موضوعات مبرمج الاستخدام:زخم الجسم ، زخم نظام الأجسام ، قانون حفظ الزخم.

نبضالجسم عبارة عن كمية متجهية تساوي حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعته:

لا توجد وحدات خاصة لقياس الزخم. بُعد الزخم هو ببساطة نتاج بُعد الكتلة وبُعد السرعة:

لماذا يعتبر مفهوم الزخم مثيرًا للاهتمام؟ اتضح أنه يمكن استخدامه لإعطاء قانون نيوتن الثاني شكلاً مختلفًا قليلاً ومفيدًا للغاية أيضًا.

قانون نيوتن الثاني في شكل اندفاعي

اسمحوا أن تكون نتيجة القوى المطبقة على جسم الكتلة. نبدأ بالتدوين المعتاد لقانون نيوتن الثاني:

بالنظر إلى أن عجلة الجسم تساوي مشتق متجه السرعة ، تتم إعادة كتابة قانون نيوتن الثاني على النحو التالي:

نقدم ثابتًا تحت علامة المشتق:

كما ترى ، يتم الحصول على مشتق الزخم على الجانب الأيسر:

. ( 1 )

العلاقة (1) هي شكل جديد من أشكال قانون نيوتن الثاني.

قانون نيوتن الثاني في شكل اندفاعي. مشتق زخم الجسم هو نتيجة القوى المطبقة على الجسم.

يمكننا أيضًا أن نقول هذا: القوة الناتجة المؤثرة على الجسم تساوي معدل تغير زخم الجسم.

يمكن استبدال المشتق في الصيغة (1) بنسبة الزيادات النهائية:

. ( 2 )

في هذه الحالة ، يوجد متوسط ​​القوة المؤثرة على الجسم خلال الفترة الزمنية. كلما كانت القيمة أصغر ، كانت العلاقة أقرب إلى المشتق ، وكلما اقتربت القوة المتوسطة من قيمتها اللحظية في هذه اللحظةوقت.

في المهام ، كقاعدة عامة ، يكون الفاصل الزمني صغيرًا جدًا. على سبيل المثال ، يمكن أن يكون وقت تأثير الكرة على الحائط ، ثم - متوسط ​​القوة المؤثرة على الكرة من جانب الجدار أثناء الاصطدام.

المتجه الموجود على الجانب الأيسر من العلاقة (2) يسمى تغيير الزخمخلال . تغيير الزخم هو الفرق بين متجهات الزخم النهائية والأولية. على وجه التحديد ، إذا كان زخم الجسم في لحظة أولية من الزمن ، هو زخم الجسم بعد فترة زمنية ، فإن التغير في الزخم هو الفرق:

نؤكد مرة أخرى أن التغيير في الزخم هو اختلاف المتجهات (الشكل 1):

لنفترض ، على سبيل المثال ، أن الكرة تطير بشكل عمودي على الحائط (الزخم قبل الاصطدام) وترتد للخلف دون فقدان السرعة (الزخم بعد الاصطدام). على الرغم من حقيقة أن زخم المقياس لم يتغير () ، هناك تغيير في الزخم:

هندسيًا ، يظهر هذا الموقف في الشكل. 2:

معامل التغير في الزخم ، كما نرى ، يساوي ضعف مقياس الزخم الأولي للكرة:.

دعنا نعيد كتابة الصيغة (2) على النحو التالي:

, ( 3 )

أو كتابة تغيير الزخم على النحو الوارد أعلاه:

القيمة تسمى قوة الدافع.لا توجد وحدة قياس خاصة لدافع القوة ؛ إن أبعاد نبضة القوة هي ببساطة نتاج أبعاد القوة والوقت:

(لاحظ أنه تبين أنه وحدة قياس محتملة أخرى لزخم الجسم).

الصيغة اللفظية للمساواة (3) هي كما يلي: التغيير في زخم الجسم يساوي زخم القوة المؤثرة على الجسم لفترة زمنية معينة.هذا ، بالطبع ، مرة أخرى هو قانون نيوتن الثاني في شكله الاندفاعي.

مثال على حساب القوة

كمثال على تطبيق قانون نيوتن الثاني في شكل اندفاعي ، دعنا نفكر في المشكلة التالية.

مهمة. كرة كتلتها r ، تطير أفقيًا بسرعة m / s ، تصطدم بجدار رأسي أملس وترتد عنه دون فقدان السرعة. زاوية سقوط الكرة (أي الزاوية بين اتجاه الكرة والعمودي على الحائط) هي. الضربة تستمر s. أوجد القوة المتوسطة
العمل على الكرة أثناء الاصطدام.

حل.بادئ ذي بدء ، سنبين أن زاوية الانعكاس تساوي زاوية السقوط ، أي أن الكرة سترتد عن الحائط بنفس الزاوية (الشكل 3).

وبحسب (3) لدينا:. ويترتب على ذلك أن المتجه يتغير الزخم شارك في الإخراجمع ناقل ، أي موجه بشكل عمودي على الحائط باتجاه ارتداد الكرة (الشكل 5).

أرز. 5. لهذه المهمة

ناقلات و
متساوية في المعامل
(لأن سرعة الكرة لم تتغير). لذلك ، يتكون المثلث من المتجهات ، وهو متساوي الساقين. هذا يعني أن الزاوية بين المتجهات وتساوي ، أي زاوية الانعكاس تساوي بالفعل زاوية السقوط.

لاحظ الآن بالإضافة إلى أن مثلث متساوي الساقين لدينا زاوية (هذه هي زاوية السقوط) ؛ لذلك هذا المثلث متساوي الأضلاع. من هنا:

ثم متوسط ​​القوة المطلوبة المؤثرة على الكرة:

اندفاع نظام الجسم

لنبدأ بوضع بسيط لنظام ثنائي الجسم. على وجه التحديد ، يجب أن يكون هناك الجسم 1 والجسم 2 مع العزم وعلى التوالي. الدافع لنظام بيانات الجسم هو مجموع متجه لنبضات كل جسم:

اتضح أنه بالنسبة لزخم نظام الأجسام ، توجد صيغة مشابهة لقانون نيوتن الثاني في الشكل (1). لنشتق هذه الصيغة.

كل الأشياء الأخرى التي تتفاعل معها الأجسام 1 و 2 قيد الدراسة ، سوف ندعوها الهيئات الخارجية.تسمى القوى التي تعمل بها الهيئات الخارجية على الجسمين 1 و 2 قوى خارجية.دع - القوة الخارجية الناتجة التي تعمل على الجسم 1. وبالمثل - القوة الخارجية الناتجة التي تعمل على الجسم 2 (الشكل 6).

بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أن يتفاعل الجسمان 1 و 2 مع بعضهما البعض. دع الجسم 2 يعمل على الجسم 1 بالقوة. ثم يعمل الجسم 1 على الجسم 2 بالقوة. وفقًا لقانون نيوتن الثالث ، فإن القوى ومتساوية في القيمة المطلقة والعكس في الاتجاه:. القوات وهو القوة الداخليةتعمل في النظام.

دعنا نكتب لكل جسم 1 و 2 قانون نيوتن الثاني بالصيغة (1):

, ( 4 )

. ( 5 )

دعونا نضيف المساواة (4) و (5):

على الجانب الأيسر من المساواة الناتجة هو مجموع المشتقات ، والذي يساوي مشتق مجموع المتجهات و. على الجانب الأيمن لدينا ، بموجب قانون نيوتن الثالث:

لكن - هذا هو الدافع لنظام الأجسام 1 و 2. نشير أيضًا - هذا هو نتيجة القوى الخارجية التي تعمل على النظام. نحن نحصل:

. ( 6 )

هكذا، معدل تغير زخم نظام الهيئات هو نتيجة القوى الخارجية المطبقة على النظام.المساواة (6) ، التي تلعب دور قانون نيوتن الثاني لنظام الأجسام ، هي ما أردنا الحصول عليه.

الصيغة (6) مشتقة لحالة جسمين. دعونا الآن نعمم تفكيرنا في حالة وجود عدد تعسفي من الهيئات في النظام.

الدافع لنظام الهيئاتتسمى الأجسام بالمجموع المتجه لنبضات جميع الهيئات المدرجة في النظام. إذا كان النظام يتكون من أجسام ، فإن زخم هذا النظام يساوي:

ثم يتم كل شيء بنفس الطريقة تمامًا كما هو مذكور أعلاه (فقط من الناحية الفنية يبدو الأمر أكثر تعقيدًا). إذا كتبنا لكل جسم تساويًا مشابهًا لـ (4) و (5) ، ثم أضفنا كل هذه المساواة ، ثم على الجانب الأيسر نحصل مرة أخرى على مشتق زخم النظام ، وعلى الجانب الأيمن فقط مجموع تبقى القوى الخارجية (القوى الداخلية ، عند جمعها في أزواج ، ستعطي صفرًا بسبب قانون نيوتن الثالث). لذلك ، فإن المساواة (6) ستبقى صالحة في الحالة العامة.

قانون الحفاظ على الزخم

يسمى نظام الجسم مغلقإذا كانت تصرفات الهيئات الخارجية على أجسام نظام معين إما مهملة أو تعوض بعضها البعض. وهكذا ، في القضية نظام مغلقالأجسام ، فقط تفاعل هذه الهيئات مع بعضها البعض هو أمر أساسي ، ولكن ليس مع أي هيئات أخرى.

نتيجة القوى الخارجية المطبقة على نظام مغلق تساوي الصفر:. في هذه الحالة ، من (6) نحصل على:

ولكن إذا اختفى مشتق المتجه (معدل تغير المتجه صفر) ، فإن المتجه نفسه لا يتغير بمرور الوقت:

قانون الحفاظ على الزخم. يظل زخم نظام مغلق من الأجسام ثابتًا بمرور الوقت لأي تفاعلات للأجسام داخل هذا النظام.

يتم حل أبسط المشكلات المتعلقة بقانون الحفاظ على الزخم وفقًا للمخطط القياسي الذي سنعرضه الآن.

مهمة. جسم كتلته r يتحرك بسرعة م / ث على سطح أفقي أملس. جسم كتلته r يتحرك نحوه بسرعة م / ث. يحدث تأثير غير مرن تمامًا (تلتصق الأجسام ببعضها البعض). أوجد سرعة الأجسام بعد الاصطدام.

حل.يظهر الوضع في الشكل. 7. دعونا نوجه المحور في اتجاه حركة الجسم الأول.

أرز. 7. لهذه المهمة

لأن السطح أملس ، لا يوجد احتكاك. نظرًا لأن السطح أفقي ، وتحدث الحركة على طوله ، فإن قوة الجاذبية ورد فعل الدعم يوازنان بعضهما البعض:

وبالتالي ، فإن مجموع متجه للقوى المطبقة على نظام هذه الهيئات يساوي صفرًا. هذا يعني أن نظام الجثث مغلق. لذلك ، فإنه يفي بقانون الحفاظ على الزخم:

. ( 7 )

الدافع للنظام قبل التأثير هو مجموع نبضات الأجسام:

بعد تأثير غير مرن ، تم الحصول على كتلة واحدة تتحرك بالسرعة المطلوبة:

من قانون حفظ الزخم (7) لدينا:

من هنا نجد سرعة تشكيل الجسم بعد الاصطدام:

دعنا ننتقل إلى الإسقاطات على المحور:

حسب الشرط ، لدينا: م / ث ، م / ث ، بحيث

تشير علامة الطرح إلى أن الأجسام اللاصقة تتحرك في الاتجاه المعاكس للمحور. السرعة المستهدفة: م / ث.

قانون حفظ الإسقاط الزخم

غالبًا ما يحدث الموقف التالي في المهام. لم يتم إغلاق نظام الأجسام (مجموع متجه للقوى الخارجية التي تعمل على النظام لا يساوي الصفر) ، ولكن يوجد مثل هذا المحور ، مجموع توقعات القوى الخارجية على المحور صفرفي أي وقت من الأوقات. ثم يمكننا القول أنه على طول هذا المحور ، يتصرف نظام أجسادنا كجسم مغلق ، ويتم الحفاظ على إسقاط زخم النظام على المحور.

دعونا نظهر هذا بشكل أكثر صرامة. مشروع مساواة (6) على المحور:

إذا تلاشى إسقاط القوى الخارجية الناتجة ، إذن

لذلك فإن الإسقاط ثابت:

قانون الحفاظ على الإسقاط الزخم. إذا كان الإسقاط على محور مجموع القوى الخارجية المؤثرة على النظام يساوي صفرًا ، فإن إسقاط زخم النظام لا يتغير بمرور الوقت.

دعونا نلقي نظرة على مثال لمشكلة محددة ، كيف يعمل قانون الحفاظ على الإسقاط الزخم.

مهمة. صبي جماعي يقف على الزلاجات جليد ناعم، يرمي حجراً من الكتلة بسرعة بزاوية مع الأفق. أوجد السرعة التي يتراجع بها الصبي بعد الرمية.

حل.يظهر الوضع بشكل تخطيطي في الشكل. 8. يصور الصبي على شكل مستطيل.

أرز. 8. لهذه المهمة

لا يتم الحفاظ على زخم نظام "الصبي + الحجر". يمكن ملاحظة ذلك على الأقل من حقيقة أنه بعد الرمية ، يظهر مكون رأسي من زخم النظام (أي المكون الرأسي لزخم الحجر) ، والذي لم يكن موجودًا قبل الرمية.

لذلك ، فإن النظام الذي لا يتم إغلاق شكل الولد والحجر. لماذا؟ الحقيقة هي أن مجموع متجه للقوى الخارجية لا يساوي الصفر أثناء الرمية. القيمة أكبر من المجموع ، وبسبب هذا الفائض ، يظهر بالضبط المكون الرأسي لزخم النظام.

ومع ذلك ، فإن القوى الخارجية تعمل بشكل عمودي فقط (بدون احتكاك). لذلك ، يتم الحفاظ على إسقاط الزخم على المحور الأفقي. قبل الرمية ، كان هذا الإسقاط يساوي صفرًا. نحصل على توجيه المحور في اتجاه الرمية (بحيث يتجه الصبي في اتجاه شبه المحور السالب).

الزخم في الفيزياء

ترجمت من اللاتينية ، "الدافع" يعني "الدفع". هذه الكمية المادية تسمى أيضًا "الزخم". تم إدخاله إلى العلم في نفس الوقت تقريبًا الذي تم فيه اكتشاف قوانين نيوتن (في أواخر السابع عشرقرن).

علم الميكانيكا هو فرع الفيزياء الذي يدرس حركة الأجسام المادية وتفاعلها. النبضة في الميكانيكا هي كمية متجهة تساوي حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعتها: p = mv. دائمًا ما تتطابق اتجاهات نواقل الزخم والسرعة.

في نظام SI ، تُؤخذ وحدة الزخم على أنها زخم جسم كتلته 1 كجم ، والذي يتحرك بسرعة 1 م / ث. لذلك ، فإن وحدة الزخم في النظام الدولي للوحدات هي 1 كجم ∙ م / ث.

في المسائل الحسابية ، يتم النظر في إسقاطات متجهات السرعة والزخم على أي محور ويتم استخدام معادلات هذه الإسقاطات: على سبيل المثال ، إذا تم تحديد المحور x ، فسيتم اعتبار الإسقاطات v (x) و p (x). من خلال تعريف الزخم ، ترتبط هذه الكميات بالعلاقة: p (x) = mv (x).

اعتمادًا على المحور الذي يتم اختياره وأين يتم توجيهه ، يمكن أن يكون إسقاط متجه الزخم عليه إيجابيًا أو سلبيًا.

قانون الحفاظ على الزخم

يمكن أن تتغير نبضات الأجسام المادية أثناء تفاعلها الجسدي. على سبيل المثال ، عندما تصطدم كرتان معلقتان على خيوط ، فإن عزمهما يتغير بشكل متبادل: يمكن أن تبدأ إحدى الكرات في التحرك من حالة ثابتة أو تزيد من سرعتها ، والأخرى ، على العكس من ذلك ، تقلل السرعة أو تتوقف. ومع ذلك ، في نظام مغلق ، أي عندما تتفاعل الأجسام مع بعضها البعض فقط ولا تتعرض لقوى خارجية ، فإن المجموع المتجه لنبضات هذه الأجسام يظل ثابتًا أثناء أي من تفاعلاتها وحركاتها. هذا هو قانون حفظ الزخم. رياضيا ، يمكن اشتقاقها من قوانين نيوتن.

ينطبق قانون حفظ الزخم أيضًا على مثل هذه الأنظمة حيث تعمل بعض القوى الخارجية على الأجسام ، لكن مجموع متجهها يساوي صفرًا (على سبيل المثال ، يتم موازنة الجاذبية بالقوة المرنة للسطح). تقليديا ، يمكن أيضًا اعتبار مثل هذا النظام مغلقًا.

في الشكل الرياضي ، تتم كتابة قانون حفظ الزخم على النحو التالي: p1 + p2 + ... + p (n) = p1 '+ p2' +… + p (n) '(الزخم p هي نواقل). بالنسبة للنظام ذي الجسمين ، تبدو هذه المعادلة مثل p1 + p2 = p1 '+ p2' ، أو m1v1 + m2v2 = m1v1 '+ m2v2'. على سبيل المثال ، في الحالة المدروسة مع الكرات ، فإن الزخم الإجمالي لكلتا الكرتين قبل التفاعل سيكون مساويًا للزخم الإجمالي بعد التفاعل.

زخم الجسم متجه الكمية المادية، وهو ما يساوي حاصل ضرب سرعة الجسم وكتلته. أيضًا ، لزخم الجسم اسم ثانٍ - مقدار الحركة. يتزامن اتجاه زخم الجسم مع اتجاه متجه السرعة. لا يحتوي زخم الجسم في نظام SI على وحدة قياس خاصة به. لذلك يقاس بالوحدات المتضمنة في تركيبته وهي كيلوجرام متر في الثانية كجم متر / ثانية.

الفورمولا 1 - دافع الجسم.

م - وزن الجسم.

v هي سرعة الجسم.

زخم الجسد ، في الواقع ، هو تفسير جديد لقانون نيوتن الثاني. حيث قاموا ببساطة بتحليل التسارع. في هذه الحالة ، كانت القيمة Ft تسمى زخم القوة ، و mv زخم الجسم.

الدافع للقوة هو كمية مادية ذات طابع متجه ، والتي تحدد درجة تأثير القوة خلال فترة زمنية تعمل خلالها.

الصيغة 2 - قانون نيوتن الثاني ، زخم الجسم.

م - وزن الجسم.

V1 - السرعة الأولية للجسم.

V2 - السرعة النهائية للجسم.

أ- تسارع الجسم.

p هو زخم الجسم.

T1 - وقت البدء

T2 - وقت الانتهاء.

تم القيام بذلك من أجل التمكن من حساب المهام المرتبطة بحركة الأجسام ذات الكتلة المتغيرة وبسرعة مماثلة لسرعة الضوء.

يجب فهم التفسير الجديد لقانون نيوتن الثاني على النحو التالي. نتيجة لتأثير القوة F خلال الوقت t على جسم كتلته m ، ستصبح سرعتها مساوية لـ V.

في نظام مغلق ، يكون حجم الزخم ثابتًا ، هكذا يبدو قانون حفظ الزخم. تذكر أن النظام المغلق هو نظام لا تعمل عليه قوى خارجية. مثال على مثل هذا النظام هو كرتان مختلفتان تتحركان على طول مسار مستقيم تجاه بعضهما البعض ، بنفس السرعة. الكرات لها نفس القطر. لا توجد قوى احتكاك أثناء الحركة. نظرًا لأن الكرات مصنوعة من مواد مختلفة ، فإن لها كتل مختلفة. لكن في الوقت نفسه ، توفر المادة مرونة مطلقة للأجسام.

نتيجة اصطدام الكرات ، سترتد الكرة الأخف وزناً بسرعة أكبر. والأثقل سوف يتراجع ببطء أكثر. نظرًا لأن زخم الجسم ، الذي يتم الإبلاغ عنه بواسطة كرة أثقل إلى كرة أخف ، يكون أكبر من الزخم الذي تمنحه كرة خفيفة إلى كرة ثقيلة.

الشكل 1 - قانون الحفاظ على الزخم.

بفضل قانون الحفاظ على الزخم ، من الممكن وصف الحركة التفاعلية. على عكس أنواع الحركة الأخرى ، لا تتطلب الحركة التفاعلية التفاعل مع الأجسام الأخرى. على سبيل المثال ، تتحرك السيارة بسبب قوة الاحتكاك ، مما يساهم في تنافرها من سطح الأرض. في الحركة النفاثة ، لا يحدث تفاعل مع الأجسام الأخرى. والسبب في ذلك هو انفصال جزء من كتلته عن الجسم بسرعة معينة. أي ، يتم فصل جزء من الوقود عن المحرك في شكل غازات متوسعة ، بينما تتحرك بسرعة كبيرة. وفقًا لذلك ، يكتسب المحرك نفسه في نفس الوقت دفعة معينة تخبره بالسرعة.

تتيح قوانين نيوتن حل العديد من المشكلات المهمة عمليًا المتعلقة بتفاعل الأجسام وحركتها. رقم ضخمترتبط مثل هذه المشكلات ، على سبيل المثال ، بإيجاد تسارع جسم متحرك ، إذا كانت جميع القوى المؤثرة على هذا الجسم معروفة. ثم يتم تحديد الكميات الأخرى بالتسارع (السرعة اللحظية ، الإزاحة ، إلخ).

لكن غالبًا ما يكون من الصعب تحديد القوى المؤثرة على الجسم. لذلك ، لحل العديد من المشاكل ، يتم استخدام كمية مادية مهمة أخرى - زخم الجسم.

• زخم الجسم p هو كمية مادية متجهة تساوي حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعته

الزخم كمية متجهة. يتزامن دائمًا اتجاه متجه زخم الجسم مع اتجاه متجه السرعة.

وحدة الزخم في النظام الدولي للوحدات هي الزخم لجسم كتلته 1 كجم يتحرك بسرعة 1 م / ث. هذا يعني أن وحدة زخم الجسم في النظام الدولي للوحدات هي 1 كجم م / ث.

عند الحساب ، يستخدمون المعادلة لإسقاطات المتجهات: p x \ u003d mv x.

اعتمادًا على اتجاه متجه السرعة فيما يتعلق بالمحور X المحدد ، يمكن أن يكون إسقاط متجه الزخم إما موجبًا أو سالبًا.

كلمة "الدافع" (الدافع) في اللاتينية تعني "الدفع". تستخدم بعض الكتب مصطلح الزخم بدلاً من الزخم.

تم إدخال هذه الكمية إلى العلم في نفس الفترة الزمنية تقريبًا عندما اكتشف نيوتن القوانين التي سُميت لاحقًا باسمه (أي في نهاية القرن السابع عشر).

عندما تتفاعل الأجسام ، يمكن أن تتغير لحظتها. يمكن التحقق من ذلك عن طريق تجربة بسيطة.

يتم تعليق كرتين من نفس الكتلة على حلقات خيطية بمسطرة خشبية مثبتة على حلقة ثلاثية الأرجل ، كما هو موضح في الشكل 44 ، أ.

أرز. 44. عرض لقانون الحفاظ على الزخم

تنحرف الكرة 2 عن العمودي بزاوية أ (الشكل 44 ، ب) ويتم إطلاقها. بالعودة إلى المركز السابق ، يضرب الكرة 1 ويتوقف. في هذه الحالة ، تتحرك الكرة 1 وتنحرف بنفس الزاوية أ (الشكل 44 ، ج).

في هذه الحالة ، من الواضح أنه نتيجة لتفاعل الكرات ، تغير زخم كل منها: بمقدار انخفاض زخم الكرة 2 ، بنفس المقدار الذي زاد فيه زخم الكرة 1.

إذا تفاعل جسمان أو أكثر مع بعضهما البعض فقط (أي أنهما غير معرضين لقوى خارجية) ، فإن هذه الأجسام تشكل نظامًا مغلقًا.

يمكن أن يتغير زخم كل من الهيئات المتضمنة في نظام مغلق نتيجة تفاعلها مع بعضها البعض. لكن

• لا يتغير مجموع المتجهات لنبضات الأجسام التي تشكل نظامًا مغلقًا بمرور الوقت لأي حركات وتفاعلات لهذه الأجسام

هذا هو قانون حفظ الزخم.

يتم أيضًا تحقيق قانون الحفاظ على الزخم إذا كانت القوى الخارجية تؤثر على أجسام النظام ، والتي يكون مجموعها المتجه يساوي صفرًا. دعونا نظهر ذلك باستخدام قوانين نيوتن الثانية والثالثة لاشتقاق قانون الحفاظ على الزخم. من أجل التبسيط ، ضع في اعتبارك نظامًا يتكون من جسمين فقط - الكرات ذات الكتل m 1 و m 2 ، والتي تتحرك بشكل مستقيم تجاه بعضها البعض بسرعتين v 1 و v 2 (الشكل 45).

أرز. 45. نظام من جسمين - كرات تتحرك في خط مستقيم تجاه بعضها البعض

يتم موازنة قوى الجاذبية المؤثرة على كل من الكرات بالقوى المرنة للسطح الذي تتدحرج عليه. وبالتالي ، يمكن تجاهل تأثير هذه القوى. إن قوى مقاومة الحركة في هذه الحالة صغيرة ، لذلك لن نأخذ بعين الاعتبار تأثيرها أيضًا. وبالتالي ، يمكننا أن نفترض أن الكرات تتفاعل مع بعضها البعض فقط.

يوضح الشكل 45 أنه بعد مرور بعض الوقت ستصطدم الكرات. أثناء الاصطدام الذي يستمر لفترة قصيرة جدًا t ، ستظهر قوى التفاعل F 1 و F 2 ، مطبقة على التوالي على الكرتين الأولى والثانية. نتيجة لعمل القوى ، ستتغير سرعات الكرات. لنحدد سرعات الكرات بعد الاصطدام بالحرفين v 1 و v 2.

وفقًا لقانون نيوتن الثالث ، تكون قوى التفاعل للكرات متساوية في القيمة المطلقة وموجهة في اتجاهين متعاكسين:

وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، يمكن استبدال كل من هذه القوى بمنتج الكتلة والتسارع الذي تتلقاه كل من الكرات أثناء التفاعل:

م 1 أ 1 \ u003d -m 2 أ 2.

التسريع ، كما تعلم ، يتم تحديده من خلال التكافؤ:

استبدال التعبيرات المقابلة في المعادلة لقوى التسارع ، نحصل على:

نتيجة لتقليل كلا الجزأين من المساواة بواسطة t ، نحصل على:

m1 (v "1 - v 1) \ u003d -m 2 (v" 2 - v 2).

نقوم بتجميع شروط هذه المعادلة على النحو التالي:

م 1 ع 1 "+ م 2 ف 2" = م 1 ع 1 = م 2 ع 2. (1)

بالنظر إلى أن mv = p ، نكتب المعادلة (1) بالشكل التالي:

الفوسفور "1 + P" 2 \ u003d P 1 + P 2. (2)

الأجزاء اليسرى من المعادلتين (1) و (2) هي الزخم الكلي للكرتين بعد تفاعلهما ، والأجزاء اليمنى هي الزخم الكلي قبل التفاعل.

هذا يعني أنه على الرغم من حقيقة أن زخم كل من الكرات قد تغير أثناء التفاعل ، فإن المجموع المتجه لعزمها بعد التفاعل ظل كما كان قبل التفاعل.

المعادلتان (1) و (2) هي السجل الرياضي لقانون حفظ الزخم.

نظرًا لأن هذه الدورة لا تتناول سوى تفاعلات الأجسام التي تتحرك على طول خط مستقيم واحد ، ثم كتابة قانون الحفاظ على الزخم في شكل عددي ، فإن معادلة واحدة كافية ، والتي تتضمن إسقاطات الكميات المتجهة على المحور X:

m 1 v "1x + m 2 v" 2x \ u003d m 1 v 1x + m 2 v 2x.

أسئلة

1. ما يسمى زخم الجسد؟
2. ماذا يمكن أن يقال عن اتجاهات متجهات الزخم وسرعة الجسم المتحرك؟
3. أخبرنا عن مسار التجربة الموضحة في الشكل 44. إلى ماذا تشير؟
4. ماذا يعني القول بأن عدة أجسام تشكل نظامًا مغلقًا؟
5. صياغة قانون الحفاظ على الزخم.
6. لنظام مغلق يتكون من جسمين ، اكتب قانون الحفاظ على الزخم في شكل معادلة تتضمن كتل وسرعات هذه الأجسام. اشرح ما يعنيه كل رمز في هذه المعادلة.

تمرين 20

1. تتحرك آليتا ألعاب الساعة ، وزن كل منهما 0.2 كجم ، في خط مستقيم تجاه بعضهما البعض. سرعة كل آلة بالنسبة للأرض هي 0.1 م / ث. هل نواقل الزخم للآلات متساوية ؛ وحدات نواقل الزخم؟ حدد إسقاط الزخم لكل آلة على المحور X بالتوازي مع مساراتها.
2. إلى أي مدى سيتغير زخم سيارة كتلتها 1 طن (بالقيمة المطلقة) عندما تتغير سرعتها من 54 إلى 72 كم / ساعة؟
3. رجل يجلس في قارب على سطح بحيرة. في مرحلة ما ، ينهض ويتنقل من مؤخرة السفينة إلى القوس. ماذا سيحدث للقارب؟ اشرح الظاهرة بناءً على قانون الحفاظ على الزخم.
4. سيارة سكة حديد تزن 35 طنًا تصل إلى سيارة ثابتة تزن 28 طنًا تقف على نفس المسار وتتزاوج معها تلقائيًا. بعد الاقتران ، تتحرك السيارات في خط مستقيم بسرعة 0.5 م / ث. كم كانت سرعة السيارة التي تزن 35 طناً قبل اقترانها؟

قوة الدافع. زخم الجسم

الكميات الأساسية الديناميكية: القوة ، الكتلة ، زخم الجسم ، لحظة القوة ، لحظة النبض.

القوة هي كمية متجهة ، وهي مقياس لعمل الأجسام أو المجالات الأخرى على جسم معين.

تتميز القوة بـ:

وحدة

اتجاه

نقطة التطبيق

في نظام SI ، تُقاس القوة بالنيوتن.

لفهم قوة نيوتن واحد ، علينا أن نتذكر أن القوة المؤثرة على الجسم تغير سرعته. بالإضافة إلى ذلك ، دعونا نتذكر القصور الذاتي للأجساد ، والذي ، كما نتذكر ، مرتبط بكتلتهم. لذا،

النيوتن الواحد هو القوة التي تغير سرعة جسم كتلته 1 كجم بمقدار 1 م / ث في كل ثانية.

أمثلة على القوى هي:

· جاذبية- القوة المؤثرة على الجسم نتيجة تفاعل الجاذبية.

· قوة مرنةهي القوة التي يقاوم بها الجسم حملًا خارجيًا. سببها هو التفاعل الكهرومغناطيسي لجزيئات الجسم.

· قوة أرخميدس- القوة المرتبطة بحقيقة أن الجسم يزيح كمية معينة من السائل أو الغاز.

· قوة رد الفعل الداعمة- القوة التي يعمل بها الدعم على الجسم الموجود عليه.

· قوة الإحتكاكهي قوة المقاومة للحركة النسبية للأسطح الملامسة للأجسام.

· قوة التوتر السطحي هي القوة التي تحدث عند السطح البيني بين وسيطين.

· وزن الجسم- القوة التي يعمل بها الجسم على دعامة أفقية أو تعليق رأسي.

وقوى أخرى.

يتم قياس القوة باستخدام جهاز خاص. هذا الجهاز يسمى مقياس الدينامومتر (الشكل 1). يتكون مقياس الدينامومتر من زنبرك 1 ، يظهر لنا امتداده القوة ، وسهم 2 ينزلق على طول مقياس 3 ، وشريط المحدد 4 ، الذي يمنع الزنبرك من التمدد كثيرًا ، وخطاف 5 ، الذي يكون الحمل عليه معلق.

أرز. 1. دينامومتر (المصدر)

يمكن للعديد من القوى التأثير على الجسم. من أجل وصف حركة الجسم بشكل صحيح ، من الملائم استخدام مفهوم القوى الناتجة.

ناتج القوى هو القوة التي يحل عملها محل عمل جميع القوى المطبقة على الجسم (الشكل 2).

من خلال معرفة قواعد العمل مع الكميات المتجهة ، من السهل تخمين أن ناتج جميع القوى المطبقة على الجسم هو المجموع المتجه لهذه القوى.

أرز. 2. محصلة تأثير قوتين على الجسم

بالإضافة إلى ذلك ، نظرًا لأننا ندرس حركة الجسم في نظام إحداثيات ما ، فمن المفيد لنا عادةً ألا ننظر إلى القوة نفسها ، بل في إسقاطها على المحور. يمكن أن يكون إسقاط القوة على المحور سالبًا أو موجبًا ، لأن الإسقاط كمية قياسية. لذلك ، يوضح الشكل 3 توقعات القوى ، وإسقاط القوة سلبي ، وإسقاط القوة موجب.

أرز. 3. إسقاطات القوى على المحور

لذلك ، من هذا الدرس ، قمنا بتعميق فهمنا لمفهوم القوة. تذكرنا وحدات قياس القوة والجهاز الذي تُقاس به القوة. بالإضافة إلى ذلك ، فقد درسنا ما هي القوى الموجودة في الطبيعة. أخيرًا ، تعلمنا كيفية التصرف إذا كانت هناك عدة قوى تؤثر على الجسم.

وزن، وهي كمية فيزيائية ، وهي إحدى الخصائص الرئيسية للمادة ، والتي تحدد خصائصها بالقصور الذاتي والجاذبية. وفقًا لذلك ، يتم تمييز الكتلة بالقصور الذاتي وكتلة الجاذبية (الثقيلة ، الجاذبية).

تم تقديم مفهوم الكتلة إلى الميكانيكا بواسطة I.Newton. في ميكانيكا نيوتن الكلاسيكية ، يتم تضمين الكتلة في تعريف الزخم (الزخم) للجسم: الزخم صيتناسب مع سرعة الجسم الخامس, ع = مف(1). معامل التناسب هو قيمة ثابتة لجسم معين م- وهنالك كتلة الجسم. يتم الحصول على تعريف مكافئ للكتلة من معادلة حركة الميكانيكا الكلاسيكية و = أماه(2). هنا الكتلة هي معامل التناسب بين القوة المؤثرة على الجسم Fوتسارع الجسم بسببه أ. يتم تعريفها بواسطة العلاقات (1) و (2) تسمى الكتلة بالقصور الذاتي أو الكتلة بالقصور الذاتي ؛ إنه يميز الخصائص الديناميكية للجسم ، وهو مقياس لقصور الجسم: عند القوة الثابتة ، كلما زادت كتلة الجسم ، قلت التسارع الذي يكتسبه ، أي كلما كانت حالة حركته أبطأ ( زيادة الجمود).

يتصرف على مختلف الهيئاتبنفس القوة وقياس تسارعها ، من الممكن تحديد نسب كتلة هذه الأجسام: م 1: م 2: م 3 ... = أ 1: أ 2: أ 3 ...؛ إذا تم أخذ إحدى الكتل كوحدة قياس ، فيمكن للمرء أن يجد كتلة الأجسام المتبقية.

في نظرية الجاذبية لنيوتن ، تظهر الكتلة في شكل مختلف - كمصدر لحقل الجاذبية. يخلق كل جسم مجال جاذبية يتناسب مع كتلة الجسم (ويتأثر بمجال الجاذبية الذي أنشأته أجسام أخرى ، وتتناسب قوته أيضًا مع كتلة الأجسام). هذا المجال يسبب جاذبية أي جسم آخر ل هذا الجسمبقوة يحددها قانون الجاذبية لنيوتن:

(3)

أين ص- المسافة بين الجثث ، جي- ثابت الجاذبية الكوني ، أ م 1و م 2- الجماهير الجذابة. من الصيغة (3) من السهل الحصول على صيغة لـ وزن صجثث الكتلة مفي مجال جاذبية الأرض: P = ملغ (4).

هنا ز \ u003d G * M / r 2- التسريع السقوط الحرفي مجال جاذبية الأرض ، و ص » ص- نصف قطر الأرض. الكتلة التي تحددها العلاقات (3) و (4) تسمى كتلة الجاذبية للجسم.

من حيث المبدأ ، لا يتبع من أي مكان أن الكتلة التي تخلق مجال الجاذبية تحدد القصور الذاتي للجسم نفسه. ومع ذلك ، فقد أظهرت التجربة أن الكتلة بالقصور الذاتي وكتلة الجاذبية متناسبة مع بعضهما البعض (ومع الاختيار المعتاد لوحدات القياس فإنهما متساويتان عدديًا). يسمى هذا القانون الأساسي للطبيعة مبدأ التكافؤ. يرتبط اكتشافه باسم G.Galileo ، الذي أثبت أن جميع الأجسام على الأرض تسقط بنفس التسارع. أ. وضع أينشتاين هذا المبدأ (الذي صاغه لأول مرة) في أساس النظرية العامة للنسبية. تم تأسيس مبدأ التكافؤ تجريبياً بدقة عالية جداً. لأول مرة (1890-1906) تم إجراء فحص دقيق للمساواة بين كتل القصور الذاتي والجاذبية بواسطة L. Eötvös ، الذي وجد أن الجماهير تتزامن مع خطأ ~ 10 -8. في 1959-1964 ، قام الفيزيائيون الأمريكيون آر ديك وكروتكوف وبي رول بتقليل الخطأ إلى 10-11 ، وفي عام 1971 قام الفيزيائيان السوفييت في بي براغينسكي وفي آي بانوف بتقليل الخطأ إلى 10-12.

يتيح مبدأ التكافؤ الطريقة الأكثر طبيعية لتحديد وزن الجسم عن طريق الوزن.

في البداية ، تم اعتبار الكتلة (على سبيل المثال ، من قبل نيوتن) كمقياس لكمية المادة. مثل هذا التعريف له معنى واضح فقط لمقارنة الأجسام المتجانسة المبنية من نفس المادة. إنه يؤكد على الجمع بين الكتلة - كتلة الجسم تساوي مجموع الجماهير من أجزائه. تتناسب كتلة الجسم المتجانس مع حجمه ، لذا يمكننا تقديم مفهوم الكثافة - الكتلة لكل وحدة حجم من الجسم.

في الفيزياء الكلاسيكية ، كان يعتقد أن كتلة الجسم لا تتغير في أي عملية. يتوافق هذا مع قانون حفظ الكتلة (المادة) ، الذي اكتشفه إم في لومونوسوف وأل لافوازييه. على وجه الخصوص ، نص هذا القانون على أنه في أي تفاعل كيميائي ، يكون مجموع كتل المكونات الأولية مساويًا لمجموع كتل المكونات النهائية.

اكتسب مفهوم الكتلة معنى أعمق في ميكانيكا نظرية النسبية الخاصة لأينشتاين ، والتي تنظر في حركة الأجسام (أو الجسيمات) بسرعات عالية جدًا - يمكن مقارنتها بسرعة الضوء التي تبلغ حوالي 10 10 سم / ثانية. في الميكانيكا الجديدة - تسمى الميكانيكا النسبية - العلاقة بين الزخم وسرعة الجسيمات من خلال:

(5)

بسرعات منخفضة ( الخامس << ج) تصبح هذه العلاقة هي العلاقة النيوتونية ع = مف. لذلك ، القيمة م 0تسمى كتلة الراحة ، وكتلة الجسيم المتحرك ميُعرَّف بأنه عامل التناسب الذي يعتمد على السرعة بين صو الخامس:

(6)

مع الأخذ في الاعتبار ، على وجه الخصوص ، هذه الصيغة ، يقولون أن كتلة الجسيم (الجسم) تزداد بزيادة سرعتها. يجب أن تؤخذ هذه الزيادة النسبية في كتلة الجسيم مع زيادة سرعته في الاعتبار عند تصميم مسرعات الجسيمات المشحونة عالية الطاقة. الراحة م 0(الكتلة في الإطار المرجعي المرتبط بالجسيم) هي أهم خاصية داخلية للجسيم. جميع الجسيمات الأولية لها قيم محددة بدقة م 0متأصل في هذا النوع من الجسيمات.

وتجدر الإشارة إلى أنه في الميكانيكا النسبية ، فإن تعريف الكتلة من معادلة الحركة (2) لا يعادل تعريف الكتلة كعامل تناسب بين الزخم وسرعة الجسيم ، حيث يتوقف التسارع عن أن يكون. بالتوازي مع القوة التي تسببت في ذلك وتبين أن الكتلة تعتمد على اتجاه سرعة الجسيم.

وفقًا لنظرية النسبية ، كتلة الجسيم مالمرتبطة بطاقتها هنسبة:

(7)

تحدد الكتلة الباقية الطاقة الداخلية للجسيم - ما يسمى طاقة الراحة E 0 \ u003d م 0 ث 2. وبالتالي ، ترتبط الطاقة دائمًا بالكتلة (والعكس صحيح). لذلك ، لا يوجد بشكل منفصل (كما في الفيزياء الكلاسيكية) قانون حفظ الكتلة وقانون الحفاظ على الطاقة - تم دمجهما في قانون واحد لحفظ الطاقة الكلية (أي بما في ذلك الطاقة المتبقية للجسيمات). التقسيم التقريبي إلى قانون حفظ الطاقة وقانون حفظ الكتلة ممكن فقط في الفيزياء الكلاسيكية ، عندما تكون سرعات الجسيمات صغيرة ( الخامس << ج) ولا تحدث عمليات تحول الجسيمات.

في الميكانيكا النسبية ، الكتلة ليست خاصية مضافة للجسم. عندما يتحد جسيمان لتشكيل حالة مستقرة مركبة واحدة ، عندها يتم إطلاق فائض من الطاقة (يساوي طاقة الربط) D ه، والذي يتوافق مع الكتلة د م =د E / ج 2. لذلك ، فإن كتلة الجسيم المركب أقل من مجموع كتل الجسيمات المكونة له بالقيمة D E / ج 2(ما يسمى عيب الكتلة). هذا التأثير واضح بشكل خاص في التفاعلات النووية. على سبيل المثال ، كتلة الديوترون ( د) أقل من مجموع كتل البروتون ( ص) والنيوترون ( ن) ؛ عيب الكتلة د مالمرتبطة بالطاقة ه زجاما كوانتوم ( ز) ، الذي يولد أثناء تكوين الديوترون: ص + ن -> د + ز, E g = Dmc 2. عيب الكتلة ، الذي يحدث أثناء تكوين الجسيم المركب ، يعكس الارتباط العضوي بين الكتلة والطاقة.

وحدة الكتلة في نظام CGS للوحدات هي غرام، و في النظام الدولي للوحدات SI - كيلوغرام. تقاس كتلة الذرات والجزيئات عادة بوحدات الكتلة الذرية. عادة ما يتم التعبير عن كتلة الجسيمات الأولية إما بوحدات كتلة الإلكترون أنا، أو في وحدات الطاقة ، مما يشير إلى الطاقة الباقية للجسيم المقابل. إذن ، كتلة الإلكترون 0.511 ميغا إلكترون فولت ، وكتلة البروتون 1836.1 أنا، أو 938.2 MeV ، إلخ.

تعد طبيعة الكتلة واحدة من أهم المشكلات التي لم يتم حلها في الفيزياء الحديثة. من المقبول عمومًا أن كتلة الجسيم الأولي تحددها المجالات المرتبطة بها (الكهرومغناطيسية والنووية وغيرها). ومع ذلك ، فإن النظرية الكمية للكتلة لم يتم إنشاؤها بعد. لا توجد أيضًا نظرية تشرح سبب تكوين كتل الجسيمات الأولية طيفًا منفصلاً من القيم ، وحتى أكثر من ذلك ، تسمح بتحديد هذا الطيف.

في الفيزياء الفلكية ، تحدد كتلة الجسم التي تخلق مجال الجاذبية ما يسمى نصف قطر الجاذبية للجسم R gr \ u003d 2GM / s 2. بسبب جاذبية الجاذبية ، لا يمكن لأي إشعاع ، بما في ذلك الضوء ، أن يخرج إلى ما وراء سطح الجسم بنصف قطر ص =< R гр . ستكون النجوم بهذا الحجم غير مرئية ؛ ومن ثم أطلقوا عليها اسم "الثقوب السوداء". يجب أن تلعب هذه الأجرام السماوية دورًا مهمًا في الكون.

قوة الدافع. زخم الجسم

تم تقديم مفهوم الزخم في النصف الأول من القرن السابع عشر من قبل رينيه ديكارت ، ثم صقله إسحاق نيوتن. وفقًا لنيوتن ، الذي أطلق على الزخم الزخم ، فهو مقياس لمثل هذا ، يتناسب مع سرعة الجسم وكتلته. التعريف الحديث: زخم الجسم هو كمية فيزيائية تساوي حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعتها:

بادئ ذي بدء ، من الصيغة أعلاه ، يمكن ملاحظة أن الزخم عبارة عن كمية متجهية ويتزامن اتجاهها مع اتجاه سرعة الجسم ، ووحدة الزخم هي:

= [كجم م / ث]

دعونا نفكر في كيفية ارتباط هذه الكمية المادية بقوانين الحركة. لنكتب قانون نيوتن الثاني ، بالنظر إلى أن التسارع هو تغيير في السرعة بمرور الوقت:

هناك علاقة بين القوة المؤثرة على الجسم ، وبصورة أدق ، القوة المحصلة والتغير في زخمه. يُطلق على مقدار حاصل ضرب القوة خلال فترة من الزمن نبضة القوة.من الصيغة أعلاه ، يمكن ملاحظة أن التغيير في زخم الجسم يساوي زخم القوة.

ما هي التأثيرات التي يمكن وصفها باستخدام هذه المعادلة (الشكل 1)؟

أرز. 1. العلاقة بين اندفاع القوة وزخم الجسم (المصدر)

أطلق سهم من قوس. كلما طالت مدة ملامسة الوتر مع السهم (∆t) ، زاد التغيير في زخم السهم (∆) ، وبالتالي زادت سرعته النهائية.

كرتان متصادمتان. عندما تكون الكرات على اتصال ، فإنها تعمل على بعضها البعض بقوة متساوية ، كما يعلمنا قانون نيوتن الثالث. هذا يعني أن التغييرات في عزمها يجب أن تكون متساوية أيضًا في القيمة المطلقة ، حتى لو كانت كتل الكرات غير متساوية.

بعد تحليل الصيغ ، يمكن استخلاص استنتاجين مهمين:

1. نفس القوى التي تعمل لنفس الفترة الزمنية تسبب نفس التغيرات في الزخم لأجسام مختلفة ، بغض النظر عن كتلة الأخيرة.

2. يمكن تحقيق نفس التغيير في زخم الجسم إما عن طريق العمل بقوة صغيرة لفترة طويلة من الزمن ، أو من خلال العمل لفترة قصيرة بقوة كبيرة على نفس الجسم.

وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، يمكننا أن نكتب:

∆t = ∆ = ∆ / t

نسبة التغير في زخم الجسم إلى الفترة الزمنية التي حدث خلالها هذا التغيير تساوي مجموع القوى المؤثرة على الجسم.

بعد تحليل هذه المعادلة ، نرى أن قانون نيوتن الثاني يسمح لنا بتوسيع فئة المشكلات التي يتعين حلها وتضمين المشكلات التي تتغير فيها كتلة الأجسام بمرور الوقت.

إذا حاولنا حل المشكلات ذات الكتلة المتغيرة من الأجسام باستخدام الصيغة المعتادة لقانون نيوتن الثاني:

ثم محاولة مثل هذا الحل قد يؤدي إلى خطأ.

مثال على ذلك هو الطائرة النفاثة أو الصاروخ الفضائي الذي سبق ذكره ، والذي ، عند التحرك ، يحرق الوقود ، ويتم إلقاء منتجات هذه المواد المحترقة في الفضاء المحيط. بطبيعة الحال ، تقل كتلة الطائرة أو الصاروخ مع استهلاك الوقود.

لحظة من القوة- الكمية التي تميز تأثير دوران القوة ؛ له أبعاد ناتج الطول والقوة. يميز لحظة القوةبالنسبة إلى المركز (النقطة) والمتعلقة بالمحور.

آنسة. نسبة إلى المركز عنمُسَمًّى كمية ناقلات م 0 ، يساوي حاصل الضرب المتجه لمتجه نصف القطر ص نفذت من اإلى حد تطبيق القوة F ، للقوة م 0 = [الترددات اللاسلكية ] أو في تدوين آخر م 0 = ص F (أرز.). عدديا M. s. يساوي حاصل ضرب معامل القوة والذراع ح، أي طول العمود المتعامد انخفض من عنإلى خط عمل القوة ، أو ضعف المنطقة

مثلث مبني على المركز اوالقوة:

موجه موجه م 0 عموديًا على المستوى المار او F . الجانب الذي ستذهب إليه م 0 ، يتم اختياره بشروط ( م 0 - ناقل محوري). مع نظام الإحداثيات الصحيح ، المتجه م 0 يتم توجيهه في الاتجاه الذي يظهر منه الدوران الناتج عن القوة في عكس اتجاه عقارب الساعة.

آنسة. حول محور z-rev. العددية متساوي الإسقاط على المحور ضناقلات M. عن أي مركز عنمأخوذة على هذا المحور. قيمة ميمكن تعريفه أيضًا على أنه إسقاط على مستوى هوعمودي على المحور ع ، مساحة المثلث OABأو كلحظة من الإسقاط Fxyقوة F الى الطائرة هو، مأخوذ بالنسبة لنقطة تقاطع المحور z مع هذا المستوى. ل.،

في آخر تعبيرين لـ M. s. تعتبر موجبة عند دوران القوة Fxyمرئي من إيجابي نهاية المحور z عكس اتجاه عقارب الساعة (في نظام الإحداثيات الصحيح). آنسة. نسبة إلى محاور الإحداثيات Oxyzيمكن أيضًا حسابها عن طريق التحليل. f- لام:

أين و س ، و ص ، و ض- قوة الإسقاطات F على محاور الإحداثيات س ، ص ، ض- إحداثيات النقطة أتطبيق القوة. كميات م س ، م ص ، م ضتساوي إسقاطات المتجه م 0 على محاور الإحداثيات.