直角三角形の性質
親愛なる 7 年生の皆さん、あなたはすでに三角形と呼ばれる幾何学図形を知っており、それらの等しい記号を証明する方法を知っています。 また、三角形の特殊なケースである二等辺三角形と直角についても知っています。 二等辺三角形の性質はよくご存知でしょう。
しかし、直角三角形には多くの性質もあります。 明らかな 1 つは、三角形の内角和定理と関係があります。直角三角形では、鋭角の和は 90° です。 直角三角形の最も驚くべき性質は、有名なピタゴラスの定理を学ぶ中学 2 年生で学びます。
ここで、さらに 2 つの重要なプロパティについて説明します。 1 つは 30 度の直角三角形用で、もう 1 つはランダムな直角三角形用です。 これらの性質を定式化して証明してみましょう。
幾何学では、ステートメント内の条件と結論が入れ替わる場合、証明されたステートメントと逆のステートメントを定式化するのが通例であることはよくご存知でしょう。 逆のステートメントは常に真実であるとは限りません。 この場合、どちらの逆のステートメントも真です。
特性 1.1 直角三角形では、30°の角度の反対側の脚は斜辺の半分に等しくなります。
証明: 長方形の Δ ABC を考えてみましょう。その中で、ÐA=90°、ÐB=30°、次に ÐC=60°..gif" width="167" height="41"> したがって、何を証明する必要があるかを考えてみましょう。
特性 1.2 (特性 1.1 の逆) 直角三角形で脚が斜辺の半分に等しい場合、その反対側の角度は 30° になります。
特性 2.1 直角三角形では、斜辺に描かれた中央値は斜辺の半分に等しくなります。
РВ=90°である長方形の ∆ ABC を考えてみましょう。
BD 中央値、つまり AD=DC。 それを証明しましょう。
これを証明するために、追加の構築を行います。BD=DN となるように点 D を超えて BD を続行し、N を A および C に接続します。.gif" width="616" height="372 src=">
与えられた条件: ΔABC、ÐC=90o、ÐA=30o、ÐBEC=60o、EC=7cm
1. ÐEBC=30o、長方形 ∆BCE では鋭角の合計が 90o であるため
2. BE=14cm(特性1)
3. ÐABE=30o、ÐA+ÐABE=ÐBEC（三角形の外角の性質）より、ΔAEBは二等辺AE=EB=14cmとなります。
BC=2AN=20cm (特性 2)。
タスク3。 直角三角形の斜辺に対する高度と中央値が、三角形の鋭角の差に等しい角度を形成することを証明します。
与えられた条件: ∆ ABC、ÐBAC=90°、AM-中央値、AH-高さ。
RMAN=RS-RV を証明します。
証拠：
1)РМАС=РС (性質 2 ∆ AMC 二等辺、AM=SM による)
2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS。
РНАС=РВであることを証明することはまだ残っています。 これは、ÐB+ÐC=90° (ΔABC より) および ÐNAS+ÐC=90° (ΔANS より) という事実から導き出されます。
したがって、RMAN = RС-РВ、これが証明される必要があるものです。
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">与えられた: ∆ABC、ÐBAC=90°、AN-高さ、 。
検索: РВ、РС。
解決策: AM の中央値を考えてみましょう。 AN=x、BC=4x とすると、
VM=MS=AM=2x。
長方形のΔAMNでは、斜辺AMは脚ANの2倍であるため、ΔAMN=30°となります。 VM=AMなので、
РВ=РВAM100%">
AD=AC になるように、AC を点 A を越えて延長してみましょう。 すると、ΔABC=ΔABD（2本足の場合）となります。 BD=BC=2AC=CD、したがって、ΔDBC-等辺、ΔC=60o、ΔABC=30o。
問題5
二等辺三角形のうち、片方の角が120°で、底辺が10cmの辺に描かれた高さを求めます。
解決策: まず、120° の角度は三角形の頂点にのみ存在し、辺に描かれた高さはその延長線上にあることに注意してください。
AB - 階段、K - 子猫。
はしごのどの位置でも、最終的に地面に落ちるまで、ΔABC は長方形になります。 MC - 中央値 ΔABC。
特性 2 によると、SC = 1/2AB。 つまり、どの瞬間においても、セグメントＳＫの長さは一定である。
答え: 点 K は中心 C、半径 SC=1/2AB の円弧に沿って移動します。
独立した解決策が求められる問題。
直角三角形の角の一つは60°で、斜辺と短い方の脚の差は4cmです。 斜辺の長さを求めます。 斜辺 BC と角度 B が 60°に等しい長方形 Δ ABC では、高さ AD が描画されます。 DB=2cmの場合のDCを求めます。 B ∆ABC -C=90o、CD - 高さ、BC=2×D。 AD=3×Dであることを証明してください。 直角三角形の高度は、斜辺を 3 cm と 9 cm の部分に分割します。 三角形の角度と斜辺の中央から長い方の脚までの距離を求めます。 二等分線は、三角形を 2 つの二等辺三角形に分割します。 元の三角形の角度を求めます。 中央値は三角形を 2 つの二等辺三角形に分割します。 角度を見つけることは可能ですか
元の三角？
人生において、私たちは学校や大学で数学の問題に対処しなければならないことがよくあります。そして、子供が完成するのを手伝います。 宿題。 特定の職業に就いている人は、日常的に数学に遭遇するでしょう。 したがって、覚えておくと便利です 数学的規則。 この記事では、そのうちの 1 つである直角三角形の辺を見つけることについて説明します。
直角三角形とは
まず、直角三角形とは何かを思い出してみましょう。 直角三角形- これ 幾何学模様同一直線上にない点を結ぶ 3 つの線分のうち、この図形の角度の 1 つが 90 度であるもの。 直角をなす辺を脚といい、直角の反対側の辺を斜辺といいます。
直角三角形の足を見つける
脚の長さを知る方法はいくつかあります。 それらについてさらに詳しく考察していきたいと思います。
直角三角形の辺を求めるピタゴラスの定理
斜辺と脚がわかっていれば、ピタゴラスの定理を使用して未知の脚の長さを見つけることができます。 「斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しい」というように聞こえます。 式: c²=a²+b²、c は斜辺、a と b は脚です。 式を変形すると、a²=c²-b² が得られます。
例。 斜辺は 5 cm、脚は 3 cm という式を変形します: c²=a²+b² → a²=c²-b²。 次に、a²=5²-3²; を解きます。 a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4(cm)。
直角三角形の足を見つけるための三角比
直角三角形の他の辺と鋭角がわかっていれば、未知の脚を見つけることもできます。 脚を見つけるには 4 つのオプションがあります。 三角関数: サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントによる。 以下の表は問題の解決に役立ちます。 これらのオプションを検討してみましょう。
サインを使用して直角三角形の足を見つけます
角度の正弦 (sin) は、斜辺の反対側の比率です。 式: sin=a/c、ここで、a は指定された角度の反対側の脚、c は斜辺です。 次に、数式を変換して、a=sin*c を取得します。
例。 斜辺は 10 cm、角度 A は 30 度です。 表を使用して角度 A の正弦を計算すると、1/2 に等しくなります。 次に、変換された式を使用して、次のように解きます。 a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5(cm)。
コサインを使用して直角三角形の足を見つけます
角度の余弦 (cos) は、斜辺に対する隣接する脚の比率です。 式: cos=b/c、ここで、b は特定の角度に隣接する脚、c は斜辺です。 数式を変形して b=cos*c を取得しましょう。
例。 角度 A は 60 度、斜辺は 10 cm です。表を使用して角度 A の余弦を計算すると、1/2 に等しくなります。 次に、b=cos∠A*c; を解きます。 b=1/2*10、b=5(cm)。
接線を使用して直角三角形の脚を見つけます
角度の正接 (tg) は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。 式: tg=a/b、a は角度の反対側、b は隣接する側です。 数式を変形して、a=tg*b を取得しましょう。
例。 角度 A は 45 度、斜辺は 10 cm です。 テーブルを使用して角度 A の正接を計算すると、次のようになります。 a=tg∠A*b; a=1*10; a=10(cm)。
コタンジェントを使用して直角三角形の足を見つけます
角度コタンジェント (ctg) は、隣接する辺と反対側の辺の比です。 式: ctg=b/a、ここで、b は角度に隣接する脚であり、反対側の脚です。 つまり、コタンジェントは「逆接線」です。 b=ctg*a となります。
例。 角度Aは30度、反対側の足は5cmです。 表によると、角度Aの正接は√3です。 b=ctg∠A*a を計算します。 b=√3*5; b=5√3(cm)。
これで、直角三角形の脚を見つける方法がわかりました。 ご覧のとおり、それほど難しいことではありません。重要なのは公式を覚えることです。
幾何学的問題を解決するには、膨大な量の知識が必要です。 この科学の基本的な定義の 1 つは直角三角形です。
この概念は3つの角度から成り、
側面の角度の 1 つが 90 度であること。 直角をなす辺を脚といい、その反対側の3番目の辺を斜辺といいます。
このような図形の足が等しい場合、それは直角二等辺三角形と呼ばれます。 この場合、メンバーシップは 2 つあり、両方のグループのプロパティが観察されることを意味します。 二等辺三角形の底辺の角度は絶対に常に等しいので、そのような図形の鋭角には 45 度が含まれることを覚えておいてください。
次のいずれかのプロパティが存在すると、ある直角三角形が別の直角三角形と等しいと言えるようになります。
- 2 つの三角形の辺は等しい。
- これらの図は同じ斜辺と脚の 1 つを持っています。
- 斜辺と鋭角のいずれかが等しい。
- 脚と鋭角が等しいという条件が満たされます。
直角三角形の面積は、標準的な公式を使用することも、その脚の積の半分に等しい値として簡単に計算することもできます。
直角三角形では、次の関係が観察されます。
- 脚は、斜辺とその斜辺への投影に比例する平均値にすぎません。
- 直角三角形の周りに円を描く場合、その中心は斜辺の中央になります。
- 直角から引いた高さは、三角形の脚の斜辺への投影に比例する平均です。
興味深いのは、直角三角形がどのようなものであっても、これらの特性が常に尊重されることです。
ピタゴラスの定理
上記の特性に加えて、直角三角形は次の条件によって特徴付けられます。
この定理は、その創始者であるピタゴラスの定理にちなんで名付けられました。 彼は、上に構築された正方形の性質を研究していたときにこの関係を発見しました。
定理を証明するために、三角形 ABC を作成します。その脚を a および b、斜辺を c とします。 次に 2 つの正方形を構築します。 1 つの場合、辺は斜辺となり、もう 1 つの場合、2 本の脚の合計になります。
次に、最初の正方形の面積は、4つの三角形ABCと2番目の正方形の面積の合計として、または辺の正方形として、という2つの方法で求めることができます。当然、これらの比率は等しくなります。 あれは：
2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 を使用して、結果の式を変換します。
c 2 + 2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab
結果として、c 2 = a 2 + b 2 が得られます。
したがって、直角三角形の幾何学的図形は、三角形に特徴的なすべての特性に対応しているだけではありません。 直角の存在は、図形が他のユニークな関係を持っているという事実につながります。 彼らの研究は科学だけでなく、 日常生活, 直角三角形のような図形はどこにでもあるからです。
幾何学における三角形は、基本的な図形の 1 つを表します。 これまでのレッスンで、三角形は 3 つの角と 3 つの辺を持つ多角形であることがわかりました。
三角形はこう呼ばれます 長方形直角が90度の場合。
直角三角形には、と呼ばれる互いに垂直な 2 つの辺があります。 足
; その 3 番目の面はと呼ばれます 斜辺
。 斜辺は、この三角形の最大の辺です。
- 垂直と斜の特性によると、斜辺は各脚よりも長くなります (ただし、それらの合計よりは短くなります)。
- 直角三角形の 2 つの鋭角の和は直角に等しい。
- 直角三角形の 2 つの高度はその脚と一致します。 したがって、4 つの注目点のうち 1 つは三角形の直角の頂点に位置します。
- 直角三角形の外心は斜辺の中央にあります。
- 直角の頂点から斜辺まで描いた直角三角形の中線は、この三角形に外接する円の半径になります。
直角三角形の性質と特徴
私は財産です。 直角三角形では、鋭角の合計は 90°になります。 三角形の大きい辺の反対側はより大きい角度であり、より大きい角度の反対側はより大きい側です。 直角三角形では、最大の角が直角になります。 三角形の最大の角度が 90 度を超える場合、すべての角度の合計が 180 度を超えるため、その三角形は直角ではなくなります。 これらすべてから、斜辺が三角形の最大の辺であることがわかります。
IIは財産です。 30 度の角度の反対側にある直角三角形の脚は、斜辺の半分に等しくなります。
III – e プロパティ。 直角三角形において、脚が斜辺の半分に等しい場合、この脚の反対側にある角度は 30 度に等しくなります。
平均レベル
直角三角形。 完全イラストガイド (2019)
右三角形。 最初のレベル。
問題では、直角はまったく必要ありません - 左下なので、この形で直角三角形を認識することを学ぶ必要があります。
そしてそのような方法で
そしてこの中で 
直角三角形の何が良いのですか？ さて…、まず、側面には特別な美しい名前があります。
描き下ろしにも注目！
覚えておいて、混同しないようにしてください。 脚は 2 本ありますが、斜辺は 1 つだけです（唯一無二、ユニーク、そして最長）！
さて、名前について説明しましたが、ここで最も重要なことは、ピタゴラスの定理です。
ピタゴラスの定理。
この定理は、直角三角形に関する多くの問題を解く鍵となります。 それは太古の昔にピタゴラスによって証明され、それ以来、それを知る人々に多くの恩恵をもたらしてきました。 そして最も良い点は、それがシンプルであるということです。
それで、 ピタゴラスの定理：
「ピタゴラスパンツはどの面でも等しい！」というジョークを覚えていますか?
同じピタゴラスパンツを描いて見てみましょう。 
何かのショートパンツのように見えませんか？ さて、どちらの側とどこが等しいでしょうか? そのジョークはなぜ、どこから来たのでしょうか? そして、このジョークは正確にはピタゴラスの定理、より正確にはピタゴラス自身が定理を定式化した方法と関連しています。 そして彼はそれを次のように定式化しました。
"和 正方形の面積、脚に基づいて構築され、次と等しい 正方形の領域、斜辺の上に構築されます。」
本当に少し違うように聞こえますか？ それで、ピタゴラスが彼の定理の記述を描いたとき、これはまさにそのような絵が出てきました。
この図では、小さな正方形の面積の合計は、大きな正方形の面積に等しくなります。 そして、脚の二乗の和が斜辺の二乗に等しいということを子供たちによく覚えてもらうために、機知に富んだ誰かがピタゴラスのパンツに関するこんなジョークを思いつきました。
なぜ私たちは今ピタゴラスの定理を定式化しているのでしょうか?
ピタゴラスは苦しみながら正方形について話しましたか?
ご存知のとおり、古代には代数は存在しませんでした。 標識等はありませんでした。 碑文はありませんでした。 古代の貧しい学生たちが、すべてを言葉で記憶することがどれほど恐ろしいことだったか想像できますか??! そして、ピタゴラスの定理を簡単に定式化できたことを喜ぶことができます。 よりよく覚えておくために、もう一度繰り返してみましょう。
これで簡単になるはずです。
| 斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しい。 |
さて、直角三角形に関する最も重要な定理については説明しました。 それがどのように証明されるかに興味がある場合は、次のレベルの理論を読んでください。そして、さらに奥へ進みましょう...暗い森の中へ...三角法! サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントという恐ろしい言葉に。
直角三角形のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント。
実際、すべてはそれほど怖いものではありません。 もちろん、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの「実際の」定義については、この記事で確認する必要があります。 でも本当はしたくないんですよね？ うれしいことに、直角三角形に関する問題を解決するには、次の簡単な項目を入力するだけで済みます。
なぜすべてが角を曲がったところにあるのですか？ 角はどこですか？ これを理解するには、ステートメント 1 ～ 4 が単語でどのように記述されるかを知る必要があります。 見て、理解して、覚えてください！
1.
実際には次のように聞こえます。
角度はどうでしょうか？ コーナーの反対側にある脚、つまり（角度に対して）反対側の脚はありますか? もちろん持っています！ これは脚です！
角度はどうでしょうか？ よく見て。 どの脚が角に隣接していますか? もちろん足も。 これは、その角度で脚が隣接していることを意味し、
さあ、注目してください！ 何が得られたかを見てください:
どれだけクールか見てみましょう:
さて、接線と余接に移りましょう。
これを今どうやって言葉で書き表せばいいのでしょうか？ 角度に対して脚は何ですか? もちろん、反対側です - それは角の反対側に「横たわっています」。 脚はどうですか？ 角に隣接しています。 それで、私たちは何を手に入れたでしょうか？
分子と分母が入れ替わっているのがわかりますか?
そして今度はコーナーが再び行われ、交換が行われました。
まとめ
学んだことをすべて簡単に書き留めてみましょう。
 |
ピタゴラスの定理： |
直角三角形に関する主定理はピタゴラスの定理です。
ピタゴラスの定理
ところで、脚と斜辺とは何か、よく覚えていますか？ あまり良くない場合は、写真を見て知識を新たにしてください。
ピタゴラスの定理をすでに何度も使ったことがあるかもしれませんが、なぜそのような定理が成り立つのか疑問に思ったことはありますか? どうすれば証明できますか? 古代ギリシャ人のようにしましょう。 一辺のある正方形を描きましょう。
側面を長さに応じて巧みに分割した様子をご覧ください。
マークされた点を結んでみましょう
ただし、ここで私たちは別のことに気づきましたが、あなた自身が図面を見て、なぜそうなるのか考えてください。
大きい方の正方形の面積はどれくらいですか? 右、 。 より小さなエリアではどうでしょうか？ 確かに、 。 四隅の合計面積は残ります。 一度に 2 つを取り出し、斜辺で互いに立てかけたところを想像してください。 どうしたの？ 長方形が 2 つあります。 これは、「カット」の面積が等しいことを意味します。
では、すべてをまとめてみましょう。
変換しましょう:
そこで私たちはピタゴラスを訪ね、彼の定理を古代の方法で証明しました。
直角三角形と三角関数
直角三角形の場合、次の関係が成り立ちます。
鋭角の正弦は斜辺の反対側の比に等しい
鋭角の余弦は、隣接する脚と斜辺の比に等しくなります。
鋭角の正接は、隣接する辺に対する反対側の辺の比に等しい。
鋭角の余接は、隣接する辺と反対側の辺の比に等しい。
そしてもう一度、これらすべてがタブレットの形で表示されます。
とても快適です！
直角三角形の等価性の兆候
I. 両面
II. 脚と斜辺による
Ⅲ． 斜辺と鋭角による
IV. 脚に沿って鋭角に
a) 
b) 
注意！ ここで脚が「適切」であることが非常に重要です。 たとえば、次のようになった場合:
そうすると三角形は等しくない 1 つの同一の鋭角を持っているにもかかわらず。
する必要がある 両方の三角形で脚が隣接していたか、両方とも反対側でした.
直角三角形の等号の記号が通常の三角形の等号の記号とどのように異なるかに気づいたでしょうか? 「普通の」三角形が等しいためには、2 つの辺とそれらの間の角度、2 つの角度とそれらの間の辺、または 3 つの辺の 3 つの要素が等しくなければならないという事実に注目してください。 しかし、直角三角形が等しくなるには、対応する要素が 2 つだけあれば十分です。 すごいですよね？
状況は直角三角形の相似の符号とほぼ同じです。
直角三角形の相似の兆候
I. 鋭角に沿って
II. 両面に
Ⅲ． 脚と斜辺による
直角三角形の中央値
なぜそうなるのでしょうか?
直角三角形の代わりに、長方形全体を考えてみましょう。
対角線を描き、点、つまり対角線の交点を考えてみましょう。 長方形の対角線について何を知っていますか?
そしてこれから何が起こるでしょうか？
それで判明したのは、
- - 中央値:
この事実を覚えておいてください！ とても助かります！
さらに驚くべきことは、その逆も真であるということです。
斜辺に引かれた中央値が斜辺の半分に等しいという事実からどんな良いことが得られるでしょうか? 写真を見てみましょう
よく見て。 つまり、点から三角形の 3 つの頂点すべてまでの距離は等しいことが判明しました。 しかし、三角形には点が 1 つだけあり、三角形の 3 つの頂点すべてからの距離が等しく、これが円の中心です。 どうしたの？
それでは、この「ついでに…」から始めましょう。
とを見てみましょう。
しかし、相似な三角形はすべて等しい角度を持っています。
とについても同じことが言えます
では、一緒に描いてみましょう。
この「三重」の類似性からどのような利点が得られるでしょうか?
たとえば、- 直角三角形の高さを求める公式は 2 つあります。
対応する当事者の関係を書き留めてみましょう。
高さを求めるには、比率を解き、次の結果を取得します。 最初の公式「直角三角形の高さ」:
そこで、類似性を適用してみましょう。
これから何が起こるでしょうか？
再び比率を解き、2 番目の式を取得します。
これらの公式を両方よく覚えて、より便利な方を使用する必要があります。 もう一度書き留めてみましょう
ピタゴラスの定理：
直角三角形では、斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しくなります。
直角三角形の等価性の兆候:
- 両面:
- 脚と斜辺によって: または
- 脚に沿って隣接する鋭角: または
- 脚に沿って反対側の鋭角: または
- 斜辺と鋭角による: または。
直角三角形の類似性の兆候:
- 1 つの鋭角: または
- 2 本の脚の比例から:
- 脚と斜辺の比例から: または。
直角三角形のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント
- 直角三角形の鋭角の正弦は、斜辺に対する反対側の辺の比です。
- 直角三角形の鋭角のコサインは、隣接する脚と斜辺の比です。
- 直角三角形の鋭角の接線は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。
- 直角三角形の鋭角の余接は、隣接する辺と反対側の辺の比です。
直角三角形の高さ: または。
直角三角形では、直角の頂点から引かれた中央値は斜辺の半分に等しくなります: 。
直角三角形の面積：
- 脚を介して: