هناك عدد من العلاقات في المعادلات التربيعية. وأهمها العلاقات بين الجذور والمعاملات. يوجد أيضًا في المعادلات التربيعية عدد من العلاقات المعطاة بواسطة نظرية فييتا.
وفي هذا الموضوع سنعرض نظرية فييتا نفسها وبرهانها للمعادلة التربيعية، والنظرية العكسية لنظرية فيتا، ونحلل عدداً من الأمثلة على حل المسائل. في المادة، سنولي اهتمامًا خاصًا للنظر في صيغ فييتا، التي تحدد العلاقة بين الجذور الحقيقية لمعادلة جبرية من الدرجة نومعاملاتها.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
صياغة وإثبات نظرية فييتا
صيغة لجذور المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0بالشكل x 1 = - ب + د 2 · أ، × 2 = - ب - د 2 · أ، حيث د = ب 2 − 4 أ ج، يقيم العلاقات س 1 + س 2 = - ب أ, × 1 × 2 = ج أ. وهذا ما تؤكده نظرية فييتا.
النظرية 1
في معادلة تربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0، أين × 1و × 2– الجذور، مجموع الجذور سيكون مساوياً لنسبة المعاملات بو أوالتي تم أخذها بالإشارة المعاكسة، وسيكون حاصل ضرب الجذور مساويًا لنسبة المعاملات جو أ، أي. س 1 + س 2 = - ب أ, × 1 × 2 = ج أ.
الدليل 1
نقدم لك المخطط التالي لتنفيذ الإثبات: خذ صيغة الجذور، وقم بتكوين مجموع وحاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية ثم قم بتحويل التعبيرات الناتجة للتأكد من أنها متساوية -ب أو ج أعلى التوالى.
لنجعل مجموع الجذور x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. لنصل الكسور إلى قاسم مشترك - ب + د 2 · أ + - ب - د 2 · أ = - ب + د + - ب - د 2 · أ. دعونا نفتح الأقواس في بسط الكسر الناتج ونقدم مصطلحات مماثلة: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . لنقم بتبسيط الكسر بمقدار: 2 - b a = - b a.
وبهذه الطريقة أثبتنا العلاقة الأولى لنظرية فييتا، والتي تتعلق بمجموع جذور المعادلة التربيعية.
الآن دعنا ننتقل إلى العلاقة الثانية.
للقيام بذلك، علينا تكوين حاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.
لنتذكر قاعدة ضرب الكسور ونكتب الناتج الأخير كما يلي: - b + D · - b - D 4 · a 2.
دعونا نضرب قوسًا في قوس في بسط الكسر، أو نستخدم صيغة فرق المربعات لتحويل هذا الناتج بشكل أسرع: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
دعونا نستخدم التعريف الجذر التربيعيلإجراء التحول التالي: - ب 2 - د 2 4 · أ 2 = ب 2 - د 4 · أ 2. معادلة د = ب 2 − 4 أ جيتوافق مع مميز المعادلة التربيعية، وبالتالي، إلى كسر بدلاً من ديمكن استبداله ب 2 − 4 أ ج:
ب 2 - د 4 أ 2 = ب 2 - (ب 2 - 4 أ ج) 4 أ 2
دعونا نفتح الأقواس ونضيف المصطلحات المتشابهة ونحصل على: 4 · أ · ج 4 · أ 2 . إذا اختصرناها إلى 4 ا، ثم ما تبقى هو ج أ . وهكذا أثبتنا العلاقة الثانية لنظرية فييتا لحاصل ضرب الجذور.
يمكن كتابة إثبات نظرية فييتا بشكل مقتضب للغاية إذا حذفنا التفسيرات:
س 1 + س 2 = - ب + د 2 أ + - ب - د 2 أ = - ب + د + - ب - د 2 أ = - 2 ب 2 أ = - ب أ , x 1 x 2 = - ب + د 2 · أ · - ب - د 2 · أ = - ب + د · - ب - د 4 · أ 2 = - ب 2 - د 2 4 · أ 2 = ب 2 - د 4 · أ 2 = = د = ب 2 - 4 · أ · ج = ب 2 - ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 = 4 · أ · ج 4 · أ 2 = ج أ .
عندما يكون مميز المعادلة التربيعية يساوي صفرًا، سيكون للمعادلة جذر واحد فقط. لكي نكون قادرين على تطبيق نظرية فييتا على مثل هذه المعادلة، يمكننا أن نفترض أن المعادلة، مع المميز يساوي الصفر، لها جذرين متطابقين. وبالفعل متى د = 0جذر المعادلة التربيعية هو: - ب 2 · أ، ثم س 1 + س 2 = - ب 2 · أ + - ب 2 · أ = - ب + (- ب) 2 · أ = - 2 · ب 2 · أ = - ب أ و س 1 · × 2 = - ب 2 · أ · - ب 2 · أ = - ب · - ب 4 · أ 2 = ب 2 4 · أ 2 ، وبما أن د = 0، أي ب 2 - 4 · أ · ج = 0، حيث ب 2 = 4 · أ · ج، ثم ب 2 4 · أ 2 = 4 · أ · ج 4 · أ 2 = ج أ.
في أغلب الأحيان، من الناحية العملية، يتم تطبيق نظرية فييتا على المعادلة التربيعية المختزلة للنموذج س 2 + ص س + ف = 0، حيث المعامل الرئيسي a يساوي 1. وفي هذا الصدد، تم صياغة نظرية فييتا خصيصًا لمعادلات من هذا النوع. وهذا لا يحد من العمومية لأنه يمكن استبدال أي معادلة تربيعية بمعادلة مكافئة. للقيام بذلك، تحتاج إلى قسمة كلا جزأيه على رقم مختلف عن الصفر.
دعونا نعطي صيغة أخرى لنظرية فييتا.
النظرية 2
مجموع الجذور في المعادلة التربيعية المعطاة س 2 + ص س + ف = 0سيكون مساويا لمعامل x، الذي يؤخذ بالعلامة المعاكسة، فإن منتج الجذور سيكون مساويا للحد الحر، أي. س 1 + س 2 = − ص، س 1 × 2 = ف.
نظرية تتحدث عن نظرية فييتا
إذا نظرت بعناية إلى الصيغة الثانية لنظرية فييتا، يمكنك أن ترى ذلك بالنسبة للجذور × 1و × 2تخفيض المعادلة التربيعية س 2 + ص س + ف = 0ستكون العلاقات التالية صحيحة: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. من هذه العلاقات x 1 + x 2 = − p، x 1 x 2 = q يتبع ذلك × 1و × 2هي جذور المعادلة التربيعية س 2 + ص س + ف = 0. ومن ثم نصل إلى عبارة تناقض نظرية فيتا.
نقترح الآن إضفاء الطابع الرسمي على هذا البيان باعتباره نظرية وتنفيذ برهانه.
النظرية 3
إذا كانت الأرقام × 1و × 2هم من هذا القبيل س 1 + س 2 = - صو × 1 × 2 = ف، الذي - التي × 1و × 2هي جذور المعادلة التربيعية المخفضة س 2 + ص س + ف = 0.
الدليل 2
استبدال الاحتمالات صو سللتعبير عنهم من خلال × 1و × 2يسمح لك بتحويل المعادلة س 2 + ص س + ف = 0إلى ما يعادلها .
إذا عوضنا الرقم في المعادلة الناتجة × 1بدلاً من س، ثم نحصل على المساواة x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. هذه هي المساواة لأي × 1و × 2يتحول إلى مساواة عددية حقيقية 0 = 0 ، لأن x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. هذا يعني انه × 1- جذر المعادلة س 2 − (س 1 + س 2) س + س 1 × 2 = 0، وماذا في ذلك × 1هو أيضًا جذر المعادلة المكافئة س 2 + ص س + ف = 0.
الاستبدال في المعادلة س 2 − (س 1 + س 2) س + س 1 × 2 = 0أعداد × 2بدلاً من x يسمح لنا بالحصول على المساواة x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. ويمكن اعتبار هذه المساواة حقيقية، منذ ذلك الحين x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. لقد أتضح أن × 2هو جذر المعادلة س 2 − (س 1 + س 2) س + س 1 × 2 = 0، وبالتالي المعادلات س 2 + ص س + ف = 0.
لقد تم إثبات عكس نظرية فييتا.
أمثلة على استخدام نظرية فييتا
لنبدأ الآن في تحليل الأمثلة الأكثر شيوعًا حول هذا الموضوع. لنبدأ بتحليل المسائل التي تتطلب تطبيق النظرية العكسية على نظرية فييتا. ويمكن استخدامه للتحقق من الأرقام الناتجة عن العمليات الحسابية لمعرفة ما إذا كانت جذور معادلة تربيعية معينة. للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب مجموعها والفرق بينها، ثم التحقق من صحة العلاقات x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.
يشير تحقيق كلتا العلاقتين إلى أن الأرقام التي تم الحصول عليها أثناء العمليات الحسابية هي جذور المعادلة. إذا رأينا أنه لم يتم استيفاء أحد الشروط على الأقل، فإن هذه الأرقام لا يمكن أن تكون جذور المعادلة التربيعية الواردة في بيان المشكلة.
مثال 1
أي من أزواج الأرقام 1) x 1 = − 5، x 2 = 3، أو 2) x 1 = 1 - 3، x 2 = 3 + 3، أو 3) x 1 = 2 + 7 2، x 2 = 2 - 7 2 هو زوج من جذور المعادلة التربيعية 4 × 2 − 16 × + 9 = 0?
حل
دعونا نجد معاملات المعادلة التربيعية 4 × 2 − 16 × + 9 = 0.هذا أ = 4، ب = − 16، ج = 9. وفقًا لنظرية فييتا، يجب أن يكون مجموع جذور المعادلة التربيعية مساويًا لـ -ب أ، إنه، 16 4 = 4 ويجب أن يكون حاصل ضرب الجذور متساويًا ج أ، إنه، 9 4 .
دعونا نتحقق من الأرقام التي تم الحصول عليها عن طريق حساب مجموع وحاصل ضرب الأرقام من ثلاثة أزواج معينة ومقارنتها بالقيم التي تم الحصول عليها.
في الحالة الأولى س 1 + س 2 = − 5 + 3 = − 2. تختلف هذه القيمة عن 4، وبالتالي لا يلزم مواصلة الفحص. وفقا للنظرية المقابلة لنظرية فييتا، يمكننا أن نستنتج على الفور أن الزوج الأول من الأرقام ليس جذور هذه المعادلة التربيعية.
وفي الحالة الثانية، س 1 + س 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. نرى أن الشرط الأول قد تحقق. لكن الشرط الثاني ليس: × 1 · × 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. القيمة التي حصلنا عليها تختلف عن 9 4 . وهذا يعني أن الزوج الثاني من الأرقام ليس جذور المعادلة التربيعية.
دعنا ننتقل إلى النظر في الزوج الثالث. هنا x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 و x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. وقد تم استيفاء كلا الشرطين، وهو ما يعني ذلك × 1و × 2هي جذور معادلة تربيعية معينة.
إجابة:س 1 = 2 + 7 2 , س 2 = 2 - 7 2
يمكننا أيضًا استخدام عكس نظرية فييتا لإيجاد جذور المعادلة التربيعية. أبسط طريقة هي اختيار الجذور الصحيحة للمعادلات التربيعية المعطاة بمعاملات صحيحة. ويمكن النظر في خيارات أخرى. ولكن هذا يمكن أن يعقد الحسابات بشكل كبير.
لاختيار الجذور، نستخدم حقيقة أنه إذا كان مجموع رقمين يساوي المعامل الثاني لمعادلة تربيعية، مأخوذة بعلامة الطرح، وكان حاصل ضرب هذه الأرقام يساوي الحد الحر، فإن هذه الأرقام هي جذور هذه المعادلة التربيعية.
مثال 2
على سبيل المثال، نستخدم المعادلة التربيعية س 2 − 5 س + 6 = 0. أعداد × 1و × 2يمكن أن تكون جذور هذه المعادلة إذا تحققت المتساويتان س 1 + س 2 = 5و × 1 × 2 = 6. دعونا نختار هذه الأرقام. هذه هي الأرقام 2 و 3، منذ ذلك الحين 2 + 3 = 5 و 2 3 = 6. وتبين أن 2 و 3 هما جذور هذه المعادلة التربيعية.
يمكن استخدام عكس نظرية فييتا للعثور على الجذر الثاني عندما يكون الأول معروفًا أو واضحًا. للقيام بذلك، يمكننا استخدام العلاقات x 1 + x 2 = - b a، x 1 · x 2 = c a.
مثال 3
النظر في المعادلة التربيعية 512 × 2 − 509 × − 3 = 0. ومن الضروري العثور على جذور هذه المعادلة.
حل
الجذر الأول للمعادلة هو 1، لأن مجموع معاملات هذه المعادلة التربيعية هو صفر. لقد أتضح أن × 1 = 1.
الآن دعونا نجد الجذر الثاني. لهذا يمكنك استخدام العلاقة × 1 × 2 = ج أ. لقد أتضح أن 1 × 2 = − 3,512، أين × 2 = - 3,512.
إجابة:جذور المعادلة التربيعية المحددة في بيان المشكلة 1 و - 3 512 .
من الممكن تحديد الجذور باستخدام النظرية العكسية لنظرية فييتا فقط في الحالات البسيطة. وفي حالات أخرى، من الأفضل البحث باستخدام صيغة جذور المعادلة التربيعية من خلال المميز.
بفضل عكس نظرية فييتا، يمكننا أيضًا إنشاء معادلات تربيعية باستخدام الجذور الموجودة × 1و × 2. للقيام بذلك، علينا حساب مجموع الجذور، وهو ما يعطينا المعامل سمع الإشارة المعاكسة للمعادلة التربيعية المعطاة، وحاصل ضرب الجذور، وهو ما يعطي الحد الحر.
مثال 4
اكتب معادلة تربيعية جذورها أعداد − 11 و 23 .
حل
لنفترض ذلك س 1 = −11و × 2 = 23. مجموع ومنتج هذه الأرقام سيكون متساويا: × 1 + × 2 = 12و × 1 × 2 = −253. وهذا يعني أن المعامل الثاني هو 12، وهو الحد الحر − 253.
دعونا نجعل المعادلة: س 2 − 12 س − 253 = 0.
إجابة: س 2 − 12 س − 253 = 0 .
يمكننا استخدام نظرية فييتا لحل المسائل التي تتضمن إشارات جذور المعادلات التربيعية. يرتبط الارتباط بين نظرية فييتا بإشارات جذور المعادلة التربيعية المختزلة س 2 + ص س + ف = 0بالطريقة الآتية:
- إذا كانت المعادلة التربيعية لها جذور حقيقية وإذا كان الحد المعترض سإذا كان رقمًا موجبًا، فإن هذه الجذور سيكون لها نفس الإشارة "+" أو "-"؛
- إذا كانت المعادلة التربيعية لها جذور وإذا كان الحد التقاطع سإذا كان رقمًا سالبًا، فإن الجذر الأول سيكون "+"، والثاني "-".
كل من هذه العبارات هي نتيجة للصيغة × 1 × 2 = فوقواعد الضرب الإيجابية و أرقام سلبيةوكذلك أرقام ذات علامات مختلفة.
مثال 5
هي جذور المعادلة التربيعية س 2 − 64 س − 21 = 0إيجابي؟
حل
وفقًا لنظرية فييتا، لا يمكن أن تكون جذور هذه المعادلة موجبة معًا، حيث يجب أن تحقق المساواة × 1 × 2 = − 21. هذا مستحيل مع الإيجابية × 1و × 2.
إجابة:لا
مثال 6
في ما قيم المعلمة صمعادلة من الدرجة الثانية س 2 + (ص + 2) س + ص − 1 = 0سيكون له جذرين حقيقيين بإشارات مختلفة.
حل
لنبدأ بإيجاد قيمها ص، حيث سيكون للمعادلة جذرين. دعونا نجد التمييز ونرى ماذا صوسوف يستغرق القيم الإيجابية. د = (ص + 2) 2 − 4 1 (ص − 1) = ص 2 + 4 ص + 4 − 4 ص + 4 = ص 2 + 8. قيمة التعبير ص 2 + 8إيجابي لأي حقيقي صوبالتالي فإن المميز سيكون أكبر من صفر لأي حقيقي ص. وهذا يعني أن المعادلة التربيعية الأصلية سيكون لها جذرين لأي قيم حقيقية للمعلمة ص.
الآن دعونا نرى متى سوف تتجذر الجذور علامات مختلفة. هذا ممكن إذا كان منتجهم سلبيًا. وفقًا لنظرية فييتا، فإن حاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية المختزلة يساوي الحد الحر. وهذا يعني أن الحل الصحيح سيكون تلك القيم ص، حيث يكون المصطلح الحر r − 1 سالبًا. دعونا نحل المتباينة الخطية r − 1< 0 , получаем r < 1 .
إجابة:في ص< 1 .
صيغ فيتا
هناك عدد من الصيغ التي يمكن تطبيقها لتنفيذ العمليات مع جذور ومعاملات المعادلات التربيعية، وكذلك المكعبة وأنواع أخرى من المعادلات. يطلق عليهم صيغ فييتا.
للحصول على معادلة جبرية للدرجة نمن الصيغة a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 تعتبر المعادلة موجودة نجذور حقيقية س 1 , س 2 , … , س ن، والتي قد تكون هي نفسها:
س 1 + س 2 + س 3 + . . . + x n = - أ 1 أ 0 , س 1 · س 2 + س 1 · س 3 + . . . + س ن - 1 · س ن = أ 2 أ 0 , س 1 · س 2 · س 3 + س 1 · س 2 · س 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - أ 3 أ 0 , . . . × 1 · × 2 · × 3 · . . . · س ن = (- 1) ن · أ ن أ 0
التعريف 1
تساعدنا صيغ فييتا في الحصول على:
- نظرية تحلل كثير الحدود إلى عوامل خطية؛
- تحديد كثيرات الحدود المتساوية من خلال مساواة جميع معاملاتها المقابلة.
وهكذا فإن كثيرة الحدود a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n وتوسعها إلى عوامل خطية على الشكل a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (س - س ن) متساوون.
إذا فتحنا الأقواس في المنتج الأخير وقمنا بمساواة المعاملات المقابلة، فسنحصل على صيغ فييتا. بأخذ n = 2، يمكننا الحصول على صيغة فييتا للمعادلة التربيعية: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.
التعريف 2
صيغة فييتا للمعادلة التكعيبية:
س 1 + س 2 + س 3 = - أ 1 أ 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = أ 2 أ 0 , x 1 x 2 x 3 = - أ 3 أ 0
يحتوي الجانب الأيسر من صيغة فييتا على ما يسمى بمتعددات الحدود المتماثلة الأولية.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
أولا، دعونا صياغة النظرية نفسها: لنحصل على معادلة تربيعية مختزلة بالصيغة x^2+b*x + c = 0. لنفترض أن هذه المعادلة تحتوي على الجذرين x1 وx2. إذن، وفقًا للنظرية، تكون العبارات التالية صحيحة:
1) مجموع الجذور x1 و x2 سيكون مساوياً لـ قيمة سالبةمعامل ب.
2) حاصل ضرب هذه الجذور سيعطينا المعامل c.
لكن ما هي المعادلة المعطاة؟
المعادلة التربيعية المخفضة هي معادلة تربيعية، معاملها من أعلى درجة يساوي واحد، أي. هذه معادلة من الصيغة x^2 + b*x + c = 0. (والمعادلة a*x^2 + b*x + c = 0 غير مخفضة). بمعنى آخر، لكي تصل المعادلة إلى الصورة المعطاة، يجب علينا قسمة هذه المعادلة على معامل القوة الأعلى (أ). والمهمة هي تحويل هذه المعادلة إلى الشكل التالي:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
وبقسمة كل معادلة على معامل الدرجة الأعلى نحصل على:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3.5*x − 5.5 = 0.
كما ترون من الأمثلة، حتى المعادلات التي تحتوي على كسور يمكن اختزالها إلى الصورة المحددة.
باستخدام نظرية فييتا
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
نحصل على الجذور: x1 = 2؛ س2 = 3؛
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;
ونتيجة لذلك نحصل على الجذور: x1 = -2 ; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;
نحصل على الجذور: x1 = −1; س2 = −4.
معنى نظرية فييتا
تسمح لنا نظرية فييتا بحل أي معادلة من الدرجة الثانية المختزلة في ثوانٍ تقريبًا. للوهلة الأولى، يبدو أن هذه مهمة صعبة إلى حد ما، ولكن بعد 5 10 معادلات، يمكنك تعلم رؤية الجذور على الفور.
من الأمثلة المقدمة، وباستخدام النظرية، يتضح كيف يمكنك تبسيط حل المعادلات التربيعية بشكل كبير، لأنه باستخدام هذه النظرية، يمكنك حل معادلة تربيعية عمليا دون حسابات معقدة وحساب المميز، وكما تعلم، عدد أقل من الحسابات، وأكثر صعوبة في ارتكاب خطأ، وهو أمر مهم.
وفي جميع الأمثلة، استخدمنا هذه القاعدة بناءً على فرضيتين مهمتين:
المعادلة المعطاة، أي معامل الدرجة الأعلى يساوي واحدًا (من السهل تجنب هذا الشرط. يمكنك استخدام الصيغة غير المخفضة للمعادلة، وستكون العبارات التالية صحيحة x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ أ، ولكن عادة ما يكون حلها أكثر صعوبة :))
عندما يكون للمعادلة جذران مختلفان. نحن نفترض أن المتباينة صحيحة وأن المميز أكبر من الصفر.
لذلك، يمكننا إنشاء خوارزمية حل عامة باستخدام نظرية فييتا.
خوارزمية الحل العامة باستخدام نظرية فييتا
نقوم بتبسيط المعادلة التربيعية إلى الصورة المخفضة إذا كانت المعادلة معطاة لنا في الصورة غير المخفضة. عندما تكون المعاملات في المعادلة التربيعية، التي قدمناها سابقًا على النحو المعطى، كسرية (وليست عشرية)، ففي هذه الحالة يجب حل معادلتنا من خلال المميز.
هناك أيضًا حالات تتيح لنا فيها العودة إلى المعادلة الأولية العمل بأرقام "ملائمة".
I. نظرية فييتاللمعادلة التربيعية المخفضة.
مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة س 2 +بكسل+ف=0يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر:
x 1 + x 2 = -p; × 1 ∙ × 2 = ف.
أوجد جذور المعادلة التربيعية المعطاة باستخدام نظرية فييتا.
مثال 1) × 2 -س-30=0.هذه هي المعادلة التربيعية المخفضة ( × 2 +بكسل+ف=0)، المعامل الثاني ع=-1، والعضو الحر س=-30.أولاً، دعونا نتأكد من أن هذه المعادلة لها جذور، وأن الجذور (إن وجدت) سيتم التعبير عنها بأعداد صحيحة. للقيام بذلك، يكفي أن يكون المميز مربعًا كاملاً لعدد صحيح.
إيجاد التمييز د=ب 2 — 4ج=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
الآن، وفقًا لنظرية فييتا، يجب أن يكون مجموع الجذور مساويًا للمعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، أي. ( -ص)، والحاصل يساوي الحد الحر، أي. ( س). ثم:
س 1 + س 2 =1؛ × 1 ∙ × 2 = -30.علينا اختيار رقمين بحيث يكون حاصل ضربهما يساوي -30 ، والمبلغ هو وحدة. هذه أرقام -5 و 6 . الجواب: -5؛ 6.
مثال 2) × 2 +6س+8=0.لدينا المعادلة التربيعية المخفضة مع المعامل الثاني ع = 6وعضو حر س=8. دعونا نتأكد من وجود جذور صحيحة. دعونا نجد المميز د 1 د 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . المميز D 1 هو المربع الكامل للرقم 1 مما يعني أن جذور هذه المعادلة هي أعداد صحيحة. دعونا نحدد الجذور باستخدام نظرية فييتا: مجموع الجذور يساوي –ص=-6، وحاصل ضرب الجذور يساوي س=8. هذه أرقام -4 و -2 .
في الواقع: -4-2=-6=-Р; -4∙(-2)=8=ف. الجواب: -4؛ -2.
مثال 3) × 2 +2س-4=0. في هذه المعادلة التربيعية المخفضة، المعامل الثاني ع = 2، والعضو الحر س=-4. دعونا نجد المميز د 1لأن المعامل الثاني هو عدد زوجي. د 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. المميز ليس مربعًا كاملاً للعدد، لذلك نفعل ذلك خاتمة: جذور هذه المعادلة ليست أعدادًا صحيحة ولا يمكن إيجادها باستخدام نظرية فييتا.وهذا يعني أننا نحل هذه المعادلة، كالعادة، باستخدام الصيغ (في هذه الحالة، باستخدام الصيغ). نحن نحصل:
مثال 4).اكتب معادلة تربيعية باستخدام جذورها if × 1 = -7، × 2 = 4.
حل.سيتم كتابة المعادلة المطلوبة على الشكل: س 2 +بكسل+ف=0، وعلى أساس نظرية فييتا -ع=س 1 + س 2=-7+4=-3 → ع = 3؛ ف=س 1 ∙س 2=-7∙4=-28 . عندها ستأخذ المعادلة الشكل: × 2 +3س-28=0.
مثال 5).اكتب معادلة تربيعية باستخدام جذورها إذا:
ثانيا. نظرية فييتاللحصول على معادلة تربيعية كاملة الفأس 2 +بx+ج=0.
مجموع الجذور ناقص ب، مقسمة على أ، منتج الجذور يساوي مع، مقسمة على أ:
س 1 + س 2 = -ب/أ؛ س 1 ∙ س 2 = ج/أ.
يبدأ التمييز، مثل المعادلات التربيعية، في الدراسة في دورة الجبر في الصف الثامن. يمكنك حل معادلة تربيعية من خلال التمييز واستخدام نظرية فييتا. إن طريقة دراسة المعادلات التربيعية، وكذلك الصيغ التمييزية، يتم تدريسها لأطفال المدارس دون جدوى، مثل أشياء كثيرة في التعليم الحقيقي. ولذلك يمرون سنوات الدراسة، التعليم في الصفوف 9-11 يحل محل " تعليم عالى"والجميع ينظر مرة أخرى - "كيف تحل معادلة من الدرجة الثانية؟"، "كيف تجد جذور المعادلة؟"، "كيف تجد المميز؟" و...
صيغة التمييز
المميز D للمعادلة التربيعية a*x^2+bx+c=0 يساوي D=b^2–4*a*c.
تعتمد جذور (حلول) المعادلة التربيعية على إشارة المميز (D):
D>0 – للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان؛
D=0 - للمعادلة جذر واحد (جذران متطابقان):
د<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
معادلة حساب المُميِّز بسيطة للغاية، لذلك توفر العديد من مواقع الويب آلة حاسبة للمميز عبر الإنترنت. لم نكتشف هذا النوع من النصوص البرمجية بعد، لذا إذا كان أي شخص يعرف كيفية تنفيذ ذلك، فيرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني محمي عنوان البريد الإلكتروني هذا من المتطفلين و برامج التطفل. يجب عليك تفعيل جافا سكريبت لمشاهدته. .
الصيغة العامة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية:
نجد جذور المعادلة باستخدام الصيغة 
إذا تم إقران معامل المتغير المربع، فمن المستحسن حساب ليس المميز، ولكن الجزء الرابع منه
في مثل هذه الحالات، يتم العثور على جذور المعادلة باستخدام الصيغة 
الطريقة الثانية للعثور على الجذور هي نظرية فييتا.
تمت صياغة النظرية ليس فقط للمعادلات التربيعية، ولكن أيضًا لمتعددات الحدود. يمكنك قراءة هذا على ويكيبيديا أو الموارد الإلكترونية الأخرى. ومع ذلك، للتبسيط، دعونا نفكر في الجزء المتعلق بالمعادلات التربيعية أعلاه، أي المعادلات من الصيغة (a=1)
جوهر صيغ فييتا هو أن مجموع جذور المعادلة يساوي معامل المتغير المأخوذ بالإشارة المعاكسة. حاصل ضرب جذور المعادلة يساوي الحد الحر. يمكن كتابة نظرية فييتا في الصيغ.
إن اشتقاق صيغة فييتا بسيط للغاية. لنكتب المعادلة التربيعية من خلال عوامل بسيطة 
كما ترون، كل شيء عبقري بسيط في نفس الوقت. من المفيد استخدام صيغة فييتا عندما يكون الفرق في معامل الجذور أو الفرق في معاملي الجذور هو 1، 2. على سبيل المثال، المعادلات التالية، وفقًا لنظرية فيتا، لها جذور
حتى المعادلة 4، يجب أن يبدو التحليل هكذا. حاصل ضرب جذور المعادلة هو 6، وبالتالي يمكن أن تكون الجذور القيمتين (1، 6) و (2، 3) أو أزواج ذات إشارات متضادة. مجموع الجذور هو 7 (معامل المتغير ذو الإشارة المعاكسة). من هنا نستنتج أن حلول المعادلة التربيعية هي x=2؛ س = 3.
من الأسهل تحديد جذور المعادلة من بين مقسومات الحد الحر، وضبط علامتها من أجل تحقيق صيغ فييتا. في البداية، قد يبدو هذا الأمر صعبًا، ولكن مع التدريب على عدد من المعادلات التربيعية، ستصبح هذه التقنية أكثر فعالية من حساب المميز وإيجاد جذور المعادلة التربيعية بالطريقة الكلاسيكية.
وكما ترى فإن النظرية المدرسية في دراسة المتمايز وطرق إيجاد حلول للمعادلة خالية من المعنى العملي - "لماذا يحتاج تلاميذ المدارس إلى معادلة تربيعية؟"، "ما هو المعنى المادي للمتميز؟"
دعونا نحاول معرفة ذلك ماذا يصف التمييز؟
في دورة الجبر يدرسون الوظائف، وخطط لدراسة الوظائف وإنشاء رسم بياني للوظائف. من بين جميع الدوال، يحتل القطع المكافئ مكانًا مهمًا، حيث يمكن كتابة معادلته على الصورة 
لذا فإن المعنى الفيزيائي للمعادلة التربيعية هو أصفار القطع المكافئ، أي نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثي السيني Ox
أطلب منك أن تتذكر خصائص القطع المكافئ الموضحة أدناه. سيأتي الوقت لإجراء الاختبارات أو الاختبارات أو اختبارات القبول وستكون ممتنًا للمواد المرجعية. تتوافق إشارة المتغير المربع مع ما إذا كانت فروع القطع المكافئ على الرسم البياني سترتفع (a>0)،
أو قطع مكافئ بفروع للأسفل (أ<0)
.
تقع قمة القطع المكافئ في منتصف المسافة بين الجذور
المعنى المادي للتمييز:
إذا كان المميز أكبر من الصفر (D> 0)، فإن القطع المكافئ له نقطتا تقاطع مع محور الثور. 
إذا كان المميز صفرًا (D=0)، فإن القطع المكافئ عند الرأس يلامس المحور السيني. 
والحالة الأخيرة، عند التمييز أقل من الصفر(د<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).
المعادلات التربيعية غير الكاملة
أي معادلة تربيعية كاملة الفأس 2 + ب س + ج = 0يمكن أن يتبادر إلى الذهن × 2 + (ب/أ)س + (ج/أ) = 0، إذا قمت أولاً بقسمة كل حد على المعامل a السابق × 2. وإذا أدخلنا تدوينات جديدة (ب/أ) = صو (ج/أ) = ف، إذن سيكون لدينا المعادلة س 2 + بيكسل + ف = 0، وهو ما يسمى في الرياضيات نظرا للمعادلة التربيعية.
جذور المعادلة التربيعية المختزلة ومعاملاتها صو سمتصلة ببعضها البعض. تم التأكيد نظرية فييتاسمي على اسم عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييتا الذي عاش في نهاية القرن السادس عشر.
نظرية. مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة س 2 + بيكسل + ف = 0يساوي المعامل الثاني ص، مأخوذة بالعلامة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور - إلى الحد الحر س.
ولنكتب هذه العلاقات بالشكل التالي:
يترك × 1و × 2جذور مختلفة للمعادلة المعطاة س 2 + بيكسل + ف = 0. وفقا لنظرية فييتا س 1 + س 2 = -صو × 1 × 2 = ف.
لإثبات ذلك، دعونا نعوض بكل من الجذرين x 1 وx 2 في المعادلة. نحصل على مساواة حقيقية:
× 1 2 + بكسل 1 + ف = 0
× 2 2 + بيكسل 2 + ف = 0
دعونا نطرح الثانية من المساواة الأولى. نحن نحصل: 
س 1 2 - س 2 2 + ص(س 1 - س 2) = 0
نقوم بتوسيع الحدين الأولين باستخدام صيغة فرق المربعات:
(س 1 - س 2)(س 1 - س 2) + ص(س 1 - س 2) = 0
بشرط أن تكون الجذور x 1 و x 2 مختلفة. لذلك يمكننا اختزال المساواة إلى (x 1 - x 2) ≠ 0 والتعبير عن p.
(س 1 + س 2) + ع = 0؛
(س 1 + س 2) = -ص.
لقد ثبتت المساواة الأولى.
ولإثبات المساواة الثانية، نعوض في المعادلة الأولى
x 1 2 + px 1 + q = 0 بدلاً من المعامل p، عدد متساوٍ هو (x 1 + x 2):
س 1 2 – (س 1 + س 2) × 1 + ف = 0
وبتحويل الطرف الأيسر من المعادلة نحصل على:
س 1 2 - س 2 2 - س 1 س 2 + ف = 0;
× 1 × 2 = ف، وهو ما يحتاج إلى إثبات.
نظرية فييتا جيدة لأن حتى بدون معرفة جذور المعادلة التربيعية، يمكننا حساب مجموعها وحاصل ضربها .
تساعد نظرية فييتا في تحديد الجذور الصحيحة لمعادلة تربيعية معينة. لكن هذا يسبب صعوبات للعديد من الطلاب لأنهم لا يعرفون خوارزمية واضحة للعمل، خاصة إذا كانت جذور المعادلة لها علامات مختلفة.
إذن، المعادلة التربيعية أعلاه لها الصيغة x 2 + px + q = 0، حيث x 1 و x 2 هما جذورها. وفقًا لنظرية فييتا، x 1 + x 2 = -p وx 1 · x 2 = q.
يمكن استخلاص الاستنتاج التالي.
إذا كان الحد الأخير في المعادلة مسبوقًا بعلامة ناقص، فإن الجذرين x 1 و x 2 لهما إشارات مختلفة. بالإضافة إلى ذلك، فإن إشارة الجذر الأصغر تتطابق مع إشارة المعامل الثاني في المعادلة.
بناءً على أنه عند جمع أرقام ذات إشارات مختلفة يتم طرح وحداتها، وتكون النتيجة الناتجة مسبوقة بعلامة الرقم الأكبر بالقيمة المطلقة، فيجب عليك اتباع ما يلي:
- تحديد عوامل الرقم q بحيث يكون الفرق بينها مساويًا للرقم p؛
- ضع إشارة المعامل الثاني للمعادلة أمام أصغر الأرقام الناتجة؛ سيكون للجذر الثاني علامة معاكسة.
دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.
مثال 1.
حل المعادلة × 2 – 2س – 15 = 0.
حل.
دعونا نحاول حل هذه المعادلة باستخدام القواعد المقترحة أعلاه. ومن ثم يمكننا أن نقول على وجه اليقين أن هذه المعادلة سيكون لها جذرين مختلفين، لأن د = ب 2 - 4أ = 4 - 4 · (-15) = 64 > 0.
الآن، من بين جميع عوامل الرقم 15 (1 و 15، 3 و 5)، نختار تلك العوامل التي يكون فرقها 2. سيكون هذان الرقمان 3 و 5. نضع علامة الطرح أمام الرقم الأصغر، أي. علامة المعامل الثاني للمعادلة. وبذلك نحصل على جذور المعادلة x 1 = -3 و x 2 = 5.
إجابة. س 1 = -3 و س 2 = 5.
مثال 2.
حل المعادلة x 2 + 5x – 6 = 0.
حل.
دعونا نتحقق مما إذا كانت هذه المعادلة لها جذور. وللقيام بذلك نجد التمييز:
د = ب 2 – 4أ = 25 + 24 = 49 > 0. المعادلة لها جذرين مختلفين.
العوامل المحتملة للرقم 6 هي 2 و3 و6 و1. والفرق هو 5 للزوج 6 و1. في هذا المثال، معامل الحد الثاني له علامة زائد، وبالتالي فإن الرقم الأصغر سيكون له نفس الإشارة . ولكن قبل الرقم الثاني ستكون هناك علامة ناقص.
الإجابة: × 1 = -6 و × 2 = 1.
يمكن أيضًا كتابة نظرية فييتا لمعادلة تربيعية كاملة. لذلك، إذا كانت المعادلة التربيعية الفأس 2 + ب س + ج = 0له جذور x 1 و x 2، فإن التساوي بينهما يكون صحيحًا
س 1 + س 2 = -(ب/أ)و × 1 × 2 = (ج/أ). ومع ذلك، فإن تطبيق هذه النظرية في معادلة تربيعية كاملة يمثل مشكلة كبيرة، لأن إذا كان هناك جذور، واحد منهم على الأقل هو عدد كسري. والعمل مع اختيار الكسور أمر صعب للغاية. ولكن لا يزال هناك طريقة للخروج.
خذ بعين الاعتبار المعادلة التربيعية الكاملة ax 2 + bx + c = 0. اضرب طرفيها الأيمن والأيسر في المعامل a. ستأخذ المعادلة الشكل (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. الآن لندخل متغيرًا جديدًا، على سبيل المثال t = ax.
في هذه الحالة، ستتحول المعادلة الناتجة إلى معادلة تربيعية مختزلة بالصيغة t 2 + bt + ac = 0، ويمكن تحديد جذورها t 1 وt 2 (إن وجدت) بواسطة نظرية فييتا.
في هذه الحالة، ستكون جذور المعادلة التربيعية الأصلية
س 1 = (ر 1 / أ) و س 2 = (ر 2 / أ).
مثال 3.
حل المعادلة 15س 2 – 11س + 2 = 0.
حل.
لنقم بإنشاء معادلة مساعدة. دعونا نضرب كل حد من المعادلة في 15:
15 2 × 2 – 11 15س + 15 2 = 0.
نجعل الاستبدال t = 15x. لدينا:
ر2 - 11ط + 30 = 0.
وفقا لنظرية فييتا، فإن جذور هذه المعادلة ستكون t 1 = 5 و t 2 = 6.
نعود إلى الاستبدال t = 15x:
5 = 15س أو 6 = 15س. إذن x 1 = 5/15 و x 2 = 6/15. نقوم بالتبسيط ونحصل على الإجابة النهائية: x 1 = 1/3 و x 2 = 2/5.
إجابة. س 1 = 1/3 و س 2 = 2/5.
لإتقان حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا، يحتاج الطلاب إلى التدرب قدر الإمكان. وهذا هو بالضبط سر النجاح.
موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.