Le equazioni sono chiamate irrazionali se contengono un'incognita sotto il segno della radice. Queste sono, ad esempio, le equazioni
In molti casi, applicando una o più volte l'elevazione a potenza di entrambe le parti dell'equazione, è possibile ridurre l'equazione irrazionale a un'equazione algebrica di un grado o dell'altro (che è una conseguenza dell'equazione originale). Poiché quando si eleva l'equazione a potenza possono apparire soluzioni estranee, allora, avendo risolto l'equazione algebrica a cui abbiamo dato questa equazione irrazionale, dovremmo controllare le radici trovate sostituendo nell'equazione originale e mantenere solo quelle che la soddisfano, e scarta il resto - estraneo.
Al momento di decidere equazioni irrazionali ci limitiamo alle loro vere radici; tutte le radici di grado pari nella notazione delle equazioni sono intese in senso aritmetico.
Considera alcuni esempi tipici di equazioni irrazionali.
A. Equazioni contenenti l'incognita sotto il segno della radice quadrata. Se questa equazione contiene solo una radice quadrata, sotto il cui segno c'è un'incognita, allora questa radice dovrebbe essere isolata, cioè collocata in una parte dell'equazione, e tutti gli altri termini dovrebbero essere trasferiti in un'altra parte. Dopo aver elevato al quadrato entrambi i membri dell'equazione, ci siamo già liberati dall'irrazionalità e otteniamo un'equazione algebrica per
Esempio 1. Risolvi l'equazione.
Soluzione. Isoliamo la radice sul lato sinistro dell'equazione;
Equazioniamo l'equazione risultante:
Troviamo le radici di questa equazione:
La verifica mostra che soddisfa solo l'equazione originale.
Se l'equazione include due o più radici contenenti x, la quadratura deve essere ripetuta più volte.
Esempio 2. Risolvi le seguenti equazioni:
Soluzione, a) Equazioniamo entrambi i lati dell'equazione:
Separiamo la radice:
L'equazione risultante è ancora al quadrato:
Dopo le trasformazioni, si ottiene per quanto segue equazione quadrata:
risolvilo:
Sostituendo nell'equazione originale, ci assicuriamo che ci sia la sua radice, ma è una radice estranea per essa.
b) L'esempio può essere risolto nello stesso modo in cui è stato risolto l'esempio a). Tuttavia, approfittando del fatto che il membro destro di questa equazione non contiene un'incognita, procederemo diversamente. Moltiplichiamo l'equazione per l'espressione coniugata alla sua parte sinistra; noi abbiamo
A destra c'è il prodotto della somma e della differenza, cioè la differenza dei quadrati. Da qui
Sul lato sinistro di questa equazione c'era la somma radici quadrate; sul lato sinistro dell'equazione ora ottenuta c'è la differenza delle stesse radici. Scriviamo le equazioni date e ricevute:
Facendo la somma di queste equazioni, otteniamo
Mettiamo al quadrato l'ultima equazione e, dopo le semplificazioni, otteniamo
Da qui troviamo . Controllando siamo convinti che solo il numero serve come radice di questa equazione. Esempio 3. Risolvi l'equazione
Qui, già sotto il segno radicale, abbiamo trinomi quadrati.
Soluzione. Moltiplichiamo l'equazione per l'espressione coniugata con il suo lato sinistro:
Sottrai l'ultima equazione da quella data:
Mettiamo al quadrato questa equazione:
Dall'ultima equazione troviamo . Controllando siamo convinti che solo il numero x \u003d 1 serva come radice di questa equazione.
B. Equazioni contenenti radici di terzo grado. Sistemi di equazioni irrazionali. Ci limitiamo a singoli esempi di tali equazioni e sistemi.
Esempio 4. Risolvi l'equazione
Soluzione. Mostriamo due modi per risolvere l'equazione (70.1). Primo modo. Cubiamo entrambi i lati di questa equazione (vedi formula (20.8)):
(qui abbiamo sostituito la somma delle radici cubiche con il numero 4, usando l'equazione).
Quindi abbiamo
cioè, dopo le semplificazioni,
da cui entrambe le radici soddisfano l'equazione originaria.
Il secondo modo. Mettiamo
L'equazione (70.1) sarà scritta come . Inoltre, è chiaro che . Dall'equazione (70.1) siamo passati al sistema
Dividendo la prima equazione del sistema termine per termine per la seconda, troviamo
Un'equazione irrazionale è qualsiasi equazione che contiene una funzione sotto il segno della radice. Per esempio:
Tali equazioni sono sempre risolte in 3 passi:
- Separa la radice. In altre parole se ci sono altri numeri o funzioni a sinistra del segno uguale oltre alla radice, tutto questo va spostato a destra cambiando il segno. Allo stesso tempo, solo il radicale dovrebbe rimanere a sinistra, senza coefficienti.
- 2. Equazioniamo entrambi i lati dell'equazione. Allo stesso tempo, ricorda che l'intervallo della radice è composto da tutti i numeri non negativi. Da qui la funzione a destra equazione irrazionale deve anche essere non negativo: g (x) ≥ 0.
- Il terzo passaggio segue logicamente dal secondo: è necessario eseguire un controllo. Il fatto è che nella seconda fase potremmo avere radici extra. E per tagliarli, è necessario sostituire i numeri candidati risultanti nell'equazione originale e verificare: si ottiene davvero l'uguaglianza numerica corretta?
Risoluzione di un'equazione irrazionale
Affrontiamo il nostro equazione razionale data all'inizio della lezione. Qui la radice è già appartata: a sinistra del segno uguale non c'è altro che la radice. Mettiamo al quadrato entrambi i lati:
2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0
Risolviamo l'equazione quadratica risultante attraverso il discriminante:
D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2
Resta solo da sostituire questi numeri nell'equazione originale, ad es. eseguire un controllo. Ma anche qui puoi fare la cosa giusta per semplificare la decisione finale.
Come semplificare la soluzione
Pensiamo: perché controlliamo anche alla fine della risoluzione di un'equazione irrazionale? Vogliamo assicurarci che quando sostituiamo le nostre radici, non ci saranno un numero negativo. Dopotutto, sappiamo già per certo che si tratta di un numero non negativo a sinistra, perché la radice quadrata aritmetica (a causa della quale la nostra equazione è chiamata irrazionale) per definizione non può essere inferiore a zero.
Pertanto, tutto ciò che dobbiamo verificare è che la funzione g ( x ) = 5 − x , che si trova a destra del segno di uguale, sia non negativa:
g(x) ≥ 0
Sostituiamo le nostre radici in questa funzione e otteniamo:
g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0
Dai valori ottenuti, ne consegue che la radice x 1 = 6 non ci soddisfa, poiché sostituendo nel lato destro dell'equazione originale, otteniamo un numero negativo. Ma la radice x 2 \u003d −2 è abbastanza adatta a noi, perché:
- Questa radice è la soluzione dell'equazione quadratica ottenuta elevando entrambi i lati equazione irrazionale in un quadrato.
- Il lato destro dell'equazione irrazionale originale, quando la radice x 2 = −2 viene sostituita, si trasforma in un numero positivo, cioè allineare radice aritmetica non rotto.
Questo è l'intero algoritmo! Come puoi vedere, risolvere equazioni con radicali non è così difficile. La cosa principale è non dimenticare di controllare le radici ricevute, altrimenti è molto probabile che ottengano risposte extra.
Le equazioni in cui una variabile è contenuta sotto il segno della radice sono dette irrazionali.
I metodi per risolvere equazioni irrazionali, di regola, si basano sulla possibilità di sostituire (con l'aiuto di alcune trasformazioni) un'equazione irrazionale con un'equazione razionale che sia equivalente all'equazione irrazionale originale o ne sia la conseguenza. Molto spesso, entrambi i lati dell'equazione sono elevati alla stessa potenza. In questo caso si ottiene un'equazione che è una conseguenza di quella originale.
Quando si risolvono equazioni irrazionali, è necessario tenere conto di quanto segue:
1) se l'indice radice è un numero pari, allora l'espressione radicale deve essere non negativa; anche il valore della radice è non negativo (definizione di radice con esponente pari);
2) se l'indice radice è un numero dispari, allora l'espressione radicale può essere qualsiasi numero reale; in questo caso, il segno della radice è uguale al segno dell'espressione radice.
Esempio 1 risolvere l'equazione
Mettiamo al quadrato entrambi i lati dell'equazione.
x 2 - 3 \u003d 1;
Trasferiamo -3 dal lato sinistro dell'equazione al lato destro ed eseguiamo la riduzione di termini simili.
x 2 \u003d 4;
L'equazione quadratica incompleta risultante ha due radici -2 e 2.
Controlliamo le radici ottenute, per questo sostituiremo i valori della variabile x nell'equazione originale.
Visita medica.
Quando x 1 \u003d -2 - vero:
Quando x 2 \u003d -2- vero.
Ne consegue che l'equazione irrazionale originale ha due radici -2 e 2.
Esempio 2 risolvere l'equazione 
.
Questa equazione può essere risolta usando lo stesso metodo del primo esempio, ma lo faremo in modo diverso.
Troviamo l'ODZ di questa equazione. Dalla definizione della radice quadrata segue che in questa equazione devono essere soddisfatte contemporaneamente due condizioni:
ODZ dell'equazione data: x.
Risposta: nessuna radice.
Esempio 3 risolvere l'equazione 
=+ 2.
Trovare l'ODZ in questa equazione è un compito piuttosto difficile. Mettiamo al quadrato entrambi i lati dell'equazione:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x1=1; x2=0.
Dopo aver verificato, stabiliamo che x 2 \u003d 0 è una radice aggiuntiva.
Risposta: x 1 \u003d 1.
Esempio 4 Risolvi l'equazione x =.
In questo esempio, l'ODZ è facile da trovare. ODZ di questa equazione: x[-1;).
Mettiamo al quadrato entrambi i lati di questa equazione, di conseguenza otteniamo l'equazione x 2 \u003d x + 1. Le radici di questa equazione:
È difficile controllare le radici trovate. Ma, nonostante entrambe le radici appartengano all'ODZ, è impossibile affermare che entrambe le radici siano le radici dell'equazione originale. Ciò comporterà un errore. In questo caso, l'equazione irrazionale è equivalente alla combinazione di due disuguaglianze e un'equazione:
x+10 E x0 E x 2 \u003d x + 1, da cui ne consegue che la radice negativa per l'equazione irrazionale è estranea e deve essere scartata.
Esempio 5 . Risolvi l'equazione += 7.
Equazioniamo entrambi i membri dell'equazione ed eseguiamo la riduzione di termini simili, trasferiamo i termini da una parte all'altra dell'equazione e moltiplichiamo entrambe le parti per 0,5. Di conseguenza, otteniamo l'equazione
= 12, (*) che è una conseguenza di quella originaria. Mettiamo di nuovo al quadrato entrambi i lati dell'equazione. Otteniamo l'equazione (x + 5) (20 - x) = 144, che è una conseguenza di quella originale. L'equazione risultante è ridotta alla forma x 2 - 15x + 44 =0.
Questa equazione (che è anche una conseguenza di quella originale) ha radici x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. Entrambe le radici, come mostra il test, soddisfano l'equazione originale.
Rappresentante. x 1 = 4, x 2 = 11.
Commento. Quando quadrano le equazioni, gli studenti spesso in equazioni come (*) moltiplicano le espressioni radice, cioè, invece di equazione = 12, scrivono l'equazione 
= 12. Questo non porta ad errori, poiché le equazioni sono conseguenze delle equazioni. Tuttavia, va tenuto presente che nel caso generale una tale moltiplicazione di espressioni radicali fornisce equazioni non equivalenti.
Negli esempi discussi sopra, è stato possibile trasferire prima uno dei radicali a destra dell'equazione. Quindi un radicale rimarrà sul lato sinistro dell'equazione e, dopo aver elevato al quadrato entrambi i lati dell'equazione, si otterrà una funzione razionale sul lato sinistro dell'equazione. Questa tecnica (solitudine del radicale) è abbastanza spesso usata per risolvere equazioni irrazionali.
Esempio 6. Risolvi l'equazione-= 3.
Dopo aver isolato il primo radicale, otteniamo l'equazione
=+ 3, che equivale a quello originale.
Elevando al quadrato entrambi i lati di questa equazione, otteniamo l'equazione
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, che equivale all'equazione
4x - 5 = 3(*). Questa equazione è una conseguenza dell'equazione originale. Elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione, arriviamo all'equazione
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), oppure
7x2 - 13x - 2 = 0.
Questa equazione è una conseguenza dell'equazione (*) (e quindi dell'equazione originale) e ha radici. La prima radice x 1 = 2 soddisfa l'equazione originale e la seconda x 2 =- no.
Risposta: x = 2.
Si noti che se immediatamente, senza isolare uno dei radicali, elevassimo al quadrato entrambe le parti dell'equazione originale, dovremmo eseguire trasformazioni piuttosto ingombranti.
Quando si risolvono equazioni irrazionali, oltre all'isolamento dei radicali, vengono utilizzati anche altri metodi. Considera un esempio di utilizzo del metodo di sostituzione dell'ignoto (il metodo di introduzione di una variabile ausiliaria).