أمثلة مع حل اللوغاريتمات. تعريف اللوغاريتم ، الهوية اللوغاريتمية الأساسية

مع تطور المجتمع ، تعقيد الإنتاج ، تطورت الرياضيات أيضًا. الحركة من البسيط إلى المعقد. من طريقة المحاسبة المعتادة للجمع والطرح ، مع تكرارهم المتكرر ، توصلوا إلى مفهوم الضرب والقسمة. أصبح الحد من عملية المضاعفة المتكررة مفهوم الأس. تم تجميع الجداول الأولى لاعتماد الأرقام على القاعدة وعدد الأس في القرن الثامن من قبل عالم الرياضيات الهندي فاراسينا. من بينها ، يمكنك حساب وقت حدوث اللوغاريتمات.

مخطط تاريخي

حفز إحياء أوروبا في القرن السادس عشر أيضًا تطور الميكانيكا. تي يتطلب قدرًا كبيرًا من الحسابالمرتبطة بضرب وقسمة الأعداد متعددة الأرقام. كانت الطاولات القديمة خدمة رائعة. سمحوا ليحل محل عمليات معقدةإلى أبسط - الجمع والطرح. تمثلت خطوة كبيرة إلى الأمام في عمل عالم الرياضيات مايكل ستيفل ، الذي نُشر عام 1544 ، والذي أدرك فيه فكرة العديد من علماء الرياضيات. هذا جعل من الممكن استخدام الجداول ليس فقط للدرجات في النموذج الأعداد الأولية، ولكن أيضًا للعقلانية التعسفية.

في عام 1614 ، قام الاسكتلندي جون نابير ، بتطوير هذه الأفكار ، بتقديم المصطلح الجديد "لوغاريتم الرقم". تم تجميع جداول معقدة جديدة لحساب لوغاريتمات الجيب وجيب التمام ، وكذلك الظلال. هذا قلل بشكل كبير من عمل علماء الفلك.

بدأت الجداول الجديدة في الظهور ، والتي استخدمها العلماء بنجاح لمدة ثلاثة قرون. مر الكثير من الوقت قبل أن تكتسب العملية الجديدة في الجبر شكلها النهائي. تم تحديد اللوغاريتم ودراسة خصائصه.

فقط في القرن العشرين ، مع ظهور الآلة الحاسبة والكمبيوتر ، تخلت البشرية عن الجداول القديمة التي كانت تعمل بنجاح طوال القرن الثالث عشر.

اليوم نسمي لوغاريتم b لأساس الرقم x ، وهو قوة a ، لنحصل على الرقم b. تتم كتابة هذا كصيغة: x = log a (b).

على سبيل المثال ، سجل 3 (9) سيساوي 2. وهذا واضح إذا اتبعت التعريف. إذا رفعنا 3 أس 2 ، فسنحصل على 9.

وبالتالي ، فإن التعريف المصوغ يضع قيدًا واحدًا فقط ، يجب أن يكون الرقمان أ و ب حقيقيين.

أنواع اللوغاريتمات

يُطلق على التعريف الكلاسيكي اللوغاريتم الحقيقي وهو في الواقع حل للمعادلة أ س = ب. الخيار a = 1 هو حد فاصل ولا يهم. ملاحظة: 1 إلى أي قوة هي 1.

القيمة الحقيقية للوغاريتميتم تعريفها فقط إذا كانت القاعدة والوسيطة أكبر من 0 ، ويجب ألا تكون الأساس مساوية لـ 1.

مكانة خاصة في مجال الرياضياتلعب اللوغاريتمات ، والتي سيتم تسميتها بناءً على قيمة قاعدتها:

القواعد والقيود

الخاصية الأساسية للوغاريتمات هي القاعدة: لوغاريتم المنتج يساوي المجموع اللوغاريتمي. سجل أب = سجل أ (ب) + سجل أ (ع).

كمتغير لهذا البيان ، سيكون: السجل ج (ب / ع) \ u003d السجل ج (ب) - السجل ج (ع) ، وظيفة حاصل القسمة تساوي فرق الوظائف.

من السهل أن نرى من القاعدتين السابقتين أن: log a (b p) = p * log a (b).

تشمل الخصائص الأخرى ما يلي:

تعليق. لا ترتكب خطأ شائعًا - لوغاريتم المجموع لا يساوي مجموع اللوغاريتمات.

لقرون عديدة ، كانت عملية إيجاد اللوغاريتم مهمة تستغرق وقتًا طويلاً. استخدم علماء الرياضيات الصيغة المعروفة للنظرية اللوغاريتمية للتوسع في كثير الحدود:

ln (1 + x) = x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 + ... + ((-1) ^ (n + 1)) * ((x ^ n) / n) ، حيث n هو رقم طبيعي أكبر من 1 ، والذي يحدد دقة الحساب.

تم حساب اللوغاريتمات ذات القواعد الأخرى باستخدام نظرية الانتقال من قاعدة إلى أخرى وخاصية لوغاريتم المنتج.

لأن هذه الطريقة شاقة للغاية و عند حل المشكلات العمليةصعب التنفيذ ، فقد استخدموا جداول اللوغاريتمات المجمعة مسبقًا ، مما أدى إلى تسريع العمل بأكمله بشكل كبير.

في بعض الحالات ، تم استخدام الرسوم البيانية التي تم تجميعها خصيصًا للوغاريتمات ، مما أعطى دقة أقل ، ولكنه أدى إلى تسريع البحث عن القيمة المطلوبة بشكل كبير. منحنى الدالة y = log a (x) ، المبني على عدة نقاط ، يسمح باستخدام المسطرة المعتادة للعثور على قيم الوظيفة في أي نقطة أخرى. المهندسين منذ وقت طويللهذه الأغراض ، تم استخدام ما يسمى بورقة الرسم البياني.

في القرن السابع عشر ، ظهرت أول ظروف الحوسبة التناظرية المساعدة ، والتي تم إنشاؤها القرن التاسع عشراكتسب نظرة نهائية. كان الجهاز الأكثر نجاحًا يسمى قاعدة الشريحة. على الرغم من بساطة الجهاز ، إلا أن مظهره أدى إلى تسريع عملية جميع الحسابات الهندسية بشكل كبير ، ومن الصعب المبالغة في تقدير ذلك. في الوقت الحالي ، قلة من الناس على دراية بهذا الجهاز.

جعل ظهور الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر من العبث استخدام أي أجهزة أخرى.

المعادلات وعدم المساواة

تُستخدم الصيغ التالية لحل المعادلات والمتباينات المختلفة باستخدام اللوغاريتمات:

الانتقال من قاعدة إلى أخرى: log a (b) = log c (b) / log c (a) ؛
كنتيجة للإصدار السابق: سجل أ (ب) = 1 / سجل ب (أ).

لحل عدم المساواة ، من المفيد معرفة:

ستكون قيمة اللوغاريتم موجبة فقط إذا كان كل من الأساس والوسيطة أكبر من أو أقل من واحد ؛ إذا تم انتهاك شرط واحد على الأقل ، فستكون قيمة اللوغاريتم سالبة.
إذا تم تطبيق دالة اللوغاريتم على الجانبين الأيمن والأيسر من المتباينة ، وكانت قاعدة اللوغاريتم أكبر من واحد ، فسيتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة ؛ خلاف ذلك ، يتغير.

أمثلة المهام

ضع في اعتبارك عدة خيارات لاستخدام اللوغاريتمات وخصائصها. أمثلة لحل المعادلات:

ضع في اعتبارك خيار وضع اللوغاريتم في الدرجة:

المهمة 3. احسب 25 ^ سجل 5 (3). الحل: في ظروف المشكلة ، يكون التدوين مشابهًا لما يلي (5 ^ 2) ^ log5 (3) أو 5 ^ (2 * log 5 (3)). دعنا نكتبها بشكل مختلف: 5 ^ log 5 (3 * 2) ، أو يمكن كتابة مربع الرقم كوسيطة دالة كمربع للدالة نفسها (5 ^ log 5 (3)) ^ 2. باستخدام خصائص اللوغاريتمات ، يكون هذا التعبير 3 ^ 2. الجواب: نتيجة الحساب نحصل على 9.

الاستخدام العملي

كونها أداة رياضية بحتة ، يبدو أنها بعيدة كل البعد عن ذلك الحياه الحقيقيهالتي اكتسبها اللوغاريتم فجأة أهمية عظيمةلوصف الأشياء العالم الحقيقي. من الصعب العثور على علم لا يستخدم فيه. هذا لا ينطبق فقط على مجالات المعرفة الطبيعية ، ولكن أيضًا على مجالات المعرفة الإنسانية.

التبعيات اللوغاريتمية

فيما يلي بعض الأمثلة على التبعيات العددية:

الميكانيكا والفيزياء

تاريخيًا ، تم تطوير الميكانيكا والفيزياء دائمًا باستخدام الطرق الرياضيةالبحث وفي الوقت نفسه كان بمثابة حافز لتطوير الرياضيات ، بما في ذلك اللوغاريتمات. معظم قوانين الفيزياء مكتوبة بلغة الرياضيات. نعطي مثالين فقط لوصف القوانين الفيزيائية باستخدام اللوغاريتم.

من الممكن حل مشكلة حساب كمية معقدة مثل سرعة الصاروخ باستخدام صيغة Tsiolkovsky ، التي أرست الأساس لنظرية استكشاف الفضاء:

V = I * ln (M1 / M2) ، أين

V هي السرعة النهائية للطائرة.
أنا هو الدافع المحدد للمحرك.
M 1 هي الكتلة الأولية للصاروخ.
م 2 - الكتلة النهائية.

مثال آخر مهم- هذا هو الاستخدام في صيغة عالم عظيم آخر ، ماكس بلانك ، والذي يعمل على تقييم حالة التوازن في الديناميكا الحرارية.

S = k * ln () ، أين

S هي خاصية ديناميكية حرارية.
k هو ثابت بولتزمان.
Ω هو الوزن الإحصائي للحالات المختلفة.

كيمياء

أقل وضوحًا هو استخدام الصيغ في الكيمياء التي تحتوي على نسبة اللوغاريتمات. هنا مثالان فقط:

معادلة نرنست ، حالة إمكانات الأكسدة والاختزال للوسط فيما يتعلق بنشاط المواد وثابت التوازن.
كما أن حساب الثوابت مثل مؤشر التحلل الذاتي وحموضة المحلول لا يكتمل بدون وظيفتنا.

علم النفس وعلم الأحياء

ومن غير المفهوم تمامًا ما علاقة علم النفس به. اتضح أن قوة الإحساس موصوفة جيدًا بواسطة هذه الوظيفة على أنها النسبة العكسية لشدة التحفيز إلى قيمة أقلشدة.

بعد الأمثلة المذكورة أعلاه ، لم يعد من المستغرب أن يتم استخدام موضوع اللوغاريتمات أيضًا على نطاق واسع في علم الأحياء. يمكن كتابة مجلدات كاملة عن الأشكال البيولوجية المقابلة للحلزونات اللوغاريتمية.

مناطق أخرى

يبدو أن وجود العالم مستحيل دون الارتباط بهذه الوظيفة ، وهو يحكم جميع القوانين. خاصة عندما ترتبط قوانين الطبيعة المتوالية الهندسية. يجدر الإشارة إلى موقع MatProfi ، وهناك العديد من الأمثلة في مجالات النشاط التالية:

يمكن أن تكون القائمة لا نهاية لها. بعد أن أتقنت القوانين الأساسية لهذه الوظيفة ، يمكنك الانغماس في عالم الحكمة اللانهائية.

لوغاريتم رقم ن بسبب أ يسمى الأس X ، التي تحتاج إلى رفعها أ للحصول على الرقم ن

بشرط
,
,

ويترتب على تعريف اللوغاريتم أن
، أي.
- هذه المساواة هي الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

تسمى اللوغاريتمات للأساس 10 اللوغاريتمات العشرية. بدلاً من
يكتب
.

اللوغاريتمات الأساسية ه تسمى طبيعية وتدل
.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

لوغاريتم الوحدة لأي أساس هو صفر

لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل.

3) لوغاريتم حاصل القسمة يساوي فرق اللوغاريتمات

عامل
يسمى معامل الانتقال من اللوغاريتمات في القاعدة أ للوغاريتمات في القاعدة ب .

باستخدام الخصائص 2-5 ، من الممكن غالبًا تقليل لوغاريتم تعبير معقد إلى نتيجة عمليات حسابية بسيطة على اللوغاريتمات.

على سبيل المثال،

تسمى هذه التحولات في اللوغاريتمات اللوغاريتمات. تسمى التحويلات المتبادلة للوغاريتمات التقوية.

الفصل 2. عناصر الرياضيات العليا.

1. الحدود

حد الوظيفة
هو عدد منتهٍ أ إذا كان عند الجهاد xx 0 لكل محدد سلفا
، يوجد رقم
ذلك في أقرب وقت
، الذي - التي
.

تختلف الوظيفة التي لها حد بمقدار متناهٍ في الصغر:
، حيث - b.m.w. ، أي
.

مثال. ضع في اعتبارك الوظيفة
.

عند الكفاح
، وظيفة ذ يذهب إلى الصفر:

1.1 النظريات الأساسية حول الحدود.

حد القيمة الثابتة يساوي هذه القيمة الثابتة

حد مجموع (فرق) عدد محدد من الوظائف يساوي مجموع (فرق) حدود هذه الوظائف.

حد منتج لعدد محدود من الوظائف يساوي حاصل ضرب حدود هذه الوظائف.

حد خارج قسمة وظيفتين يساوي حاصل قسمة حدود هاتين الدالتين إذا كان حد المقام لا يساوي صفرًا.

حدود ملحوظة

,
، أين

1.2 أمثلة على حساب الحد

ومع ذلك ، لا يتم حساب جميع الحدود بهذه السهولة. في كثير من الأحيان ، يتم تقليل حساب الحد إلى الكشف عن نوع عدم اليقين: أو .

2. مشتق من وظيفة

دعونا لدينا وظيفة
، مستمر في الجزء
.

دعوى حصلت على بعض التعزيز
. ثم ستتم زيادة الوظيفة
.

قيمة الوسيطة يتوافق مع قيمة الوظيفة
.

قيمة الوسيطة
يتوافق مع قيمة الوظيفة.

لذلك، .

دعونا نجد حد هذه العلاقة في
. إذا كان هذا الحد موجودًا ، فسيتم تسميته بمشتق الوظيفة المحددة.

تعريف 3 مشتق لدالة معينة
بالحجة يسمى حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة ، عندما تميل زيادة الوسيطة بشكل تعسفي إلى الصفر.

مشتق وظيفي
يمكن الإشارة إليها على النحو التالي:

; ; ; .

التعريف 4 - تسمى عملية إيجاد مشتق دالة التفاضل.

2.1. المعنى الميكانيكي للمشتق.

ضع في اعتبارك الحركة المستقيمة لجسم صلب أو نقطة مادية.

دعنا في وقت ما نقطة متحركة
كان على مسافة من نقطة البداية
.

بعد فترة من الزمن
تحركت مسافة
. سلوك =- متوسط سرعة النقطة المادية
. دعونا نجد حد هذه النسبة ، مع الأخذ في الاعتبار ذلك
.

وبالتالي ، يتم تقليل تحديد السرعة اللحظية لنقطة مادية لإيجاد مشتق المسار فيما يتعلق بالوقت.

2.2. القيمة الهندسية للمشتق

افترض أن لدينا وظيفة محددة بيانياً
.

أرز. 1. المعنى الهندسي للمشتق

لو
ثم النقطة
، سوف تتحرك على طول المنحنى ، تقترب من النقطة
.

لذلك
، أي. قيمة المشتق بالنظر إلى قيمة الوسيطة يساوي عدديًا ظل الزاوية المتكونة من الظل عند نقطة معينة مع الاتجاه الإيجابي للمحور
.

2.3 جدول معادلات التفاضل الأساسية.

وظيفة الطاقة

دالة أسية

دالة لوغاريتمية

دالة مثلثية

دالة مثلثية عكسية

2.4 قواعد التمايز.

مشتق من

مشتق مجموع (فرق) الوظائف

مشتق من حاصل ضرب وظيفتين

مشتق حاصل قسمة وظيفتين

2.5 مشتق دالة معقدة.

دع الوظيفة
بحيث يمكن تمثيلها على أنها

و
حيث المتغير هي حجة وسيطة ، إذن

مشتق دالة معقدة يساوي حاصل ضرب مشتق الدالة المعينة فيما يتعلق بالحجة الوسيطة بمشتق الوسيطة فيما يتعلق بـ x.

مثال 1.

مثال 2.

3. وظيفة التفاضل.

يجب ألا يكون هناك
، قابلة للتفاضل في بعض الفترات
دعها تذهب في هذه الوظيفة لها مشتق

ثم يمكنك الكتابة

(1),

أين - كمية متناهية الصغر ،

لأنه في

ضرب جميع شروط المساواة (1) في
لدينا:

أين
- م. أعلى ترتيب.

قيمة
يسمى تفاضل الوظيفة
والمشار إليها

3.1. القيمة الهندسية للتفاضل.

دع الوظيفة
.

الصورة 2. المعنى الهندسي للتفاضل.

من الواضح ، تفاضل الوظيفة
تساوي الزيادة في إحداثيات الظل عند نقطة معينة.

3.2 المشتقات والتفاضلات من أوامر مختلفة.

إن كان هناك
، ثم
يسمى المشتق الأول.

مشتق المشتق الأول يسمى مشتق من الدرجة الثانية ويتم كتابته
.

مشتق من الترتيب n للدالة
يسمى مشتق من (n-1) وهو مكتوب:

يسمى تفاضل تفاضل دالة ما التفاضل الثاني أو تفاضل الرتبة الثانية.

.

.

3.3 حل المشكلات البيولوجية باستخدام التفاضل.

مهمة 1. أظهرت الدراسات أن نمو مستعمرة الكائنات الحية الدقيقة يخضع للقانون
، أين ن - عدد الكائنات الحية الدقيقة (بالآلاف) ، ر - الوقت (أيام).

ب) هل سيزداد عدد سكان المستعمرة أم سينخفض خلال هذه الفترة؟

إجابة. سوف تنمو المستعمرة في الحجم.

المهمة 2. يتم اختبار المياه في البحيرة بشكل دوري للتحكم في محتوى البكتيريا المسببة للأمراض. خلال ر بعد أيام من الاختبار ، يتم تحديد تركيز البكتيريا حسب النسبة

متى يأتي الحد الأدنى من تركيز البكتيريا في البحيرة ويمكن السباحة فيها؟

الحل A تصل الدالة القصوى أو الصغرى عندما يكون مشتقها صفرًا.

لنحدد الحد الأقصى أو الحد الأدنى في 6 أيام. للقيام بذلك ، نأخذ المشتق الثاني.

الجواب: بعد 6 أيام سيكون هناك حد أدنى لتركيز البكتيريا.

الخصائص الأساسية.

logax + logay = log (x y) ؛
logax - logay = log (x: y).

نفس الأسباب

تسجيل 6 4 + تسجيل 6 9.

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً.

أمثلة على حل اللوغاريتمات

ماذا لو كانت هناك درجة في قاعدة اللوغاريتم أو حججه؟ ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من علامة اللوغاريتم وفقًا للقواعد التالية:

بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ لوغاريتم ODZ: a> 0 ، a ≠ 1 ، x>

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

دع اللوغاريتم اللوغاريتم يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c مثل c> 0 و c ≠ 1 ، تكون المساواة صحيحة:

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

أنظر أيضا:

الخصائص الأساسية للوغاريتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

الأس هو 2.718281828…. لتذكر الأس ، يمكنك دراسة القاعدة: الأس هو 2.7 ومرتين سنة ميلاد ليو تولستوي.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

بمعرفة هذه القاعدة ستعرف و القيمة الدقيقةالعارضين ، وتاريخ ميلاد ليو تولستوي.

أمثلة على اللوغاريتمات

خذ لوغاريتم التعبيرات

مثال 1
أ). س = 10ac ^ 2 (أ> 0 ، ج> 0).

حسب الخصائص 3،5 نحسب

4. أين .

مثال 2 أوجد x إذا

مثال 3. دع قيمة اللوغاريتمات تعطى

احسب تسجيل (x) إذا

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

يمكن إضافة اللوغاريتمات ، مثل أي رقم ، وطرحها وتحويلها بكل طريقة ممكنة. ولكن منذ اللوغاريتمات ليست في الحقيقة أرقام عادية، هناك قواعد هنا ، والتي تسمى الخصائص الأساسية.

يجب معرفة هذه القواعد - لا يمكن حل مشكلة لوغاريتمية خطيرة بدونها. بالإضافة إلى ذلك ، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكن تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس القاعدة: logax و logay. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:

logax + logay = log (x y) ؛
logax - logay = log (x: y).

إذن ، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب ، والفرق هو لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي - نفس الأسباب. إذا كانت القواعد مختلفة ، فإن هذه القواعد لا تعمل!

ستساعد هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى في حالة عدم مراعاة أجزائه الفردية (انظر الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألق نظرة على الأمثلة وانظر:

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log2 48 - log2 3.

القواعد هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
تسجيل 2 48 - تسجيل 2 3 = تسجيل 2 (48: 3) = تسجيل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log3 135 - log3 5.

مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

كما ترى ، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة" ، والتي لا يتم النظر فيها بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات تظهر أرقام عادية. بناء على هذه الحقيقة ، كثير أوراق الاختبار. نعم ، تحكم - يتم تقديم تعبيرات متشابهة بكل جدية (أحيانًا - مع عدم وجود تغييرات تقريبًا) في الامتحان.

إزالة الأس من اللوغاريتم

من السهل ملاحظة أن القاعدة الأخيرة تتبع أول قاعدتين. لكن من الأفضل تذكرها على أي حال - في بعض الحالات ستقلل بشكل كبير من مقدار العمليات الحسابية.

بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ لوغاريتم ODZ: a> 0 ، a ≠ 1 ، x> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين ، ولكن أيضًا العكس ، أي يمكنك إدخال الأرقام قبل علامة اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log7 496.

دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة وفق الصيغة الأولى:
سجل 7496 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

لاحظ أن المقام عبارة عن لوغاريتم أساسه وسيطته قوى دقيقة: 16 = 24؛ 49 = 72. لدينا:

أعتقد أن المثال الأخير يحتاج إلى توضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة ، نحن نعمل فقط مع المقام.

صيغ اللوغاريتمات. اللوغاريتمات هي أمثلة على الحلول.

قدموا قاعدة وحجة اللوغاريتم الذي يقف هناك على شكل درجات وأخذوا المؤشرات - حصلوا على كسر من "ثلاثة طوابق".

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الرئيسي. البسط والمقام لهما نفس الرقم: log2 7. بما أن log2 7 ≠ 0 ، يمكننا تقليل الكسر - 2/4 سيبقى في المقام. وفقًا لقواعد الحساب ، يمكن تحويل الأربعة إلى البسط ، وقد تم ذلك. والنتيجة هي الجواب: 2.

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

بالحديث عن قواعد إضافة وطرح اللوغاريتمات ، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. ماذا لو اختلفت القواعد؟ ماذا لو لم تكن قوى دقيقة لنفس العدد؟

تنقذ الصيغ الخاصة بالانتقال إلى قاعدة جديدة. نصيغها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم اللوغاريتم يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c مثل c> 0 و c ≠ 1 ، تكون المساواة صحيحة:

على وجه الخصوص ، إذا وضعنا c = x ، نحصل على:

ويترتب على الصيغة الثانية أنه من الممكن تبادل الأساس ووسيط اللوغاريتم ، ولكن في هذه الحالة يكون التعبير بالكامل "منقلبًا" ، أي اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ومع ذلك ، هناك مهام لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى مؤسسة جديدة. دعنا نفكر في اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log5 16 log2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمين هي أسس دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ؛ log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ؛

الآن دعنا نقلب اللوغاريتم الثاني:

نظرًا لأن المنتج لا يتغير من تبديل العوامل ، فقد ضربنا بهدوء أربعة في اثنين ، ثم اكتشفنا اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log9100 lg 3.

أساس وسعة اللوغاريتم الأول قوى دقيقة. دعنا نكتبها ونتخلص من المؤشرات:

الآن دعنا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

غالبًا في عملية الحل ، يلزم تمثيل رقم كلوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة ، ستساعدنا الصيغ على:

في الحالة الأولى ، يصبح الرقم n هو الأس في الوسيطة. يمكن أن يكون العدد n أي شيء على الإطلاق ، لأنه يمثل قيمة اللوغاريتم فقط.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. يطلق عليه مثل هذا:

في الواقع ، ماذا سيحدث إذا تم رفع الرقم ب لدرجة أن الرقم ب في هذه الدرجة يعطي الرقم أ؟ هذا صحيح: هذا هو نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس "يعلقون" عليها.

مثل صيغ التحويل الأساسية الجديدة ، فإن الهوية اللوغاريتمية الأساسية هي أحيانًا الحل الوحيد الممكن.

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

لاحظ أن log25 64 = log5 8 - أخرج فقط المربع من القاعدة ووسيطة اللوغاريتم. بالنظر إلى قواعد ضرب الأسس بنفس الأساس ، نحصل على:

إذا لم يكن شخص ما على دراية ، فهذه كانت مهمة حقيقية من اختبار الدولة الموحد 🙂

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام ، سأقدم متطابقتين يصعب تسميتهما بالخصائص - بالأحرى ، هذه نتائج من تعريف اللوغاريتم. يتم العثور عليها باستمرار في المشاكل ، والمثير للدهشة أنها تخلق مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

لوقا = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي قاعدة a من تلك القاعدة نفسها يساوي واحدًا.
loga 1 = 0 هو. يمكن أن تكون القاعدة a أي شيء ، ولكن إذا كانت الوسيطة واحدة ، فإن اللوغاريتم هو صفر! لأن a0 = 1 نتيجة مباشرة للتعريف.

هذه كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وقم بطباعتها وحل المشكلات.

أنظر أيضا:

يشير لوغاريتم الرقم b إلى الأساس a إلى التعبير. لحساب اللوغاريتم يعني إيجاد مثل هذه القوة x () التي تكون فيها المساواة صحيحة

الخصائص الأساسية للوغاريتم

يجب معرفة الخصائص المذكورة أعلاه ، لأنه ، على أساسها ، يتم حل جميع المشكلات والأمثلة تقريبًا بناءً على اللوغاريتمات. يمكن اشتقاق الخصائص الغريبة المتبقية عن طريق التلاعب الرياضي بهذه الصيغ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

عند حساب الصيغ لمجموع وفرق اللوغاريتمات (3.4) يتم مصادفتها في كثير من الأحيان. الباقي معقد إلى حد ما ، ولكن في عدد من المهام لا غنى عنها لتبسيط التعبيرات المعقدة وحساب قيمها.

الحالات الشائعة للوغاريتمات

بعض اللوغاريتمات الشائعة هي تلك التي تكون فيها القاعدة عشرة أو أسية أو شيطان.
عادةً ما يُطلق على لوغاريتم الأساس العشر لوغاريتم الأساس العشر ويُشار إليه ببساطة بـ lg (x).

يتضح من السجل أن الأساسيات غير مكتوبة في السجل. على سبيل المثال

اللوغاريتم الطبيعي هو اللوغاريتم الذي أساسه هو الأس (يُشار إليه بـ ln (x)).

الأس هو 2.718281828…. لتذكر الأس ، يمكنك دراسة القاعدة: الأس هو 2.7 ومرتين سنة ميلاد ليو تولستوي. بمعرفة هذه القاعدة ، ستعرف القيمة الدقيقة للأس وتاريخ ميلاد ليو تولستوي.

ولوغاريتم أساسي آخر للأساس اثنين هو

مشتق لوغاريتم الدالة يساوي واحدًا مقسومًا على المتغير

يتم تحديد اللوغاريتم المتكامل أو العكسي بالاعتماد

المواد المذكورة أعلاه كافية بالنسبة لك لحل فئة واسعة من المشاكل المتعلقة باللوغاريتمات واللوغاريتمات. من أجل فهم المادة ، سأقدم فقط بعض الأمثلة الشائعة من المناهج الدراسيةوالجامعات.

أمثلة على اللوغاريتمات

خذ لوغاريتم التعبيرات

مثال 1
أ). س = 10ac ^ 2 (أ> 0 ، ج> 0).

حسب الخصائص 3،5 نحسب

2.
من خلال خاصية الاختلاف في اللوغاريتمات ، لدينا

3.
باستخدام الخصائص 3.5 نجد

4. أين .

يتم تبسيط التعبير الذي يبدو معقدًا باستخدام سلسلة من القواعد في النموذج

البحث عن قيم اللوغاريتم

مثال 2 أوجد x إذا

حل. للحساب ، نطبق الخاصيتين 5 و 13 حتى آخر مصطلح

استبدل في المحضر وندب

نظرًا لأن الأسس متساوية ، فإننا نساوي التعبيرات

اللوغاريتمات. مستوى اول.

دع قيمة اللوغاريتمات تعطى

احسب تسجيل (x) إذا

الحل: خذ لوغاريتم المتغير لكتابة اللوغاريتم من خلال مجموع المصطلحات

هذه مجرد بداية التعرف على اللوغاريتمات وخصائصها. تدرب على الحسابات ، وأثري مهاراتك العملية - ستحتاج قريبًا إلى المعرفة المكتسبة لحل المعادلات اللوغاريتمية. بعد دراسة الطرق الأساسية لحل مثل هذه المعادلات ، سنقوم بتوسيع معرفتك لموضوع آخر لا يقل أهمية - عدم المساواة اللوغاريتمية ...

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

يمكن إضافة اللوغاريتمات ، مثل أي رقم ، وطرحها وتحويلها بكل طريقة ممكنة. ولكن نظرًا لأن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا ، فهناك قواعد هنا تسمى الخصائص الأساسية.

جمع وطرح اللوغاريتمات

ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس القاعدة: logax و logay. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:

logax + logay = log (x y) ؛
logax - logay = log (x: y).

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log6 4 + log6 9.

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log2 48 - log2 3.

القواعد هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
تسجيل 2 48 - تسجيل 2 3 = تسجيل 2 (48: 3) = تسجيل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log3 135 - log3 5.

مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

كما ترى ، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة" ، والتي لا يتم النظر فيها بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات تظهر أرقام عادية. تستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. نعم ، تحكم - يتم تقديم تعبيرات متشابهة بكل جدية (أحيانًا - مع عدم وجود تغييرات تقريبًا) في الامتحان.

إزالة الأس من اللوغاريتم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت هناك درجة في قاعدة اللوغاريتم أو حججه؟ ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من علامة اللوغاريتم وفقًا للقواعد التالية:

كيفية حل اللوغاريتمات

هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log7 496.

دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة وفق الصيغة الأولى:
سجل 7496 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

لاحظ أن المقام عبارة عن لوغاريتم أساسه وسيطته قوى دقيقة: 16 = 24؛ 49 = 72. لدينا:

أعتقد أن المثال الأخير يحتاج إلى توضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة ، نحن نعمل فقط مع المقام. قدموا قاعدة وحجة اللوغاريتم الذي يقف هناك على شكل درجات وأخذوا المؤشرات - حصلوا على كسر من "ثلاثة طوابق".

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

تنقذ الصيغ الخاصة بالانتقال إلى قاعدة جديدة. نصيغها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم اللوغاريتم يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c مثل c> 0 و c ≠ 1 ، تكون المساواة صحيحة:

على وجه الخصوص ، إذا وضعنا c = x ، نحصل على:

ومع ذلك ، هناك مهام لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى مؤسسة جديدة. دعنا نفكر في اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log5 16 log2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمين هي أسس دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ؛ log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ؛

الآن دعنا نقلب اللوغاريتم الثاني:

نظرًا لأن المنتج لا يتغير من تبديل العوامل ، فقد ضربنا بهدوء أربعة في اثنين ، ثم اكتشفنا اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log9100 lg 3.

أساس وسعة اللوغاريتم الأول قوى دقيقة. دعنا نكتبها ونتخلص من المؤشرات:

الآن دعنا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

غالبًا في عملية الحل ، يلزم تمثيل رقم كلوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة ، ستساعدنا الصيغ على:

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. يطلق عليه مثل هذا:

مثل صيغ التحويل الأساسية الجديدة ، فإن الهوية اللوغاريتمية الأساسية هي أحيانًا الحل الوحيد الممكن.

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

إذا لم يكن شخص ما على دراية ، فهذه كانت مهمة حقيقية من اختبار الدولة الموحد 🙂

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

لوقا = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي قاعدة a من تلك القاعدة نفسها يساوي واحدًا.
loga 1 = 0 هو. يمكن أن تكون القاعدة a أي شيء ، ولكن إذا كانت الوسيطة واحدة ، فإن اللوغاريتم هو صفر! لأن a0 = 1 نتيجة مباشرة للتعريف.

اليوم سنتحدث عنه صيغ اللوغاريتموإعطاء مظاهرة أمثلة الحل.

في حد ذاتها ، فإنها تشير إلى أنماط الحل وفقًا للخصائص الأساسية للوغاريتمات. قبل تطبيق صيغ اللوغاريتم على الحل ، نذكر لك أولاً جميع الخصائص:

الآن ، بناءً على هذه الصيغ (الخصائص) ، نعرض أمثلة على حل اللوغاريتمات.

أمثلة على حل اللوغاريتمات بناءً على الصيغ.

لوغاريتم رقم موجب، عدد إيجابي b إلى الأساس a (المشار إليه بـ log a b) هو الأس الذي يجب رفع a إليه للحصول على b ، مع b> 0 و a> 0 و 1.

وفقًا للتعريف log a b = x ، وهو ما يعادل a x = b ، لذلك سجل a a x = x.

اللوغاريتمات، أمثلة:

سجل 2 8 = 3 ، لأن 2 3 = 8

سجل 7 49 = 2 لأن 7 2 = 49

سجل 5 1/5 = -1 ، لأن 5-1 = 1/5

اللوغاريتم العشريهو لوغاريتم عادي ، وأساسه هو 10. ويشار إليه بالرمز lg.

سجل 10 100 = 2 لأن 10 2 = 100

اللوغاريتم الطبيعي- أيضًا اللوغاريتم المعتاد للوغاريتم ، ولكن مع الأساس e (e \ u003d 2.71828 ... - رقم غير نسبي). يشار إليها باسم ln.

من المستحسن تذكر الصيغ أو خصائص اللوغاريتمات ، لأننا سنحتاجها لاحقًا عند حل اللوغاريتمات والمعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. دعونا نعمل من خلال كل صيغة مرة أخرى مع الأمثلة.

الهوية اللوغاريتمية الأساسية
سجل أ ب = ب
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
لوغاريتم المنتج يساوي مجموع اللوغاريتمات
سجل أ (قبل الميلاد) = سجل أ ب + سجل أ ج
سجل 3 8.1 + سجل 3 10 = سجل 3 (8.1 * 10) = سجل 3 81 = 4
لوغاريتم خارج القسمة يساوي فرق اللوغاريتمات
سجل أ (ب / ج) = سجل أ ب - سجل أ ج
9 سجل 5 50/9 سجل 5 2 = 9 سجل 5 50 - سجل 5 2 = 9 سجل 5 25 = 9 2 = 81
خصائص درجة الرقم اللوغاريتمي وأساس اللوغاريتم
أُس رقم لوغاريتمي log a b m = mlog a b

أس أساس اللوغاريتم اللوغاريتمي a n b = 1 / n * log a b

سجل أ ن ب م = م / ن * سجل أ ب ،

إذا كانت m = n ، نحصل على log a n b n = log a b

سجل 4 9 = سجل 2 2 3 2 = سجل 2 3
الانتقال إلى مؤسسة جديدة
سجل أ ب = سجل ج ب / سجل ج أ ،
إذا كان c = b ، نحصل على log b b = 1

ثم سجل أ ب = 1 / سجل ب أ

سجل 0.8 3 * سجل 3 1.25 = سجل 0.8 3 * سجل 0.8 1.25 / سجل 0.8 3 = سجل 0.8 1.25 = سجل 4/5 5/4 = -1

كما ترى ، فإن صيغ اللوغاريتم ليست معقدة كما تبدو. الآن ، بعد أن درسنا أمثلة لحل اللوغاريتمات ، يمكننا الانتقال إلى المعادلات اللوغاريتمية. سننظر في أمثلة لحل المعادلات اللوغاريتمية بمزيد من التفصيل في المقالة: "". لا تفوت!

إذا كان لا يزال لديك أسئلة حول الحل ، فاكتبها في التعليقات على المقالة.

ملاحظة: قررت الحصول على تعليم فصل دراسي آخر في الخارج كخيار.

نواصل دراسة اللوغاريتمات. في هذا المقال سنتحدث عنه حساب اللوغاريتمات، هذه العملية تسمى اللوغاريتم. أولاً ، سنتعامل مع حساب اللوغاريتمات بالتعريف. بعد ذلك ، فكر في كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات باستخدام خصائصها. بعد ذلك ، سوف نتعمق في حساب اللوغاريتمات من خلال القيم المعطاة في البداية للوغاريتمات الأخرى. أخيرًا ، دعنا نتعلم كيفية استخدام جداول اللوغاريتمات. يتم تزويد النظرية بأكملها بأمثلة مع حلول مفصلة.

التنقل في الصفحة.

حساب اللوغاريتمات بالتعريف

في أبسط الحالات ، من الممكن الأداء بسرعة وسهولة إيجاد اللوغاريتم بالتعريف. دعونا نلقي نظرة فاحصة على كيفية حدوث هذه العملية.

جوهرها هو تمثيل الرقم ب في الشكل أ ج ، ومن ثم ، من خلال تعريف اللوغاريتم ، فإن الرقم ج هو قيمة اللوغاريتم. وهذا يعني ، بحكم التعريف ، أن إيجاد اللوغاريتم يتوافق مع سلسلة المساواة التالية: log a b = log a a c = c.

لذلك ، فإن حساب اللوغاريتم ، بالتعريف ، ينخفض إلى إيجاد مثل هذا الرقم c الذي هو c \ u003d b ، والرقم c نفسه هو القيمة المطلوبة للوغاريتم.

بالنظر إلى المعلومات الواردة في الفقرات السابقة ، عندما يتم إعطاء الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم بدرجة معينة من أساس اللوغاريتم ، يمكنك على الفور الإشارة إلى ما يساوي اللوغاريتم - فهو يساوي الأس. دعنا نعرض الأمثلة.

مثال.

أوجد اللوغاريتم 2 2 −3 واحسب أيضًا اللوغاريتم الطبيعي لـ e 5.3.

حل.

يتيح لنا تعريف اللوغاريتم أن نقول على الفور أن log 2 2 −3 = −3. في الواقع ، الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم يساوي الأساس 2 أس −3.

وبالمثل ، نجد اللوغاريتم الثاني: lne 5.3 = 5.3.

إجابة:

سجل 2 2 −3 = −3 و lne 5.3 = 5.3.

إذا لم يتم إعطاء الرقم ب الموجود أسفل علامة اللوغاريتم كقوة أساس اللوغاريتم ، فأنت بحاجة إلى التفكير بعناية فيما إذا كان من الممكن التوصل إلى تمثيل للرقم ب في الشكل أ ج. غالبًا ما يكون هذا التمثيل واضحًا تمامًا ، خاصةً عندما يكون الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم مساويًا للأساس لقوة 1 أو 2 أو 3 ، ...

مثال.

احسب اللوغاريتمات log 5 25 و.

حل.

من السهل أن ترى أن 25 = 5 2 ، وهذا يسمح لك بحساب اللوغاريتم الأول: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.

ننتقل إلى حساب اللوغاريتم الثاني. يمكن تمثيل الرقم كقوة لـ 7: (انظر إذا لزم الأمر). لذلك، .

دعونا نعيد كتابة اللوغاريتم الثالث بالشكل التالي. الآن يمكنك رؤية ذلك ، ومن أين نستنتج ذلك . لذلك ، من خلال تعريف اللوغاريتم .

باختصار ، يمكن كتابة الحل على النحو التالي:

إجابة:

سجل 5 25 = 2 ، و .

عندما يكون عدد طبيعي كبير بدرجة كافية تحت علامة اللوغاريتم ، فلا يضر تحللها إلى العوامل الأولية. غالبًا ما يساعد في تمثيل مثل هذا الرقم مثل بعض قوة أساس اللوغاريتم ، وبالتالي ، حساب هذا اللوغاريتم بالتعريف.

مثال.

أوجد قيمة اللوغاريتم.

حل.

تسمح لك بعض خصائص اللوغاريتمات بتحديد قيمة اللوغاريتمات على الفور. تتضمن هذه الخصائص خاصية لوغاريتم واحد وخاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس: log 1 1 = log a 0 = 0 and log a a = log a 1 = 1. أي عندما يكون الرقم 1 أو الرقم أ تحت علامة اللوغاريتم ، يساوي أساس اللوغاريتم ، ففي هذه الحالات يكون اللوغاريتمات 0 و 1 على التوالي.

مثال.

ما هي اللوغاريتمات و lg10؟

حل.

منذ ذلك الحين ، فإنه يتبع من تعريف اللوغاريتم .

في المثال الثاني ، يتطابق الرقم 10 الموجود أسفل علامة اللوغاريتم مع قاعدته ، لذا فإن اللوغاريتم العشري للعشرة يساوي واحدًا ، أي lg10 = lg10 1 = 1.

إجابة:

و lg10 = 1.

لاحظ أن اللوغاريتمات الحاسوبية بالتعريف (التي ناقشناها في الفقرة السابقة) تعني استخدام سجل المساواة أ ع = ص ، وهي إحدى خصائص اللوغاريتمات.

من الناحية العملية ، عندما يتم تمثيل الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم وقاعدة اللوغاريتم بسهولة كقوة لعدد ما ، فمن الملائم جدًا استخدام الصيغة ، والذي يتوافق مع إحدى خصائص اللوغاريتمات. ضع في اعتبارك مثالًا لإيجاد اللوغاريتم ، يوضح استخدام هذه الصيغة.

مثال.

احسب لوغاريتم.

حل.

إجابة:

يتم استخدام خصائص اللوغاريتمات غير المذكورة أعلاه في الحساب أيضًا ، لكننا سنتحدث عن ذلك في الفقرات التالية.

إيجاد اللوغاريتمات من حيث اللوغاريتمات الأخرى المعروفة

تستمر المعلومات الواردة في هذه الفقرة في موضوع استخدام خصائص اللوغاريتمات في حسابها. لكن الاختلاف الرئيسي هنا هو أن خصائص اللوغاريتمات تُستخدم للتعبير عن اللوغاريتم الأصلي من حيث لوغاريتم آخر ، تُعرف قيمته. لنأخذ مثالا للتوضيح. لنفترض أننا نعلم أن log 2 3≈1.584963 ، فيمكننا إيجاد ، على سبيل المثال ، log 2 6 بإجراء تحويل بسيط باستخدام خصائص اللوغاريتم: سجل 2 6 = سجل 2 (2 3) = سجل 2 2 + سجل 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

في المثال أعلاه ، كان يكفي لنا استخدام خاصية لوغاريتم المنتج. ومع ذلك ، غالبًا ما يتعين عليك استخدام ترسانة أكبر من خصائص اللوغاريتمات من أجل حساب اللوغاريتم الأصلي من حيث اللوغاريتمات المعطاة.

مثال.

احسب لوغاريتم 27 إلى الأساس 60 إذا كان معروفًا أن log 60 2 = a و log 60 5 = b.

حل.

إذن علينا إيجاد log 60 27. من السهل أن نرى أن 27 = 3 3 ، واللوغاريتم الأصلي ، بسبب خاصية لوغاريتم الدرجة ، يمكن إعادة كتابته على النحو 3 · log 60 3.

لنرى الآن كيف يمكن التعبير عن log 60 3 بدلالة اللوغاريتمات المعروفة. تتيح لك خاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس كتابة سجل المساواة 60 60 = 1. من ناحية أخرى ، log 60 60 = log60 (2 2 3 5) = سجل 60 2 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5 = 2 سجل 60 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5. هكذا، 2 سجل 60 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5 = 1. لذلك، السجل 60 3 = 1−2 السجل 60 2 − السجل 60 5 = 1−2 أ − ب.

أخيرًا ، نحسب اللوغاريتم الأصلي: log 60 27 = 3 log 60 3 = 3 (1−2 أ − ب) = 3−6 أ − 3 ب.

إجابة:

سجل 60 27 = 3 (1−2 أ − ب) = 3−6 أ − 3 ب.

بشكل منفصل ، تجدر الإشارة إلى معنى صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة لوغاريتم النموذج . يسمح لك بالانتقال من اللوغاريتمات مع أي قاعدة إلى لوغاريتمات ذات قاعدة محددة ، وقيمها معروفة أو من الممكن العثور عليها. عادةً ، من اللوغاريتم الأصلي ، وفقًا لصيغة الانتقال ، يتحولون إلى اللوغاريتمات في إحدى القواعد 2 أو e أو 10 ، نظرًا لأن هناك جداول من اللوغاريتمات لهذه القواعد تسمح بحسابها بدرجة معينة من الدقة. في القسم التالي ، سوف نوضح كيف يتم ذلك.

جداول اللوغاريتمات واستخدامها

لحساب تقريبي لقيم اللوغاريتمات ، يمكن للمرء استخدام جداول اللوغاريتم. الجدول الأكثر استخدامًا للوغاريتمات الأساسية 2 ، الجدول اللوغاريتمات الطبيعيةوجدول اللوغاريتمات العشرية. عند العمل في نظام الأرقام العشري ، من الملائم استخدام جدول اللوغاريتمات للأساس عشرة. بمساعدتها ، سوف نتعلم كيفية إيجاد قيم اللوغاريتمات.

يسمح الجدول المقدم ، بدقة تبلغ واحدًا على عشرة آلاف ، بإيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام من 1.000 إلى 9.999 (بثلاثة منازل عشرية). سيتم تحليل مبدأ إيجاد قيمة اللوغاريتم باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية مثال محدد- أكثر وضوحا. لنجد lg1،256.

في العمود الأيسر من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد أول رقمين من الرقم 1.256 ، أي نجد 1.2 (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأزرق للتوضيح). الرقم الثالث من الرقم 1.256 (الرقم 5) موجود في السطر الأول أو الأخير على يسار الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأحمر). الرقم الرابع من الرقم الأصلي 1.256 (الرقم 6) موجود في السطر الأول أو الأخير على يمين الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأخضر). الآن نجد الأرقام في خلايا جدول اللوغاريتمات عند تقاطع الصف المحدد والأعمدة المميزة (يتم تمييز هذه الأرقام البرتقالي). يعطي مجموع الأرقام المميزة القيمة المرغوبة للوغاريتم العشري حتى المكان العشري الرابع ، أي ، السجل 1.236≈0.0969 + 0.0021 = 0.0990.

هل من الممكن ، باستخدام الجدول أعلاه ، إيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام التي تحتوي على أكثر من ثلاثة أرقام بعد الفاصلة العشرية ، وكذلك تجاوز الحدود من 1 إلى 9.999؟ نعم تستطيع. دعنا نوضح كيف يتم ذلك بمثال.

لنحسب lg102.76332. أولا تحتاج إلى الكتابة الرقم في الشكل القياسي: 102.76332 = 1.0276332 10 2. بعد ذلك ، يجب تقريب الجزء العشري لأقرب منزلة عشرية ثالثة ، لدينا 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، في حين أن اللوغاريتم العشري الأصلي هو تقريبًا يساوي اللوغاريتمالرقم الناتج ، أي أننا نأخذ lg102.76332≈lg1.028 · 10 2. الآن قم بتطبيق خصائص اللوغاريتم: lg1.028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2. أخيرًا ، نجد قيمة اللوغاريتم lg1.028 وفقًا لجدول اللوغاريتمات العشرية lg1.028≈0.0086 + 0.0034 = 0.012. نتيجة لذلك ، تبدو عملية حساب اللوغاريتم بالكامل كما يلي: lg102.76332 = lg1.0276332 10 2 ميكرو جرام 1.028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2≈0.012 + 2 = 2.012.

في الختام ، تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية ، يمكنك حساب القيمة التقريبية لأي لوغاريتم. للقيام بذلك ، يكفي استخدام صيغة الانتقال للانتقال إلى اللوغاريتمات العشرية ، والعثور على قيمها في الجدول ، وإجراء العمليات الحسابية المتبقية.

على سبيل المثال ، لنحسب السجل 2 3. وفقًا لصيغة الانتقال إلى أساس جديد للوغاريتم ، لدينا. من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد lg3≈0.4771 و lg2≈0.3010. هكذا، .

فهرس.

كولموغوروف إيه إن ، أبراموف إيه إم ، دودنيتسين يو. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من مؤسسات التعليم العام.
Gusev V.A.، Mordkovich A.G. الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية).