Esamineremo ciascuno degli argomenti e alla fine ci saranno test sugli argomenti.
Punto in matematica
Cos'è un punto in matematica? Un punto matematico non ha dimensioni ed è indicato da lettere maiuscole. con lettere latine: LA, SI, DO, RE, FA, ecc.
Nella figura è possibile vedere l'immagine dei punti A, B, C, D, F, E, M, T, S.
Segmento in matematica
Cos'è un segmento in matematica? Nelle lezioni di matematica, puoi ascoltare la seguente spiegazione: un segmento matematico ha una lunghezza e termina. Un segmento in matematica è un insieme di tutti i punti che giacciono su una linea retta tra le estremità di un segmento. Le estremità del segmento sono due punti di confine.
Nella figura vediamo quanto segue: segmenti ,,,, e , oltre a due punti B e S.
Rette in matematica
Cos'è una retta in matematica? Definizione di linea retta in matematica: una linea retta non ha estremità e può continuare in entrambe le direzioni fino all'infinito. Una linea retta in matematica è indicata da due punti qualsiasi su una linea retta. Per spiegare a uno studente il concetto di retta, possiamo dire che una retta è un segmento che non ha due estremità.
La figura mostra due rette: CD ed EF.
Ray in matematica
Cos'è un raggio? Definizione di raggio in matematica: Un raggio è una parte di una linea che ha un inizio e non una fine. Il nome del raggio contiene due lettere, ad esempio DC. Inoltre, la prima lettera indica sempre il punto di inizio della trave, quindi non è possibile scambiare le lettere.
La figura mostra le travi: DC, KC, EF, MT, MS. Raggi KC e KD - un raggio, perché hanno un'origine comune.
Linea numerica in matematica
Definizione di una linea numerica in matematica: una linea i cui punti segnano i numeri è chiamata linea numerica.
La figura mostra una linea numerica, nonché un raggio OD e ED
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§1. Domande di controllo
Domanda 1.
Fai esempi di forme geometriche.
Risposta. Esempi di forme geometriche: triangolo, quadrato, cerchio.
Domanda 2. Assegna un nome alle forme geometriche di base sul piano.
Risposta. Principale forme geometriche nel piano ci sono un punto e una retta.
Domanda 3. Come vengono definiti i punti e le linee?
Risposta. I punti sono indicati da lettere latine maiuscole: A, B, C, D, .... Le linee rette sono denotate da lettere latine minuscole: a, b, c, d, ....
Una linea può essere indicata da due punti che giacciono su di essa. Ad esempio, la linea a nella figura 4 potrebbe essere etichettata AC e la linea b potrebbe essere etichettata BC.
Domanda 4. Formulare le proprietà fondamentali di appartenenza di punti e rette.
Risposta. Qualunque sia la linea, ci sono punti che appartengono a questa linea e punti che non le appartengono.
Attraverso due punti qualsiasi puoi tracciare una linea e solo una.
Domanda 5. Spiega cos'è un segmento che termina in determinati punti.
Risposta. Un segmento è una parte di una retta che consiste di tutti i punti di questa retta che giacciono tra due punti dati di essa. Questi punti sono chiamati estremità del segmento. Un segmento è indicato indicando le sue estremità. Quando dicono o scrivono: "segmento AB", intendono un segmento con estremità nei punti A e B.
Domanda 6. Formulare la proprietà principale della posizione dei punti su una retta.
Risposta. Dei tre punti su una linea, uno e solo uno si trova tra gli altri due.
Domanda 7. Formulare le principali proprietà dei segmenti di misura.
Risposta. Ogni segmento ha una certa lunghezza maggiore di zero. La lunghezza di un segmento è uguale alla somma delle lunghezze delle parti in cui è diviso per uno qualsiasi dei suoi punti.
Domanda 8. Qual è la distanza tra due punti dati?
Risposta. La lunghezza del segmento AB si chiama distanza tra i punti A e B.
Domanda 9. Quali sono le proprietà di dividere un piano in due semipiani?
Risposta. La partizione di un piano in due semipiani gode della seguente proprietà. Se le estremità di un segmento appartengono allo stesso semipiano, allora il segmento non interseca la linea. Se i punti finali di un segmento appartengono a diversi semipiani, allora il segmento interseca la linea.
In questo articolo, ci soffermeremo in dettaglio su uno dei concetti primari della geometria: il concetto di linea retta su un piano. Innanzitutto, definiamo i termini e la notazione di base. Successivamente, discutiamo la posizione relativa di una retta e di un punto, così come di due rette su un piano, e diamo gli assiomi necessari. In conclusione, considereremo i modi per impostare una linea retta su un piano e fornire illustrazioni grafiche.
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Una linea retta su un piano è un concetto.
Prima di dare il concetto di una linea retta su un piano, si dovrebbe capire chiaramente cos'è un piano. Rappresentazione dell'aereo consente di ottenere, ad esempio, una superficie piana del tavolo o il muro della casa. Tuttavia, va tenuto presente che le dimensioni del tavolo sono limitate e il piano si estende oltre questi confini all'infinito (come se avessimo un tavolo arbitrariamente grande).
Se prendiamo una matita ben affilata e tocchiamo il suo nucleo sulla superficie del "tavolo", otterremo l'immagine di un punto. Quindi otteniamo Rappresentazione di un punto su un piano.
Ora puoi andare a concetto di una retta su un piano.
Mettiamo sulla superficie del tavolo (sul piano) un foglio di carta pulita. Per tracciare una linea retta, dobbiamo prendere un righello e tracciare una linea con una matita per quanto le dimensioni del righello e del foglio di carta utilizzato lo consentono. Va notato che in questo modo otteniamo solo una parte della retta. Una linea retta nella sua interezza, che si estende all'infinito, possiamo solo immaginarla.
Posizione reciproca di una retta e di un punto.
Dovresti iniziare con un assioma: ci sono punti su ogni retta e su ogni piano.
I punti sono generalmente indicati da lettere latine maiuscole, ad esempio i punti A e F. A loro volta, le linee rette sono denotate da minuscole lettere latine, ad esempio le linee rette a e d.
Possibile due opzioni per la posizione relativa di una linea e di un punto su un piano: o il punto giace su una retta (in questo caso si dice anche che la retta passa per il punto), oppure il punto non giace sulla retta (si dice anche che il punto non appartiene alla retta, oppure la retta non passa per il punto).
Per indicare che un punto appartiene a una certa retta si utilizza il simbolo "". Ad esempio, se il punto A si trova sulla linea a, allora puoi scrivere. Se il punto A non appartiene alla linea a, allora scrivi.
La seguente affermazione è vera: per due punti qualsiasi c'è solo una linea retta.
Questa affermazione è un assioma e dovrebbe essere accettata come un dato di fatto. Inoltre, questo è abbastanza ovvio: segniamo due punti su carta, applichiamo loro un righello e tracciamo una linea retta. Una retta passante per due punti dati (ad esempio, per i punti A e B) può essere indicata con queste due lettere (nel nostro caso, retta AB o BA).
Dovrebbe essere chiaro che su una retta data su un piano ci sono infiniti punti diversi e tutti questi punti giacciono sullo stesso piano. Questa affermazione è stabilita dall'assioma: se due punti di una linea giacciono su un certo piano, allora tutti i punti di questa linea giacciono su questo piano.
Viene chiamato l'insieme di tutti i punti situati tra due punti dati su una retta, insieme a questi punti retta o semplicemente segmento. I punti che delimitano il segmento sono chiamati estremi del segmento. Un segmento è indicato da due lettere corrispondenti ai punti delle estremità del segmento. Ad esempio, lascia che i punti A e B siano le estremità di un segmento, quindi questo segmento può essere denotato AB o BA. Si noti che questa designazione di un segmento è la stessa della designazione di una linea retta. Per evitare confusione, si consiglia di aggiungere la parola "segmento" o "dritto" alla designazione.
Per un breve record di appartenenza e non appartenenza a un certo punto a un certo segmento, vengono utilizzati tutti gli stessi simboli e. Per indicare che un segmento giace o non giace su una retta, si usano rispettivamente i simboli e . Ad esempio, se il segmento AB appartiene alla linea a, puoi scrivere brevemente.
Dovremmo anche soffermarci sul caso in cui tre punti diversi appartengono alla stessa linea. In questo caso, uno, e un solo punto, si trova tra gli altri due. Questa affermazione è un altro assioma. Siano i punti A, B e C sulla stessa retta, e il punto B si trovi tra i punti A e C. Allora possiamo dire che i punti A e C sono ai lati opposti del punto B. Si può anche dire che i punti B e C giacciono dalla stessa parte del punto A, e che i punti A e B giacciono dalla stessa parte del punto C.
Per completare il quadro, notiamo che qualsiasi punto di una linea retta divide questa linea retta in due parti: due trave. Per questo caso, viene dato un assioma: un punto O arbitrario, appartenente a una linea, divide questa linea in due raggi, e due punti qualsiasi di un raggio giacciono sullo stesso lato del punto O, e due punti qualsiasi di raggi diversi giacciono su lati opposti del punto O.
Disposizione reciproca di rette su un piano.
Ora rispondiamo alla domanda: "Come possono essere posizionate due linee su un piano l'una rispetto all'altra"?
Innanzitutto, due linee in un aereo possono coincidere.
Questo è possibile quando le rette hanno almeno due punti in comune. Infatti, in virtù dell'assioma espresso nel paragrafo precedente, una sola retta passa per due punti. In altre parole, se due rette passano per due punti dati, allora coincidono.
In secondo luogo, due linee rette su un piano possono attraverso.
In questo caso, le linee hanno un punto comune, che è chiamato il punto di intersezione delle linee. L'intersezione delle linee è indicata dal simbolo "", ad esempio, il record significa che le linee a e b si intersecano nel punto M. Le linee che si intersecano ci portano al concetto dell'angolo tra le linee che si intersecano. Separatamente, vale la pena considerare la posizione delle linee rette su un piano quando l'angolo tra loro è di novanta gradi. In questo caso, le linee vengono chiamate perpendicolare(consigliamo l'articolo linee perpendicolari, perpendicolarità delle linee). Se la linea a è perpendicolare alla linea b, è possibile utilizzare una notazione breve.
Terzo, due rette su un piano possono essere parallele.
Da un punto di vista pratico, conviene considerare una retta su un piano insieme ai vettori. Di particolare importanza sono i vettori diversi da zero che giacciono su una data linea o su una qualsiasi delle linee parallele, vengono chiamati vettori di direzione della retta. L'articolo che dirige il vettore di una linea retta su un piano fornisce esempi di vettori di direzione e mostra le opzioni per il loro utilizzo nella risoluzione dei problemi.
Dovresti anche prestare attenzione ai vettori diversi da zero che giacciono su una qualsiasi delle linee perpendicolari a quella data. Tali vettori sono chiamati vettori normali della retta. L'uso dei vettori normali di una retta è descritto nell'articolo vettore normale di una retta su un piano.
Quando tre o più linee rette sono date su un piano, allora sorge un insieme varie opzioni la loro posizione relativa. Tutte le rette possono essere parallele, altrimenti alcune o tutte si intersecano. In questo caso tutte le rette possono intersecarsi in un unico punto (vedi l'articolo matita di rette), oppure possono avere diversi punti di intersezione.
Non ci soffermeremo su questo in dettaglio, ma citeremo diversi fatti notevoli e molto spesso utilizzati senza prove:
- se due rette sono parallele a una terza retta, allora sono parallele tra loro;
- se due rette sono perpendicolari a una terza retta, allora sono parallele tra loro;
- se in un piano una retta interseca una di due rette parallele, allora interseca anche la seconda retta.
Metodi per impostare una linea retta su un piano.
Ora elencheremo i modi principali in cui è possibile definire una linea specifica nel piano. Questa conoscenza è molto utile dal punto di vista pratico, poiché su di essa si basa la soluzione di tanti esempi e problemi.
Innanzitutto, una linea retta può essere definita specificando due punti sul piano.
Infatti, dall'assioma considerato nel primo paragrafo di questo articolo, sappiamo che una retta passa per due punti, e per di più solo uno.
Se le coordinate di due punti non corrispondenti sono indicate in un sistema di coordinate rettangolare su un piano, allora è possibile scrivere l'equazione di una retta passante per due punti dati.
In secondo luogo, una linea può essere specificata specificando il punto attraverso il quale passa e la linea a cui è parallela. Questo metodo è valido, poiché una sola retta passa per un dato punto del piano, parallela ad una data retta. La prova di questo fatto è stata effettuata durante le lezioni di geometria al liceo.
Se una retta su un piano è impostata in questo modo rispetto al sistema di coordinate cartesiane rettangolari introdotto, allora è possibile comporre la sua equazione. Questo è scritto nell'articolo l'equazione di una retta passante per un dato punto parallelo a una data retta.
In terzo luogo, una linea può essere definita specificando il punto attraverso il quale passa e il suo vettore di direzione.
Se una linea retta è data in un sistema di coordinate rettangolare in questo modo, allora è facile comporre la sua equazione canonica di una linea retta su un piano e le equazioni parametriche di una linea retta su un piano.
Il quarto modo per specificare una linea è specificare il punto attraverso il quale passa e la linea a cui è perpendicolare. Infatti, c'è solo una linea per un dato punto del piano che è perpendicolare alla linea data. Lasciamo questo fatto senza prove.
Infine, una linea nel piano può essere specificata specificando il punto attraverso il quale passa e il vettore normale della linea.
Se si conoscono le coordinate di un punto giacente su una data retta e le coordinate del vettore normale della retta, allora è possibile scrivere l'equazione generale della retta.
Bibliografia.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Gradi 7 - 9: un libro di testo per le istituzioni educative.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Libro di testo per le classi 10-11 delle scuole superiori.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematica superiore. Volume primo: elementi di algebra lineare e geometria analitica.
- Ilyin VA, Poznyak E.G. Geometria analitica.
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In geometria, le principali figure geometriche sono il punto e la linea. Per designare i punti, è consuetudine utilizzare lettere latine maiuscole: A, B, C, D, E, F .... Per designare linee rette, vengono utilizzate lettere latine minuscole: a, b, c, d, e, f .... La figura seguente mostra una linea retta a e diversi punti A, B, C, D.
Per rappresentare una linea retta nella figura, usiamo un righello, ma non rappresentiamo l'intera linea, ma solo un pezzo di essa. Poiché la linea nella nostra vista si estende all'infinito in entrambe le direzioni, la linea è infinita.
Nella figura sopra, vediamo che i punti A e C si trovano su una linea retta. UN. In tali casi diciamo che i punti A e C appartengono alla retta a. Oppure dicono che la linea passa per i punti A e C. Durante la scrittura, l'appartenenza di un punto a una linea è indicata da un'icona speciale. E il fatto che il punto non appartenga alla linea è contrassegnato dalla stessa icona, solo barrato.
Nel nostro caso i punti B e D non appartengono alla retta a.
Come notato sopra, nella figura i punti A e C appartengono alla linea a. Viene chiamata la parte di una linea che consiste di tutti i punti su quella linea che giacciono tra due punti dati segmento. In altre parole, un segmento è una parte di una retta delimitata da due punti.
Nel nostro caso, abbiamo un segmento AB. I punti A e B sono detti estremi del segmento. Per designare un segmento si indicano le sue estremità, nel nostro caso AB. Una delle principali proprietà dell'appartenenza di punti e rette è la seguente proprietà: attraverso due punti qualsiasi puoi tracciare una linea e, inoltre, solo una.
Se due rette hanno un punto in comune, si dice che le due rette si intersecano. Nella figura, le rette a e b si intersecano nel punto A. Le rette a e c non si intersecano.
Due rette qualsiasi hanno un solo punto in comune o nessun punto in comune. Se assumiamo il contrario, cioè che due rette hanno due punti in comune, allora due rette le attraverserebbero. Ma questo è impossibile, poiché solo una linea può essere tracciata attraverso due punti.
Un punto è un oggetto astratto che non ha caratteristiche di misura: nessuna altezza, nessuna lunghezza, nessun raggio. Nell'ambito dell'attività, solo la sua posizione è importante
Il punto è indicato da un numero o da una lettera latina maiuscola (grande). Diversi punti - numeri diversi o lettere diverse in modo che possano essere distinti
punto A, punto B, punto C
A B Cpunto 1, punto 2, punto 3
1 2 3Puoi disegnare tre punti "A" su un pezzo di carta e invitare il bambino a tracciare una linea attraverso i due punti "A". Ma come capire attraverso quale? A A A
Una linea è un insieme di punti. Misura solo la lunghezza. Non ha larghezza né spessore.
Indicato da lettere latine minuscole (minuscole).
linea a, linea b, linea c
a b cLa linea potrebbe essere
- chiusa se il suo inizio e la sua fine si trovano nello stesso punto,
- aperto se il suo inizio e la sua fine non sono collegati
linee chiuse
linee aperte
Hai lasciato l'appartamento, hai comprato il pane nel negozio e sei tornato all'appartamento. Che linea hai preso? Esatto, chiuso. Sei tornato al punto di partenza. Hai lasciato l'appartamento, hai comprato il pane nel negozio, sei entrato nell'ingresso e hai parlato con il tuo vicino. Che linea hai preso? Aprire. Non sei tornato al punto di partenza. Hai lasciato l'appartamento, hai comprato il pane nel negozio. Che linea hai preso? Aprire. Non sei tornato al punto di partenza.- autointersecante
- senza autointersezioni
linee autointersecanti
linee senza autointersezioni
- Dritto
- linea spezzata
- storto
linee rette
linee spezzate
linee curve
Una linea retta è una linea che non curva, non ha né inizio né fine, può essere estesa indefinitamente in entrambe le direzioni
Anche quando è visibile una piccola sezione di una linea retta, si presume che continui indefinitamente in entrambe le direzioni.
È indicato da una lettera latina minuscola (piccola). O due lettere latine maiuscole (grandi) - punti che giacciono su una linea retta
linea retta A
UNretta AB
BA Ale linee rette possono essere
- si intersecano se hanno un punto in comune. Due linee possono intersecarsi solo in un punto.
- perpendicolari se si intersecano ad angolo retto (90°).
- parallele, se non si intersecano non hanno un punto in comune.
linee parallele
linee che si intersecano
Linee perpendicolari
Un raggio è una parte di una linea retta che ha un inizio ma non una fine, può essere estesa indefinitamente in una sola direzione
Il punto di partenza del raggio di luce nell'immagine è il sole.
Sole
Il punto divide la linea in due parti: due raggi A A
Il raggio è indicato da una lettera latina minuscola (piccola). O due lettere latine maiuscole (grandi), dove la prima è il punto da cui inizia il raggio e la seconda è il punto che giace sul raggio
raggio A
UNtrave AB
BA AI raggi corrispondono se
- situato sulla stessa retta
- iniziare da un punto
- diretto da una parte
i raggi AB e AC coincidono
i raggi CB e CA coincidono
C BA AUn segmento è una parte di una linea retta delimitata da due punti, cioè ha sia un inizio che una fine, il che significa che la sua lunghezza può essere misurata. La lunghezza di un segmento è la distanza tra i suoi punti iniziale e finale.
Qualsiasi numero di linee può essere tracciato attraverso un punto, comprese le linee rette.
Attraverso due punti - numero illimitato di curve, ma solo una linea retta
rette curve passanti per due punti
BA Aretta AB
BA AUn pezzo è stato "tagliato via" dalla linea retta e ne è rimasto un segmento. Dall'esempio sopra, puoi vedere che la sua lunghezza è la distanza più breve tra due punti. ✂ SI LA ✂
Un segmento è indicato da due lettere latine maiuscole (grandi), dove la prima è il punto da cui inizia il segmento e la seconda è il punto da cui termina il segmento
segmento AB
BA ACompito: dov'è la linea, il raggio, il segmento, la curva?
Una linea spezzata è una linea costituita da segmenti collegati in successione non ad un angolo di 180°
Un segmento lungo è stato "suddiviso" in diversi segmenti brevi.
Gli anelli di una polilinea (simili agli anelli di una catena) sono i segmenti che compongono la polilinea. I collegamenti adiacenti sono collegamenti in cui la fine di un collegamento è l'inizio di un altro. I collegamenti adiacenti non devono trovarsi sulla stessa linea retta.
I vertici della polilinea (simili alle cime delle montagne) sono il punto da cui inizia la polilinea, i punti in cui sono collegati i segmenti che formano la polilinea, il punto in cui termina la polilinea.
Una polilinea è denotata elencando tutti i suoi vertici.
linea spezzata ABCDE
vertice della polilinea A, vertice della polilinea B, vertice della polilinea C, vertice della polilinea D, vertice della polilinea E
anello di linea spezzata AB, anello di linea spezzata BC, anello di linea spezzata CD, anello di linea spezzata DE
il collegamento AB e il collegamento BC sono adiacenti
il collegamento BC e il collegamento CD sono adiacenti
il collegamento CD e il collegamento DE sono adiacenti
A B C D E 64 62 127 52La lunghezza di una polilinea è la somma delle lunghezze dei suoi collegamenti: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305
Compito: quale linea tratteggiata è più lunga, UN quale ha più picchi? Alla prima riga, tutte le maglie hanno la stessa lunghezza, ovvero 13 cm. La seconda linea ha tutte le maglie della stessa lunghezza, ovvero 49 cm. La terza riga ha tutte le maglie della stessa lunghezza, ovvero 41 cm.
Un poligono è una polilinea chiusa
I lati del poligono (ti aiuteranno a ricordare le espressioni: "vai su tutti e quattro i lati", "corri verso la casa", "da che parte del tavolo ti siederai?") sono i collegamenti della linea spezzata. I lati adiacenti di un poligono sono collegamenti adiacenti di una linea spezzata.
I vertici del poligono sono i vertici della polilinea. I vertici vicini sono i punti finali di un lato del poligono.
Un poligono è denotato elencando tutti i suoi vertici.
polilinea chiusa senza autointersezione, ABCDEF
poligono ABCDEF
vertice poligono A, vertice poligono B, vertice poligono C, vertice poligono D, vertice poligono E, vertice poligono F
il vertice A e il vertice B sono adiacenti
il vertice B e il vertice C sono adiacenti
il vertice C e il vertice D sono adiacenti
il vertice D e il vertice E sono adiacenti
il vertice E e il vertice F sono adiacenti
il vertice F e il vertice A sono adiacenti
poligono lato AB, poligono lato BC, poligono lato CD, poligono lato DE, poligono lato EF
il lato AB e il lato BC sono adiacenti
lato BC e lato CD sono adiacenti
il lato CD e il lato DE sono adiacenti
lato DE e lato EF sono adiacenti
il lato EF e il lato FA sono adiacenti
A B C D E F 120 60 58 122 98 141Il perimetro di un poligono è la lunghezza della polilinea: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599
Un poligono con tre vertici è chiamato triangolo, con quattro - un quadrilatero, con cinque - un pentagono e così via.