من وظيفة معقدة.

ما هي "الوظيفة المعقدة"؟ لا، هذا ليس لوغاريتمًا، وليس ظلًا قوسيًا. يمكن أن يكون من الصعب فهم هذه الوظائف (على الرغم من أنك إذا وجدت اللوغاريتمات صعبة، فاقرأ موضوع "اللوغاريتمات" وستكون بخير)، ولكن من وجهة نظر رياضية، فإن كلمة "معقدة" لا تعني "صعبة".

تخيل حزامًا ناقلًا صغيرًا: شخصان يجلسان ويقومان ببعض الإجراءات باستخدام بعض الأشياء. على سبيل المثال، يقوم الأول بتغليف قطعة من الشوكولاتة في غلاف، والثاني يربطها بشريط. والنتيجة هي كائن مركب: قطعة من الشوكولاتة ملفوفة ومربوطة بشريط. لتناول قطعة من الشوكولاتة، عليك القيام بالخطوات العكسية بترتيب عكسي.

لنقم بإنشاء مسار رياضي مماثل: أولاً سنجد جيب تمام الرقم، ثم نقوم بتربيع الرقم الناتج. لذلك، حصلنا على رقم (الشوكولاتة)، وأجد جيب تمامها (الغلاف)، ثم قمت بتربيع ما حصلت عليه (اربطه بشريط). ماذا حدث؟ وظيفة. هذا مثال على دالة معقدة: للعثور على قيمتها، نقوم بالإجراء الأول مباشرة مع المتغير، ثم الإجراء الثاني بما نتج عن الأول.

يمكننا بسهولة القيام بنفس الخطوات بترتيب عكسي: أولاً تقوم بتربيعه، ثم أبحث عن جيب التمام للرقم الناتج: . من السهل تخمين أن النتيجة ستكون مختلفة دائمًا تقريبًا. ميزة هامةوظائف معقدة: عندما يتغير ترتيب الإجراءات، تتغير الوظيفة.

بعبارة أخرى، الدالة المعقدة هي دالة تكون حجتها دالة أخرى: .

بالنسبة للمثال الأول، .

المثال الثاني: (نفس الشيء). .

سيتم استدعاء الإجراء الذي قمنا به أخيرًا وظيفة "خارجية".، ويتم تنفيذ الإجراء أولاً - وفقًا لذلك وظيفة "داخلية".(هذه أسماء غير رسمية، أستخدمها فقط لشرح المادة بلغة بسيطة).

حاول أن تحدد بنفسك أي وظيفة خارجية وأي وظيفة داخلية:

الإجابات:إن فصل الوظائف الداخلية والخارجية يشبه إلى حد كبير تغيير المتغيرات: على سبيل المثال، في دالة

1. ما الإجراء الذي سنقوم به أولاً؟ أولاً، دعونا نحسب جيب الجيب، وبعد ذلك فقط نقوم بتكعيبه. وهذا يعني أنها وظيفة داخلية، ولكنها وظيفة خارجية.
   والوظيفة الأصلية هي تركيبها : .
2. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
3. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
4. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
5. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .

نغير المتغيرات ونحصل على دالة.

حسنًا، الآن سوف نستخرج لوح الشوكولاتة الخاص بنا ونبحث عن المشتق. يتم دائمًا عكس الإجراء: أولاً نبحث عن مشتقة الدالة الخارجية، ثم نضرب النتيجة في مشتقة الدالة الداخلية. بالنسبة للمثال الأصلي، يبدو كما يلي:

مثال آخر:

لذا، دعونا أخيرًا صياغة القاعدة الرسمية:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

يبدو الأمر بسيطا، أليس كذلك؟

دعونا نتحقق من الأمثلة:

حلول:

1) داخلي: ;

خارجي: ؛

2) داخلي: ;

(فقط لا تحاول قطعها الآن! لا شيء يخرج من تحت جيب التمام، تذكر؟)

3) داخلي: ;

خارجي: ؛

من الواضح على الفور أن هذه وظيفة معقدة من ثلاثة مستويات: فهي بالفعل وظيفة معقدة في حد ذاتها، ونقوم أيضًا باستخراج الجذر منها، أي أننا نقوم بالإجراء الثالث (نضع الشوكولاتة في وعاء) غلاف ومع شريط في الحقيبة). ولكن لا يوجد سبب للخوف: مازلنا "نفك" هذه الوظيفة بنفس الترتيب المعتاد: من النهاية.

وهذا يعني أننا نفرق أولاً بين الجذر، ثم جيب التمام، وعندها فقط التعبير بين قوسين. وبعد ذلك نضرب كل شيء.

في مثل هذه الحالات، يكون من المناسب ترقيم الإجراءات. وهذا هو، دعونا نتخيل ما نعرفه. بأي ترتيب سننفذ الإجراءات لحساب قيمة هذا التعبير؟ لنلقي نظرة على مثال:

كلما تم تنفيذ الإجراء لاحقًا، أصبحت الوظيفة المقابلة أكثر "خارجية". تسلسل الإجراءات هو نفسه كما كان من قبل:

هنا يكون التعشيش بشكل عام على مستوى 4. دعونا نحدد مسار العمل.

1. التعبير الراديكالي. .

2. الجذر. .

3. جيب. .

4. ساحة. .

5. تجميع كل ذلك معًا:

المشتق. باختصار عن الأشياء الرئيسية

مشتق من وظيفة- نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة لزيادة متناهية الصغر في الوسيطة:

المشتقات الأساسية:

قواعد التمايز:

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة:

مشتق من المبلغ:

مشتق من المنتج:

مشتق الحاصل:

مشتق من وظيفة معقدة:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

1. نحدد الدالة "الداخلية" ونجد مشتقتها.
2. نحدد الدالة "الخارجية" ونجد مشتقتها.
3. نضرب نتائج النقطتين الأولى والثانية.

إثبات واشتقاق الصيغ لمشتقة اللوغاريتم الطبيعي واللوغاريتم للأساس أ. أمثلة لحساب مشتقات ln 2x وln 3x وln nx. إثبات صيغة مشتق لوغاريتم الرتبة n باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

اشتقاق الصيغ لمشتقات اللوغاريتم الطبيعي واللوغاريتم للأساس أ

مشتق اللوغاريتم الطبيعي لـ x يساوي واحدًا مقسومًا على x:
(1) (ل س)' =.

مشتق اللوغاريتم للأساس a يساوي واحدًا مقسومًا على المتغير x مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ a:
(2) (تسجيل س) ′ =.

دليل

فليكن هناك بعض رقم موجب، عدد إيجابي، لا يساوي واحد. خذ بعين الاعتبار دالة تعتمد على المتغير x، وهو لوغاريتم للأساس:
.
يتم تعريف هذه الوظيفة في . دعونا نجد مشتقتها بالنسبة للمتغير x. بحكم التعريف، المشتق هو الحد التالي:
(3) .

دعونا نحول هذا التعبير لاختزاله إلى الخصائص والقواعد الرياضية المعروفة. وللقيام بذلك علينا أن نعرف الحقائق التالية:
أ)خصائص اللوغاريتم. سنحتاج إلى الصيغ التالية:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
ب)استمرارية اللوغاريتم وخاصية الحدود للدالة المستمرة:
(7) .
هذه دالة لها نهاية وهذه النهاية موجبة.
في)معنى الحد الثاني الملحوظ:
(8) .

دعونا نطبق هذه الحقائق إلى حدودنا. أولا نقوم بتحويل التعبير الجبري
.
للقيام بذلك، نطبق الخاصيتين (4) و (5).

.

لنستخدم الخاصية (7) والحد الملحوظ الثاني (8):
.

وأخيرا نطبق الخاصية (6):
.
اللوغاريتم للقاعدة همُسَمًّى اللوغاريتم الطبيعي. تم تعيينه على النحو التالي:
.
ثم ؛
.

وهكذا حصلنا على الصيغة (2) لمشتقة اللوغاريتم.

مشتق من اللوغاريتم الطبيعي

مرة أخرى نكتب صيغة مشتق اللوغاريتم للأساس a:
.
تحتوي هذه الصيغة على أبسط شكل للوغاريتم الطبيعي، حيث . ثم
(1) .

وبسبب هذه البساطة، يتم استخدام اللوغاريتم الطبيعي على نطاق واسع في التحليل الرياضي وفي فروع الرياضيات الأخرى المتعلقة بحساب التفاضل والتكامل. يمكن التعبير عن الدوال اللوغاريتمية مع أسس أخرى بدلالة اللوغاريتم الطبيعي باستخدام الخاصية (6):
.

يمكن إيجاد مشتق اللوغاريتم بالنسبة إلى القاعدة من الصيغة (1)، إذا أخرجت الثابت من علامة التفاضل:
.

طرق أخرى لإثبات مشتقة اللوغاريتم

هنا نفترض أننا نعرف صيغة مشتقة الأسي:
(9) .
ومن ثم يمكننا استنتاج صيغة مشتقة اللوغاريتم الطبيعي، حيث أن اللوغاريتم هو الدالة العكسية للدالة الأسية.

دعونا نثبت صيغة مشتقة اللوغاريتم الطبيعي، تطبيق صيغة مشتقة الدالة العكسية:
.
في حالتنا هذه . الدالة العكسية للوغاريتم الطبيعي هي الأسية:
.
يتم تحديد مشتقه بالصيغة (9). يمكن تعيين المتغيرات بأي حرف. في الصيغة (9)، استبدل المتغير x بـ y:
.
منذ ذلك الحين
.
ثم
.
تم إثبات الصيغة.

الآن نثبت صيغة مشتقة اللوغاريتم الطبيعي باستخدام قواعد التمييز بين الوظائف المعقدة. نظرًا لأن الوظائف وعكس بعضها البعض، إذن
.
دعونا نفرق هذه المعادلة بالنسبة للمتغير x:
(10) .
مشتق x يساوي واحدًا:
.
نحن نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة:
.
هنا . نعوض في (10):
.
من هنا
.

مثال

البحث عن مشتقات لن 2x, ln 3xو lnnx.

حل

الوظائف الأصلية لها شكل مماثل. لذلك سوف نجد مشتقة الدالة ذ = سجل nx. ثم نعوض بـ n = 2 و n = 3. وبالتالي نحصل على صيغ لمشتقات ln 2xو ln 3x .

إذن، نحن نبحث عن مشتقة الدالة
ذ = سجل nx .
لنتخيل هذه الدالة كدالة معقدة تتكون من وظيفتين:
1) وظائف تعتمد على متغير: ;
2) وظائف تعتمد على متغير: .
ثم تتكون الوظيفة الأصلية من الوظائف و:
.

لنجد مشتقة الدالة بالنسبة للمتغير x:
.
لنجد مشتقة الدالة بالنسبة للمتغير:
.
نحن نطبق صيغة مشتقة دالة معقدة.
.
هنا قمنا بإعداده.

لذلك وجدنا:
(11) .
نرى أن المشتقة لا تعتمد على n. هذه النتيجة طبيعية تمامًا إذا قمنا بتحويل الدالة الأصلية باستخدام صيغة لوغاريتم المنتج:
.
- وهذا ثابت. مشتقتها صفر. ثم، وفقا لقاعدة التفاضل في المجموع، لدينا:
.

إجابة

; ; .

مشتق من لوغاريتم المعامل x

دعونا نجد مشتق آخر جدا وظيفة مهمة- اللوغاريتم الطبيعي للمعامل x:
(12) .

دعونا ننظر في هذه القضية. ثم تبدو الوظيفة كما يلي:
.
يتم تحديد مشتقها بالصيغة (1):
.

الآن دعونا ننظر في هذه القضية. ثم تبدو الوظيفة كما يلي:
,
أين .
لكننا وجدنا أيضًا مشتقة هذه الدالة في المثال أعلاه. لا يعتمد على n ويساوي
.
ثم
.

ونجمع هاتين الحالتين في صيغة واحدة:
.

وفقًا لذلك، لكي يكون اللوغاريتم أساسًا a، لدينا:
.

مشتقات الرتب العليا للوغاريتم الطبيعي

النظر في الوظيفة
.
لقد وجدنا مشتقته من الدرجة الأولى:
(13) .

لنجد المشتقة من الدرجة الثانية:
.
لنجد مشتقة الدرجة الثالثة:
.
لنجد المشتقة الرابعة:
.

يمكنك ملاحظة أن مشتق الترتيب n له الشكل:
(14) .
دعونا نثبت ذلك عن طريق الاستقراء الرياضي.

دليل

دعونا نعوض القيمة n = 1 في الصيغة (14):
.
منذ ذلك الحين عندما ن = 1 الصيغة (14) صالحة.

لنفترض أن الصيغة (14) محققة لـ n = k. دعونا نثبت أن هذا يعني أن الصيغة صالحة لـ n = k + 1 .

في الواقع، بالنسبة لـ n = k لدينا:
.
التفاضل بالنسبة للمتغير x:

.
لذلك حصلنا على:
.
تتطابق هذه الصيغة مع الصيغة (14) لـ n = k + 1 . وبالتالي، من افتراض أن الصيغة (14) صالحة لـ n = k، يترتب على ذلك أن الصيغة (14) صالحة لـ n = k + 1 .

ولذلك، فإن الصيغة (14)، للمشتقة من الدرجة n، صالحة لأي n.

مشتقات الرتب العليا للوغاريتم للأساس أ

للعثور على مشتق الترتيب النوني للوغاريتم للأساس a، عليك التعبير عنه بدلالة اللوغاريتم الطبيعي:
.
وبتطبيق الصيغة (14) نجد المشتقة النونية:
.