複素変数の関数。
複素変数の関数の微分。

この記事では、複素変数の関数理論に関連する典型的な問題を考察する一連のレッスンを開始します。 例をうまくマスターするには、複素数の基本的な知識が必要です。 資料を統合して繰り返すには、このページにアクセスするだけです。 見つけるスキルも必要です 二次偏導関数。 ほら、これらの偏導関数は…今でもそれが頻繁に起こることに少し驚いています…

私たちが検討し始めているトピックには特別な困難はありません。また、複雑な変数の関数については、原理的にはすべてが明確でアクセスしやすいものです。 重要なことは、私が実験的に導き出した基本ルールに従うことです。 読む！

複素変数の関数の概念

まず、1 つの変数の学校関数についての知識を更新しましょう。

1 つの変数の関数これは、(定義領域からの) 独立変数の各値が関数の 1 つの値にのみ対応するという規則です。 当然のことながら、「x」と「y」は実数です。

複雑な場合、関数の依存関係は同様に指定されます。

複素変数の単一値関数- これは誰もが従うルールです 包括的な(定義領域からの) 独立変数の値は、ただ 1 つに対応します。 包括的な関数値。 この理論では、多値関数や他のタイプの関数も考慮されていますが、簡単にするために 1 つの定義に焦点を当てます。

複素変数関数との違いは何ですか?

主な違いは、複素数です。 皮肉を言っているわけではありません。 このような質問をすると、記事の最後で人々が呆然としてしまうことがよくあります。面白い話をしましょう。 レッスンで ダミー用の複素数という形式の複素数を考えました。 今から文字「z」は 変数, 次に、それを次のように表します: , 一方、「x」と「y」は異なる値をとることができます。 有効意味。 大まかに言えば、複素変数の関数は、「通常の」値をとる変数 と に依存します。 この事実から論理的に次の点が導かれます。

複素変数の関数は次のように記述できます。
、 ここで と は 2 の 2 つの関数です 有効変数。

関数が呼び出されます 実部機能
関数が呼び出されます 虚数部機能

つまり、複素変数の関数は 2 つの実関数 と に依存します。 最後にすべてを明確にするために、実際の例を見てみましょう。

例1

解決：独立変数「zet」は、覚えているとおり、次の形式で記述されます。

(1) を代入しました。

(2) 第 1 項では、略式の乗算公式を使用しました。 期中は括弧が開いています。

(3) それを忘れずに丁寧に角を整える

(4) 用語の並べ替え: まず用語を書き換えます 、虚数単位はありません(最初のグループ)、次にそこにある用語 (2 番目のグループ)。 用語をシャッフルする必要はなく、このステップは（実際に口頭で行うことで）スキップできることに注意してください。

(5) 2 番目のグループでは、括弧内を外します。

その結果、関数は次の形式で表現されることが判明しました。

答え：
– 関数の実部。
– 関数の虚数部。

これらはどのような機能になったのでしょうか？ このような一般的な関数を見つけることができる 2 変数の最も一般的な関数 偏微分。 容赦なく見つけ出します。 でも、もう少し後。

簡単に言うと、解決された問題のアルゴリズムは次のように記述できます。元の関数に を代入し、単純化を実行し、すべての項を虚数単位 (実数部) なしと虚数単位 (虚数部) ありの 2 つのグループに分割します。 。

例 2

関数の実数部と虚数部を求めます

これは自分で解決できる例です。 チェッカーが描かれた複雑な平面での戦いに突入する前に、最大限のことをさせてください。 重要なアドバイスこのトピックにおいて：

気をつけて！もちろんどこでも注意が必要ですが、複素数ではこれまで以上に注意する必要があります。 ブラケットを慎重に開けて、何も失わないように注意してください。 私の観察によると、最も一般的な間違いは看板を紛失することです。 急がないで！

レッスンの最後に完全な解答と答えが表示されます。

さてキューブです。 省略された乗算公式を使用すると、次のように導き出されます。
.

数式は解のプロセスを大幅にスピードアップするため、実際に使用するのに非常に便利です。

複素変数の関数の微分。

良いニュースと悪いニュースが 2 つあります。 良いものから始めます。 複素変数の関数の場合、微分規則と初等関数の導関数表が有効です。 したがって、導関数は、実変数の関数の場合とまったく同じ方法で取得されます。

悪いニュースは、多くの複雑な変数関数には導関数がまったくないため、次のことを理解する必要があることです。 微分可能ですかある機能か別の機能です。 そして、自分の心がどのように感じているかを「理解する」ことは、さらなる問題と関連しています。

複素変数の関数を考えてみましょう。 この関数が微分可能であるためには、次のことが必要かつ十分です。

1) 1 次偏導関数が存在するようにします。 複素変数の関数理論では伝統的に別の表記法が使用されているため、これらの表記法はすぐに忘れてください。 .

2) いわゆる コーシー・リーマン条件:

この場合にのみ派生関数が存在します。

例 3

解決は 3 つの連続した段階に分かれています。

1) 関数の実数部と虚数部を求めてみましょう。 このタスクについては前の例で説明したので、コメントなしで書き留めておきます。

それ以来：

したがって：

– 関数の虚数部。

もう 1 つ技術的な点に触れさせてください。 どのような順序で実数部と虚数部の項を書きますか? はい、原則的には問題ありません。 たとえば、実部は次のように記述できます。 、そして想像上のものは次のようになります。

2) コーシー・リーマン条件が満たされていることを確認してみましょう。 そのうちの2つがあります。

まずは状態の確認から始めましょう。 我々は気づく 偏微分:

したがって、条件は満たされます。

もちろん、良いニュースは、偏導関数はほとんどの場合非常に単純であるということです。

2 番目の条件が満たされていることを確認します。

結果は同じですが、符号が反対になります。つまり、条件も満たされます。

コーシー リーマン条件が満たされるため、関数は微分可能です。

3) 関数の導関数を求めてみましょう。 導関数も非常に単純で、通常の規則に従って求められます。

虚数単位は微分中に定数とみなされます。

答え： – 実部、 – 虚数部。
コーシー・リーマン条件は満たされます。

導関数を見つける方法はさらに 2 つあります。もちろん、使用頻度は低くなりますが、この情報は 2 番目のレッスンを理解するのに役立ちます。 複素変数の関数を見つけるにはどうすればよいですか?

導関数は次の式を使用して求めることができます。

この場合：

したがって

逆問題を解決する必要があります。結果として得られる式を分離する必要があります。 これを行うには、条件内および括弧の外側に次のことが必要です。

多くの人が気づいているように、逆のアクションは実行するのがやや難しく、下書きに式を記入するか、口頭で括弧を開き、結果が正確であることを確認する方が常に良いです。

導関数を求めるためのミラー公式:

この場合： 、 それが理由です：

例 4

関数の実数部と虚数部を決定する 。 コーシー・リーマン条件が満たされていることを確認します。 コーシー リーマン条件が満たされる場合は、関数の導関数を求めます。

レッスンの最後には、短いソリューションと最終デザインのおおよそのサンプルが表示されます。

コーシー・リーマン条件は常に満たされますか? 理論的には、満たされることよりも満たされないことの方が多いのです。 しかし、実際の例では、それらが満たされなかったケースは覚えていません =) したがって、偏導関数が「収束しない」場合は、非常に高い確率で、どこかで間違いがあったと言えます。

関数を複雑にしてみましょう。

例5

関数の実数部と虚数部を決定する 。 コーシー・リーマン条件が満たされていることを確認します。 計算する

解決：解のアルゴリズムは完全に保持されますが、最後に新しい点が追加されます。つまり、点での導関数を求めます。 立方体の場合、必要な式はすでに導出されています。

この関数の実数部と虚数部を定義しましょう。

またまた注目、注目！

それ以来：


したがって：
– 関数の実部。
– 関数の虚数部。

2 番目の条件を確認します。

結果は同じですが、符号が反対になります。つまり、条件も満たされます。

コーシー-リーマン条件が満たされるため、関数は微分可能です。

必要な点での導関数の値を計算してみましょう。

答え：、 、コーシー・リーマン条件は満たされます。

キューブを含む関数は一般的であるため、強化するための例を次に示します。

例6

関数の実数部と虚数部を決定する 。 コーシー・リーマン条件が満たされていることを確認します。 計算してください。

レッスン終了時の解答と仕上げ例。

理論的には 総合的な分析複素引数の他の関数 (指数、サイン、コサインなど) も定義されています。 これらの関数には、通常ではない、さらには奇妙な特性があります。これは非常に興味深いものです。 本当はお伝えしたいのですが、ここではたまたま参考書や教科書ではなく、解答本なので、いくつかの共通機能を使って同じ問題を考えていきます。

まずいわゆるものについて オイラーの公式:

誰にも 有効数値の場合、次の式が有効です。

参考資料としてノートにコピーすることもできます。

厳密に言えば、式は 1 つだけですが、通常は便宜上、指数にマイナスを付けた特殊な場合も書きます。 パラメーターは単一の文字である必要はありません。複雑な式または関数を使用できます。重要なのは、それらが受け入れられることだけです。 のみ有効です意味。 実際に、今これを見てみましょう:

例 7

導関数を求めます。

解決：党の一般的な路線は揺るぎないものであり、関数の実部と虚部を区別する必要がある。 以下に詳細な解決策を示し、各ステップについてコメントします。

それ以来：

(1) 代わりに「z」を代入します。

(2) 置換後、実数部と虚数部を選択する必要があります インジケーターの最初に出展者たち。 これを行うには、括弧を開きます。

(3) 虚数単位を括弧の外に配置して、インジケーターの虚数部をグループ化します。

(4) 度付きのスクールアクションを利用します。

(5) 乗数にはオイラーの公式と を使用します。

(6) 括弧を開くと次のようになります。

– 関数の実部。
– 関数の虚数部。

さらなるアクションは標準です。コーシー-リーマン条件が満たされていることを確認してみましょう。

例9

関数の実数部と虚数部を決定する 。 コーシー・リーマン条件が満たされていることを確認します。 それはそれで、派生語は見つかりません。

解決：解のアルゴリズムは前の 2 つの例と非常に似ていますが、次の点が非常に異なります。 重要な点、 それが理由です 第一段階もう一度段階的にコメントします。

それ以来：

1) 代わりに「z」を代入します。

(2) まず、実数部と虚数部を選択します。 副鼻腔の内側。 これらの目的のために、括弧を開きます。

(3) 次の式を使用します。 .

(4) 用途 ハイパボリックコサインのパリティ： そして ハイパボリックサインの奇数: 。 双曲関数は、この世のものではありませんが、多くの点で同様の三角関数を思い出させます。

最終的に：
– 関数の実部。
– 関数の虚数部。

注意！マイナス記号は虚数部を指します。いかなる状況でもマイナス記号を失ってはなりません。 明確に説明するために、上記で得られた結果は次のように書き換えることができます。

コーシー-リーマン条件が満たされていることを確認してみましょう。

コーシー・リーマン条件は満たされています。

答え：、 、コーシー・リーマン条件は満たされます。

皆さん、自分で考えてみましょう。

例 10

関数の実数部と虚数部を決定します。 コーシー・リーマン条件が満たされていることを確認します。

殻をむいたピーナツのようなものなら誰でも対処できると思われるため、あえて難しい例を選びました。 同時に注意力も鍛えられます！ レッスンの最後にはナッツクラッカー。

さて、結論として、もう一つ検討します 興味深い例、複素数の引数が分母にある場合。 実際にはこのようなことが何度かありました。簡単な例を見てみましょう。 えー、老けたな…

例 11

関数の実数部と虚数部を決定します。 コーシー・リーマン条件が満たされていることを確認します。

解決：ここでも、関数の実数部と虚数部を区別する必要があります。
の場合、

分母に「Z」が入っている場合はどうすればよいのかという疑問が生じます。

すべてがシンプルです - 標準的なものが役に立ちます 分子と分母に共役式を掛ける方法、レッスンの例ですでに使用されています ダミー用の複素数。 学校の公式を思い出しましょう。 分母には​​すでに入っています。つまり、共役式は になります。 したがって、分子と分母に次の値を乗算する必要があります。