Dik üçgenin özellikleri
Sevgili yedinci sınıf öğrencileri, hangi geometrik şekillerin üçgen olarak adlandırıldığını zaten biliyorsunuz, eşitliklerinin işaretlerini nasıl kanıtlayacağınızı biliyorsunuz. Ayrıca üçgenlerin özel durumlarını da biliyorsunuz: ikizkenar ve dikdörtgen. İkizkenar üçgenlerin özelliklerini iyi biliyorsunuz.
Ancak dik üçgenlerin bile birçok özelliği vardır. Açık olanlardan biri, bir üçgenin iç açılarının toplamı hakkındaki teoremle ilgilidir: bir dik üçgende, dar açıların toplamı 90°'dir. Dik üçgenin en şaşırtıcı özelliğini 8. sınıfta ünlü Pisagor teoremini çalışırken öğreneceksiniz.
Ve şimdi iki önemli özellikten daha bahsedeceğiz. Bunlardan biri 30°'lik açıya sahip dik üçgenleri, diğeri ise gelişigüzel dik üçgenleri ifade eder. Bu özellikleri formüle edelim ve kanıtlayalım.
Geometride, iddiadaki koşul ve sonuç tersine çevrildiğinde, ispatlanan iddiaların tersini formüle etmenin adetten olduğunun farkındasınız. Ters ifadeler her zaman doğru değildir. Bizim durumumuzda, her iki konuşma ifadesi de doğrudur.
Özellik 1.1 Bir dik üçgende 30° açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir.
Kanıt: ÐA=90°, ÐB=30° ve ardından ÐC=60°..gif" genişlik="167" yükseklik="41"> olan ve dolayısıyla ispatlanması gereken bir dikdörtgen ∆ ABC düşünün.
Özellik 1.2 (özellik 1.1'in tersi) Bir dik üçgenin ayağı hipotenüsün yarısı ise, karşıt açı 30°'dir.
Özellik 2.1 Bir dik üçgende, hipotenüse çizilen ortanca, hipotenüsün yarısıdır.
ÐB=90° olan bir ∆ ABC dikdörtgeni düşünün.
BD-medyan, yani AD=DC. Bunu kanıtlayalım.
Kanıtlamak için ek bir yapı yapalım: BD=DN olacak şekilde BD'yi D noktasından öteye taşıyalım ve N'yi A ve C'ye bağlayalım..gif" width="616" height="372 src=">
Verilen: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm
1. ÐEBC=30o, çünkü bir ∆BCE dikdörtgeninde dar açıların toplamı 90o'dir.
2.BE=14cm(özellik 1)
3. ÐABE=30o, ÐA+ÐABE=ÐBEC (bir üçgenin dış açısının özelliği) olduğundan, dolayısıyla ∆AEB- ikizkenar AE=EB=14cm.
BC=2AN=20 cm (özellik 2).
Görev 3. Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliğinin ve medyanının, üçgenin dar açıları arasındaki farka eşit bir açı oluşturduğunu kanıtlayın.
Verilen: ∆ ABC, РВАС=90°, AM-medyan, AH-yükseklik.
Kanıtlayın: РМАН=РС-РВ.
Kanıt:
1) РМАС=РС (özelliğe göre 2 ∆ AMC-ikizkenar, AM=CM)
2) RMAN=RMAS-RNAS=Rs-RNAS.
Geriye PNAS=PB olduğunu kanıtlamak kalır. Bu, РВ+РС=90° (∆ ABC'de) ve РНАС+РС=90° (∆ ANS'den) gerçeğinden kaynaklanmaktadır.
Yani kanıtlanması gereken РМАН=РС-РВ.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Verilen: ∆ABC, ÐBAC=90°, AH-yükseklik, .
Bulun: РВ, РС.
Çözüm: Medyan AM'yi çizin. AH=x olsun, sonra BC=4x ve
VM=MS=AM=2x.
Dikdörtgen bir ∆ AMN'de, hipotenüs AM, AH bacağından 2 kat daha büyüktür, yani ÐAMN=30°. VM=AM olduğundan,
РВ=РВАМ100%">
AD=AC olacak şekilde A noktasından öteye AC'ye devam edelim. O halde ∆ABC=∆ABD (2 ayak için). BD=BC=2AC=CD, dolayısıyla ∆DBC eşkenardır, ÐC=60o ve RABC=30o.
Görev 5
Bir ikizkenar üçgende bir iç açısı 120o ve taban 10 cm olduğuna göre kenara çizilen yüksekliği bulunuz.
Çözüm: Öncelikle 120o'lik açının sadece üçgenin tepe noktasında olabileceğini ve kenara çizilen yüksekliğin devamında düşeceğini not ediyoruz.
AB - merdiven, K - yavru kedi.
Merdivenin herhangi bir konumunda, nihayet yere düşene kadar ∆ABC-dikdörtgen. SC - medyan ∆ABC.
2 özelliğine göre SK=1/2AB. Yani zamanın herhangi bir anında SC segmentinin uzunluğu sabittir.
Cevap: K noktası, C merkezli ve SK=1/2AB yarıçaplı bir dairenin yayı boyunca hareket edecektir.
Bağımsız çözüm için görevler.
Bir dik üçgenin açılarından biri 60° ve hipotenüs ile küçük kenar arasındaki fark 4 cm'dir. hipotenüsün uzunluğunu bulunuz. BC hipotenüsü ve B açısı 60o olan bir ∆ ABC dikdörtgeninde, AD yüksekliği çizilmiştir. DB=2cm ise DC'yi bulun. ∆АВС РС=90о, СD - yükseklikler, ВС=2ВD olarak. AD=3BD olduğunu kanıtlayın. Bir dik üçgenin yüksekliği, hipotenüsü 3 cm ve 9 cm'lik parçalara ayırır. Üçgenin açılarını ve hipotenüsün orta noktasından büyük bacağa olan mesafeyi bulun. Açıortay, üçgeni iki ikizkenar üçgene böler. Orijinal üçgenin açılarını bulun. Medyan, üçgeni iki ikizkenar üçgene böler. Köşeleri bulmak mümkün mü
orijinal üçgen?
Hayatta sık sık matematik problemleriyle uğraşmak zorunda kalırız: okulda, üniversitede ve sonra çocuğumuza matematik problemlerinde yardım etmek. ev ödevi. Belirli mesleklerden insanlar günlük olarak matematikle karşılaşacaklar. Bu nedenle, hatırlamakta veya hatırlamakta fayda var. matematiksel kurallar. Bu yazıda bunlardan birini inceleyeceğiz: dik üçgenin ayağını bulmak.
dik üçgen nedir
Öncelikle dik üçgenin ne olduğunu hatırlayalım. sağ üçgen- bu geometrik şekil aynı doğru üzerinde olmayan noktaları birleştiren üç doğru parçasından oluşur ve bu şeklin bir açısı 90 derecedir. Dik açı oluşturan kenarlara bacak, dik açının karşısındaki kenar ise hipotenüs olarak adlandırılır.
Bir dik üçgenin ayağını bulma
Bacağın uzunluğunu bulmanın birkaç yolu vardır. Onları daha ayrıntılı olarak ele almak istiyorum.
Bir dik üçgenin ayağını bulmak için Pisagor teoremi
Hipotenüs ve bacağı biliyorsak, bilinmeyen bacağın uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulabiliriz. Kulağa şöyle geliyor: "Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir." Formül: c²=a²+b², burada c hipotenüs, a ve b bacaklardır. Formülü dönüştürüyoruz ve şunu elde ediyoruz: a²=c²-b².
Örnek. Hipotenüs 5 cm ve bacak 3 cm C²=a²+b² → a²=c²-b² formülünü dönüştürüyoruz. Sonra şuna karar veriyoruz: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Bir dik üçgenin ayağını bulmak için trigonometrik ilişkiler
Bir dik üçgenin diğer kenarları ve herhangi bir dar açısı biliniyorsa, bilinmeyen bir bacak bulmak da mümkündür. Kullanarak bacağı bulmak için dört seçenek vardır. trigonometrik fonksiyonlar: sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant ile. Sorunları çözmek için aşağıdaki tablo bize yardımcı olacaktır. Bu seçenekleri ele alalım.
Sinüsü kullanarak bir dik üçgenin ayağını bulun
Bir açının sinüsü (sin), karşı bacağın hipotenüse oranıdır. Formül: sin \u003d a / c, burada a, verilen açının karşısındaki bacak ve c, hipotenüstür. Sonra, formülü dönüştürür ve şunu elde ederiz: a=sin*c.
Örnek. Hipotenüs 10 cm ve A açısı 30 derecedir. Tabloya göre A açısının sinüsünü hesaplıyoruz, 1/2'ye eşittir. Sonra dönüştürülmüş formülü kullanarak şunu çözeriz: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Kosinüs kullanarak bir dik üçgenin ayağını bulun
Bir açının kosinüsü (cos), komşu bacağın hipotenüse oranıdır. Formül: cos \u003d b / c, burada b, verilen açıya bitişik bacak ve c hipotenüstür. Formülü dönüştürelim ve şunu elde edelim: b=cos*c.
Örnek. A açısı 60 derece, hipotenüs 10 cm Tabloya göre A açısının kosinüsünü hesaplıyoruz, 1/2'ye eşit. Sonra, şunu çözüyoruz: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Teğeti kullanarak bir dik üçgenin ayağını bulun
Bir açının tanjantı (tg), karşı bacağın bitişik olana oranıdır. Formül: tg \u003d a / b, burada a köşenin karşısındaki bacak ve b bitişiktir. Formülü dönüştürelim ve şunu elde edelim: a=tg*b.
Örnek. A açısı 45 derece, hipotenüs 10 cm Tabloya göre A açısının tanjantını hesaplıyoruz, şuna eşittir Çöz: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Kotanjantı kullanarak bir dik üçgenin ayağını bulun
Bir açının kotanjantı (ctg), bitişik bacağın karşı bacağa oranıdır. Formül: ctg \u003d b / a, burada b köşeye bitişik bacak ve tersidir. Başka bir deyişle, kotanjant "ters tanjanttır". Şunu elde ederiz: b=ctg*a.
Örnek. A açısı 30 derece, karşı bacak 5 cm Tabloya göre A açısının tanjantı √3'tür. Hesapla: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Artık bir dik üçgende bacağı nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Gördüğünüz gibi o kadar da zor değil, asıl mesele formülleri hatırlamak.
Geometrik problemleri çözmek büyük miktarda bilgi gerektirir. Bu bilimin temel tanımlarından biri dik üçgendir.
Bu kavram, üç köşeden oluşan ve
kenarları ve açılarından birinin değeri 90 derecedir. Dik açıyı oluşturan kenarlara bacak, bunun karşısındaki üçüncü kenar ise hipotenüs olarak adlandırılır.
Böyle bir şekildeki bacaklar eşitse buna ikizkenar dik üçgen denir. Bu durumda, ikiye bir yakınlık vardır, bu da her iki grubun özelliklerinin gözlendiği anlamına gelir. Bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açıların kesinlikle her zaman eşit olduğunu hatırlayın, bu nedenle böyle bir şeklin dar açılarının her biri 45 dereceyi içerecektir.
Aşağıdaki özelliklerden birinin varlığı, bir dik üçgenin diğerine eşit olduğunu iddia etmemizi sağlar:
- iki üçgenin bacakları eşittir;
- figürler aynı hipotenüse ve bir bacağa sahiptir;
- hipotenüs ve dar açılardan herhangi biri eşittir;
- bacak ve dar açının eşitlik durumu gözlenir.
Bir dik üçgenin alanı, hem standart formüller kullanılarak hem de bacaklarının çarpımının yarısına eşit bir değer olarak kolayca hesaplanabilir.
Bir dik üçgende aşağıdaki ilişkiler gözlenir:
- bacak, hipotenüs ve üzerindeki izdüşümüyle orantılı ortalamadan başka bir şey değildir;
- bir dik üçgenin etrafında bir daire tanımlarsanız, merkezi hipotenüsün ortasında olacaktır;
- dik açıdan çizilen yükseklik, üçgenin bacaklarının hipotenüsüne izdüşümleriyle orantılı ortalamadır.
İlginçtir ki dik üçgen ne olursa olsun bu özellikler her zaman gözlenir.
Pisagor teoremi
Yukarıdaki özelliklere ek olarak, dik üçgenler aşağıdaki koşulla karakterize edilir:
Bu teorem, kurucusu olan Pisagor teoreminin adını almıştır. Bu ilişkiyi, üzerine inşa edilen karelerin özelliklerini incelerken keşfetti.
Teoremi kanıtlamak için, bacakları a ve b ile hipotenüs c'yi gösterdiğimiz bir ABC üçgeni kuruyoruz. Sonra, iki kare inşa edeceğiz. Bir taraf hipotenüs, diğeri iki bacağın toplamı olacaktır.
O zaman birinci karenin alanı iki şekilde bulunabilir: ABC dört üçgeninin ve ikinci karenin alanlarının toplamı olarak veya bir kenarın karesi olarak doğal olarak bu oranlar eşit olacaktır. Yani:
2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 ile elde edilen ifadeyi dönüştürürüz:
c 2 +2 ab = bir 2 + b 2 + 2 ab
Sonuç olarak, şunu elde ederiz: c 2 \u003d a 2 + b 2
Böylece, bir dik üçgenin geometrik şekli, yalnızca üçgenlerin karakteristik özelliklerinin tümüne karşılık gelmez. Dik açının varlığı, figürün başka benzersiz ilişkilere sahip olmasına yol açar. Çalışmaları sadece bilimde değil, aynı zamanda bilimde de faydalı olacaktır. Gündelik Yaşam, çünkü dik üçgen gibi bir şekil her yerde bulunur.
Geometrideki üçgen, temel şekillerden birini temsil eder. Önceki derslerden, üçgenin üç açısı ve üç kenarı olan çokgen bir şekil olduğunu biliyorsunuz.
Üçgen denir dikdörtgen 90 derecelik bir dik açısı varsa.
Bir dik üçgenin birbirine dik iki kenarı vardır. bacaklar
; üçüncü taraf denir hipotenüs
. Hipotenüs bu üçgenin en büyük kenarıdır.
- Dik ve eğik hipotenüsün özelliklerine göre, bacakların her biri daha uzundur (ancak toplamlarından daha azdır).
- Bir dik üçgenin iki dar açısının toplamı dik açıya eşittir.
- Bir dik üçgenin iki yüksekliği bacaklarına denk gelir. Bu nedenle, dikkat çekici dört noktadan biri üçgenin dik açısının köşelerine düşer.
- Bir dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi, hipotenüsün orta noktasındadır.
- Bir dik açının tepesinden hipotenüse çizilen bir dik üçgenin medyanı, bu üçgenin çevrelediği çemberin yarıçapıdır.
Dik üçgenlerin özellikleri ve özellikleri
ben - mülk. Bir dik üçgende dar açılarının toplamı 90° dir. Üçgenin daha büyük kenarı daha büyük açının karşısındadır ve daha büyük kenarı daha büyük açının karşısındadır. Bir dik üçgende en büyük açı dik açıdır. Bir üçgende en büyük açı 90 ° 'den fazlaysa, tüm açıların toplamı 180 dereceyi aştığı için böyle bir üçgen dik açılı olmaktan çıkar. Bütün bunlardan, hipotenüsün üçgenin en büyük kenarı olduğu sonucu çıkar.
II - e özelliği. 30 derecelik bir açının karşısındaki dik üçgenin bacağı hipotenüsün yarısına eşittir.
III - e mülkiyet. Bir dik üçgende bacak hipotenüsün yarısına eşitse, bu bacağın karşısındaki açı 30 dereceye eşit olacaktır.
Ortalama seviye
Sağ üçgen. Eksiksiz resimli rehber (2019)
SAĞ ÜÇGEN. İLK SEVİYE.
Problemlerde, dik açı hiç gerekli değildir - sol alttaki, bu nedenle bu formda bir dik üçgeni nasıl tanıyacağınızı öğrenmeniz gerekir,
ve böyle
ve böyle 
Bir dik üçgenin nesi iyi? Şey... her şeyden önce, partileri için özel güzel isimler var.
Çizime dikkat!
Unutmayın ve karıştırmayın: bacaklar - iki ve hipotenüs - sadece bir(tek, benzersiz ve en uzun)!
İsimleri tartıştık, şimdi en önemli şey: Pisagor Teoremi.
Pisagor teoremi.
Bu teorem, dik üçgen içeren birçok problemi çözmenin anahtarıdır. Tamamen eski çağlarda Pisagor tarafından kanıtlandı ve o zamandan beri onu bilenlere birçok fayda sağladı. Ve onunla ilgili en iyi şey, basit olması.
Yani, Pisagor teoremi:
Şakayı hatırlıyor musunuz: "Pisagor pantolonu her tarafta eşittir!"
Bu çok Pisagor pantolonunu çizelim ve onlara bakalım. 
Gerçekten şort gibi mi görünüyor? Peki, hangi taraflarda ve nerede eşitler? Şaka neden ve nereden geldi? Ve bu şaka tam olarak Pisagor teoremi ile, daha doğrusu Pisagor'un teoremini formüle etme biçimiyle bağlantılıdır. Ve bunu şöyle formüle etti:
"toplam karelerin alanı, bacaklar üzerine kurulu, eşittir kare alan hipotenüs üzerine inşa edilmiştir.
Kulağa biraz farklı gelmiyor mu? Ve böylece, Pisagor teoreminin ifadesini çizdiğinde, tam da böyle bir resim ortaya çıktı.
Bu resimde küçük karelerin alanları toplamı büyük karenin alanına eşittir. Ve çocukların bacakların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu daha iyi hatırlamaları için, esprili biri Pisagor pantolonu hakkında bu şakayı icat etti.
Neden şimdi Pisagor teoremini formüle ediyoruz?
Pisagor acı çekti ve kareler hakkında konuştu mu?
Görüyorsunuz, eski zamanlarda cebir yoktu! Hiçbir işaret vs. yoktu. Yazıt yoktu. Zavallı eski öğrencilerin her şeyi kelimelerle ezberlemesinin ne kadar korkunç olduğunu hayal edebiliyor musunuz??! Ve Pisagor teoreminin basit bir formülasyonuna sahip olduğumuz için mutlu olabiliriz. Daha iyi hatırlamak için tekrar edelim:
Şimdi kolay olmalı:
| Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir. |
Dik üçgenle ilgili en önemli teorem tartışılmıştı. Nasıl kanıtlandığıyla ilgileniyorsanız, sonraki teori seviyelerini okuyun ve şimdi devam edelim ... karanlık ormana ... trigonometri! Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant gibi korkunç kelimelere.
Bir dik üçgende sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant.
Aslında, her şey o kadar da korkutucu değil. Makalede elbette sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın "gerçek" tanımına bakılmalıdır. Ama gerçekten istemiyorsun, değil mi? Sevinebiliriz: dik üçgenle ilgili sorunları çözmek için aşağıdaki basit şeyleri doldurmanız yeterlidir:
Neden her şey köşeyle ilgili? köşe nerede? Bunu anlamak için 1'den 4'e kadar olan ifadelerin kelimelerle nasıl yazıldığını bilmeniz gerekir. Bak, anla ve hatırla!
1.
Aslında kulağa şöyle geliyor:
Peki ya açı? Köşenin karşısında, yani karşı bacak (köşe için) olan bir bacak var mı? Tabii ki var! Bu bir katet!
Peki ya açı? Yakından bak. Hangi bacak köşeye bitişik? Tabii ki, kedi. Yani, açı için bacak bitişiktir ve
Ve şimdi, dikkat! Bakın elimizde ne var:
Ne kadar harika olduğunu görün:
Şimdi teğet ve kotanjanta geçelim.
Şimdi nasıl kelimelere dökmeli? Köşeye göre bacak nedir? Karşısında, elbette - köşenin karşısında "yatıyor". Ve katet? Köşeye bitişik. Peki ne elde ettik?
Pay ve paydanın nasıl tersine çevrildiğini görüyor musunuz?
Ve şimdi yine köşeler ve takas yapıldı:
Özet
Kısaca öğrendiklerimizi yazalım.
 |
Pisagor teoremi: |
Ana dik üçgen teoremi Pisagor teoremidir.
Pisagor teoremi
Bu arada, bacakların ve hipotenüsün ne olduğunu iyi hatırlıyor musun? Değilse, resme bakın - bilginizi tazeleyin
Pisagor teoremini birçok kez kullanmış olabilirsiniz, ancak böyle bir teoremin neden doğru olduğunu hiç merak ettiniz mi? Bunu nasıl ispatlarsın? Eski Yunanlılar gibi yapalım. Kenarı olan bir kare çizelim.
Kenarlarını ne kadar kurnazca uzunluklara ayırdığımızı görüyorsunuz ve!
Şimdi işaretli noktaları birleştirelim
Ancak burada başka bir şeye dikkat çektik, ancak siz resme bakın ve nedenini düşünün.
Büyük karenin alanı nedir? Doğru şekilde, . Daha küçük alan ne olacak? Tabii ki, . Dört köşenin toplam alanı kalır. İki tane aldığımızı ve hipotenüslerle birbirimize yaslandığımızı hayal edin. Ne oldu? İki dikdörtgen. Yani "kesimlerin" alanı eşittir.
Şimdi hepsini bir araya getirelim.
Dönüştürelim:
Bu yüzden Pisagor'u ziyaret ettik - teoremini eski bir şekilde kanıtladık.
Dik üçgen ve trigonometri
Bir dik üçgen için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:
Bir dar açının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranına eşittir
Bir dar açının kosinüsü, komşu bacağın hipotenüse oranına eşittir.
Bir dar açının tanjantı, karşı bacağın komşu bacağa oranına eşittir.
Bir dar açının kotanjantı, bitişik bacağın karşı bacağa oranına eşittir.
Ve bir kez daha, tüm bunlar bir tabak şeklinde:
Çok rahat!
Dik üçgenlerin eşitlik işaretleri
I. İki ayak üzerinde
II. Bacak ve hipotenüs ile
III. Hipotenüs ve dar açı ile
IV. Bacak boyunca ve dar açı
a) 
b) 
Dikkat! Burada bacakların "karşılık gelen" olması çok önemlidir. Örneğin, şöyle giderse:
O ZAMAN ÜÇGENLER EŞİT DEĞİLDİR, aynı keskin açıya sahip olmalarına rağmen.
gerek her iki üçgende de bacak bitişikti veya her ikisinde de - zıttı.
Dik üçgenlerin eşitlik işaretlerinin üçgenlerin normal eşitlik işaretlerinden ne kadar farklı olduğunu fark ettiniz mi? “Sıradan” üçgenlerin eşitliği için üç unsurunun eşitliğine ihtiyacınız olduğuna dikkat edin: iki kenar ve aralarında bir açı, iki açı ve aralarında bir kenar veya üç kenar. Ancak dik açılı üçgenlerin eşitliği için sadece karşılıklı iki eleman yeterlidir. Harika, değil mi?
Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri ile yaklaşık olarak aynı durum.
Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri
I. Akut köşe
II. iki ayak üzerinde
III. Bacak ve hipotenüs ile
Dik üçgende medyan
Neden böyle?
Dik üçgen yerine tam bir dikdörtgen düşünün.
Bir köşegen çizelim ve bir noktayı düşünelim - köşegenlerin kesişme noktası. Dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsunuz?
Ve bundan ne çıkar?
öyle oldu ki
- - medyan:
Bu gerçeği unutmayın! çok yardımcı olur!
Daha da şaşırtıcı olanı, sohbetin de doğru olmasıdır.
Hipotenüse çizilen medyanın hipotenüsün yarısına eşit olması gerçeğinden ne fayda elde edilebilir? resme bakalım
Yakından bak. Elimizde: , yani noktadan üçgenin üç köşesine olan mesafelerin eşit olduğu ortaya çıktı. Ancak bir üçgende, üçgenin üç köşesinin de birbirine eşit olduğu tek bir nokta vardır ve bu, tanımlanan ÇEVRESİN MERKEZİ'dir. Peki ne oldu?
Bu "ayrıca..." ile başlayalım.
i'ye bakalım.
Ancak benzer üçgenlerde tüm açılar eşittir!
Aynı şey hakkında söylenebilir ve
Şimdi birlikte çizelim:
Bu "üçlü" benzerliğin ne yararı olabilir?
Mesela - Bir dik üçgenin yüksekliği için iki formül.
Karşılık gelen tarafların ilişkilerini yazıyoruz:
Yüksekliği bulmak için orantı çözeriz ve ilk formül "Dik üçgende yükseklik":
Öyleyse, benzerliği uygulayalım: .
Ne olacak şimdi?
Yine oranı çözüyoruz ve ikinci formülü elde ediyoruz:
Bu formüllerin her ikisi de çok iyi hatırlanmalı ve hangisinin uygulanması daha uygunsa. Bunları tekrar yazalım.
Pisagor teoremi:
Bir dik üçgende, hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir:
Dik üçgenlerin eşitlik işaretleri:
- iki ayak üzerinde:
- bacak ve hipotenüs boyunca: veya
- bacak ve bitişik dar açı boyunca: veya
- bacak boyunca ve zıt açıda: veya
- hipotenüs ve akut açı ile: veya.
Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri:
- bir keskin köşe: veya
- iki bacağın orantılılığından:
- bacak ve hipotenüsün orantılılığından: veya.
Dik üçgende sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant
- Bir dik üçgenin dar açısının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranıdır:
- Bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü, komşu bacağın hipotenüse oranıdır:
- Bir dik üçgenin dar açısının tanjantı, karşı bacağın bitişik olana oranıdır:
- Bir dik üçgenin dar açısının kotanjantı, bitişik bacağın karşı tarafa oranıdır:
Bir dik üçgenin yüksekliği: veya.
Bir dik üçgende, dik açının tepesinden çizilen medyan hipotenüsün yarısına eşittir: .
Dik üçgenin alanı:
- kateterler aracılığıyla: