Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmak basit bir iştir. Ancak, muhtemelen okulda anladığınız, ancak o zamandan beri unuttuğunuz incelikler var.
Bir tam sayıyı bir kesirle çarpma - birkaç terim
Pay ve paydanın ne olduğunu ve uygun kesrin yanlış olandan nasıl farklı olduğunu hatırlıyorsanız, bu paragrafı atlayın. Teoriyi tamamen unutmuş olanlar içindir.
pay üst kısım kesirler böldüğümüz şeydir. Payda en alttakidir. Paylaştığımız şey bu.
Uygun kesir, payı paydadan küçük olan kesirdir. Uygun olmayan bir kesir, payı paydadan büyük veya ona eşit olan bir kesirdir.
Bir tam sayıyı bir kesirle çarpma
Bir tamsayıyı bir kesirle çarpma kuralı çok basittir - payı tamsayı ile çarparız ve paydaya dokunmayız. Örneğin: iki beşte bir ile çarpılır - beşte ikisini elde ederiz. Dört kere üç onaltıda oniki onaltıdadır.
Kesinti
İkinci örnekte, ortaya çıkan kesir azaltılabilir.
Bunun anlamı ne? Bu kesrin hem pay hem de paydasının dörde bölünebildiğine dikkat edin. Her iki sayıyı ortak bir bölene bölme işlemine kesrin indirgenmesi denir. Üç çeyrek alıyoruz.
yanlış kesirler
Ama farz edelim ki beşte ikisini dörtle çarpıyoruz. Sekiz beşte var. Bu yanlış kesirdir.
Doğru forma getirilmelidir. Bunu yapmak için, ondan bir parça seçmeniz gerekir.
Burada kalanlı bölmeyi kullanmanız gerekir. Kalanda bir ve üç elde ederiz.
Bir tam ve beşte üç bizim uygun kesirimizdir.
Otuzbeş sekizliği düzeltmek biraz daha zordur, sekize bölünebilen otuz yediye en yakın sayı otuz ikidir. Bölündüğünde dört elde ederiz. Otuz beşten otuz iki çıkarırsak üç elde ederiz. Sonuç: dört tam ve üç sekizlik.
Pay ve paydanın eşitliği. Ve burada her şey çok basit ve güzel. Pay ve payda eşit olduğunda, sonuç sadece birdir.
Sıradan kesirlerin çarpımı
Bir örnek düşünün.
Tabakta bir elmanın $\frac(1)(3)$ parçası olsun. Bunun $\frac(1)(2)$ kısmını bulmamız gerekiyor. Zorunlu kısım, $\frac(1)(3)$ ve $\frac(1)(2)$ kesirlerinin çarpılmasının sonucudur. İki ortak kesrin çarpılmasının sonucu ortak bir kesirdir.
İki ortak kesri çarpmak
Adi kesirleri çarpma kuralı:
Bir kesri bir kesirle çarpmanın sonucu, payı çarpan kesirlerin paylarının ürününe eşit olan ve payda paydaların ürününe eşit olan bir kesirdir:
örnek 1
$\frac(3)(7)$ ve $\frac(5)(11)$ ile sıradan kesirleri çarpın.
Çözüm.
Sıradan kesirlerin çarpma kuralını kullanalım:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Cevap:$\frac(15)(77)$
Kesirlerin çarpılması sonucunda iptal edilebilir veya uygun olmayan bir kesir elde edilirse, sadeleştirilmesi gerekir.
Örnek 2
$\frac(3)(8)$ ve $\frac(1)(9)$ kesirlerini çarpın.
Çözüm.
Sıradan kesirleri çarpmak için kuralı kullanıyoruz:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Sonuç olarak, indirgenebilir bir kesir elde ettik (3$'a bölme temelinde. Kesrin payını ve paydasını 3$'a bölersek, şunu elde ederiz:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Kısa çözüm:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Cevap:$\frac(1)(24).$
Kesirleri çarparken, çarpımını bulmak için payları ve paydaları azaltabilirsiniz. Bu durumda, kesrin payı ve paydası şu şekilde ayrıştırılır: asal çarpanlar, bundan sonra tekrarlanan faktörler azaltılır ve sonuç bulunur.
Örnek 3
$\frac(6)(75)$ ve $\frac(15)(24)$ kesirlerinin çarpımını hesaplayın.
Çözüm.
Sıradan kesirleri çarpmak için formülü kullanalım:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Açıkçası, pay ve payda çiftler halinde $2$, $3$ ve $5$ sayılarıyla azaltılabilen sayılar içerir. Pay ve paydayı basit çarpanlara ayırır ve indirgemeyi yaparız:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Cevap:$\frac(1)(20).$
Kesirleri çarparken, değişme yasası uygulanabilir:
Bir kesri bir doğal sayı ile çarpma
Sıradan bir kesri bir doğal sayı ile çarpma kuralı:
Bir kesri bir doğal sayı ile çarpmanın sonucu, payın, doğal sayı ile çarpılan kesrin payının ürününe eşit olduğu ve paydanın, çarpılan kesrin paydasına eşit olduğu bir kesirdir:
burada $\frac(a)(b)$ ortak bir kesirdir, $n$ bir doğal sayıdır.
Örnek 4
$\frac(3)(17)$ kesirini $4$ ile çarpın.
Çözüm.
Sıradan bir kesri bir doğal sayı ile çarpma kuralını kullanalım:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Cevap:$\frac(12)(17).$
Bir kesrin büzülebilirliği veya yanlış bir kesir için çarpma sonucunu kontrol etmeyi unutmayın.
Örnek 5
$\frac(7)(15)$ kesirini $3$ ile çarpın.
Çözüm.
Bir kesri bir doğal sayı ile çarpmak için formülü kullanalım:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
$3$ sayısına bölme kriteri ile elde edilen kesrin azaltılabileceği belirlenebilir:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Sonuç, yanlış bir kesirdir. Tüm kısmı ele alalım:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Kısa çözüm:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Pay ve paydadaki sayıları asal çarpanlara açılımlarıyla değiştirerek kesirleri azaltmak da mümkündü. Bu durumda çözüm aşağıdaki gibi yazılabilir:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Cevap:$1\frac(2)(5).$
Bir kesri bir doğal sayıyla çarparken, değişme yasasını kullanabilirsiniz:
Sıradan kesirlerin bölünmesi
Bölme işlemi, çarpmanın tersidir ve sonucu, iki kesrin bilinen bir çarpımını elde etmek için bilinen bir kesri çarpmanız gereken bir kesirdir.
İki ortak kesrin bölünmesi
Sıradan kesirleri bölme kuralı: Açıkçası, ortaya çıkan kesrin payı ve paydası basit faktörlere ayrıştırılabilir ve azaltılabilir:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Sonuç olarak, tamsayı kısmını seçtiğimiz yanlış bir kesir elde ettik:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Cevap:$1\frac(5)(9).$
Adi kesirler ile yapılabilecek bir başka işlem de çarpma işlemidir. Problemleri çözerken temel kurallarını açıklamaya çalışacağız, sıradan bir kesrin doğal bir sayı ile nasıl çarpılacağını ve üç veya daha fazla adi kesrin doğru şekilde nasıl çarpılacağını göstereceğiz.
Önce temel kuralı yazalım:
tanım 1
Sıradan bir kesri çarparsak, ortaya çıkan kesrin payı, orijinal kesirlerin paylarının çarpımına ve payda paydalarının ürününe eşit olacaktır. Kelimenin tam anlamıyla, a / b ve c / d olmak üzere iki kesir için bu, a b · c d = a · c b · d olarak ifade edilebilir.
Bu kuralın nasıl doğru uygulanacağına dair bir örneğe bakalım. Diyelim ki kenarı bir sayısal birime eşit olan bir karemiz var. O zaman şeklin alanı 1 kare olacaktır. birim. Kareyi, kenarları sayısal birimin 1 4 ve 1 8'ine eşit olan eşit dikdörtgenlere bölersek, şimdi 32 dikdörtgenden oluştuğunu elde ederiz (çünkü 8 4 = 32). Buna göre, her birinin alanı, tüm şeklin alanının 1 32'sine eşit olacaktır, yani. 1 32 metrekare birimler.
Kenarları 5 8 sayısal birime ve 3 4 sayısal birime eşit olan gölgeli bir parçamız var. Buna göre, alanını hesaplamak için birinci kesri ikinciyle çarpmak gerekir. 5 8 3 4 metrekareye eşit olacaktır. birimler. Ancak parçaya kaç tane dikdörtgen dahil edildiğini basitçe sayabiliriz: bunlardan 15 tane var, bu da toplam alanın 1532 birim kare olduğu anlamına geliyor.
5 3 = 15 ve 8 4 = 32 olduğundan aşağıdaki denklemi yazabiliriz:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
a b · c d = a · c b · d şeklinde ifade edilen adi kesirleri çarpmak için formüle ettiğimiz kuralın bir teyididir. Hem doğru hem de yanlış kesirler için aynı şekilde çalışır; Paydaları farklı ve aynı olan kesirleri çarpmak için kullanılabilir.
Sıradan kesirlerin çarpılması için çeşitli problemlerin çözümlerini inceleyelim.
örnek 1
7 11'i 9 8 ile çarpın.
Çözüm
Başlamak için, belirtilen kesirlerin paylarının çarpımını 7 ile 9 ile çarparak hesaplıyoruz. 63 aldık. Sonra paydaların çarpımını hesaplıyoruz ve şunu elde ediyoruz: 11 8 = 88 . Cevabı iki sayıdan oluşturalım: 63 88.
Tüm çözüm şu şekilde yazılabilir:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Cevap: 7 11 9 8 = 63 88 .
Cevapta indirgenebilir bir kesir elde edersek, hesaplamayı tamamlamalı ve indirgeme işlemini gerçekleştirmeliyiz. Yanlış bir kesir elde edersek, ondan tüm parçayı seçmemiz gerekir.
Örnek 2
Kesirlerin çarpımını hesapla 4 15 ve 55 6 .
Çözüm
Yukarıda incelenen kurala göre, pay ile pay ve paydayı payda ile çarpmamız gerekir. Çözüm girişi şöyle görünecektir:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
İndirgenmiş bir kesir elde ettik, yani 10'a bölünebilme işareti olan.
Kesri azaltalım: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. Sonuç olarak, tamsayı kısmını seçip elde ettiğimiz yanlış bir kesir elde ettik. karışık numara: 22 9 = 2 4 9 .
Cevap: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Hesaplama kolaylığı için, kesri a · c b · d biçimine getirmemiz gereken çarpma işlemini gerçekleştirmeden önce orijinal kesirleri de azaltabiliriz. Değişkenlerin değerlerini basit faktörlere ayırır ve aynı olanları iptal ederiz.
Belirli bir problemin verilerini kullanarak bunun nasıl göründüğünü açıklayalım.
Örnek 3
4 15 55 6 çarpımını hesaplayın.
Çözüm
Çarpma kuralına göre hesaplamaları yazalım. Şunları yapabileceğiz:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 ve 6 = 2 3 olduğundan 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 .
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Cevap: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Sıradan kesirlerin çarpımının yer aldığı sayısal bir ifade, değişme özelliğine sahiptir, yani gerekirse faktörlerin sırasını değiştirebiliriz:
a b c d = c d a b = a c b d
Bir doğal sayı ile bir kesir nasıl çarpılır
Hemen temel kuralı yazalım ve ardından uygulamalı olarak açıklamaya çalışalım.
Tanım 2
Sıradan bir kesri bir doğal sayı ile çarpmak için, bu kesrin payını bu sayı ile çarpmanız gerekir. Bu durumda, son kesrin paydası, orijinal adi kesrin paydasına eşit olacaktır. Bir ab kesrinin bir doğal sayı olan n ile çarpılması, a b · n = a · nb formülüyle yazılabilir.
Herhangi bir doğal sayının bir payda ile sıradan bir kesir olarak temsil edilebileceğini hatırlarsanız, bu formülü anlamak kolaydır. bire eşit, yani:
a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b
Fikrimizi somut örneklerle açıklayalım.
Örnek 4
2 27'nin çarpımını 5 ile hesaplayın.
Çözüm
Orijinal kesrin payını ikinci faktörle çarpmamız sonucunda 10 elde ederiz. Yukarıdaki kural sayesinde, sonuç olarak 10 27 elde edeceğiz. Tüm çözüm bu gönderide verilmiştir:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Cevap: 2 27 5 = 10 27
Bir doğal sayıyı ortak bir kesirle çarptığımızda, genellikle sonucu küçültmek veya onu karışık bir sayı olarak göstermek zorunda kalırız.
Örnek 5
Koşul: 8 çarpı 5 12'nin çarpımını hesaplayın.
Çözüm
Yukarıdaki kurala göre bir doğal sayıyı pay ile çarparız. Sonuç olarak, 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 elde ederiz. Son kesrin 2'ye bölünebilirlik işaretleri var, bu yüzden onu azaltmamız gerekiyor:
LCM (40, 12) \u003d 4, yani 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3
Şimdi sadece tamsayı kısmını seçip bitmiş cevabı yazmamız gerekiyor: 10 3 = 3 1 3.
Bu girişte, tüm çözümü görebilirsiniz: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .
Pay ve paydayı asal çarpanlara ayırarak da kesri azaltabiliriz ve sonuç tamamen aynı olur.
Cevap: 5 12 8 = 3 1 3 .
Doğal bir sayının bir kesirle çarpıldığı bir sayısal ifade de yer değiştirme özelliğine sahiptir, yani çarpanların sırası sonucu etkilemez:
bir b n = n bir b = bir n b
Üç veya daha fazla ortak kesir nasıl çarpılır
Doğal sayıların çarpımına özgü özelliklerin aynısını adi kesirlerin çarpımına kadar genişletebiliriz. Bu, bu kavramların tanımından kaynaklanmaktadır.
Birleştirici ve değişmeli özelliklerin bilgisi sayesinde, üç ile çarpmak mümkündür. ortak kesirler ve dahası. Faktörleri yer yer daha rahat olacak şekilde yeniden düzenlemek veya parantezleri saymayı kolaylaştıracak şekilde düzenlemek caizdir.
Bunun nasıl yapıldığını bir örnekle gösterelim.
Örnek 6
Dört ortak kesri 1 20 , 12 5 , 3 7 ve 5 8 ile çarpın.
Çözüm: Öncelikle çalışmayı kaydedelim. 1 20 12 5 3 7 5 8 elde ederiz. Tüm payları ve tüm paydaları birlikte çarpmamız gerekiyor: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .
Çarpmaya başlamadan önce, bunu kendimiz için biraz daha kolaylaştırabilir ve daha fazla indirgeme için bazı sayıları asal çarpanlara ayırabiliriz. Bu, ondan kaynaklanan bitmiş fraksiyonu azaltmaktan daha kolay olacaktır.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Cevap: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.
Örnek 7
5 sayıyı çarpma 7 8 12 8 5 36 10 .
Çözüm
Kolaylık sağlamak için, 7 8 kesirini 8 sayısıyla ve 12 sayısını 5 36 kesriyle gruplandırabiliriz çünkü bu, gelecekteki indirimleri bizim için netleştirecektir. Sonuç olarak, şunları elde edeceğiz:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3
Cevap: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.