ŞİMDİDEN BU TIRMIĞI BYPASS EDİN! 🙂
Kesirlerde çarpma ve bölme.
Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Güçlü olanlar için "çok değil. »
Ve “çok eşit” olanlar için. "")
Bu işlem toplama-çıkarmadan çok daha güzel! Çünkü daha kolay. Size hatırlatırım: bir kesri bir kesirle çarpmak için payları (bu sonucun payı olacaktır) ve paydaları (bu payda olacaktır) çarpmanız gerekir. Yani:
Her şey son derece basit. Ve lütfen ortak payda aramayın! Burada gerek yok...
Bir kesri bir kesre bölmek için çevirmeniz gerekir ikinci(bu önemlidir!) kesir yapın ve bunları çarpın, yani:
Tamsayılar ve kesirler ile çarpma veya bölme işlemi yakalanırsa sorun olmaz. Toplamada olduğu gibi, paydada bir birim bulunan bir tam sayıdan bir kesir yaparız - ve devam ederiz! Örneğin:
Lisede, genellikle üç katlı (hatta dört katlı!) kesirlerle uğraşmak zorunda kalırsınız. Örneğin:
Bu kesir düzgün bir forma nasıl getirilir? Evet, çok kolay! İki noktadan bölmeyi kullanın:
Ama bölünme sırasını unutma! Çarpmanın aksine, burada bu çok önemlidir! Elbette 4:2 veya 2:4'ü karıştırmayacağız. Ancak üç katlı bir kesirde hata yapmak kolaydır. Lütfen dikkat, örneğin:
İlk durumda (soldaki ifade):
İkincisinde (sağdaki ifade):
Farkı Hisset? 4 ve 1/9!
Bölünme sırası nedir? Veya parantezler veya (burada olduğu gibi) yatay çizgilerin uzunluğu. Bir göz geliştirin. Parantez veya tire yoksa, örneğin:
sonra böl-çarp sırayla, soldan sağa!
Ve çok basit ve önemli bir numara daha. Dereceli işlemlerde işinize yarayacaktır! Birimi herhangi bir kesre, örneğin 13/15'e bölelim:
Atış tersine döndü! Ve her zaman olur. 1'i herhangi bir kesre böldüğümüzde, sonuç aynı kesirdir, sadece tersidir.
Kesirli işlemler bu kadar. Şey oldukça basit, ancak fazlasıyla hata veriyor. Pratik tavsiyeleri not edin ve daha az hata (hata) olacak!
1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir! Değil ortak kelimeler, iyi dilekler değil! Bu ciddi bir ihtiyaç! Sınavdaki tüm hesaplamaları tam teşekküllü bir görev olarak, konsantrasyon ve netlikle yapın. Kafanızda hesap yaparken ortalığı karıştırmaktansa, bir taslağa fazladan iki satır yazmak daha iyidir.
2. İle örneklerde farklı şekiller kesirler - sıradan kesirlere gidin.
3. Tüm kesirleri sonuna kadar azaltıyoruz.
4. Çok katlı kesirli ifadeler iki noktadan bölmeyi kullanarak sıradan olanlara indirgeriz (bölme sırasını takip ederiz!).
İşte tamamlamanız gereken görevler. Cevaplar tüm görevlerden sonra verilir. Bu konudaki materyalleri ve pratik tavsiyeleri kullanın. Kaç örneği doğru çözebileceğinizi tahmin edin. İlk defa! Hesap makinesi olmadan! Ve doğru sonuçları çıkarın.
Doğru cevabı hatırla ikinci (özellikle üçüncü) zamandan elde edilen - sayılmaz! Zor hayat böyledir.
Yani, sınav modunda çöz ! Bu arada bu sınava hazırlık. Bir örneği çözüyoruz, kontrol ediyoruz, aşağıdakini çözüyoruz. Her şeye karar verdik - baştan sona tekrar kontrol ettik. Ama sadece sonrasında cevaplara bak
Sizinkine uyan cevaplar arıyorsunuz. Onları kasıtlı olarak, tabiri caizse ayartmadan, dağınık bir şekilde yazdım. İşte bunlar, noktalı virgülle ayrılmış cevaplar.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Ve şimdi sonuçlar çıkarıyoruz. Her şey yolunda giderse - ne mutlu sana! Kesirler ile temel hesaplamalar senin problemin değil! Daha ciddi şeyler yapabilirsin. değilse.
Yani iki problemden birine sahipsiniz. Veya her ikisi birden.) Bilgi eksikliği ve (veya) dikkatsizlik. Fakat. BT çözülebilir Sorunlar.
Özel Bölüm 555 "Kesirler"de tüm bu (sadece değil!) örnekler analiz edilmektedir. Neyin, neden ve nasıl olduğunun ayrıntılı açıklamalarıyla. Böyle bir analiz, bilgi ve beceri eksikliği ile çok yardımcı olur!
Evet ve ikinci problemde orada bir şey var.) Oldukça pratik tavsiye, nasıl daha dikkatli olunur. Evet evet! Uygulanabilecek tavsiyeler her biri.
Başarı için bilgi ve dikkatin yanı sıra belirli bir otomatizm gereklidir. Nereden alınır? Derin bir iç çekiş duyuyorum... Evet, sadece pratikte, başka hiçbir yerde.
Eğitim için 321start.ru sitesine gidebilirsiniz. Orada "Dene" seçeneğinde herkesin kullanabileceği 10 örnek var. Anında doğrulama ile. Kayıtlı kullanıcılar için - Basitten şiddetliye 34 örnek. Sadece kesirler içindir.
Bu siteyi beğendiyseniz.
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Burada örnek çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. İlgi ile öğrenin!
Ve burada fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Kural 1
Bir kesri bir doğal sayı ile çarpmak için payını bu sayı ile çarpmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.
Kural 2
Bir kesri bir kesirle çarpmak için:
1. Bu kesirlerin payları ile paydalarının çarpımını bulun
2. Birinci çarpımı pay olarak, ikinciyi payda olarak yazın.
Kural 3
Karışık sayıları çarpmak için, bunları bileşik kesirler olarak yazmanız ve ardından kesirleri çarpma kuralını kullanmanız gerekir.
Kural 4
Bir kesri diğerine bölmek için, bölenin tersi ile bölünen kısmı çarpmanız gerekir.
örnek 1
Hesaplamak
Örnek 2
Hesaplamak
Örnek 3
Hesaplamak
Örnek 4
Hesaplamak
Matematik. Diğer materyaller
Bir sayıyı rasyonel bir kuvvete yükseltmek. (
Bir sayıyı doğal bir kuvvete yükseltmek. (
Cebirsel eşitsizlikleri çözmek için genelleştirilmiş aralık yöntemi (Yazar Kolchanov A.V.)
Cebirsel eşitsizliklerin çözümünde faktörlerin yer değiştirme yöntemi (Yazar Kolchanov A.V.)
Bölünebilirlik işaretleri (Lungu Alena)
"Adi kesirlerde çarpma ve bölme" konusunda kendinizi test edin
kesirlerin çarpımı
Sıradan kesirlerin çarpmasını birkaç olası yolla ele alacağız.
Bir kesri bir kesirle çarpma
Bu, aşağıdakileri kullanmanız gereken en basit durumdur. kesir çarpma kuralları.
İle kesri kesirle çarpma, gerekli:
Payları ve paydaları çarpmadan önce, kesirlerin azaltılıp azaltılamayacağını kontrol edin. Hesaplamalarda kesirleri azaltmak, hesaplamalarınızı büyük ölçüde kolaylaştıracaktır.
Bir kesri bir doğal sayı ile çarpma
fraksiyona bir doğal sayı ile çarpmak kesrin payını bu sayı ile çarpmanız ve kesrin paydasını değiştirmeden bırakmanız gerekir.
Çarpma işleminin sonucu yanlış bir kesir ise tam sayıya dönüştürmeyi, yani tüm parçayı seçmeyi unutmayınız.
karışık sayıların çarpımı
Çarpmak karışık sayılar, onları önce bileşik kesirlere çevirmeli ve sonra adi kesirleri çarpma kuralına göre çarpmalısınız.
Bir kesri bir doğal sayı ile çarpmanın başka bir yolu
Bazen hesaplamalarda, sıradan bir kesri bir sayı ile çarpmak için farklı bir yöntem kullanmak daha uygundur.
Bir kesri bir doğal sayı ile çarpmak için, kesrin paydasını bu sayıya bölmeniz ve payı aynı bırakmanız gerekir.
Örnekten de görülebileceği gibi, kesrin paydası bir doğal sayı ile kalansız bölünebiliyorsa kuralın bu versiyonunu kullanmak daha uygundur.
Bir kesrin bir sayıya bölünmesi
Bir kesri bir sayıya bölmenin en hızlı yolu nedir? Teoriyi inceleyelim, bir sonuç çıkaralım ve bir kesrin bir sayıya bölünmesinin yeni bir kısa kurala göre nasıl yapılabileceğini görmek için örnekler kullanalım.
Genellikle, bir kesrin bir sayıya bölünmesi, kesirlerin bölünme kuralına göre yapılır. İlk sayı (kesir), ikincinin tersi ile çarpılır. İkinci sayı bir tam sayı olduğundan, karşılığı payı bir kesirdir. bire eşit, ve payda verilen sayıdır. Şematik olarak, bir kesri bir doğal sayıya bölmek şöyle görünür:
Bundan şu sonuca varıyoruz:
Bir kesri bir sayıya bölmek için, paydayı bu sayıyla çarpın ve payı aynı bırakın. Kural daha da kısaca formüle edilebilir:
Bir kesri bir sayıya böldüğünüzde, sayı paydaya gider.
Bir kesri bir sayıya bölme:
Bir kesri bir sayıya bölmek için payı değiştirmeden yeniden yazarız ve paydayı bu sayı ile çarparız. 6 ve 3'ü 3'e indiriyoruz.
Bir kesri bir sayıya bölerken payı yeniden yazarız ve paydayı o sayı ile çarparız. 16 ve 24'ü 8'e indiriyoruz.
Bir kesri bir sayıya bölerken sayı paydaya gider, bu yüzden payı aynı bırakıp paydayı bölenle çarparız. 21 ve 35'i 7'ye indiriyoruz.
Kesirlerde çarpma ve bölme
Geçen sefer kesirleri toplamayı ve çıkarmayı öğrendik ("Kesirlerde toplama ve çıkarma" dersine bakın). Bu eylemlerdeki en zor an, kesirleri ortak bir paydada birleştirmekti.
Şimdi çarpma ve bölme ile uğraşma zamanı. İyi haber şu ki, bu işlemler toplama ve çıkarmadan bile daha kolay. Başlamak için, ayırt edici bir tamsayı kısmı olmayan iki pozitif kesrin olduğu en basit durumu düşünün.
İki kesri çarpmak için paylarını ve paydalarını ayrı ayrı çarpmanız gerekir. İlk sayı yeni kesrin payı, ikincisi payda olacaktır.
İki kesri bölmek için, ilk kesri "ters" saniye ile çarpmanız gerekir.
Tanımdan, kesirlerin bölünmesinin çarpmaya indirgendiği anlaşılmaktadır. Bir kesri çevirmek için pay ve paydayı değiştirmeniz yeterlidir. Bu nedenle, dersin tamamında ağırlıklı olarak çarpma işlemini ele alacağız.
Çarpmanın bir sonucu olarak, azaltılmış bir kesir ortaya çıkabilir (ve genellikle ortaya çıkar) - elbette azaltılmalıdır. Tüm indirimlerden sonra kesrin yanlış olduğu ortaya çıkarsa, içinde tüm kısım ayırt edilmelidir. Ancak çarpma ile tam olarak olmayacak olan şey, ortak bir paydaya indirgemedir: çaprazlama yöntemleri, maksimum çarpanlar ve en küçük ortak katlar yoktur.
Bir görev. İfadenin değerini bulun:
Tanım olarak elimizde:
Tamsayı kısmı ve negatif kesirler ile kesirlerin çarpımı
Kesirlerde bir tamsayı kısmı varsa, bunlar yanlış olanlara dönüştürülmeli ve ancak o zaman yukarıda belirtilen şemalara göre çarpılmalıdır.
Bir kesrin payında, paydasında veya önünde eksi varsa, aşağıdaki kurallara göre çarpma sınırlarından çıkarılabilir veya tamamen çıkarılabilir:
- Artı çarpı eksi eksi verir;
- İki olumsuz bir olumlu eder.
- Eksileri tamamen yok olana kadar çiftler halinde çiziyoruz. Aşırı bir durumda, bir eksi hayatta kalabilir - eşleşme bulamayan;
- Eksi kalmadıysa işlem tamamlanmıştır - çarpmaya başlayabilirsiniz. Son eksi işaretli değilse, bir çift bulamadığı için çarpma sınırlarının dışına çıkarıyoruz. Negatif bir kesir elde edersiniz.
Şimdiye kadar bu kurallara sadece negatif kesirler toplanırken ve çıkarılırken, tam kısımdan kurtulmak gerektiğinde karşılaşılıyordu. Bir ürün için, aynı anda birkaç eksiyi "yakmak" için genelleştirilebilirler:
Tüm kesirleri uygunsuz olanlara çeviririz ve ardından eksileri çarpma sınırları dışında çıkarırız. Kalan, olağan kurallara göre çarpılır. Biz:
Size bir kez daha hatırlatmama izin verin, tamsayı kısmı vurgulanmış bir kesirden önce gelen eksi, kesrin sadece tamsayı kısmını değil, özellikle tümünü ifade eder (bu son iki örnek için geçerlidir).
Şuna da dikkat edin negatif sayılar: Çarpıldığında parantez içine alınır. Bu, eksileri çarpma işaretlerinden ayırmak ve tüm gösterimi daha doğru hale getirmek için yapılır.
Anında fraksiyonları azaltmak
Çarpma çok zahmetli bir işlemdir. Buradaki sayılar oldukça büyük ve görevi basitleştirmek için kesri daha da azaltmayı deneyebilirsiniz. çarpmadan önce. Aslında, özünde, kesirlerin payları ve paydaları sıradan faktörlerdir ve bu nedenle, bir kesrin temel özelliği kullanılarak indirgenebilirler. Örneklere bir göz atın:
Tüm örneklerde azaltılan sayılar ve onlardan geriye kalanlar kırmızı ile işaretlenmiştir.
Lütfen dikkat: ilk durumda, çarpanlar tamamen azaltılmıştır. Genel olarak konuşursak, ihmal edilebilecek birimler yerinde kaldı. İkinci örnekte, tam bir azalma elde etmek mümkün olmadı, ancak toplam hesaplama miktarı yine de azaldı.
Ancak, kesirleri toplarken ve çıkarırken hiçbir durumda bu tekniği kullanmayın! Evet, bazen azaltmak istediğiniz benzer sayılar olabilir. İşte bak:
Bunu yapamazsın!
Hata, bir kesir eklerken, toplamın sayıların çarpımında değil, kesrin payında görünmesi nedeniyle oluşur. Bu nedenle, bir kesrin ana özelliğini uygulamak imkansızdır, çünkü bu özellik özellikle sayıların çarpımı ile ilgilidir.
Kesirleri azaltmak için başka bir neden yoktur, bu nedenle önceki sorunun doğru çözümü şöyle görünür:
Gördüğünüz gibi, doğru cevap o kadar güzel değildi. Genel olarak dikkatli olun.
Kesirlerin bölünmesi.
Bir kesrin bir doğal sayıya bölümü.
Bir kesri bir doğal sayıya bölme örnekleri
Bir doğal sayının kesre bölünmesi.
Bir doğal sayıyı bir kesre bölme örnekleri
Adi kesirlerin bölünmesi.
Adi kesirlerin bölünme örnekleri
Karışık sayıların bölünmesi.
- Karışık bir sayıyı diğerine bölmek için şunlara ihtiyacınız vardır:
- karışık kesirleri yanlışa dönüştürmek;
- ilk kesri ikincinin tersiyle çarp;
- elde edilen fraksiyonu azaltmak;
- Yanlış bir kesir elde ederseniz, uygun olmayan kesri karışık bir kesre dönüştürün.
- karışık kesirleri yanlışa dönüştürmek;
- kesirlerin pay ve paydalarını çarpma;
- kesri azaltıyoruz;
- yanlış bir kesir elde edersek, yanlış kesri karışık bir kesre dönüştürürüz.
- "Bahar Tango" şarkısı (Zamanı gelir - güneyden kuşlar gelir) - müzik. Valery Milyaev Yanlış duydum, yanlış anladım, yetişmedim, tahmin etmediğim anlamda, tüm fiilleri ayrı ayrı değil ile yazdım, nedo- önekini bilmiyordum. Olur, […]
- Sayfa bulunamadı Üçüncü son okumada, özel idari bölgelerin (SAR) oluşturulmasını sağlayan bir Hükümet belgeleri paketi kabul edildi. Avrupa Birliği'nden çıkış nedeniyle İngiltere, Avrupa KDV alanına dahil edilmeyecek ve […]
- Ortak Soruşturma Komitesi sonbaharda ortaya çıkacak
- Bir Algoritma Patenti Bir Algoritma Patenti Neye benziyor Bir Algoritma Patenti Nasıl Hazırlanıyor teknik açıklamalar sinyallerin ve/veya verilerin özel olarak patentleme amacıyla saklanması, işlenmesi ve iletilmesinin yolları genellikle herhangi bir özel zorluk arz etmez ve […]
- 12 Aralık 1993 tarihli YENİ EMEKLİLİK TASLAĞI HAKKINDA BİLİNMESİ ÖNEMLİ OLANLAR RUSYA FEDERASYONU ANAYASASI (30 Aralık 2008 tarihli Rusya Federasyonu Anayasasında yapılan değişikliklere ilişkin Rusya Federasyonu Kanunları ile yapılan değişikliklere tabi N 6- FKZ, 30 Aralık 2008 tarihli N 7-FKZ, […]
- Bir kadın için emeklilikle ilgili Chastushkas, günün bir kahramanı için havalı, bir erkek için günün kahramanı için erkekler - bir kadın için günün kahramanı için koro halinde - emekliliğe giriş kadınlar komiktir Emekliler için yarışmalar ilginç olacak Ev sahibi : Sevgili arkadaşlar! Bir dakika dikkat! Duygu! Sadece […]
Karışık sayıları bölme örnekleri
1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16
2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7
Müstehcen yorumlar kaldırılacak ve yazarları kara listeye alınacaktır!
OnlineMSchool'a hoş geldiniz.
Benim adım Dovzhik Mihail Viktoroviç. Bu sitenin sahibi ve yazarıyım, tamamını ben yazdım. teorik malzeme matematik çalışmak için kullanabileceğiniz çevrimiçi alıştırmalar ve hesap makinelerinin yanı sıra.
kesirler. Kesirlerde çarpma ve bölme.
Bir kesri bir kesirle çarpmak.
Sıradan kesirleri çarpmak için, payı payla (çarpımın payını alırız) ve paydayı paydayla (çarpımın paydasını alırız) çarpmak gerekir.
Kesir çarpma formülü:
Pay ve paydaların çarpımına geçmeden önce, kesri azaltma olasılığını kontrol etmek gerekir. Kesri azaltmayı başarırsanız, hesaplamalara devam etmeniz daha kolay olacaktır.
Not! Ortak payda aramaya gerek yok!!
Sıradan bir kesrin bir kesre bölünmesi.
Sıradan bir kesrin bir kesre bölünmesi şu şekildedir: ikinci kesri çevirin (yani pay ve paydayı yer yer değiştirin) ve bundan sonra kesirler çarpılır.
Sıradan kesirleri bölmek için formül:
Bir kesri bir doğal sayı ile çarpmak.
Not! Bir kesri bir doğal sayı ile çarparken, kesrin payı doğal sayımızla çarpılır ve kesrin paydası aynı kalır. Ürünün sonucu uygunsuz bir kesir ise, uygun olmayan kesri karışık bir parçaya çevirerek tüm parçayı seçtiğinizden emin olun.
Doğal sayı içeren kesirlerin bölünmesi.
Göründüğü kadar korkutucu değil. Toplamada olduğu gibi, bir tamsayıyı paydası birim olan bir kesre dönüştürürüz. Örneğin:
Karışık kesirlerin çarpımı.
Kesirleri çarpma kuralları (karma):
Not! Karışık bir kesri başka bir karışık kesirle çarpmak için, önce bunları uygunsuz kesirler biçimine getirmeniz ve ardından adi kesirleri çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.
Bir kesri bir doğal sayı ile çarpmanın ikinci yolu.
Sıradan bir kesri bir sayı ile çarpmanın ikinci yöntemini kullanmak daha uygundur.
Not! Bir kesri bir doğal sayı ile çarpmak için, kesrin paydasını bu sayıya bölmek ve payı değiştirmeden bırakmak gerekir.
Yukarıdaki örnekten, bir kesrin paydası bir doğal sayıya kalansız bölündüğünde bu seçeneğin kullanılmasının daha uygun olduğu açıktır.
Çok düzeyli kesirler.
Lisede genellikle üç katlı (veya daha fazla) kesirler bulunur. Örnek:
Böyle bir kesri olağan biçimine getirmek için 2 noktaya bölme kullanılır:
Not! Kesirlerde bölme işlemi yapılırken bölme sırası çok önemlidir. Dikkatli olun, burada kafanız karışmak kolaydır.
Not, örneğin:
Biri herhangi bir kesre bölündüğünde, sonuç aynı kesir olur, sadece ters çevrilir:
Kesirleri çarpmak ve bölmek için pratik ipuçları:
1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir. Tüm hesaplamaları dikkatli ve doğru, konsantre ve net bir şekilde yapın. biraz yazsan iyi olur fazladan satırlar Bir taslakta akılda hesaplamalarda karışmaktansa.
2. Farklı kesir türleri olan görevlerde, sıradan kesirler türüne gidin.
3. Artık azaltmak mümkün olmayana kadar tüm kesirleri azaltırız.
4. Çok düzeyli kesirli ifadeleri 2 nokta üzerinden bölerek sıradan ifadelere getiriyoruz.
Aşil'in kaplumbağadan on kat daha hızlı koştuğunu ve onun bin adım gerisinde olduğunu varsayalım. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünür. Aşil yüz adım koştuğunda, kaplumbağa on adım daha sürünecek ve bu böyle devam edecek. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıklı bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Hepsi, öyle ya da böyle, Zenon'un açmazlarını düşündüler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar şu anda devam ediyor, bilim camiası henüz paradoksların özü hakkında ortak bir görüşe varmayı başaramadı ... konunun çalışmasına matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi ; hiçbiri soruna evrensel olarak kabul edilen bir çözüm olmadı ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Herkes kandırıldığını anlıyor ama kimse aldatmanın ne olduğunu anlamıyor.
Matematik açısından, Zeno açmazında değerden değere geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, sabitler yerine uygulamayı ima eder. Anladığım kadarıyla, değişken ölçü birimlerini uygulamak için matematiksel aygıt ya henüz geliştirilmemiş ya da Zeno'nun çıkmazlarına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızın uygulanması bizi bir tuzağa düşürür. Biz, düşünme eylemsizliğiyle, karşılıklı olana sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel bir bakış açısıyla, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda zamanın yavaşlaması ve tamamen durması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil artık kaplumbağayı geçemez.
Alıştığımız mantığı çevirirsek her şey yerine oturur. Aşil sabit bir hızla koşar. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekinden on kat daha azdır. Bu durumda "sonsuz" kavramını uygularsak, "Aşil kaplumbağayı sonsuz hızla geçecek" demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı değerlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Aşil'in bin adım koşması için geçen sürede, kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünür. İlkine eşit olan bir sonraki zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım sürünecek. Şimdi Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım önündedir.
Bu yaklaşım, gerçekliği herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın yeterince tanımlar. Ancak bu, soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının aşılamazlığı hakkındaki ifadesi, Zeno'nun "Aşil ve kaplumbağa" açmazına çok benzer. Bu sorunu henüz incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:
Uçan bir ok, zamanın her anında hareketsiz olduğu için hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğu için her zaman hareketsizdir.
Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - zamanın her anında uçan okun uzayda aslında hareket olan farklı noktalarda durduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada dikkat edilmesi gereken bir nokta daha var. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından, hareket gerçeğini veya ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Arabanın hareket gerçeğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyaç vardır ancak bunlar mesafeyi belirlemek için kullanılamaz. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için, iki yerden çekilmiş fotoğrafa ihtiyacınız var. farklı noktalar zamanda bir noktada uzay, ancak onlardan hareket gerçeğini belirlemek imkansızdır (doğal olarak, hesaplamalar için ek verilere hala ihtiyaç vardır, trigonometri size yardımcı olacaktır). Özellikle belirtmek istediğim, zamanda iki nokta ile uzayda iki nokta farklı keşif fırsatları sundukları için karıştırılmaması gereken iki farklı şeydir.
Çarşamba, Temmuz 4, 2018
Set ve multiset arasındaki farklar Wikipedia'da çok iyi açıklanmıştır. bakıyoruz
Görüldüğü gibi "kümenin iki özdeş elemanı olamaz" ama kümede aynı elemanlar varsa böyle bir kümeye "çoklu küme" denir. Makul varlıklar bu tür saçmalık mantığını asla anlayamazlar. Bu, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların, zihnin "tamamen" kelimesinden yoksun olduğu düzeyidir. Matematikçiler, saçma fikirlerini bize vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.
Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprünün testleri sırasında köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis eserinin enkazı altında öldü. Köprü yüke dayanabilirse, yetenekli mühendis başka köprüler inşa etti.
Matematikçiler "bakın, ben evdeyim" veya daha doğrusu "matematik çalışmaları soyut kavramlar" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırlarsa saklansınlar, onları gerçekliğe ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. uygulanabilir matematiksel teori matematikçilerin kendilerine ayarlar.
Çok iyi matematik çalıştık ve şimdi kasada oturuyoruz, maaş ödüyoruz. Burada bir matematikçi parası için bize geliyor. Tüm miktarı ona sayarız ve aynı mezhepten faturaları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamıza koyarız. Sonra her desteden bir banknot alıp matematikçiye "matematiksel maaş setini" veriyoruz. Geri kalan faturaları ancak aynı elemanları olmayan kümenin aynı elemanları olan kümeye eşit olmadığını ispatladığında alacağının matematiğini açıklıyoruz. eğlence burada başlıyor.
Her şeyden önce milletvekillerinin mantığı çalışacak: "bunu başkalarına uygulayabilirsin ama bana değil!" Ayrıca, aynı kupürdeki banknotların üzerinde farklı banknot numaralarının olduğu, yani aynı unsur olarak kabul edilemeyecekleri güvenceleri de başlayacak. Maaşı madeni paralarla sayıyoruz - madeni paralarda sayı yok. Burada matematikçi sarsıcı bir şekilde fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paralarda farklı miktar her madeni paranın kiri, kristal yapısı ve atomik dizilişi benzersizdir...
Ve şimdi en çok sahibim ilgi sor: Bir çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu sınır nerededir? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, buradaki bilim yakın bile değil.
Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanı aynıdır, bu da bir çoklu kümemiz olduğu anlamına gelir. Ama aynı stadyumların isimlerini düşünürsek çok şey elde ederiz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi, aynı elemanlar kümesi aynı anda hem bir küme hem de bir çoklu kümedir. Nasıl doğru? Ve burada matematikçi-şaman-shuller yenini çıkarıyor koz ası ve bize bir kümeden ya da çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda, bizi haklı olduğuna ikna edecektir.
Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl işlediklerini anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.
Pazar, 18 Mart 2018
Bir sayının rakamlarının toplamı, matematikle hiçbir ilgisi olmayan şamanların tefle dansıdır. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının basamaklarının toplamını bulmamız ve onu kullanmamız öğretiliyor, ancak onlar bunun için, torunlarına becerilerini ve bilgeliklerini öğretmek için şamanlar, aksi takdirde şamanlar basitçe ölecekler.
Kanıta ihtiyacın var mı? Wikipedia'yı açın ve "Bir Sayının Rakamlarının Toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulabileceğiniz bir formül yoktur. Sonuçta, sayılar grafik semboller, yardımı ile sayıları yazıyoruz ve matematik dilinde görev şuna benziyor: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu sorunu çözemezler ama şamanlar bunu temel düzeyde çözebilirler.
Belirli bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yaptığımızı bulalım. Diyelim ki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.
1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı bir sayı grafik sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değildir.
2. Alınan bir resmi, ayrı numaralar içeren birkaç resme ayırdık. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.
3. Bireysel grafik karakterleri sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değildir.
4. Ortaya çıkan sayıları toplayın. Şimdi bu matematik.
12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı şamanlardan kalma "kesim dikme kursları"dır. Ama hepsi bu kadar değil.
Matematik açısından sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımızın bir önemi yoktur. Yani farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi, sayının sağında alt simge olarak gösterilir. İTİBAREN Büyük bir sayı 12345 Kafamı kandırmak istemiyorum, hakkındaki makaleden 26 sayısını düşünün. Bu sayıyı ikili, sekizli, ondalık ve onaltılık sayı sistemlerinde yazalım. Her adımı mikroskop altında ele almayacağız, bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.
Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle ilgisi yoktur. Bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre cinsinden bulmak size tamamen farklı sonuçlar verir gibi.
Sıfır, tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve basamak toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine olan başka bir argümandır. Matematikçilere bir soru: Sayı olmayan bir şey matematikte nasıl gösterilir? Ne, matematikçiler için sayılardan başka bir şey yok mu? Şamanlar için buna izin verebilirim ama bilim adamları için hayır. Gerçek sadece sayılardan ibaret değildir.
Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta, sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı miktarın farklı ölçü birimleri ile aynı eylemler yol açarsa farklı sonuçlar onları karşılaştırdıktan sonra, matematikle hiçbir ilgisi yoktur.
Gerçek matematik nedir? Bu, matematiksel bir eylemin sonucunun sayının değerine, kullanılan ölçü birimine ve bu eylemi kimin gerçekleştirdiğine bağlı olmadığı zamandır.
Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Bu, cennete yükseldikten sonra ruhların belirsiz kutsallığını incelemek için bir laboratuvardır! Nimbus üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?
Dişi... Üstte hale ve aşağı ok erkektir.
Günde birkaç kez gözünüzün önünden geçen böyle bir tasarım eseriniz varsa,
O zaman arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:
Şahsen, kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmek için kendime çaba harcıyorum (bir resim) (birkaç resmin bileşimi: eksi işareti, dört numara, derece tanımı). Ve bu kızı fizik bilmeyen bir aptal olarak görmüyorum. Sadece grafik görüntülerin algılanmasına ilişkin bir ark klişesine sahip. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretirler. İşte bir örnek.
1A "eksi dört derece" veya "bir a" değildir. Bu, onaltılık sayı sisteminde "kaka yapan adam" veya "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.
Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmak basit bir iştir. Ancak, muhtemelen okulda anladığınız, ancak o zamandan beri unuttuğunuz incelikler var.
Bir tam sayıyı bir kesirle çarpma - birkaç terim
Pay ve paydanın ne olduğunu ve uygun kesrin yanlış olandan nasıl farklı olduğunu hatırlıyorsanız, bu paragrafı atlayın. Teoriyi tamamen unutmuş olanlar içindir.
pay üst kısım kesirler böldüğümüz şeydir. Payda en alttakidir. Paylaştığımız şey bu.
Uygun kesir, payı paydadan küçük olan kesirdir. Uygun olmayan bir kesir, payı paydadan büyük veya ona eşit olan bir kesirdir.
Bir tam sayıyı bir kesirle çarpma
Bir tamsayıyı bir kesirle çarpma kuralı çok basittir - payı tamsayı ile çarparız ve paydaya dokunmayız. Örneğin: iki beşte bir ile çarpılır - beşte ikisini elde ederiz. Dört kere üç onaltıda oniki onaltıdadır.
Kesinti
İkinci örnekte, ortaya çıkan kesir azaltılabilir.
Bunun anlamı ne? Bu kesrin hem pay hem de paydasının dörde bölünebildiğine dikkat edin. Her iki sayıyı ortak bir bölene bölme işlemine kesrin indirgenmesi denir. Üç çeyrek alıyoruz.
yanlış kesirler
Ama farz edelim ki beşte ikisini dörtle çarpıyoruz. Sekiz beşte var. Bu yanlış kesirdir.
Doğru forma getirilmelidir. Bunu yapmak için, ondan bir parça seçmeniz gerekir.
Burada kalanlı bölmeyi kullanmanız gerekir. Kalanda bir ve üç elde ederiz.
Bir tam ve beşte üç bizim uygun kesirimizdir.
Otuzbeş sekizliği düzeltmek biraz daha zordur, sekize bölünebilen otuz yediye en yakın sayı otuz ikidir. Bölündüğünde dört elde ederiz. Otuz beşten otuz iki çıkarırsak üç elde ederiz. Sonuç: dört tam ve üç sekizlik.
Pay ve paydanın eşitliği. Ve burada her şey çok basit ve güzel. Pay ve payda eşit olduğunda, sonuç sadece birdir.
§ 87. Kesirlerin eklenmesi.
Kesirleri toplamanın, tam sayıları toplamaya birçok benzerliği vardır. Kesirlerin eklenmesi, verilen birkaç sayının (terimlerin), terim birimlerinin tüm birimlerini ve kesirlerini içeren tek bir sayı (toplam) halinde birleştirilmesi gerçeğinden oluşan bir eylemdir.
Sırayla üç vakayı ele alacağız:
1. ile kesirleri toplama aynı paydalar.
2. ile kesirleri toplama farklı paydalar.
3. Karışık sayıların eklenmesi.
1. Paydaları aynı olan kesirlerin toplanması.
Bir örnek düşünün: 1/5 + 2/5 .
AB parçasını alın (Şekil 17), bir birim olarak alın ve 5 eşit parçaya bölün, ardından bu parçanın AC kısmı AB bölümünün 1/5'ine ve aynı parçanın CD kısmına eşit olacaktır. 2/5 AB'ye eşit olacaktır.
Şekilden, AD doğru parçasını alırsak AB'nin 3/5'ine eşit olacağı görülebilir; ancak AD segmenti tam olarak AC ve CD segmentlerinin toplamıdır. Yani, şunu yazabiliriz:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Bu terimler ve ortaya çıkan miktar dikkate alındığında, toplamın payının, terimlerin payları toplanarak elde edildiğini ve paydanın değişmeden kaldığını görüyoruz.
Buradan aşağıdaki kuralı elde ederiz: Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplamalı ve paydayı aynı bırakmalısınız.
Bir örnek düşünün:
2. Farklı paydalara sahip kesirlerin eklenmesi.
Kesirleri ekleyelim: 3/4 + 3/8 Önce en küçük ortak paydaya indirilmeleri gerekir:
Orta düzey 6/8 + 3/8 yazılamadı; daha fazla netlik için buraya yazdık.
Bu nedenle, farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için önce onları en küçük ortak paydaya getirmeli, paylarını toplamalı ve ortak paydayı imzalamalısınız.
Bir örnek düşünün (karşılık gelen kesirlerin üzerine ek faktörler yazacağız):
3. Karışık sayıların eklenmesi.
Sayıları ekleyelim: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Önce sayılarımızın kesirli kısımlarını ortak paydaya getirelim ve yeniden yazalım:
Şimdi tamsayı ve kesirli kısımları sırayla ekleyin:
§ 88. Kesirlerin çıkarılması.
Kesirlerde çıkarma, tam sayılarda çıkarma ile aynı şekilde tanımlanır. Bu, iki terimin ve birinin toplamı verildiğinde, başka bir terimin bulunduğu bir eylemdir. Sırayla üç vakayı ele alalım:
1. Paydaları aynı olan kesirlerin çıkarılması.
2. Farklı paydalara sahip kesirlerin çıkarılması.
3. Karışık sayıların çıkarılması.
1. Paydaları aynı olan kesirlerin çıkarılması.
Bir örnek düşünün:
13 / 15 - 4 / 15
AB doğru parçasını (Şekil 18) alıp bir birim olarak alıp 15 eşit parçaya bölelim; o zaman bu segmentin AC kısmı AB'nin 1/15'i olacak ve aynı segmentin AD kısmı 13/15 AB'ye karşılık gelecektir. 4/15 AB'ye eşit olan başka bir ED doğru parçasını bir kenara bırakalım.
13/15'ten 4/15'i çıkarmamız gerekiyor. Çizimde bu, ED segmentinin AD segmentinden çıkarılması gerektiği anlamına gelir. Sonuç olarak, segment AB'nin 9/15'i olan AE segmenti kalacaktır. Yani şunu yazabiliriz:
Yaptığımız örnek, payların çıkarılmasıyla farkın payının elde edildiğini ve paydanın aynı kaldığını gösteriyor.
Bu nedenle, aynı paydalara sahip kesirleri çıkarmak için, çıkarılanın payını eksilen paydan çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
2. Farklı paydalara sahip kesirlerin çıkarılması.
Örnek. 3/4 - 5/8
İlk olarak, bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirelim:
Ara bağlantı 6/8 - 5/8 burada anlaşılır olması için yazılmıştır, ancak ileride atlanabilir.
Bu nedenle, bir kesri bir kesirden çıkarmak için önce onları en küçük ortak paydaya getirmeli, ardından çıkanın payını eksilen paydan çıkarmalı ve ortak paydayı farklarının altına imzalamalısınız.
Bir örnek düşünün:
3. Karışık sayıların çıkarılması.
Örnek. 10 3/4 - 7 2/3 .
Eklenen ve çıkarılanın kesirli kısımlarını en küçük ortak paydaya getirelim:
Bütünden tam, kesirden kesri çıkardık. Ancak, çıkarılanın kesirli kısmının eksiltmenin kesirli kısmından daha büyük olduğu durumlar vardır. Bu gibi durumlarda, indirgenmişin tamsayı kısmından bir birim almanız, onu kesirli kısmın ifade edildiği parçalara ayırmanız ve indirgenmişin kesirli kısmına eklemeniz gerekir. Ve sonra çıkarma önceki örnekte olduğu gibi yapılacaktır:
§ 89. Kesirlerin çarpımı.
Kesirlerin çarpımını incelerken aşağıdaki soruları dikkate alacağız:
1. Bir kesri bir tamsayı ile çarpmak.
2. Belirli bir sayının kesirini bulma.
3. Bir tam sayının bir kesirle çarpılması.
4. Bir kesri bir kesirle çarpmak.
5. Karışık sayıların çarpımı.
6. İlgi kavramı.
7. Belirli bir sayının yüzdelerini bulma. Bunları sırayla ele alalım.
1. Bir kesri bir tamsayı ile çarpmak.
Bir kesri bir tam sayı ile çarpmak, bir tam sayıyı bir tam sayı ile çarpmakla aynı anlama gelir. Bir kesri (çarpılan) bir tam sayıyla (çarpan) çarpmak, her terimin çarpana eşit olduğu ve terim sayısının çarpana eşit olduğu özdeş terimlerin toplamını oluşturmak anlamına gelir.
Yani, 1/9'u 7 ile çarpmanız gerekiyorsa, bu şu şekilde yapılabilir:
Eylem aynı paydalara sahip kesirleri toplamaya indirgendiğinden sonucu kolayca aldık. Sonuç olarak,
Bu eylemin dikkate alınması, bir kesri bir tamsayı ile çarpmanın, bu kesri tamsayıdaki birim sayısı kadar artırmaya eşdeğer olduğunu gösterir. Ve kesirdeki artış, payını artırarak elde edildiğinden
veya paydasını azaltarak 
, o zaman payı tamsayı ile çarpabiliriz veya böyle bir bölme mümkünse paydayı ona bölebiliriz.
Buradan kuralı alıyoruz:
Bir kesri bir tamsayı ile çarpmak için, payı bu tamsayı ile çarpmanız ve paydayı aynı bırakmanız veya mümkünse paydayı değiştirmeden paydayı bu sayıya bölmeniz gerekir.
Çarpma sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:
2. Belirli bir sayının kesirini bulma. Belirli bir sayının bir kısmını bulmanız veya hesaplamanız gereken birçok problem vardır. Bu görevler ile diğerleri arasındaki fark, bazı nesnelerin veya ölçü birimlerinin sayısını vermeleri ve bu sayının burada da belirli bir kesirle gösterilen bir kısmını bulmanız gerekmesidir. Anlamayı kolaylaştırmak için önce bu tür problemlere örnekler vereceğiz ve ardından bunları çözme yöntemini tanıtacağız.
Görev 1. 60 rublem vardı; Bu paranın 1 / 3'ünü kitap satın almak için harcadım. Kitaplar ne kadara mal oldu?
Görev 2. Tren, A ve B şehirleri arasındaki 300 km'ye eşit mesafeyi kat etmelidir. Zaten bu mesafenin 2 / 3'ünü kat etti. Bu kaç kilometre?
Görev 3. Köyde 400 ev var, bunların 3/4'ü tuğla, geri kalanı ahşap. Kaç tane tuğla ev var?
Belirli bir sayının bir kısmını bulmak için uğraşmamız gereken birçok problemden bazıları. Genellikle verilen bir sayının kesrini bulma problemleri olarak adlandırılırlar.
Sorunun çözümü 1. 60 ruble'den. 1 / 3'ünü kitaplara harcadım; Yani, kitapların maliyetini bulmak için 60 sayısını 3'e bölmeniz gerekir:
Sorun 2 çözümü. Sorunun anlamı, 300 km'nin 2 / 3'ünü bulmanız gerektiğidir. 300'ün ilk 1/3'ünü hesaplayın; bu, 300 km'yi 3'e bölerek elde edilir:
300: 3 = 100 (300'ün 1/3'ü).
300'ün üçte ikisini bulmak için ortaya çıkan bölümü ikiye katlamanız, yani 2 ile çarpmanız gerekir:
100 x 2 = 200 (300'ün 2/3'ü).
Sorunun çözümü 3. Burada 400'ün 3/4'ü olan tuğla ev sayısını belirlemeniz gerekiyor. Önce 400'ün 1/4'ünü bulalım,
400: 4 = 100 (400'ün 1/4'ü).
400'ün dörtte üçünü hesaplamak için, ortaya çıkan bölümün üçe katlanması, yani 3 ile çarpılması gerekir:
100 x 3 = 300 (400'ün 3/4'ü).
Bu problemlerin çözümüne dayanarak, aşağıdaki kuralı türetebiliriz:
Belirli bir sayının kesirinin değerini bulmak için, bu sayıyı kesrin paydasına bölmeniz ve elde edilen bölümü payıyla çarpmanız gerekir.
3. Bir tam sayının bir kesirle çarpılması.
Daha önce (§ 26), tam sayıların çarpılmasının aynı terimlerin eklenmesi olarak anlaşılması gerektiği tespit edilmiştir (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Bu paragrafta (paragraf 1), bir kesri bir tamsayı ile çarpmanın, bu kesre eşit özdeş terimlerin toplamını bulmak anlamına geldiği tespit edilmiştir.
Her iki durumda da çarpma, özdeş terimlerin toplamını bulmaktan ibaretti.
Şimdi bir tam sayıyı bir kesirle çarpmaya geçiyoruz. Burada, örneğin çarpma ile karşılaşacağız: 9 2 / 3. Çarpmanın önceki tanımının bu durum için geçerli olmadığı oldukça açıktır. Bu, böyle bir çarpma işlemini eşit sayıları toplayarak değiştiremeyeceğimiz gerçeğinden açıkça anlaşılmaktadır.
Bundan dolayı çarpma işlemine yeni bir tanım vermemiz yani bir başka deyişle kesir ile çarpmadan ne anlaşılması gerektiği, bu işlemin nasıl anlaşılması gerektiği sorusuna cevap vermemiz gerekecektir.
Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmanın anlamı aşağıdaki tanımdan açıktır: bir tam sayıyı (çarpanı) bir kesirle (çarpan) çarpmak, çarpanın bu kesrini bulmak demektir.
Yani 9'u 2/3 ile çarpmak, dokuz birimin 2/3'ünü bulmak demektir. Bir önceki paragrafta bu tür problemler çözüldü; yani sonunda 6'ya ulaştığımızı anlamak kolay.
Ama şimdi ilginç ve önemli bir soru ortaya çıkıyor: neden ilk bakışta böyle? çeşitli aktiviteler toplam nasıl bulunur eşit sayılar aritmetikte bir sayının kesirini bulmakla aynı kelimeye "çarpma" denir mi?
Bunun nedeni, önceki eylemin (sayıyı terimlerle birkaç kez tekrarlama) ve yeni eylemin (bir sayının kesirini bulma) homojen sorulara yanıt vermesidir. Bu, burada homojen soruların veya görevlerin tek ve aynı eylemle çözüldüğü düşüncesinden hareket ettiğimiz anlamına gelir.
Bunu anlamak için şu sorunu göz önünde bulundurun: “1 m kumaş 50 rubleye mal oluyor. Böyle bir kumaşın 4 m'si ne kadara mal olacak?
Bu problem, ruble sayısının (50) metre sayısıyla (4) çarpılmasıyla çözülür, yani. 50 x 4 = 200 (ruble).
Aynı sorunu ele alalım, ancak içinde kumaş miktarı kesirli bir sayı olarak ifade edilecektir: “1 m kumaş 50 rubleye mal oluyor. Böyle bir kumaşın 3/4 m'si ne kadar tutar?
Bu sorunun da ruble sayısını (50) metre sayısıyla (3/4) çarparak çözülmesi gerekiyor.
Ayrıca sorunun anlamını değiştirmeden içindeki sayıları birkaç kez değiştirebilirsiniz, örneğin 9/10 m veya 2 3/10 m vb.
Bu problemler aynı içeriğe sahip olduğundan ve yalnızca sayılarda farklılık gösterdiğinden, bunları çözmek için kullanılan eylemlere aynı kelime - çarpma diyoruz.
Bir tam sayı bir kesirle nasıl çarpılır?
Son problemde karşılaşılan sayıları ele alalım:
Tanıma göre 50'nin 3/4'ünü bulmalıyız. Önce 50'nin 1/4'ünü sonra 3/4'ü buluyoruz.
50'nin 1/4'ü 50/4'tür;
50'nin 3/4'ü .
Sonuç olarak.
Başka bir örnek ele alalım: 12 5 / 8 = ?
12'nin 1/8'i 12/8'dir,
12 sayısının 5/8'i dir.
Sonuç olarak,
Buradan kuralı alıyoruz:
Bir tamsayıyı bir kesirle çarpmak için, tamsayıyı kesrin payıyla çarpmanız ve bu çarpımı pay yapmanız ve verilen kesrin paydasını payda olarak imzalamanız gerekir.
Bu kuralı harfleri kullanarak yazıyoruz:
Bu kuralı tamamen açık hale getirmek için, bir kesrin bölüm olarak kabul edilebileceği unutulmamalıdır. Bu nedenle, bulunan kuralı, § 38'de belirtilen bir sayıyı bir bölümle çarpma kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır.
Çarpma işlemini gerçekleştirmeden önce (mümkünse) yapmanız gerektiği unutulmamalıdır. keser, örneğin:
4. Bir kesri bir kesirle çarpmak. Bir kesri bir kesirle çarpmak, bir tamsayıyı bir kesirle çarpmakla aynı anlama gelir, yani bir kesri bir kesirle çarparken, kesri ilk kesirden (çarpan) çarpanda bulmanız gerekir.
Yani 3/4'ü 1/2 (yarım) ile çarpmak, 3/4'ün yarısını bulmak demektir.
Bir kesri bir kesirle nasıl çarparsınız?
Bir örnek verelim: 3/4 çarpı 5/7. Bu, 3/4'ten 5/7'yi bulmanız gerektiği anlamına gelir. 3/4'ün önce 1/7'sini ve sonra 5/7'yi bul
3/4'ün 1/7'si şu şekilde ifade edilir:
5/7 sayıları 3/4 aşağıdaki gibi ifade edilecektir:
Böylece,
Başka bir örnek: 5/8 çarpı 4/9.
5/8'in 1/9'u ,
4/9 sayıları 5/8 dir.
Böylece, 
Bu örneklerden aşağıdaki kural çıkarılabilir:
Bir kesri bir kesirle çarpmak için, pay ile pay ve payda ile paydayı çarpmanız ve ilk ürünü pay ve ikinci ürünü ürünün paydası yapmanız gerekir.
kural bu Genel görünümşöyle yazılabilir:
Çarpma yaparken (mümkünse) eksiltme yapmak gerekir. Örnekleri düşünün:
5. Karışık sayıların çarpımı. Karışık sayılar kolayca yanlış kesirler ile değiştirilebildiğinden, bu durum genellikle karışık sayıları çarparken kullanılır. Bu, çarpanın veya çarpanın veya her ikisinin de karışık sayılar olarak ifade edildiği durumlarda, bunların yanlış kesirler ile değiştirildiği anlamına gelir. Örneğin, karışık sayıları çarpın: 2 1/2 ve 3 1/5. Her birini bir bileşik kesre çeviririz ve daha sonra elde edilen kesirleri bir kesri bir kesirle çarpma kuralına göre çarparız:
Kural. Karışık sayıları çarpmak için önce onları bileşik kesre dönüştürmeli, sonra kesri bir kesirle çarpma kuralına göre çarpmalısınız.
Not.Çarpanlardan biri bir tamsayı ise çarpma, dağıtım yasasına göre aşağıdaki gibi yapılabilir:
6. İlgi kavramı. Problemleri çözerken ve çeşitli pratik hesaplamalar yaparken her türden kesri kullanırız. Ancak, birçok niceliğin onlar için herhangi bir değil, doğal alt bölümler kabul ettiği akılda tutulmalıdır. Örneğin, bir rublenin yüzde birini (1/100) alabilirsiniz, bir kuruş olur, yüzde ikilik 2 kopek, üç yüzde biri 3 kopektir. Rublenin 1/10'unu alabilirsin, "10 kopek veya bir kuruş olur. Rublenin dörtte birini alabilirsin, yani 25 kopek, yarım ruble, yani 50 kopek (elli kopek). Örneğin 2/7 ruble alın çünkü ruble yedide bire bölünmez.
Ağırlık için ölçü birimi, yani kilogram, her şeyden önce ondalık alt bölümlere, örneğin 1/10 kg veya 100 g'a ve kilogramın 1/6, 1/11, 1/ gibi kesirlerine izin verir. 13 nadirdir.
Genel olarak (metrik) ölçümlerimiz ondalıktır ve ondalık alt bölümlere izin verir.
Bununla birlikte, çok çeşitli durumlarda miktarları alt bölümlere ayırmak için aynı (tek biçimli) yöntemi kullanmanın son derece yararlı ve uygun olduğu belirtilmelidir. Yılların Deneyimi böylesine haklı bir bölümün "yüzde birlik" bölüm olduğunu gösterdi. İnsan pratiğinin en çeşitli alanlarıyla ilgili birkaç örneği ele alalım.
1. Kitapların fiyatı bir önceki fiyatın 12/100'ü oranında azaldı.
Örnek. Kitabın önceki fiyatı 10 ruble. 1 ruble düştü. 20 kop.
2. Tasarruf bankaları, birikime yatırılan miktarın 2/100'ünü yıl içinde mevduat sahiplerine öder.
Örnek. Kasaya 500 ruble konur, bu miktardan yıllık gelir 10 ruble.
3. Bir okulun mezun sayısı toplam öğrenci sayısının 5/100'ü kadardı.
ÖRNEK Okulda sadece 1.200 öğrenci okudu, 60'ı okuldan mezun oldu.
Bir sayının yüzde biri yüzde olarak adlandırılır..
"Yüzde" kelimesi ödünç alınmıştır. Latince ve kökü "cent" yüz anlamına gelir. Edat (pro centum) ile birlikte bu kelime "yüz için" anlamına gelir. Bu ifadenin anlamı, başlangıçta eski Roma'da faizin, borçlunun borç verene "yüz başına" ödediği para olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır. "Yüz" kelimesi çok tanıdık kelimelerle duyulur: centner (yüz kilogram), santimetre (santimetre derler).
Örneğin, tesisin geçen ay ürettiği tüm ürünlerin 1/100'ünü ürettiğini söylemek yerine şunu söyleyeceğiz: tesis, geçen ay ıskartaların yüzde birini üretti. Tesis, kurulan plana göre 4/100 daha fazla ürün üretti demek yerine, tesis planı yüzde 4 aştı diyeceğiz.
Yukarıdaki örnekler farklı şekilde ifade edilebilir:
1. Kitapların fiyatı önceki fiyatına göre yüzde 12 oranında azaldı.
2. Tasarruf bankaları, mevduat sahiplerine, birikime yatırılan miktarın yılda yüzde 2'sini öder.
3. Bir okulun mezun sayısı, okuldaki tüm öğrenci sayısının yüzde 5'i kadardı.
Mektubu kısaltmak için "yüzde" kelimesi yerine% işaretini yazmak adettendir.
Ancak unutulmamalıdır ki % işareti genellikle hesaplamalarda yazılmaz, problem cümlesinde ve nihai sonuçta yazılabilir. Hesaplama yaparken bu simge ile bir tamsayı yerine paydası 100 olan bir kesir yazmanız gerekir.
Belirtilen simgeye sahip bir tamsayıyı paydası 100 olan bir kesirle değiştirebilmeniz gerekir:
Tersine, paydası 100 olan bir kesir yerine belirtilen simgeyle bir tamsayı yazmaya alışmanız gerekir:
7. Belirli bir sayının yüzdelerini bulma.
Görev 1. Okul 200 metreküp aldı. m yakacak odun, huş ağacı yakacak odun% 30'dur. Ne kadar huş ağacı vardı?
Bu sorunun anlamı, huş ağacı yakacak odunun okula teslim edilen yakacak odunun sadece bir kısmı olduğu ve bu kısmın 30 / 100'lük bir kesir olarak ifade edilmesidir. Yani, bir sayının kesirini bulma görevi ile karşı karşıyayız. Bunu çözmek için 200'ü 30 / 100 ile çarpmalıyız (bir sayının kesirini bulma görevleri, bir sayıyı bir kesirle çarparak çözülür.).
Yani 200'ün %30'u 60'a eşittir.
Bu problemde karşılaşılan 30/100 kesri 10 oranında azaltılabilir. Bu indirgemeyi en baştan yapmak mümkün olacaktır; sorunun çözümü değişmez.
Görev 2. Kampta çeşitli yaşlarda 300 çocuk vardı. 11 yaşındaki çocuklar %21, 12 yaşındaki çocuklar %61 ve son olarak 13 yaşındaki çocuklar %18 idi. Kampta her yaştan kaç çocuk vardı?
Bu problemde üç hesaplama yapmanız gerekiyor, yani sırasıyla 11 yaşındaki, ardından 12 yaşındaki ve son olarak 13 yaşındaki çocukların sayısını bulmanız gerekiyor.
Yani, burada bir sayının bir kısmını üç kez bulmanız gerekecek. Haydi Yapalım şunu:
1) 11 yaşında kaç çocuk vardı?
2) 12 yaşında kaç çocuk vardı?
3) 13 yaşında kaç çocuk vardı?
Problemi çözdükten sonra bulunan sayıları toplamakta fayda var; toplamları 300 olmalıdır:
63 + 183 + 54 = 300
Problemin durumunda verilen yüzdelerin toplamının 100 olmasına da dikkat etmelisiniz:
21% + 61% + 18% = 100%
Bu şunu önerir toplam sayısı kampta bulunan çocuklar %100 olarak alınmıştır.
3 bir gün 3.İşçi ayda 1.200 ruble aldı. Bunların %65'ini gıdaya, %6'sını ev ve ısınmaya, %4'ünü gaz, elektrik ve radyoya, %10'unu kültürel ihtiyaçlara harcadı ve %15'ini tasarruf etti. Görevde belirtilen ihtiyaçlar için ne kadar para harcandı?
Bu problemi çözmek için 1.200 sayısının bir kesirini 5 defa bulmanız gerekiyor, hadi yapalım.
1) Yiyeceklere ne kadar para harcanıyor? Görev, bu giderin tüm kazançların %65'i, yani 1.200 sayısının 65/100'ü olduğunu söylüyor.Hesabı yapalım:
2) Isıtmalı bir daire için ne kadar para ödendi? Önceki gibi tartışarak, aşağıdaki hesaplamaya varıyoruz:
3) Gaz, elektrik ve radyo için ne kadar para ödediniz?
4) Kültürel ihtiyaçlar için ne kadar para harcanıyor?
5) İşçi ne kadar para biriktirdi?
Doğrulama için bu 5 soruda bulunan sayıları eklemekte fayda var. Miktar 1.200 ruble olmalıdır. Tüm kazançlar %100 olarak alınır, problem ifadesinde verilen yüzdeleri toplayarak kolayca kontrol edebilirsiniz.
Üç sorunu çözdük. Bu görevler farklı şeyler (okula yakacak odun temini, farklı yaştaki çocuk sayısı, işçinin giderleri) hakkında olmasına rağmen, aynı şekilde çözüldü. Bu, tüm görevlerde verilen sayıların yüzde birkaçını bulmak gerektiğinden oldu.
§ 90. Kesirlerin bölünmesi.
Kesirlerin bölünmesini incelerken, aşağıdaki soruları dikkate alacağız:
1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.
2. Bir kesrin bir tamsayıya bölünmesi
3. Bir tamsayının kesre bölünmesi.
4. Bir kesrin bir kesre bölünmesi.
5. Karışık sayıların bölünmesi.
6. Kesri verilen bir sayıyı bulma.
7. Yüzdesine göre bir sayı bulma.
Bunları sırayla ele alalım.
1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.
Tamsayılar bölümünde de belirtildiği gibi bölme, iki çarpanın (bölünen) ve bu çarpanlardan birinin (bölen) çarpımı verildiğinde başka bir çarpanın bulunması işlemidir.
Bir tam sayının bir tam sayıya bölümü, tamsayılar bölümünde inceledik. Orada iki bölme durumuyla karşılaştık: kalansız bölme veya "tamamen" (150: 10 = 15) ve kalanlı bölme (100: 9 = 11 ve kalanda 1). Bu nedenle, tamsayılar aleminde tam bölmenin her zaman mümkün olmadığını söyleyebiliriz, çünkü bölünen her zaman bölenin ve tamsayının ürünü değildir. Bir kesirle çarpmanın tanıtılmasından sonra, tamsayıların herhangi bir bölümünü mümkün olduğunca düşünebiliriz (yalnızca sıfıra bölme hariçtir).
Örneğin, 7'yi 12'ye bölmek, çarpımları 12 olan bir sayı bulmak demektir. Bu sayı 7/12 kesridir çünkü 7/12 12 = 7'dir. Başka bir örnek: 14:25 = 14/25 çünkü 14/25 25 = 14.
Bu nedenle, bir tamsayıyı bir tamsayıya bölmek için, payı temettüye eşit olan ve payda bölen olan bir kesir yapmanız gerekir.
2. Bir kesrin bir tamsayıya bölümü.
6/7 kesirini 3'e bölün. Yukarıda verilen bölme tanımına göre burada çarpım (6/7) ve çarpanlardan biri (3) var; 3 ile çarpıldığında verilen çarpımı 6/7 verecek ikinci bir çarpan bulmak gerekir. Açıkçası, bu üründen üç kat daha küçük olmalıdır. Bu, bizden önce belirlenen görevin 6 / 7 kesirini 3 kat azaltmak olduğu anlamına gelir.
Bir kesrin payını azaltarak veya paydasını artırarak azaltılabileceğini zaten biliyoruz. Bu nedenle şunları yazabilirsiniz:
Bu durumda pay 6 3'e bölünebilir, bu nedenle pay 3 kat azaltılmalıdır.
Başka bir örnek ele alalım: 5 / 8 bölü 2. Burada pay 5, 2'ye bölünemez, bu da paydanın bu sayı ile çarpılması gerektiği anlamına gelir:
Buna dayanarak şu kuralı söyleyebiliriz: Bir kesri bir tam sayıya bölmek için kesrin payını o tam sayıya bölmeniz gerekir.(Eğer mümkünse), aynı paydayı bırakarak veya aynı pay bırakarak kesrin paydasını bu sayı ile çarpın.
3. Bir tamsayının kesre bölünmesi.
5'i 1 / 2'ye bölmek istensin, yani 1 / 2 ile çarpıldıktan sonra 5 sonucunu verecek bir sayı bulun. Açıktır ki, 1 / 2 uygun bir kesir olduğu için bu sayı 5'ten büyük olmalıdır, ve bir sayıyı uygun bir kesirle çarparken, çarpım çarpandan küçük olmalıdır. Daha anlaşılır olması için eylemlerimizi şu şekilde yazalım: 5: 1 / 2 = X , yani x 1 / 2 \u003d 5.
böyle bir sayı bulmalıyız X 1/2 ile çarpıldığında 5 verir. Belirli bir sayıyı 1/2 ile çarpmak, bu sayının 1/2'sini bulmak anlamına geldiğine göre, bilinmeyen sayının 1/2'sini bulur. X 5 ve tam sayı X iki katı, yani 5 2 \u003d 10.
Yani 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Hadi kontrol edelim: 
Bir örnek daha ele alalım. 6'yı 2/3'e bölmek istensin. Önce çizimi kullanarak istenen sonucu bulmaya çalışalım (Şek. 19).
Şekil 19
Bazı birimlerin 6'sına eşit bir AB parçası çizin ve her birimi 3 eşit parçaya bölün. Her bir birimde, AB segmentinin tamamındaki üçte üçü (3/3) 6 kat daha büyüktür, yani örneğin 18/3. Küçük parantezler yardımıyla 18 elde edilen 2 segmenti birleştiriyoruz; Sadece 9 bölüm olacak. Bu, 2/3 kesrinin b birimlerinde 9 kez yer aldığı veya başka bir deyişle 2/3 kesirinin 6 tamsayı biriminden 9 kat daha az olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak,
Sadece hesaplamaları kullanarak çizim yapmadan bu sonuca nasıl ulaşılır? Şu şekilde tartışacağız: 6'yı 2 / 3'e bölmek gerekiyor, yani 2 / 3'ün 6'da kaç kez yer aldığı sorusunu cevaplamak gerekiyor. Önce öğrenelim: kaç kez 1 / 3'tür 6 içinde yer alan? Bütün bir birimde - üçte 3 ve 6 birimde - 6 kat daha fazla, yani üçte 18; bu sayıyı bulmak için 6'yı 3 ile çarpmalıyız. Dolayısıyla 1/3 b biriminde 18 kez, 2/3 b biriminde 18 değil yarısı kadar, yani 18: 2 = 9 .Bu nedenle 6'yı 2/3'e böldüğümüzde aşağıdaki eylemler:
Buradan bir tam sayıyı bir kesre bölme kuralını elde ederiz. Bir tamsayıyı bir kesre bölmek için, bu tamsayıyı verilen kesrin paydasıyla çarpmanız ve bu çarpımı pay yaparak verilen kesrin payına bölmeniz gerekir.
Kuralı harfleri kullanarak yazıyoruz:
Bu kuralı tamamen açık hale getirmek için, bir kesrin bölüm olarak kabul edilebileceği unutulmamalıdır. Bu nedenle, bulunan kuralı, § 38'de belirtilen bir sayıyı bir bölüme bölme kuralıyla karşılaştırmak yararlıdır. Orada aynı formülün elde edildiğine dikkat edin.
Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:
4. Bir kesrin bir kesre bölünmesi.
3/4'ü 3/8'e bölmek istensin. Bölme işlemi sonucunda elde edilecek sayı kaçtır? 3/8 fraksiyonunun 3/4 fraksiyonunda kaç kez yer aldığı sorusuna cevap verecektir. Bu konuyu anlamak için bir çizim yapalım (Şek. 20).
AB doğru parçasını alın, bir birim olarak alın, 4 eşit parçaya bölün ve bu parçalardan 3 tanesini işaretleyin. AC segmenti, AB segmentinin 3/4'üne eşit olacaktır. Şimdi ilk dört parçanın her birini ikiye bölelim, sonra AB doğru parçası 8 eşit parçaya bölünecek ve bu parçalardan her biri AB doğru parçasının 1/8'ine eşit olacaktır. Bu tür 3 parçayı yaylarla bağlarız, ardından AD ve DC bölümlerinin her biri AB bölümünün 3/8'ine eşit olacaktır. Çizim, 3/8'e eşit parçanın 3/4'e eşit parçada tam olarak 2 kez bulunduğunu göstermektedir; Böylece bölme işleminin sonucu şu şekilde yazılabilir:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Bir örnek daha ele alalım. 15/16'yı 3/32'ye bölmek istensin:
Şöyle bir mantık yürütebiliriz: 3/32 ile çarpıldıktan sonra 15/16'ya eşit bir çarpım verecek bir sayı bulmamız gerekiyor. Hesaplamaları şu şekilde yazalım:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 bilinmeyen numara X makyaj 15 / 16
1/32 bilinmeyen numara X dır-dir ,
32 / 32 numara X makyaj yapmak .
Sonuç olarak,
Bu nedenle, bir kesri bir kesre bölmek için, birinci kesrin payını ikincinin paydasıyla çarpmanız ve birinci kesrin paydasını ikincinin payıyla çarpmanız ve ilk ürünü pay ve payda yapmanız gerekir. ikinci payda.
Harfleri kullanarak kuralı yazalım:
Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:
5. Karışık sayıların bölünmesi.
Karışık sayılar bölünürken, önce bileşik kesre dönüştürülmeli ve daha sonra elde edilen kesirler, kesirli sayıları bölme kurallarına göre bölünmelidir. Bir örnek düşünün:
Karışık sayıları bileşik kesre çevirmek:
Şimdi ayıralım:
Bu nedenle, karışık sayıları bölmek için onları bileşik kesre dönüştürmeniz ve ardından kesirleri bölme kuralına göre bölmeniz gerekir.
6. Kesri verilen bir sayıyı bulma.
Kesirlerle ilgili çeşitli görevler arasında, bazen bilinmeyen bir sayının bazı kesirlerinin değerinin verildiği ve bu sayıyı bulmanın gerekli olduğu görevler vardır. Bu tür bir problem, belirli bir sayının kesirini bulma probleminin tersi olacaktır; orada bir sayı verilmiş ve bu sayının bir kısmını bulmak istenmiş, burada bir sayının bir kesri verilmiş ve bu sayının kendisini bulması istenmiş. Bu tür bir sorunun çözümüne dönersek, bu fikir daha da netleşecektir.
Görev 1.İlk gün camcılar, yapılan evin tüm pencerelerinin 1 / 3'ü olan 50 pencereyi camladı. Bu evde kaç tane pencere var?
Çözüm. Problem, 50 camlı pencerenin evin tüm pencerelerinin 1/3'ünü oluşturduğunu söylüyor, bu da toplamda 3 kat daha fazla pencere olduğu anlamına geliyor, yani.
Evin 150 penceresi vardı.
Görev 2. Dükkan, toplam un stokunun 3/8'i olan 1.500 kg un sattı. Mağazanın başlangıçtaki un arzı neydi?
Çözüm. Satılan 1.500 kg unun toplam stokun 3/8'ini oluşturduğu problemin durumundan da görülmektedir; bu, bu stoğun 1/8'inin 3 kat daha az olacağı anlamına gelir, yani hesaplamak için 1500'ü 3 kat azaltmanız gerekir:
1.500: 3 = 500 (bu, stokun 1/8'i).
Açıkçası, tüm stok 8 kat daha büyük olacak. Sonuç olarak,
500 8 \u003d 4.000 (kg).
Mağazadaki ilk un arzı 4.000 kg idi.
Bu sorunun ele alınmasından, aşağıdaki kural çıkarılabilir.
Kesirinin belirli bir değerine göre bir sayı bulmak için, bu değeri kesrin payına bölmek ve sonucu kesrin paydasıyla çarpmak yeterlidir.
Kesri verilen bir sayıyı bulma konusunda iki problem çözdük. Bu tür problemler, özellikle sonuncusundan çok iyi görüldüğü gibi, iki işlemle çözülür: bölme (bir kısım bulunduğunda) ve çarpma (tam sayı bulunduğunda).
Bununla birlikte, kesirlerin bölünmesini çalıştıktan sonra, yukarıdaki problemler tek bir işlemle çözülebilir: kesre bölme.
Örneğin, son görev şu şekilde tek bir işlemle çözülebilir:
Gelecekte, bir sayıyı kesrine göre bulma problemini tek bir eylem - bölmede çözeceğiz.
7. Yüzdesine göre bir sayı bulma.
Bu görevlerde, bu sayının yüzde birkaçını bilerek bir sayı bulmanız gerekecek.
Görev 1. Bu yılın başında tasarruf bankasından 60 ruble aldım. bir yıl önce biriktirdiğim miktardan gelir. Tasarruf bankasına ne kadar para yatırdım? (Kasalar mevduat sahiplerine yılda gelirin %2'sini verir.)
Sorunun anlamı, benim tarafımdan belirli bir miktar para bir tasarruf bankasına yatırıldı ve orada bir yıl yattı. Bir yıl sonra ondan 60 ruble aldım. yatırdığım paranın 2/100'ü olan gelir. Ne kadar para yatırdım?
Bu nedenle, bu paranın iki şekilde (ruble ve kesir cinsinden) ifade edilen kısmını bilerek, henüz bilinmeyen miktarın tamamını bulmalıyız. Bu, kesri verilen bir sayıyı bulmanın sıradan bir problemidir. Aşağıdaki görevler bölünme ile çözülür:
Böylece tasarruf bankasına 3.000 ruble yatırıldı.
Görev 2. Balıkçılar iki haftada 512 ton balık hazırlayarak aylık planı %64 oranında tamamladılar. Planları neydi?
Sorunun durumundan, balıkçıların planın bir bölümünü tamamladıkları biliniyor. Bu kısım, planın %64'ü olan 512 tona eşittir. Plana göre kaç ton balığın hasat edilmesi gerektiğini bilmiyoruz. Sorunun çözümü bu sayıyı bulmaktan ibaret olacaktır.
Bu tür görevler bölünerek çözülür:
Yani plana göre 800 ton balık hazırlamanız gerekiyor.
Görev 3. Tren Riga'dan Moskova'ya gitti. 276. kilometreyi geçince yolculardan biri yoldan geçen kondüktöre yolun ne kadarını katettiklerini sordu. Kondüktör buna şu yanıtı verdi: "Zaten tüm yolculuğun %30'unu kat ettik." Riga ile Moskova arasındaki mesafe nedir?
Sorunun durumundan, Riga'dan Moskova'ya olan yolculuğun %30'unun 276 km olduğu görülmektedir. Bu şehirler arasındaki tüm mesafeyi bulmamız gerekiyor, yani bu kısım için bütünü bulmalıyız:
§ 91. Karşılıklı sayılar. Bölmeyi çarpma ile değiştirmek.
2/3 kesirini alın ve payı paydanın yerine yeniden düzenleyin, 3/2 elde ederiz. Bunun tersi olan bir kesirimiz var.
Belirli bir kesrin tersini elde etmek için, payını paydanın yerine ve paydayı payın yerine koymanız gerekir. Bu şekilde herhangi bir kesrin tersi olan bir kesir elde edebiliriz. Örneğin:
3/4, ters 4/3; 5/6 , geri 6/5
Birincinin payı ikincinin paydası ve birincinin paydası ikincinin payına eşit olma özelliğine sahip iki kesre ne ad verilir? karşılıklı ters
Şimdi hangi kesrin 1/2'nin tersi olacağını düşünelim. Açıkçası, 2 / 1 veya sadece 2 olacak. Bunun karşılığını arıyoruz, bir tamsayı bulduk. Ve bu durum münferit değildir; aksine, payı 1 (bir) olan tüm kesirler için karşılıklılar tamsayı olacaktır, örneğin:
1/3, ters 3; 1 / 5, ters 5
Karşılıklı sayıları bulurken tamsayılarla da karşılaştığımız için, gelecekte karşılıklılardan değil, tamsayılardan bahsedeceğiz. karşılıklı.
Bir tam sayının tersini nasıl yazacağımızı bulalım. Kesirler için bu basitçe çözülür: paydayı payın yerine koymanız gerekir. Aynı şekilde, herhangi bir tamsayının paydası 1 olabileceğinden, bir tamsayının tersini elde edebilirsiniz. Bu nedenle, 7'nin tersi 1/7 olacaktır, çünkü 7 \u003d 7/1; 10 sayısı için tersi 1/10'dur çünkü 10 = 10/1
Bu fikir başka bir şekilde ifade edilebilir: verilen bir sayının tersi verilen sayıya bölünerek elde edilir. Bu ifade sadece tamsayılar için değil, aynı zamanda kesirler için de geçerlidir. Nitekim 5/9 kesirinin tersi olan bir sayı yazmak isterseniz 1'i alıp 5/9'a bölebiliriz, yani.
Şimdi birini belirtelim Emlak bizim için faydalı olacak karşılıklı karşılıklı sayılar: karşılıklı karşılıklı sayıların çarpımı bire eşittir. Aslında:
Bu özelliği kullanarak, karşılıklıları aşağıdaki şekilde bulabiliriz. 8'in tersini bulalım.
Harf ile gösterelim X , ardından 8 X = 1, dolayısıyla X = 1/8 7/12'nin tersi olan başka bir sayı bulalım, onu bir harfle gösterelim X , ardından 7 / 12 X = 1, dolayısıyla X = 1:7 / 12 veya X = 12 / 7 .
Kesirlerin bölünmesiyle ilgili bilgileri biraz desteklemek için burada karşılıklı sayılar kavramını tanıttık.
6 sayısını 3 / 5'e böldüğümüzde aşağıdakileri yaparız:
İfadeye özellikle dikkat edin ve verilen ifadeyle karşılaştırın: .
İfadeyi bir öncekiyle bağlantısı olmadan ayrı ayrı ele alırsak, nereden geldiği sorusunu çözmek imkansızdır: 6'yı 3/5'e bölmekten veya 6'yı 5/3 ile çarpmaktan. Her iki durumda da sonuç aynıdır. Yani söyleyebiliriz bir sayıyı diğerine bölmenin, bölünenin bölenin tersi ile çarpılmasıyla değiştirilebileceğini.
Aşağıda vereceğimiz örnekler bu kanaatimizi tamamen doğrulamaktadır.
Sıradan kesirlerin çarpımı
Bir örnek düşünün.
Tabakta bir elmanın $\frac(1)(3)$ parçası olsun. Bunun $\frac(1)(2)$ kısmını bulmamız gerekiyor. Zorunlu kısım, $\frac(1)(3)$ ve $\frac(1)(2)$ kesirlerinin çarpılmasının sonucudur. İki ortak kesrin çarpılmasının sonucu ortak bir kesirdir.
İki ortak kesri çarpmak
Adi kesirleri çarpma kuralı:
Bir kesri bir kesirle çarpmanın sonucu, payı çarpan kesirlerin paylarının ürününe eşit olan ve payda paydaların ürününe eşit olan bir kesirdir:
örnek 1
$\frac(3)(7)$ ve $\frac(5)(11)$ ile sıradan kesirleri çarpın.
Çözüm.
Sıradan kesirlerin çarpma kuralını kullanalım:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Cevap:$\frac(15)(77)$
Kesirlerin çarpılması sonucunda iptal edilebilir veya uygun olmayan bir kesir elde edilirse, sadeleştirilmesi gerekir.
Örnek 2
$\frac(3)(8)$ ve $\frac(1)(9)$ kesirlerini çarpın.
Çözüm.
Sıradan kesirleri çarpmak için kuralı kullanıyoruz:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Sonuç olarak, indirgenebilir bir kesir elde ettik (3$'a bölme temelinde. Kesrin payını ve paydasını 3$'a bölersek, şunu elde ederiz:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Kısa çözüm:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Cevap:$\frac(1)(24).$
Kesirleri çarparken, çarpımını bulmak için payları ve paydaları azaltabilirsiniz. Bu durumda, kesrin payı ve paydası şu şekilde ayrıştırılır: asal çarpanlar, bundan sonra tekrarlanan faktörler azaltılır ve sonuç bulunur.
Örnek 3
$\frac(6)(75)$ ve $\frac(15)(24)$ kesirlerinin çarpımını hesaplayın.
Çözüm.
Sıradan kesirleri çarpmak için formülü kullanalım:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Açıkçası, pay ve payda çiftler halinde $2$, $3$ ve $5$ sayılarıyla azaltılabilen sayılar içerir. Pay ve paydayı basit çarpanlara ayırır ve indirgemeyi yaparız:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Cevap:$\frac(1)(20).$
Kesirleri çarparken, değişme yasası uygulanabilir:
Bir kesri bir doğal sayı ile çarpma
Sıradan bir kesri bir doğal sayı ile çarpma kuralı:
Bir kesri bir doğal sayı ile çarpmanın sonucu, payın, doğal sayı ile çarpılan kesrin payının ürününe eşit olduğu ve paydanın, çarpılan kesrin paydasına eşit olduğu bir kesirdir:
burada $\frac(a)(b)$ ortak bir kesirdir, $n$ bir doğal sayıdır.
Örnek 4
$\frac(3)(17)$ kesirini $4$ ile çarpın.
Çözüm.
Sıradan bir kesri bir doğal sayı ile çarpma kuralını kullanalım:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Cevap:$\frac(12)(17).$
Bir kesrin büzülebilirliği veya yanlış bir kesir için çarpma sonucunu kontrol etmeyi unutmayın.
Örnek 5
$\frac(7)(15)$ kesirini $3$ ile çarpın.
Çözüm.
Bir kesri bir doğal sayı ile çarpmak için formülü kullanalım:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
$3$ sayısına bölme kriteri ile elde edilen kesrin azaltılabileceği belirlenebilir:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Sonuç, yanlış bir kesirdir. Tüm kısmı ele alalım:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Kısa çözüm:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Pay ve paydadaki sayıları asal çarpanlara açılımlarıyla değiştirerek kesirleri azaltmak da mümkündü. Bu durumda çözüm aşağıdaki gibi yazılabilir:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Cevap:$1\frac(2)(5).$
Bir kesri bir doğal sayıyla çarparken, değişme yasasını kullanabilirsiniz:
Sıradan kesirlerin bölünmesi
Bölme işlemi, çarpmanın tersidir ve sonucu, iki kesrin bilinen bir çarpımını elde etmek için bilinen bir kesri çarpmanız gereken bir kesirdir.
İki ortak kesrin bölünmesi
Sıradan kesirleri bölme kuralı: Açıkçası, ortaya çıkan kesrin payı ve paydası basit faktörlere ayrıştırılabilir ve azaltılabilir:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Sonuç olarak, tamsayı kısmını seçtiğimiz yanlış bir kesir elde ettik:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Cevap:$1\frac(5)(9).$