يبدأ التمييز، مثل المعادلات التربيعية، في الدراسة في دورة الجبر في الصف الثامن. يمكنك حل معادلة تربيعية من خلال التمييز واستخدام نظرية فييتا. منهجية الدراسة المعادلات التربيعية، مثل الصيغ التمييزية، يتم غرسها في تلاميذ المدارس دون جدوى، مثل أشياء كثيرة في التعليم الحقيقي. ولذلك يمرون سنوات الدراسة، التعليم في الصفوف 9-11 يحل محل " تعليم عالى"والجميع ينظر مرة أخرى - "كيف تحل معادلة من الدرجة الثانية؟"، "كيف تجد جذور المعادلة؟"، "كيف تجد المميز؟" و...

صيغة التمييز

المميز D للمعادلة التربيعية a*x^2+bx+c=0 يساوي D=b^2–4*a*c.
تعتمد جذور (حلول) المعادلة التربيعية على إشارة المميز (D):
D>0 – للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان؛
D=0 - للمعادلة جذر واحد (جذران متطابقان):
د<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
معادلة حساب المُميِّز بسيطة للغاية، لذلك توفر العديد من مواقع الويب آلة حاسبة للمميز عبر الإنترنت. لم نكتشف هذا النوع من النصوص البرمجية بعد، لذا إذا كان أي شخص يعرف كيفية تنفيذ ذلك، فيرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني محمي عنوان البريد الإلكتروني هذا من المتطفلين و برامج التطفل. يجب عليك تفعيل جافا سكريبت لمشاهدته. .

الصيغة العامة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية:

نجد جذور المعادلة باستخدام الصيغة
إذا تم إقران معامل المتغير المربع، فمن المستحسن حساب ليس المميز، ولكن الجزء الرابع منه
في مثل هذه الحالات، يتم العثور على جذور المعادلة باستخدام الصيغة

الطريقة الثانية للعثور على الجذور هي نظرية فييتا.

تمت صياغة النظرية ليس فقط للمعادلات التربيعية، ولكن أيضًا لمتعددات الحدود. يمكنك قراءة هذا على ويكيبيديا أو الموارد الإلكترونية الأخرى. ومع ذلك، للتبسيط، دعونا نفكر في الجزء المتعلق بالمعادلات التربيعية أعلاه، أي المعادلات من الصيغة (a=1)
جوهر صيغ فييتا هو أن مجموع جذور المعادلة يساوي معامل المتغير المأخوذ بالإشارة المعاكسة. حاصل ضرب جذور المعادلة يساوي الحد الحر. يمكن كتابة نظرية فييتا في الصيغ.
إن اشتقاق صيغة فييتا بسيط للغاية. لنكتب المعادلة التربيعية من خلال عوامل بسيطة
كما ترون، كل شيء عبقري بسيط في نفس الوقت. من المفيد استخدام صيغة فييتا عندما يكون الفرق في معامل الجذور أو الفرق في معاملي الجذور هو 1، 2. على سبيل المثال، المعادلات التالية، وفقًا لنظرية فيتا، لها جذور




حتى المعادلة 4، يجب أن يبدو التحليل هكذا. حاصل ضرب جذور المعادلة هو 6، وبالتالي يمكن أن تكون الجذور القيمتين (1، 6) و (2، 3) أو أزواج ذات إشارات متضادة. مجموع الجذور هو 7 (معامل المتغير ذو الإشارة المعاكسة). من هنا نستنتج أن حلول المعادلة التربيعية هي x=2؛ س = 3.
من الأسهل تحديد جذور المعادلة من بين مقسومات الحد الحر، وضبط علامتها من أجل تحقيق صيغ فييتا. في البداية، قد يبدو هذا الأمر صعبًا، ولكن مع التدريب على عدد من المعادلات التربيعية، ستصبح هذه التقنية أكثر فعالية من حساب المميز وإيجاد جذور المعادلة التربيعية بالطريقة الكلاسيكية.
وكما ترى فإن النظرية المدرسية في دراسة المتمايز وطرق إيجاد حلول للمعادلة خالية من المعنى العملي - "لماذا يحتاج تلاميذ المدارس إلى معادلة تربيعية؟"، "ما هو المعنى المادي للمتميز؟"

دعونا نحاول معرفة ذلك ماذا يصف التمييز؟

في دورة الجبر يدرسون الوظائف، وخطط لدراسة الوظائف وإنشاء رسم بياني للوظائف. من بين جميع الدوال، يحتل القطع المكافئ مكانًا مهمًا، حيث يمكن كتابة معادلته على الصورة
لذا فإن المعنى الفيزيائي للمعادلة التربيعية هو أصفار القطع المكافئ، أي نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثي السيني Ox
أطلب منك أن تتذكر خصائص القطع المكافئ الموضحة أدناه. سيأتي الوقت لإجراء الاختبارات أو الاختبارات أو اختبارات القبول وستكون ممتنًا للمواد المرجعية. تتوافق إشارة المتغير المربع مع ما إذا كانت فروع القطع المكافئ على الرسم البياني سترتفع (a>0)،

أو قطع مكافئ بفروع للأسفل (أ<0) .

تقع قمة القطع المكافئ في منتصف المسافة بين الجذور

المعنى المادي للتمييز:

إذا كان المميز أكبر من الصفر (D> 0)، فإن القطع المكافئ له نقطتا تقاطع مع محور الثور.
إذا كان المميز صفرًا (D=0)، فإن القطع المكافئ عند الرأس يلامس المحور السيني.
والحالة الأخيرة، عند التمييز أقل من الصفر(د<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

المعادلات التربيعية غير الكاملة

عند دراسة طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية في مقرر الجبر المدرسي، يتم أخذ خصائص الجذور الناتجة في الاعتبار. تُعرف حاليًا باسم نظرية فييتا. وترد أمثلة على استخدامه في هذه المقالة.

معادلة من الدرجة الثانية

معادلة الترتيب الثاني هي المساواة الموضحة في الصورة أدناه.

هنا الرموز a، b، c هي بعض الأرقام تسمى معاملات المعادلة قيد النظر. لحل المساواة، عليك إيجاد قيم x التي تجعلها صحيحة.

لاحظ أنه بما أن القوة القصوى التي يمكن رفع x إليها هي اثنان، فإن عدد الجذور في الحالة العامة هو أيضًا اثنان.

هناك عدة طرق لحل هذا النوع من المساواة. في هذه المقالة سننظر في إحداها، والتي تتضمن استخدام ما يسمى بنظرية فييتا.

صياغة نظرية فييتا

في نهاية القرن السادس عشر، لاحظ عالم الرياضيات الشهير فرانسوا فييت (فرنسي)، أثناء تحليل خصائص جذور المعادلات التربيعية المختلفة، أن مجموعات معينة منها تلبي علاقات محددة. على وجه الخصوص، هذه المجموعات هي منتجها ومجموعها.

تحدد نظرية فييتا ما يلي: جذور المعادلة التربيعية، عند جمعها، تعطي نسبة المعاملات الخطية إلى المعاملات التربيعية المأخوذة بإشارة معاكسة، وعند ضربها تؤدي إلى نسبة الحد الحر إلى المعامل التربيعي .

إذا كانت الصورة العامة للمعادلة مكتوبة كما هو موضح في الصورة في القسم السابق من المقالة، فيمكن كتابة هذه النظرية رياضياً على صورة مساويتين:

• ص 2 + ص 1 = -ب / أ؛
• ص 1 × ص 2 = ج / أ.

حيث r 1, r 2 هي قيمة جذور المعادلة المعنية.

يمكن استخدام المساويتين المذكورتين أعلاه لحل عدد من المسائل الرياضية المختلفة. يتم استخدام نظرية فييتا في الأمثلة مع الحلول في الأقسام التالية من المقالة.

في الرياضيات، هناك تقنيات خاصة يمكن من خلالها حل العديد من المعادلات التربيعية بسرعة كبيرة ودون أي تمييزات. علاوة على ذلك، مع التدريب المناسب، يبدأ الكثيرون في حل المعادلات التربيعية شفهيًا، حرفيًا "من النظرة الأولى".

لسوء الحظ، في الدورة الحديثة للرياضيات المدرسية، لا تتم دراسة هذه التقنيات تقريبا. ولكن عليك أن تعرف! واليوم سنلقي نظرة على إحدى هذه التقنيات - نظرية فييتا. أولا، دعونا نقدم تعريفا جديدا.

تسمى المعادلة التربيعية من الصورة x 2 + bx + c = 0 مخفضة. يرجى ملاحظة أن معامل x 2 هو 1. ولا توجد قيود أخرى على المعاملات.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 هي معادلة تربيعية مختزلة؛
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - مخفض أيضًا؛
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ولكن هذا غير معطى على الإطلاق، لأن معامل x 2 يساوي 2.

بالطبع، يمكن تبسيط أي معادلة تربيعية على الصورة ax 2 + bx + c = 0 - ما عليك سوى قسمة جميع المعاملات على الرقم a. يمكننا دائمًا القيام بذلك، نظرًا لأن تعريف المعادلة التربيعية يعني أن ≠ 0.

صحيح أن هذه التحولات لن تكون مفيدة دائمًا في العثور على الجذور. أدناه سوف نتأكد من أن هذا يجب أن يتم فقط عندما تكون جميع المعاملات في المعادلة النهائية التي قدمها المربع عددًا صحيحًا. الآن، دعونا نلقي نظرة على أبسط الأمثلة:

مهمة. تحويل المعادلة التربيعية إلى المعادلة المخفضة:

1. 3س 2 − 12س + 18 = 0;
2. −4س 2 + 32س + 16 = 0;
3. 1.5x2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2س 2 + 7س − 11 = 0.

لنقسم كل معادلة على معامل المتغير x 2. نحن نحصل:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - قسمة كل شيء على 3؛
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - مقسومًا على −4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - مقسومًا على 1.5، تصبح جميع المعاملات أعدادًا صحيحة؛
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x − 5.5 = 0 - مقسومًا على 2. في هذه الحالة، ظهرت المعاملات الكسرية.

كما ترون، يمكن أن تحتوي المعادلات التربيعية المذكورة أعلاه على معاملات أعداد صحيحة حتى لو كانت المعادلة الأصلية تحتوي على كسور.

الآن دعونا نقوم بصياغة النظرية الرئيسية، والتي، في الواقع، تم تقديم مفهوم المعادلة التربيعية المختزلة:

نظرية فييتا. خذ بعين الاعتبار المعادلة التربيعية المختزلة على الصورة x 2 + bx + c = 0. افترض أن هذه المعادلة لها جذور حقيقية x 1 وx 2. وفي هذه الحالة تكون العبارات التالية صحيحة:

1. س 1 + س 2 = -ب. بمعنى آخر، مجموع جذور المعادلة التربيعية المعطاة يساوي معامل المتغير x، مأخوذًا بالإشارة المعاكسة؛
2. × 1 × 2 = ج. حاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية يساوي المعامل الحر.

أمثلة. من أجل التبسيط، سننظر فقط في المعادلات التربيعية المذكورة أعلاه والتي لا تتطلب تحويلات إضافية:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; × 1 × 2 = 20؛ الجذور: × 1 = 4؛ س 2 = 5؛
2. س 2 + 2س − 15 = 0 ⇒ س 1 + س 2 = −2; × 1 × 2 = −15؛ الجذور: × 1 = 3؛ × 2 = −5؛
3. س 2 + 5س + 4 = 0 ⇒ س 1 + س 2 = −5; × 1 × 2 = 4؛ الجذور: × 1 = −1؛ س 2 = −4.

تعطينا نظرية فييتا معلومات إضافية حول جذور المعادلة التربيعية. للوهلة الأولى، قد يبدو هذا صعبًا، ولكن حتى مع الحد الأدنى من التدريب، ستتعلم "رؤية" الجذور وتخمينها حرفيًا في غضون ثوانٍ.

مهمة. حل المعادلة التربيعية:

1. س 2 − 9س + 14 = 0;
2. س 2 − 12س + 27 = 0;
3. 3س 2 + 33س + 30 = 0؛
4. −7س 2 + 77س − 210 = 0.

دعونا نحاول كتابة المعاملات باستخدام نظرية فييتا و"تخمين" الجذور:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 هي معادلة تربيعية مختزلة.
   حسب نظرية فييتا لدينا: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; × 1 · × 2 = 14. من السهل أن نرى أن الجذور هي الرقمان 2 و7؛
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - مخفضة أيضًا.
   بواسطة نظرية فييتا: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; × 1 × 2 = 27. ومن هنا الجذور: 3 و9؛
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - لم يتم اختزال هذه المعادلة. لكننا سنصحح هذا الآن بقسمة طرفي المعادلة على المعامل a = 3. نحصل على: x 2 + 11x + 10 = 0.
   نحن نحل باستخدام نظرية فييتا: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ الجذور: −10 و −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - مرة أخرى معامل x 2 لا يساوي 1، أي. المعادلة غير معطاة نقسم كل شيء على الرقم a = −7. نحصل على: x 2 − 11x + 30 = 0.
   بواسطة نظرية فييتا: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; × 1 × 2 = 30؛ من السهل تخمين الجذور من هذه المعادلات: 5 و6.

يتضح من المنطق أعلاه كيف تعمل نظرية فييتا على تبسيط حل المعادلات التربيعية. لا توجد حسابات معقدة، ولا جذور وكسور حسابية. ولم نكن بحاجة حتى إلى تمييز (انظر الدرس "حل المعادلات التربيعية").

بالطبع، في جميع أفكارنا، انطلقنا من افتراضين مهمين، بشكل عام، لا يتم تلبيتهما دائمًا في المشكلات الحقيقية:

1. يتم تقليل المعادلة التربيعية، أي. معامل x 2 هو 1؛
2. المعادلة لها جذرين مختلفين. من وجهة نظر جبرية، المميز في هذه الحالة هو D > 0 - في الواقع، نفترض في البداية أن هذه المتباينة صحيحة.

ومع ذلك، في المسائل الرياضية النموذجية يتم استيفاء هذه الشروط. إذا أدى الحساب إلى معادلة تربيعية "سيئة" (يختلف معامل x 2 عن 1)، فيمكن تصحيح ذلك بسهولة - انظر إلى الأمثلة في بداية الدرس. أنا صامت بشكل عام فيما يتعلق بالجذور: ما نوع هذه المشكلة التي ليس لها إجابة؟ بالطبع سيكون هناك جذور.

هكذا، المخطط العاميبدو حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا كما يلي:

1. اختزال المعادلة التربيعية إلى المعادلة المعطاة، إذا لم يتم ذلك بالفعل في بيان المشكلة؛
2. إذا كانت المعاملات في المعادلة التربيعية أعلاه كسرية، فإننا نحلها باستخدام المميز. يمكنك أيضًا العودة إلى المعادلة الأصلية للتعامل مع المزيد من الأرقام "المفيدة"؛
3. في حالة المعاملات الصحيحة، نحل المعادلة باستخدام نظرية فييتا؛
4. إذا لم تتمكن من تخمين الجذور في غضون ثوانٍ قليلة، انسَ نظرية فيتا وحلها باستخدام المميز.

مهمة. حل المعادلة: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

إذن، أمامنا معادلة لا يمكن اختزالها، لأن المعامل أ = 5. اقسم كل شيء على 5، نحصل على: x 2 − 7x + 10 = 0.

جميع معاملات المعادلة التربيعية أعداد صحيحة - فلنحاول حلها باستخدام نظرية فييتا. لدينا: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; × 1 · × 2 = 10. في هذه الحالة، من السهل تخمين الجذور - فهي 2 و5. ليست هناك حاجة للعد باستخدام المميز.

مهمة. حل المعادلة: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0.

لننظر: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - لم يتم اختزال هذه المعادلة، فلنقسم كلا الطرفين على المعامل a = −5. نحصل على: x 2 − 1.6x + 0.48 = 0 - معادلة ذات معاملات كسرية.

من الأفضل العودة إلى المعادلة الأصلية والعد من خلال المميز: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2؛ × 2 = 0.4.

مهمة. حل المعادلة: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

أولًا، نقسم كل شيء على المعامل a = 2. نحصل على المعادلة x 2 + 5x − 300 = 0.

هذه هي المعادلة المخفضة، وفقًا لنظرية فييتا لدينا: x 1 + x 2 = −5؛ × 1 × 2 = −300. من الصعب تخمين جذور المعادلة التربيعية في هذه الحالة - شخصيًا كنت عالقًا جدًا عند حل هذه المشكلة.

سيكون عليك البحث عن الجذور من خلال المميز: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . إذا كنت لا تتذكر جذر المميز، فسأذكر أن 1225: 25 = 49. وبالتالي، 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

الآن بعد أن أصبح جذر المميز معروفًا، فإن حل المعادلة ليس بالأمر الصعب. نحصل على: × 1 = 15؛ س 2 = −20.

مع برنامج الرياضيات هذا يمكنك حل المعادلة التربيعية.

لا يقدم البرنامج الإجابة على المشكلة فحسب، بل يعرض أيضًا عملية الحل بطريقتين:
- باستخدام التمييز
- استخدام نظرية فييتا (إن أمكن).

علاوة على ذلك، يتم عرض الإجابة على أنها دقيقة وليست تقريبية.
على سبيل المثال، بالنسبة للمعادلة \(81x^2-16x-1=0\) يتم عرض الإجابة بالشكل التالي:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81)، \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ وليس هكذا: \(x_1 = 0.247; \رباعي x_2 = -0.05\)

هذا البرنامجقد تكون مفيدة لطلاب المدارس الثانوية المدارس الثانويةاستعدادا ل الاختباراتوالامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، ليتمكن الآباء من التحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك تريد فقط إنجاز الأمر في أسرع وقت ممكن؟ العمل في المنزلفي الرياضيات أو الجبر؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.

بهذه الطريقة، يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا، بينما يرتفع مستوى التعليم في مجال حل المشكلات.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال كثيرات الحدود التربيعية، فنوصيك بالتعرف عليها.

قواعد لإدخال كثيرات الحدود من الدرجة الثانية

أي حرف لاتيني يمكن أن يكون بمثابة متغير.
على سبيل المثال: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\)، إلخ.

يمكن إدخال الأرقام كأرقام كاملة أو كسرية.
علاوة على ذلك، يمكن إدخال الأرقام الكسرية ليس فقط في شكل كسر عشري، ولكن أيضًا في شكل كسر عادي.

قواعد إدخال الكسور العشرية.
في الكسور العشرية، يمكن فصل الجزء الكسري عن الجزء بأكمله إما بنقطة أو بفاصلة.
على سبيل المثال، يمكنك إدخال الكسور العشريةمثل هذا: 2.5x - 3.5x^2

قواعد إدخال الكسور العادية.
يمكن للعدد الصحيح فقط أن يكون بمثابة البسط والمقام والجزء الصحيح من الكسر.

لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.

عند إدخال كسر رقمي، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة القسمة: /
يتم فصل الجزء بأكمله عن الكسر بواسطة علامة العطف: &
الإدخال: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
النتيجة: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

عند إدخال التعبير يمكنك استخدام الأقواس. في هذه الحالة، عند حل معادلة من الدرجة الثانية، يتم تبسيط التعبير المقدم أولاً.
على سبيل المثال: 1/2(ص-1)(ص+1)-(5ص-10&1/2)

=0

يقرر

تم اكتشاف أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
وفي هذه الحالة، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لكي يظهر الحل، تحتاج إلى تمكين JavaScript.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية...

اذا أنت لاحظت خطأ في الحل، فيمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى المهمةعليك أن تقرر ما أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

القليل من النظرية.

المعادلة التربيعية وجذورها. المعادلات التربيعية غير الكاملة

كل من المعادلات
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
يشبه
\(ax^2+bx+c=0, \)
حيث x متغير، وa وb وc أرقام.
في المعادلة الأولى أ = -1، ب = 6 و ج = 1.4، في الثانية أ = 8، ب = -7 و ج = 0، في الثالثة أ = 1، ب = 0 و ج = 4/9. تسمى مثل هذه المعادلات المعادلات التربيعية.

تعريف.
معادلة من الدرجة الثانيةتسمى معادلة من الشكل ax 2 +bx+c=0، حيث x متغير، وa وb وc هي بعض الأرقام، و\(a \neq 0 \).

الأرقام a وb وc هي معاملات المعادلة التربيعية. الرقم a يسمى المعامل الأول، والرقم b هو المعامل الثاني، والرقم c هو الحد الحر.

في كل من المعادلات ذات الصيغة ax 2 +bx+c=0، حيث \(a\neq 0\)، أكبر قوة للمتغير x هي مربع. ومن هنا الاسم: المعادلة التربيعية.

لاحظ أن المعادلة التربيعية تسمى أيضًا معادلة من الدرجة الثانية، نظرًا لأن طرفها الأيسر متعدد الحدود من الدرجة الثانية.

تسمى المعادلة التربيعية التي معامل x 2 يساوي 1 نظرا للمعادلة التربيعية. على سبيل المثال، المعادلات التربيعية المعطاة هي المعادلات
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

إذا كان في المعادلة التربيعية ax 2 +bx+c=0 واحد على الأقل من المعاملات b أو c يساوي الصفر، فإن هذه المعادلة تسمى معادلة تربيعية غير مكتملة. وبالتالي، فإن المعادلات -2x 2 +7=0، 3x 2 -10x=0، -4x 2 =0 هي معادلات تربيعية غير كاملة. في الأول ب = 0، في الثاني ج = 0، في الثالث ب = 0 و ج = 0.

هناك ثلاثة أنواع من المعادلات التربيعية غير الكاملة:
1) الفأس 2 +c=0، حيث \(c \neq 0 \);
2) الفأس 2 +bx=0، حيث \(b \neq 0 \);
3) الفأس 2 =0.

دعونا نفكر في حل المعادلات لكل من هذه الأنواع.

لحل معادلة تربيعية غير كاملة من الصيغة ax 2 +c=0 لـ \(c \neq 0 \)، انقل حدها الحر إلى الجانب الأيمن واقسم طرفي المعادلة على a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

منذ \(c \neq 0 \)، ثم \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

إذا كان \(-\frac(c)(a)>0\)، فإن المعادلة لها جذرين.

إذا \(-\frac(c)(a) لحل معادلة تربيعية غير كاملة من الصيغة ax 2 +bx=0 مع \(b \neq 0 \) قم بتوسيعها الجهه اليسرىبالعوامل والحصول على المعادلة
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (صفيف)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

هذا يعني أن المعادلة التربيعية غير المكتملة ذات الصيغة ax 2 +bx=0 لـ \(b \neq 0 \) لها دائمًا جذرين.

المعادلة التربيعية غير المكتملة ذات الصيغة ax 2 =0 تعادل المعادلة x 2 =0 وبالتالي لها جذر واحد 0.

صيغة لجذور المعادلة التربيعية

دعونا الآن نفكر في كيفية حل المعادلات التربيعية التي يكون فيها معاملات المجهول والحد الحر غير صفر.

دعونا نحل المعادلة التربيعية بشكل عام ونتيجة لذلك نحصل على صيغة الجذور. ويمكن بعد ذلك استخدام هذه الصيغة لحل أي معادلة تربيعية.

حل المعادلة التربيعية ax 2 +bx+c=0

بقسمة الطرفين على a، نحصل على المعادلة التربيعية المخفضة المكافئة
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

دعونا نحول هذه المعادلة عن طريق تحديد مربع ذات الحدين:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2)) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac)) (2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac)) )(2a) \)

يسمى التعبير الجذري مميز المعادلة التربيعيةالفأس 2 +bx+c=0 ("المميز" باللاتينية - المميز). يتم تحديده بالحرف D، أي.
\(د = ب^2-4ac\)

الآن، باستخدام التمييز، نعيد كتابة صيغة جذور المعادلة التربيعية:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \)، حيث \(D= b^2-4ac \)

من الواضح أن:
1) إذا كانت D > 0، فإن المعادلة التربيعية لها جذرين.
2) إذا كانت D=0، فإن المعادلة التربيعية لها جذر واحد \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) إذا D وهكذا، اعتمادًا على قيمة المميز، يمكن أن تحتوي المعادلة التربيعية على جذرين (لـ D > 0)، أو جذر واحد (لـ D = 0) أو ليس لها جذور (لـ D عند حل معادلة تربيعية باستخدام هذا الصيغة، فمن المستحسن القيام بالطريقة التالية:
1) احسب المميز وقارنه بالصفر؛
2) إذا كان المميز موجبًا أو يساوي صفرًا، فاستخدم صيغة الجذر، وإذا كان المميز سالبًا، فاكتب أنه لا توجد جذور.

نظرية فييتا

المعادلة التربيعية المعطاة ax 2 -7x+10=0 لها جذور 2 و5. مجموع الجذور هو 7، وحاصل الضرب 10. نرى أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني المأخوذ مع المقابل علامة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر. أي معادلة تربيعية مختزلة لها جذور لها هذه الخاصية.

مجموع جذور المعادلة التربيعية أعلاه يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر.

أولئك. تنص نظرية فييتا على أن الجذور x 1 و x 2 للمعادلة التربيعية المختزلة x 2 +px+q=0 لها الخاصية:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

قبل الانتقال إلى نظرية فييتا، نقدم تعريفًا. المعادلة التربيعية للنموذج س² + بكسل + س= 0 يسمى مخفض. في هذه المعادلة المعامل الرئيسي يساوي واحد. على سبيل المثال، المعادلة س² - 3 س- 4 = 0 مخفض. أي معادلة تربيعية من النموذج فأس² + ب س + جيمكن تخفيض = 0 بقسمة طرفي المعادلة على أ≠ 0. على سبيل المثال، المعادلة 4 س² + 4 س— 3 = 0 بالقسمة على 4 يتم اختزالها إلى النموذج: س² + س— 3/4 = 0. دعونا نشتق صيغة جذور المعادلة التربيعية المختزلة، ولهذا نستخدم صيغة جذور المعادلة التربيعية منظر عام: فأس² + bx + ج = 0

معادلة مخفضة س² + بكسل + س= 0 يتزامن مع معادلة عامة فيها أ = 1, ب = ص, ج = س.لذلك، بالنسبة للمعادلة التربيعية المعطاة، تأخذ الصيغة الشكل:

التعبير الأخير يسمى صيغة جذور المعادلة التربيعية المختزلة، ومن الملائم بشكل خاص استخدام هذه الصيغة عندما ر- رقم زوجي. على سبيل المثال، دعونا نحل المعادلة س² — 14 س — 15 = 0

وفي الإجابة على ذلك، نكتب أن المعادلة لها جذرين.

بالنسبة للمعادلة التربيعية المخفضة ذات الموجب، تنطبق النظرية التالية.

نظرية فييتا

لو س 1 و س 2- جذور المعادلة س² + بكسل + س= 0، فالصيغ صالحة:

س 1 + س 2 = — ر

س 1 * س 2 = ف،أي أن مجموع جذور المعادلة التربيعية المخفضة يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر.

بناءً على صيغة جذور المعادلة التربيعية أعلاه، لدينا:

وبجمع هذه المعادلات نحصل على: س 1 + س 2 = —ر.

بضرب هذه المعادلات باستخدام صيغة فرق المربعات نحصل على:

لاحظ أن نظرية فييتا صالحة أيضًا عندما يكون المميز يساوي صفرًا، إذا افترضنا أن المعادلة التربيعية في هذه الحالة لها جذرين متطابقين: س 1 = س 2 = — ر/2.

بدون حل المعادلات س² — 13 س+ 30 = 0 أوجد مجموع جذورها وحاصل ضربها س 1 و س 2. هذه المعادلة د= 169 - 120 = 49 > 0، لذلك يمكن تطبيق نظرية فييتا: س 1 + س 2 = 13, × 1 * × 2 = 30. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأخرى. أحد جذور المعادلة س² — بكسل- 12 = 0 يساوي س 1 = 4. أوجد المعامل روالجذر الثاني س 2 من هذه المعادلة. بواسطة نظرية فييتا × 1 * × 2 =— 12, س 1 + س 2 = — ر.لأن س 1 = 4، ثم 4 س 2 = - 12، من أين س 2 = — 3, ر = — (س 1 + س 2) = - (4 - 3) = - 1. في الإجابة نكتب الجذر الثاني س 2 = - 3، المعامل ع = — 1.

بدون حل المعادلات س² + 2 س- 4 = 0 لنوجد مجموع مربعات جذوره. يترك س 1 و س 2- جذور المعادلة . بواسطة نظرية فييتا س 1 + س 2 = — 2, س 1 * س 2 = — 4. لأن س 1²+ س 2² = ( س 1 + س 2)² - 2 س 1 س 2 ثم س 1²+ س 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

لنجد مجموع ومنتج جذور المعادلة 3 س² + 4 س- 5 = 0. هذه المعادلة لها جذرين مختلفين، منذ المميز د= 16 + 4*3*5 > 0. لحل المعادلة، نستخدم نظرية فيتا. لقد تم إثبات هذه النظرية للمعادلة التربيعية المعطاة. لذلك دعونا نقسم هذه المعادلة على 3.

وبالتالي فإن مجموع الجذور يساوي -4/3، وحاصل ضربها يساوي -5/3.

بشكل عام، جذور المعادلة فأس² + ب س + ج= 0 ترتبط بالمساواة التالية: س 1 + س 2 = — ب/أ، × 1 * × 2 = ج/أ،للحصول على هذه الصيغ، يكفي قسمة طرفي هذه المعادلة التربيعية على أ ≠ 0 وتطبيق نظرية فييتا على المعادلة التربيعية المخفضة الناتجة. لنفكر في مثال: تحتاج إلى إنشاء معادلة تربيعية مختزلة جذورها س 1 = 3, س 2 = 4. لأن س 1 = 3, س 2 = 4 - جذور المعادلة التربيعية س² + بكسل + س= 0، ثم من خلال نظرية فييتا ر = — (س 1 + س 2) = — 7, س = س 1 س 2 = 12. نكتب الجواب بالشكل س² — 7 س+ 12 = 0. عند حل بعض المسائل، يتم استخدام النظرية التالية.

نظرية تتحدث عن نظرية فييتا

إذا كانت الأرقام ر, س, س 1 , س 2 هكذا س 1 + س 2 = — ص، س 1 * س 2 = ف، الذي - التي × 1و × 2- جذور المعادلة س² + بكسل + س= 0. استبدل في الجانب الأيسر س² + بكسل + سبدلاً من رتعبير - ( س 1 + س 2) وبدلا من ذلك س- عمل × 1 * × 2 .نحن نحصل: س² + بكسل + س = س² — ( س 1 + س 2) س + س 1 × 2 = س² - س 1 س - س 2 س + س 1 × 2 = (س - س 1) (س - س 2).وهكذا إذا كانت الأرقام ر, س, س 1 و س 2 ترتبط بهذه العلاقات، ثم للجميع Xالمساواة تحمل س² + بكسل + س = (س - س 1) (س - س 2)،ومنه يترتب على ذلك س 1 و س 2- جذور المعادلة س² + بكسل + س= 0. باستخدام النظرية العكسية لنظرية فيتا، يمكنك أحيانًا العثور على جذور المعادلة التربيعية عن طريق الاختيار. لنلقي نظرة على مثال، س² — 5 س+ 6 = 0. هنا ر = — 5, س= 6. دعونا نختار رقمين س 1 و س 2 حتى ذلك س 1 + س 2 = 5, × 1 * × 2 = 6. بملاحظة أن 6 = 2 * 3، و2 + 3 = 5، من خلال النظرية العكسية لنظرية فييتا، نحصل على ذلك س 1 = 2, س 2 = 3- جذور المعادلة س² — 5 س + 6 = 0.