曲線台形の面積。定積分。図形の面積の計算方法

タスク1（面積の計算について曲線台形).

デカルト直角座標系 xOy では、x 軸、直線 x \u003d a、x \u003d b（曲線台形）で区切られた図が与えられます（図を参照）\曲線台形です。
解決。ジオメトリは、多角形の面積と円の一部 (セクター、セグメント) を計算するためのレシピを提供します。幾何学的な考慮事項を使用すると、次のように主張して、必要な面積の近似値のみを見つけることができます。

セグメントを分割しましょう [a; b] (曲線台形の底) を n 等分します。この分割は、点 x 1 、 x 2 、 ... x k 、 ... x n-1 の助けを借りて実現可能です。これらの点を通り、y 軸に平行な線を引きましょう。次に、指定された曲線台形が n 個の部分に分割され、n 個の狭い列に分割されます。台形全体の面積は、柱の面積の合計に等しくなります。

k 番目の列、つまり底辺がセグメントである曲線台形。これを、底辺が同じで高さが f(x k) に等しい長方形に置き換えましょう (図を参照)。長方形の面積は $f(x_k) \cdot \Delta x_k $ で、$\Delta x_k $ はセグメントの長さです。コンパイルされた製品は、k番目の列の面積の近似値と見なすのが自然です。

他のすべての縦棒についても同じことを行うと、次の結果が得られます。特定の曲線台形の面積 S は、n 個の長方形で構成される階段状の図形の面積 S n にほぼ等しくなります (図を参照)。
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
ここでは、表記の統一のために、a \u003d x 0、b \u003d x n; $\Delta x_0 $ - セグメントの長さ、$\Delta x_1 $ - セグメントの長さなど。一方、上で合意したように、 $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

したがって、$S \approx S_n $ となり、この近似等式は n が大きいほど正確になります。
定義により、曲線台形の目的の領域は、シーケンスの制限 (S n) に等しいと想定されます。
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

タスク 2（ポイントの移動について）
質点は直線的に移動します。速度の時間依存性は、式 v = v(t) で表されます。時間間隔における点の変位を見つけます [a; b].
解決。運動が一様である場合、問題は非常に簡単に解決されます: s = vt、つまり s = v(ba)。不均一な動きについては、前の問題の解決策が基づいていたのと同じアイデアを使用する必要があります。
1) 時間間隔 [a; b] を n 等分します。
2) 時間間隔を考え、この時間間隔の間、時間 t k のように速度が一定であったと仮定します。したがって、v = v(t k) と仮定します。
3) 時間間隔にわたる点変位の近似値を見つけます。この近似値は s k で示されます。
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) 変位 s のおおよその値を見つけます。
$s \approx S_n $ ここで
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) 必要な変位は、シーケンスの制限 (S n) と同じです。
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

要約しましょう。さまざまな問題の解決策が、同じ数学的モデルに縮小されました。科学技術のさまざまな分野からの多くの問題は、解決の過程で同じモデルにつながります。したがって、この数学モデル特別に勉強する必要があります。

定積分の概念

関数 y = f(x) の 3 つの考慮された問題で構築されたモデルの数学的説明を与えましょう。このモデルは、セグメント上で連続的です (ただし、考慮された問題で想定されていたように、必ずしも非負であるとは限りません) [ a; b]:
1) セグメントを分割する [a; b] n個の等しい部分に。
2) 合計 $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ を計算する

数学的解析の過程で、この限界が連続 (または区分的連続) 関数の場合に存在することが証明されました。彼は呼ばれています セグメント上の関数 y = f(x) の定積分 [a; b]次のように表されます。
$\int\limits_a^b f(x) dx $
数値 a と b は積分限界 (それぞれ下限と上限) と呼ばれます。

上記のタスクに戻りましょう。問題 1 で与えられた面積の定義は、次のように書き直すことができます。
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
ここで、S は上の図に示されている曲線台形の面積です。これは何 定積分の幾何学的な意味.

問題 2 で与えられた、t = a から t = b までの時間間隔にわたって速度 v = v(t) で直線的に移動する点の変位 s の定義は、次のように書き直すことができます。

ニュートン - ライプニッツの式

まず、次の質問に答えましょう: 定積分と反導関数の関係は何ですか?

答えは問題 2 にあります。一方で、t = a から t = b までの時間間隔にわたって速度 v = v(t) で直線に沿って移動する点の変位 s は、次のように計算されます。式
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

一方、移動点の座標は速度の反導関数です。これを s(t) としましょう。したがって、変位 s は式 s = s(b) - s(a) で表されます。その結果、次のようになります。
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
ここで、s(t) は v(t) の反導関数です。

数学的解析の過程で、次の定理が証明されました。
定理。関数 y = f(x) がセグメント [a; b]、その後式
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
ここで、F(x) は f(x) の反導関数です。

この式は通常 ニュートン・ライプニッツの式イギリスの物理学者アイザック・ニュートン (1643-1727) とドイツの哲学者ゴットフリート・ライプニッツ (1646-1716) に敬意を表し、お互いに独立してほぼ同時にそれを受け取りました。

実際には、F(b) - F(a) と書く代わりに、$\left. F(x)\right|_a^b $ という表記を使用します (これは時々呼ばれます 二重置換) したがって、ニュートン-ライプニッツの式を次の形式に書き直します。
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left.F(x)\right|_a^b $

定積分を計算するには、まず反導関数を見つけてから、二重代入を実行します。

ニュートン・ライプニッツの公式に基づいて、定積分の 2 つの特性を得ることができます。

プロパティ 1。関数の合計の積分は積分の合計に等しい：
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

プロパティ 2。定数係数は、積分記号から取り出すことができます。
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

定積分による平面図形の面積の計算

積分を使用すると、曲線台形だけでなく、平らな図形の面積も計算できます。複合型、図に示すようなもの。図形 P は、直線 x = a、x = b および連続関数 y = f(x)、y = g(x) のグラフによって囲まれ、線分 [a; b] 不等式 $g(x) \leq f(x) $ が成立します。このような図形の面積 S を計算するには、次のように進めます。
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

したがって、直線 x = a、x = b および関数 y = f(x)、y = g(x) のグラフによって囲まれた図の領域 S は、セグメント上で連続し、任意の x に対して次のようになります。セグメント[a; b] 不等式 $g(x) \leq f(x) $ が満たされ、次の式で計算されます
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

一部の関数の不定積分 (逆導関数) の表

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Ox 軸、曲線 y \u003d f (x)、および 2 つの直線 x \u003d a と x \u003d b で囲まれた曲線台形を考えます (図 85)。 x の任意の値を取ります (a と b のみではありません)。それに増分 h = dx を与え、考慮中の曲線に属する直線 AB と CD、Ox 軸、および円弧 BD によって囲まれたストリップを考えます。このストリップは基本ストリップと呼ばれます。基本ストリップの面積は、長方形ACQBの面積と曲線三角形BQDだけ異なり、後者の面積は少ない面積辺 BQ = h=dx) QD=Ay および hAy = Ay dx に等しい面積を持つ長方形 BQDM。辺 h が減少すると、辺 Du も減少し、h と同時にゼロになる傾向があります。したがって、BQDMの面積は2次の極小です。基本ストリップの面積は面積増分であり、AB-AC==/(x) dx> に等しい長方形 ACQB の面積は面積微分です。したがって、その微分を統合することによって、面積自体を見つけます。検討中の図の範囲内で、独立変数 l: は a から b に変化するため、必要な領域 5 は 5= \f (x) dx に等しくなります。 (I) 例 1. 放物線 y - 1 -x *、直線 X \u003d - Fj-、x \u003d 1、および軸 O * で囲まれた面積を計算します (図 86)。図で 87.図 86. 1 ここで f(x) = 1 - l?、積分限界 a = - および t = 1、したがって 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* 例 2. 正弦波によって囲まれた面積を計算します。 y = sinXy、Ox 軸と直線 (図 87)。式 (I) を適用すると、L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf が Ox 軸 (たとえば、原点と横座標 i の点の間) で得られます。幾何学的な考慮事項から、この領域が前の例の 2 倍の領域になることは明らかです。しかし、計算してみましょう: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o 確かに、私たちの仮定は公正であることが判明しました。例 4. 1 周期の正弦波と ^ 軸 Ox によって囲まれた面積を計算します (図 88)。予備的な ras-figure 判断は、面積が pr. 2 の 4 倍になることを示唆しています. ただし、計算を行った後、「i G、* i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. この結果には説明が必要です。問題の本質を明確にするために、同じ正弦曲線 y \u003d sin l: と l から 2n の範囲の Ox 軸によって囲まれた領域も計算します。式 (I) を適用すると、したがって、この領域がマイナスであることがわかります。例 3 で計算した面積と比較すると、絶対値は同じですが、符号が異なります。プロパティ V (Ch. XI, § 4 を参照) を適用すると、たまたま得られます。独立変数が左から右に変化する場合、常に x 軸の下の領域は、負の積分を使用して計算することによって得られます。このコースでは、常に署名されていない領域を考慮します。したがって、今分析した例の答えは次のようになります。必要な面積は 2 + |-2| に等しいです。 = 4. 例 5. 図に示す BAB の面積を計算してみましょう。 89. この領域は、軸 Ox、放物線 y = - xr、および直線 y - = -x + \ によって制限されます。曲線台形の領域求められる領域 OAB は、OAM と MAB の 2 つの部分で構成されます。点Aは放物線と直線の交点であるため、連立方程式3 2 Y \u003d mxを解くことでその座標を見つけます。 (点 A の横座標のみを求める必要があります)。システムを解くと、l が見つかります。＝～。したがって、面積は部分、最初に pl で計算する必要があります。 OAM、そしてpl。 MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x = [置換：

] =

したがって、不適切な積分は収束し、その値はに等しくなります。

定積分. 図形の面積の計算方法

ここで、積分計算の応用の考察に移ります。このレッスンでは、典型的で最も一般的なタスクを分析します。 定積分を使って平面図形の面積を計算する方法. 最後に、高等数学に意味を求める人たち - それを見つけられますように。あなたは、決して知らない。実際には、初等関数で夏の別荘を近似し、特定の積分を使用してその面積を見つける必要があります。

教材をうまく習得するには、次のことを行う必要があります。

1) 理解する不定積分少なくとも平均的なレベルで。したがって、ダミーは最初にレッスンを読む必要があります いいえ.

2) ニュートン・ライプニッツの公式を適用し、定積分を計算できる。ページ上の特定のインテグラルと温かい友好関係を築くことができます 定積分。ソリューション例.

実際、図の領域を見つけるために、不定積分と定積分についての知識はそれほど必要ありません。 「定積分を使って面積を計算する」作業には、常に図面の作成が伴います。、あなたの知識と描画スキルは、より関連性の高い問題になります。この点で、主要な初等関数のグラフのメモリを更新し、少なくとも、直線、放物線、および双曲線を作成できるようにすることは有用です。これは、次の助けを借りて行うことができます (多くの必要があります)。方法論資料グラフの幾何学的変換に関する記事。

実は、定積分を使って面積を求める問題は学生時代から誰もがよく知っているので、少し先を行ってみましょう。学校のカリキュラム. この記事はまったく存在しないかもしれませんが、実際には、学生が高等数学のコースを習得する熱意を持って嫌いな塔に苦しめられた場合、100 件中 99 件で問題が発生します。

このワークショップの資料は、簡潔に、詳細に、最小限の理論で提示されます。

曲線台形から始めましょう。

曲線台形軸、直線、およびこの区間で符号が変わらない線分上で連続する関数のグラフによって囲まれた平坦な図形と呼ばれます。この図を配置してみましょう 少なくない横座標:

それから 曲線台形の面積は数値的に特定の積分に等しい. 定積分 (存在する) は、幾何学的に非常に優れた意味を持ちます。レッスンで 定積分。ソリューション例定積分は数だと言いました。そして今、別のことを述べる時が来ました有用な事実. 幾何学の観点から、定積分はAREAです.

あれは、 定積分（存在する場合）は、幾何学的にある図形の面積に対応します. たとえば、定積分を考えてみましょう。被積分関数は、軸の上にある平面上の曲線を定義し (希望する人は図面を完成させることができます)、定積分自体は、対応する曲線台形の面積と数値的に等しくなります。

例 1

これは典型的なタスクステートメントです。 まず、正念場ソリューション - 描画. さらに、図面を作成する必要があります右.

設計図を作成するときは、次の順序をお勧めします。 初めにすべての行 (存在する場合) を構築することをお勧めします。 それから- 放物線、双曲線、その他の関数のグラフ。関数グラフは構築する方が収益性が高い ポイントバイポイント、ポイントごとの構築のテクニックはで見つけることができます参考資料 初等関数のグラフと性質. そこには、放物線をすばやく作成する方法というレッスンに関連して非常に役立つ資料もあります。

この問題では、解決策は次のようになります。
絵を描いてみましょう (方程式が軸を定義していることに注意してください):

曲線の台形をハッチングしません。ここで話している領域は明らかです。ソリューションは次のように続きます。

セグメントには、関数のグラフがあります オーバーアクシス、それが理由です：

答え：

定積分の計算とニュートン・ライプニッツの公式の適用が難しい人、講義参照 定積分。ソリューション例.

タスクが完了したら、図面を見て、答えが本物かどうかを判断することは常に役に立ちます。この場合、「目で」図面内のセルの数を数えます-まあ、約9が入力されます、それは本当のようです. たとえば、答えが20平方単位だった場合、明らかにどこかで間違いがあったことは明らかです.20個のセルは明らかに問題の図に収まらず、せいぜい1ダースです。答えが否定的であることが判明した場合、タスクも間違って解決されました。

例 2

線、、および軸で囲まれた図形の面積を計算します

これは自作の例です。レッスンの最後に完全な解決策と答え。

曲線台形が配置されている場合の対処方法 車軸の下？

例 3

線と座標軸で囲まれた図形の面積を計算します。

解決: 絵を描いてみましょう:

曲線台形が配置されている場合 車軸の下(または少なくとも 高くない指定された軸)、その面積は次の式で求めることができます。
この場合：

注意！ 2 種類のタスクを混同しないでください:

1) 定積分だけを解くように求められた場合幾何学的な意味の場合、負になる可能性があります。

2) 定積分を使用して図形の面積を求める場合、面積は常に正です! そのため、考慮した数式にマイナスが表示されます。

実際には、ほとんどの場合、図は上半面と下半面の両方にあるため、最も単純な学校の問題から、より意味のある例に進みます。

例 4

線で囲まれた平らな図形の面積を求めます , .

解決: まず、図面を完成させる必要があります。一般的に言えば、面積の問題で図面を作成する場合、線の交点に最も関心があります。放物線と直線の交点を探しましょう。これには 2 つの方法があります。最初の方法は分析的です。方程式を解きます。

したがって、積分の下限、積分の上限。
可能であれば、この方法を使用しないことをお勧めします。.

ラインをポイントごとに構築する方がはるかに収益性が高く、高速ですが、統合の限界は「自分で」見つけられます。さまざまなチャートのポイントごとの作成テクニックについては、ヘルプで詳しく説明されています。 初等関数のグラフと性質. それにもかかわらず、たとえば、グラフが十分に大きい場合、またはスレッド化された構造が積分の限界を明らかにしなかった場合 (それらは分数または無理数である可能性があります)、限界を見つけるための分析的方法を使用する必要がある場合があります。また、そのような例も検討します。

タスクに戻ります。最初に直線を作成し、次に放物線を作成する方が合理的です。絵を描いてみましょう:

繰り返しますが、点ごとの構成では、統合の限界はほとんどの場合「自動的に」発見されます。

そして今、作業式: 間隔に何らかの連続関数がある場合以上いくつかの連続関数、次にこれらの関数のグラフと直線で囲まれた図の領域は、次の式で見つけることができます。

ここでは、図がどこにあるか (軸の上または下) について考える必要はなくなりました。大まかに言えば、 どのグラフが上かが重要(別のグラフとの相対)、 そして、どちらが下ですか.

検討中の例では、セグメント上で放物線が直線の上にあることは明らかであるため、から減算する必要があります。

ソリューションの完成は次のようになります。

目的の図形は、上からの放物線と下からの直線によって制限されます。
セグメント上で、対応する式に従って：

答え：

実際、下半平面の曲線台形の面積の学校公式 (簡単な例 3 を参照) は、公式の特殊なケースです。 . 軸は方程式で与えられ、関数のグラフが配置されているため 高くない軸、その後

そして今、独立した決定のためのいくつかの例

例 5

例 6

線で囲まれた図の領域を見つけます , .

ある積分を使って面積を求める問題を解いていく過程で、おかしな出来事が起こることがあります。図面は正しく作成され、計算は正しく行われましたが、不注意により... 間違った図の領域を見つけました、それがあなたの従順な使用人が何度か失敗した方法です。これが実際のケースです：

例 7

線で囲まれた図形の面積を計算します , , , .

解決: まずは絵を描いてみましょう:

……えっと、絵は下手くそですが、全部判読できそうです。

領域を見つける必要がある図は、青色で陰影付けされています。(状態をよく見てください - フィギュアがいかに限定されているか!)。しかし実際には、不注意により「グリッチ」が発生することが多く、陰影のある図の領域を見つける必要があります。緑で!

この例は、図の面積が2つの定積分を使用して計算されるという点でも役立ちます。本当：

1) 軸の上のセグメントには直線グラフがあります。

2) 軸の上のセグメントには、双曲線グラフがあります。

領域を追加できる (および追加する必要がある) ことは明らかです。したがって、次のようになります。

答え：

もう1つ意味のあるタスクに移りましょう。

例 8

線で囲まれた図形の面積を計算し、
方程式を「学校」形式で提示し、ポイントごとの描画を実行しましょう。

図から、上限が「良好」であることがわかります。
しかし、下限は何ですか？これが整数ではないことは明らかですが、何ですか? 多分？しかし、図面が完全に正確に作成されているという保証はどこにあるのでしょうか。またはルート。グラフがまったく正しくない場合はどうなりますか?

そのような場合、追加の時間を費やして、統合の限界を分析的に改善する必要があります。

直線と放物線の交点を探しましょう。
これを行うには、次の方程式を解きます。

,

本当、。

さらなる解決策は自明です。主なことは、置換と記号で混乱しないことです。ここでの計算は最も簡単ではありません。

セグメントについて、対応する式によると：

答え：

さて、レッスンの最後に、2 つのタスクをより難しいと考えます。

例 9

線で囲まれた図の面積を計算します , ,

解決：この図を図面に描きます。

くそー、スケジュールに署名するのを忘れて、写真をやり直して、申し訳ありませんが、hotzではありません。絵ではありません。要するに、今日がその日です =)

ポイントごとの構築については、知っておく必要があります外観正弦波（そして一般的に知っておくと便利です すべての初等関数のグラフ)、いくつかの正弦値と同様に、それらは次の場所にあります。 三角関数表. 場合によっては（この場合のように）、グラフと積分限界を原則として正しく表示する必要がある概略図を作成することが許可されます。

ここで積分限界に問題はありません。条件から直接続きます: - "x" がゼロから "pi" に変化します。さらに決定を下します。

セグメントでは、関数のグラフが軸の上にあるため、次のようになります。