Näitame, kuidas saate kiiruse ja aja graafiku abil leida keha läbitud tee.
Alustame kõige lihtsamast juhtumist – ühtlasest liikumisest. Joonis 6.1 näitab v(t) - kiiruse ja aja graafikut. See on aja baasiga paralleelse sirge lõik, kuna ühtlase liikumise korral on kiirus konstantne.
Selle graafiku all olev joonis on ristkülik (joonisel on see varjutatud). Selle pindala on arvuliselt võrdne kiiruse v ja liikumisaja t korrutisega. Teisest küljest on korrutis vt võrdne keha läbitud teekonnaga l. Seega ühtlase liikumisega
numbriliselt võrdne pindalaga joonis, mis on lisatud kiiruse ajast sõltuvuse graafiku alla.
Näitame nüüd, et ka ebaühtlasel liikumisel on see tähelepanuväärne omadus.
Olgu näiteks kiiruse ja aja graafik välja nagu joonisel 6.2 kujutatud kõver. 
Jaotagem mõtteliselt kogu liikumisaeg nii väikesteks intervallideks, et iga nende jooksul võib keha liikumist pidada peaaegu ühtlaseks (seda jaotust on joonisel 6.2 näidatud katkendjoontega).
Siis on iga sellise intervalli läbitud tee numbriliselt võrdne graafiku vastava tüki all oleva joonise pindalaga. Seetõttu on kogu tee võrdne kogu graafiku all olevate jooniste pindalaga. (Meie kasutatud tehnika on integraalarvutuse aluseks, mille põhitõdesid saate teada kursusel "Arvutuse algus".)
2. Teekond ja nihkumine sirgjoonelisel ühtlaselt kiirendatud liikumisel
Kasutame nüüd ülalkirjeldatud meetodit sirgjoonelise ühtlaselt kiirendatud liikumise tee leidmiseks.
Keha algkiirus on null
Suuname x-telje keha kiirenduse poole. Siis a x = a, v x = v. Järelikult
Joonis 6.3 näitab v(t) graafikut. 
1. Tõesta joonise 6.3 abil, et sirgjoonelise ühtlaselt kiirendatud liikumisel ilma algkiiruseta on tee l väljendatud kiirendusmooduli a ja liikumisaja t kaudu valemiga
l = at2/2. (2)
Peamine järeldus:
sirgjoonelisel ühtlaselt kiirendatud liikumisel ilma algkiiruseta on keha läbitav tee võrdeline liikumisaja ruuduga.
See ühtlaselt kiirendatud liikumine erineb oluliselt ühtlasest.
Joonisel 6.4 on kujutatud tee ja aja graafikud kahe keha jaoks, millest üks liigub ühtlaselt ja teine ühtlaselt kiirendatud ilma algkiiruseta. 
2. Vaata joonist 6.4 ja vasta küsimustele.
a) Mis värvi on ühtlaselt kiirendatud keha graafik?
b) Mis on selle keha kiirendus?
c) Millised on kehade kiirused hetkel, kui nad on läbinud sama tee?
d) Millisel ajahetkel on kehade kiirused võrdsed?
3. Alustades läbis auto esimese 4 sekundiga 20 m. Arvestage auto liikumist sirgjoonelise ja ühtlase kiirendusega. Ilma auto kiirendust arvutamata määrake, kui kaugele auto sõidab:
a) 8 sekundi pärast? b) 16 sekundi pärast? c) 2 sekundi pärast?
Leiame nüüd nihkeprojektsiooni s x sõltuvuse ajast. Sel juhul on kiirenduse projektsioon x-teljel positiivne, seega s x = l, a x = a. Seega tuleneb valemist (2):
s x \u003d a x t 2 /2. (3)
Valemid (2) ja (3) on väga sarnased, mis mõnikord põhjustab lahendamisel vigu lihtsaid ülesandeid. Asi on selles, et nihke projektsiooni väärtus võib olla negatiivne. Nii on see siis, kui x-telg on suunatud nihkele vastassuunas: siis s x< 0. А путь отрицательным быть не может!
4. Joonisel 6.5 on kujutatud mõne keha sõiduaja ja nihke projektsiooni graafikuid. Mis värvi on nihke projektsioonigraafik?
Keha algkiirus ei ole null
Tuletame meelde, et sel juhul väljendatakse kiiruse projektsiooni sõltuvust ajast valemiga
v x = v 0x + a x t, (4)
kus v 0x on algkiiruse projektsioon x-teljele.
Edasi vaatleme juhtumit, kui v 0x > 0, a x > 0. Sel juhul saame taas kasutada tõsiasja, et teekond on arvuliselt võrdne kiiruse ja aja graafiku all oleva joonise pindalaga. (Kaaluge iseseisvalt muid algkiiruse ja kiirenduse projektsiooni märkide kombinatsioone: tulemus on sama üldine valem (5).
Joonis 6.6 näitab v x (t) graafikut, kui v 0x > 0, a x > 0. 
5. Tõestage joonise 6.6 abil, et algkiirusega sirgjoonelise ühtlaselt kiirendatud liikumise korral on nihke projektsioon
s x \u003d v 0x + a x t 2 /2. (5)
See valem võimaldab leida keha x-koordinaadi sõltuvuse ajast. Tuletame meelde (vt valem (6), § 2), et keha koordinaat x on seotud tema nihke s x projektsiooniga seose kaudu
s x \u003d x - x 0,
kus x 0 on keha algkoordinaat. Järelikult
x = x 0 + s x , (6)
Valemitest (5), (6) saame:
x = x 0 + v 0x t + a x t 2 /2. (7)
6. Koordinaadi sõltuvus ajast mõne piki x-telge liikuva keha puhul väljendatakse SI ühikutes valemiga x = 6 – 5t + t 2 .
a) Mis on keha algkoordinaat?
b) Milline on algkiiruse projektsioon x-teljel?
c) Milline on kiirenduse projektsioon x-teljel?
d) Joonistage x-koordinaadi ja aja graafik.
e) Joonistage graafik kiiruse ja aja projektsioonist.
e) Millal võrdub keha kiirus nulliga?
g) Kas keha naaseb lähtepunkti? Kui jah, siis mis ajahetkel?
h) Kas keha läbib lähtepunkti? Kui jah, siis mis ajahetkel?
i) Joonistage nihke projektsiooni ja aja graafik.
j) Joonistage tee ja aja graafik.
3. Teekonna ja kiiruse seos
Ülesannete lahendamisel kasutatakse sageli seost tee, kiirenduse ja kiiruse vahel (algne v 0 , lõpp v või mõlemad). Tuletame need seosed. Alustame liikumisest ilma algkiiruseta. Valemist (1) saame liikumisaja jaoks:
Asendame selle avaldise tee valemiga (2):
l = 2 / 2 \u003d a / 2 (v / a) 2 \u003d v 2 / 2a. (9)
Peamine järeldus:
sirgjoonelisel ühtlaselt kiirendatud liikumisel ilma algkiiruseta on keha läbitav tee võrdeline lõppkiiruse ruuduga.
7. Peatusest alustades saavutas auto 40 m teekonnal kiiruse 10 m/s.Vaata auto liikumist sirgjooneliseks ja ühtlaselt kiirendatuks. Ilma auto kiirendust arvutamata määrake, millise vahemaa läbis auto liikumise algusest, kui selle kiirus oli võrdne: a) 20 m/s? b) 40 m/s? c) 5 m/s?
Seost (9) saab ka siis, kui meeles pidada, et tee on arvuliselt võrdne kiiruse ajast sõltuvuse graafiku all oleva joonise pindalaga (joonis 6.7). 
See kaalutlus aitab teil järgmise ülesandega hõlpsasti toime tulla.
8. Kasutades joonist 6.8, tõestage, et pideva kiirendusega pidurdamisel peatub keha teekonnal l t \u003d v 0 2 / 2a, kus v 0 on keha algkiirus, a on kiirendusmoodul.
Pidurdamise korral sõidukit(auto, rong) täieliku peatumiseni läbitud teed nimetatakse pidurdusteekonnaks. Pange tähele: pidurdusteekond algkiirusel v 0 ja kiirendusel paigalt kiiruseni v 0 läbitud teekond sama kiirendusega a moodul on samad.
9. Kuival teekattel hädapidurdamisel on auto kiirendus moodul 5 m/s 2 . Kui suur on auto peatumisteekond algkiirusel: a) 60 km/h (suurim lubatud kiirus linnas); b) 120 km/h? Leia peatumisteekond jää ajal näidatud kiirustel, kui kiirendusmoodul on 2 m/s 2 . Võrrelge leitud peatumisteekondi klassiruumi pikkusega.
10. Kasutades joonist 6.9 ja valemit, mis väljendab trapetsi pindala selle kõrguse ja poole aluste summana, tõestage, et sirgjoonelise ühtlaselt kiirendatud liikumisega:
a) l \u003d (v 2 - v 0 2) / 2a, kui keha kiirus suureneb;
b) l \u003d (v 0 2 - v 2) / 2a, kui keha kiirus väheneb.
11. Tõesta, et nihke, alg- ja lõppkiiruse ning kiirenduse projektsioonid on seotud seosega
s x \u003d (v x 2 - v 0x 2) / 2ax (10)
12. Auto 200 m teekonnal kiirendas kiiruselt 10 m/s 30 m/s.
a) Kui kiiresti auto liikus?
b) Kui kaua kulus autol näidatud vahemaa läbimiseks?
c) Kui suur on auto keskmine kiirus?
Lisaküsimused ja ülesanded
13. Viimane vagun haagitakse liikuva rongi küljest lahti, misjärel rong liigub ühtlaselt ning vagun liigub pideva kiirendusega kuni täieliku peatumiseni.
a) Joonistage ühele joonisele rongi ja auto kiiruse ja aja graafikud.
b) Mitu korda on auto läbitud vahemaa peatuseni väiksem kui rongi sama aja jooksul läbitud vahemaa?
14. Jaamast väljudes sõitis rong mõnda aega ühtlaselt, seejärel 1 minut - ühtlaselt kiirusega 60 km/h, seejärel kiirendas uuesti ühtlaselt järgmises jaamas peatumiseni. Kiirendusmoodulid kiirenduse ja aeglustamise ajal olid erinevad. Rong sõitis jaamade vahel 2 minutiga.
a) Joonistage skemaatiline diagramm rongi kiiruse projektsiooni sõltuvusest ajast.
b) Leia selle graafiku abil jaamade vaheline kaugus.
c) Millise vahemaa läbiks rong, kui tee esimesel lõigul kiirendaks ja teisel aeglustaks? Mis oleks selle maksimaalne kiirus?
15. Keha liigub ühtlaselt piki x-telge. Algmomendil oli see koordinaatide alguspunktis ja selle kiiruse projektsioon oli 8 m/s. 2 sekundi pärast võrdus keha koordinaat 12 m-ga.
a) Milline on keha kiirenduse projektsioon?
b) Graafik v x (t).
c) Kirjutage valem, mis väljendab sõltuvust x(t) SI ühikutes.
d) Kas keha kiirus on null? Kui jah, siis mis ajahetkel?
e) Kas keha külastab teist korda punkti, mille koordinaat on 12 m? Kui jah, siis mis ajahetkel?
f) Kas keha naaseb lähtepunkti? Kui jah, siis mis ajahetkel ja milline on läbitud vahemaa?
16. Pärast tõuget veereb pall mööda kaldtasapinda üles, misjärel naaseb lähtepunkti. Kaugus b alguspunktist külastas pall pärast tõuget ajavahemike t 1 ja t 2 järel kaks korda. Kaldtasapinnal üles-alla liikus pall sama kiirendusmooduliga.
a) Suunake x-telg mööda kaldtasapinda üles, valige kuuli lähteasendi punktis alguspunkt ja kirjutage sõltuvust x(t) väljendav valem, mis sisaldab kuuli algkiiruse moodulit v0 ja kuuli kiirenduse moodul a.
b) Kasutades seda valemit ja asjaolu, et pall oli ajahetkedel t 1 ja t 2 lähtepunktist kaugusel b, koostage kahest võrrandist koosnev süsteem kahe tundmatuga v 0 ja a.
c) Olles lahendanud selle võrrandisüsteemi, väljendage v 0 ja a kuni b, t 1 ja t 2.
d) Väljendage kogu palli läbitud teekond b, t 1 ja t 2 kaudu.
e) Leidke arvväärtused v 0 , a ja l, kui b = 30 cm, t 1 = 1 s, t 2 = 2 s.
f) Joonistage v x (t), s x (t), l(t) sõltuvused.
g) Kasutage sx(t) graafikut, et määrata hetk, mil kuuli nihkemoodul oli maksimaalne.
B2. Vastavalt kiiruse projektsiooni ajast sõltuvuse graafikutele (joonis 1) määrake iga keha jaoks:
a) algkiiruse projektsioon;
b) kiiruse projektsioon 2 s pärast;
c) kiirenduse projektsioon;
d) kiiruse projektsiooni võrrand;
e) millal võrdub kehade kiiruse projektsioon 6 m/s?
Lahendus
a) Määrake iga keha jaoks algkiiruse projektsioon.Graafiline viis. Graafiku järgi leiame graafikute ja teljega ristumispunktide kiiruste projektsioonide väärtused 0υ x(Joonisel 2a on need punktid esile tõstetud):
υ 01x = 0; υ 02x= 5 m/s; υ 03x= 5 m/s.
B) Määrake iga keha jaoks kiiruse projektsioon 2 sekundi pärast.
Graafiline viis. Graafiku järgi leiame graafikute ja teljega tõmmatud risti lõikepunktide kiiruste projektsioonide väärtused 0t punktis t= 2 s (joonisel 2b on need punktid esile tõstetud):
υ 1x(2 s) = 6 m/s; υ 2x(2 s) = 5 m/s; υ 3x(2 s) = 3 m/s.
Analüütiline meetod. Koostage kiiruse projektsiooni võrrand ja kasutage seda kiiruse väärtuse määramiseks t= 2 s (vt punkt d).
C) Määrake iga keha jaoks kiirenduse projektsioon.
Graafiline viis. Kiirenduse projektsioon \(~a_x = \tan \alpha = \frac(\Delta \upsilon)(\Delta t) = \frac(\upsilon_2 - \upsilon_1)(t_2-t_1)\) , kus α on graafik telgedeks 0t; Δ t = t 2 – t 1 - meelevaldne ajavahemik; Δ υ = υ 2 – υ 1 - kiiruse intervall, mis vastab ajaintervallile Δ t = t 2 – tüks . Kiirenduse väärtuse arvutuste täpsuse suurendamiseks valime iga graafiku jaoks maksimaalse võimaliku ajaintervalli ja vastavalt ka maksimaalse võimaliku kiiruse intervalli.
Graafiku 1 jaoks: olgu t 2 = 2 s, t 1 = 0, siis υ 2 = 6 m/s, υ 1 = 0 ja a 1x \u003d (6 m / s - 0) / (2 s - 0) \u003d 3 m / s 2 (joonis 3 a).
Graafiku 2 jaoks: olgu t 2 = 6 s, t 1 = 0, siis υ 2 = 5 m/s, υ 1 = 5 m/s ja a 2x = (5 m/s - 5 m/s)/(6 s - 0) = 0 (joonis 3b).
Graafiku 3 jaoks: olgu t 2 = 5 s, t 1 = 0, siis υ 2 = 0, υ 1 = 5 m/s ja a 3x \u003d (0 - 5 m / s) / (4 s - 0) \u003d -1 m / s 2 (joonis 3 c).
Analüütiline meetod. Kirjutame sisse kiiruse projektsiooni võrrandi üldine vaade υ x = υ 0x + a x · t. Kasutades algkiiruse projektsiooni väärtusi (vt punkt a) ja kiiruse projektsiooni at t= 2 s (vt lõiku b), leiame kiirenduse projektsiooni väärtuse\[~a_x = \frac(\upsilon_x - \upsilon_(0x))(t)\] .
D) Määrake iga keha jaoks kiiruse projektsiooni võrrand.
Üldine kiirusprojektsiooni võrrand on järgmine: υ x = υ 0x + a x · t. Diagrammi 1 jaoks: kuna υ 01x = 0, a 1x\u003d 3 m/s 2, siis υ 1x= 3 t. Kontrollime punkti b: υ 1x(2 s) = 3 2 = 6 (m/s), mis vastab vastusele.
Graafiku 2 jaoks: kuna υ 02x= 5 m/s, a 2x= 0, siis υ 2x= 5. Märkige üksus b: υ 2x(2 s) = 5 (m/s), mis vastab vastusele.
Diagrammi 3 jaoks: kuna υ 03x= 5 m/s, a 3x\u003d -1 m/s 2, siis υ 3x= 5-1 t = 5 – t. Kontrollime punkti b: υ 3x(2 s) = 5 - 1 2 = 3 (m/s), mis vastab vastusele.
E) Määrake, millal on kehade kiiruse projektsioon 6 m / s?
Graafiline viis. Graafiku järgi leiame teljega tõmmatud ristiga graafikute lõikepunktide ajaväärtused 0υ x punktis υ x= 6 m/s (joonisel 4 on need punktid esile tõstetud): t 1 (6 m/s) = 2 s; t 3 (6 m/s) = -1 s.
Graafik 2 on paralleelne ristiga, mistõttu keha 2 kiirus ei ole kunagi võrdne 6 m/s.
Analüütiline meetod. Kirjutage iga keha kiiruse projektsiooni võrrand ja leidke, millisel ajaväärtusel t, muutub kiirus võrdseks 6 m/s.
« Füüsika – 10. klass
Mis vahe on ühtlasel liikumisel ja ühtlaselt kiirendatud liikumisel?
Mis vahe on ühtlaselt kiirendatud liikumise teegraafikul ja ühtlase liikumise teegraafikul?
Mida nimetatakse vektori projektsiooniks mis tahes teljel?
Ühtlase sirgjoonelise liikumise korral saab kiiruse määrata koordinaatide ja aja graafiku järgi.
Kiiruse projektsioon on arvuliselt võrdne sirge x(t) ja x-telje kalde puutujaga. Sel juhul, mida suurem on kiirus, seda suurem on kaldenurk.
Sirgjooneline ühtlaselt kiirendatud liikumine.
Joonisel 1.33 on näidatud kiirenduse projektsiooni sõltuvuse graafikud ajast kolme jaoks erinevad väärtused kiirendus punkti sirgjoonelisel ühtlaselt kiirendatud liikumisel. Need on sirgjooned, mis on paralleelsed x-teljega: a x = const. Graafikud 1 ja 2 vastavad liikumisele, kui kiirendusvektor on suunatud piki OX-telge, graafik 3 - kui kiirendusvektor on suunatud OX-teljega vastassuunas.
Ühtlaselt kiirendatud liikumise korral sõltub kiiruse projektsioon lineaarselt ajast: υ x = υ 0x + a x t. Joonisel 1.34 on näidatud selle sõltuvuse graafikud nende kolme juhtumi puhul. Sel juhul on punkti algkiirus sama. Analüüsime seda diagrammi.
Kiirenduse projektsioon Graafikult on näha, et mida suurem on punkti kiirendus, seda suurem on sirge kaldenurk t-telje suhtes ja vastavalt sellele suurem on kaldenurga puutuja, mis määrab väärtuse. kiirendusest.
Sama aja jooksul erinevatel kiirendustel muutub kiirus erinevate väärtuste võrra.
Kiirenduse projektsiooni positiivse väärtuse korral sama ajavahemiku jooksul suureneb kiiruse projektsioon juhul 2 2 korda kiiremini kui juhul 1. Kiirenduse projektsiooni negatiivse väärtuse korral OX-teljel muutub kiiruse projektsiooni moodul sama palju väärtus nagu juhul 1, kuid kiirus väheneb.
Juhtumite 1 ja 3 puhul langevad kiirusmooduli sõltuvuse ajast graafikud kokku (joonis 1.35).
Kiiruse ja aja graafiku abil (joonis 1.36) leiame punkti koordinaadi muutuse. See muutus on arvuliselt võrdne varjutatud trapetsi pindalaga, antud juhul koordinaatide muutus 4 jaoks, mille Δx = 16 m.
Leidsime koordinaatide muutuse. Kui teil on vaja leida punkti koordinaat, peate leitud arvule lisama selle algväärtuse. Olgu algsel ajahetkel x 0 \u003d 2 m, siis punkti koordinaadi väärtus Sel hetkel aeg 4 s võrdub 18 m. Sel juhul on nihkemoodul võrdne punkti läbitud teekonnaga või selle koordinaatide muutusega, st 16 m.
Kui liikumine on ühtlaselt aeglustunud, võib punkt valitud ajaintervalli jooksul peatuda ja hakata liikuma esialgsele vastupidises suunas. Joonis 1.37 näitab sellise liikumise kiiruse ja aja projektsiooni. Näeme, et ajahetkel, mis on võrdne 2 s, muutub kiiruse suund. Koordinaatide muutus on arvuliselt võrdne varjutatud kolmnurkade pindalade algebralise summaga.
Neid alasid arvutades näeme, et koordinaadi muutus on -6 m, mis tähendab, et OX-telje vastassuunas on punkt läbinud suurema vahemaa kui selle telje suunas.
Ruut eespool võtame plussmärgiga t-telje ja pindala all telg t, kus kiirusprojektsioon on negatiivne, miinusmärgiga.
Kui algsel ajahetkel oli teatud punkti kiirus 2 m/s, siis selle koordinaat ajahetkel 6 s võrdub -4 m. Punkti liikumise moodul sel juhul on võrdne ka 6 m - koordinaadi muutmise mooduliga. Selle punkti läbitav tee on aga 10 m, joonisel 1.38 näidatud varjutatud kolmnurkade pindalade summa.
Joonistame punkti x-koordinaadi sõltuvuse ajast. Ühe valemi (1.14) järgi on ajast sõltuvuskõver - x(t) - parabool.
Kui punkt liigub kiirusega, mille sõltuvus ajast on näidatud joonisel 1.36, siis on parabooli harud suunatud ülespoole, kuna a x\u003e 0 (joonis 1.39). Sellelt graafikult saame määrata nii punkti koordinaadi kui ka kiiruse igal ajahetkel. Niisiis, ajahetkel, mis on võrdne 4 s, on punkti koordinaat 18 m.
Algse ajahetke jaoks, tõmmates punktis A kõvera puutuja, määrame kalde puutuja α 1, mis on arvuliselt võrdne algkiirusega, st 2 m / s.
Kiiruse määramiseks punktis B tõmbame selles punktis parabooli puutuja ja määrame nurga α 2 puutuja. See võrdub 6-ga, seega on kiirus 6 m/s.
Tee versus aeg graafik on sama parabool, kuid tõmmatud lähtepunktist (joonis 1.40). Näeme, et teekond ajaga pidevalt suureneb, liikumine on ühes suunas.
Kui punkt liigub kiirusega, mille projektsiooni ja aja graafik on kujutatud joonisel 1.37, siis on parabooli harud suunatud allapoole, kuna a x< 0 (рис. 1.41). При этом моменту времени, равному 2 с, соответствует вершина параболы. Касательная в точке В параллельна оси t, угол наклона касательной к этой оси равен нулю, и скорость также равна нулю. До этого момента времени тангенс угла наклона касательной уменьшался, но был положителен, движение точки происходило в направлении оси ОХ.
Alates ajast t = 2 s muutub kaldenurga puutuja negatiivseks ja selle moodul suureneb, mis tähendab, et punkt liigub algsele vastupidises suunas, samal ajal kui liikumiskiiruse moodul suureneb.
Nihkemoodul on võrdne punkti koordinaatide erinevuse mooduliga aja lõpp- ja algmomendil ning on võrdne 6 m.
Joonisel 1.42 kujutatud punktis läbitud teekonna sõltuvuse graafik ajast erineb nihke ajast sõltuvuse graafikust (vt joonis 1.41).
Sõltumata sellest, kuidas kiirus on suunatud, suureneb punkti läbitud tee pidevalt.
Tuletame punkti koordinaadi sõltuvuse kiiruse projektsioonist. Kiirus υx = υ 0x + a x t, seega
Kui x 0 \u003d 0 ja x\u003e 0 ja υ x\u003e υ 0x, on koordinaadi kiirusest sõltuvuse graafik parabool (joonis 1.43).
Sel juhul, mida suurem on kiirendus, seda vähem järsk on parabooli haru. Seda on lihtne seletada, sest mida suurem on kiirendus, seda väiksema vahemaa peab punkt läbima, et kiirus kasvaks sama palju kui väiksema kiirendusega liikudes.
Juhul kui x< 0 и υ 0x >0 kiiruse projektsioon väheneb. Kirjutame võrrandi (1.17) ümber kujul, kus a = |a x |. Selle sõltuvuse graafik on allapoole suunatud harudega parabool (joonis 1.44).
Kiirendatud liikumine.
Kiiruse projektsiooni ajast sõltuvuse graafikute järgi on võimalik määrata punkti kiirenduse koordinaat ja projektsioon igal ajahetkel mis tahes tüüpi liikumise korral.
Olgu punkti kiiruse projektsioon sõltuv ajast, nagu on näidatud joonisel 1.45. On ilmne, et ajavahemikus 0 kuni t 3 toimus punkti liikumine piki X-telge muutuva kiirendusega. Alates ajahetkest, mis on võrdne t 3 , on liikumine ühtlane konstantse kiirusega υ Dx . Graafikult näeme, et kiirendus, millega punkt liikus, vähenes pidevalt (vrd puutuja kaldenurka punktides B ja C).
Punkti x-koordinaadi muutus ajas t 1 on arvuliselt võrdne pindalaga kõverjooneline trapets OABt 1 , ajal t 2 - pindala OACt 2 jne. Nagu näha kiiruse projektsiooni ajast sõltuvuse graafikult, saab määrata keha koordinaatide muutuse mis tahes ajaperioodi kohta.
Koordinaadi ajast sõltuvuse graafiku järgi saab määrata kiiruse väärtuse igal ajahetkel, arvutades kõvera puutuja kalde puutuja antud ajahetkele vastavas punktis. Jooniselt 1.46 järeldub, et ajahetkel t 1 on kiiruse projektsioon positiivne. Ajavahemikus t 2 kuni t 3 on kiirus null, keha on liikumatu. Ajahetkel t 4 on kiirus samuti null (kõvera puutuja punktis D on paralleelne x-teljega). Siis muutub kiiruse projektsioon negatiivseks, punkti liikumissuund muutub vastupidiseks.
Kui teate kiiruse projektsiooni ajast sõltuvuse graafikut, saate määrata punkti kiirenduse ja samuti, teades algset asukohta, määrata igal ajal keha koordinaadi, st lahendada põhiprobleem kinemaatika. Koordinaatide ajast sõltuvuse graafikult saab määrata liikumise ühe olulisema kinemaatilise tunnuse, kiiruse. Lisaks saate määratud graafikute järgi määrata liikumise tüübi mööda valitud telge: ühtlane, pideva kiirendusega või muutuva kiirendusega liikumine.
Ühtlane liikumine- see on liikumine konstantsel kiirusel, st kui kiirus ei muutu (v \u003d const) ja kiirendust ega aeglustumist pole (a \u003d 0).
Sirgjooneline liikumine- see on liikumine sirgjoonel, see tähendab, et sirgjoonelise liikumise trajektoor on sirgjoon.
Vormiriietus sirgjooneline liikumine on liikumine, mille käigus keha teeb samu liigutusi mis tahes võrdse aja jooksul. Näiteks kui jagame mingi ajaintervalli ühesekundilisteks segmentideks, siis ühtlase liikumise korral liigub keha igas nimetatud ajasegmendis sama kaugele.
Ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirus ei sõltu ajast ja igas trajektoori punktis on suunatud samamoodi nagu keha liikumine. See tähendab, et nihkevektor langeb suunalt kokku kiirusvektoriga. Sel juhul on mis tahes ajaperioodi keskmine kiirus võrdne hetkekiirusega:
Ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirus on füüsikaline vektorsuurus, mis on võrdne keha nihke suhtega mis tahes ajaperioodi ja selle intervalli t väärtusega:
Seega näitab ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirus, millise liikumise teeb materiaalne punkt ajaühikus.
liigubühtlase sirgjoonelise liikumisega määratakse järgmise valemiga:
Läbitud vahemaa sirgjoonelisel liikumisel on võrdne nihkemooduliga. Kui OX-telje positiivne suund langeb kokku liikumissuunaga, siis kiiruse projektsioon OX-teljel võrdub kiirusega ja on positiivne:
v x = v, st v > 0
Nihke projektsioon OX-teljele on võrdne:
s \u003d vt \u003d x - x 0
kus x 0 on keha algkoordinaat, x on keha lõppkoordinaat (või keha koordinaat igal ajal)
Liikumisvõrrand, st keha koordinaadi sõltuvus ajast x = x(t), on kujul:
Kui OX-telje positiivne suund on vastupidine keha liikumissuunale, siis on keha kiiruse projektsioon OX-teljel negatiivne, kiirus on väiksem kui null (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:
Kiiruse, koordinaatide ja tee sõltuvus ajast
Keha kiiruse projektsiooni sõltuvus ajast on näidatud joonisel fig. 1.11. Kuna kiirus on konstantne (v = const), on kiiruse graafik ajateljega Ot paralleelne sirgjoon.
Riis. 1.11. Keha kiiruse projektsiooni sõltuvus ajast ühtlase sirgjoonelise liikumise korral.
Nihke projektsioon koordinaatteljel on arvuliselt võrdne OABS ristküliku pindalaga (joonis 1.12), kuna nihkevektori suurus võrdub kiirusvektori ja liikumise aja korrutisega .
Riis. 1.12. Keha liikumise projektsiooni sõltuvus ajast ühtlase sirgjoonelise liikumise korral.
Nihke ja aja graafik on näidatud joonisel fig. 1.13. Graafikult on näha, et kiiruse projektsioon on võrdne
v = s 1 / t 1 = tg α
kus α on graafiku kaldenurk ajatelje suhtes.
Mida suurem on nurk α, seda kiiremini keha liigub, st seda suurem on selle kiirus (mida kauem keha liigub lühema ajaga). Koordinaadi ajast sõltuvuse graafiku puutuja kalde puutuja on võrdne kiirusega:
Riis. 1.13. Keha liikumise projektsiooni sõltuvus ajast ühtlase sirgjoonelise liikumise korral.
Koordinaadi sõltuvus ajast on näidatud joonisel fig. 1.14. Jooniselt on näha, et
tg α 1 > tg α 2
seetõttu on keha 1 kiirus suurem kui keha 2 kiirus (v 1 > v 2).
tg α 3 = v 3< 0
Kui keha on puhkeasendis, on koordinaatide graafik ajateljega paralleelne sirgjoon, st
Riis. 1.14. Keha koordinaadi sõltuvus ajast ühtlase sirgjoonelise liikumise jaoks.
Nurga- ja lineaarväärtuste seos
Pöörleva keha erinevatel punktidel on erinev joonkiirus. Iga punkti kiirus, mis on suunatud tangentsiaalselt vastavale ringile, muudab pidevalt oma suunda. Kiiruse suuruse määrab keha pöörlemiskiirus ja vaadeldava punkti kaugus R pöörlemisteljest. Laske kehal lühikese aja jooksul läbi nurga pöörata (joonis 2.4). Teljest kaugusel R asuv punkt läbib tee, mis on võrdne
Punkti lineaarne kiirus definitsiooni järgi.
Tangentsiaalne kiirendus
Kasutades sama seost (2.6), saame
Seega kasvavad nii normaal- kui tangentsiaalne kiirendus lineaarselt punkti kaugusega pöörlemisteljest.
Põhimõisted.
perioodiline võnkumine on protsess, mille käigus süsteem (näiteks mehaaniline) naaseb teatud aja möödudes samasse olekusse. Seda ajaperioodi nimetatakse võnkeperioodiks.
Jõu taastamine- jõud, mille toimel võnkeprotsess toimub. See jõud kipub viima puhkeasendist kõrvale kaldunud keha või materiaalse punkti algsesse asendisse.
Sõltuvalt võnkuvale kehale avalduva löögi iseloomust eristatakse vaba (või loomuliku) vibratsiooni ja sundvibratsiooni.
Vaba vibratsioon toimuvad siis, kui võnkuvale kehale mõjub ainult taastav jõud. Kui energia hajumist ei toimu, on vabad võnkumised summutamata. Tõelised võnkeprotsessid on aga summutatud, sest võnkuvale kehale mõjuvad liikumisele vastupanujõud (peamiselt hõõrdejõud).
Sunnitud vibratsioonid viiakse läbi perioodiliselt muutuva välise jõu toimel, mida nimetatakse liikumapanevaks jõuks. Paljudel juhtudel teostavad süsteemid võnkumisi, mida võib pidada harmoonilisteks.
Harmoonilised vibratsioonid nimetatakse selliseid võnkuvaid liikumisi, mille puhul keha nihkumine tasakaaluasendist toimub siinuse või koosinuse seaduse järgi:
Füüsikalise tähenduse illustreerimiseks vaatleme ringi ja pöörake OK raadiust nurkkiirusega ω vastupäeva (7.1) noolega vastupäeva. Kui algsel ajahetkel asus OK horisontaaltasandil, siis aja t pärast nihkub see nurga võrra. Kui algnurk on nullist erinev ja võrdne φ 0 , siis on pöördenurk võrdne Projektsioon XO-teljele 1 on võrdne . Kui OK raadius pöörleb, muutub projektsiooni väärtus ja punkt võngub punkti suhtes - üles, alla jne. Sel juhul on x maksimaalne väärtus võrdne A-ga ja seda nimetatakse võnkeamplituudiks; ω - ümmargune või tsükliline sagedus; - võnkefaas; - algfaas. Punkti K ühe pöörde jaoks mööda ringjoont teeb selle projektsioon ühe täieliku võnkumise ja pöördub tagasi alguspunkti.
Periood T on ühe täieliku võnkumise aeg. Pärast aja möödumist T korratakse kõigi võnkumisi iseloomustavate füüsikaliste suuruste väärtusi. Ühes perioodis läbib võnkuv punkt tee, mis on arvuliselt võrdne nelja amplituudiga.
Nurkkiirus määratakse tingimusest, et perioodi T jaoks teeb raadius OK ühe pöörde, s.o. pöörleb läbi nurga 2π radiaani:
Võnkesagedus- punkti võnkumiste arv ühes sekundis, s.o. võnkesagedus on määratletud kui võnkeperioodi pöördväärtus:
Vedrupendli elastsusjõud.
Vedrupendel koosneb vedrust ja massiivsest kuulist, mis on kinnitatud horisontaalsele vardale, mida mööda see saab libiseda. Laske vedrule paigaldada auguga kuul, mis libiseb mööda juhttelge (varda). Joonisel fig. 7.2a näitab palli puhkeasendit; joonisel fig. 7.2, b - maksimaalne kokkusurumine ja joonisel fig. 7,2, в - palli suvaline asend.
Survejõuga võrdse taastava jõu toimel pall võngub. Survejõud F \u003d -kx, kus k on vedru jäikuse koefitsient. Miinusmärk näitab, et jõu F suund ja nihe x on vastupidised. Kokkusurutud vedru potentsiaalne energia
kineetiline .
Kuuli liikumisvõrrandi tuletamiseks on vaja ühendada x ja t. Järeldus põhineb energia jäävuse seadusel. Kogu mehaaniline energia võrdub süsteemi kineetilise ja potentsiaalse energia summaga. Sel juhul:
. Asendis b): 
.
Kuna vaadeldavas liikumises on täidetud mehaanilise energia jäävuse seadus, võime kirjutada:
. Määratleme kiiruse siit:
Kuid omakorda ja seetõttu 
. Eraldi muutujad 
. Selle avaldise integreerimisel saame: 
,
kus on integratsiooni konstant. Viimasest järeldub, et
Seega teostab keha elastsusjõu toimel harmoonilisi võnkumisi. Elastsusest erineva iseloomuga jõude, mille puhul on täidetud tingimus F = -kx, nimetatakse kvaasielastseks. Nende jõudude mõjul teevad kehad ka harmoonilisi võnkumisi. Kus:
|
eelarvamus: | |
|
kiirus: |
|
|
kiirendus: |
|
Matemaatiline pendel.
Matemaatiline pendel on materiaalne punkt, mis ripub pikendamatul kaaluta niidil ja võngub gravitatsiooni mõjul ühes vertikaaltasandis.
Sellist pendlit võib pidada õhukesel niidil riputatud raskeks palliks massiga m, mille pikkus l on kuuli suurusest palju suurem. Kui see kaldub vertikaaljoonest kõrvale nurga α võrra (joon. 7.3.), siis jõu F - ühe raskuse P komponendi - mõjul hakkab see võnkuma. Teist komponenti, mis on suunatud piki keerme, ei võeta arvesse, sest mida tasakaalustab stringi pinge. Väikeste nihkenurkade korral saab x-koordinaati lugeda horisontaalsuunas. Jooniselt 7.3 on näha, et keermega risti olev kaalukomponent on võrdne
Parempoolne miinusmärk tähendab, et jõud F on suunatud nurga α vähendamisele. Võttes arvesse nurga α väiksust
Matemaatiliste ja füüsikaliste pendlite liikumisseaduse tuletamiseks kasutame pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrandit
Jõumoment punkti O suhtes: , ja inertsimoment: M = FL. Inertsimoment J sel juhul nurkkiirendus:
Neid väärtusi arvesse võttes on meil: 
Tema otsus 
,
Nagu näete, sõltub matemaatilise pendli võnkeperiood selle pikkusest ja raskuskiirendusest ning ei sõltu võnkumiste amplituudist.
summutatud vibratsioonid.
Kõik tõelised võnkesüsteemid on dissipatiivsed. Sellise süsteemi mehaaniliste võnkumiste energia kulub järk-järgult hõõrdejõudude vastasele tööle, seetõttu sumbuvad vabavõnked alati - nende amplituud väheneb järk-järgult. Paljudel juhtudel, kui kuivhõõrdumine puudub, võib esimeses lähenduses arvestada, et madalatel liikumiskiirustel on mehaaniliste võngete summutamist põhjustavad jõud võrdelised kiirusega. Neid jõude, olenemata nende päritolust, nimetatakse vastupanujõududeks.
Kirjutame selle võrrandi ümber järgmisel kujul: 
ja tähistada: 
kus tähistab sagedust, millega süsteemi vabad võnkumised toimuksid keskmise takistuse puudumisel, st. at r = 0. Seda sagedust nimetatakse süsteemi omavõnkesageduseks; β - summutustegur. Siis
|
|
Otsime võrrandi (7.19) lahendit kujul, kus U on mingi t funktsioon.
Diferentseerime seda avaldist kaks korda aja t suhtes ja asendades esimese ja teise tuletise väärtused võrrandiga (7.19), saame 
Selle võrrandi lahendus sõltub suuresti koefitsiendi märgist punktis U. Vaatleme juhtumit, kui see koefitsient on positiivne. Tutvustame tähistusi Siis reaalse ω korral on selle võrrandi lahendus, nagu me teame, funktsioon
Seega on keskkonna madala takistuse korral funktsioon võrrandi (7.19) lahendus
Selle funktsiooni graafik on näidatud joonisel fig. 7.8. Punktiirjooned näitavad piire, milles võnkepunkti nihe asub. Suurust nimetatakse dissipatiivse süsteemi loomulikuks tsükliliseks võnkesageduseks. Summutatud võnkumised on mitteperioodilised võnked, kuna need ei korda kunagi näiteks nihke, kiiruse ja kiirenduse maksimumväärtusi. Väärtust nimetatakse tavaliselt summutatud võnkumiste perioodiks, õigemini summutatud võnkumiste tinglikuks perioodiks,
Perioodiga T võrdse ajaintervalli järel üksteisele järgnevate nihkeamplituudide suhte naturaalset logaritmi nimetatakse logaritmiliseks summutamise dekrementiks.
Tähistame τ-ga ajavahemikku, mille jooksul võnkeamplituud väheneb e korda. Siis
Seetõttu on summutuskoefitsient füüsikaline suurus, mis on pöördvõrdeline ajavahemikuga τ, mille jooksul amplituud väheneb e korda. Väärtust τ nimetatakse lõõgastusajaks.
Olgu N võnkumiste arv, mille järel amplituud väheneb teguri e võrra.
Seetõttu on logaritmilise summutuse vähenemine δ füüsiline kogus, pöördvõrdeline võnkumiste arvuga N, mille järel amplituud väheneb teguri e võrra
Sunnitud vibratsioonid.
Sundvõnkumiste korral süsteem võngub välise (sund)jõu toimel ning selle jõu töö tõttu kompenseeritakse perioodiliselt süsteemi energiakaod. Sundvõnkumiste sagedus (sundvõnkesagedus) oleneb välisjõu muutumise sagedusest Määrakem massiga m keha sundvõnkumiste amplituud, arvestades, et võnkumised on pidevalt mõjuva jõu tõttu summutamata.
Las see jõud muutub ajas vastavalt seadusele , kus on liikumapaneva jõu amplituud. Taastav jõud ja vastupanujõud Siis saab Newtoni teise seaduse kirjutada järgmisel kujul.
Ühtlane sirgjooneline liikumine See on ebaühtlase liikumise erijuhtum.
Ebaühtlane liikumine- see on liikumine, mille käigus keha (materiaalne punkt) teeb ebavõrdseid liigutusi võrdsete ajavahemike järel. Näiteks linnaliinibuss liigub ebaühtlaselt, kuna selle liikumine koosneb peamiselt kiirendusest ja aeglustusest.
Võrdmuutuv liikumine- see on liikumine, mille käigus keha (materiaalse punkti) kiirus muutub mis tahes võrdsete ajavahemike jooksul samal viisil.
Keha kiirendus ühtlasel liikumisel jääb suuruselt ja suunalt konstantseks (a = const).
Ühtlast liikumist saab ühtlaselt kiirendada või ühtlaselt aeglustada.
Ühtlaselt kiirendatud liikumine- see on keha (materiaalse punkti) liikumine positiivse kiirendusega, see tähendab, et sellise liikumise korral kiireneb keha pideva kiirendusega. Ühtlaselt kiirendatud liikumise korral keha kiiruse moodul ajaga suureneb, kiirenduse suund langeb kokku liikumiskiiruse suunaga.
Ühtlane aegluubis- see on keha (materiaalse punkti) liikumine negatiivse kiirendusega, see tähendab, et sellise liikumise korral aeglustub keha ühtlaselt. Ühtlaselt aeglase liikumise korral on kiirus- ja kiirendusvektorid vastandlikud ning kiirusmoodul aja jooksul väheneb.
Mehaanikas on igasugune sirgjooneline liikumine kiirendatud, seega erineb aeglane liikumine kiirendatud liikumisest ainult kiirendusvektori projektsiooni märgiga koordinaatsüsteemi valitud teljele.
Muutuva liikumise keskmine kiirus määratakse keha liikumise jagamisel ajaga, mille jooksul see liigutus tehti. Keskmise kiiruse ühik on m/s.
V cp = s / t
- see on keha (materiaalse punkti) kiirus antud ajahetkel või trajektoori antud punktis, st piir, milleni keskmine kiirus ajavahemiku Δt lõpmatu vähenemisega kaldub:
Hetkekiiruse vektorühtlast liikumist võib leida nihkevektori esimese tuletise aja suhtes:
Kiirusvektori projektsioon OX-teljel:
V x = x'
see on koordinaadi tuletis aja suhtes (samamoodi saadakse kiirusvektori projektsioonid teistele koordinaatide telgedele).
- see on väärtus, mis määrab keha kiiruse muutumise kiiruse, st piiri, milleni kiiruse muutus ajavahemiku Δt lõpmatu vähenemisega kipub:
Ühtlase liikumise kiirendusvektor võib leida kiirusvektori esimese tuletise aja suhtes või nihkevektori teise tuletise aja suhtes:
Kui keha liigub sirgjooneliselt mööda keha trajektooriga kokku langeva sirgjoonelise Descartes'i koordinaatsüsteemi OX-telge, siis määratakse kiirusvektori projektsioon sellele teljele valemiga:
V x = v 0x ± a x t
"-" (miinus) märk kiirendusvektori projektsiooni ees viitab ühtlaselt aeglasele liikumisele. Kiirusevektori projektsioonide võrrandid teistele koordinaattelgedele on kirjutatud sarnaselt.
Kuna kiirendus on konstantne (a \u003d const) ühtlaselt muutuva liikumisega, on kiirenduse graafik 0t teljega paralleelne sirgjoon (ajatelg, joonis 1.15).
Riis. 1.15. Keha kiirenduse sõltuvus ajast.
Kiirus versus aeg- see on lineaarne funktsioon, mille graafik on sirgjoon (joonis 1.16).
Riis. 1.16. Keha kiiruse sõltuvus ajast.
Kiiruse ja aja graafik(joonis 1.16) näitab, et
Sel juhul on nihe arvuliselt võrdne joonise 0abc pindalaga (joonis 1.16).
Trapetsi pindala on pool selle aluste pikkuste summast, mis on korrutatud kõrgusega. Trapetsi 0abc alused on arvuliselt võrdsed:
0a = v 0bc = v
Trapetsi kõrgus on t. Seega on trapetsi pindala ja seega ka nihke projektsioon OX-teljele võrdne:
Ühtlaselt aeglase liikumise korral on kiirenduse projektsioon negatiivne ning nihke projektsiooni valemis asetatakse kiirenduse ette märk “–” (miinus).
Keha kiiruse sõltuvuse graafik ajast erinevatel kiirendustel on näidatud joonisel fig. 1.17. Nihke sõltuvuse ajast v0 = 0 graafik on näidatud joonisel fig. 1.18.
Riis. 1.17. Keha kiiruse sõltuvus ajast erinevate kiirenduse väärtuste korral.
Riis. 1.18. Keha nihke sõltuvus ajast.
Keha kiirus antud ajahetkel t 1 võrdub graafiku puutuja ja ajatelje vahelise kaldenurga puutujaga v \u003d tg α ning liikumine määratakse valemiga:
Kui keha liikumisaeg pole teada, võite kasutada teist nihke valemit, lahendades kahe võrrandi süsteemi:
See aitab meil tuletada nihke projektsiooni valemit:
Kuna keha koordinaat igal ajal määratakse algkoordinaadi ja nihke projektsiooni summaga, näeb see välja järgmine:
Koordinaadi x(t) graafik on samuti parabool (nagu ka nihkegraafik), kuid parabooli tipp ei kattu üldjuhul lähtepunktiga. x jaoks< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).