Grafik teorisi, ayrı öğeler (köşeler) olarak temsil edilen nesneleri ve bunlar arasındaki bağlantıları (yaylar, kenarlar) inceleyen ayrık matematiğin bir dalıdır.
Çizge kuramı, 1736 yılında ünlü matematikçi tarafından Königsberg köprü probleminin çözümünden kaynaklanmaktadır. leonard Euler(1707-1783: İsviçre'de doğdu, Rusya'da yaşadı ve çalıştı).
Königsberg köprüleri sorunu.
Pregal Nehri üzerindeki Prusya kasabası Königsberg'de yedi köprü var. Her bir köprünün üzerinden tam 1 kez geçen ve aynı yerde başlayıp aynı yerde biten bir yürüyüş rotası bulmak mümkün mü?
Aynı tepe noktasında başlayan ve biten ve grafiğin tüm kenarlarından tam olarak bir kez geçen bir rotanın olduğu grafiğe ne ad verilir?Euler grafiği.
İstenen rotanın geçtiği köşelerin dizisine (tekrarlanabilir) ve rotanın kendisine denir.Euler döngüsü .
Üç ev ve üç kuyu sorunu.
Bir şekilde uçakta bulunan üç ev ve üç kuyu var. Yolların kesişmemesi için her evden her kuyuya bir yol çizin. Bu sorun çözüldü (çözüm olmadığı gösterildi) Kuratovsky (1896 - 1979) 1930'da.
Dört renk sorunu. Bir düzlemin kesişmeyen bölgelere bölünmesine ne ad verilir? kart. Harita alanları, varsa komşular olarak adlandırılır. ortak sınır. Sorun, haritayı komşu iki alan aynı renkle doldurulmayacak şekilde renklendirmektir. 19. yüzyılın sonundan beri, bunun için dört rengin yeterli olduğu hipotezi bilinmektedir. Hipotez şu ana kadar kanıtlanmamıştır.
Yayınlanan çözümün özü, dört renk teoremine potansiyel karşı örneklerin büyük ama sınırlı sayıda (yaklaşık 2000) türünü sıralamak ve hiçbir durumun bir karşı örnek olmadığını göstermektir. Bu numaralandırma, program tarafından yaklaşık bin saatlik bir süper bilgisayar işleminde gerçekleştirildi.
Elde edilen çözümü "manuel olarak" kontrol etmek imkansızdır - numaralandırma miktarı insan yeteneklerinin kapsamı dışındadır. Birçok matematikçi şu soruyu gündeme getiriyor: Böyle bir "yazılım kanıtı" geçerli bir kanıt olarak kabul edilebilir mi? Sonuçta programda hatalar olabilir...
Bu nedenle, yazarların programcı niteliklerine güvenmek ve her şeyi doğru yaptıklarına inanmak kalır.
Tanım 7.1. Saymak G= G(V, E) iki sonlu kümenin toplamıdır: V - denir birçok zirve ve V'den eleman çiftlerinin E'sini ayarlar, yani. EÍV´V, denir birçok kenar, çiftler sırasızsa veya birçok yayçiftler sıralanırsa.
İlk durumda, grafik G(V, E) aranan zor, saniyede odaklı.
ÖRNEK. V = (a, b, c) köşe noktalarına ve E = ((a, b), (b, c)) kenarlarına sahip bir grafik
ÖRNEK. V = (a, b, c, d, e) ve E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) , (c,d)),
e=(v 1 ,v 2), eнE ise, o zaman e kenarının bağlanır köşeler v 1 ve v 2 .
İki köşe v 1 , v 2 olarak adlandırılır ilişkili onları birbirine bağlayan bir kenar varsa. Bu durumda, köşelerin her birine denir arızi karşılık gelen kenar .
İki farklı kaburga bitişik eğer ortak bir köşeleri varsa. Bu durumda, kenarların her birine denir arızi karşılık gelen köşe .
Grafik köşe sayısı G belirtmek v ve kenar sayısı - e:
.
Grafiklerin geometrik gösterimi aşağıdaki gibidir:
1) grafiğin tepe noktası uzayda bir noktadır (düzlemde);
2) yönsüz bir grafiğin kenarı bir parçadır;
3) yönlendirilmiş bir grafiğin yayı, yönlendirilmiş bir segmenttir.
Tanım 7.2. Kenarda e=(v 1 ,v 2) v 1 =v 2 yer alıyorsa, e kenarına e denir döngü. Bir grafiğin döngülere sahip olmasına izin verilirse, buna denir. döngülü grafik veya takma yazı .
Bir grafın iki köşesi arasında birden fazla kenarı olmasına izin veriliyorsa, buna graf denir. mültigraf .
Her bir grafik tepe noktası ve (veya) kenarı etiketlenmişse, böyle bir grafiğe denir. etiketli (veya yüklendi ). Harfler veya tam sayılar genellikle işaret olarak kullanılır.
Tanım 7.3. grafik G (V , E ) aranan alt yazı (veya Bölüm ) saymak G(V,E), eğer V V, E E. Eğer bir V = V, sonra G aranan kapsayan alt grafik G.
Örnek 7 . 1 . Yönsüz bir grafik verilmiştir.
Tanım 7.4. sayım denir tamamlamak , eğer hiç köşelerinden ikisi bir kenarla birbirine bağlıdır. Grafiği şununla tamamla: n köşeler ile gösterilir K n .
K'yı sayar 2 , İLE 3, İle 4 ve K 5 .
Tanım 7.5. grafik G=G(V, E) denir çift çenet , eğer V ayrık kümelerin birleşimi olarak düşünülebilir, diyelim V=AB, böylece her kenar ( v i , v j), nerede v i A ve v j B.
Her kenar, A'dan bir tepe noktasını B'den bir tepe noktasına bağlar, ancak A'dan iki köşe veya B'den iki köşe birbirine bağlı değildir.
İkili graf denir tam dikot saymak K m , n, eğer A içerir m zirveler, B içerir n köşeler ve her biri için v i A, v j B sahibiz ( v i , v j)E.
Böylece, her biri için v i A, ve v j B onları birbirine bağlayan bir kenar var.
K 12 K 23 K 22 K 33
Örnek 7 . 2 . Tam bir ikili grafik oluşturun K 2.4 ve tam grafik K 4 .
birim grafiğinboyutlu küpAT n .
Grafiğin köşeleri n boyutlu ikili kümelerdir. Kenarlar, aynı koordinatta farklılık gösteren köşeleri birleştirir.
Örnek: 
Koenigsberg sakinleri arasında böyle pratik bir bilmece yaygındı: Pregolya Nehri üzerindeki tüm köprülerden hiçbirinden iki kez geçmeden geçmek mümkün mü? 1736'da ünlü matematikçi Leonhard Euler problemle ilgilenmeye başladı ve bir arkadaşına yazdığı bir mektupta bunun imkansız olduğunu kesin bir şekilde kanıtladı. Aynı yıl, üç boyutlu uzayda bir çokyüzlünün köşe, yüz ve kenar sayılarını ilişkilendiren dikkate değer bir formül kanıtladı. Formül, "düzlemsel" olarak adlandırılan grafikler için de gizemli bir şekilde doğrudur. Bu iki sonuç, çizge kuramının temelini attı ve bugüne kadarki gelişiminin yönünün iyi bir örneği.
kurs hakkında
Bu ders bir giriş niteliğindedir modern teori grafikler. Matematiksel bir nesne olarak bir grafik, birçok teorik ve pratik problemde faydalı olur. Belki de mesele, yapısının karmaşıklığının beynimizin yeteneklerine çok uygun olmasıdır: bu yapı görsel ve anlaşılırdır, ancak öte yandan önemsiz olmayan birçok olguyu yakalayacak kadar zengindir. Uygulamalardan bahsedersek, o zaman elbette hemen akla gelir büyük ağlar: İnternet, yol haritası, kapsama alanı mobil iletişim vb. Yandex ve Google gibi arama motorları grafik algoritmalarına dayalıdır. Bilgisayar bilimine ek olarak, grafikler biyoinformatik, kimya ve sosyolojide aktif olarak kullanılmaktadır. Dersimizde kesinlikle klasik problemleri tartışacağız ama aynı zamanda daha yeni sonuçlar ve eğilimler hakkında da konuşacağız, örneğin ekstremal çizge teorisi hakkında.
Biçim
Kurs 7 çalışma haftası ve bir sınavdan oluşmaktadır. Testlerdeki görevlerin çoğunu başarıyla çözmek için derslerde anlatılan materyale hakim olmak yeterlidir. Seminerler, grafik teorisinin temellerine zaten aşina olan bir dinleyicinin ilgisini çekebilecek daha karmaşık problemlerle ilgilenir.
bilgi kaynakları
- V. A. Emelichev, O. I. Melnikov, V. I. Sarvanov, R. I. Tyshkevich. Grafik teorisi üzerine dersler. Moskova: Librocom Kitap Evi, 2009.
- A. A. Zykov. Sonlu Grafikler Teorisi. Novosibirsk: Nauka, 1969.
- M. Swami, K. Thulasiraman. Grafikler, ağlar ve algoritmalar. M.: Mir, 1984.
- M. Aigner, G. M. Ziegler. Kanıtlar THE'dan KİTAP. Dördüncü baskı. Springer, 2009.
- B. Bollobás. Modern Çizge Teorisi. Springer, 1998.
- J. A. Bondy, U. S. R. Murty. grafik teorisi. Springer, 2008.
Gereksinimler
Materyal en temelden ve erişilebilir bir dilde sunulmaktadır. Bu dersin amacı, sizi yalnızca grafik teorisinin konu ve yöntemleriyle tanıştırmak değil, aynı zamanda hazırlıksız öğrencilerde bir matematiksel düşünme kültürü geliştirmektir. Bu nedenle, kursa çok çeşitli öğrenciler erişebilir. Malzemeye hakim olmak için, iyi bir okul düzeyinde matematik bilgisi ve temel kombinatorik bilgisi yeterli olacaktır.
Kurs programı
- Grafik kavramı ve grafik türleri.
- Çeşitli grafik uygulamaları: Königsber köprülerinden internete.
- Grafik bağlantısı, alt grafikler ve tepe noktası derecesi.
- Ağaçların eşdeğer tanımları.
- Düzlemsellik ve Kuratovsky kriteri
- Euler formülü.
- Düzlemsel bir grafiğin kromatik sayısı.
- Ağaç sayımı: Prufer kodu ve Cayley formülü.
- Tek döngülü grafiklerin sayısı için formül.
- Euler çevrimleri ve Euler kriteri.
- Hamilton çevrimleri. Dirac kriteri ve Khvatal kriteri.
- Eşleştirme. Hall ve Koenig teoremi.
- Ekstrem grafik teorisi. Turan teoremi.
- Uçaktaki grafikler için Turan teoreminin bir benzeri.
- Ramsey teorisi. Altı kişi arasında flört etmek.
- Ramsey sayısının tanımı.
- Ramsey sayıları için alt ve üst sınırlar.
Öğrenme Çıktıları
Kursu başarıyla tamamlayan öğrenci grafik kavramını, türlerini ve özelliklerini öğrenecektir. farklı özellikler ve grafik özellikleri. Dinleyici, düzenli renklendirme problemini ve belirli bir grafiği, kenarları kesişmeden bir düzlemde çizme olasılığını öğrenecek ve ayrıca nasıl çizileceğini öğrenecektir. Farklı yollar ağaçları tanımlayın ve numaralandırın. Son olarak dinleyici, Euler ve Hamilton döngüleri, eşleştirmeler kavramları ile tanışacak ve hatta ekstremal çizge teorisinin problemlerine değinecektir.
Gayri resmi olarak, bir grafik bir dizi nokta ve bu noktaları oklarla veya oklar olmadan birleştiren çizgiler olarak görüntülenebilir.
Matematiksel bir disiplin olarak graf teorisinin ilk çalışması, Euler'in Köningsberg köprü problemini ele alan makalesi (1736) olarak kabul edilir. Euler, yedi şehir köprüsünü atlamanın ve her köprüden tam olarak bir kez geçerek başlangıç noktasına dönmenin imkansız olduğunu gösterdi. Çizge teorisi sonraki ivmesini neredeyse 100 yıl sonra elektrik ağları, kristalografi, organik kimya ve diğer bilimlerdeki araştırmaların gelişmesiyle aldı.
Farkında olmadan sürekli grafiklerle karşı karşıya kalıyoruz. Örneğin grafik, metro hatlarının şemasıdır. Üzerindeki noktalar istasyonları, çizgiler ise trenlerin güzergâhlarını temsil ediyor. Şeceremizi keşfederek ve onu uzak bir ataya yükselterek, sözde soy ağacını oluştururuz. Ve bu ağaç bir grafiktir.
Grafikler, nesneler arasındaki ilişkileri tanımlamanın uygun bir yolu olarak hizmet eder. Sonlu ikili ilişkileri görselleştirmenin bir yolu olarak daha önce grafikleri kullanmıştık.
Ancak grafik hiçbir şekilde yalnızca bir örnek olarak kullanılmaz. Örneğin, iki ülke arasındaki bir yol ağını gösteren bir grafiği göz önünde bulundurarak Yerleşmeler, A noktasından B noktasına seyahat rotasını belirleyebiliriz. Bu tür birkaç rota varsa, belirli bir anlamda en uygun olanı, örneğin en kısa veya en güvenli olanı seçmek isteriz. Seçim problemini çözmek için grafikler üzerinde belirli hesaplamalar yapmak gerekir. Bu tür problemleri çözerken cebirsel teknikleri kullanmak uygundur ve grafik kavramının resmileştirilmesi gerekir.
Grafik teorisi yöntemleri, ayrık matematikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Çeşitli ayrık dönüştürücülerin analizinde ve sentezinde onlarsız yapmak imkansızdır: bilgisayarların fonksiyonel blokları, yazılım kompleksleri, vb.
Şu anda, çizge teorisi pek çok materyali kapsıyor ve aktif olarak geliştiriliyor. Bunu sunarken, kendimizi sonuçların yalnızca bir kısmıyla sınırladık ve biçimsel diller teorisinde kullanılan yaygın olarak kullanılan bazı grafik analiz algoritmalarının açıklamasına ve gerekçelerine odaklandık.
Temel tanımlar
Grafikler, örneklerde zaten belirtildiği gibi, belirli nesneler arasındaki bağlantıları "görselleştirmenin" bir yoludur. Bu bağlantılar, örneğin bir aile ağacında olduğu gibi "yönlü" veya "yönsüz" (bir ağ) olabilir. iki yönlü yollar). Buna göre, grafik teorisinde iki ana grafik türü ayırt edilir: yönlendirilmiş (veya yönlendirilmiş) ve yönsüz.
Sunum yöntemleri
Buraya kadar yönlü ve yönsüz grafikleri çizerek tanımladık. Tanıma göre bir grafiği bir çift küme olarak tanımlamak mümkündür, ancak bu yöntem oldukça külfetlidir ve teorik olarak ilgi çekicidir. Grafiklerin özelliklerinin analizine yönelik algoritmik yaklaşımların geliştirilmesi, bilgisayar kullananlar da dahil olmak üzere pratik hesaplamalar için daha uygun olan grafikleri tanımlamanın başka yollarını gerektirir. Grafikleri temsil etmenin en yaygın üç yolunu düşünün.
ağaçlar
Tanım 5.5. Yönsüz bir ağaç, bağlı ve döngüsel olmayan yönsüz bir grafiktir. Tanım 5.6. Yönlendirilmiş bir ağaç, herhangi bir tepe noktasının derecesinin en fazla 1 olduğu ve yönlendirilmiş ağacın kökü olarak adlandırılan ve derecesi 0 olan tam olarak bir köşenin bulunduğu, kontursuz yönlendirilmiş bir grafik olarak adlandırılır.
En az ağırlığa sahip yayılan ağaç
Aşağıdaki problem, çizge teorisinde Steiner problemi olarak bilinir: düzlemde n nokta verilir; bunları doğru parçalarına, bölümlerin toplam uzunluğu en küçük olacak şekilde bağlamanız gerekir.
Grafik köşelerinin sistematik geçişi için yöntemler
Grafik teorisinin önemli sorunları, hem yönsüz hem de yönlü grafiklerin genel analizinin sorunlarıdır. Bu görevler, örneğin, döngüleri veya konturları bulma, köşe çiftleri arasındaki yolların uzunluklarını hesaplama, belirli özelliklere sahip yolları listeleme vb. görevleri içerir. Bir grafiğin genel analizi, bir örneği yönlendirilmiş bir grafiğin sabit bir tepe noktasının öncüllerinin ve ardıllarının kümelerini belirleme problemi olan yerel olandan ayırt edilmelidir.
Ağırlıklı yönlendirilmiş grafiklerde yol sorunu
Grafik izomorfizmi
Yönlendirilmiş bir grafik (V, E) için, yayların E kümesi, köşeler kümesinde tanımlanan bir ikili doğrudan erişilebilirlik ilişkisinin grafiği olarak görüntülenebilir. Yönsüz bir grafikte (V, E), kenarların kümesi E, sırasız çiftlerin kümesidir. Her sırasız (u, v) ∈ E çifti için, u ve v köşelerinin simetrik bir ikili ilişki p ile bağlandığını varsayabiliriz, yani, (u, v) ∈ p ve (v, u) ∈ p.
topolojik sıralama
Tanım 5.17. Yönlendirilmiş bir ağ (veya yalnızca bir ağ), konturu* olmayan yönlendirilmiş bir grafiktir. Ağ kontursuz bir grafik olduğundan, ağın sıfır dereceli köşeleri (düğümleri) ve sıfır dereceli köşeleri (düğümleri) olduğu gösterilebilir. İlki alıcılar veya ağ çıktıları olarak adlandırılır ve ikincisi ağ kaynakları veya girdileri olarak adlandırılır.
Siklomatik elemanları
Yönsüz bir grafikte derinlik öncelikli arama algoritmasını tartışırken, bir grafiğin sözde temel döngülerini bulma sorunu ele alındı. Aynı zamanda, bir temel döngü, tam olarak bir arka kenar içeren bir döngü olarak anlaşıldı ve temel döngüler ile arka kenarlar arasında bire bir yazışma kuruldu, temel döngüler, her seferinde keyfi bir şekilde bölündüğü anda ortaya çıkıyor. yönlendirilmemiş bir grafiğin kenarları ağaç olanlara (orijinal grafiğin bazı maksimum tek noktalı ormanını oluşturan) sabit grafik) ve ters olanlara ayrılır ve genel durumda bu bölüm, derinlik öncelikli arama algoritmasından tamamen bağımsız olarak belirtilebilir. Derinlik Öncelikli Arama, böyle bir bölümü uygulamanın yollarından yalnızca biridir.
K. Berzh'in kitabı, Rusça grafikler teorisi üzerine yazılmış ilk kitaptır. bu arada son yıllar teoriye olan ilgi hem matematikçiler hem de çeşitli disiplinlerin temsilcileri tarafından keskin bir şekilde artmıştır. Bu, grafik teorisi yöntemlerinin teorinin sayısız problemini başarıyla çözdüğü gerçeğiyle açıklanmaktadır. elektrik devreleri, taşıma zinciri teorisi, bilgi teorisi, sibernetik vb.
Berge'nin kitabında, grafik teorisi en temelden başlayarak sırayla sunulur. Okuyucunun biraz matematik kültürüne sahip olmasına rağmen çok mütevazı bir matematik bilgisine sahip olduğu varsayılır. Metinde çok sayıda, genellikle eğlenceli örnekler yer almaktadır. Kitap, grafik teorisinin ilk çalışması için kullanılabilir. Matematikçiler-uzmanlar da içinde pek çok ilginç şey bulacaklar.
Euler döngüsünün doğrudan tanımlanması için algoritma.
[Fleury]. Tüm köşeleri eşit dereceye sahip olan bağlantılı bir G çoklu grafiğini düşünün ve inşaat sürecinde yörüngenin önceden çizilmiş kısmındaki düzeltmelere başvurmadan tek vuruşla çizmeye çalışın. Aşağıdaki kurala uymanız yeterlidir:
1 Keyfi bir a köşesi bırakıyoruz; Geçen her kenarın üstünü çiziyoruz.
2 Şu anda bir kıstak olan böyle bir u kenarı boyunca asla gitmeyiz (yani, kesişmeyen kenarlardan oluşan grafiğin çıkarılması üzerine, her biri en az bir kenara sahip iki bağlı bileşene bölünür),
Bu kuralı gözlemleyerek, her zaman elverişli bir konumda olacağız, çünkü x = a'dayken, grafiğin (çapraz olmayan kenarların) tek dereceli iki köşesi vardır: x ve a; izole edilmiş köşeleri atarsak, Teorem 1 sayesinde x'ten başlayan bir Euler yoluna sahip bağlantılı bir grafikle kalırız.
İçerik
giriiş
Bölüm 1. Temel Tanımlar
Kümeler ve çok değerli eşlemeler
Grafik. Yollar ve konturlar
Zincirler ve döngüler
Bölüm 2
Bir grafikle tanımlanan yarı sıra
Endüktif grafik ve bazlar
Bölüm 3
Sonsuz grafik için Grundy
Sonsuz grafikler için genel hususlar
sıralı fonksiyon
Grandi'nin işlevleri
Grafikler üzerinde işlemler
4. Bölüm
siklomatik sayı
kromatik sayı
İç Stabilite Sayısı
Harici Stabilite Numarası
Bölüm 5
Varlık ve teklik teoremleri
Grandi'nin işlevlerine uygulama
Bölüm 6
Nim oyunu
Oyunun genel tanımı (tüm ayrıntılarla birlikte)
stratejiler
Bölüm 7
Aşamalara göre süreçler Bazı genellemeler
Bölüm 8. Taşıma ağları
En büyük akış sorunu En az akış sorunu
Çok Değerli Uyumlu Akış Sorunu
Sonsuz ulaşım ağları
Bölüm 9
Çıkış ve giriş derecesi
10. Bölüm
En büyük eşleştirme sorunu
Basit grafik eksikliği
macar algoritması
Sonsuz duruma genelleme
Matris teorisine uygulama
Bölüm 11. Faktörler
Hamilton yolları ve Hamilton konturları
faktör bulma
Verilen yarım derece ile kısmi bir grafik bulma
Bölüm 12
Merkezler
yarıçap
Bölüm 13
Döngüler olmadan güçlü bir şekilde bağlı grafiklerin genel özellikleri
Çap
Bölüm 14
Geleneksel matris işlemlerini uygulama
Sayma görevleri
Lider sorunu
Boole İşlemlerini Uygulamak
Bölüm 15
Tamamen tek modüllü matrisler
Tamamen tek modüllü sistemler
siklomatik matrisler
Bölüm 16
ağaçlar
Analitik çalışma
büyük ağaçlar
17. Bölüm
Euler döngüleri Euler konturları
18. Bölüm
alternatif devre teorisi
Verilen köşe dereceleri ile kısmi bir grafik bulma
Mükemmel eşleştirme
İç stabilite sayısına uygulama
19. Bölüm
Hamilton çevrimleri ve faktöroidler
Bir faktöroidin varlığı için gerekli ve yeterli koşul
Bölüm 20
artikülasyon noktaları
Eklem içermeyen grafikler
h bağlantılı grafikler
Bölüm 21
Temel özellikler
genelleme
eklemeler
I. Genel teori dışında, oyunlar
II. Taşıma görevleri hakkında
III. Kullanım üzerine, ulaşım ağlarında potansiyel kavramları
IV. Çözülmemiş sorunlar ve kanıtlanmamış varsayımlar
V. Saymanın bazı temel ilkeleri hakkında (J. Riga)
VI. Rusça çeviriye yapılan eklemeler (A.A. Zykov ve G.I. Kozhukhin)
Edebiyat
Grafik teorisi ve K. Berzh'in kitabı (Rusça çeviriye sonsöz)
Sembol dizini
ad dizini
konu dizini
Ücretsiz indirin e-kitap uygun bir formatta izleyin ve okuyun:
Graph Theory and Its Applications, Berge K. kitabını indirin - fileskachat.com, hızlı ve ücretsiz indirin.
VLADIMIR DEVLET PEDAGOJİ ÜNİVERSİTESİ
MAKALE
"GRAFİK TEORİSİ"
gerçekleştirilen:
Zudina T.V.
Vladimir 2001
1. Giriş
2. Grafik teorisinin ortaya çıkış tarihi
3. Grafik teorisinin temel tanımları
4. Grafik teorisinin temel teoremleri
5. Grafik teorisinin uygulanması için görevler
6. Okul matematik dersinde grafik teorisinin uygulanması
7. Grafik teorisinin bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarında uygulanması
8. Grafik teorisindeki son gelişmeler
§bir. GRAF TEORİSİNİN TARİHİ.
Matematikçi Leonhard Euler (1707-1783), grafik teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Bu teorinin ortaya çıkış tarihi, büyük bilim adamının yazışmalarından izlenebilir. İşte Euler'in İtalyan matematikçi ve mühendis Marinoni'ye 13 Mart 1736'da St. Petersburg'dan gönderdiği mektubundan alınan Latince metnin çevirisi [bkz. 41-42]:
"Bir keresinde bana Königsberg şehrinde bulunan ve üzerine yedi köprünün atıldığı bir nehirle çevrili bir ada sorunu teklif edildi. Soru şu ki, her köprüden yalnızca bir kez geçen biri onları sürekli olarak atlayabilir mi? şimdiye kadar bunu yapmadı. bunu yapabildim, ancak kimse bunun imkansız olduğunu kanıtlamadı. Bu soru, sıradan olmasına rağmen, bana dikkate değer göründü çünkü ne geometri, ne cebir, ne de kombinatoryal sanat onun çözümü için yeterli değil ... Sonra Uzun uzun düşündükten sonra, tamamen inandırıcı bir kanıta dayanan kolay bir kural buldum, bunun yardımıyla, bu tür tüm problemlerde, böyle bir devrenin herhangi bir sayıda ve keyfi olarak yerleştirilmiş köprülerden yapılıp yapılamayacağı hemen belirlenebilir. aşağıdaki şekilde temsil edilebilmeleri için[şek.1] , hangisinde A bir ada anlamına gelir ve B , C ve D, kıtanın nehir kollarıyla birbirinden ayrılan kısımlarıdır. Yedi köprü harflerle işaretlenmiştir. a , b , c , d , e , f , g ".
(ŞEKİL 1.1)
Euler, bu tür sorunları çözmek için keşfettiği yöntemle ilgili olarak [bkz. s. 102-104]:
"Bu çözümün doğası gereği matematikle çok az ilgisi var gibi görünüyor ve bu çözümün neden başka bir kişi yerine bir matematikçiden beklenmesi gerektiğini anlamıyorum, çünkü bu çözüm yalnızca akıl tarafından destekleniyor ve Bu çözümü bulmak için matematiğin doğasında olan herhangi bir yasayı dahil etmeye gerek yok. Bu nedenle, matematikle çok az ilgisi olan soruların matematikçiler tarafından çözülme olasılığının diğerlerinden daha yüksek olduğu nasıl ortaya çıkıyor bilmiyorum. "
Peki bu köprülerin her birinden sadece bir kez geçerek Königsberg köprülerini dolaşmak mümkün mü? Cevabı bulmak için Euler'in Marinoni'ye yazdığı mektuba devam edelim:
"Asıl soru, her birinden birer kez geçilerek bu yedi köprünün tamamının etrafından dolanıp geçilemeyeceğinin tespitidir. Benim kuralım bu sorunun çözümüne şu şekilde yol açar. Öncelikle kaç bölüm olduğuna bakmanız gerekir. su ile ayrılır - köprü dışında birinden diğerine başka geçişi olmayanlar. Bu örnekte, bu tür dört bölüm vardır - A , B , C , D . Daha sonra, bu ayrı bölümlere giden köprülerin sayısının çift mi yoksa tek mi olduğu ayırt edilmelidir. Yani, bizim durumumuzda, A bölümüne beş köprü ve geri kalanına üç köprü, yani ayrı bölümlere giden köprülerin sayısı tuhaf ve bu zaten sorunu çözmek için yeterli. Bu belirlenirken şu kuralı uyguluyoruz: Her bir bölüme giden köprülerin sayısı çift olsaydı, o zaman söz konusu bypass mümkün olacaktı ve aynı zamanda bu bypass'ı herhangi bir bölümden başlatmak mümkün olacaktı. Bununla birlikte, bu sayılardan ikisi tek ise, çünkü yalnızca biri tek olamaz, o zaman bile geçiş, belirtildiği gibi gerçekleşebilir, ancak baypasın yalnızca başlangıcı, zorunlu olarak, geçişin yapıldığı bu iki bölümden birinden alınmalıdır. tek sayı yol açar. köprüler. Son olarak, tek sayıda köprünün götürdüğü ikiden fazla bölüm varsa, o zaman böyle bir hareket genellikle imkansızdır ... eğer burada başka, daha ciddi problemler belirtilebilirse, bu yöntem daha da yararlı olabilir ve yapılmamalıdır. ihmal edilmek".
Yukarıdaki kuralın gerekçesi, L. Euler'in aynı yılın 3 Nisan tarihli arkadaşı Eler'e yazdığı mektupta bulunabilir. Aşağıda bu mektuptan bir alıntıyı yeniden anlatacağız.
Matematikçi, nehrin çatallanan bölümünde tek sayıda köprünün çıktığı ikiden fazla alan yoksa geçişin mümkün olduğunu yazdı. Bunu hayal etmeyi kolaylaştırmak için şekildeki geçmiş köprüleri sileceğiz. Euler kurallarına göre hareket etmeye başlarsak, bir köprüyü geçip onu silersek, şeklin yine tek sayıda köprünün çıktığı ikiden fazla alanın olmadığı bir bölümü göstereceğini kontrol etmek kolaydır ve içinde tek sayılı köprülerin olduğu alanlardan birinde yer alacağız. Böyle devam ederek tüm köprülerden birer kez geçeceğiz.
Königsberg şehrinin köprülerinin tarihi, modern bir devamı var. Örneğin, N.Ya tarafından düzenlenen matematik üzerine bir okul ders kitabını açalım. Altıncı sınıf için Vilenkin. İçinde, 98. sayfada, farkındalık ve yaratıcılığın gelişimi başlığı altında, Euler'in bir zamanlar çözdüğü problemle doğrudan ilgili bir problem bulacağız.
Sorun #569. Gölde, Şekil 1.2'de gösterildiği gibi birbirine bağlı yedi ada vardır. Tekne, yolcuları her köprüden ve yalnızca bir kez geçebilmeleri için hangi adaya götürmeli? Yolcular neden adaya teslim edilemiyor? A ?
(ŞEKİL 1.2)
Çözüm. Bu problem Königsberg köprüsü problemine benzediği için, bunu çözmek için Euler kuralını da kullanacağız. Sonuç olarak, şu yanıtı alıyoruz: tekne, yolcuları adaya teslim etmelidir. E veya F böylece her köprüden bir kez geçebilsinler. Aynı Euler kuralından, adadan başlarsa gerekli sapmanın imkansızlığını takip eder. A .
Sonuç olarak, Königsberg köprü problemi ve benzeri problemlerin, onları incelemek için bir dizi yöntemle birlikte, graf teorisi adı verilen pratik anlamda matematiğin çok önemli bir dalını oluşturduğunu not ediyoruz. Grafikler üzerine ilk çalışma L. Euler'e aitti ve 1736'da ortaya çıktı. Daha sonra Koenig (1774-1833), Hamilton (1805-1865), modern matematikçiler arasında grafikler üzerinde çalıştı - K. Berzh, O. Ore, A. Zykov.
§2. GRAF TEORİSİNİN ANA TEOREMLERİ
Çizge teorisi, yukarıda bahsedildiği gibi, matematikçilerin çabalarıyla oluşturulmuş bir matematik disiplinidir, bu nedenle sunumu, gerekli titiz tanımları içerir. Öyleyse, bu teorinin temel kavramlarının organize tanıtımına geçelim.
Tanım 2.01. Saymak denilen sonlu sayıda noktaların bir koleksiyonudur. zirveler grafik ve çizgilerin bu köşelerinden bazılarını ikili olarak birleştiren, adı verilen pirzola veya yaylar grafik.
Bu tanım farklı şekilde formüle edilebilir: saymak boş olmayan nokta kümesi olarak adlandırılır ( zirveler) ve segmentler ( pirzola), her iki ucu da belirli bir nokta grubuna aittir (bkz. Şekil 2.1).
(ŞEKİL 2.1)
Aşağıda, grafiğin köşeleri gösterilecektir. latin harfleriyle A , B ,C ,D. Bazen bir bütün olarak grafik tek bir büyük harfle gösterilir.
Tanım 2.02. Grafiğin herhangi bir kenara ait olmayan köşelerine denir. yalıtılmış .
Tanım 2.03. Yalnızca izole edilmiş köşelerden oluşan bir grafiğe denir. sıfır - saymak .
tanım: Ö " - kenarları olmayan köşeleri olan bir grafik (Şekil 2.2).
(ŞEKİL 2.2)
Tanım 2.04. Her köşe çiftinin bir kenarla birbirine bağlandığı grafiğe ne ad verilir? tamamlamak .
tanım: sen " – oluşan grafik n köşeler ve bu köşelerin tüm olası çiftlerini birleştiren kenarlar. Böyle bir grafik şu şekilde temsil edilebilir: n- tüm köşegenlerin çizildiği bir kare (Şekil 2.3).
(ŞEKİL 2.3)
Tanım 2.05. Derece zirveler tepe noktasının ait olduğu kenar sayısıdır.
tanım: p (A) – tepe derecesi A . Örneğin, şekil 2.1'de: p (A)=2, p (B)=2, p (C)=2, p (D)=1, p (E)=1.
Tanım 2.06. Hepsinin sayısı, derecesi k köşeleri aynı olana denir homojen saymak derece k .
Şekil 2.4 ve 2.5, ikinci ve üçüncü derecelerin homojen grafiklerini göstermektedir.
(ŞEKİL 2.4 ve 2.5)
Tanım 2.07. ek verilen saymak tam bir grafik elde etmek için orijinal grafiğe eklenmesi gereken tüm kenarlardan ve uçlarından oluşan bir grafik olarak adlandırılır.
Şekil 2.6 orijinal grafiği göstermektedir G , dört köşe ve üç bölümden oluşan ve Şekil 2.7'de - bu grafiğin tamamlayıcısı - grafik G " .
(ŞEKİL 2.6 ve 2.7)
Şekil 2.5'te nervürlerin olduğunu görüyoruz. AC ve BD grafiğin tepe noktası olmayan bir noktada kesişir. Ancak belirli bir grafiğin, kenarları yalnızca köşelerde kesişecek şekilde bir düzlemde temsil edilmesi gereken durumlar vardır (bu konu daha sonra 5. paragrafta ayrıntılı olarak ele alınacaktır).
Tanım 2.08. Bir düzlemde, kenarları yalnızca köşelerde kesişecek şekilde temsil edilebilen graflara ne ad verilir? düz .
Örneğin, Şekil 2.8, Şekil 2.5'teki grafiğe izomorfik (eşit) olan bir düzlemsel grafiği göstermektedir. Bununla birlikte, tersi doğru olsa da, her grafiğin düzlemsel olmadığına dikkat edin, yani herhangi bir düzlemsel grafik olağan şekilde gösterilebilir.
(ŞEKİL 2.8)
Tanım 2.09.İçinde grafiğin herhangi bir köşesini veya kenarını içermeyen bir düzlemsel grafiğin çokgenine denir. kenar .