المعادلات التفاضلية على الانترنت. المعادلات التفاضلية

إما أن تكون قد تم حلها بالفعل فيما يتعلق بالمشتقة، أو يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتقة .

الحل العام للمعادلات التفاضلية من النوع على الفترة X، والتي تم تقديمها، يمكن العثور عليها من خلال أخذ تكامل طرفي هذه المساواة.

نحن نحصل .

إذا نظرت إلى الخصائص تكامل غير محدد، ثم نجد الحل العام المطلوب:

ص = و(س) + ج,

أين و(خ)- واحد من وظائف المشتقات المضادة و (خ)ما بين أثنين X، أ مع- ثابت تعسفي.

يرجى ملاحظة أنه في معظم المشاكل الفاصل الزمني Xلا تشير. وهذا يعني أنه يجب إيجاد حل للجميع. سوالتي والوظيفة المطلوبة ذوالمعادلة الأصلية منطقية.

إذا كنت بحاجة إلى حساب حل معين لمعادلة تفاضلية تحقق الشرط الأولي ص(س 0) = ص 0ثم بعد حساب التكامل العام ص = و(س) + ج، لا يزال من الضروري تحديد قيمة الثابت ج = ج 0استخدام الحالة الأولية. وهذا هو ثابت ج = ج 0تحدد من المعادلة و(س 0) + ج = ص 0، والحل الجزئي المطلوب للمعادلة التفاضلية سوف يأخذ الشكل:

ص = و(س) + ج 0.

لنلقي نظرة على مثال:

دعونا نجد حلاً عامًا للمعادلة التفاضلية ونتحقق من صحة النتيجة. دعونا نجد حلاً محددًا لهذه المعادلة يحقق الشرط الأولي.

حل:

بعد أن قمنا بتكامل المعادلة التفاضلية المعطاة، نحصل على:

.

لنأخذ هذا التكامل باستخدام طريقة التكامل بالأجزاء:

الذي - التي.، هو الحل العام للمعادلة التفاضلية.

للتأكد من صحة النتيجة، دعونا نجري فحصًا. للقيام بذلك، نعوض بالحل الذي وجدناه في المعادلة التالية:

.

ذلك حين المعادلة الأصلية تتحول إلى هوية:

ولذلك تم تحديد الحل العام للمعادلة التفاضلية بشكل صحيح.

الحل الذي توصلنا إليه هو حل عام للمعادلة التفاضلية لكل قيمة حقيقية للوسيطة س.

يبقى حساب حل معين لـ ODE الذي يلبي الشرط الأولي. وبعبارة أخرى، من الضروري حساب قيمة الثابت مع، حيث تكون المساواة صحيحة:

.

.

ثم الاستبدال ج = 2في الحل العام لـ ODE، نحصل على حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي:

.

المعادلة التفاضلية العادية يمكن حل المشتقة بقسمة طرفي المعادلة على و (خ). سيكون هذا التحول معادلاً إذا و (خ)لا يتحول إلى الصفر تحت أي ظرف من الظروف سمن فترة التكامل للمعادلة التفاضلية X.

هناك حالات محتملة عندما تكون الوسيطة معينة س ∈ Xالمهام و (خ)و ز (خ)في نفس الوقت تصبح صفر لقيم مماثلة سالحل العام للمعادلة التفاضلية هو أي دالة ذ، والذي تم تعريفه فيها، لأن .

إذا كان لبعض قيم الوسيطة س ∈ Xتم استيفاء الشرط، مما يعني أنه في هذه الحالة ليس لدى ODE أي حلول.

للجميع سمن الفاصل Xيتم تحديد الحل العام للمعادلة التفاضلية من المعادلة المحولة.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

مثال 1.

دعونا نجد حلاً عامًا لـ ODE: .

حل.

من خصائص الوظائف الأولية الأساسية يتضح أن الوظيفة اللوغاريتم الطبيعييتم تعريفه لقيم الوسيطة غير السالبة، وبالتالي فإن نطاق التعبير قانون الجنسية (س+3)هناك فاصل زمني س > -3 . وهذا يعني أن المعادلة التفاضلية المعطاة منطقية س > -3 . بالنسبة لقيم الوسيطة هذه، التعبير س+3لا يختفي، لذا يمكنك حل ODE للمشتق عن طريق قسمة الجزأين على س + 3.

نحن نحصل .

بعد ذلك، نقوم بدمج المعادلة التفاضلية الناتجة، وحلها بالنسبة للمشتقة: . ولأخذ هذا التكامل، نستخدم طريقة تضمين الإشارة التفاضلية.

حل المعادلات التفاضلية. بفضل لدينا خدمة الإنترنتيمكنك حل المعادلات التفاضلية من أي نوع وتعقيد: غير متجانسة، متجانسة، غير خطية، خطية، من الدرجة الأولى، من الدرجة الثانية، مع متغيرات قابلة للفصل أو غير قابلة للفصل، وما إلى ذلك. يمكنك الحصول على حل للمعادلات التفاضلية في شكل تحليلي مع وصف تفصيلي. يتساءل الكثير من الناس عن سبب ضرورة اتخاذ القرار المعادلات التفاضليةمتصل؟ هذا النوع من المعادلات شائع جدًا في الرياضيات والفيزياء، حيث سيكون من المستحيل حل العديد من المسائل دون حساب المعادلة التفاضلية. المعادلات التفاضلية شائعة أيضًا في الاقتصاد والطب والأحياء والكيمياء والعلوم الأخرى. الحل لمثل هذه المعادلة هو وضع على شبكة الإنترنتإنه يجعل مهامك أسهل بكثير، ويمنحك الفرصة لفهم المادة بشكل أفضل واختبار نفسك. مزايا حل المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت. يتيح لك موقع الويب الحديث للخدمات الرياضية حل المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت بأي تعقيد. كما تعلمون هناك عدد كبير منأنواع المعادلات التفاضلية ولكل منها طريقة حل خاصة بها. يمكنك من خلال خدمتنا العثور على حلول للمعادلات التفاضلية من أي ترتيب ونوع عبر الإنترنت. للحصول على حل، نقترح عليك ملء البيانات الأولية والنقر على زر "الحل". تم استبعاد الأخطاء في تشغيل الخدمة، لذلك يمكنك التأكد بنسبة 100٪ من أنك تلقيت الإجابة الصحيحة. حل المعادلات التفاضلية مع خدمتنا. حل المعادلات التفاضلية على الانترنت. افتراضيًا، في مثل هذه المعادلة، تكون الدالة y دالة للمتغير x. ولكن يمكنك أيضًا تحديد تعيين المتغير الخاص بك. على سبيل المثال، إذا حددت y(t) في معادلة تفاضلية، فستحدد خدمتنا تلقائيًا أن y هي دالة للمتغير t. يعتمد ترتيب المعادلة التفاضلية بأكملها على الترتيب الأقصى لمشتقة الدالة الموجودة في المعادلة. حل هذه المعادلة يعني إيجاد الدالة المطلوبة. ستساعدك خدمتنا على حل المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت. لا يتطلب الأمر الكثير من الجهد من جانبك لحل المعادلة. كل ما عليك فعله هو إدخال الجانبين الأيسر والأيمن للمعادلة في الحقول المطلوبة والنقر على زر "الحل". عند الإدخال، يجب الإشارة إلى مشتق الدالة بفاصلة عليا. في غضون ثوان، سوف تتلقى حلا مفصلا جاهزا للمعادلة التفاضلية. خدمتنا مجانية تماما. المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل. إذا كان هناك في المعادلة التفاضلية تعبير على الجانب الأيسر يعتمد على y، وعلى الجانب الأيمن هناك تعبير يعتمد على x، فإن هذه المعادلة التفاضلية تسمى بمتغيرات قابلة للفصل. قد يحتوي الجانب الأيسر على مشتق y؛ وسيكون حل المعادلات التفاضلية من هذا النوع على شكل دالة y، معبرًا عنها من خلال تكامل الجانب الأيمن من المعادلة. إذا كان هناك على الجانب الأيسر تفاضل لدالة y، ففي هذه الحالة يتم دمج طرفي المعادلة. عندما لا يتم فصل المتغيرات في المعادلة التفاضلية، فسوف تحتاج إلى فصلها للحصول على معادلة تفاضلية منفصلة. المعادلة التفاضلية الخطية. تسمى المعادلة التفاضلية التي تكون دالتها وجميع مشتقاتها من الدرجة الأولى خطية. الشكل العامالمعادلات: y’+a1(x)y=f(x). f(x) وa1(x) دالتان مستمرتان لـ x. يؤدي حل المعادلات التفاضلية من هذا النوع إلى تكامل معادلتين تفاضليتين بمتغيرين منفصلين. ترتيب المعادلة التفاضلية. يمكن أن تكون المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى والثانية والنونية. يحدد ترتيب المعادلة التفاضلية ترتيب أعلى مشتق تحتوي عليه. في خدمتنا يمكنك حل المعادلات التفاضلية على الانترنت أولا، الثانية، الثالثة، الخ. طلب. سيكون حل المعادلة هو أي دالة y=f(x)، واستبدالها في المعادلة، ستحصل على هوية. تسمى عملية إيجاد حل للمعادلة التفاضلية بالتكامل. مشكلة كوشي. إذا تم، بالإضافة إلى المعادلة التفاضلية نفسها، إعطاء الشرط الأولي y(x0)=y0، فإن هذا يسمى مشكلة كوشي. يتم إضافة المؤشرين y0 وx0 إلى حل المعادلة ويتم تحديد قيمة الثابت التعسفي C، ومن ثم يتم تحديد حل معين للمعادلة عند قيمة C هذه، وهذا هو حل مشكلة كوشي. تُسمى مشكلة كوشي أيضًا بمشكلة الشروط الحدودية، وهي شائعة جدًا في الفيزياء والميكانيكا. لديك أيضًا الفرصة لتعيين مشكلة كوشي، أي من الجميع الحلول الممكنةالمعادلة، حدد حاصل القسمة الذي يستوفي الشروط الأولية المحددة.

المعادلة التفاضلية هي معادلة تتضمن دالة وواحدة أو أكثر من مشتقاتها. في معظم المشاكل العملية، تكون الوظائف كميات فيزيائيةفإن المشتقات تتوافق مع معدلات تغير هذه الكميات، وتحدد المعادلة العلاقة بينهما.

تتناول هذه المقالة طرق حل أنواع معينة من المعادلات التفاضلية العادية، والتي يمكن كتابة حلولها في الصورة وظائف أولية، أي متعددة الحدود، الأسية، اللوغاريتمية والمثلثية، بالإضافة إلى وظائفها العكسية. تظهر العديد من هذه المعادلات في الحياه الحقيقيه، على الرغم من أن معظم المعادلات التفاضلية الأخرى لا يمكن حلها بهذه الطرق، وبالنسبة لها يتم كتابة الإجابة على شكل دوال خاصة أو متسلسلة قوى، أو يتم العثور عليها بالطرق العددية.

لفهم هذه المقالة، يجب أن تكون ماهرًا في حساب التفاضل والتكامل، بالإضافة إلى أن يكون لديك بعض الفهم للمشتقات الجزئية. كما يوصى بمعرفة أساسيات الجبر الخطي كما هو مطبق على المعادلات التفاضلية، وخاصة المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية، على الرغم من أن معرفة حساب التفاضل والتكامل كافية لحلها.

معلومات أولية

• المعادلات التفاضلية لها تصنيف واسع النطاق. تتحدث هذه المقالة عن المعادلات التفاضلية العاديةأي حول المعادلات التي تتضمن دالة لمتغير واحد ومشتقاته. المعادلات التفاضلية العادية أسهل بكثير في الفهم والحل من المعادلات التفاضلية العادية المعادلات التفاضلية الجزئية، والتي تشمل وظائف عدة متغيرات. لا تناقش هذه المقالة المعادلات التفاضلية الجزئية، نظرًا لأن طرق حل هذه المعادلات يتم تحديدها عادةً من خلال شكلها الخاص.
  • فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات التفاضلية العادية.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • د 2 x د t 2 + ك x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)x)((\mathrm (d)) )t^(2)))+kx=0)
  • فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات التفاضلية الجزئية.
    • ∂ 2 و ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )و)(\جزئي ذ^(2))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2))))=0)
• طلبيتم تحديد المعادلة التفاضلية بترتيب أعلى مشتق مدرج في هذه المعادلة. أول المعادلات التفاضلية العادية المذكورة أعلاه هي من الدرجة الأولى، في حين أن الثانية هي معادلة من الدرجة الثانية. درجةتسمى المعادلة التفاضلية أعلى درجة، حيث يتم رفع أحد شروط هذه المعادلة.
  • على سبيل المثال، المعادلة أدناه من الدرجة الثالثة والدرجة الثانية.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d)) )x^(3))\\ يمين)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• المعادلة التفاضلية هي المعادلة التفاضلية الخطيةفي حال كانت الدالة وجميع مشتقاتها من الدرجة الأولى. وإلا فإن المعادلة المعادلة التفاضلية غير الخطية. تعتبر المعادلات التفاضلية الخطية رائعة لأنه يمكن استخدام حلولها لتكوين مجموعات خطية ستكون أيضًا حلولاً للمعادلة المعطاة.
  • فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات التفاضلية الخطية.
  • فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات التفاضلية غير الخطية. المعادلة الأولى غير خطية بسبب حد الجيب.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2))))+( \frac (ز)(ل))\sin \theta =0)
    • د 2 x د t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• قرار مشتركالمعادلة التفاضلية العادية ليست فريدة من نوعها، فهي تشمل ثوابت التكامل التعسفي. في معظم الحالات، يكون عدد الثوابت التعسفية مساويًا لترتيب المعادلة. ومن الناحية العملية، يتم تحديد قيم هذه الثوابت بناء على المعطى الشروط الأوليةأي حسب قيم الدالة ومشتقاتها عند س = 0. (\displaystyle x=0.)عدد الشروط الأولية اللازمة للعثور عليها حل خاصالمعادلة التفاضلية، في معظم الحالات، تساوي أيضًا ترتيب المعادلة المعطاة.
  • على سبيل المثال، ستتناول هذه المقالة حل المعادلة أدناه. هذه معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية. يحتوي حلها العام على ثوابتين اعتباطيتين. للعثور على هذه الثوابت من الضروري معرفة الشروط الأولية في س (0) (\displaystyle x(0))و س ′ (0) . (\displaystyle x"(0).)عادة يتم تحديد الشروط الأولية عند هذه النقطة س = 0 , (\displaystyle x=0,)، على الرغم من أن هذا ليس ضروريا. ستناقش هذه المقالة أيضًا كيفية العثور على حلول معينة لشروط أولية معينة.
    • د 2 × د t 2 + ك 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )س=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

خطوات

الجزء 1

معادلات من الدرجة الأولى

عند استخدام هذه الخدمة، قد يتم نقل بعض المعلومات إلى موقع YouTube.

1. المعادلات الخطية من الدرجة الأولى.يناقش هذا القسم طرق حل المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى بشكل عام وفي الحالات الخاصة عندما تكون بعض الحدود تساوي الصفر. دعونا نتظاهر بذلك y = y (x) , (\displaystyle y=y(x,) ص (س) (\displaystyle p(x))و ف (س) (\displaystyle q(x))هي وظائف س. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   ف (س) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)وفقًا لإحدى النظريات الرئيسية للتحليل الرياضي، فإن تكامل مشتق الدالة هو أيضًا دالة. وبالتالي، يكفي ببساطة تكامل المعادلة لإيجاد حلها. وينبغي أن يؤخذ في الاعتبار أنه عند حساب التكامل غير المحدد، يظهر ثابت تعسفي.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   س (س) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)نحن نستخدم الطريقة فصل المتغيرات. يؤدي هذا إلى نقل متغيرات مختلفة إلى جوانب مختلفة من المعادلة. على سبيل المثال، يمكنك نقل جميع الأعضاء من ذ (\displaystyle ذ)في واحد، وجميع الأعضاء مع س (\displaystyle x)إلى الجانب الآخر من المعادلة. ويمكن أيضا نقل الأعضاء د س (\displaystyle (\mathrm (d)) )x)و د ذ (\displaystyle (\mathrm (d) )y)، والتي يتم تضمينها في التعبيرات المشتقة، ولكن يجب أن نتذكر أنها عادلة رمز، وهو مناسب عند التمييز بين وظيفة معقدة. مناقشة هؤلاء الأعضاء، والتي تسمى الفوارق، خارج نطاق هذه المقالة.

   • أولا، تحتاج إلى نقل المتغيرات إلى الجانبين المتقابلين من علامة المساواة.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • دعونا ندمج طرفي المعادلة. بعد التكامل، ستظهر ثوابت عشوائية على كلا الجانبين، والتي يمكن نقلها إلى الجانب الأيمن من المعادلة.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d)) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d)) )x))
   • مثال 1.1.في الخطوة الأخيرة استخدمنا القاعدة ه أ + ب = ه أ ه ب (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))واستبدالها ه ج (\displaystyle e^(C))على ج (\displaystyle C)، لأن هذا أيضًا ثابت تكامل تعسفي.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d)) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(aligned )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(محاذاة)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)لإيجاد حل عام قدمنا عامل التكاملك وضيفة من س (\displaystyle x)لتقليل الجهه اليسرىإلى المشتقة المشتركة وبالتالي حل المعادلة.

   • اضرب الطرفين ب μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d)) )x))+\mu py=\mu q)
   • لاختزال الجانب الأيسر إلى المشتق العام، يجب إجراء التحولات التالية:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d)) )x))(\mu y)=(\ فارك ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • المساواة الأخيرة تعني ذلك d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) \mu )((\mathrm (d)) )x))=\mu p). وهذا عامل تكامل كافٍ لحل أي معادلة خطية من الدرجة الأولى. الآن يمكننا استخلاص صيغة حل هذه المعادلة بالنسبة إلى μ , (\displaystyle \mu ,)على الرغم من أنه من المفيد للتدريب إجراء جميع الحسابات المتوسطة.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d)) )x))
   • مثال 1.2.يوضح هذا المثال كيفية إيجاد حل معين لمعادلة تفاضلية بشروط أولية معينة.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) \رباعي ص(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • د د t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4) )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(محاذاة)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   حل المعادلات الخطية من الدرجة الأولى (سجلتها شركة Intuit – الجامعة الوطنية المفتوحة).

2. المعادلات غير الخطية من الدرجة الأولى. يناقش هذا القسم طرق حل بعض المعادلات التفاضلية غير الخطية من الدرجة الأولى. وعلى الرغم من عدم وجود طريقة عامة لحل مثل هذه المعادلات، إلا أنه يمكن حل بعضها باستخدام الطرق الموضحة أدناه.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d)) )x))=f(x,y))
   د ذ د س = ح (س) ز ​​(ص) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)إذا كانت الوظيفة f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))يمكن تقسيمها إلى دوال لمتغير واحد، تسمى هذه المعادلة المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل. في هذه الحالة، يمكنك استخدام الطريقة المذكورة أعلاه:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • مثال 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( ص(1+س^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ تبدأ (محاذاة)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d)) )x\\(\ فارك (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(محاذاة)))

   د y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)دعونا نتظاهر بذلك ز (س، ص) (\displaystyle g(x,y))و ح (س، ص) (\displaystyle h(x,y))هي وظائف س (\displaystyle x)و ذ. (\displaystyle Y.)ثم معادلة تفاضلية متجانسةهي المعادلة التي ز (\displaystyle g)و ح (\displaystyle h)نكون وظائف متجانسةبنفس الدرجة. أي أن الوظائف يجب أن تستوفي الشرط g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)أين ك (\displaystyle ك)تسمى درجة التجانس . يمكن استخدام أي معادلة تفاضلية متجانسة بالمناسب بدائل المتغيرات (v = y / x (\displaystyle v=y/x)أو v = x / y (\displaystyle v=x/y)) تحويل إلى معادلة قابلة للفصل.

   • مثال 1.4.قد يبدو الوصف أعلاه للتجانس غير واضح. دعونا ننظر إلى هذا المفهوم مع مثال.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d)) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(ص^(2)س)))
     • في البداية، تجدر الإشارة إلى أن هذه المعادلة غير خطية بالنسبة إلى ذ. (\displaystyle Y.)ونرى أيضًا أنه في هذه الحالة لا يمكن فصل المتغيرات. وفي الوقت نفسه، هذه المعادلة التفاضلية متجانسة، حيث أن كلاً من البسط والمقام متجانسان مع قوة 3. لذلك، يمكننا إجراء تغيير في المتغيرات ت = ص/س. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d)) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d)) )x))=(\frac ((\mathrm (د) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • د v د x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)ونتيجة لذلك، لدينا المعادلة ل الخامس (\displaystyle v)مع متغيرات قابلة للفصل.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   د y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)هذا معادلة برنولي التفاضلية - نوع خاصمعادلة غير خطية من الدرجة الأولى يمكن كتابة حلها باستخدام الدوال الأولية.

   • اضرب طرفي المعادلة ب (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • نستخدم قاعدة اشتقاق دالة معقدة على الجانب الأيسر وتحويل المعادلة إلى معادلة خطية بالنسبة إلى ص 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)والتي يمكن حلها باستخدام الطرق المذكورة أعلاه.
     • د y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (د) )س))=0.)هذا المعادلة في مجموع التفاضلات. من الضروري العثور على ما يسمى وظيفة محتملة φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),)، الذي يفي بالشرط d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) \varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • للتنفيذ هذا الشرطيجب ان يملك مشتق الكلي. يأخذ المشتق الإجمالي في الاعتبار الاعتماد على المتغيرات الأخرى. لحساب المشتق الإجمالي φ (\displaystyle \varphi )بواسطة س , (\displaystyle x,)نحن نفترض أن ذ (\displaystyle ذ)قد يعتمد أيضًا على س. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d)) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\جزئي x))+(\frac (\جزئي \varphi )(\جزئي y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • مقارنة الشروط يعطينا M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))و ن (س، ص) = ∂ φ ∂ ص. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\جزئي \varphi )(\جزئي y)).)هذه نتيجة نموذجية للمعادلات ذات المتغيرات المتعددة، حيث تكون المشتقات المختلطة للدوال الملساء متساوية مع بعضها البعض. في بعض الأحيان تسمى هذه الحالة نظرية كليروت. وفي هذه الحالة تكون المعادلة التفاضلية معادلة تفاضلية كلية إذا تحقق الشرط التالي:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • تشبه طريقة حل المعادلات في إجمالي التفاضلات طريقة إيجاد الدوال المحتملة في وجود العديد من المشتقات، والتي سنناقشها بإيجاز. أولا دعونا نتكامل م (\displaystyle M)بواسطة س. (\displaystyle x.)بسبب ال م (\displaystyle M)هي وظيفة و س (\displaystyle x)، و ص , (\displaystyle y,)عند التكامل نحصل على دالة غير مكتملة φ , (\displaystyle \varphi ,)صمم ك φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). النتيجة تعتمد أيضا على ذ (\displaystyle ذ)ثابت التكامل
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (د) )x=(\tilde (\varphi))(x,y)+c(y))
   • بعد هذا للحصول على ج (ص) (\displaystyle c(y))يمكننا أن نأخذ المشتقة الجزئية للدالة الناتجة فيما يتعلق بـ ص , (\displaystyle y,)مساواة النتيجة N (x , y) (\displaystyle N(x,y))ودمج. يمكنك أيضًا التكامل أولاً ن (\displaystyle N)، ثم خذ المشتقة الجزئية فيما يتعلق بـ س (\displaystyle x)، والتي سوف تسمح لك بالعثور على وظيفة تعسفية د (خ). (\displaystyle d(x).)كلتا الطريقتين مناسبتان، وعادة ما يتم اختيار الوظيفة الأبسط للتكامل.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ جزئي (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • مثال 1.5.يمكنك أن تأخذ المشتقات الجزئية وترى أن المعادلة أدناه هي معادلة تفاضلية كلية.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\جزئي \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(محاذاة)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • إذا لم تكن المعادلة التفاضلية معادلة تفاضلية كلية، ففي بعض الحالات يمكنك العثور على عامل تكامل يسمح لك بتحويلها إلى معادلة تفاضلية كلية. ومع ذلك، نادرا ما تستخدم مثل هذه المعادلات في الممارسة العملية، وعلى الرغم من عامل التكامل موجود، يحدث أن تجده ليس سهلالذلك لم يتم تناول هذه المعادلات في هذه المقالة.

الجزء 2

معادلات من الدرجة الثانية

1. المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة.تُستخدم هذه المعادلات على نطاق واسع في الممارسة العملية، لذا فإن حلها له أهمية قصوى. في هذه الحالة، نحن لا نتحدث عن الدوال المتجانسة، ولكن عن حقيقة وجود 0 على الجانب الأيمن من المعادلة، وسيوضح القسم التالي كيفية حل المعادلة غير متجانسةالمعادلات التفاضلية. أقل أ (\displaystyle أ)و ب (\displaystyle b)هي ثوابت.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   معادلة مميزة. هذه المعادلة التفاضلية رائعة لأنه يمكن حلها بسهولة شديدة إذا انتبهت إلى الخصائص التي يجب أن تمتلكها حلولها. ومن المعادلة يتضح ذلك ذ (\displaystyle ذ)ومشتقاته متناسبة مع بعضها البعض. من الأمثلة السابقة، التي تمت مناقشتها في قسم المعادلات من الدرجة الأولى، نعلم أن الدالة الأسية فقط هي التي تمتلك هذه الخاصية. لذلك، فمن الممكن طرحها ansatz(تخمين مدروس) حول ما سيكون عليه حل هذه المعادلة.

   • سيكون الحل على شكل دالة أسية ه ص س , (\displaystyle e^(rx))أين ص (\displaystyle r)هو ثابت يجب العثور على قيمته. عوض بهذه الدالة في المعادلة واحصل على التعبير التالي
     • ه ص س (ص 2 + أ ص + ب) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • تشير هذه المعادلة إلى أن حاصل ضرب الدالة الأسية ومتعددة الحدود يجب أن يساوي الصفر. ومن المعروف أن الأس لا يمكن أن يساوي الصفر لأي قيم من الدرجة. ومن هذا نستنتج أن كثيرة الحدود تساوي صفرًا. وهكذا، قمنا بتقليص مشكلة حل المعادلة التفاضلية إلى مشكلة أبسط بكثير وهي حل معادلة جبرية، والتي تسمى المعادلة المميزة لمعادلة تفاضلية معينة.
     • ص 2 + أ ص + ب = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b))))(2))
   • لقد حصلنا على جذرين. وبما أن هذه المعادلة التفاضلية خطية، فإن حلها العام هو مزيج خطي من الحلول الجزئية. وبما أن هذه معادلة من الدرجة الثانية، فإننا نعلم أنها كذلك حقًاالحل العام، وليس هناك غيرها. يكمن التبرير الأكثر صرامة لذلك في النظريات حول وجود الحل وتفرده، والتي يمكن العثور عليها في الكتب المدرسية.
   • إحدى الطرق المفيدة للتحقق مما إذا كان الحلان مستقلان خطيًا هي الحساب ورونسكيانا. فرونسكيان ث (\displaystyle W)هو محدد المصفوفة التي تحتوي أعمدتها على الدوال ومشتقاتها المتعاقبة. تنص نظرية الجبر الخطي على أن الوظائف المضمنة في Wronskian تعتمد خطيًا إذا كانت Wronskian تساوي الصفر. في هذا القسم يمكننا التحقق مما إذا كان الحلان مستقلان خطيًا - للقيام بذلك نحتاج إلى التأكد من أن Wronskian ليس صفرًا. يعد Wronskian مهمًا عند حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة ذات المعاملات الثابتة بطريقة المعلمات المتغيرة.
     • ث = | ذ 1 ذ 2 ذ 1 ′ ذ 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • من حيث الجبر الخطي، تشكل مجموعة جميع الحلول لمعادلة تفاضلية معينة مساحة متجهة أبعادها مساوية لترتيب المعادلة التفاضلية. في هذا الفضاء يمكن للمرء أن يختار الأساس من بينها مستقل خطياالقرارات من بعضها البعض. هذا ممكن بسبب حقيقة أن الوظيفة ذ (x) (\displaystyle y(x))صالح المشغل الخطي. المشتق يكونالعامل الخطي، لأنه يحول فضاء الدوال القابلة للتفاضل إلى فضاء جميع الدوال. تسمى المعادلات متجانسة في تلك الحالات لأي عامل خطي إل (\displaystyle L)علينا إيجاد حل للمعادلة L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   دعونا ننتقل الآن إلى النظر في العديد منها أمثلة محددة. سننظر في حالة الجذور المتعددة للمعادلة المميزة بعد قليل، في القسم الخاص بتبسيط الترتيب.

   إذا كانت الجذور ص ± (\displaystyle r_(\pm ))أعداد حقيقية مختلفة، المعادلة التفاضلية لها الحل التالي

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   جذوران معقدتان.يترتب على النظرية الأساسية للجبر أن حلول المعادلات متعددة الحدود ذات المعاملات الحقيقية لها جذور حقيقية أو تشكل أزواجًا مترافقة. لذلك، إذا عدد مركب ص = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )هو جذر المعادلة المميزة إذن r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )هو أيضا جذر هذه المعادلة. ومن ثم، يمكننا كتابة الحل في الصورة ج 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x)،)ومع ذلك، فهو رقم معقد وغير مرغوب فيه لحل المشكلات العملية.

   • بدلا من ذلك يمكنك استخدام صيغة أويلر e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x)، والذي يسمح لنا بكتابة الحل في النموذج الدوال المثلثية:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ بيتا x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • الآن يمكنك بدلا من ثابت ج 1 + ج 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))اكتب ج 1 (\displaystyle c_(1))، والتعبير أنا (ج 1 − ج 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))وحل محله ج2 . (\displaystyle c_(2).)بعد هذا نحصل على الحل التالي:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\الخطيئة\بيتا س))
   • هناك طريقة أخرى لكتابة الحل بدلالة السعة والطور، وهي أكثر ملاءمة للمسائل الفيزيائية.
   • مثال 2.1.دعونا نجد حلاً للمعادلة التفاضلية الواردة أدناه مع الشروط الأولية المحددة. للقيام بذلك ، عليك أن تأخذ الحل الناتج ، وكذلك مشتقاته، واستبدالها في الشروط الأولية، والتي سوف تسمح لنا بتحديد الثوابت التعسفية.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )أنا)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • س (0) = 1 = ج 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t) + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_) (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(محاذاة)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2)،\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\يمين))
   
   حل المعادلات التفاضلية من الرتبة n ذات المعاملات الثابتة (المسجلة بواسطة Intuit - الجامعة الوطنية المفتوحة).

2. ترتيبا تنازليا.تخفيض الترتيب هو طريقة لحل المعادلات التفاضلية عندما يكون هناك حل مستقل خطيًا معروفًا. تتكون هذه الطريقة من خفض ترتيب المعادلة بمقدار واحد، مما يسمح لك بحل المعادلة باستخدام الطرق الموضحة في القسم السابق. فليكن الحل معروفا. الفكرة الرئيسية لتخفيض الطلب هي إيجاد حل في النموذج أدناه، حيث من الضروري تحديد الوظيفة الخامس (x) (\displaystyle v(x))واستبدالها في المعادلة التفاضلية وإيجادها الخامس (خ). (\displaystyle v(x).)دعونا نلقي نظرة على كيفية استخدام تخفيض الترتيب لحل معادلة تفاضلية ذات معاملات ثابتة وجذور متعددة.

   
   

   جذور متعددةمعادلة تفاضلية متجانسة ذات معاملات ثابتة. تذكر أن المعادلة من الدرجة الثانية يجب أن يكون لها حلان مستقلان خطيًا. إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور متعددة، فإن مجموعة الحلول لايشكل مساحة لأن هذه الحلول تعتمد خطيا. في هذه الحالة، من الضروري استخدام تقليل الترتيب لإيجاد حل ثانٍ مستقل خطيًا.

   • دع المعادلة المميزة لها جذور متعددة ص (\displaystyle r). لنفترض أن الحل الثاني يمكن كتابته في الصورة y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x))، ونعوض به في المعادلة التفاضلية. في هذه الحالة، معظم المصطلحات، باستثناء المصطلح ذو المشتق الثاني للدالة الخامس , (\displaystyle v,)سيتم تخفيض.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • مثال 2.2.دعونا نعطي المعادلة التالية التي لها جذور متعددة ص = − 4. (\displaystyle r=-4.)أثناء الاستبدال، يتم تقليل معظم الشروط.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) ^(2)y)((\mathrm (d)) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\النهاية(محاذاة)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(محاذاة)))
   • كما هو الحال مع معادلة تفاضلية ذات معاملات ثابتة، في هذه الحالة يمكن أن تكون المشتقة الثانية فقط مساوية للصفر. نتكامل مرتين ونحصل على التعبير المطلوب الخامس (\displaystyle v):
     • ت (x) = ج 1 + ج 2 س (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • ثم يمكن كتابة الحل العام للمعادلة التفاضلية ذات المعاملات الثابتة في الحالة التي تكون فيها المعادلة المميزة لها جذور متعددة بالشكل التالي. للراحة، يمكنك أن تتذكر أنه للحصول على الاستقلال الخطي، يكفي ببساطة ضرب الحد الثاني في س (\displaystyle x). مجموعة الحلول هذه مستقلة خطيًا، وبذلك نكون قد وجدنا جميع الحلول لهذه المعادلة.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d)) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)ينطبق تخفيض الطلب إذا كان الحل معروفًا ص 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x))، والتي يمكن العثور عليها أو تقديمها في بيان المشكلة.

   • نحن نبحث عن حل في النموذج y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))ونعوضه في هذه المعادلة:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • بسبب ال ص 1 (\displaystyle y_(1))هو حل لمعادلة تفاضلية، جميع الحدود مع الخامس (\displaystyle v)يتم تخفيضها. وفي النهاية يبقى معادلة خطية من الدرجة الأولى. لرؤية هذا بشكل أكثر وضوحا، دعونا نجري تغييرا في المتغيرات w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ فارك (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\يمين)(\mathrm (d)) )x\يمين))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • إذا كان من الممكن حساب التكاملات، فسنحصل على الحل العام كمجموعة من الوظائف الأولية. خلاف ذلك، يمكن ترك الحل في شكل متكامل.

3. معادلة كوشي-أويلر.معادلة كوشي-أويلر هي مثال على معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية المتغيراتمعاملات، والتي لديها حلول دقيقة. وتستخدم هذه المعادلة عمليا، على سبيل المثال، لحل معادلة لابلاس في الإحداثيات الكروية.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d)) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   معادلة مميزة.كما ترون، في هذه المعادلة التفاضلية، يحتوي كل حد على عامل قدرة، درجته تساوي ترتيب المشتقة المقابلة.

   • وبالتالي، يمكنك محاولة البحث عن حل في النموذج y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)حيث أنه من الضروري تحديد ن (\displaystyle n)تمامًا كما كنا نبحث عن حل على شكل دالة أسية لمعادلة تفاضلية خطية ذات معاملات ثابتة. بعد التفاضل والاستبدال نحصل على
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • لاستخدام المعادلة المميزة، يجب أن نفترض ذلك س ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). نقطة س = 0 (\displaystyle x=0)مُسَمًّى نقطة مفردة منتظمةالمعادلة التفاضلية. تعتبر هذه النقاط مهمة عند حل المعادلات التفاضلية باستخدام متسلسلة القوى. تحتوي هذه المعادلة على جذرين، يمكن أن يكونا مختلفين وحقيقيين، أو متعددين أو معقدين.
     • n ± = 1 − أ ± (a − 1) 2 − 4 ب 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   جذران حقيقيان مختلفان.إذا كانت الجذور ن ± (\displaystyle n_(\pm ))حقيقيتين ومختلفتين فإن حل المعادلة التفاضلية يكون بالصيغة التالية:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   جذوران معقدتان.إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i)الحل هو وظيفة معقدة.

   • لتحويل الحل إلى دالة حقيقية، نقوم بتغيير المتغيرات x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)إنه t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)واستخدم صيغة أويلر. تم تنفيذ إجراءات مماثلة سابقًا عند تحديد الثوابت التعسفية.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ ج_(2)ه^(-\بيتا)))
   • ثم يمكن كتابة الحل العام كـ
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ كوس(\بيتا \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   جذور متعددة.للحصول على حل ثانٍ مستقل خطيًا، من الضروري تقليل الترتيب مرة أخرى.

   • يتطلب الأمر الكثير من الحسابات، لكن المبدأ يظل كما هو: نحن نستبدل y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))في معادلة حلها الأول هو ص 1 (\displaystyle y_(1)). وبعد التخفيض يتم الحصول على المعادلة التالية:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • هذه معادلة خطية من الدرجة الأولى فيما يتعلق بـ الخامس ′ (س) . (\displaystyle v"(x).)الحل له هو v (x) = ج 1 + ج 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)وبالتالي يمكن كتابة الحل بالصيغة التالية. من السهل جدًا تذكر ذلك - فالحصول على الحل الثاني المستقل خطيًا يتطلب ببساطة مصطلحًا إضافيًا مع ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة ذات المعاملات الثابتة.المعادلات غير المتجانسة لها الشكل L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x,)أين و (خ) (\displaystyle f(x))- ما يسمى عضو مجاني. وفقا لنظرية المعادلات التفاضلية فإن الحل العام لهذه المعادلة هو التراكب حل خاص ص ص (س) (\displaystyle y_(p)(x))و حل إضافي ذ ج (خ) . (\displaystyle y_(c)(x).)إلا أنه في هذه الحالة لا يعني الحل المعين حلا تعطى بواسطة الشروط الأولية، بل حلا يتحدد بوجود التغاير (مصطلح حر). الحل الإضافي هو حل المعادلة المتجانسة المقابلة فيها و (س) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)الحل الشامل هو تراكب هذين الحلين، منذ ذلك الحين L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x))، ومنذ ذلك الحين ل [ ص ج ] = 0 , (\displaystyle L=0,)مثل هذا التراكب هو في الواقع حل عام.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)y)((\mathrm (d)) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   طريقة المعاملات غير المحددة.يتم استخدام طريقة المعاملات غير المحددة في الحالات التي يكون فيها المصطلح الوهمي عبارة عن مزيج من المعادلات الأسية أو المثلثية أو الزائدية أو وظائف الطاقة. يتم ضمان أن تحتوي هذه الوظائف فقط على عدد محدود من المشتقات المستقلة خطيًا. في هذا القسم سوف نجد حل معين للمعادلة.

   • دعونا نقارن المصطلحات في و (خ) (\displaystyle f(x))مع شروط دون الالتفات إلى العوامل الثابتة. هناك ثلاث حالات محتملة.
     • لا يوجد عضوان متماثلان.في هذه الحالة، حل معين ص ص (\displaystyle y_(p))سيكون مزيجًا خطيًا من المصطلحات من ص ص (\displaystyle y_(p))
     • و (خ) (\displaystyle f(x)) يحتوي على عضو س ن (\displaystyle x^(n)) وعضو من ص ج , (\displaystyle y_(c,) أين ن (\displaystyle n) هو صفر أو عدد صحيح موجب، وهذا المصطلح يتوافق مع جذر منفصل للمعادلة المميزة.في هذه الحالة ص ص (\displaystyle y_(p))سوف تتكون من مجموعة من الوظيفة x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)مشتقاتها المستقلة خطيًا، بالإضافة إلى مصطلحات أخرى و (خ) (\displaystyle f(x))ومشتقاتها المستقلة خطيا.
     • و (خ) (\displaystyle f(x)) يحتوي على عضو ح (x) , (\displaystyle h(x)) وهو عمل س ن (\displaystyle x^(n)) وعضو من ص ج , (\displaystyle y_(c,) أين ن (\displaystyle n) يساوي 0 أو عدد صحيح موجب، وهذا المصطلح يتوافق مع عديدجذر المعادلة المميزة.في هذه الحالة ص ص (\displaystyle y_(p))عبارة عن مزيج خطي من الوظيفة x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(أين س (\displaystyle s)- تعدد الجذر) ومشتقاته المستقلة خطياً، بالإضافة إلى أعضاء الدالة الأخرى و (خ) (\displaystyle f(x))ومشتقاتها المستقلة خطيا.
   • دعونا نكتبها ص ص (\displaystyle y_(p))كمجموعة خطية من المصطلحات المذكورة أعلاه. وبسبب هذه المعاملات في تركيبة خطية، تسمى هذه الطريقة "طريقة المعاملات غير المحددة". عندما تحتوي على ذ ج (\displaystyle y_(c))يمكن التخلص من الأعضاء بسبب وجود ثوابت اعتباطية فيها ذ ج . (\displaystyle y_(c).)بعد هذا نستبدل ص ص (\displaystyle y_(p))في المعادلة ومساواة المصطلحات المتشابهة.
   • نحدد المعاملات. في هذه المرحلة، يتم الحصول على نظام من المعادلات الجبرية، والتي عادة ما يمكن حلها دون أي مشاكل. حل هذا النظام يسمح لنا بالحصول عليه ص ص (\displaystyle y_(p))وبالتالي حل المعادلة.
   • مثال 2.3.دعونا نفكر في معادلة تفاضلية غير متجانسة يحتوي حدها الحر على عدد محدود من المشتقات المستقلة خطيًا. يمكن إيجاد حل خاص لمثل هذه المعادلة بطريقة المعاملات غير المحددة.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(محاذاة)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(محاذاة)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ نهاية (الحالات)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   طريقة لاغرانج.طريقة لاغرانج، أو طريقة تغيير الثوابت التعسفية، هي أكثر من ذلك الطريقة العامةحل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة، خاصة في الحالات التي لا يحتوي فيها الحد الحر على عدد محدود من المشتقات المستقلة خطيا. على سبيل المثال، مع أعضاء الحرة تان ⁡ س (\displaystyle \tan x)أو س − ن (\displaystyle x^(-n))لإيجاد حل معين من الضروري استخدام طريقة لاغرانج. يمكن أيضًا استخدام طريقة لاغرانج لحل المعادلات التفاضلية ذات المعاملات المتغيرة، على الرغم من أنه في هذه الحالة، باستثناء معادلة كوشي-أويلر، يتم استخدامها بشكل أقل تكرارًا، حيث لا يتم التعبير عن الحل الإضافي عادةً من حيث الوظائف الأولية.

   • لنفترض أن الحل له الشكل التالي. ويرد مشتقها في السطر الثاني.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • وبما أن الحل المقترح يحتوي على اثنينكميات غير معروفة، فمن الضروري فرض إضافيحالة. ولنختار هذا الشرط الإضافي بالشكل التالي:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • الآن يمكننا الحصول على المعادلة الثانية. بعد استبدال الأعضاء وإعادة توزيعهم، يمكنك تجميع الأعضاء معًا الإصدار 1 (\displaystyle v_(1))والأعضاء مع الخامس 2 (\displaystyle v_(2)). يتم تقليل هذه الشروط بسبب ص 1 (\displaystyle y_(1))و ص 2 (\displaystyle y_(2))هي حلول المعادلة المتجانسة المقابلة. ونتيجة لذلك، نحصل على نظام المعادلات التالي
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(محاذاة)))
   • يمكن تحويل هذا النظام إلى معادلة مصفوفية من النموذج ا x = ب , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)الذي هو الحل س = أ − 1 ب . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b)).)للمصفوفة 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)يتم العثور على المصفوفة العكسية عن طريق القسمة على المحدد، وإعادة ترتيب العناصر القطرية، وتغيير إشارة العناصر غير القطرية. في الواقع، محدد هذه المصفوفة هو رونسكي.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ النهاية (pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • تعبيرات ل الإصدار 1 (\displaystyle v_(1))و الخامس 2 (\displaystyle v_(2))ترد أدناه. كما هو الحال في طريقة تخفيض الترتيب، في هذه الحالة، أثناء التكامل، يظهر ثابت اعتباطي، والذي يتضمن حلًا إضافيًا في الحل العام للمعادلة التفاضلية.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (د) )x)
   
   محاضرة من الجامعة الوطنية المفتوحة بعنوان "المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة نية ذات المعاملات الثابتة."

الاستخدام العملي

تنشئ المعادلات التفاضلية علاقة بين دالة وواحدة أو أكثر من مشتقاتها. ولأن مثل هذه العلاقات شائعة للغاية، فقد وجدت المعادلات التفاضلية تطبيقًا واسعًا في مجموعة متنوعة من المجالات، وبما أننا نعيش في أربعة أبعاد، فغالبًا ما تكون هذه المعادلات معادلات تفاضلية في خاصالمشتقات. ويتناول هذا القسم بعض أهم المعادلات من هذا النوع.

• النمو الأسي والاضمحلال.الاضمحلال الإشعاعي. الفائدة المركبة. معدل التفاعلات الكيميائية. تركيز الأدوية في الدم. نمو سكاني غير محدود. قانون نيوتن-ريتشمان. في العالم الحقيقيهناك العديد من الأنظمة التي يتناسب فيها معدل النمو أو الاضمحلال في أي وقت مع الكمية الموجودة فيه هذه اللحظةالوقت أو يمكن تقريبه جيدًا بواسطة النموذج. وذلك لأن حل هذه المعادلة التفاضلية، أي الدالة الأسية، هو أحد أكثر الحلول وظائف مهمةفي الرياضيات والعلوم الأخرى. في حالة أكثر عمومية، متى النمو الخاضع للرقابةقد يتضمن النظام السكاني أعضاء إضافيين يحدون من النمو. في المعادلة أدناه، الثابت ك (\displaystyle ك)يمكن أن تكون أكبر أو أقل من الصفر.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• الاهتزازات التوافقية.في كل من الميكانيكا الكلاسيكية وميكانيكا الكم، يعد المذبذب التوافقي أحد أهم المذبذبات الأنظمة الفيزيائيةبفضل بساطته و تطبيق واسعلتقريب أكثر أنظمة معقدة، مثل البندول البسيط. في الميكانيكا الكلاسيكية، يتم وصف الاهتزازات التوافقية بمعادلة تربط موضع نقطة مادية بتسارعها من خلال قانون هوك. في هذه الحالة، يمكن أيضًا أخذ التخميد والقوى الدافعة في الاعتبار. في التعبير أدناه س˙ (\displaystyle (\dot (x)))- المشتق الزمني ل س , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )- المعلمة التي تصف قوة التخميد، ω 0 (\displaystyle \أوميغا _(0))- التردد الزاوي للنظام، و (ر) (\displaystyle F(t))- القوة الدافعة التي تعتمد على الوقت. المذبذب التوافقي موجود أيضًا في الدوائر التذبذبية الكهرومغناطيسية، حيث يمكن تنفيذه بدقة أكبر من الأنظمة الميكانيكية.
  • x ¨ + 2 β x˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(ر))
• معادلة بيسل.تُستخدم معادلة بيسل التفاضلية في العديد من مجالات الفيزياء، بما في ذلك حلها معادلة الموجةومعادلات لابلاس ومعادلات شرودنغر، خاصة في ظل وجود تناظر أسطواني أو كروي. هذه المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية ذات المعاملات المتغيرة ليست معادلة كوشي-أويلر، لذلك لا يمكن كتابة حلولها كدوال أولية. حلول معادلة بيسل هي دوال بيسل، والتي تمت دراستها بشكل جيد نظرا لتطبيقها في العديد من المجالات. في التعبير أدناه α (\displaystyle \alpha )- ثابت يتوافق مرتبوظائف بيسل.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d)) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) ص = 0)
• معادلات ماكسويل.إلى جانب قوة لورنتز، تشكل معادلات ماكسويل أساس الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية. هذه هي المعادلات التفاضلية الجزئية الأربع للكهرباء E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E)) ((\mathbf (r) ),t))والمغناطيسية ب (ص , t) (\displaystyle (\mathbf (B)) ((\mathbf (r) ),t))مجالات. في التعبيرات أدناه ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ,t))- كثافة الشحنة، J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- الكثافة الحالية، و ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))و μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- الثوابت الكهربائية والمغناطيسية على التوالي.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B)) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J)) +\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(محاذاة)))
• معادلة شرودنغر.في ميكانيكا الكم، معادلة شرودنغر هي المعادلة الأساسية للحركة، والتي تصف حركة الجسيمات وفقًا للتغير في الدالة الموجية Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))مع الوقت. يتم وصف معادلة الحركة بالسلوك هاميلتوني ح^(\displaystyle (\hat (H))) - المشغل أو العاملالذي يصف طاقة النظام. أحد الأمثلة المعروفة لمعادلة شرودنغر في الفيزياء هي معادلة جسيم واحد غير نسبي خاضع للجهد V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). يتم وصف العديد من الأنظمة بواسطة معادلة شرودنجر المعتمدة على الزمن، وعلى الجانب الأيسر من المعادلة E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,)أين ه (\displaystyle E)- طاقة الجسيمات. في التعبيرات أدناه ℏ (\displaystyle \hbar )- تخفيض ثابت بلانك .
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• معادلة الموجة.لا يمكن تصور الفيزياء والتكنولوجيا بدون موجات، فهي موجودة في جميع أنواع الأنظمة. بشكل عام، يتم وصف الموجات بالمعادلة أدناه، حيث u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))هي الوظيفة المطلوبة، و ج (\displaystyle c)- ثابت محدد تجريبيا. كان دالمبرت أول من اكتشف أنه بالنسبة للحالة أحادية البعد فإن حل المعادلة الموجية هو أيوظيفة مع الحجة س − ج تي (\displaystyle x-ct)، الذي يصف موجة من الشكل التعسفي تنتشر إلى اليمين. الحل العام للحالة أحادية البعد هو مزيج خطي من هذه الوظيفة مع دالة ثانية ذات وسيطة س + ج ر (\displaystyle x+ct)، الذي يصف موجة تنتشر إلى اليسار. يتم تقديم هذا الحل في السطر الثاني.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• معادلات نافييه-ستوكس.تصف معادلات نافييه-ستوكس حركة السوائل. ونظرًا لوجود السوائل في كل مجال من مجالات العلوم والتكنولوجيا تقريبًا، فإن هذه المعادلات مهمة للغاية للتنبؤ بالطقس وتصميم الطائرات ودراسة تيارات المحيطات وحل العديد من المشكلات التطبيقية الأخرى. معادلات نافير-ستوكس هي معادلات تفاضلية جزئية غير خطية، وفي معظم الحالات يصعب حلها للغاية لأن اللاخطية تؤدي إلى اضطراب، والحصول على حل مستقر بالطرق العددية يتطلب التقسيم إلى خلايا صغيرة جدًا، مما يتطلب قوة حاسوبية كبيرة. لأغراض عملية في الديناميكا المائية، يتم استخدام طرق مثل متوسط ​​الوقت لمحاكاة التدفقات المضطربة. حتى أن الأسئلة الأساسية مثل وجود الحلول وتفردها للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية تشكل تحديًا، وإثبات وجود وتفرد حل معادلات نافييه-ستوكس في ثلاثة أبعاد هو من بين المشاكل الرياضية للألفية. فيما يلي معادلة تدفق السوائل غير القابلة للضغط ومعادلة الاستمرارية.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u)) ) )(\partial t))+((\mathbf (u)) )\cdot \nabla)(\mathbf (u)) -\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• لا يمكن حل العديد من المعادلات التفاضلية باستخدام الطرق المذكورة أعلاه، خاصة تلك المذكورة في القسم الأخير. ينطبق هذا على الحالات التي تحتوي فيها المعادلة على معاملات متغيرة وليست معادلة كوشي-أويلر، أو عندما تكون المعادلة غير خطية، إلا في حالات قليلة جدًا. ومع ذلك، يمكن للطرق المذكورة أعلاه حل العديد من المعادلات التفاضلية المهمة التي غالبًا ما يتم مواجهتها في مختلف مجالات العلوم.
• على عكس التمايز، الذي يسمح لك بالعثور على مشتق أي دالة، لا يمكن التعبير عن تكامل العديد من التعبيرات في الدوال الأولية. لذلك لا تضيع الوقت في محاولة حساب التكامل حيث يكون ذلك مستحيلاً. انظر إلى جدول التكاملات. إذا كان حل المعادلة التفاضلية لا يمكن التعبير عنه بدلالة الدوال الأولية، فيمكن في بعض الأحيان تمثيله في شكل تكامل، وفي هذه الحالة لا يهم ما إذا كان هذا التكامل يمكن حسابه تحليليا.

تحذيرات

• مظهريمكن أن تكون المعادلة التفاضلية مضللة. على سبيل المثال، فيما يلي معادلتان تفاضليتان من الدرجة الأولى. يمكن حل المعادلة الأولى بسهولة باستخدام الطرق الموضحة في هذه المقالة. للوهلة الأولى، تغيير طفيف ذ (\displaystyle ذ)على ص 2 (\displaystyle ذ^(2))في المعادلة الثانية يجعلها غير خطية ويصبح حلها صعبا للغاية.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d)) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d)) )x))=x^(2)+y^(2))

المعادلة التفاضلية العادية هي معادلة تربط بين متغير مستقل، دالة غير معروفة لهذا المتغير ومشتقاته (أو تفاضلاته) ذات الرتب المختلفة.

ترتيب المعادلة التفاضلية ويسمى ترتيب المشتق الأعلى الموجود فيه.

بالإضافة إلى المعادلات العادية، يتم أيضًا دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية. هي معادلات تتعلق بمتغيرات مستقلة، دالة غير معروفة لهذه المتغيرات ومشتقاتها الجزئية بالنسبة لنفس المتغيرات. لكننا سوف ننظر فقط المعادلات التفاضلية العادية ولذلك، ومن باب الاختصار، سنحذف كلمة "عادي".

أمثلة على المعادلات التفاضلية:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

المعادلة (1) من الدرجة الرابعة، المعادلة (2) من الدرجة الثالثة، المعادلتان (3) و (4) من الدرجة الثانية، المعادلة (5) من الدرجة الأولى.

المعادلة التفاضلية نليس من الضروري أن يحتوي الترتيب الرابع على دالة صريحة، جميع مشتقاتها من الأول إلى ن-الترتيب والمتغير المستقل. ولا يجوز أن تحتوي على مشتقات صريحة لأوامر معينة أو دالة أو متغير مستقل.

على سبيل المثال، في المعادلة (1) من الواضح أنه لا توجد مشتقات من الدرجة الثالثة والثانية، وكذلك دالة؛ في المعادلة (2) - المشتقة من الدرجة الثانية والدالة؛ في المعادلة (4) - المتغير المستقل؛ في المعادلة (5) - الدوال. فقط المعادلة (3) تحتوي بشكل صريح على جميع المشتقات والدالة والمتغير المستقل.

حل المعادلة التفاضلية يتم استدعاء كل وظيفة ص = و(س)، عند استبدالها في المعادلة تتحول إلى هوية.

تسمى عملية إيجاد حل للمعادلة التفاضلية اندماج.

مثال 1.أوجد حل المعادلة التفاضلية.

حل. لنكتب هذه المعادلة في الشكل . الحل هو إيجاد الدالة من مشتقتها. الدالة الأصلية، كما هو معروف من حساب التكامل، هي مشتق عكسي لـ، أي.

هذا ما هو عليه حل هذه المعادلة التفاضلية . تغير فيه ج، سوف نحصل على حلول مختلفة. لقد اكتشفنا أن هناك عددًا لا نهائيًا من الحلول لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.

الحل العام للمعادلة التفاضلية نالترتيب الرابع هو حلها، معبرا عنه صراحة فيما يتعلق بالدالة المجهولة والمحتوية نالثوابت التعسفية المستقلة، أي.

حل المعادلة التفاضلية في المثال 1 هو حل عام.

الحل الجزئي للمعادلة التفاضلية يسمى الحل الذي يتم فيه إعطاء الثوابت التعسفية قيم عددية محددة.

مثال 2.أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية والحل الخاص لـ .

حل. دعونا ندمج طرفي المعادلة عدة مرات يساوي ترتيب المعادلة التفاضلية.

,

.

ونتيجة لذلك، حصلنا على حل عام -

لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثالثة.

الآن دعونا نجد حلاً معينًا في ظل الظروف المحددة. للقيام بذلك، استبدل قيمها بدلا من المعاملات التعسفية واحصل على

.

إذا، بالإضافة إلى المعادلة التفاضلية، تم إعطاء الشرط الأولي في النموذج، ثم تسمى هذه المشكلة مشكلة كوشي . استبدل القيم في الحل العام للمعادلة وأوجد قيمة ثابت اعتباطي ج، ثم حل معين للمعادلة للقيمة التي تم العثور عليها ج. هذا هو الحل لمشكلة كوشي.

مثال 3.حل مشكلة كوشي للمعادلة التفاضلية من المثال 1 مع مراعاة .

حل. دعونا نستبدل القيم من الشرط الأولي في الحل العام ذ = 3, س= 1. نحصل على

نكتب حل مشكلة كوشي لهذه المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى:

يتطلب حل المعادلات التفاضلية، حتى أبسطها، مهارات تكامل واشتقاق جيدة، بما في ذلك الدوال المعقدة. ويمكن ملاحظة ذلك في المثال التالي.

مثال 4.أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية.

حل. المعادلة مكتوبة بشكل يمكنك من دمج الطرفين على الفور.

.

نطبق طريقة التكامل بتغيير المتغير (الاستبدال). فليكن بعد ذلك.

مطلوب أن تأخذ dxوالآن - انتبه - نحن نفعل ذلك وفقًا لقواعد التمايز لوظيفة معقدة، منذ ذلك الحين سوهناك وظيفة معقدة ("تفاحة" - استخراج الجذر التربيعيأو ما هو نفس الشيء - الرفع إلى القوة "النصف" و "اللحم المفروم" هو التعبير نفسه الموجود تحت الجذر):

نجد التكامل :

العودة إلى المتغير س، نحن نحصل:

.

هذا هو الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

لن تكون هناك حاجة إلى مهارات من الأقسام السابقة للرياضيات العليا فقط عند حل المعادلات التفاضلية، ولكن أيضًا مهارات من المرحلة الابتدائية، أي الرياضيات المدرسية. كما ذكرنا سابقًا، في معادلة تفاضلية من أي ترتيب قد لا يكون هناك متغير مستقل، أي متغير س. المعرفة حول النسب من المدرسة التي لم يتم نسيانها (ومع ذلك، اعتمادا على من) من المدرسة ستساعد في حل هذه المشكلة. هذا هو المثال التالي.

6.1. المفاهيم والتعاريف الأساسية

عند حل المهام المختلفة في الرياضيات والفيزياء والبيولوجيا والطب، في كثير من الأحيان لا يكون من الممكن إنشاء علاقة وظيفية على الفور في شكل صيغة تربط المتغيرات التي تصف العملية قيد الدراسة. عادةً ما يتعين عليك استخدام المعادلات التي تحتوي، بالإضافة إلى المتغير المستقل والدالة المجهولة، على مشتقاتها أيضًا.

تعريف.تسمى معادلة تربط بين متغير مستقل ودالة مجهولة ومشتقاتها ذات رتب مختلفة التفاضلي.

عادة ما يتم الإشارة إلى وظيفة غير معروفة ص (خ)أو ببساطة ذ،ومشتقاته - ذ", ذ"إلخ.

تسميات أخرى ممكنة أيضا، على سبيل المثال: إذا ذ= س(ر)، إذن س"(ر)، س""(ر)- مشتقاته، و ر- متغير مستقل.

تعريف.إذا كانت الدالة تعتمد على متغير واحد، فإن المعادلة التفاضلية تسمى عادية. الشكل العام المعادلة التفاضلية العادية:

أو

المهام Fو Fقد لا تحتوي على بعض الحجج، ولكن لكي تكون المعادلات تفاضلية، فإن وجود مشتقة أمر ضروري.

تعريف.ترتيب المعادلة التفاضليةويسمى ترتيب المشتق الأعلى المتضمن فيه.

على سبيل المثال، × 2 ص"- ذ= 0، ص" + الخطيئة س= 0 معادلات من الدرجة الأولى، و ذ"+ 2 ذ"+ 5 ذ= س- معادلة من الدرجة الثانية.

عند حل المعادلات التفاضلية، يتم استخدام عملية التكامل، والتي ترتبط بظهور ثابت تعسفي. إذا تم تطبيق إجراء التكامل نمرات، فمن الواضح أن الحل سوف يحتوي على نالثوابت التعسفية.

6.2. المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

الشكل العام المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولىيتم تحديده من خلال التعبير

قد لا تحتوي المعادلة بشكل صريح سو ذ،ولكنها تحتوي بالضرورة على y".

إذا كان من الممكن كتابة المعادلة كـ

ثم نحصل على معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى تم حلها بالنسبة للمشتقة.

تعريف.الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى (6.3) (أو (6.4)) هو مجموعة الحلول ، أين مع- ثابت تعسفي.

يسمى الرسم البياني لحل المعادلة التفاضلية منحنى متكامل.

إعطاء ثابت التعسفي معقيم مختلفة، ويمكن الحصول على حلول جزئية. على السطح xOyالحل العام هو مجموعة من المنحنيات التكاملية المقابلة لكل حل معين.

إذا قمت بتعيين نقطة أ (س 0، ص 0)،والتي يجب أن يمر من خلالها المنحنى التكاملي، كقاعدة عامة، من مجموعة من الوظائف يمكنك تسليط الضوء على واحد - حل خاص.

تعريف.قرار خاصالمعادلة التفاضلية هي حلها الذي لا يحتوي على ثوابت اعتباطية.

لو هو الحل العام، ثم من الشرط

يمكنك العثور على ثابت مع.الشرط يسمى الحالة الأولية.

مشكلة إيجاد حل معين للمعادلة التفاضلية (6.3) أو (6.4) محققة الشرط الأولي في مُسَمًّى مشكلة كوشي.فهل هذه المشكلة لها حل دائما؟ الجواب موجود في النظرية التالية.

نظرية كوشي(نظرية الوجود وتفرد الحل). دعونا في المعادلة التفاضلية ذ"= و (س، ص)وظيفة و (س، ص)وهي

اشتقاق جزئي محددة ومستمرة في بعض

منطقة د،تحتوي على نقطة ثم في المنطقة دموجود

الحل الوحيد للمعادلة الذي يحقق الشرط الأولي في

تنص نظرية كوشي على أنه في ظل ظروف معينة يوجد منحنى متكامل فريد ذ= و (خ)،المرور عبر نقطة النقاط التي لا تتحقق فيها شروط النظرية

يتم استدعاء كوشي خاص.في هذه النقاط ينكسر F(س، ص) أو.

إما عدة منحنيات متكاملة أو لا شيء يمر عبر نقطة واحدة.

تعريف.فإذا كان الحل (6.3)، (6.4) موجوداً في الصورة F(س، ص، ج)= 0، غير مسموح به بالنسبة إلى y، ثم يتم استدعاؤه تكامل عامالمعادلة التفاضلية.

تضمن نظرية كوشي فقط وجود الحل. نظرًا لعدم وجود طريقة واحدة لإيجاد الحل، سننظر فقط في بعض أنواع المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى التي يمكن دمجها في التربيعات.

تعريف.تسمى المعادلة التفاضلية التكامل في التربيعات,إذا كان العثور على حل لها يعود إلى دمج الوظائف.

6.2.1. المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى ذات المتغيرات القابلة للفصل

تعريف.تسمى المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل،

الطرف الأيمن من المعادلة (6.5) هو حاصل ضرب دالتين تعتمد كل منهما على متغير واحد فقط.

على سبيل المثال، المعادلة هي معادلة مع الفصل

مع المتغيرات
والمعادلة

لا يمكن تمثيلها بالشكل (6.5).

معتبرا أن نعيد كتابة (6.5) في النموذج

ومن هذه المعادلة نحصل على معادلة تفاضلية ذات متغيرات منفصلة، ​​تكون فيها التفاضلات دوال تعتمد فقط على المتغير المقابل:

لقد قمنا بدمج المصطلح على حدة

حيث ج = ج 2 - ج 1 - ثابت تعسفي. التعبير (6.6) هو التكامل العام للمعادلة (6.5).

بقسمة طرفي المعادلة (6.5) على، يمكننا أن نفقد تلك الحلول التي، في الواقع، إذا في

الذي - التي من الواضح أنه حل للمعادلة (6.5).

مثال 1.أوجد حلاً للمعادلة المرضية

حالة: ذ= 6 في س= 2 (ص(2) = 6).

حل.سوف نستبدل ذ"ثم . اضرب الطرفين ب

دي إكس,لأنه خلال المزيد من التكامل، من المستحيل المغادرة dxفي المقام:

ومن ثم تقسيم كلا الجزأين على نحصل على المعادلة

والتي يمكن دمجها. دعونا ندمج:

ثم ; التقوية، نحصل على y = C. (س + 1) - أوب-

الحل العام.

باستخدام البيانات الأولية، نحدد ثابتًا عشوائيًا، ونستبدله في الحل العام

أخيرا وصلنا ذ= 2(x + 1) هو حل معين. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الإضافية لحل المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل.

مثال 2.أوجد حل المعادلة

حل.معتبرا أن ، نحن نحصل .

بدمج طرفي المعادلة، أصبح لدينا

أين

مثال 3.أوجد حل المعادلة حل.نقسم طرفي المعادلة إلى تلك العوامل التي تعتمد على متغير لا يتطابق مع المتغير الموجود تحت العلامة التفاضلية، أي. ودمج. ثم نحصل

وأخيرا

مثال 4.أوجد حل المعادلة

حل.معرفة ما سوف نحصل عليه. قسم

متغيرات ليم. ثم

التكامل، نحصل عليه

تعليق.في المثالين 1 و2، الوظيفة المطلوبة هي ذأعرب صراحة (الحل العام). في المثالين 3 و4 - ضمنيًا (تكامل عام). وفي المستقبل لن يتم تحديد شكل القرار.

مثال 5.أوجد حل المعادلة حل.

مثال 6.أوجد حل المعادلة ، مرضيه

حالة ص (ه)= 1.

حل.دعونا نكتب المعادلة في النموذج

ضرب طرفي المعادلة ب dxوعلى، نحصل

بدمج طرفي المعادلة (يتم أخذ التكامل على الجانب الأيمن بواسطة أجزاء)، نحصل على ذلك

لكن حسب الشرط ذ= 1 في س= ه. ثم

دعونا نستبدل القيم التي تم العثور عليها معإلى الحل العام:

يسمى التعبير الناتج الحل الجزئي للمعادلة التفاضلية.

6.2.2. المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الأولى

تعريف.تسمى المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى متجانس،إذا كان من الممكن تمثيله في النموذج

دعونا نقدم خوارزمية لحل معادلة متجانسة.

1.بدلاً من ذلك ذدعونا نقدم وظيفة جديدة وبالتالي

2. من حيث الوظيفة شالمعادلة (6.7) تأخذ الشكل

أي أن الاستبدال يقلل من المعادلة المتجانسة إلى معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل.

3. حل المعادلة (6.8) نجد أولا u ثم ثم ذ= تجربة المستخدم.

مثال 1.حل المعادلة حل.دعونا نكتب المعادلة في النموذج

نقوم بالاستبدال:
ثم

سوف نستبدل

الضرب بـ dx : اقسم على سو على ثم

بعد تكامل طرفي المعادلة على المتغيرات المقابلة، حصلنا على ذلك

أو، وبالعودة إلى المتغيرات القديمة، نحصل في النهاية

مثال 2.حل المعادلة حل.يترك ثم

دعونا نقسم طرفي المعادلة على ×2: دعونا نفتح الأقواس ونعيد ترتيب المصطلحات:

وبالانتقال إلى المتغيرات القديمة نصل إلى النتيجة النهائية:

مثال 3.أوجد حل المعادلة بشرط

حل.إجراء استبدال قياسي نحن نحصل

أو

أو

هذا يعني أن الحل المعين له الشكل مثال 4.أوجد حل المعادلة

حل.

مثال 5.أوجد حل المعادلة حل.

عمل مستقل

إيجاد حلول للمعادلات التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل (1-9).

إيجاد حل للمعادلات التفاضلية المتجانسة (9-18).

6.2.3. بعض تطبيقات المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

مشكلة الاضمحلال الإشعاعي

معدل اضمحلال Ra (الراديوم) في كل لحظة من الزمن يتناسب مع كتلته المتاحة. ابحث عن قانون الاضمحلال الإشعاعي Ra، إذا كان معروفًا أنه في لحظة البدايةكان هناك رع ونصف عمر رع هو 1590 سنة.

حل.دع الكتلة Ra تكون في هذه اللحظة س= س (ر)ز، و ثم معدل الاضمحلال Ra يساوي

وفقا لظروف المشكلة

أين ك

بفصل المتغيرات في المعادلة الأخيرة والتكامل، نحصل على

أين

لتحديد جنستخدم الشرط الأولي: متى .

ثم وبالتالي،

عامل التناسب كمحدد من حالة إضافية:

لدينا

من هنا والصيغة المطلوبة

مشكلة في معدل تكاثر البكتيريا

معدل تكاثر البكتيريا يتناسب مع عددها. في البداية كان هناك 100 بكتيريا. وفي غضون 3 ساعات تضاعف عددهم. أوجد اعتماد عدد البكتيريا في الوقت المحدد. كم مرة سيزداد عدد البكتيريا خلال 9 ساعات؟

حل.يترك س- عدد البكتيريا في المرة الواحدة ر.ثم حسب الشرط

أين ك- معامل التناسب.

من هنا ومن الحالة يعرف ذلك . وسائل،

من الشرط الإضافي . ثم

الوظيفة التي تبحث عنها:

اذن متى ر= 9 س= 800 أي خلال 9 ساعات زاد عدد البكتيريا 8 مرات.

مشكلة زيادة كمية الانزيم

في مزرعة خميرة البيرة، يتناسب معدل نمو الإنزيم النشط مع كميته الأولية س.الكمية الأولية من الإنزيم أتضاعف خلال ساعة. البحث عن التبعية

س (ر).

حل.حسب الحالة، فإن المعادلة التفاضلية للعملية لها الشكل

من هنا

لكن . وسائل، ج= أوثم

ومن المعروف أيضًا أن

لذلك،

6.3. المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية

6.3.1. مفاهيم أساسية

تعريف.المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانيةتسمى العلاقة التي تربط المتغير المستقل بالدالة المطلوبة ومشتقاتها الأولى والثانية.

في حالات خاصة، قد تكون x مفقودة من المعادلة، فيأو y". ومع ذلك، يجب أن تحتوي المعادلة من الدرجة الثانية بالضرورة على y." في الحالة العامة، يتم كتابة المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية على النحو التالي:

أو، إن أمكن، بالشكل الذي تم حله فيما يتعلق بالمشتق الثاني:

كما في حالة المعادلة من الدرجة الأولى، يمكن أن يكون هناك حلول عامة وخاصة للمعادلة من الدرجة الثانية. الحل العام هو :

إيجاد حل معين

في ظل الظروف الأولية - نظرا

أرقام) يسمى مشكلة كوشي.هندسيًا، هذا يعني أن علينا إيجاد المنحنى التكاملي في= ص(س)،المرور عبر نقطة معينة ولها الظل في هذه المرحلة وهو

يتماشى مع اتجاه المحور الإيجابي ثورزاوية محددة. ه. (الشكل 6.1). مشكلة كوشي لها حل فريد إذا كان الجانب الأيمن من المعادلة (6.10)، متواصل

متقطع وله مشتقات جزئية مستمرة فيما يتعلق بـ اه اه"في بعض أحياء نقطة البداية

للعثور على الثوابت المدرجة في حل خاص، يجب أن يتم حل النظام

أرز. 6.1.منحنى متكامل