実験室作業における測定誤差の計算
「測定プロセスは、絶対および相対測定誤差が示されている場合にのみ、完全に完了したと見なされます。 絶対測定誤差のモジュール || 間隔を指定できます。 本当の価値測定値。 この間隔の長さは 2*|| です。 （図1）。 つまり、絶対誤差は、測定された量の真の値が測定結果とどの程度異なる可能性があるかを示しています。 測定の品質が特徴です 相対誤差、これは絶対誤差 || のモジュールの何倍かを示します。 測定値 X meas 未満。 つまり、未知の量を測定する場合、測定値は区間内にある必要があり、測定結果は相対誤差=x/X measで真の値として取得できます。
既知の値（定数または表形式）を測定する場合、得られた結果の委任状のサインは所有物です 既知の値間隔（図2）。 既知の値を測定するときにエラーの推定が行われなかった場合、結論として、得られた値を表の値と比較する必要があります。 この目的のために、値 (X 測定 - X テーブル)/X テーブルを計算すると便利です。これは、測定の質の簡単な評価として役立ちます。
等式 A=B の形式を持つ法則をチェックする場合、信頼性の符号は区間との交点です (図 3)。 法則を確認する際に誤差を見積もることが難しい場合は、比率 A/B を 1 から計算できます。このとき、差 |A/B-1| 等式 A = B の実験的検証の品質について結論を下すことができます。
測定精度の評価
「物理量の測定の精度は、エラーを引き起こす多くの理由の影響を受けます。
測定誤差は、その発生原因に応じて、次のように分類されます。
測定方法の誤差- これらは、適用された測定方法の不完全性、または実験式の適用における仮定と単純化の影響により生じる誤差です。
デバイスの不適切なインストールに起因するエラー。測定装置には、事前の検証と特定の設置が必要です。 たとえば、無負荷のはかりのバランスをとったり、カップの揺れをチェックしたり、敏感なはかりを水平または垂直に設定したりする必要があります。測定装置を使用するための規則を厳守する必要があります。
測定器への外的影響から生じる誤差。
温度が影響します。 学校で使用される測定器のほとんどは、+20℃の温度で正確な測定値を示します。 温度がこの温度から外れると、測定結果が歪んでしまいます。
気温は、ストーブやセントラル ヒーティング ラジエーターなどの暖気と冷気の流れの影響を受けます。
熱量測定中にこれらの原因の影響を排除するには、バーナーまたはストーブの炎を遮蔽する必要があり、実験は窓またはラジエーターからさらに実行する必要があります。
磁場の影響 ( 磁場大地と電流の磁場）はシールドによって排除されます。 測定器では、設計上シールドが施されていますが、完全ではありません。
各種スプリングやゴムパッキンの採用により、有害な振動や衝撃の影響を排除。
主観的エラーオブザーバーの個々の特性によるエラーです。
たとえば、光信号に対する人間の反応の遅延は、0.15 から 0.225 秒の範囲で、音声信号 - 0.82 から 0.195 秒の範囲です。 複数の実験者が同じ測定を行うと、主観的なエラーを検出できます。
器差(基本) - これらは、メジャーまたは測定装置の製造で発生するエラーです。
反対の符号で取られた器械誤差は、補正と呼ばれます。 修正は通常、デバイスの技術データシートに示されるか、より上位のクラスのデバイスとの比較によって示されます。 測定器が過小評価された測定値を示す場合、パスポートに示されている修正には「+」記号があり、過大評価された測定値 - 「-」があります。
測定装置の誤動作からエラーが検出された場合、それを修正することができない場合は、その読み値を修正する必要があります。
たとえば、氷に浸した温度計は 0ºC に設定されていませんが、+1ºС を示します。つまり、温度計のゼロ点は目盛りの上にシフトしています。 温度を測定するときのそのような温度計の表示は、1°C減少させる必要があります。
許容誤差は、証明書、カタログ、および測定器の説明に示されています。 通常の状態（温度 環境 20℃、 大気圧 760mm。 rt。 アート、湿度80％）。 許容誤差は、州の基準によって正規化されています。 通常、二重記号 ( + ).
読み取りエラー- これらは主に、測定器の読み取り値を一定の精度に四捨五入した結果として現れる誤差です。
学校での実践では、実験作業をより合理的に行うために、以下によって引き起こされるエラーの原因を完全または部分的に排除することが望ましい 外部の影響対象物や測定器について、装置の不適切な設置、および適切な修正を行うことによって主な器差を排除します。
誤差範囲が近いか、または近い場合 より多くのエラー所定のメジャー（測定器）の読み取り、それは読み取りエラーに追加する必要があります。
測定範囲が比較的狭い場合のメジャー（測定器）の器差は一定と見なすことができます。
測定量の近似値、絶対および相対測定誤差。
x=X nom -X
ここで、X nom は測定中に得られた値、X は測定値の真の値です。
> ここで、a は最大絶対誤差 (誤差範囲)、a は測定値の近似値、 x 真値測定量。 その結果、測定された量の値の境界の範囲が決定されます。
a + a=x; a+a > x > a-a;
測定量の近似値、絶対および相対測定誤差。
物理量を測定する際に得られる値は真の値ではなく近似値であり、不正確さは絶対誤差によって決定されます。
絶対測定誤差は、測定量の単位で表されます。 絶対測定誤差 x は、式によって決定されます。
x=X nom -X、ここで
X nom - 測定中に得られた値、測定値の X-true 値。
ただし、測定された量の真の値は不明のままであるため、実際には、測定誤差のおおよその推定しか見つけることができません。
測定量の真の値に対する絶対測定誤差の比率は、相対測定誤差です。 相対測定誤差はパーセンテージで表すことができます。
真の絶対誤差の定義によれば、その符号と大きさはわかっているため、実際には最大 絶対誤差.
最大絶対誤差は許容誤差であり、式 a によって決定されます。 > ここで、a は最大絶対誤差 (誤差範囲)、a は測定量の近似値、x は測定量の真の値です。 その結果、測定された量の値の境界の範囲が決定されます。
a + a = x; a + a > x > a - a;
実際の必要性、測定機器の精度、および使用される測定方法に応じて、絶対誤差の境界を減らしたり増やしたりすることができます。
最大相対誤差 (相対誤差の限界) は、測定値の近似値のモジュラスに対する最大絶対誤差の比率です。
a rel =a/|a|
算術平均法
測定結果の精度は、測定器の特性（器差など）だけでなく、測定する身体の特徴によっても影響を受けることがあります。
たとえば、ワイヤーの太さはその長さに沿って異なる可能性があるため、1つの測定に限定することはできませんが、ワイヤーのさまざまな場所でいくつかの測定を行う必要があります。
測定結果に影響を与えるすべての理由を考慮して特定することは不可能であり、その結果、必然的なランダムエラーが異なる結果をもたらします。 測定値の真の値よりも大きいものもあれば、小さいものもあり、小さな誤差を作る確率は大きな誤差よりも大きくなります (正規分布の法則)。 ランダムエラー）。 得られた結果を相加平均することでランダム誤差の影響を弱め、より測定値の真値に近い結果を導き出します。
マイクロメータでワイヤの太さを繰り返し測定した結果、a 1 、a 2 、... a n が得られたとします。 すべての測定結果の算術平均 (値の平均値) は次のようになります。
a cf \u003d (a 1 + a 2 + ... + a n) / n
i 次元の平均値からの偏差は次のようになります。a=|a i -a cf |
平均偏差を次のように求めます。
結果は次のように書かれます: a = a sr + a cf
結果の平均相対誤差は、量の平均値に対する平均絶対誤差の比率によって決まります。
a cf / a cf =
複数の測定の過程で測定装置が同じ読み取り値を出す場合、測定の繰り返しは意味を失います。 一度測定すれば十分です。
これは、測定器の器差が個々の測定のランダム誤差よりも大きい場合に発生します。 この場合の最大絶対測定誤差は、測定器（測定器）の器差または目盛分割値をとります。
算術平均法による誤差の計算規則:
同じ条件で同じ定数値の測定を繰り返します。
すべての測定は、同じ読み取り誤差で行われます。
この方法は、直接測定に使用され、個々の測定結果間の不一致により、各測定の読み取り誤差と許容される機器誤差が増加する場合にのみ使用されます。
ノート。 直接測定とは、メジャー（測定器）を使用して直接結果が得られるもので、たとえば、測定定規で身長を測定したり、スケールで体重を測定したりします。
算術平均の誤差が機器の許容誤差に近づくか、または単一の測定の読み取り誤差になるように、測定の数に応じて、目的の値の近似値の精度が重要になる可能性があります。
繰り返し測定中に同じ結果が得られた場合は、測定器（または測定される機器）の機器許容誤差が測定誤差として採用されます。
ボーダー方式
ボーダー方式- これは、間接測定および直接単一測定の近似計算の主な方法の 1 つです。
ノート： 間接測定による彼らは、機能依存性による直接測定によって得られた量と所望の量を結びつける公式に従って計算によって測定された量の結果を与えるような測定を呼びます。 たとえば、均一に動く物体の速度は、それが行った動き (定規で測定) とそれに費やされた時間 (時計を使用して計算) に基づいて、式 U = S / t に従って決定されます。
境界の方法では、2つの値が決定されます 物理量: 一方は明らかに真の値よりも小さく、値の下限 (LH) と呼ばれ、もう一方は上限 (SH) と呼ばれます。 上限と下限の間には、目的の値の真の値があります。
この場合、直接測定によって得られた量の値の絶対誤差については、平均をとらないでください。 算術エラー複数の測定によるものですが、1 回の測定の最大絶対誤差です。 たとえば、センチメートルのテープで測定したボードの長さ: L=95 + 1 cm. 次の不等式を書くことができます。
95-1 ここで、94 は下限 (LH)、96 は上限 (SH) です。 境界を見つけるためのルール。 物理量の値の境界は、中間結果として計算されます。つまり、1桁の予備があります。 下限は切り捨て、上限は切り上げ。 実際には、近似数を使用して演算を実行する場合、次のように処理されます。演算は、近似数の平均値に対して実行されます (加算、減算、乗算、除算)。 同じ操作が平均値で実行され、絶対誤差が加算および減算されます。 最新の結果から、それらの差を求めることで絶対誤差を見つけます。 a = a cf +
a; b = bcf +
b; a in \u003d a cf + a; a n \u003d a cf - a; b in \u003d a cf + a; b n \u003d a cf - a; "+": s cf = a cf +b cf; s \u003d (a in + b in) - (in n + b n); s = s cf + s "*": s cf = a cf * b cf; s \u003d（a in + b in）*（n + b n）; s = s cf + s など 測定結果の評価方法 「結果を評価する方法により、物理量を測定するときに得られる絶対誤差と相対誤差をすばやく判断できます。 これは、近似計算理論の公式の適用に基づいています。 ノート。 読み間違いは考慮され、器械的誤りは教師の指示で考慮されます。 物理量の近似値の絶対誤差と相対誤差を知ることで、真の値がその間にある値の範囲の上限と下限を決定することができ、その間に目的の量の真の値（ VG と NG) があります。 「間接測定の誤差範囲の推定値の例を表に示します」: エラー式 機能タイプ 絶対誤差 相対誤差 z=x+y F=sin(x)x . 実際には、微分する前に、計算を簡単にするために関数の対数を取ることがよくあります。 次に、量の積が対応する合計に変換され、累乗関数と指数関数が積に変換されます。 次に、エラーを見つけるために次のルールが使用されます。 直接測定の絶対誤差 (機器または平均) を決定します。 Prologarithm 計算された作業式。 直接測定の値を独立変数として取り、結果の式から総差を見つけます。 すべての偏微分を絶対値で合計し、それらの変数の微分を対応する直接測定誤差に置き換えます。 結果のグラフ表示 « 実験結果のグラフ表示は、関数関係のタイプを確立するときに役立ちます。 関数を式の形で（分析的に）表すことが難しい量の間の関係を調べます。 「実験室での作業のフロントパフォーマンスは、レッスンの最後に観察と測定の結果をまとめて議論する十分な機会を与えてくれます。 これは、学生による各リンクによる作業のパフォーマンスの正確さの迅速な制御として機能し、そのような結果を処理して正しく評価する必要性に徐々に慣れます。 さらに、7 年生と 8 年生では、数値結果を処理するときに、近似数の演算規則に自分自身を制限することができます。結果の評価方法。 ここでそのような計算の量と性質を分析する必要はありません。これはすべて、測定性のほとんどの作品の説明の最後にある多数の例で十分に詳細に示されているためです。 学生は測定誤差の計算方法を習得するのが難しいことを常に覚えておく必要があります。したがって、ここでは、一般的な予備的な指示や説明に限定することは決してできません。 実験結果の集合的な議論では、これらのスキルは、測定性質の各実験室作業の後に特定の例を使用して、徐々にかつ持続的に形成されるべきです. 一部の実験室作業では、得られた結果の処理は、研究中のプロセスの1つまたは別の特徴、物理量間の1つまたは別の依存性を明確に示す必要があります。 この場合、結果を要約する最良の形式はグラフであり、これについても学生と話し合う必要があります。 質的な性質の正面作業の結果を議論するとき、特定の例を使用して実験が行われた設備を概略的に描写する簡単な方法を学生に示す必要があります。 レポートは、物理的な実験を記述し、実験室での作業のパフォーマンスをチェックし、学生の知識とスキルを評価する際の学生の一般化されたスキルの形成にとって重要です。 研究室で短い報告書を書くことは、しばしば学生にとって困難であり、執筆は実験作業を犠牲にして非生産的に多くの時間を浪費する傾向があります. 多くの場合、学生はレポートの内容に、すべての機器のリストやインスタレーションをコンパイルするプロセスの詳細な説明など、ほとんど必要のない資料を含めます。「...彼らは三脚を取り、それに足を固定しました。 e. これは、一部の教師がレポートに過度の要求をするという事実によるものであり、その外部的で形式的な性質が実験室での作業の点数を決定することがよくあります。 物理量を測定するとき、量間の関数の依存関係を見つけるとき、レポートの法則を調べるとき、ほとんどの場合、それで十分です: 実験室の作業の名前; 主な機器のリスト（測定およびその他の機器）; 概略図、図面、電気回路または光回路、および計算式を伴う、測定方法および測定セットアップの簡単な説明。 測定、計算、および出力の結果を記録します。 測定方法を説明するときは、測定の種類、測定機器、測定設備で発生する現象とプロセス、計算式が導き出される初期パターンを特定することをお勧めします。 測定と計算の結果を表の形式で記録することをお勧めします。この形式は、事前に学生と話し合うのに役立ちます。 これは、学生にレポートの書き方を教え始めるときに特に役立ちます。 表形式に加えて、測定結果を記録する自由形式が役立つことがよくあります。 一部の作品では、測定結果がグラフ形式で表示されます。 グラフは、描画ツールを使用して市松模様の紙に直交座標系で描画されます。 同時に、引数（独立変数）の知識、つまり、作業の実行中に測定される値が横軸に沿ってプロットされ、関数の結果の数値が縦軸に沿ってプロットされます軸。 座標軸では、保留中の値とその寸法の記号を示します。 適用された座標点は、破線ではなく、個々の測定値の誤差の境界内を通過する滑らかな曲線によって互いに接続されます。 生産されたその数と量 分類種族 ラボおよび実践的なクラス、... 学生に関しては、主に開催されますが、 正面仕事. 管理 ラボ、制作のマスターのための実践的なレッスン... レンズとレンズの間の中間 正面対物レンズは、研究対象の合金の初晶です。 分類...を示す観察された共晶は、包晶反応中に形成されましたか? ラボ仕事 6号。 鋳物のマクロおよびミクロ構造... キプロス研究所局 ラボ仕事コース「物理学」で...（研究室）の学生が行います 作品正面方法。 したがって、必然的に発生します... 4.0、課外と見なされます。 分類電流計、電圧計に適用されます... その他、すなわち システム上で実行する必要があります。 分類正面ラボ作品: 1. 物理現象の観察と研究。 2. ... 材料、b) 実行時の使用 ラボ作品、V) 正面簡単な問題を解く、d) ... 高等職業教育省 スィクティフカル州立大学 —————————————— 物性学科 理論計算物理学科 仕事のパフォーマンスにおけるエラーの説明 物理的なワークショップの実験室で スィクティフカル 2000 2000 年 4 月 19 日の物理学部の教育および方法論委員会の会議で承認されました (議事録 N 6) 編集者: Kolosov S.I. ネキペロフ S.V. はじめに………………………………………….. 3 1. 測定値とその誤差 ………………………….. 3 2.ランダムエラーの計算………………。 4 3.系統誤差の計算………………。 5 4. 間接測定の誤差 …………………… 7 5. 測定結果の記録 ………………………… 9 6. 最小二乗法 ………………………….. 9 7. 実験結果をグラフで表示。 14 8. 研究室の学生の要件 物理的なワークショップ………………………….. 14 9.実験室の作業を行うためのルール……………….. 15 10. 報告書の要件 ……………….. 16 11. アプリケーション ………………………………………….. 16 科学としての物理学の主要なタスクの 1 つは、自然界の物理現象を適切に記述することです。 これらの現象の本質の解明とそれらを説明するための特定のモデルの構築。 同時に、これらのモデルを構築するための基礎とその正確さの基準は、物理的な実験です。 物理的なワークショップの実験室で行われる作業は、実験物理学の基礎を習得するための最初のステップです。 実験室での作業を行うとき、学生は物理量を測定し、これらの測定値の精度を評価し（測定誤差を見つけます）、さまざまな物理量間の関係を確認して見つけ、得られた結果を理論の結論と比較することを学ぶ必要があります。 これらのガイドラインのタスクは、物理量を測定する方法と、力学に関する物理ワークショップの作業の例に関する実験データの全体からこれらの測定値の誤差を見つける方法を学生に知らせることです。 1. 測定値とその誤差。 物理的なワークショップで実験作業を行う場合、1 つまたは複数の物理量の 1 つまたは複数の測定を実行する必要があります。 将来的には、取得した実験データを処理して、目的の値とそのエラーを見つけます。 測定- これは、測定値と別の測定単位との比較です。 どんな物理量も 本当の価値、つまり オブジェクトのプロパティを理想的に反映する値。 測定値は次のように分類されます。 真っ直ぐと 間接的.. 直接.測定は、調査中の量を測定する器具を使用して実行されます（体の直線寸法は定規で測定され、質量は単位質量ごとに較正されたスケールを使用して測定されます）。 で 間接的測定値は、既知の関係 (測定された線形寸法からの身体体積の測定、身体密度など) によってそれに関連付けられている他の量の直接測定の結果から計算されます。 測定の品質は、その精度によって決まります。 測定精度は、その誤差によって特徴付けられます。 測定誤差(). 物理量の実験的に発見された値と真の値との差と呼ばれる を除外する 絶対誤差知っておくことが重要です 相対的 エラー、測定された量の値に対する絶対誤差の比率に等しい 測定値の品質は通常、絶対誤差ではなく相対誤差によって決まります。 測定誤差はさまざまな理由で発生し、通常は系統的、ランダム、および「グロス」（ミス）に分類されます。 「ラフ」エラー(ミス) 実験者の見落としや装置の不具合により発生する。 測定値に「重大な」エラー (ミス) があったと判断された場合は、これらの測定値を破棄する必要があります。 「総」誤差に関連しない実験誤差は、次のように分類されます。 ランダムと 系統的. 2. ランダム エラーの計算。 同じ測定を繰り返し行うと、多くの場合、結果が互いに等しくなく、ある程度の平均値付近にあることがわかります。 経験から経験へと意味と記号を変えるエラーは呼ばれます ランダム. ランダムエラーは、測定対象の不完全性と、測定方法の特徴と実験者自身の両方に関連している可能性があります。 では、たとえば作品番号 24 を考えてみましょう。この作品では、鋼球と大理石のスラブとの弾性的な相互作用のプロセスが研究されています。 同じ高さからボールを投げたときのボールとプレートの不均一性による 時間、彼は、スラブを打つたびに、異なる高さに跳ね返ります h'垂直スケール バーで測定されます。 結果として生じる量の測定誤差 h'ランダムであり、測定オブジェクトの不完全性によるものです。 同時に、実験を行っている学生がボールの動きを上から、次に下からたどる場合、値の誤差 h'また、測定方法の特徴と実験者自身によっても決定されます。 ランダムエラーは、確率論に基づくエラー理論の法則に従って決定されます。 ここでは、証明を使用せずに、主要なプロパティとその計算規則のみを分析します。 上記で始めた作品 No.24 の考察を続けましょう。 高いところからボールを投げるとき 時間\u003d 30 cm、大理石のボードに当たったときにボールが高さに跳ね返った h': h'（cm） 測定された量の最良の値として、通常、得られたすべての結果の算術平均が取られます。 この結果は、次の式で定義された誤差を取る必要があります。 実験結果は次のように書かれています。 私たちの場合には 式 (3) と (4) からわかるように、実験回数の増加に伴う値 nほとんど変わらないので 量はほぼ同じ値を持ち、それらの合計は項の数に比例して増加します。 n. 成長とともに n減少します ((4) の合計の項の数は、 n、および 1/( としての部首式全体 n-1)). 確率論は、十分に大きい n値は傾向があり、値は分散と呼ばれます。 この場合、式 (5) は、測定値の約 2/3 (より正確には 68.3%) が間隔内にあることを意味します。 前述のことから、測定数を増やすことで、大幅に削減できると結論付けることができます。 ランダムエラー。 しかし、測定数を増やしても系統誤差は変化しません。 3. 系統誤差の計算。 系統誤差は、ランダムとは異なり、実験中にその値 (および符号) を保持します。 計器の精度の限界、外的要因の無視などにより、系統誤差が現れます。 通常、系統誤差の主な原因は、測定に使用される機器の精度によって決まる誤差です。 それらの。 何度測定を繰り返しても、得られる結果の精度は、このデバイスの特性によって提供される精度を超えることはありません。 従来の測定器（定規、ばね秤、ストップウォッチ）では、装置の目盛の半分を絶対系統誤差としています。 したがって、私たちが検討した作業 N 24 の場合、値は h'精度 =0.05 で測定可能 cm、定規がミリ単位の場合、=0.5 cm、センチメートルのみの場合。 工業用電気測定器の系統誤差は、精度クラスによって決定され、通常はパーセンテージで表されます。 精度に応じて、電気測定器は 0.05、0.1、0.2、0.5、1、1.5、2.5、4 の 8 つの主な精度クラスに分類されます。 クラス 正確さという価値があります 最大許容パーセントで表した相対誤差。 たとえば、デバイスの精度クラスが2の場合、これは、たとえば電流を測定するときの最大相対誤差が2％であることを意味します。 ここで は電流計の測定スケールの上限です。 この場合、値（現在の強さを測定する際の絶対誤差）は次のようになります。 特定の電流計で電流強度を測定する場合。 式 (6) によって計算される は、このデバイスで許容される最大誤差であるため、通常、 を決定するには、デバイスの精度クラスによって決定される誤差を 2 で割る必要があると考えられています。 それらの。 同時に、このデバイスのすべての測定で同じになります。 ただし、相対誤差（私たちの場合 どこ 私- 機器の読み値) が小さいほど、測定値の値がこの機器で可能な最大値に近づきます。 したがって、測定中のデバイスの矢印がスケールの中央を超えるようにデバイスを選択することをお勧めします。 実際の実験では、系統誤差とランダム誤差の両方が存在します。 それらを絶対誤差 と で特徴付けましょう。 次に、実験の総誤差は次の式で求められます 式 (7) から、これらの誤差の 1 つが小さければ無視できることがわかります。 たとえば、 をさらに 2 倍にすると、 それらの。 12% まで正確 = . したがって、誤差が半分であっても、誤差が小さいほど誤差は大きくなりません。 実験のランダム誤差が少なくとも系統誤差の半分である場合、この場合、実験の合計誤差は実質的に減少しないため、複数の測定を行うことは意味がありません。 ランダム誤差が本当に小さいことを確認するには、2 ～ 3 回の測定で十分です。 我々が検討している作品の場合、N 24 = 0.26 cm、および 0.05 のいずれか cm、または 0.5 cm. この場合 ご覧のとおり、最初のケースでは を無視でき、2 番目のケースでは を無視できます。 4. 間接測定の誤差。 多くの場合、作業で必要な値は、直接的な測定では決定できず、間接的な測定によってのみ決定されます。 それらの。 目標値は、既知の関係によって関連する他の量の直接測定結果から計算されます。 値をみましょう あ直接測定量に関連する x、y、z… 比 A=f(x,y,z..),あ それから と 式 (9) の式は、変数に関する関数の偏導関数を意味します。 バツ、つまり 導関数は、他のすべての変数の場合に取得されます y、z、… はパラメーター (定数) と見なされます。 式（9）の対応する偏導関数の値は、変数の代わりに代入することによって求められます x、y、z…値 表 1 は、間接測定の絶対誤差と相対誤差を計算する式を示しています。
表 1 からわかるように、いくつかの間接的な測定では、絶対誤差 (和、差、三角関数) の公式を使用するのが便利であり、相対誤差 (積、商、度を含む式) の公式を使用すると便利です。 値が あが表 1 に示されているよりも複雑な依存関係を持っている場合は、一般規則 (9) を使用するか、表 1 の式を組み合わせる必要があります。 作業 N 24 の検討を続けましょう。この作業の次のステップは、式によって求められる回復係数を見つけることです。 どこ 時間はボールが投げられる高さであり、 h'- インパクト後にボールが跳ね返る高さ。 私たちの場合には h'=(15.35 0.56)cm または h'\u003d（15.35 0.26）cm、および 時間=(30.0 0.5)cm または 時間= (30.00 0.05)cm、 それぞれセンチ目盛りとミリ目盛りの定規で測定します。 式（8）により、 見つけるには、表 1 を使用します。 示す h'/h = x、そして なぜなら x = h'/h、表1から見つけます 最後に 対応する値を代入すると、次のようになります。 0.0203 または =0.0093 したがって、=0.5123 0.0203=0.0104 または =0.5123 0.0093=0.0048 その後、最終結果が書き込まれます 0.5123 0.0104 または = 0.5123 0.0048 (10) それぞれセンチ目盛りとミリ目盛りの場合です。 5. 測定結果の記録。 最終的に結果をフォーム (5) に書き込むときは、次の規則を使用する必要があります。 1) 誤差を記録するときは、10、11、12、13、14 の場合は有効数字 1 桁または有効数字 2 桁に丸める必要があります。 2) 測定値を記録する場合 バツエラーを特定するときに使用される小数点以下の最後の桁を示す必要があります。 この場合、標準の丸め規則を使用する必要があります。次の有効桁数が 5 未満の場合、有効桁数は変更されません。 破棄される最初の桁が 5 以上の場合、最後の有効桁が 1 増加します。 これらの規則に従って、(10) の最終結果は次の形式で記述されます。 0.512 0.010 または = 0.512 0.005 得られた結果がさらなる計算（間接測定）の中間であり、それらを見つけることが実験室での作業の目的ではない場合、この場合、フォーム（5）の結果の記録に2つの有効数字を残すことができます。結果を記録するときに行った h'. 6. 最小二乗法 グラフ形式でさらに分析するために、実験的研究の結果を提示すると便利です。 多くの場合、変数間の関数依存関係は線形であるか、変数の特定の変更によって依存関係が線形形式になることがあります。 たとえば、一様に加速された物体の 1 次元運動を調べる場合、さまざまな時点での物体の座標を決定します。 ここで、 は物体の初期座標、 は初速度です。 この依存関係を次の形式で書き直してみましょう。 変数を導入すると この直線の軸に対する傾斜角の正接は、物体が移動した加速度の半分に等しく、軸上の直線で切り取られたセグメントは、物体の初速度の値を示します。 原則として、実験点は正確に直線上にはありません。 自然な疑問が生じます: これらの点を通る直線を引く最良の方法は何ですか? 「目で」直線を描く場合、実験点が大きく分散しているため、さまざまな人が描いた直線は、これらの直線の傾きと y で切り取られたセグメントのサイズが互いに大きく異なる可能性があります。 -軸。 つまり、この方法は非常に主観的です。 さらに、決定された量の誤差を評価することはできません (図 1 の場合 - 加速度と初速度)。 最も広く使用されているのは、いわゆる最小二乗法 (LSM) です。 その本質は次のとおりです。 直線 の実験的依存性を概算します。ここで、 と はまだ未知の係数です。 点を通る任意の直線を引きましょう (図 2)。 各点から線と交差するまで垂直線を引きます。 得られたセグメント - ポイントから直線まで - を直線からの偏差と呼びます。 図 2 では、長さ 、 、 、 のセグメントになります。 i 番目の偏差の値は次のようになります。 直線のパラメータを変更すると、セグメントの長さが変わります。 最小二乗法における最良の線の基準は次のとおりです。二乗偏差の合計が最小でなければなりません。 または： この合計の最小値は、直線 と のパラメータを選択することによって達成されます。 数学的分析はそのようなタスクに簡単に対処し、これらのパラメーターに次の式を与えます。 どこ さらに、次の量が計算されます。 直線からの点の標準偏差: 係数 と の誤差: 以下は直接法のパラメータを最小二乗法で計算するプログラムです。 プログラムはBASICで書かれています。 必要に応じて、他のプログラミング言語で簡単に書き直すことができます。 金額が示されています。 ; ; ; 行 100 ～ 140 でこれらの金額が計算されます。 次の行では、直線のパラメーターが計算され、次のように示されます。 10 寸法 X(50)、Y(50) 20 PRINT "ポイント数 N ="; 40 FOR I = 1 対 N 50 PRINT: PRINT "I ="; 私 60 PRINT "X="; : 入力 X(I) 70 PRINT "Y="; : 入力 Y(I) 90 X1=0:X2=0:Y1=0:Y2=0:S=0 100 FOR I = 1 対 N 110 X1 = X1 + X(I): X2 = X2 + X(I)^2 120 Y1 = Y1 + Y(I): Y2 = Y2 + Y(I)^2 130 S = S + X(I) * Y(I) 150 D = N * X2 - X1 * X1 160 A = (N * S - X1 * Y1) / D 170 B = (Y1 - A * X1) / N 180 F = Y2 - A * S - B * Y1 190 D1 = SQR(F / (N – 2)) 200 A1 = D1 * SQR(N / D) 210 B1 = D1 * SQR(X2 / D) 220 PRINT「*********************************************」 230 PRINT "Y=A*X+B" 240 PRINT "A="; A; タブ(20); "DA="; A1 250 PRINT "B="; B; タブ(20); "デシベル=; B1 260 PRINT "DELTA="; D1 プログラムの動作を実証するために、実験室の作業 No. 3「オーバーベックの振り子」に目を向けましょう。 数式は、作業で実験的に検証されています ここで、 は振り子の角加速度、 は振り子の慣性モーメント、 は摩擦力のモーメントであり、は外部モーメントであり、 振り子の回転。 この式を次の形式に書き直してみましょう。 変数の数値は、次の表に示されています。 コンピューターでの計算結果: *************************************** A = 32.8123 DA = .938343 B=-.10184 DB=.0214059 Δ=4.74768E-03 振り子の慣性モーメントを求める: 慣性誤差: 摩擦モーメント: 摩擦トルクエラー: 直線からのポイントの標準偏差 角加速度を決定する際のエラーを特徴付けます。 7. グラフによる実験結果の説明 グラフをプロットするときは、次の規則に従う必要があります。 1）測定点がシートの全領域に配置されるように、スケールと原点が選択されます。 2) グラフにプロットされた点は、正確かつ明確に描かれている必要があります。 点の構成を説明する線やマークはグラフに適用できません。これらは図面を乱雑にし、結果の分析を妨げるためです。 3) 座標軸上では、グラフ上にプロットされた点の座標を示すこともできません。 4）選択したスケールの軸にマークが付けられ、その横に数字が付けられ、スケールの分割に対応する値を設定できます。 5) 測定された量と測定単位の名前も軸に表示されます。 6) 実験点のランダム誤差が既知の場合、それらはグラフ上で十字として表示されます。 十字の水平方向の半分のサイズは、横軸に沿った標準誤差と等しくなければならず、垂直方向の半分のサイズ - 縦軸に沿った誤差です。 上記のルールを説明するために、最小二乗法を使用して計算した結果を図 3 にグラフで示します。 8. 研究室の学生に対する要件 物理的なワークショップ 各実験室の作業は小さな物理的な実験であり、教師との面接に合格した（労働許可に合格した）学生が入学できます。 したがって、実験室での作業の準備の過程で、この作業の説明を調べ、必要に応じて教科書の関連セクションまたは作業説明に示されている追加の文献を読む必要があります。 導入された概念と測定量の物理的意味に特に注意を払う必要があります。 すでに準備の過程で、作業で測定された量の誤差式を独自に導出する必要があります。 許可証と以前の作品に関するレポートに合格した学生は、働くことができます（最初の作品に関するレポートは、3番目のレッスン、4番目のレッスン、2番目のレッスンなどに提出されます）。 学生に入学を許可するときは、次の要件が課されます。 測定プロセスの本質と作業で研究される現象の明確な理解、すべての物理的概念の明確な定義を与える能力; 実験のセットアップ、使用される機器の動作原理、およびそれらを使用するためのルール、実験を行うための方法論に関する知識; 研究中の現象を記述する公式と誤差公式を導き出す能力。 数値を評価し、エラーの主な原因を示します。 通常、ラボの説明には、ほとんどのリストが含まれています。 仕事で統制質問を使用しました。 事前に読んでおけば、入学に合格する前に自分の知識をテストする機会が得られます。 働く許可を得て、教師が選択したスキームの正しさを確認した後、学生は働き始めます。 得られた結果は、できれば表の形で慎重に別々のシートに記録され、すべての測定が完了したら、署名のために教師に渡されます。 測定結果の処理、誤差の計算、レポートの作成は自宅で行います。 9. 仕事を遂行するための規則。 1. 実験室での作業は、教師が作成したスケジュールに従って厳密に実行されます。 2.許可証と以前の仕事に関するレポートに合格した学生は、働くことができます（最初の仕事に関するレポートは、3番目のレッスン、4番目のレッスン、2番目のレッスンなどに提出されます）。 3. 課題を完了することが許可されていない学生は、クラスから削除され、学期の終わりに欠席した課題を実行します。 4.作品の演奏を認められた学生は、独立して演奏を始めます。 5. 実験室での作業中、学生は安全規則に従わなければなりません。 安全規則または実験室作業を行うための規則に違反した学生は、実験室作業の実施を停止され、条項 3 に指定された制限時間内にそれを実行する場合があります。 6. 作業が完了したら、測定結果 (ドラフト) に教師が署名する必要があります。 7. 作品の最終成績は、加工結果報告書の提出をもって決定します。 8. 単位は、学生がプログラムによって提供されるすべての実験室作業を完了し、合格することを条件に与えられます。 10. レポートの要件 ラボ レポートは、学生の作業を反映する主要なドキュメントです。 すべての測定結果、計算値とその誤差の式、および測定結果が含まれている必要があります。 レポートには、測定中に作成され、教師が署名したメモを含むドラフトを添付する必要があります。これがないと、レポートは無効になります。 レポートは、コンピュータを使用して、または手動で実行されます。 手書きでレポートを書く場合、レポートはインクで作成され、鉛筆で描画されます。 必要なグラフィックスは方眼紙に鉛筆だけで作成され、レポートに接着されます。 レポートは別のシートで実行され、次のものが含まれている必要があります。 1.作品の番号とタイトル、作品の完成日、教師への作品の配達日、学生、コース、グループの姓とイニシャル。 2. 問題の簡単な説明 (作業の目的)。 3. 設置図または概略図。 4. 作業公式と誤差公式。 5. 可能であれば、表形式での測定結果。 6. 測定量とその誤差の計算結果。 測定された（計算された）物理量の表形式の値がある場合は、その値を持参する必要があります。 7. 表とグラフの形での最終結果。 8. 実施された研究からの簡単な結論。 11. 付録。 PASCAL言語によるLSM法のプログラム。 x,y:実数の配列; sumx、sumxx、sumy、sumyy、sumxy:real; d、デルタ、a、ダ、b、デシベル、f: 実; write('ポイント数 N='); for i:=1 to n do writeln(i,'番目の点:'); write('x(',i,')='); write('y(',i,')='); 合計:=0; sumxx:=0; 合計:=0; 合計:=0; サムシー:=0; for i:=1 to n do sumx:=sumx+x[i]; sumxx:=sumxx+sqr(x[i]); sumy:=sumy+y[i]; sumyy:=sumyy+sqr(y[i]); sumxy:=sumxy+x[i]_7&_0y[i]; d:=n*sumxx-sqr(sumx); a:=(n*sumxy-sumx_7&_0sumy)/d; b:=(sumy-a*sumx)/n; f:=sumyy-a*sumxy-b_7&_0sumy; デルタ:=sqrt(f/(n-2)); ダ:=デルタ*平方(n/d); デシベル:=delta_7&_0sqrt(sumxx/d); writeln('直線 y = a*x + b のパラメータとその誤差:'); writeln('a = ', a:12, 'da = ':20, da:12); writeln('b = ', b:12, 'db = ':20, db:12); writeln('標準偏差 = ',デルタ:12); 「管理、認証、イノベーション」という分野で （計測、標準化、認証）」 測定誤差と測定器誤差 1. 測定誤差 2. 測定器の誤差 コントロールの質問 問題解決例 概要：
実験室での作業の最後に与えられたすべての管理質問に答えてください。 測定誤差と測定器の誤差の分類をまとめます。 知る：
測定誤差の主な種類; エラー理論の主な規定; 測定器の誤差; 決定：
個々に、各生徒は問題のすべてのバリエーションを解決する必要があります。 レポートのフォーマット:
レポートは、各学生が個別のノートに手書きで個別に作成します。 ノートブックはタイトルページから始まり、生徒の名前とグループが示されています。 ラボ レポートは、タイトルと期日で始まります。 測定誤差の主な種類を考えてみましょう。 表現の仕方によっては、 絶対誤差と相対誤差. 絶対これは測定誤差と呼ばれ、測定値と同じ単位で表されます。 次のように定義されています。 = あ
- バツイスト あ
– バツ d どこ あ- 測定結果; バツ ist - 測定された物理量の真の値; バツ d は測定量の実際の値です。 相対測定誤差() は、測定量の真の (実際の) 値に対する絶対測定誤差の比率です。 % の相対誤差は、次の式によって決定されます。 例。 回路Iの電流の強さを測定した結果、いくつかの値が得られました：i 1 = 0.55 A; i2 = 0.58 A; ...i n = 0.54 A. 平均値 i = 0.56 A が計算されました。 エラー 1 \u003d i 1 - i \u003d 0.55-0.56 \u003d -0.01 A; 2 \u003d i 2 - i \u003d 0.58 -0.56 \u003d 0.02 A; n \u003d i n - i \u003d 0.54-0.56 \u003d -0.02 A は絶対測定誤差です。 平均値を実際の値、つまり i D \u003d i として取得すると、一連の測定値における個々の測定値の相対誤差が決定されます。 条件と測定モードに応じて、 静的エラーと動的エラー. 静的時間の測定値の変化率とは無関係に、エラーと呼ばれます。 動的時間の測定値の変化率に応じて、エラーと呼ばれます。 動的誤差は、測定器の測定回路の要素の慣性によるものです。 症状の性質、除去の可能性、および発生の原因に応じて、 系統誤差とランダム誤差. 系統的(c) は、同じ値の繰り返し測定中に一定のままであるか定期的に変化する測定誤差の成分です。 系統誤差の理由は次のとおりです。 スキームによって提供される計算値からの実際の測定器のパラメーターの偏差。 回転軸に対する測定器の部品の不均衡; 目盛誤差や目盛のわずかなズレなど 一定の系統誤差の多くは、測定プロセスでは外に現れません。 測定結果を実際のツールや模範的なツールと比較することで、検証プロセス中にそれらを検出できます。 ランダム ランダムエラーは、多くのソースが同時に作用することで発生し、それぞれが測定結果に与える影響はわずかですが、すべてのソースの全体的な影響は非常に大きくなる可能性があります。 原則として、測定を実行すると、ランダム誤差と系統誤差が同時に現れるため、測定誤差は次のようになります。 ランダムエラーはエラーであり、それぞれの出現にはパターンが観察されないことに注意してください。 ランダムエラーは避けられず、避けられません。 それらは測定結果に常に存在します。 それらは、同じ条件で同じ量を繰り返し十分に正確に測定している間に結果のばらつきを引き起こし、最後の有効数字が異なる原因となります。 エラーの理論は、実践によって確認された 2 つの規定に基づいています。 多数の測定値では、同じ値で符号が異なるランダム エラーが同じ頻度で発生します。 絶対値が大きい誤差は、小さい誤差ほど一般的ではありません。 最初の位置から、練習のための重要な結論は、測定数の増加に伴い、一連の測定から得られた結果のランダム誤差が減少するという事実に従います。一連の測定値はゼロになる傾向があります。 測定値の中には、 重大なエラーと失策、オペレーターのエラーや不適切な行動、および測定条件の短期間の急激な変化（振動、冷気など）が原因で発生します。 自動測定では、測定情報を処理する過程で大きなエラーやミスが自動的に排除されます。 実験室での実践では、ほとんどの測定は間接的であり、関心のある量は 1 つ以上の直接測定量の関数です。 N= ƒ (x、y、z、...) (13) 確率論から次のように、量の平均値は、直接測定された量の平均値を式（13）に代入することによって決定されます。 ¯
N= ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...) (14) 独立変数の誤差がわかっている場合は、この関数の絶対誤差と相対誤差を見つける必要があります。 エラーが系統的またはランダムである 2 つの極端なケースを考えてみましょう。 間接測定の系統誤差の計算に関しては、コンセンサスがありません。 ただし、最大可能誤差として系統誤差の定義から進める場合は、 系統誤差数式 どこ 偏微分関数 N= ƒ(x, y, z, ...) は引数 x, y, z... に関するもので、導関数が求められる引数を除いて、他のすべての引数は絶え間ない; 式 (15) は、関数が引数の和または差の形式を持つ場合に使用すると便利です。 関数が積または部分的な引数の形式を持つ場合は、式 (16) を使用することをお勧めします。 見つけるために ランダムエラー間接的な測定では、式を使用する必要があります。 ここで、Δx、Δy、Δz、... は、引数 x、y、z、... の特定の信頼確率 (信頼性) の信頼区間です。 信頼区間 Δx、Δy、Δz、... は、同じ信頼確率 P 1 = P 2 = ... = P n = P で取得する必要があることに注意してください。 この場合、信頼区間 Δ の信頼性 N Pにもなります。 式（17）は、関数が N= ƒ(x, y, z, ...) は、引数の和または差の形式をとります。 関数が N= ƒ(x, y, z, ...) は、積または部分引数の形式をとります。 多くの場合、系統誤差とランダム誤差が互いに近く、両方が結果の精度を等しく決定する場合があります。 この場合、合計エラー Σ は、少なくとも P の確率でランダム Δ エラーとシステマティック δ エラーの 2 次和として求められます。ここで、P はランダム エラーの信頼確率です。 間接測定を行う場合 再現不可能な条件下で個々の測定ごとに関数が見つかり、信頼区間が計算されて、直接測定と同じ方法で目的の量の値が取得されます。 対数をとるのに便利な式で表される関数依存の場合、最初に相対誤差を決定し、次に式Δから決定する方が簡単であることに注意してください。 N = ε ¯
N絶対誤差を見つけます。 測定に進む前に、常に後続の計算について考え、誤差を計算する式を書き出す必要があります。 これらの式により、どの測定を特に慎重に行う必要があり、どの測定がそれほど労力を必要としないかを理解できます。
多くの場合、実験の結果はグラフで表示されます。 x と y の値を測定した結果、点ではなく、辺が 2x と 2y の領域が得られます。 したがって、これらの領域に線を引く必要があります。 たとえば、測定値の分布法則が線形であることがわかっている場合 (図 4 を参照)、図の破線は正しくありません。研究室の進捗報告
研究室の仕事 No.1 金属顕微鏡の研究 1 1 仕事の目的
研究室の仕事実験室での作業 コース「物理学」によると 電気測定器の研究 サラプル 実践の紹介
研究室の仕事科学実験室「物理学を教えるプロセスのモデリング」 物理学を教える理論と方法 講義のコース パート I キーロフ - 1998
書類
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(7)
(8)
(9)
(10)
座標と対応する時間の瞬間は、関数依存によってリンクされています。
、依存関係があることがわかります s(t) は線形です。 実験点をグラフにプロットし、それらを通る直線を引きましょう (図 1)。
.
,
1. 測定誤差
これは測定誤差と呼ばれ、同じ量を繰り返し測定するとランダムに変化します。
.
.§ 5. 間接測定の処理
(15) または
δx、δy、δz は引数の系統誤差です。
(17) または