2. Olasılık teorisinin temelleri
Beklenen değer
Sayısal değerlere sahip rastgele bir değişken düşünün. Bir sayıyı bu işlevle - "ortalama değeri" veya dedikleri gibi "ortalama değer", "merkezi eğilimin bir göstergesi" ile ilişkilendirmek genellikle yararlıdır. Bazıları aşağıda açıklığa kavuşacak olan bir dizi nedenden dolayı, ortalamanın ortalama olarak kullanılması yaygındır.
tanım 3. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi X bir numara aradı
onlar. rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi, karşılık gelen temel olayların olasılıklarına eşit ağırlıklara sahip rastgele bir değişkenin değerlerinin ağırlıklı toplamıdır.
Örnek 6 Zarın üst yüzüne gelen sayının matematiksel beklentisini hesaplayalım. Doğrudan Tanım 3'ten şu sonuç çıkar:
Açıklama 2. Rastgele değişkene izin ver X değerleri alır x 1, x 2, ..., xM. Daha sonra eşitlik
(5)
onlar. Bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi, rasgele değişkenin değerlerinin, rasgele değişkenin belirli değerleri alma olasılıklarına eşit ağırlıklarla ağırlıklı toplamıdır.
Toplamanın doğrudan temel olaylar üzerinden yapıldığı (4)'ün aksine, rastgele bir olay birkaç temel olaydan oluşabilir.
Bazen ilişki (5) matematiksel beklentinin tanımı olarak alınır. Bununla birlikte, aşağıda gösterildiği gibi Tanım 3'ü kullanarak, oluşturmak için gereken beklentinin özelliklerini oluşturmak daha kolaydır. olasılık modelleri ilişki yardımıyla daha gerçek fenomenler (5).
İlişkiyi (5) kanıtlamak için, terimleri (4) ile gruplandırıyoruz aynı değerler rastgele değişken :
Sabit çarpan toplamın işaretinden çıkarılabileceğinden, o zaman
Bir olayın olasılığının tanımı gereği
Son iki ilişkinin yardımıyla istenileni elde ederiz:
Olasılık-istatistik teorisindeki matematiksel beklenti kavramı, mekanikteki ağırlık merkezi kavramına karşılık gelir. Noktalara koyalım x 1, x 2, ..., xM kütlenin sayısal ekseninde P(X= X 1 ), P(X= X 2 ),…, P(X= x m) sırasıyla. Daha sonra eşitlik (5), bu maddi noktalar sisteminin ağırlık merkezinin, Tanım 3'ün doğallığını gösteren matematiksel beklenti ile örtüştüğünü gösterir.
Açıklama 3.İzin vermek X- rastgele değer, M(X) matematiksel beklentisi, A- bir numara. Daha sonra
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- A) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(A- M(X)) 2 .
Bunu kanıtlamak için önce sabit olan bir rasgele değişkeni ele alıyoruz, yani. işlev, temel olayların alanını tek bir noktaya eşler A. Sabit çarpan toplamın işaretinden çıkarılabileceğinden, o zaman
Toplamın her bir terimi iki terime bölünürse, o zaman tüm toplam da iki toplama bölünür; bunlardan birincisi birinci terimlerden, ikincisi de ikinciden oluşur. Bu nedenle, iki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi X+Y, temel olayların aynı uzayında tanımlanan, matematiksel beklentilerin toplamına eşittir M(X) Ve M(Ü) bu rastgele değişkenler:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Ve bu nedenle M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Yukarıda gösterildiği gibi, M(M(X)) = M(X). Buradan, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Çünkü (X - bir) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - A)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - A) + (M(X) – A) 2 , O M[(X - bir) 2] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - A)} + M[(M(X) – A) 2 ]. Son eşitliği sadeleştirelim. Önerme 3'ün ispatının başında gösterildiği gibi, bir sabitin beklentisi sabitin kendisidir ve bu nedenle M[(M(X) – A) 2 ] = (M(X) – A) 2 . Sabit çarpan toplamın işaretinden çıkarılabileceğinden, o zaman M{2(X - M(X))(M(X) - A)} = 2(M(X) - A)M(X - M(X)). Son eşitliğin sağ tarafı 0'dır çünkü yukarıda gösterildiği gibi, M(X-M(X))=0. Buradan, M[(X- A) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(A- M(X)) 2 , kanıtlanması gerekiyordu.
Anlatılanlardan anlaşıldığına göre M[(X- A) 2 ] minimuma ulaşır A eşittir M[(X- M(X)) 2 ], de bir = M(X), 3) eşitliğindeki ikinci terim her zaman negatif olmadığı ve yalnızca belirtilen değer için 0'a eşit olduğu için A.
Açıklama 4. Rastgele değişkene izin ver X değerleri alır x 1, x 2, ..., xM ve f sayısal bir bağımsız değişkenin bir işlevidir. Daha sonra
Bunu ispatlamak için matematiksel beklentiyi belirleyen eşitliğin (4) sağ tarafında aynı değerlere sahip terimleri gruplayalım:
Sabit faktörün toplamın işaretinden çıkarılabileceği gerçeğini kullanarak ve rastgele bir olayın (2) olasılığını belirleyerek şunu elde ederiz:
Q.E.D.
Açıklama 5.İzin vermek X Ve -de temel olayların aynı uzayında tanımlanan rastgele değişkenlerdir, A Ve B- bazı numaralar. Daha sonra M(aX+ ile)= aM(X)+ BM(Y).
Matematiksel beklentinin tanımını ve toplama sembolünün özelliklerini kullanarak bir eşitlik zinciri elde ederiz:
Gereken kanıtlanmıştır.
Yukarıdaki, matematiksel beklentinin başka bir orijine ve başka bir ölçü birimine (geçiş) geçişe nasıl bağlı olduğunu göstermektedir. Y=aX+B) yanı sıra rasgele değişkenlerin işlevlerine. Elde edilen sonuçlar, teknik ve ekonomik analizlerde, bir işletmenin finansal ve ekonomik faaliyetlerinin değerlendirilmesinde, dış ekonomik yerleşimlerde bir para biriminden diğerine geçişte, düzenleyici ve teknik belgelerde vb. çeşitli parametreler için aynı hesaplama formülleri ölçeklenir ve kaydırılır.
| Öncesi |
Bir X rasgele değişkeninin ayrı bir olasılık uzayında verilen matematiksel beklentisi (ortalama değer), eğer seri mutlak olarak yakınsa, m =M[X]=∑x i p i sayısıdır.
hizmet ataması. Servis yardımı ile çevrimiçi mod matematiksel beklenti, varyans ve standart sapma hesaplanır(Örneğe bakın). Ek olarak, F(X) dağılım fonksiyonunun bir grafiği çizilir.
Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri
- Sabit bir değerin matematiksel beklentisi kendisine eşittir: M[C]=C , C bir sabittir;
- M=C M[X]
- Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: M=M[X]+M[Y]
- Bağımsız rasgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin ürününe eşittir: M=M[X] M[Y], eğer X ve Y bağımsızsa.
Dispersiyon Özellikleri
- Sabit bir değerin dağılımı sıfıra eşittir: D(c)=0.
- Sabit faktör, dağılım işaretinin altından karesi alınarak çıkarılabilir: D(k*X)= k 2 D(X).
- X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızsa, toplamın varyansı varyansların toplamına eşittir: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- X ve Y rastgele değişkenleri bağımlıysa: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Varyans için hesaplama formülü geçerlidir:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Örnek. İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin matematiksel beklentileri ve varyansları bilinmektedir: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Z=9X-8Y+7 rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
Çözüm. Matematiksel beklentinin özelliklerine göre: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23
Dağılım özelliklerine bağlı olarak: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Matematiksel beklentiyi hesaplamak için algoritma
Ayrık rasgele değişkenlerin özellikleri: tüm değerleri doğal sayılarla yeniden numaralandırılabilir; Her değere sıfır olmayan bir olasılık atayın.- Çiftleri birer birer çarpın: x i by p i .
- Her çiftin çarpımını x i p i olarak ekliyoruz.
Örneğin, n = 4 için: m = ∑x ben p ben = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Örnek 1.
| x ben | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematiksel beklenti, m = ∑x ben p ben formülü ile bulunur.
Matematiksel beklenti M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Dağılım, d = ∑x 2 ben p ben - M[x] 2 formülü ile bulunur.
Dağılım D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standart sapma σ(x).
σ = kare(D[X]) = kare(7,69) = 2,78
Örnek 2. Ayrı bir rasgele değişken aşağıdaki dağılım serisine sahiptir:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Çözüm. a değeri şu bağıntıdan bulunur: Σp i = 1
Σp ben = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 veya 0,24=3 a , dolayısıyla a = 0,08
Örnek 3. Varyansı biliniyorsa ve x 1 ise ayrık bir rasgele değişkenin dağılım yasasını belirleyin
p1=0.3; p2=0.3; p3=0.1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12.96
Çözüm.
Burada d (x) varyansını bulmak için bir formül yapmanız gerekir:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
burada beklenti m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
verilerimiz için
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
veya -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Buna göre denklemin köklerini bulmak gerekiyor ve bunlardan iki tane olacak.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
x 1 koşulunu sağlayanı seçiyoruz
Ayrık bir rasgele değişkenin dağılım yasası
x1=6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p1=0.3; p2=0.3; p3=0.1; p 4 \u003d 0,3
Ayrık bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi, tüm olası değerlerinin ve olasılıklarının ürünlerinin toplamıdır.
Bir rasgele değişkenin yalnızca olasılıkları sırasıyla eşit olanları almasına izin verin, o zaman rasgele bir değişkenin matematiksel beklentisi eşitlik ile belirlenir.
Ayrık bir rasgele değişken, sayılabilir bir olası değerler kümesi alıyorsa, o zaman
Ayrıca eşitliğin sağındaki serinin mutlak yakınsak olması matematiksel beklentidir.
Yorum. Ayrık bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisinin rasgele olmayan (sabit) bir değişken olduğu tanımdan çıkar.
Genel durumda matematiksel beklentinin tanımı
Dağılımı mutlaka ayrık olmayan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini tanımlayalım. Negatif olmayan rasgele değişkenler durumuyla başlayalım. Buradaki fikir, bu tür rasgele değişkenlere, matematiksel beklentisi zaten belirlenmiş olan ayrık değişkenlerin yardımıyla yaklaşmak ve matematiksel beklentiyi, ona yaklaşan ayrık rasgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin sınırına eşitlemek olacaktır. Bu arada, bu, bazı özelliklerin önce basit nesneler için belirlenmesi ve daha sonra daha karmaşık nesneler için daha basit olanlarla yaklaşılarak belirlenmesi gerçeğinden oluşan çok yararlı bir genel fikirdir.
Lemma 1. Negatif olmayan rastgele bir rastgele değişken olsun. Sonra bir dizi ayrık rasgele değişken vardır, öyle ki
Kanıt. Yarı ekseni eşit uzunlukta parçalara ayıralım ve tanımlayalım
Ardından, 1 ve 2 numaralı özellikler rastgele bir değişkenin tanımından kolayca çıkar ve
Önerme 2. Negatif olmayan bir rasgele değişken olsun ve Lemma 1'den 1-3 özelliklerine sahip iki ayrık rasgele değişken dizisi olsun.
Kanıt. Negatif olmayan rasgele değişkenler için izin verdiğimize dikkat edin.
Özellik 3 ile, bir pozitif sayı dizisi olduğunu görmek kolaydır, öyle ki
Dolayısıyla bunu takip eder
Ayrık rasgele değişkenler için matematiksel beklentilerin özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
Lemma 2'nin iddiasını elde ederken limite geçiyoruz.
Tanım 1. Negatif olmayan bir rasgele değişken olsun, Lemma 1'den 1-3 özelliklerine sahip ayrık rasgele değişkenlerin bir dizisi olsun. Bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi sayıdır
Lemma 2, yaklaşım dizisinin seçimine bağlı olmadığını garanti eder.
Şimdi keyfi bir rasgele değişken olsun. tanımlayalım
Tanımdan ve bunu kolayca takip eder
Tanım 2. Rastgele bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi,
Bu eşitliğin sağ tarafındaki sayılardan en az biri sonlu ise.
Beklenti Özellikleri
Özellik 1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi, sabitin kendisine eşittir:
Kanıt. Bir sabiti, olası bir değeri olan ve onu olasılıkla alan ayrı bir rasgele değişken olarak ele alacağız, bu nedenle,
Açıklama 1. Sabit bir değerin çarpımını ayrı bir rasgele değişkenle, olası değerleri bir sabitin çarpımlarına olası değerlere eşit olan ayrı bir rasgele değişken olarak tanımlarız; olası değerlerin olasılıkları, karşılık gelen olası değerlerin olasılıklarına eşittir.Örneğin, olası bir değerin olasılığı eşitse, o zaman değerin bir değer alma olasılığı da eşittir
Özellik 2. Beklenti işaretinden sabit bir faktör çıkarılabilir:
Kanıt. Rastgele değişken, olasılık dağılım yasası tarafından verilsin:
Açıklama 1'i dikkate alarak, rastgele değişkenin dağılım yasasını yazıyoruz
Açıklama 2. Bir sonraki özelliğe geçmeden önce, birinin dağılım yasası diğer değişkenin aldığı olası değerlere bağlı değilse, iki rastgele değişkenin bağımsız olarak adlandırıldığını belirtiyoruz. Aksi takdirde, rastgele değişkenler bağımlıdır. Herhangi bir sayıdaki dağılım yasaları, diğer değişkenlerin aldığı olası değerlere bağlı değilse, birkaç rasgele değişkene karşılıklı olarak bağımsız denir.
Açıklama 3. Bağımsız rasgele değişkenlerin çarpımını ve olası değerleri, ürünün olası değerlerinin olasılıklarının her olası değeri ile olası değerlerinin çarpımına eşit olan rasgele bir değişken olarak tanımlarız. faktörlerin olası değerlerinin olasılıklarının ürünlerine. Örneğin, olası bir değerin olasılığı, olası bir değerin olasılığı ise, o zaman olası bir değerin olasılığı
Özellik 3. İki bağımsız rasgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, bunların matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir:
Kanıt. Bağımsız rasgele değişkenler olsun ve kendi olasılık dağılım kanunları tarafından verilsin:
Bir rasgele değişkenin alabileceği tüm değerleri oluşturalım, bunun için olası tüm değerleri olası her bir değerle çarpıyoruz; sonuç olarak, Açıklama 3'ü dikkate alarak elde ederiz ve dağıtım yasasını basitlik için ürünün tüm olası değerlerinin farklı olduğunu varsayarak yazarız (eğer durum böyle değilse, ispat benzer şekilde gerçekleştirilir):
Matematiksel beklenti, olası tüm değerlerin ve olasılıklarının çarpımlarının toplamına eşittir:
Sonuçlar. Birbirinden bağımsız birkaç rasgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, bunların matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.
Özellik 4. İki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:
Kanıt. Rastgele değişkenler ve aşağıdaki dağılım kanunları tarafından verilsin:
Miktarın tüm olası değerlerini oluşturun Bunu yapmak için, her olası değeri her olası değere ekleyin; Basitlik için bu olası değerlerin farklı olduğunu varsayalım (eğer durum böyle değilse, ispat benzer şekilde gerçekleştirilir) ve olasılıklarını sırasıyla ve ile gösteririz.
Bir değerin matematiksel beklentisi, olası değerlerin çarpımlarının olasılıklarına göre toplamına eşittir:
Bir değer almayı içeren bir Olayın (bu olayın olasılığı eşittir) veya değerini almayı içeren bir olayı gerektirdiğini (bu olayın olasılığı toplama teoremine göre eşittir) ve bunun tersini kanıtlayalım. Dolayısıyla, eşitlikler
Bu eşitliklerin doğru kısımlarını (*) ilişkisine koyarak, şunu elde ederiz:
ya da sonunda
Dağılım ve standart sapma
Uygulamada, genellikle bir rastgele değişkenin olası değerlerinin ortalama değeri etrafındaki dağılımının tahmin edilmesi gerekir. Örneğin topçu atışlarında, mermilerin vurulması gereken hedefe ne kadar yakın düşeceğini bilmek önemlidir.
İlk bakışta, saçılmayı tahmin etmenin en kolay yolu, rastgele bir değişkenin tüm olası sapma değerlerini hesaplamak ve ardından bunların ortalama değerini bulmak gibi görünebilir. Bununla birlikte, bu yol hiçbir şey vermeyecektir, çünkü sapmanın ortalama değeri, yani. herhangi bir rastgele değişken için sıfırdır. Bu özellik, bazı olası sapmaların olumlu, diğerlerinin ise olumsuz olmasıyla açıklanmaktadır; karşılıklı iptallerinin bir sonucu olarak, sapmanın ortalama değeri sıfırdır. Bu hususlar, olası sapmaları mutlak değerleri veya kareleri ile değiştirmenin uygunluğunu gösterir. Pratikte böyle yapıyorlar. Doğru, olası sapmaların mutlak değerleri ile değiştirildiği durumda, mutlak değerlerle çalışmak gerekir ki bu bazen ciddi zorluklara yol açar. Bu nedenle, çoğu zaman diğer yöne giderler, yani. varyans olarak adlandırılan sapmanın karesinin ortalama değerini hesaplayın.
Dağılım yasalarına ek olarak rastgele değişkenler de tanımlanabilir. sayısal özellikler .
matematiksel beklenti Rastgele bir değişkenin M (x) değerine ortalama değeri denir.
Ayrık bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi aşağıdaki formülle hesaplanır:
Nerede – rastgele bir değişkenin değerleri, p Ben- olasılıkları.
Matematiksel beklentinin özelliklerini göz önünde bulundurun:
1. Bir sabitin matematiksel beklentisi, sabitin kendisine eşittir
2. Rastgele bir değişken belirli bir k sayısı ile çarpılırsa, matematiksel beklenti aynı sayı ile çarpılacaktır.
M (kx) = kM (x)
3. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir
M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)
4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)
5. x 1 , x 2 , … xn bağımsız rastgele değişkenleri için çarpımın matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir
M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0
Örnek 11'deki rastgele değişken için matematiksel beklentiyi hesaplayalım.
M(x) == 
.
Örnek 12. X 1 , x 2 rasgele değişkenlerinin sırasıyla dağılım kanunları tarafından verilmesine izin verin:
x 1 Tablo 2
x 2 Tablo 3
M (x 1) ve M (x 2) hesaplayın
M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0
M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0
Her iki rasgele değişkenin matematiksel beklentileri aynıdır - sıfıra eşittirler. Ancak dağılımları farklıdır. X 1 değerleri matematiksel beklentilerinden biraz farklıysa, x 2 değerleri matematiksel beklentilerinden büyük ölçüde farklıdır ve bu tür sapmaların olasılıkları küçük değildir. Bu örnekler, ortalama değerden hem yukarı hem de aşağı hangi sapmaların gerçekleştiğini belirlemenin imkansız olduğunu göstermektedir. Bu nedenle, iki yörede aynı ortalama yıllık yağış miktarı ile, bu yörelerin tarım işçiliği için eşit derecede elverişli olduğu söylenemez. Benzer şekilde, ortalama ücret göstergesine göre, yüksek ve düşük ücretli çalışanların oranını yargılamak mümkün değildir. Bu nedenle, sayısal bir özellik tanıtılır - dağılım D(x) , rastgele bir değişkenin ortalama değerinden sapma derecesini karakterize eden:
D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
Dağılım, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentiden karesel sapmasının matematiksel beklentisidir. Ayrık bir rasgele değişken için, varyans aşağıdaki formülle hesaplanır:
D(x)= 
= 
(3)
D (x) 0'ın varyans tanımından çıkar.
Dispersiyon özellikleri:
1. Sabitin dağılımı sıfırdır
2. Rastgele bir değişken k sayısıyla çarpılırsa, varyans bu sayının karesiyle çarpılır.
D (kx) = k 2 D (x)
3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)
4. İkili bağımsız rastgele değişkenler x 1 , x 2 , … x n için toplamın varyansı, varyansların toplamına eşittir.
D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)
Örnek 11'deki rastgele değişkenin varyansını hesaplayalım.
Matematiksel beklenti M (x) = 1. Bu nedenle, formül (3) 'e göre elimizde:
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2
Özellik 3'ü kullanırsak varyansı hesaplamanın daha kolay olacağına dikkat edin:
D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).
Bu formülü kullanarak Örnek 12'deki x 1 , x 2 rastgele değişkenlerinin varyanslarını hesaplayalım. Her iki rastgele değişkenin matematiksel beklentileri sıfıra eşittir.
D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 \u003d 0,00204
D (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260
Dağılım değeri sıfıra ne kadar yakınsa, ortalama değere göre rasgele değişkenin yayılımı o kadar küçük olur.
değer denir standart sapma. rastgele moda X ayrık tip Md en yüksek olasılığa karşılık gelen rastgele değişkenin değeridir.
rastgele moda X sürekli tip Md, olasılık dağılım yoğunluğunun f(x) maksimum noktası olarak tanımlanan gerçek bir sayıdır.
Rastgele bir değişkenin medyanı X sürekli tip Mn denklemi sağlayan gerçek bir sayıdır
- 10 yenidoğan içindeki erkek çocukların sayısı.
Bu sayının önceden bilinmediği oldukça açıktır ve doğacak sonraki on çocukta şunlar olabilir:
Veya erkekler - bir ve sadece bir Listelenen seçeneklerden.
Ve formda kalmak için biraz beden eğitimi:
- uzun atlama mesafesi (bazı birimlerde).
Sporun ustası bile tahmin edemiyor :)
Ancak, hipotezleriniz nelerdir?
2) Sürekli rastgele değişken - alır Tüm bazı sonlu veya sonsuz aralıktaki sayısal değerler.
Not : DSV ve NSV kısaltmaları eğitim literatüründe popülerdir
İlk olarak, ayrı bir rasgele değişkeni analiz edelim, sonra - sürekli.
Ayrık bir rasgele değişkenin dağılım yasası
- Bu yazışma bu miktarın olası değerleri ile olasılıkları arasında. Çoğu zaman, yasa bir tabloya yazılır: 
Terim oldukça yaygın sıra
dağıtım, ancak bazı durumlarda kulağa belirsiz geliyor ve bu nedenle "yasaya" bağlı kalacağım.
Ve şimdi çok önemli nokta: çünkü rastgele değişken zorunlu olarak kabul edecek değerlerden biri, ardından karşılık gelen olaylar formu tam grup ve gerçekleşme olasılıklarının toplamı bire eşittir:
veya katlanmış olarak yazılırsa:
Bu nedenle, örneğin, bir zar üzerindeki noktaların olasılıklarının dağılımı yasası aşağıdaki forma sahiptir: 
Yorum yok.
Ayrık bir rasgele değişkenin yalnızca "iyi" tamsayı değerleri alabileceği izlenimine kapılmış olabilirsiniz. İllüzyonu ortadan kaldıralım - herhangi bir şey olabilirler:
örnek 1
Bazı oyunlar aşağıdaki ödeme dağıtım yasasına sahiptir: 
…muhtemelen uzun zamandır bu tür görevlerin hayalini kuruyorsunuz :) Size bir sır vereyim - ben de. Özellikle üzerinde çalışmayı bitirdikten sonra alan teorisi.
Çözüm: rastgele bir değişken üç değerden yalnızca birini alabildiğinden, karşılık gelen olaylar oluşur tam grup, bu, olasılıklarının toplamının bire eşit olduğu anlamına gelir: 
"Partizanı" ifşa ediyoruz: 
– bu nedenle, geleneksel birimleri kazanma olasılığı 0,4'tür.
Kontrol: emin olmanız gerekenler.
Cevap:
Dağıtım yasasının bağımsız olarak derlenmesi gerektiğinde alışılmadık bir durum değildir. bu kullanım için olasılığın klasik tanımı, olay olasılıkları için çarpma / toplama teoremleri ve diğer cipsler tervera:
Örnek 2
Kutuda 12'si kazanan 50 piyango bileti var ve bunlardan 2'si her biri 1000 ruble ve geri kalanı - 100 ruble kazanıyor. Rastgele bir değişkenin dağıtım yasasını çizin - kutudan rastgele bir bilet çekilirse kazancın boyutu.
Çözüm: fark ettiğiniz gibi, rastgele bir değişkenin değerlerini artan düzen. Bu nedenle, en küçük kazançlarla, yani ruble ile başlıyoruz.
Toplamda 50 - 12 = 38 bu tür bilet vardır ve buna göre klasik tanım:
rastgele çekilen bir biletin kazanmama olasılığıdır.
Vakaların geri kalanı basit. Ruble kazanma olasılığı:
Kontrol etme: - ve bu, bu tür görevlerin özellikle hoş bir anıdır!
Cevap: gerekli ödeme dağıtım yasası: 
Bağımsız bir karar için aşağıdaki görev:
Örnek 3
Atıcının hedefi vurma olasılığı . Rastgele bir değişken için bir dağıtım yasası yapın - 2 atıştan sonraki isabet sayısı.
... Onu özlediğini biliyordum :) Hatırlıyoruz çarpma ve toplama teoremleri. Çözüm ve cevap dersin sonunda.
Dağılım yasası bir rasgele değişkeni tamamen tanımlar, ancak pratikte bunun yalnızca bir kısmını bilmek yararlıdır (ve bazen daha yararlıdır). sayısal özellikler .
Ayrık bir rasgele değişkenin matematiksel beklentisi
Basit bir ifadeyle, bu ortalama beklenen değer tekrarlanan testler ile. Rastgele bir değişkenin olasılıklı değerler almasına izin verin 
sırasıyla. O zaman bu rasgele değişkenin matematiksel beklentisi şuna eşittir: işlerin toplamı karşılık gelen olasılıklara göre tüm değerleri:
veya katlanmış biçimde: 
Örneğin, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini hesaplayalım - bir zarda atılan puanların sayısı:
Şimdi varsayımsal oyunumuzu hatırlayalım: 
Şu soru ortaya çıkıyor: Bu oyunu oynamak karlı mı? ... kimin izlenimi var? Yani “hazırlıksız” diyemezsiniz! Ancak bu soru, özünde matematiksel beklentiyi hesaplayarak kolayca cevaplanabilir - ağırlıklı ortalama kazanma olasılıkları:
Böylece, bu oyunun matematiksel beklentisi kaybetmek.
Gösterimlere güvenmeyin - sayılara güvenin!
Evet, burada arka arkaya 10 hatta 20-30 kez kazanabilirsiniz ama uzun vadede kaçınılmaz olarak mahvoluruz. Ve bu tür oyunları oynamanızı tavsiye etmem :) Şey, belki sadece eğlence için.
Yukarıdakilerin hepsinden, matematiksel beklentinin RASTGELE bir değer OLMADIĞI sonucu çıkar.
Bağımsız araştırma için yaratıcı görev:
Örnek 4
Bay X, aşağıdaki sisteme göre Avrupa ruleti oynuyor: sürekli olarak kırmızı üzerine 100 ruble bahse giriyor. Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını oluşturun - getirisi. Kazançların matematiksel beklentisini hesaplayın ve kopeklere yuvarlayın. Kaç tane ortalama oyuncu her yüz bahis için kaybeder mi?
Referans : Avrupa ruleti 18 kırmızı, 18 siyah ve 1 yeşil sektör ("sıfır") içerir. "Kırmızı" düşmesi durumunda, oyuncuya çift bahis ödenir, aksi takdirde kumarhanenin gelirine gider.
Kendi olasılık tablolarınızı oluşturabileceğiniz başka birçok rulet sistemi vardır. Ancak bu, herhangi bir dağıtım yasasına ve tablosuna ihtiyacımız olmadığında geçerlidir çünkü oyuncunun matematiksel beklentisinin tamamen aynı olacağı kesin olarak belirlenmiştir. Sadece sistemden sisteme değişir