Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları.
Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının farklılaşması.

Bu makale, karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi ile ilgili tipik problemleri ele alacağım bir dizi ders açmaktadır. Örneklerde başarılı bir şekilde ustalaşmak için, karmaşık sayılar hakkında temel bilgiye sahip olmanız gerekir. Malzemeyi pekiştirmek ve tekrarlamak için sayfayı ziyaret etmeniz yeterlidir. bulmak için becerilere de ihtiyacınız olacak. ikinci dereceden kısmi türevler. İşte bunlar, bu kısmi türevler... Şimdi bile ne sıklıkta ortaya çıktıklarına biraz şaşırdım...

Analiz etmeye başladığımız konu özellikle zor değil ve karmaşık bir değişkenin işlevlerinde prensipte her şey açık ve erişilebilir. Asıl mesele, ampirik olarak benim tarafımdan türetilen temel kurala bağlı kalmaktır. Okumaya devam etmek!

Karmaşık bir değişkenin işlevi kavramı

İlk olarak, bir değişkenin okul işlevi hakkındaki bilgilerimizi tazeleyelim:

Bir değişkenin işlevi bağımsız değişkenin (tanım alanından) her değerinin, işlevin bir ve yalnızca bir değerine karşılık geldiği bir kuraldır. Doğal olarak, "x" ve "y" gerçek sayılardır.

Karmaşık durumda, işlevsel bağımlılık benzer şekilde verilir:

Karmaşık bir değişkenin tek değerli işlevi kural herkesin Birleşik bağımsız değişkenin değeri (alandan) bir ve yalnızca bire karşılık gelir kapsayıcı işlev değeri. Teorik olarak, çok değerli ve diğer bazı fonksiyon türleri de dikkate alınır, ancak basitlik için bir tanıma odaklanacağım.

Karmaşık bir değişkenin işlevi nedir?

Temel fark, sayıların karmaşık olmasıdır. İroni yapmıyorum. Bu tür sorulardan genellikle bir şaşkınlığa düşüyorlar, makalenin sonunda harika bir hikaye anlatacağım. Derste aptallar için karmaşık sayılarşeklinde bir karmaşık sayı ele aldık. Şu andan itibaren "Z" harfi oldu değişken, o zaman şu şekilde göstereceğiz: , "x" ve "y" farklı alabilirken geçerli değerler. Kabaca konuşursak, karmaşık bir değişkenin işlevi, "olağan" değerler alan ve değişkenlerine bağlıdır. Aşağıdaki nokta mantıksal olarak bu gerçeği takip eder:

Karmaşık bir değişkenin işlevi şu şekilde yazılabilir:
, burada ve ikinin iki işlevidir geçerli değişkenler.

işlev denir gerçek kısım işlevler .
işlev denir hayali kısım işlevler .

Yani, karmaşık bir değişkenin işlevi iki gerçek işleve bağlıdır ve . Sonunda her şeyi açıklığa kavuşturmak için pratik örneklere bakalım:

örnek 1

Çözüm: Bağımsız değişken "z", hatırladığınız gibi şu şekilde yazılmıştır, bu nedenle:

(1) Orijinal fonksiyonda değiştirildi.

(2) Birinci terim için kısaltılmış çarpma formülü kullanılmıştır. Dönem içinde parantezler açıldı.

(3) Bunu unutmadan dikkatli bir şekilde gönyesini alın.

(4) Terimlerin yeniden düzenlenmesi: önce terimleri yeniden yazın hayali birimin olmadığı(birinci grup), sonra terimler, olduğu yerde (ikinci grup). Unutulmamalıdır ki terimleri karıştırmak gerekli değildir ve bu adım atlanabilir (aslında sözlü olarak gerçekleştirilerek).

(5) İkinci grup parantezden çıkarılır.

Sonuç olarak, fonksiyonumuzun şu şekilde temsil edildiği ortaya çıktı:

Cevap:
fonksiyonun gerçek kısmıdır.
fonksiyonun hayali kısmıdır.

Bu işlevler nelerdir? Bu kadar popüler bulunabilen iki değişkenin en sıradan fonksiyonları kısmi türevler. Merhametsiz - bulacağız. Ama biraz sonra.

Kısaca, çözülen problemin algoritması şu şekilde yazılabilir: orijinal fonksiyonun yerine koyarız, sadeleştirmeler yaparız ve tüm terimleri hayali bir birim olmadan (gerçek kısım) ve hayali bir birim ile (hayali kısım) iki gruba ayırırız.

Örnek 2

Bir fonksiyonun gerçek ve hayali kısmını bulun

Bu bir kendin yap örneğidir. Taslaklarla karmaşık uçakta kendinizi savaşa atmadan önce, size en iyisini vereyim. önemli tavsiye Bu konuda:

DİKKAT OLMAK! Elbette her yerde dikkatli olmalısınız, ancak karmaşık sayılarda her zamankinden daha dikkatli olmalısınız! Unutmayın, parantezleri dikkatlice genişletin, hiçbir şey kaybetmeyin. Gözlemlerime göre en sık yapılan hata işaretin kaybolması. Acele etmeyin!

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Şimdi küp. Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
.

Formüller, çözüm sürecini büyük ölçüde hızlandırdıkları için pratikte kullanımları çok uygundur.

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının farklılaşması.

İki haberim var: iyi ve kötü. İyi bir tane ile başlayacağım. Karmaşık değişkenli bir fonksiyon için türev alma kuralları ve temel fonksiyonların türev tablosu geçerlidir. Böylece türev, gerçek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi tam olarak aynı şekilde alınır.

Kötü haber şu ki, karmaşık bir değişkenin birçok fonksiyonu için hiçbir türev yoktur ve sizin bulmanız gerekir. türevlenebilir bir işlev veya başka bir işlev. Ve kalbinizin nasıl hissettiğini "anlamak" ek sorunlarla ilişkilidir.

Karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun türevlenebilir olması için aşağıdakilerin sağlanması gerekli ve yeterlidir:

1) Birinci mertebeden kısmi türevler olması. Karmaşık bir değişkenin işlevi teorisinde geleneksel olarak gösterimin başka bir versiyonu kullanıldığından, bu gösterimleri hemen unutun: .

2) Sözde gerçekleştirmek için Cauchy-Riemann koşulları:

Sadece bu durumda türev var olacak!

Örnek 3

Çözüm birbirini izleyen üç aşamaya ayrılır:

1) Fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını bulun. Bu görev önceki örneklerde analiz edildi, bu yüzden yorum yapmadan yazacağım:

O zamandan beri:

Böylece:

fonksiyonun hayali kısmıdır.

Bir teknik nokta daha üzerinde duracağım: hangi sırayla Gerçel ve sanal kısımdaki terimleri yazar mısınız? Evet, temelde önemli değil. Örneğin, gerçek kısım şu şekilde yazılabilir: ve hayali - bunun gibi: .

2) Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim. İki tane var.

Durumu kontrol ederek başlayalım. Bulduk kısmi türevler:

Böylece şart yerine getirilmiş olur.

Şüphesiz, iyi haber şu ki, kısmi türevler neredeyse her zaman çok basittir.

İkinci koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol ediyoruz:

Aynı şey çıktı ama zıt işaretlerle yani koşul da yerine getirildi.

Cauchy-Riemann koşulları sağlanır, bu nedenle fonksiyon türevlenebilir.

3) Fonksiyonun türevini bulun. Türev de çok basittir ve olağan kurallara göre bulunur:

Farklılaşmadaki hayali birim bir sabit olarak kabul edilir.

Cevap: - gerçek kısım hayali kısımdır.
Cauchy-Riemann koşulları sağlanır, .

Türevi bulmanın iki yolu daha vardır, bunlar elbette daha az kullanılır, ancak bilgiler ikinci dersi anlamak için faydalı olacaktır - Karmaşık bir değişkenin işlevi nasıl bulunur?

Türev aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Bu durumda:

Böylece

Ters problemi çözmek gereklidir - ortaya çıkan ifadede, izole etmeniz gerekir . Bunu yapmak için, terim olarak ve parantezleri çıkarmak gerekir:

Birçoğunun fark ettiği gibi, ters işlemi gerçekleştirmek biraz daha zordur, doğrulama için taslakta ifadeyi almak veya parantezleri sözlü olarak geri açmak, tam olarak ortaya çıkacağından emin olmak her zaman daha iyidir.

Türevi bulmak için ayna formülü:

Bu durumda: , Bu yüzden:

Örnek 4

Bir fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Cauchy-Riemann koşulları sağlanıyorsa, fonksiyonun türevini bulun.

Kısa bir çözüm ve dersin sonunda yaklaşık bir bitirme örneği.

Cauchy-Riemann koşulları her zaman karşılanır mı? Teorik olarak, olduğundan daha sık yerine getirilmezler. Ancak pratik örneklerde, uygulanmadıkları bir durumu hatırlamıyorum =) Dolayısıyla, kısmi türevleriniz "yakınlaşmadıysa", o zaman çok yüksek bir olasılıkla bir yerde hata yaptığınızı söyleyebiliriz.

Fonksiyonlarımızı karmaşıklaştıralım:

Örnek 5

Bir fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Hesaplamak

Çözüm:Çözüm algoritması tamamen korunur, ancak sonunda yeni bir heves eklenir: bir noktadaki türevi bulmak. Küp için gerekli formül zaten türetilmiştir:

Bu fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını tanımlayalım:

Dikkat ve tekrar dikkat!

O zamandan beri:


Böylece:
fonksiyonun gerçek kısmıdır;
fonksiyonun hayali kısmıdır.

İkinci koşulun kontrol edilmesi:

Aynı şey çıktı ama zıt işaretlerle yani koşul da yerine getirildi.

Cauchy-Riemann koşulları karşılanır, bu nedenle fonksiyon türevlenebilir:

Gerekli noktada türevin değerini hesaplayın:

Cevap:, , Cauchy-Riemann koşulları sağlanıyor,

Küplü işlevler yaygındır, bu nedenle birleştirmek için bir örnek:

Örnek 6

Bir fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Hesaplamak .

Ders sonunda karar verme ve örnek bitirme.

Teoride karmaşık analiz karmaşık argümanın diğer işlevleri de tanımlanır: üs, sinüs, kosinüs, vb. Bu işlevlerin alışılmadık ve hatta tuhaf özellikleri var - ve bu gerçekten ilginç! Size gerçekten söylemek istiyorum, ama burada öyle oldu, bir referans kitabı veya ders kitabı değil, bir çözüm, bu yüzden aynı görevi bazı ortak işlevlerle ele alacağım.

Sözde hakkında ilk Euler formülleri:

Herkes için geçerli sayılar için aşağıdaki formüller geçerlidir:

Ayrıca not defterinize referans olarak kopyalayabilirsiniz.

Kesin olarak, yalnızca bir formül vardır, ancak genellikle kolaylık sağlamak için göstergede eksi olan özel bir durum da yazarlar. Parametrenin tek bir harf olması gerekmez, karmaşık bir ifade, bir işlev olabilir, yalnızca almaları önemlidir. sadece geçerli değerler. Aslında, hemen şimdi göreceğiz:

Örnek 7

Türevi bulun.

Çözüm: Partinin genel çizgisi sarsılmaz - işlevin gerçek ve hayali kısımlarını ayırmak gerekiyor. Ayrıntılı bir çözüm sunacağım ve aşağıdaki her adım hakkında yorum yapacağım:

O zamandan beri:

(1) "z" yerine.

(2) Yerine koyma işleminden sonra gerçek ve sanal kısımları ayırmak gerekir. üs içinde ilk sergileyenler Bunu yapmak için parantezleri açın.

(3) Göstergenin sanal kısmını, hayali birimi parantez dışına alarak gruplandırıyoruz.

(4) Okul eylemini güçlerle kullanın.

(5) Çarpan için Euler formülünü kullanırken .

(6) Sonuç olarak parantezleri açıyoruz:

fonksiyonun gerçek kısmıdır;
fonksiyonun hayali kısmıdır.

Diğer işlemler standarttır, Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim:

Örnek 9

Bir fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını belirleme . Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin. Öyle olsun, türevi bulamayacağız.

Çözüm:Çözüm algoritması önceki iki örneğe çok benzer, ancak çok önemli noktalar, Bu yüzden İlk aşama Adım adım tekrar yorum yapacağım:

O zamandan beri:

1) "z" yerine yerine koyarız.

(2) Önce gerçel ve hayali kısımları seçin sinüs içinde. Bunun için parantezleri açın.

(3) formülünü kullanırken, .

(4) Kullanım hiperbolik kosinüs paritesi: Ve hiperbolik sinüs tuhaflığı: . Hiperbolikler, bu dünyaya ait olmasalar da birçok yönden benzer trigonometrik fonksiyonlara benzerler.

Sonunda:
fonksiyonun gerçek kısmıdır;
fonksiyonun hayali kısmıdır.

Dikkat! Eksi işareti hayali kısmı ifade eder ve hiçbir durumda onu kaybetmemeliyiz! Görsel bir gösterim için, yukarıda elde edilen sonuç aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim:

Cauchy-Riemann koşulları sağlanır.

Cevap:, , Cauchy-Riemann koşulları karşılanır.

Kosinüs ile bayanlar ve baylar, kendi başımıza anlıyoruz:

Örnek 10

Fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını belirleyiniz. Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin.

Kasıtlı olarak daha karmaşık örnekler seçtim, çünkü herkes soyulmuş yer fıstığı gibi bir şeyi kaldırabilir. Aynı zamanda dikkatinizi geliştirin! Dersin sonunda fındıkkıran.

Sonuç olarak, bir tane daha düşüneceğim ilginç örnek karmaşık bağımsız değişken payda olduğunda. Pratikte birkaç kez karşılaştık, hadi basit bir şeyi analiz edelim. Ah yaşlanıyorum...

Örnek 11

Fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını belirleyiniz. Cauchy-Riemann koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin.

Çözüm: Yine fonksiyonun reel ve sanal kısımlarını ayırmak gerekiyor.
eğer , o zaman

Soru ortaya çıkıyor, "Z" paydadayken ne yapmalı?

Her şey basit - standart yardımcı olacaktır eşlenik ifade ile pay ve paydayı çarpma yöntemi, zaten dersin örneklerinde kullanılmış aptallar için karmaşık sayılar. Okul formülünü hatırlayalım. Payda zaten elimizde, bu nedenle eşlenik ifade olacaktır. Bu nedenle, pay ve paydayı şu şekilde çarpmanız gerekir: